2015版第一章 复数与复变函数
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第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
复数与复变函数
非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数
复数与复变函数
(2) z z. z , z“互相”共轭
z1 z2
z1 z2
.
z x iy z x iy
(3)
zz Re(z)2 Im( z)2
x2
y2 0 1 z
z zz
z z2 .
(4) z z 2 Re(z) 2x, z z 2i Im( z) 2iy,
例：求F
s
s2
s
2 2s
的原函数 2
解：s2 2s 2 s 1 j s 1 j
s1 1 j，s2 1 j
F s k1 k2
s 1 j s 1 j
注：s x jy 写成指数表示法：s k e j， k 为幅值，为幅角，取值区间(-， ]
26ei
6
6
64ei
64.
[例] u
X
[定义] 若对z, 存在，使得n z(n N), 称是z的n次
3 页
[定义] i称虚数单位，i2 1. [定义] z x iy 称复数，x, y R. x, y 分别称 z 的实部
和虚部，记为Re(z), Im( z). ( Real, Imaginary )
[定义] x 0, y 0时的z iy称纯虚数.
[复数表示法的唯一性] x iy a ib x a且y b.
r1ei1 r2ei2 r1 r2 且 1 2 2k .
两个复数不能比较大小.
X
2.复数的代数运算
设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2, z x iy
[加减法] z1 z2 (x1 x2) i( y1 y2).
z1 z2
z1 z2
.
z x iy z x iy
(3)
zz Re(z)2 Im( z)2
x2
y2 0 1 z
z zz
z z2 .
(4) z z 2 Re(z) 2x, z z 2i Im( z) 2iy,
例：求F
s
s2
s
2 2s
的原函数 2
解：s2 2s 2 s 1 j s 1 j
s1 1 j，s2 1 j
F s k1 k2
s 1 j s 1 j
注：s x jy 写成指数表示法：s k e j， k 为幅值，为幅角，取值区间(-， ]
26ei
6
6
64ei
64.
[例] u
X
[定义] 若对z, 存在，使得n z(n N), 称是z的n次
3 页
[定义] i称虚数单位，i2 1. [定义] z x iy 称复数，x, y R. x, y 分别称 z 的实部
和虚部，记为Re(z), Im( z). ( Real, Imaginary )
[定义] x 0, y 0时的z iy称纯虚数.
[复数表示法的唯一性] x iy a ib x a且y b.
r1ei1 r2ei2 r1 r2 且 1 2 2k .
两个复数不能比较大小.
X
2.复数的代数运算
设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2, z x iy
[加减法] z1 z2 (x1 x2) i( y1 y2).
第一章(1)(第一课)
原点O指向点z=x+iy的平面向量一一对应， 因此复数z也能 用向量 OP 来表示（见图1.1）， 即复数的向量表示方式。 向量的长度称为复数z的模或绝对值， 记作
z r x2 y2
(1.1.1)
第一章 复数与复变函数
图1.1
第一章 复数与复变函数
显然， 下列各式是成立的： |x|≤|z|， |y|≤|z|， |z|≤|x|+|y|
第一章 复数与复变函数 不难看出， 复数与复平面上的点是一一对应的， 即每 一个复数z=x+iy确定复平面上一个坐标为(x, y)的点， 反之 亦然。 这样一方面使我们能借助于几何语言和方法研究复 变函数的问题， 另一方面也为复变函数应用于实际奠定了 基础。
第一章 复数与复变函数
在复平面上， 复数z不止与点(x, y)一一对应， 它还与从
2
2
要使上式成立， 必须且只需k=m+n+1。 只要m与n各取一确 定的值， 总可选取k的值使k=m+n+1， 反之也一样。 若取 m=n=0， 则取k=1； 若取k=－1， 则可取m=0， n=－2或 m=－2， n=0。
第一章 复数与复变函数 下面结合复数z的三角表示式或指数表示式来理解复数 乘法与除法运算的几何意义。 当利用向量来表示复数时， 可以说表示乘积z1z2的向量是从表示z1的向量旋转一个角度 Arg z2， 并伸缩r2=|z2|倍而得到的， 如图1.4所示。
之间满足： 如果θ1是其中的一个辐角， 那么
Arg z=θ1+2kπ （k为任意整数）
（1.1.3）
上式给出了z的全部辐角之间的关系。
第一章 复数与复变函数
在z(≠0)的辐角中， 我们把满足－π<θ0≤π的θ0称为辐角
复变函数 第1章 复数与复变函数
6
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
复变函数第一章第1讲
复变函数与积分变换 西安文理学院物电学院
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
z1 z1 例4 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2
解
z1 5 5i (5 5i )( 3 4i ) z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
记为 z r x 2 y 2 .
显然下列各式成立
y y
r
o
2
Pz x iy
x z, z x y,
y z,
z z z z2 .
x
x
复变函数与积分变换
西安文理学院物电学院
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
3. 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
计算共轭复数yi的积是一个实数两个共轭复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的形式将下列复数表示为iy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换20152015西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换称为为终边的角的弧度数的向量以表示说明0有有无穷有无穷多是其中一个辐角如果特殊地的全部辐角为那么西安文理学院物电学院复变函数与积分变换辐角主值的定义
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
z1 z1 例4 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2
解
z1 5 5i (5 5i )( 3 4i ) z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
记为 z r x 2 y 2 .
显然下列各式成立
y y
r
o
2
Pz x iy
x z, z x y,
y z,
z z z z2 .
x
x
复变函数与积分变换
西安文理学院物电学院
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
3. 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
计算共轭复数yi的积是一个实数两个共轭复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的形式将下列复数表示为iy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换20152015西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换称为为终边的角的弧度数的向量以表示说明0有有无穷有无穷多是其中一个辐角如果特殊地的全部辐角为那么西安文理学院物电学院复变函数与积分变换辐角主值的定义
第1章复数与复变函数汇总
2 2
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
复变函数第一章
Re z 0表 示 右 半 复 平 面 , Im z 0表 示 下 半 复 平 面 .
复数z x iy可用平面上坐标为 ( x，y )的点P表示.
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 此时， 平 面— 复 平 面 或 z平 面
点的表示：z x iy 复平面上的点 P( x，y )
数z与点z同义.
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) OP { x , y }
z1 5 5i 7i 解: z2 3 4i 5
1 i 例2 : 求 1 i
4
1 i i 1 i
例3.证 明 若 z是 实 系 数 方 程 a n x n a n -1 x n 1 a1 x a 0 0 的 根, 则 z也 是 其 根 . (实 多 项 式 的 零 点 成 对 现 出)
当z落于一,四象限时，不变。
。 当z落于第三象限时，减 。
当z落于第二象限时，加
y arctan 2 x 2
由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1
的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。
记为Ｕ(z0 ,δ) (U ( z0 , )) 即， U ( z0 , ) {z z z0 }
z0
(U ( z0 , ) { z 0 z z0 }) 设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。
第1章复数与复变函数资料
(3)幅角主值的求法
arc
tan
y x
,
arg
z
arc tan
y x
,
arc
tan
y x
,
,
arc
tan
y x
,
当x在第一象限 当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限
2
arg
z
2
0,
,
当z在正y轴上
当z在负y轴上 当z在正x轴上 当z在负x轴上
4.复球面
扩充复平面的 一个几何模型就是 复球面。
对满足α＜t1＜β, α≤t2≤β, t1≠ t2的t1及t2,当 z(t1)=z2(t)成立时，点z(t1)称为此曲线C的重点；凡 无重点的连续曲线，称为简单曲线或Jordan
目录
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
§2 复数几何表示 §3 复数的乘幂与方根 §4 区 域 §5 复变函数 §6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 复数 形如
z=x+iy 或 z=x+yi
的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i·0=x
点z0为G的边界点，点集G的全部边界点称为G的边 界(如图1.4.1)
注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤
立的点所组成的(如图1.4.2)
定义1.4.3 若点集G的点皆为内点，则称G为
开集
定义1.4.4 点集G称为一个区域，如果 它满足：
(1)G是一个开集； (2)G是连通的，就是说G中任何两点z1 和z2都可以用完全属于G的一条折线连接起 来(图1.4.1)
(6) z z 2 Re z, z-z 2i Im z.
arc
tan
y x
,
arg
z
arc tan
y x
,
arc
tan
y x
,
,
arc
tan
y x
,
当x在第一象限 当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限
2
arg
z
2
0,
,
当z在正y轴上
当z在负y轴上 当z在正x轴上 当z在负x轴上
4.复球面
扩充复平面的 一个几何模型就是 复球面。
对满足α＜t1＜β, α≤t2≤β, t1≠ t2的t1及t2,当 z(t1)=z2(t)成立时，点z(t1)称为此曲线C的重点；凡 无重点的连续曲线，称为简单曲线或Jordan
目录
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
§2 复数几何表示 §3 复数的乘幂与方根 §4 区 域 §5 复变函数 §6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 复数 形如
z=x+iy 或 z=x+yi
的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i·0=x
点z0为G的边界点，点集G的全部边界点称为G的边 界(如图1.4.1)
注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤
立的点所组成的(如图1.4.2)
定义1.4.3 若点集G的点皆为内点，则称G为
开集
定义1.4.4 点集G称为一个区域，如果 它满足：
(1)G是一个开集； (2)G是连通的，就是说G中任何两点z1 和z2都可以用完全属于G的一条折线连接起 来(图1.4.1)
(6) z z 2 Re z, z-z 2i Im z.
2015复变函数工科第二讲1
22
D的所有边界点组成D的边界. 说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立 的点所组成的. C
2
z
C3
C1
(2) 区域D与它的边界一起构成闭区域 D .
23
边界
以上基 本概念 的图示
区域
z 0
邻域
z 1
z 2
P 边界点
7.有界区域和无界区域:
如果一个区域 D 可以被包含在一个以原 点 为中心的圆里面 , 即存在 M 0, 使区域的每一个 点都满足 z M , 那末 D 称为有界的, 否则称为无 界的.
设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 . 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ
z | z | (cos nArgz i sin nArgz )
n n
特别的，当 n=0 时，上式也成立，定义
令z
n
1 n ，则 z n
z
| z | [cos( nArgz ) i sin( nArgz )]
2( n 1)π 2( n 1)π wn1 r cos i sin . n n
当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
10
1 n
1 n
例如 k n 时,
2nπ 2nπ wn r cos i sin n n
证明
设 z1 r1e , z2 r2e
i1
i 2
由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2
∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0）
Argz=Argz2-Argz1 即：
D的所有边界点组成D的边界. 说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立 的点所组成的. C
2
z
C3
C1
(2) 区域D与它的边界一起构成闭区域 D .
23
边界
以上基 本概念 的图示
区域
z 0
邻域
z 1
z 2
P 边界点
7.有界区域和无界区域:
如果一个区域 D 可以被包含在一个以原 点 为中心的圆里面 , 即存在 M 0, 使区域的每一个 点都满足 z M , 那末 D 称为有界的, 否则称为无 界的.
设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 . 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ
z | z | (cos nArgz i sin nArgz )
n n
特别的，当 n=0 时，上式也成立，定义
令z
n
1 n ，则 z n
z
| z | [cos( nArgz ) i sin( nArgz )]
2( n 1)π 2( n 1)π wn1 r cos i sin . n n
当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
10
1 n
1 n
例如 k n 时,
2nπ 2nπ wn r cos i sin n n
证明
设 z1 r1e , z2 r2e
i1
i 2
由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2
∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0）
Argz=Argz2-Argz1 即：
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数精品PPT课件
（5）乘法对于加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 复数运算的其它结果：
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
复数与复变函数
复数与复变函数
复数和复变函数是数学中非常重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍复数的基本概念、复变函数的定义以及它们在数学中的应用。
复数的基本概念
复数是由实数部分和虚数部分组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i² = -1。
复数的加法、减法、乘法和除法运算遵循一定的规则，例如：- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
复变函数的定义
复变函数是一种将复数映射到复数的函数，可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)的形式，其中u和v是实值函数，x和y分别是复数z的实部和虚部。
复变函数具有连续性、可导性和解析性等性质，例如：
- 如果一个复变函数在某一点连续，则它在该点的邻域内也连续；
- 如果一个复变函数在某一点可导，则它在该点附近也一定可导；
- 如果一个复变函数在某一点解析，则它在该点附近也一定解析。
复数和复变函数的应用
复数和复变函数在许多领域都有广泛的应用，例如：
- 在物理学中，复数被用来描述波动现象、电磁场等物理量；
- 在工程学中，复数被用来分析电路、信号处理等问题；
- 在计算机科学中，复数被用来设计算法、加密通信等技术；
- 在数学中，复变函数被用来研究微分方程、积分方程等问题。
总之，复数和复变函数是数学中非常重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用。
通过学习和掌握这些概念，我们可以更好地理解和应用数学知识来解决实际问题。
《复变函数》第一章 复数和复变函数
第一节 复数及其代数运算
一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考
一、复数的概念
1. 虚数单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数i,
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
2
x2 ( y 1)2 2, 圆方程 x2 ( y 1)2 4.
29
(2) z 2i z 2 表示所有与点 2i 和 2距离相等的点的轨迹. 故方程表示的曲线就是连接点 2i 和 2的线 段的垂直平分线. 设 z x iy, x yi 2i x yi 2, 化简后得 y x. (3) Im(i z ) 4 设 z x iy, i z x (1 y)i, Im(i z ) 1 y 4, 所求曲线方程为 y 3.
x
y
x1 y1
t( x2 t( y2
x1 ) y1 )
参数 t (, ),
所以它的复数形式的参数方程为
z z1 t(z2 z1) 参数 t (, ),
27
故,由 z1 到 z2 的直线段的参数方程为
z z1 t(z2 z1) 0 t 1
若取 t 1 , 2
得线段
z1z2
z1 2 z2 2 2 z1z2 z1 2 z2 2 2 z1 z2 ( z1 z2 )2 , 两边同时开方得 z1 z2 z1 z2 .
26
例6 将通过两点z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直 线用复数形式的方程来表示.
解 通过两点 ( x1, y1 ) 与 ( x2 , y2 )的直线的方程
8
5. 共轭复数的性质:
(1) z1 z2 z1 z2 ;
一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考
一、复数的概念
1. 虚数单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数i,
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
2
x2 ( y 1)2 2, 圆方程 x2 ( y 1)2 4.
29
(2) z 2i z 2 表示所有与点 2i 和 2距离相等的点的轨迹. 故方程表示的曲线就是连接点 2i 和 2的线 段的垂直平分线. 设 z x iy, x yi 2i x yi 2, 化简后得 y x. (3) Im(i z ) 4 设 z x iy, i z x (1 y)i, Im(i z ) 1 y 4, 所求曲线方程为 y 3.
x
y
x1 y1
t( x2 t( y2
x1 ) y1 )
参数 t (, ),
所以它的复数形式的参数方程为
z z1 t(z2 z1) 参数 t (, ),
27
故,由 z1 到 z2 的直线段的参数方程为
z z1 t(z2 z1) 0 t 1
若取 t 1 , 2
得线段
z1z2
z1 2 z2 2 2 z1z2 z1 2 z2 2 2 z1 z2 ( z1 z2 )2 , 两边同时开方得 z1 z2 z1 z2 .
26
例6 将通过两点z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直 线用复数形式的方程来表示.
解 通过两点 ( x1, y1 ) 与 ( x2 , y2 )的直线的方程
8
5. 共轭复数的性质:
(1) z1 z2 z1 z2 ;
课件：第一章：复数与复变函数-第3节
z z0
z z0
z z0
2) lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z) AB
z z0
z z0
z z0
3) lim
f (z)
lim
z z0
f (z)
A ,(B 0)
zz0 g(z) lim g(z) B
z z0
4)
设
lim
z z0
h(
z
)＝h0
,
lim
h h0
f (h)＝A,则
z z0
z z0
4)
若 lim z z0
f (z) A ,则
f (z)在z0的某一去心邻域
内有界.
例1.证明w x2 y i( x y2 )在平面上处处有极限 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2.
求f (z)
z z
z 在z 0时的极限. z
f
(z)
2( x2 y2 ) x2 y2
例8. 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 证明 (1) f (z) arg z在原点没有定义，故不连续。
(2) 在负实轴上, P( x, 0)( x 0) y (z) z
lim arg z
y0
lim arg z
y0
P( x,0)
ox
arg z在负实轴上不连续。
z
则 w u iv (x iy)2 x2 y2 2xyi
w z2 u x2 y2, v 2xy
例2.
若已知
f
(z)
x1
x2
1
y2
iy1
x2
1
y2
将 f (z)表示成z 的函数.
电路理论：第一章 s1,s2复数
1 ni 1) cn 1 ni
2)
cn
(1
i )n 2
3)
cn
(1)n
n
i
1
解： 1）
cn
1 ni 1 ni
1 n2 1 n2
2n 1 n2
i
1 n2
2n
令：an 1 n2 bn 1 n2
且：
lim
n
an
1 n2
lim
n
1
n2
1
lim
n
bn
lim
n
1
2n n2
0
复数项级数
根据数列收敛的充要条件得：cn 收敛，且
无穷大的运算：
( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( 0) 0
不定式： ,0 ,
复数的球面表示
例题
例1 设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2为两个任意复数, 证明: z1 z2 z1z2 2 Re(z1 z2 ).
第一章 复数与复变函数
第一节 复数的几何意义和运算
复数的几何意义
一、复数的几何意义
１、复数的定义：设 x, y 是两个实数，记：i 1 ,则 x iy
通常称为复数.记为：z x iy
2、推广：当 x, y均为常数时，z x iy就称为复常数， 当 x, y 中至少有一个为变量时 z x iy 称为复变数。
iv) z z 2 Re(z), z z 2i Im(z).
（7）、不等式性质
复数的运算
1) Re z z , Im z z
2) z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
（8）、开方
若z r(cos i sin ),则
wk
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3 2i 3 2i 2 3i 2 3i 2 3i 2 3i
6 6 i 4 9 i
2 2 32
结合律
A B C A B C
A B C A B C
交换律 分配律
z x iy z r cos i sin
第一一个具体的Argz，一般求 arg z
复数的三角表示时相等的定义：
r1 cos1 i sin 1 r2 cos2 i sin 2 r1 r2 ,1 2 2k k Z
第3步：验证所得角是否在 判定的象限里
1 3i 10cosarctan3 i sinarctan3
数的由来与发展
零和正整数 负整数
整数 分数
有理数 无理数
实数 虚数
复数
• 数的三重境界
• 第一重境界：看数是数 • 第二重境界：看数是量 • 第三重境界：看数是点
第一章 复数与复变函数
• 什么是函数？
– 1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）。 – 一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何 方式组成的解析表达式。”——欧拉（18世纪） – 在中国清代数学家李善兰（1811—1882）翻译的《 代数学》一书中首次用中文把“function”翻译为“ 函数”，此译名沿用至今。 – 对为什么这样翻译这个概念，书中解释说“凡此变数 中函彼变数者，则此为彼之函数”；这里的“函”是 包含的意思。
A B B A, A B B A
A B C A B A C
什么运算不满足结合律？ 什么运算不满足交换律？
A B C A B C A B C A B C
什么运算不满足分配律？
A . B B . A A B B A A B C A B A C A B C A B A C
z1 z1 z2 z2 z2 z2
x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2
2 2
z2 z2 x y
2 2
z1 z2 x1x2 y1 y2 ix2 y1 x1 y2
复数的除法就是：分子分母同时乘以分母的共轭。
复数的三角表示
z r cos i sin
z 2 cos i sin 2 cos i sin 6 6 6 6 5 5 2 cos i sin 6 6
减法
乘法
2 3i 4 5i 2 4 3 5 i2 5 3 4
23 2i
除法
数与数的计算，要得到一个新的数
z1 x1 iy1
z2 x2 iy2
z1 x1 iy1 x iy x iy 1 1 2 2 z 2 x2 iy2 x2 iy2 x2 iy2
y arctan x
Argz arg z 2k , k Z
怎么求arg z？ 已知两个直角边x和y求斜边和x边的夹角，
用什么函数？ 能直接让argz和arctany/x两个函数相等吗？
z x iy
arg z
y arctan , x 0, y为任意实数 x , x 0, y 0 2 y arctan , x 0, y 0 x y arctan , x 0, y 0 x , x 0, y 0 2
§1.2.1 复数的模与辐角 模
z
Z的辐角：方向角 辐角有无穷多个值
Argz：一般表示（argument）
主辐角：argz
arg z
Argz arg z 2k
k Z
当z 0时， z 0，辐角没有意义
共轭复数
z x iy
z x iy
z z ，arg z arg z
解： 第一步求模
r 1 3i
12 32
10
第二步求主辐角：
第1步：根据x和y的正负号判定 z x iy在哪个象限 x 0，y 0在第三象限 第2步：求出arctany / x，并根据判定的象限求 出arg z，
3 arg 1 3i arctan arctan 3 1
arg 1 i arctan 1 4
第3步：验证所得角是否在 判定的象限里
1 i 2 cos i sin 4 4
9 9 1 i 2 cos i sin 4 4
例1.3 写出复数-1-3i的三角表示式
(3)辐角前后要一致
z 2cos3 i sin 2cos i sin
例1.2 写出复数1+i的三角表示式
解：
第一步求模
r 1 i 12 12 2
第二步求主辐角：
第1步：根据x和y的正负号判定 z x iy在哪个象限 x 0，y 0在第一象限 第2步：求出arctany / x，并根据判定的象限求 出arg z， 1
第一章 复数与复变函数
• §1.1 • §1.2 • §1.3 • §1.4 • §1.5 • §1.6 复数 复数的三角表示 平面点集的一般概念 无穷大与复球面 复变函数 习题一
本章主要内容：
• 一、复变函数的五要素 • 二、复数的两种表示方法、运算及性质
– 一般表示及其四则运算，共轭复数 – 一般表示到三角表示的转换，即求模和辐角 – 三角表示及其乘除法，乘方，开方 – 三角不等式
第一章 复数与复变函数
• 什么是函数？ – 1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素 x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合M 上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元 素y称为因变元。” – 函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。 – 但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示 点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数包 含于映射。 • 函数的五要素 – 自变量 因变量 定义域 值域 对应关系
第三步：验证所得角是 否在判定的象限里
§1.2.2 复数模的三角不等式
z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2
等号成立的充要条件是： z1与z2位于通过原点的同一直线上
§1.2.3 复数的三角表示 z≠0，r是z的模，θ 是z的任意一个辐角 复数的三角表示： z r cos i sin 如何把一般表示化成三角表示：
z 2 sin i cos 2 cos i sin 6 6 3 3 z 2 cos i sin 2 cos i sin 6 6 6 6
特别注意: 复数的三角表示 z r cos i sin (1)模一定是正实数
5 z 2 cos i sin 2 cos 6 6 6 (2)角一定是辐角
5 i sin 6
（z≠0且不为负实数） 负实数
-y
x-iy
arg z arg z π
如何把一般表示转化成三角表示？
z x iy
x z cos Argz, y z sin Argz
z r cos i sin
第一步：根据一般表示的实部和虚部求模
z x2 y2
第二步：根据一般表示的实部和虚部求辐角
复数相等
什么叫相等？ A=B 怎么证明 A=B？
A-B=0 证明A-B=0
A B
共轭复数
z x iy
z x iy
z z
共轭复数的几个运算性质
z1 z2 z1 z2
z1 z1 z z 2 2
z1 z2 z1 z2
数学是什么
• 数学是研究现实世界中的数量关系与空间 形式的一门学科。 • 数学是数和形的学问， • 形就是几何，数就是代数。 • 数学是关于模式和秩序的科学。 • 数学是上帝的语言，是连接上帝与科学的 桥梁。
我们为啥学习数学？ 1、数学是重要的工具 2、数学是思维的体操 3、数学影响我们的生活
数学是盐，所以，它将自己融化在生活的水里，让人 们很难一眼看出它的存在，但是细细品味和体会，数学又 是无处不在的，它对于生活的各个方面都有潜在的影响， 当然，这种影响是用思维来实现的。
A B B A, A B B A
复数加法满足结合律与交换律; 复数乘法也满足结合律与交换律; 加法与乘法满足分配律。
§1.1 复数
§1.1.3 复平面
§1.2 复数的三角表示
• 1、有了一般表示为什么还要三角表示？ • 2、表示一个复数，需要几个独立量，一般 表示和三角表示的独立量分别是什么？ • 3、两种表示方式唯一不？ • 4、两种表示方式如何互换？（重点） • 5、三角表示的优势体现。
z 2 sin i cos 2 cos i sin 6 6 3 3 2cos i sin z 2 cos i sin 6 6 6 6 2 cos i sin 6 6 z 2cos3 i sin 2cos i sin
ez e z
2 2
z 2 0
z z x2 y 2 Re z Im z
1 1 Re z z z , Im z zz 2 2i