§2-8_二次函数与一元二次方程(2)一元二次方程的图象解法
《二次函数的图像与一元二次方程》
《二次函数的图像与一元二次方程》汇报人：2023-12-13•二次函数图像的基本概念•二次函数图像的特性•一元二次方程的解法目录•二次函数与一元二次方程的关系•实际应用案例01二次函数图像的基本概念二次函数顶点对称轴开口方向定义与性质01020304一般形式为$y = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$。
二次函数图像的最低点或最高点，坐标为$(-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a}))$。
二次函数图像的垂直平分线，方程为$x = -\frac{b}{2a}$。
由$a$的正负决定，$a > 0$时向上开口，$a < 0$时向下开口。
在坐标系上标出若干个点，用平滑的曲线连接这些点。
描点法配方法函数计算器法将二次函数化为顶点式，确定顶点和对称轴，再根据开口方向绘制图像。
使用函数计算器计算二次函数的值，在坐标系上标出这些点，再用平滑的曲线连接。
030201图像的绘制方法将二次函数图像沿$x$轴平移，左加右减。
例如，$y = ax^2 + bx + c$向左平移$m$个单位得到$y = a(x+m)^2 + bx + c$。
横向平移将二次函数图像沿$y$轴平移，上加下减。
例如，$y = ax^2 + bx + c$向上平移$n$个单位得到$y = ax^2 + bx + c+n$。
纵向平移图像的变换与平移02二次函数图像的特性总结词：开口方向详细描述：二次函数$y=ax^2+bx+c$的开口方向由系数a决定。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
开口方向与a的关系顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴详细描述二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a})$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。
判别式与图像交点总结词判别式与图像交点详细描述判别式$\Delta=b^2-4ac$用于判断一元二次方程的根的情况。
二次函数与一元二次方程的关系课件
有两个解 有1个解 没有解
△>0 △=0 △<0
y
y
y
x1 x2
O x0
O A Bx
AxO
x
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程axBiblioteka +bx+c=0的根关系
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
和x轴的交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的
y
方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2
与A、B的坐标有什么联系？
1
2x
结论：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。
二、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数
y ax2 bx c
一元二次方程 令y=0
ax2+bx+c=0
根的判断 △=b2-4ac
与x轴的两个交点 与x轴的1个交点 与x轴的没有交点
判别式Δ=b2-4ac
有两个交点 有两个相异的实数根 b2-4ac>0
有一个交点 有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2-4ac = 0 b2-4ac<0
三、基础训练
例1、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相
交，求出交点的坐标。 （2）y=-3x2+5x-2
解：a= -3, b= 5, c= -2
（1）y=6x2-2x+1
Δ= b2-4ac
解：a= 6, b=-2, c=1. Δ= b2-4ac
= 52 -4×(-3)×(-2) = 25 -24 = 1 >0
用 二次函数图像解法一元二次方程
图15－3
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
解
析
由抛物线开口向上，得到a大于0，再由对称轴
在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b小于0.又抛物线与 y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项
①错误；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2
－4ac大于0，选项③错误；由x＝2时对应的函数值大于 0，将x＝2代入抛物线解析式可得出4a＋2b＋c大于0， 得到选项④正确，最后由对称轴为直线x＝1，利用对称 轴公式得到b＝－2a，得选项②正确，所以正确结论的
图15－1
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
[注意] 确定抛物线平移后的解析式最好利用 顶点式，利用顶点的平移来研究图象的平移．
考点聚焦
归类探究
回归教材Βιβλιοθήκη 中考预测第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
归 类 探 究
探究一 二次函数与一元二次方程 命题角度： 1．二次函数与一元二次方程之间的关系； 2．图象法解一元二次方程； 3．二次函数与不等式(组)． 例1 [2013· 苏州] 已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的 图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程 x2－3x＋m＝0的两实数根是( B ) A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
二次函数的图象与性质(二)
第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
考 点 聚 焦
考点1 二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y＝ax2 ＋bx＋c与x轴 的交点个数 2个 1个 没有
判别式Δ＝b2－ 4ac 的符号 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
2二次函数与一元二次方程课件
22.2 二次函数与一元二次方程
讲授新课 （3）球的飞行高度能否到达20.5m？如果能，需
要多少飞行时间？
20.5 h h=20t-5t2
解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
O
t
你能结合图形指出为 什么球不能到达20.5m 的高度?
（3）确定方程2x2+x-15=0的解; 由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3，x2≈2.5.
22.2 二次函数与一元二次方程
例4
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次
方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( B)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 解析：由D图．象x1可≈－得3二，次x2≈函1数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－
的方法叫作图象法.
22.2 二次函数与一元二次方程
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知， 方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
22.2 二次函数与一元二次方程
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根 是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；
又∵对称轴为x＝－1，则
x1 x2 2
＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝
－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.
22.2 二次函数与一元二次方程
方法总结
二次函数与一元二次方程课件PPT
知识点一
知识点二
知识点二用图象法求一元二次方程的近似解
用图象法求一元二次方程的近似解的基本步骤:
(1)画出二次函数的图象;
(2)确定抛物线与x轴交点的个数;
(3)确定数值,即确定抛物线与x轴交点的横坐标的近似值;
(4)写出方程的解,即根据交点的情况和数值写出一元二次方程的
近似解(或根).
名师解读:由于图象法准确度有限,所以求得的结果是一元二次
D.x<-1或x>4
解析:求y>0时x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时
对应的x的范围,根据图象可得x的范围是x<-1或x>3.
答案:C
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
解决这类问题,要注意数形结合思想的应用,理解求y>0时
x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时对应的
x的范围是关键.解不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0时,找
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公
共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程
ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等实数根,有两
个不等实数根.
知识点一
知识点二
名师解读:二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的
由图象可知抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别在-4和-3,1和2
之间,也就是方程x2+2x-5=0有两个根,一个在-4和-3之间,另一个在1
和2之间.
二次函数与一元二次方程、不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(一)教材梳理填空(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0.(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x ＜x 1， 或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}∅∅(二)基本知能小试 1．判断正误(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( )(2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R.( ) 2．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 B ．{x |x >1} C ．{x |x <1或x >2} D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 3．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( )A ．{x |x <－1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >32C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32 4．若不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为________，________.题型一 一元二次不等式的解法[学透用活][典例1] 解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6＜0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3＞0； (4)－4x 2＋4x －1＞0.[对点练清]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}2．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥92B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－92≤x ≤1 3．解不等式：－2<x 2－3x ≤10.题型二 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系[学透用活][典例2] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[对点练清]1．[变结论]本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．[变条件]若将本例的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．题型三一元二次不等式的实际应用[学透用活][典例3]某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[对点练清]1．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t ∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的范围为________．2．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x ＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列不等式：①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．不等式－x 2－5x ＋6≥0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}3．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 4．若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________． 5．若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 二、创新应用题6．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0.[课下双层级演练过关]A 级——学考水平达标练1．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．{x |x ≥3}D ．{x |0<x ≤2或x ≥3} 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 6．要使17－6x －x 2有意义，则x 的解集为________．7．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________． 8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________. 9．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0; (3)－2x 2＋3x －2<0; (4)－12x 2＋3x －5>0.10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？B级——高考水平高分练1．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是________．2．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．3．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.4．某小商品在2018年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2019年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y与实际价格x的关系式；(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%?5．某热带风暴中心B 位于海港城市A 东偏南30°的方向，与A 市相距400 km.该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？习题课(提升关键能力) 一元二次函数、方程和不等式高频考点一|比较大小[例1] (1)已知a, b 满足等式x ＝a 2＋b 2＋20, y ＝4(2b －a ), 则x, y 满足的大小关系是( )A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x <yD ．x >y (2)对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A.ab 2＜1a ＋1b B ．ab ≤a 2＋b 22 C ．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D.⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(3)若角α，β满足－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，则2α＋β的取值范围是( )A ．－π<2α＋β<0B ．－π<2α＋β<πC ．－3π2<2α＋β<π2D ．－3π2<2α＋β<3π2[集训冲关]1．若a >b ，x >y ，下列不等式正确的是( )A ．a ＋x <b ＋yB ．ax >byC ．|a |x ≥|a |yD ．(a －b )x <(a －b )y 2．已知a ＋b <0，且a >0，则( )A ．a 2<－ab <b 2B ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<b 2<－abD ．－ab <b 2<a 23．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b4．已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小．高频考点二|基本不等式及应用[例2] (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________. (3)某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105(x －40)2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？[集训冲关]1.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．设a ＞0，若对于任意的正数m ，n ，都有m ＋n ＝8，则满足1a ≤1m ＋4n ＋1的a 的取值范围是________．3．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位 m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为____辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求2x ＋y 的最小值．高频考点三|一元二次不等式及其应用[例3] (1)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.(2)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． ①要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围；②要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[集训冲关]1．若不等式－x 2＋mx －1＞0有解，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <32．关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2}，且x 2－x 1＝52， 则a 的值为( )A ．－ 5B ．－32C ．－ 2D ．－523．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？高频考点四|一元二次函数、方程和不等式[例4] 若不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[集训冲关]1．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________．2．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B2．设集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2} D ．{x |2<x <3}3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <－14，则a ＋b 等于( ) A ．－18 B ．8 C ．－13 D ．15．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≥2 C ．a ≥3D ．a ≤36.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 7．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．{a |－2<a ≤2} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |a <－2或a >2}D ．{a |a ≤－2或a >2}8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定二、填空题 9．若a ＜b ＜0，则1a －b与1a 的大小关系为________． 10．已知x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．11．关于x 的不等式ax －b >0的解集是{x |x >1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集是________．12．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13. 当x >3时，求2x 2x －3的取值范围．14．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.15．已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，求1a －1＋9b －1的最小值．16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉， 试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)。
二次函数与一元二次方程(2)一元二次方程的图象解法
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近 似根.
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
一元二次方程的图象解法
(1).用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象； (2).观察估计二次函数y=3x2-x-1的图象与x 轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分 别约为-0.4和0.8(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值). (3).确定方程3x2-x-1=0的解;
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x-1=0的近 似根.
由此可知,方程3x2-x-1=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.
结束寄语
•
不知道并不可怕和有害, 任何人都不可能什么都知 道,可怕的和有害的是不 知道而伪装知道.
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的 近似根.
由此可知,方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
一元二次方程的图象解法
(1).用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象； (2).观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与 x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为3 和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确 定其近似值). (3).确定方程2x2+x-15=0的解;
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
二次函数与一元二次方程ppt课件
在Rt△AQF中,
AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,
BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,
∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2).
数学
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(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
一个交点的横坐标为1,则另一个交点的横坐标为
A.-1
B.-2
C.2
D.3
D(
)
数学
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2.抛物线y=x2+4x+5-m与x轴有两个不同的交点,则m的取值
范
(
围
)
A.m<-1
B.0<m≤1
C.m<1
D.m>1
D
是
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3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x
∴两个交点之间的距离为1-(-3)=4,故选C.
答案:C
数学
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▶▶ 对应练习
1.抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为 ( B
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
)
数学
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2.已知二次函数y=(m-1)x2+3x-1与x轴有交点,则m的取值范
D
围是
(
)
5
A.m>4
5
C.m>- 且m≠1
A,B,∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0),
《二次函数与一元二次方程的关系》ppt课件
结论和要点
通过本课件，我们了解到二次函数与一元二次方程之间的密切关系，以及它们在实际应用中的重 要性和用途。
密切关系
二次函数与一元二次方程存在密切的对应关系。
实际应用
二次函数与一元二次方程在建筑设计、汽车行驶路程、项目成本控制等实际应用中发挥重要 作用。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程是密切相关的，通过二次函数的系数可以求解一元二次方程的根，反之亦然。
1
系数的求解
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式。
2
根的求解
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根。
3
相互转换
二次函数与一元二次方程可以相互转换，实现从函数到方程的求解和从方程到函数的绘 图。
如何由一元二次方程求解二次函数的 系数
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式，具体步骤包括：
1 步骤一
找出一元二次方程的a、b、c。
2 步骤二
将a、b、c代入二次函数的表达式。
3 步骤三
得到二次函数的形式。
如何由二次函数求解一元二次方程的 根
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根，具体步骤包括：
1 步骤一
观察二次函数的图像。2 Leabharlann 骤二根据图像找到方程的根。
实际应用中的例子
二次函数与一元二次方程在实际应用中有广泛的应用，例如：
建筑设计
二次函数的抛物线形状可以用于 建筑设计中的拱形结构。
汽车行驶路程
通过二次函数的图像可以预测汽 车行驶的路程。
项目成本控制
通过二次函数的图像可以进行项 目成本的控制和优化。
《二次函数与一元二次方 程的关系》
本课件将介绍二次函数与一元二次方程之间的关系，包括定义与图像、基本 形式、系数的求解、根的求解、实际应用的例子以及结论和要点。
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
初三数学最新课件-§28二次函数与一元二次方程(2)一元二次方程的图象解法 精品
(3).确定方程2x2+x-15=0的解;
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
做一做P70 1
一元二次方程的图象解法
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x-1=0的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象； (2).观察估计二次函数y=3x2-x-1的图象与x 轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分 别约为-0.4和0.8(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值).
一元二次方程的图象解法
驶向胜利 的彼岸
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象； (2). 作直线y=3； (2).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y横坐标一 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约 为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计 算器确定其近似值).
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分 别约为-4.3和2.3(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值,详见课本).
(3).确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
做一做P64 1
(3).确定方程3x2-x-1=0的解;
二次函数与一元二次方程 ppt课件
②我们也可以利用函数图象来思考，认为是
20.5 h
在求直线h=20.5和h=20t-5t2的交点问题，将
O
t
直线h=20.5画出来，即可得出t.
如图所示，最高点纵坐标正好为20，那么直 线h=20.5和二次函数h=20t-5t2没有交点，因 为小球飞行轨迹在2S(顶点横坐标)时，达到 最大高度(最大值)，不会再有比20m还高的
归纳
从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可得如下结论
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴公共点的横 坐标是x0
当x=x0时 ，函数 y=ax2+bx+c 的值 y=0
x=x0是方程 ax2+bx+c = 0的一 个根
问题6 不画图象，你能确定二次函数的解析式、图象与x轴的公共点个数吗？
∆ = b2-4ac
图中代表最高的点距地面是否大于或等于15m 二次函数最高点的纵坐标是否大于或等于15
思路点拨：高度为15 m， 即在函数h=20t-5t2中， 令h=15
①解：解方程 15=20t-5t2， t 2-4t+3=0, t1=1，t2=3.
∴当球飞行 1s 或 3s 时，它的高度为15m.
②我们也可以利用函数图象来思考，认为是在
解：补全图象得：
方程ax2 + bx＋c = 1的根就是抛物线 y = ax2 + bx
＋c与直线y=1的公共点的横坐标.
y=1
由图可得有两个不同的交点，所以有两个不相
等的实数根
例1. 已知二次函数 y = ax2 + bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示． (2) 方程ax2 + bx＋c = k没有实数根，则k的取值范围是多少？
九年级数学下册第二章二次函数8二次函数与一元二次方程习题课件北师大版20222220416
x
…
y
…
0.1 0.24
0.2
…
-0.44
…
x
…
y
…
1.8 -0.44
1.9
…
0.24
…
由图象可知方程的近似根是x1=0.1,x2=1.9.
第十五页，编辑于星期六：七点 十分。
【总结提升】求一元二次方程近似根的“四步法”
第十六页，编辑于星期六：七点 十分。
题组一:二次函数与一元二次方程的关系 1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是 ( )
第三十页，编辑于星期六：七点 十分。
3.对于二次函数y=x2+6x+1,当x=-5.8时,y=-0.16<0;当
x=-5.9时,y=0.41>0.那么方程x2+6x+1=0的一个根的近
似值是
.(精确到0.1)
【解析】因为y=x2+6x+1的对称轴是x=-3,且当x=-5.8时,
y=-0.16<0;当x=-5.9时,y=0.41>0.所以方程x2+6x+1=0的
=0(a≠0)的关系.
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
交点的个数
的根的情况
2
__两__个_不__等__实__数_根___
1
__两_个__相__等__实__数__根__
0
__无_实__数__根__
第三页，编辑于星期六：七点 十分。
2.一元二次方程的图象解法. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的____横__坐_标就 是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的___. 根
《二次函数与一元二次方程》知识点解读
《二次函数与一元二次方程》知识点解读知识点一：二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系十分密切，历来是数学中考的必考内容之一.同学们应学会熟练地将这两部分知识相互转化.二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 从形式上看十分相似，两者之间既有联系又有区别.当抛物线c bx ax y ++=2的y 的值为0时，就得到一元二次方程02=++c bx ax .抛物线与x 轴是否有交点就取决于一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况.当ac b 42->0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实数根；当ac b 42-=0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴的只有一个交点，此交点的横坐标是方程的根；当ac b 42-<0时，方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点.下面分析几个实例，供同学们参考.例1 求抛物线4832+-=x x y 与x 轴的两个交点.分析：可令y=0，根据04832=+-x x 的根来确定抛物线与x 轴的交点的横坐标.解：令y=0，则04832=+-x x 解方程得：2,3221==x x ∴抛物线4832+-=x x y 与x 轴的两个交点坐标为)0,32(，（2，0） 例2 已知二次函数142-++=k x x y（1） 若抛物线与x 轴有两个不同的交点，求k 的取值范围.（2） 若抛物线的顶点在x 轴上，求k 的取值.分析：此题的关键是利用二次函数与一元二次方程的关系来解，当抛物线与x 轴有两个不同的交点，可利用ac b 42->0来确定k 的取值范围.当抛物线的顶点在x 轴上，说明抛物线与x 轴只有有一个的交点，可利用ac b 42-=0来确定k 的取值.解：在一元二次方程0142=-++k x x 中，（1）△=04204416)1442>-=+-=--k k k （∴当k<5时，抛物线与x 轴有两个不同的交点.（2）△=0420=-k∴k=5时，抛物线的顶点在x 轴上.例3 已知抛物线m mx x y 222--=的图象与x 轴有两个交点为),0,(1x )0,(2x ，且52221=+x x ，求m 的值. 分析：令y=0，则0222=--m mx x ，可利用一元二次方程根与系数的关系来解.解：令y=0，则0222=--m mx x 根据根与系数的关系得：221m x x =+，m x x -=⋅21 524)(2)2(2)(22212212221=+=-⋅-=-+=+m m m m x x x x x x 02082=-+m m ∴2,1021=-=m m当101-=m 时，得方程01052=++x x ，而△=0254025101452<-=-=⨯⨯-当21=m 时，得方程022=--x x ，而△=0981)2(14)1(2>=+=-⨯⨯-- ∴2=m说明：此题求出m 的值后，必须检验一元二次方程的△的取值，因为若△<0，方程无解，抛物线与x 轴也无交点.知识点二：一元二次方程的图象解法方法一：直接画出函数y=ax 2+bx+c 的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c=0的根.其步骤一般为：（1）作出二次函数y=ax 2+bx+c 的图象；（2）观察图象与x 轴交点的个数；（3）若图象与x 轴有交点，估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根.方法二：先将方程变形为ax 2+bx=-c ，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax 2+bx 和直线y=-c 的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.方法三：可将方程化为a c x a b x ++2=0，移项后为a c x a b x --=2.设y=x 2和y=a c x a b --，在同一坐标系中画出抛物线y=x 2和直线y=ac x a b --的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.这种方法显然要比方法一快捷得多，因为画抛物线远比画直线困难得多.。
专题05 二次函数与一元二次方程、不等式(解析版)
目录不等关系与不等式 ................................................................................................. 错误!未定义书签。
考点1：二次函数与一元二次方程、不等式 (2)考点2：一元二次不等式在实际问题中的应用 (9)专题05 二次函数与一元二次方程、不等式考点1：二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅题型1：解不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)－x2＋5x－6>0；(2)3x2＋5x－2≥0；(3)x2－4x＋5>0.解(1)不等式可化为x2－5x＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .变式 解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0； (2)－x 2＋6x －10>0.解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.题型2：三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围． 解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512. 所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .变式 已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤1.题型3：含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}． (2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a<x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >2.变式 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集； (2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集． 解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0⇔⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )≤0， ①当0<a <1时，a <1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ≤x ≤1a ； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1a ≤x ≤a . 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a ≤x ≤1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a≤x ≤a .考点1：练习题1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎫x －1m <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m <x <m B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1m 或x <m C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >m 或x <1m D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m 答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}答案 C解析 由题意知－2＋3＝－b a ，－2×3＝ca ，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0， 又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0， ∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．－25 D ．10 答案 B解析 由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根， ∴－1＋3＝b 5，－3＝c5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2} C ．{m |m <－2或m >2} D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ， ∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B. 6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________． 答案 {2}解析 原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2. 7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________． 答案 {x |－4<x <1}解析 易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________． 答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． 解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝{x |－1<x <3}． 由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎨⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0， 若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.11．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1. 其中解集为R 的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C解析 ①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ； ③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C. 12．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－2或x >1} D ．{x |－1<x <2}答案 B解析 根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)， 又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是{x |－2<x <1}．13．若关于x 的方程(a －2)x 2－2(a －2)x ＋1＝0无实数解，则a 的取值范围是________． 答案 2≤a <3解析 若a －2＝0，即a ＝2时，原方程为1＝0不合题意， ∴a ＝2满足条件，若a －2≠0，则Δ＝4(a －2)2－4(a －2)<0， 解得2<a <3，综上有a 的取值范围是2≤a <3.14．已知不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对∀x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 {a |－1≤a ≤4}解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥a 2－3a 恒成立，∴a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0， ∴(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.考点2：等式性质与不等式性质知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1．理解题意，搞清量与量之间的关系；2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． 3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．题型1：分式不等式的解法例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52.(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4.变式 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12， ∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.题型2：一元二次不等式的实际应用例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出降税后税收y (万元)与x 的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)．依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2.又因为0<x <10，所以0<x ≤2.即x 的取值范围为{x |0<x ≤2}．变式 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x 5万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？解 (1)设每件定价为t 元，依题意得⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意得当x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋x 5有解， 等价于当x >25时，a ≥150x ＋x 6＋15有解． 由于150x ＋x 6≥2150x ·x 6＝10，当且仅当150x ＝x 6，即x ＝30时等号成立， 所以a ≥10.2.故当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．考点2：练习题1．不等式3x －12－x≥1的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 答案 B解析 不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x－1≥0， 即x －34x －2≤0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －34≥0，x －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －34≤0，x －2>0， 解得34≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2， 故选B.2．与不等式x －32－x≥0同解的不等式是( ) A ．(x －3)(2－x )≥0B ．0<x －2≤1 C.2－x x －3≥0 D ．(x －3)(2－x )>0答案 B解析 解不等式x －32－x≥0，得2<x ≤3， A ．不等式(x －3)(2－x )≥0的解是2≤x ≤3，故不正确．B ．不等式0<x －2≤1的解是2<x ≤3，故正确．C ．不等式2－x x －3≥0的解是2≤x <3，故不正确． D ．不等式(x －3)(2－x )>0的解是2<x <3，故不正确．故选B.3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >1或x <－2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >2或x <－1}D ．{x |－1<x <2}答案 C解析 x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∵ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0，故ax ＋b x －2＝a (x ＋1)x －2>0， 等价为(x ＋1)(x －2)>0.∴x >2或x <－1.4．已知不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1} 答案 A解析 由题意知，原不等式可化为－(x －2)2＋4≥a 2－3a 在R 上有解，∴a 2－3a ≤4，即(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4，故选A.5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x (单位：元)的取值范围是( )A ．{x |10≤x <16}B ．{x |12≤x <18}C ．{x |15<x <20}D ．{x |10≤x <20} 答案 C解析 设这批台灯的销售单价为x 元，则[30－(x －15)×2]x >400，即x 2－30x ＋200<0，∴10<x <20，又∵x >15，∴15<x <20.故选C.6．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2a ＋b x ＋c >bx 的解集为________．答案 {x |x <0}解析 由题意知，－1,2为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－2a 且a <0， ∴不等式2a ＋b x ＋c >bx 可化为a x－2a >－ax ， ∵a <0，即1x －2<－x ，即(x －1)2x<0， ∴x <0.7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．答案 {x |100<x <400}解析 5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%， 解得x 的取值范围是{x |100<x <400}．8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m ，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.答案 80解析 根据题意，得118x ＋1180x 2≥40. 移项整理，得x 2＋10x －7 200≥0.显然Δ>0，x 2＋10x －7 200＝0有两个实数根，即x 1＝80，x 2＝－90，然后，根据二次函数y ＝x 2＋10x －7 200的图象(图略)，得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}．在这个实际问题中，x >0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.9．解关于x 的不等式a －x x ＋1>0(a ∈R )． 解 原不等式可化为x －a x ＋1<0， 即(x ＋1)(x －a )<0，①当a ＝－1时，x ∈∅；②当a >－1时，{x |－1<x <a }；③当a <－1时，{x |a <x <－1}．综上，a ＝－1时，不等式的解集为∅，a >－1时，不等式的解集为{x |－1<x <a }，a <－1时，不等式的解集为{x |a <x <－1}．10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(12－10)×10 000>0，0<x <1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1， 解得0<x <13， 所以投入成本增加的比例x 应在0<x <13的范围内． 11．不等式x 2－x －2x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >－1且x ≠2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |x <－1或x >2} 答案 A解析 原不等式可化为(x －2)(x ＋1)x －2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －2≠0，∴x >－1且x ≠2.故选A. 12．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1a <x <1b C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >1bD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1b <x <0或0<x <1a 答案 A解析 原不等式可化为⎩⎨⎧1x >－b ，1x <a ，即⎩⎨⎧ bx ＋1x >0，ax －1x >0， 可得⎩⎨⎧ x <－1b 或x >0，x <0或x >1a ， 故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a . 13．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( ) A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．14．在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.这次事故的主要责任方为________．答案 乙车解析 由题意列出不等式s 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10.分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30.x 乙<－50或x 乙>40.由于x >0，从而得x 甲>30 km /h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．。
《二次函数的图像与一元二次方程》课件二次函数的图像与一元二次方程
02
通过解一元二次方程，可以找到抛物线与x轴的交点，进而确定
函数图像与坐标轴的交点。
判断函数图像的对称性
03
一元二次方程的对称性和抛物线图像的对称性密切相关，可以
通过方程的性质判断图像的对称性。
二次函数图像与一元二次方程在实际问题中的应用
解决几何问题
在几何问题中，经常需要 利用二次函数图像和一元 二次方程来解决面积、体 积和角度等问题。
《二次函数的图像与一元二 次方程》课件二次函数的图 像与一元二次方程
汇报人： 2023-12-23
目录
• 二次函数图像的基本概念 • 一元二次方程的基本概念 • 二次函数图像与一元二次方程
的关系 Байду номын сангаас 实际应用案例分析
01
二次函数图像的基本概念
二次函数图像的形状
01
02
03
开口方向
根据二次项系数a的正负 判断，a>0向上开口， a<0向下开口。
公式法是通过一元二次方程的根 的公式来求解，即 $x = frac{-b
pm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
因式分解法是将一元二次方程化 为两个一次方程，然后求解。
一元二次方程的根的性质
01
02
03
04
一元二次方程的根的性质包括 根的和、根的积和判别式。
根的和是指方程的两个根的和 等于方程的一次项系数除以二 次项系数所得的商的相反数。
实例
例如，在建筑设计中，需要计算支撑结构的受力分布，可以利用一元二次方程来求解。同 时，通过绘制二次函数图像，可以直观地观察到受力分布的情况，有助于更好地进行结构 设计。
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二次函数与一元二次方程、不等式+课件——2025届高三数学一轮复习
（2）解关于x的不等式:ax 2 − 2x + a < 0 a ∈ .
【解析】若a = 0，则原不等式为−2x < 0，故解集为{x|x > 0}.
（【明易错】不要忽略对二次项系数为0的讨论）
若a ≠ 0，Δ = 4 − 4a2 .
①若a > 0，
2
当Δ > 0,即0 < a < 1时，方程ax − 2x + a = 0的两根为x1 =
若a > 1，则不等式的解为1 < x < a；
若0 < a < 1，则不等式的解为a < x < 1；
若a = 1，则不等式化为 x − 1
2
< 0，其解集为⌀ .
当a < 0时，原不等式等价于 x − 1 x − a > 0，解得x < a或x > 1.
综上，当a > 1时，不等式的解集为{x|1 < x < a}；
1
2
式的解集为{x|x > − 或x < −3}.
（2）−x 2 + 8x − 3 > 0；
【解析】因为Δ = 82 − 4 × −1 × −3 = 52 > 0，所以方程−x 2 + 8x − 3 = 0有两
个不等实根x1 = 4 − 13，x2 = 4 + 13.又二次函数y = −x 2 + 8x − 3的图象开口向
（【警示】注意换元后新元的范围）
则不等式可化为t 2 + 3t − 10 < 0,解得−5 < t < 2，
又t ≥ 0,∴ 0 ≤ t < 2,即0 ≤ x 2 < 2,∴ − 2 < x < 2．
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的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分 别约为-0.2和2.2(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值). (3).确定方程－2x2+4x+1=0的近似根;
方程－2x2+4x+1=0的近似根为: x1≈－0.2, x2≈2.2.
(4).列表格确定方程x2+2x-10=3的近 似解．
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
利用二次函数的图象求一元二次方程－2x2+4x+1=0的 近似根.
解答步骤：
(1).用描点法作二次函数y=－2x2+4x+1的图象； (2).观察估计二次函数y=－2x2+4x+1
因此， x=2.3是方程的另一个近似根．
利用二次函数的图象求一元二次方程 x2+2x-10=3的近似根. 解答步骤：
(1).用描点法作二次函数 y=x2+2x-10的图象； (2). 作直线y=3； (3).观察估计抛物线y=x2+2x-10 和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个 在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为 -4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算 器确定其近似值).
由此可知,方程3x2-x-1=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
• 3. 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的 高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－ x2＋10x． 5 • （1）经过_____ s ，炮弹达到它的最高点，最 25 10 高点的高度是_____ m ．（2）经过_____ s ， 炮弹落在地上爆炸． • 4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数 横 y=ax2+bx+c 与_____交点的____坐标。 ｘ轴 • 5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数 y= h y=ax2+bx+c 与直线_________交点的_________ 横 坐标 .
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一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图像求一元二次方程3x2-x-1=0的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象； (2).观察估计二次函数y=3x2-x-1的图象与x 轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分 别约为-0.4和0.8(可将单位长再十等分,借 助计算器确定其近似值). (3).确定方程3x2-x-1=0的解;
二次函数与 一元二次方程（２）
利用二次函数图象估计 一元二次方程的近似根
• 1. 抛物线y=ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12， 0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式 1 y x x 12 ______
2
• 2．若a＜0，b＞0，c ＜ 0，△＜0，那么抛物线 y=ax2＋bx＋c经过 三、四 象限．
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一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图像求一元二次方程2x2+x-15=0的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象 ； (2).观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象 与x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横 坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为 3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确 定其近似值). (3).确定方程2x2+x-15=二次函数的图象估计一元二次方程 x2+2x-10=0的根吗？
观察图象，估计二次函数y=x2+2x-10 的图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点, 说明方程x2+2x-10=0有两个根，其中 一个在-5与-4之间,另一个在2与3之 间,分别约为-4.3和2.3 (可将单位 长再十等分,借助计算器确定其近似 值,详见课本).
(1) 先求－5和－4之间的根．利用计算器进行探索：
x y
－4.1 －1.39
－4.2 －0.76
－4.3 －0.11
－4.4 0.56
因此， x=－4.3是方程的一个近似根 (之所以取 x=－4.3 作为方程的一个近似根而不取 x=－4.4， 是因为当 x=－4.3时其函数值更接近于0 )
(2) 另一个在 2 和 3 之间的根可以类似地求出： x y 2.1 －1.39 2.2 －0.76 2.3 －0.11 2.4 0.56