直角三角形(一)教学设计

第一章三角形的证明
2．直角三角形（一）
李鹏霞
教学目标
1．知识目标：
（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．
2．能力目标：
（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．
教学重点
①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．
②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命
题不一定成立．
教学难点
勾股定理及其逆定理的证明方法．
教学过程
1：创设情境，导入新课
提问：“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”
提示：从角的角度和边的角度去考虑。

学生思考回答。

（1）直角三角形两锐角互余。

（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如何证明它们呢？
2：合作探究，理解新知
对于（1），让学生口述证明。

（2）．勾股定理及其逆定理的证明．
已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ． 求证：a 2+b 2＝c 2．
证明：延长CB 至D ，使BD ＝b ，作∠EBD ＝∠A ，并取BE ＝c ，连接ED 、AE(如图)，则△ABC ≌△BED ．
∴∠BDE ＝90°，ED ＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)． ∴四边形ACDE 是直角梯形．
∴S 梯形ACDE ＝12 (a+b)(a+b) ＝ 1
2 (a+b)2．
∴∠ABE ＝180°－(∠ABC ＋∠EBD)＝180°－90°＝90°， AB ＝BE ． ∴S △ABE ＝12 c 2
∵S 梯形ACDE ＝S △ABE +S △ABC +S △BED ， ∴12 (a+b) 2＝ 12 c 2 + 12 ab + 1
2 ab, 即12 a 2 + ab + 12 b 2＝1
2 c 2 + ab, ∴a 2+b 2＝c 2
教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调．具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?
师生共同来完成．
已知：如图：在△ABC 中，AB 2+AC 2＝BC 2 求证：△ABC 是直角三角形．
分析：要从边的关系，推出∠A ＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC 与一个直角三角形全等，而得到∠A 与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．
证明：作R t △A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB ，A′C′、AC(如图)， 则A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)． ∵AB 2＋AC 2＝BC 2，A′B′＝AB ，A′C′ ∴BC 2＝B′C′2
C
A B
c
b E
D
C
A
B a A
B
'
A
∴BC＝B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形．
总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
（2）．互逆命题和互逆定理．
观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?
通过观察，学生会发现：
上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．
这样的情况，在前面也曾遇到过．例如“两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”．又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”。

议一议
观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。

让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。

活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。

活动时可以先让学生观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等．
如果两个角相等，那么它们是对顶角．
如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．
三角形中相等的边所对的角相等．
三角形中相等的角所对的边相等．
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．
不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．
再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?
在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．
由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．
想一想
要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．
请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗？
从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明。

如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.
其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理．
能举例说出我们已学过的互逆定理?
如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等．
3：深化知识，学以致用
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，内旁内角互补；
(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0
[分析]互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为正．
(3)如果a＝0，6＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．
4：归纳小结，反思升华
这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力．
5：布置作业，巩固提高
习题1．5第1、2、3、4题
教学反思
学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导。

使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性．另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距。

所以作为教师一定不能急躁，要本着以学生为本的目的，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.。