1.1.2余弦定理上课用

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1.1.2余弦定理教学设计

人教版数学(shùxué)必修5 §1.1.2余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)的教学设计(shèjì)一、教学(jiāo xué)目标解析1、使学生掌握余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。

3、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法，从而培养学生的发散思维。

4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。

二、教学问题诊断分析1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。

所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。

2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。

如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。

3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。

三、教学支持条件分析为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。

1.1.2余弦定理教学设计新部编版

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校1.1.2 余弦定理第一课时一、教材分析“余弦定理”是高中课程实验教科书（必修5）第一章“解三角形”的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

本节课是“余弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。

“余弦定理”是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，也因此成为是高考的必考内容之一。

分数所占比例在15%左右，主要以选择题和一个解答题形式出现。

因此，余弦定理的知识非常重要。

本节课是“余弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明余弦定理。

这堂课，我并不准备将余弦定理全盘托出呈现给学生，而是采用创设情境式教学，通过具体的情景激发学生探索新知识的欲望，引导学生一步步探究并发现余弦定理。

二、学情分析１．有利因素学生刚刚学习了正弦定理的推导证明及应用，已经掌握了研究斜三角形的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。

２．不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。

三、教学目标知识与能力1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。

2、掌握余弦定理的推导、证明过程。

3、初步理解余弦定理的用途，并能应用定理解决一些简单的解三角形问题。

过程和方法1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。

1.1.2余弦定理课件人教新课标

岛C 屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
•1.1.2 余弦定理
分析转化: 实际问题数学化
一般化:
A
已知三角形两边分别为
a和b,这两边的夹角为C，角 C满足什么条件时较易求出第三边c？
勾股定理
b
c
特殊化
c2 a2 b2
C a B 你能用向量证明勾股定理吗？
A 特殊化 c2 a2 b2
你能用向量证明勾股定理吗？
【解析】因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b2 ＝－1，
2ac
2
所以B＝120°.
全优第7页能力提升
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
【解析】 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
是____2_π_． 3
【解析】∵a2＋ab＋b2－c2＝0，即a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝a2＋b2－c2＝－ab＝－1，
2ab
2ab 2
∵C为三角形的内角， ∴C＝2π. 3
全优第7页基础夯实
5．(2013年全国大纲节选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.求角B.
b
c
2
2
2
即证AB AC CB ,
A
Ca
B ∵ AB AC CB
c= ?
8
2
2
Hale Waihona Puke 2AB AC 2ACCB CB
800
c5
B
2
2
2

1.1.2-余弦定理课件

推
论为直角；
若a 2 b2 c 2，则C为锐角；若a 2 b2 c 2，则C为钝角；
例1.在ABC中，已知a＝5，b＝7， c＝8 求角B.
，
变式1.在ABC中，若a 2 3，b 3，C 30 , 解此三角形
在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边?
已知三条边,怎么求出它的三个角呢?
问题1：已知 ABC，b 3, c 5, A

3
, 求a
问题2：已知 ABC的边b, c, A, 求a
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍, 即
a 2 b2 c 2 2bc cos A b c a 2ca cos B
2 2 2
c a b 2ab cos C
2 2 2
余弦定理的范围：
延伸变形
b2 c 2 a 2 cos A 2bc a 2 c 2 b2 cos B 2bc
a 2 b2 c 2 cos C 2ab
变式2.在ABC中，若A 120 ，c 5，a 7,

求b
练习：课堂新坐标P5，例1，变式
（１）余弦定理的内容．（２）余弦定理的证明（ 3 ）余弦定理的应用
第10页习题1.1A组 T 3, T4

教学设计7：1.1.2 余弦定理

1.1.2余弦定理如果已知△ABC 的三边长a 、b 、c ，能否分别求出三个内角A 、B 、C 的值？【提示】能．用余弦定理变形可得公式．cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .已知两边一角解三角形在三角形ABC 中，根据下列条件解三角形，(1)a ＝2，b ＝22，C ＝15°；(2)a ＝3，b ＝2，B ＝45°.【思路探究】 (1)中已知角C 是已知边a 、b 的夹角，可以直接用余弦定理求边c 吗？其他元素如何求？(2)中已知角B 是已知边b 的对角，可以用正弦定理求解吗？解的情况唯一吗？用余弦定理行吗？解：(1)法一 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24， sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝6－ 2.又b >a ，∴B >A ，∴角A 为锐角．由正弦定理，得sin A ＝a c sin C ＝26－2×6－24＝12.∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. 法二 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝6－ 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A <180°，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. (2)法一由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴2＝3＋c 2－23·22c ，即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22. 当c ＝6＋22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∴A ＝120°，C ＝15°. 法二由正弦定理知sin A ＝a sin Bb ＝3sin 45°2＝32. ∵a ＝3>2＝b ，∴A 有两解．∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝75°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6＋2432＝6＋22.当A ＝120°时，C ＝15°，这时c ＝a sin Csin A ＝3×6－2432＝6－22.规律方法1．本题的两小题均为已知两边及一角解三角形．但(1)中角为夹角；(2)中角为已知边的对角，故解法不同，解题时应注意体会解法．2．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦．互动探究若把本例(2)条件改为“b ＝3，c ＝33，B ＝30°”，试解此三角形．解：法一由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∵0<A <180°，∴A ＝90°，C ＝60°.法二由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋332＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，则a ＝3. 故a ＝3或6. 已知三边解三角形例2 在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，求其最大内角．【思路探究】 (1)由a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，如何设出三边的长度？ (2)最大内角应该是哪条边所对的角？能否用余弦定理求解？解：由于a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)．因此c 边是最大边，其所对角C 为最大内角．由余弦定理推论得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22·3k ·5k ＝－12，∴C ＝120°，即最大内角为120°. 规律方法1．本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关键．2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角．变式训练边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 【解析】设边长为5、7、8的对角分别为A 、B 、C . 则A <B <C .由题意cos B ＝52＋82－722×5×8＝12.∴cos(A ＋C )＝－cos B ＝－12，∴A ＋C ＝120°.【答案】 B 判断三角形的形状例3 在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试判断A (或B )为直角的直角三角形. 正余弦定理的综合应用典例 △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【思路点拨】 (1)由已知条件用正弦定理替换变形，找到a ，b 的关系． (2)用余弦定理求cos B 的值进而求B . 解：(1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理及c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a 2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，所以cos 2B ＝12.10分又cos B >0，故cos B ＝22，∴B ＝45°.在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求边也可以求角．巩固练习：1．三角形的两边AB 、AC 的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形的第三边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4【解析】由条件可知cos A ＝－35，则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴BC ＝213.【答案】 B2．在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( ) A.1213 B.513 C.0 D.23【解析】 ∵c ＞b ＞a ，∴c 所对的角C 为最大角．。

高中数学 (1.1.2 余弦定理)示范教案新人教A版必修5

1.1.2 余弦定理从容说课课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程2.余弦定理在解三角形时的应用思路3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．教具准备投影仪、幻灯片两张第一张:课题引入图片(记作A如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a第二张:余弦定理(记作1.1.2B余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C形式二:co s A=bc ac b22 22-+,co s B=ca ba c22 22-+,co s C=ab cb a22 22-+三维目标一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题3.能利用计算器进行运算二、过程与方法1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得A2=CD2+BD2∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD又∵在Rt△ADC中,AD=B·CO s A∴a2=b2+c2-2ab c os A类似地可以证明b2=c2+a2-2caco s Bc2=a2+b2-2ab c os C另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式形式一a2=b2+c2-2bcco s Ab2=c+a2-2caco s Bc 2=a 2+b 2-2abco s C形式二bc a c b A 2cos 222-+=ca b a c B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=师在余弦定理中,令C =90°时,这时co s C =0,所以c 2=a 2+b 2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用 [合作探究2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析师联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边C ．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢生向量数量积的定义式a ·b =|a ||b |co s θ,其中θ为A 、B 的夹角师在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C ,则构造CA CB ∙这一数量积以使出现CO s C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提(2)向量法证明余弦定理过程如图，在△ABC 中,设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b由向量加法的三角形法则，可得BC AB AC +=∴,cos 2)180cos(22)()(222222a B ac c BC B BC AB AB BC BC AB AB BC AB BC AB AC AC +-=+-︒+=+∙+=+∙+=∙即B 2=C 2+A 2-2AC COB由向量减法的三角形法则，可得ABAC BC -=∴222222cos 2cos 22)()(c A bc b AB A AB AC AC AB AB AC AC AB AC AB AC BC BC +-=+∙-=+∙-=-∙-=∙即a 2=b 2+c 2-2bcco s A由向量加法的三角形法则,可得BCAC CB AC AB -=+=∴,cos 2cos 22)()(222222a C bab BC C BC AC AC BC BC AC AC BC AC BC AC AB AB +-=+∙-=+∙-=-∙-=∙即c 2=a 2+b 2-2abco s C [方法引导(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC 与AB 属于同起点向量,则夹角为A ;AB 与BC 是首尾相接,则夹角为角B 的补角180°-B ;AC 与BC 是同终点,则夹角仍是角C [合作探究师思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：bac a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=师思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．师在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B 通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知三边,求三个角这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P 8例4属这类情况(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题接下来,我们通过例题来进一步体会一下［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）解：根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bcco s A =602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-所以A ≈41 c由正弦定理得sin C =4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用计数器可得CB =180°-A -C =180°-41°-【例2】在△ABC 中，已知a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形解：由余弦定理的推论,得co s A =7.1618.8726.1347.1618.872222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.554 3,Aco s B =7.1616.13428.877.1616.1342222222⨯⨯-+=-+ca b a c ≈0.839 8,BC =180°-(A +B )=180°-(56°20′+32°53′)=9[知识拓展补充例题：【例1】在△ABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C .(精确到分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二解：∵725.0610276102cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A∴A∵c os C =140113107261072222222=⨯⨯-+=-+ab c b a∴C∴B =180°-(A +C )=180°-[教师精讲(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出 (2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算【例2】在△ABC 中,已知a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好解：由c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s82°28′, 得c∵c os A =297.4696.32730.2297.4696.32222222⨯⨯-+=-+bc a c b∴A∴B =180°-(A +C )=180°-[教师精讲通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦【例3】在△ABC 中,已知A =8,B =7,B =60°,求C 及S △ABC分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S△ABC =21ac sin B 可以求出若用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的下面给出两种解法解法一:由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A∴A 1=81.8°,A 2∴C1=38.2°,C 2由Ccsin 60sin 7=︒,得c 1=3,c 2∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =310sin 212=B ac解法二:由余弦定理得b 2=c +a 2-2caco s B∴72=c +82-2×8×cco整理得c 2-8c解之,得c 1=3,c 2=5.∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC = 310sin 212=B ac[教师精讲]在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之课堂练习1.在△ABC 中(1)已知c =8,b =3,b =60°,求A(2)已知a =20,b B =29,c =21，求B(3)已知a =33,c =2,b =150°,求B (4)已知a =2,b =2，c =3+1,求A解： (1)由a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A(2)由ca b a c B 2cos 222-+=,得021202292120cos 222=⨯⨯-+=B .∴B (3)由b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b(4)由bc a c b A 2cos 222-+=,得22)13(222)13()2(cos 222=+-++=A .∴A评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率2.根据下列条件解三角形(角度精确到(1)a =31,b =42,c (2)a =9,b =10,c解：(1)由bc a c b A 2cos 222-+=,得27422312742cos 222⨯⨯-+=A ≈0.675 5,∴A由273124227312cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈-0.044 2,∴B∴C =180°-(A +B )=180°-(2)由,2222bc a c b -+得1510291510cos 222⨯⨯-+=A∴A由1592109152cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.763 0,∴B∴C =180°-(A +B )=180°-(36评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力课堂小结通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形．布置作业课本第8页练习第1（1）、2（1）题板书设计余弦定理1.余弦定理2.证明方法余弦定理所能解决的两类问题:(1)平面几何法已知三边求任意角;(2)向量法 (2)已知两边、一角解三角形学生练习。

1.1.2余弦定理-(优秀课件)

[解] 法一：由正弦定理得ssiinn CB＝bc，由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝2ssiinnCB＝2cb. 又由余弦定理得cos A＝b2＋2cb2c－a2，所以2cb＝b2＋2cb2c－a2，
[活学活用] 1．已知在△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求角 A
判断三角形的形状
[典例] 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，确定△ABC的形状．
[解] 法一：由正弦定理得ssiinn CB＝bc，由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝2ssiinnCB＝2cb. 又由余弦定理得cos A＝b2＋2cb2c－a2，所以2cb＝b2＋2cb2c－a2，
的大小．
解：∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，令a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)，由余弦定理得，cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 22， ∵0°<A<180°，∴A＝45°.
2．若△ABC的内角A，B，C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，求cos B的值．解：由正弦定理及6sin A＝4sin B＝3sin C，可知6a＝4b＝3c，令6a＝4b＝3c＝12k，k>0，则a＝2k，b＝3k，c＝4k. 由余弦定理得cos B＝a2＋2ca2c－b2＝4k22＋×126kk×2－4k9k2＝1116.
c2 a2 b2 2ab cos C
a2 b2 c2 2bc cos A
探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，
设
a, b,求边 c. CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得

人教版数学必修五1.1.2 余弦定理课件 (共17张PPT)

2tanα 1-tan2α
06:37:52
创设情境兴趣导入
引例 2009年10月，内蒙古交通设计研究院有限责任公司在设
计丹锡高速赤峰二道井子段（K166+280～K166+570）时,为保护
夏家店文化文物，需要挖掘隧道，勘测人员将隧道口A和B定位在山的两侧(如图）,在平地上选择适合测量的点C ，如果∠C=60°,
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦定理．
06:37:52
动脑思考探索新知
余弦定理三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍. 即 2 2 2 a b c 2bc cos A
b a c 2ac cos B
c a b 2ab cos C
第一章
三角公式及应用
1.2.1 余弦定理
授课班级：14普教授课教师：郭清山 2016年11月6日
06:37:52
知识积累复习巩固
1、正弦二倍角公式 sin2α= 2sinαcosα
2、余弦二倍角公式 cos2α-sin2α cos2α= 2cos2α-1 1-2sin2α 3、正切二倍角公式 tan2α=
约为12.12m.
D B
A
06:37:52
归纳总结理论升华
余弦定理的内容是什么？
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
夜半偶句
余弦定理考夹角，两边平方和求好；减去倍乘抠塞角，三边平方见分晓。
分析这是已知三角形 ∠A=44°25′，的三边，求其它元素的问题，可以直 ∠B=101°32′，接应用余弦定理变 ∠C=180°-∠A-∠B=34°3′. 形公式1.22．查表或计算器可得

课时作业37：1.1.2　第1课时　余弦定理及其应用

1.1.2 余弦定理第1课时余弦定理及其应用1．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝9，C ＝150°，则c 等于( ) A ．7 3 B ．8 3 C.39 D ．10 2 答案 A解析由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(23)2＋92－2×23×9cos 150°＝147，∴c ＝147＝7 3.2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b 等于( )A ．3B ．2 2C ．2 D. 3 答案 C解析由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.因为b <c ，所以b ＝2.3．(2020·全国Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B 等于( )A.19B.13C.12D.23 答案 A解析由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＝3，b cos A ＝4，则c 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 D解析 ∵a cos B ＝3，b cos A ＝4，∴a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝3，b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝4，∴a 2＋c 2－b 2＝6c ，b 2＋c 2－a 2＝8c ，两式相加，可得2c 2＝14c ，解得c ＝7(c ＝0舍去)．5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A.322 B.332 C.32 D ．3 3答案 B解析由BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A ，得cos A ＝12.因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3，所以AC 边上的高为AB ·sin A ＝3×32＝332. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，c ＝3，AB →·AC →＝185，则a＝ . 答案1455解析 AB →·AC →＝cb cos A ＝6cos A ＝185，cos A ＝35，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝295.∴a ＝1455.7．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，则实数a 的取值范围是．答案 (7，5)解析 ∵b ＝3，c ＝4，且△ABC 是锐角三角形， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，且cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，∴7<a 2<25，∴7<a <5.8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝ . 答案 π3解析方法一依题意，由余弦定理得 2b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac ，故cos B ＝12.又0<B <π，所以B ＝π3.方法二依题意，由正弦定理得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，又sin B ≠0，因此cos B ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝14，a ＝4，b ＋c ＝6，b <c ，求b ，c 的值．解 ∵cos A ＝14，a ＝4，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，得16＝b 2＋c 2－12bc ＝(b ＋c )2－52bc ，∵b ＋c ＝6，∴36－52bc ＝16，解得bc ＝8，即b (6－b )＝8，解得b ＝2或b ＝4，结合b <c ，得b ＝2，c ＝4.10．在△ABC 中，求证：tan A tan B ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2.证明方法一因为左边＝sin Acos A sin B cos B ＝sin A cos B sin B cos A ＝a b ·a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2＝右边，所以tan A tan B ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2.方法二因为右边＝a 2＋c 2－b 22ac ·2ac b 2＋c 2－a 22bc ·2bc ＝a 2＋c 2－b 22ac ·a b 2＋c 2－a22bc ·b ＝cos B cos A ·sin A sin B ＝sin A cos A ·cos B sin B ＝tan Atan B ＝左边，所以tan A tan B ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2.11．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理，故△ABC 为直角三角形．12．如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上的一点，DC ＝1，AC ＝3，BD ＝3，∠ADC ＝120°，则AB 的长为( )A. 2B.14C.7D. 3 答案 C解析在△ADC 中，根据余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos 120°，即3＝AD 2＋1－2·AD ·⎝⎛⎭⎫－12，整理为AD 2＋AD －2＝0，解得AD ＝1，在△ABD 中，利用余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos 60°，即AB 2＝1＋9－2×1×3×⎝⎛⎭⎫12＝7，所以AB ＝7.13．在△ABC 中，A ＝60°，最大边长与最小边长是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 的长为．答案57解析设内角B ，C 所对的边分别为b ，c .∵A ＝60°， ∴可设最大边与最小边分别为b ，c . 由条件可知b ＋c ＝9，bc ＝8，∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝92－2×8－2×8×cos 60°＝57， ∴BC ＝57.14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为．答案－14解析由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ，所以12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14.15.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从点O 沿OD 走到点D 用了2 min ，从点D 沿DC 走到点C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为 m.答案 507解析依题意得OD ＝100 m ，CD ＝150 m ，连接OC ，易知 ∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°，因此由余弦定理，得OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ×CD ×cos ∠ODC ，即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m)．16．(2020·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋A ＋cos A ＝54. (1)求A ； (2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形． (1)解由已知得sin 2A ＋cos A ＝54，即cos 2A －cos A ＋14＝0.所以⎝⎛⎭⎫cos A －122＝0，cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.(2)证明由正弦定理及已知条件可得 sin B －sin C ＝33sin A . 由(1)知B ＋C ＝2π3，所以sin B －sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝33sin π3. 即12sin B －32cos B ＝12，sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝12. 由于0<B <2π3，故B ＝π2.从而△ABC 是直角三角形．。

教学设计4：1.1.2 余弦定理

1.1.2 余弦定理教学目标：1．通过对余弦定理的探究与证明，掌握余弦定理的另一种形式及其应用；了解余弦定理与勾股定理之间的联系；知道解三角形问题的几种情形．2．加深对数学思想的认识，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想；这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于加深学生对具体数学知识的理解和掌握．重点难点掌握余弦定理；理解余弦定理的推导及其另一种形式，并能应用它们解三角形．教学过程导入新课思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特殊情形入手，发现了正弦定理．现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进行探索，这种导入比较自然流畅，易于学生接受．思路2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判断方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，能否把这个边角关系准确量化出来呢？也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢？根据我们掌握的数学方法，比如说向量法，坐标法，三角法，几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗？推进新课新知探究提出问题1.通过对任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角量化，我们发现了正弦定理，解决了两类解三角形的问题.那么如果已知一个三角形的两条边及这两边所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.怎样已知三角形的两边及这两边夹角的条件下解三角形呢？2.能否用平面几何方法或向量方法或坐标方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢？3.余弦定理的内容是什么？你能用文字语言叙述它吗？余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？4.余弦定理的另一种表达形式是什么？5.余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？6.正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别？活动：根据学生的认知特点，结合课件“余弦定理猜想与验证”，教师引导学生仍从特殊情形入手，通过观察、猜想、证明而推广到一般．如下图，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢？下面，我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题．如下图，在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b、c、∠A来表示a.教师引导学生进行探究．由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形．在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于点D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理通过CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB，AD表示，进而在Rt△ADC内求解．探究过程如下：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理，得a2＝CD2＋BD2.∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2，又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2，∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD.又∵在Rt△ADC中，AD＝b·cos A，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.类似地可以证明b2＝c2＋a2－2ca cos B.c2＝a2＋b2－2ab cos C.另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时，a2＋b2＝c2也符合上述结论．这就是解三角形中的另一个重要定理——余弦定理．下面类比正弦定理的证明，用向量的方法探究余弦定理，进一步体会向量知识的工具性作用．教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出现的，又涉及边长问题，学生很容易想到向量的数量积的定义式：a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ为a ，b 的夹角．用向量法探究余弦定理的具体过程如下：如下图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，那么c ＝a －b ，|c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b )＝a ·a ＋b ·b －2a ·b＝a 2＋b 2－2ab cos C .所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .同理可以证明a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .这个定理用坐标法证明也比较容易，为了拓展学生的思路，教师可引导学生用坐标法证明，过程如下：如下图，以C 为原点，边CB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设点B 的坐标为(a ,0)，点A 的坐标为(b cos C ，b sin C )，根据两点间距离公式AB ＝(b cos C －a )2＋(bsin C －0)2，∴c 2＝b 2cos 2C －2ab cos C ＋a 2＋b 2sin 2 C ，整理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .同理可以证明：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos Ab 2＝c 2＋a 2－2ac cos B c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量．从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，得到余弦定理的另一种形式： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bccos B ＝c 2＋a 2－b 22cacos C ＝a 2＋b 2－c 22ab教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的结构特征，发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近，让学生比较并讨论它们之间的关系．学生容易看出，若△ABC 中，C ＝90°，则cos C ＝0，这时余弦定理变为c 2＝a 2＋b 2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推广；勾股定理是余弦定理的特例．另外，从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．应用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：①已知三角形的三边解三角形，这类问题是三边确定，故三角也确定，有唯一解；②已知两边和它们的夹角解三角形，这类问题是第三边确定，因而其他两个角也唯一确定，故解唯一．不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题．把正弦定理和余弦定理结合起来应用，能很好地解决解三角形的问题．教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现：如果已知的是三角形的三边和一个角的情况，而求另两角中的某个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢？教师与学生一起探究得到：若用余弦定理的另一种形式，可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角．教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧．讨论结果：(1)、(2)、(3)、(6)见活动．(4)余弦定理的另一种表达形式是： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bccos B ＝c 2＋a 2－b 22cacos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(5)利用余弦定理可解决两类解三角形问题：一类是已知三角形三边，另一类是已知三角形两边及其夹角．应用示例例1：如图，在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，∠C ＝120°，求c .解：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°，因此c ＝52＋42－2×5×4×(－12)＝61. 例2：如图，在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，c ＝19，求此三角形各个角的大小及其面积．(精确到0.1)解：由余弦定理，得cos ∠BCA ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋22－(19)22×3×2＝9＋4－1912＝－12，因此∠BCA ＝120°，再由正弦定理，得sin A ＝a sin ∠BCA c ＝3×3219＝33219≈0.596 0，因此∠A ≈36.6°或∠A ≈143.4°(不合题意，舍去)．因此∠B ＝180°－∠A －∠BCA ≈23.4°.设BC 边上的高为AD ，则AD ＝c sin B ＝19sin23.4°≈1.73.所以△ABC 的面积≈12×3×1.73≈2.6. 点评：在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时，体会两种方法存在的差异．当所求的角是钝角时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理则不能直接判定．变式训练在△ABC 中，已知a ＝14，b ＝20，c ＝12，求A 、B 和C .(精确到1°)解：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝202＋122－1422×20×12＝0.725 0， ∴A ≈44°.∵cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝142＋202－1222×14×20＝113140≈0.807 1， ∴C ≈36°.∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(44°＋36°)＝100°.例3：如图，△ABC 的顶点为A (6,5)，B (－2,8)和C (4,1)，求∠A .(精确到0.1°)解：根据两点间距离公式，得AB ＝[6－(－2)]2＋(5－8)2＝73，BC ＝(－2－4)2＋(8－1)2＝85，AC ＝(6－4)2＋(5－1)2＝2 5.在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2365≈0.104 7，因此∠A ≈84.0°.点评：三角形三边的长作为中间过程，不必算出精确数值．变式训练用向量的数量积运算重做本例．解：如图，AB →＝(－8,3)，AC →＝(－2，－4)，∴|AB →|＝73，|AC →|＝20.∴cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－8×(－2)＋3×(－4)73×20＝2365≈0.104 7. 因此∠A ≈84.0°.例4：在△ABC 中，已知a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求c 及S △ABC .解法一：由正弦定理，得8sin A ＝7sin60°， ∴A 1＝81.8°，A 2＝98.2°.∴C 1＝38.2°，C 2＝21.8°.由7sin60°＝c sin C ，得c 1＝3，c 2＝5， ∴S △ABC ＝12ac 1sin B ＝63或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝10 3. 解法二：由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，∴72＝c 2＋82－2×8×c cos 60°.整理，得c 2－8c ＋15＝0，解之，得c 1＝3，c 2＝5.∴S △ABC ＝12ac 1sin B ＝63或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝10 3. 点评：在解法一的思路里，应注意用正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决，故解法二应引起学生的注意．综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围；已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边及一角解三角形可用余弦定理解之．变式训练在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝60°.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－2ab cos 60°＝c 2，即a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由正弦定理及已知条件，得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233. 知能训练：1．在△ABC 中，已知C ＝120°，两边a 与b 是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则c 的值为( )A. 3 B ．7 C ．3 D. 7【答案】D【解析】由题意，知a ＋b ＝3，ab ＝2.在△ABC 中，由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab＝(a ＋b )2－ab＝7，∴c ＝7.2．已知三角形的三边长分别为x 2＋x ＋1，x 2－1,2x ＋1(x ＞1)，求三角形的最大角．解：比较得知，x 2＋x ＋1为三角形的最大边，设其对角为A .由余弦定理，得cos A ＝(x 2－1)2＋(2x ＋1)2－(x 2＋x ＋1)22(x 2－1)(2x ＋1)＝－12. ∵0＜A ＜180°，∴A ＝120°，即三角形的最大角为120°.课堂小结1．教师先让学生回顾本节课的探究过程，然后再让学生用文字语言叙述余弦定理，准确理解其实质，并由学生回顾可用余弦定理解决哪些解三角形的问题．2．教师指出：从方程的观点来分析，余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量，知道其中三个量，便可求得第四个量．要通过课下作业，从方程的角度进行各种变形，达到辨明余弦定理作用的目的．3．思考本节学到的探究方法，定性发现→定量探讨→得到定理．作业课本习题.。

课件6：1.1.2 余弦定理

解析：由正弦定理，可得 sinB＝2bR，sinC＝2cR. 由余弦定理，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2. 代入 sinC＝2sinBcosA，得 c＝2b·b2＋2cb2c－a2.整理得 a＝b. 又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以 a2＋b2－c2＝ab，即 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝12. 故 C＝π3.又 a＝b，所以△ABC 为等边三角形．
1 当 a＝6 时，由余弦定理 sinA＝asibnB＝6×32＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二：由 b＜c，B＝30°，b＞csin30°＝3 3×12＝323知本 1
题有两解．由正弦定理 sinC＝csibnB＝3 33×2＝ 23， ∴C＝60°或 120°，当 C＝60°时，A＝90°，由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋(3 3)2＝6，当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a＝3.
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2 说方法·分类探究类型一已知两边和一角解三角形【例 1】在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°，求角 A. 思维启迪：思路一：可用余弦定理求边 c，再用正弦定理求角 A. 思路二：可用余弦定理求边 c，s(45°－30°)＝
知识点 2 余弦定理的推论根据余弦定理，可以得到以下推论： cosA＝b2＋2cb2c－a2； cosB＝a2＋2ca2c－b2； cosC＝a2＋2ba2b－c2.
讲重点对余弦定理推论的理解 (1)应用推论，可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角． (2)定理及推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式． (3)余弦定理与勾股定理的关系在△ABC 中，由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC，若角 C＝90°，则 cosC＝0，于是 c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．

课件10：1.1.2 余弦定理

则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
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【解析】由余弦定理，cos C＝a2＋2ba2b－c2， ∵c2－2aa2b－b2>0，∴cos C<0， ∵0°<C<180°，∴C>90°，∴△ABC 是钝角三角形．【答案】C
1.1.2 余弦定理
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考纲定位
重难突破
1.了解余弦定理的推导过程，重点：应用余弦定理掌握余弦定理及其推论．解三角形． 2.能利用余弦定理解三角形，难点：余弦定理的综
并判断三角形的形状.
合应用.
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[自主梳理]
文字三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去
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方法归纳 1．判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． 2．在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2＝2bccos A， b2＋c2＝(b＋c)2－2bc 等等．
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3．△ABC 中，2cos B·sin A＝sin C，则△ABC 的形状一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【解析】∵2cos B·sin A＝sin C，∴由正弦定理：2a·cos B＝c，由余弦定
理：2a·a2＋2ca2c－b2＝c，即 a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC 是等腰三角形．【答案】C
语言这两边与它们的夹角的余弦的积的二倍
符号语言

高中数学《1.1.2余弦定理》课件新人教A版必修5

预习自测
1. A 2. A或C 3.钝角三角形
展示题目例2 变式例3 变式
正解与错解展示正解与错解展示
当堂检测
1. 7
57
2. 2 19
19
3. B
总结提升
1.余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 2.判断三角形形状，主要看其是否为正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形，主要有两种途径：（1）转化为内角三角形间的关系，得出内角的关系，注意A+B+C=π （2）转化为边边关系，通过因式分解，配方等方法。
1.1.2 余弦定理
问题导学
a2b2c22 bcco As
2a2c22acco Bs coB s c2 a2 b2
2ac
c2a2b22 acbo Cs coC s a2 b2 c2
2ab
(1)△AB是 C 钝角三角 a2形 b2c2 (2)△AB是 C 锐角三角 a2形 b2c2 (3)△AB是 C 直角三角 a2形 b2c2

课件16：1.1.2 余弦定理

已知 b＝c，a2＝2b2(1－sin A).则 A＝( )
3π
π
π
π
A. 4
B.3
C.4
D.6
【解析】 (1)由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)可得 a2－c2＝b2＋bc，即 a2＝c2＋b2＋bc. 根据余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝－2bbcc＝－12，因为 A 为△ABC 的内角，所以 A＝120°.故选 C.
突破练 3 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，asin A ＋csin C－ 2asin C＝bsin B. (1)求 B； (2)若 A＝75°，b＝2，求 a，c.
解：(1)由正弦定理得 a2＋c2－ 2ac＝b2，由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B. 故 cos B＝ 22，因此 B＝45°.
(2)sin A＝sin(30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
2＋ 4
6 .
故 a＝b×ssiinn AB＝
2＋ 2
6＝1＋
3，ห้องสมุดไป่ตู้
c＝b×ssiinn CB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6.

表 c2＝__a_2＋___b_2－__2_a_b_c_o_s__C__
达语
三角形中任何一边的平方等于言 _其__他__两__边___的__平__方__的__和__减__ 叙 _去__这__两__边___与__它__们__的__夹__角__的__余__弦__的__积__的__两__倍___ 述
b2＋c2－a2 cos A＝________2_b_c_____________
(2)由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，所以 2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以 sin A＝cos A，即 tan A＝1，又 0＜A＜π，所以 A＝π4.故选 C.

课件12：1.1.2 余弦定理

∵cos15°＝cos(45°－30°)＝
6＋ 4
2，sin15°＝sin(45°
－30°)＝
6－ 4
2，
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)
＝8－4 3.∴c＝ 6－ 2.
∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝ 23.又 0°<A<180°，∴A＝30°.
19 C.20
D．－270
【答案】A 【解析】cosB＝a2＋2ca2c－b2＝58.
3．在△ABC 中，当 sin2A＋sin2B<sin2C 时，△ABC 的形状是 ()
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】 C 【解析】由已知：a2＋b2<c2，∴cosC＝a2＋2ba2b－c2<0，则 C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形．
探究 1 本题是已知两边及夹角解三角形．用正弦定理求角时，必须注意讨论解的情况，结合三角形大边对大角的性质，由于三角形中至少有两个锐角，那么小边对的角一定是锐角．在解三角形问题时，应根据题目中给定的条件，灵活地选择正弦、余弦定理．
思考题 1 在△ABC 中，AB＝1，BC＝2，B＝60°，则 AC＝________. 【解析】 AC＝ AB2＋BC2－2AB×BCcosB＝ 3. 【答案】 3
1 当 a＝6 时，由正弦定理，得 sinA＝asibnB＝6×32＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二由 b<c，B＝30°，
b>csin30°＝3 3×12＝323知本题有两解．
1
由正弦定理，得 sinC＝csibnB＝3
33×2＝
3 2.
∴C＝60°或 120°.

课件15：1.1.2 余弦定理

课堂探究探究1 已知两边及一角解三角形
例 1 在△ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a.
解解法一：由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accosB， ∴32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos30°， ∴a2－9a＋18＝0，解得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，A＝30°，∴C＝120°.
2．在△ABC 中，已知 a＝2，则 bcosC＋ccosB 等于( ) A．1 B. 2 C．2 D．4
【解析】 bcosC＋ccosB＝b·a2＋2ba2b－c2＋c·c2＋2aa2c－b2 ＝22aa2＝a＝2. 【答案】 C
3．在△ABC 中，若 a＝ 3＋1，b＝ 3－1，c＝ 10，则 △ABC 的最大角的度数为__1_2_0_°___．
拓展提升利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理、三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
跟踪训练3 在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ ccosA)sinA，判断△ABC的形状．
解：利用边的关系判断，由正弦定理，得ssiinnCB＝bc，由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssiinnCB＝2cb，又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c，综上 a＝b＝c， ∴△ABC 为等边三角形．
条件探究若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？

必修五1.1.2余弦定理(强烈推荐,公开课)

0
问：怎么样算AB的长度？
A
B
C
复习回顾：
1.正弦定理的内容在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 a b c 即在ABC中， 2R sin A sin B sinC
2.用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？
（1）已知三角形的两角和一边
（2）已知两边和其中一边的对角。
若已知三角形的三边，或者是两边及其夹角，能否用正弦定理来解三角形呢？
练一练：会用才是硬道理
例1、在△ABC中，已知a =1 , c = 2 ，
B =150 ，求b. 变式1、已知△ABC的三边为 7 、2、1，求它的最大内角.
变式2、在三角形ABC中，已知 a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状
b 2 a 2 c 2 B (90 ,180 )

。
思考：已知三角形三边长为a,b,c,怎样判断 △ABC是锐角三角形,直角三角形还是钝角三角形？
归纳：设a是最长边,则 △ABC是直角三角形 <=> a2=b2+c2
△ABC是锐角三角形<=> a2<b2+c2
△ABC是钝角三角形<=> a2>b2+c2
13 例2 在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= , 14 求最大角的余弦值. 分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角.由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角. 2 a2 b2 2abcosC c 解：
一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1、在ABC中，已知b 3, c 2 3 , A 30 ,

求角B、C和边a的值
解：由余弦定理知， a b c 2bc cos A