第8章 相量法

即复数乘积的模等于各复数模的积；其辐角等于各复数辐角 的和。
c)极坐标形式
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | ( 1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算 a)代数形式
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a2b1 a1b2 ) 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2
§8-2
正弦量
则式中的 3 个常数Im、ω和ψi ，称为正弦量的三要素。 1)振幅Im Im 称为正弦量的振幅，亦即正弦量的最大值imax。
1.正弦量的定义 电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。 对正弦量的数学描述，可以采用sin函数，也可采用cos函数。 但在用相量法进行分析时，要注意采用的是哪一种形式，不 要两者同时混用。本书采用cos函数。 2.正弦量的三要素 i 设右图中正弦电流 i 的数学表达式为 i I m cos( t i ) _ + u
§8-3 相量法的基础
在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路的电 压和电流的稳态响应将是同频率的正弦量。如果电路有多个激 励且都是同一频率的正弦量，则根据线性电路的叠加性质可知， 电路全部稳态响应都将是同一频率的正弦量。处于这种稳定状 态的电路称为正弦稳态电路，又称正弦电流电路。 相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。 1.相量的概念
或必须有
| F1 || F2 | ，arg(F1 ) arg(F2 )
3.旋转因子 复数的乘、除运算表示为模的放大或缩小，辐角表示 为逆时针旋转或顺时针旋转。复数e jθ =1∠θ 是一个模等 于1，辐角为θ 的复数。任意复数F1=∣F1∣e jθ 1乘以e jθ 等于把复数F1逆时针旋转一个角度θ，而F1的模值不变， 所以ejθ 称为旋转因子。 根据欧拉公式可得e jπ /2=j，e -jπ /2=-j，e jπ =-1。因此 “±j ”和“－1”都可以看成旋转因子。若一个复数乘以j， 等于在复平面上把该复数逆时针旋转π/2。若一个复数除以 j ，等于把该复数乘以－j ，则等于在复平面上把该复数顺 时针旋转π /2。
角频率的单位为 rad/s。它与正弦量的周期 T 和频率 f 之间 的关系为： T 2 ， 2f ，f 1 / T 频率 f 的单位为1/s，称为Hz(赫兹)。我国工业用电的频率 为50Hz。 3)初相(位)ψi 正弦量在 t = 0 时刻的相位，称为正弦量的初相位，简称 初相。即 ( t i ) t 0 i 初相的单位用弧度或度表示，通常取| ψi |≤1800。它与计时 零点有关。对任一正弦量，初相是允许任意指定的，但对于一 个电路中的许多相关的正弦量，它们只能相对于一个共同的计 时零点确定各自的相位。
i 2I cos( t i )
u, i
试分析图中各量 的相位关系。
O
u
i
t

u 超前 i
u, i
u 和 i 同相
O
u
i
t
选讲
有效值的概念也适用于任何周期性电压和电流。例如对于 图(a)所示三角波形，将瞬时值表达式
得：
A g (t ) t T
1 1 2 G g (t )d t 0 T T 0
i 2I cos( t i )
则式中的3个常数I、ω、ψi 也称为正弦量的三要素。工程 中使用的交流电气设备铭牌上标出的额定电流、电压的数值， 交流电流表、电压表表面上标出的数字都是有效值。 6.两个同频率正弦量之间的相位差 设两个同频率正弦量 u 和 i 分别为：
u 2U cos( t u )
b)指数形式
F1 | F1 | e j 1 | F1 | j ( 1 2 ) e j 2 F2 | F2 | e | F2 |

F1 | F1 | F2 | F2 |
Hale Waihona Puke F arg( 1 ) arg(F1 ) arg(F2 ) 1 2 F2
c)极坐标形式
F1 | F1 | 1 | F1 | ( 1 2 ) F2 | F2 | 2 | F2 |
a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
b)指数形式
F1F2 | F1 | e j1 | F2 | e j 2 | F1 || F2 | e j (1 2 )
| F1F2 || F1 || F2 | arg(F1F2 ) arg(F1 ) arg(F2 ) 1 2
1 I T
T

0
1 I cos ( t i )dt T
2 m 2

T
0
2 Im
1 cos[2( t i )] dt 2
1 T

T
0
2 Im I 1 2 dt I m m 0.707I m 2 2 2
I I m / 2 0.707I m
上式表明，正弦量的最大值与其有效值之间有 2 倍的 关系，且正弦量的有效值与正弦量的频率和初相无关。正弦 量 i 常写成如下形式：
dt dt
m i m i m i
5.正弦量的有效值 工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应 换算为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期电流或 电压的效应，这一直流量就称为周期量的有效值，用相对应的 大写字母表示。其定义如下： 周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分 的平均值再取平方根。 对周期电流有 1 T 2 I i dt 0 T 当电流 i 有为正弦量时，有
i
( i 0)
( i 0)
4.正弦量的重要性质 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频率正弦量 的代数和等运算，其结果仍为一个同频率的正弦量。例 如 di d [ I cos( t )] I sin( t ) I cos( t 90o )
Ie j i I I i I e j i I I
m m m
正弦量的有效值相量
i
正弦量的振幅相量、最大值相量
注意： 正弦量的相量和它时域内的函数表达式是一一对应的关系， 不是相等的关系。 若已知正弦量的时域表达式，可直接写出与之对应的相量。
220 35o i 220 2 cos( t 35o ) I
正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据。 3.正弦波 正弦量随时间变化的图形称为正弦波。
Im
i I m cos( t)
Im
i I m cos( t i )
2
O Im
i I m cos( t i )
2
O

2
t

2
t
O

i
2
t
( i 0)
若已知正弦量的相量，须再知道其角频率才可写出与之对应 的函数表达式。 100 60o U
100 rad/s
u 100 2 cos( 100 t 60o )
相量是个复数，它在复平面上的图形称为相量图。
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则 F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 +j F1 F1－F2 F2 o +1 F2 o +1
F1
2)乘法运算
当 cos( t i ) 1 时，正弦量有最小值imin=－Im。
imax－imin=2Im 称为正弦量的峰－峰值。
2)角频率ω 随时间变化的角度(ωt +ψi)为正弦量的相位（或相角）。ω 为正弦量的角频率，是正弦量的相位随时间变化的角速度，即

d ( t i ) dt
第8章
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 复数
相量法
正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
§8-1
复数
相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简便有效的方 法。应用相量法，需要用到复数的运算。 1.复数的表示形式 1)代数形式
F a jb ( j 1)
在数学中虚单位常用i表示，如F=a+bi，但由于在电路 中已用i表示电流，故虚单位改用j表示。
可以得到半波整流波形的有效值是振幅值的0.5倍，或者说 其振幅值是有效值的2倍的结论，具体计算过程如下：
1 T 2 1 T /2 2 2 H h (t )d t A sin td t T 0 T 0 A2 T

T /2 0
1 A [1 cos 2t]d t 0.5A 2 2
若 0，则称 u 超前 i ( 或称 i 滞后 u )。 若 0，则称 u 滞后 i ( 或称 i 超前 u )。
若 0，则称 u 和 i 同相。 若 | | ，则称 u 和 i 反相。 若 | | / 2 ，则称 u 和 i 正交。
同频率正弦量的相位差可通过观察波形确定，在同一个周期 内两个波形的极大值(或极小值)之间的角度值(≤1800)，即为两 者的相位差。超前者先达到极值点。相位差与计时零点的选取、 变动无关。 u 2U cos( t u )
T T
1 A2 1 3 T A A 2 (t ) t dt 0 T T 3 3 T
2
倍，或者说其振幅值是有效值的
1 计算结果表明该三角波形的有效值是振幅值是的 3
3 倍。
选讲
对于图(b)所示半波整流波形，将其瞬时值表达式