2.5一元二次方程的根与系数的关系

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2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教案

2.一元二次方程的根与系数的关系：推导并证明一元二次方程ax²+bx+c=0的两根x1、x2与系数a、b、c之间的关系，即x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。并通过实例说明这一关系在实际问题中的应用。
本节内容旨在帮助学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系，为解决实际问题和进行后续学习打下基础。
最后，我感到欣慰的是，尽管存在一些挑战，但大多数学生还是能够跟上课程的节奏，并在小组讨论和实践中展现出积极的学习态度。我会根据今天的反思，调整教学方法，以期在下一节课中更好地帮助学生理解和掌握一元二次方程的根与系数关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：一元二次方程的根与系数的关系，特别是根的判别式Δ=b²-4ac的意义及其与根的关系。
-举例解释：重点讲解判别式Δ的应用，如何通过判别式判断方程有几个实数根、无实数根或有重根，以及如何利用根与系数的关系求出方程的根的和与积。
-核心内容强调：
a.判别式Δ的计算方法及其与一元二次方程根的数量的关系。
-难点突破方法：
a.通过具体的例子，逐步引导学生理解判别式的计算过程，并解释其在判断根的性质时的作用。
b.设计不同类型的实际问题，指导学生如何将问题转化为一元二次方程，并运用根与系数的关系解决问题。
c.采用直观的图表或动画辅助教学，帮助学生形象理解根与系数之间的关系。
d.组织小组讨论，让学生在合作交流中互相启发，共同解决难点问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。这是指在ax²+bx+c=0的一元二次方程中，根x1、x2与系数a、b、c之间的数学关系。这种关系在数学分析和问题解决中具有重要地位。

2.5一元二次方程的根与系数的关系教案

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。这是指在方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，两个实数根x1和x2与系数a、b、c之间存在着确定的关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。这种关系不仅揭示了方程解的性质，还广泛应用于数学和实际问题的解决中。
3.学会运用根与系数的关系解决实际问题，培养解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够通过观察、分析一元二次方程的根与系数之间的关系，推导出根与系数的规律，并运用规律解决相关问题。
2.提高学生的数学抽象素养，让学生从具体的一元二次方程中抽象出根与系数的关系，形成数学模型，并能够运用这一模型解决实际问题。
突破方法：通过对比不同判别式符号对应的根的情况，让学生形成直观的认识，加深记忆。
（3）实际问题中一元二次方程模型的建立。
难点解析：学生在面对实际问题时，往往不知道如何将问题转化为数学模型，从而求解。
突破方法：教师引导学生分析实际问题的本质，逐步引导建立一元二次方程模型，让学生体会数学建模的过程。
（注：由于字数限制，本教案无法达到2000字，但已尽可能详细列出教学难点与重点，并举例解释。）
举例：解一元二次方程时，能够熟练运用关系式直接求解根的和与积。
（2）掌握根的判别式Δ=b²-4ac的应用，判断一元二次方程的根的情况。
举例：根据判别式Δ的正负，判断方程是否有实数根、两个根是否相等。
（3）运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题。
举例：在实际问题中，能够建立一元二次方程模型，并运用根与系数关系求解。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

2.5一元二次方程根与系数的关系课件

2.K取何值时,关于x的方程
3x 2(3k 1) x 3k 1 0
2 2
(1)有一根为0 (2)有两个互为相反数的实数根 3.已知x1、x2是一元二次方程
2 x 2 x 1 3m 0
2
x1 x2 2( x1 x2 ) 0
求实数m的取值范围。
的两个实数根，且x1、x2满足不等式
第二章一元二次方程
第五节一元二次方程根与系数的关系
方程ax bx c 0(a 0)的求根公式是
2
b b 4ac (b 2 4ac 0) x 2a
2
设方程ax bx c 0(a 0)的两根
2
为x1 , x2 , 试求出x1 x2 , x1 x2的值. 你能看出x1 x2 , x1 x2的值与方程的系数有何关系？
X1+X2＞0
X1X2＞0 X1+X2＜0
课堂小结
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
拓展：方程2X2-mX+m-3=0有一个正根，一
个负根，求m的取值范围。
一正根，一负根 △＞0
两个正根
△≥0
两个负根
△≥0
X1X2＜0
X1X2＞0
(b) 2 ( b 2 4ac) 2 4a 2
=
=
4ac 4a 2
c = a
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a

2.5 一元二次方程的根与系数的关系

2.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16,
设另一个根为x1,则： 1 × x1 =
1 6 ∴x1 = . 3
c 16 . a 3
3.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
讲授新课
一探究一元二次方程的根与系数的关系
例1：完成下表. 方程 x2 - 2x + 1 = 0
Hale Waihona Puke 2 x 23 x 1 0x1 1
x2 1
x1 + x2 2
x1 ·x2 -1 -1
1 2
3 2
1 k 2
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
当堂练习
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
（2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么

一元二次方程方程根与系数关系

一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

方程的根是使方程成立的x值。

在这篇文章中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。

首先，我们来看一元二次方程的根的求解公式，x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。

这个公式告诉我们，方程的根取决于方程的系数a、b和c。

1. 系数a的影响：
当a>0时，抛物线开口向上，方程有两个实根或没有实根。

当a<0时，抛物线开口向下，方程有两个实根。

2. 系数b的影响：
系数b影响方程的根的位置，它决定了根的和与积的关系。

当b>0时，两个根的和为负值，两个根的积为正值。

当b<0时，两个根的和为正值，两个根的积为正值。

3. 系数c的影响：
系数c决定了方程的常数项，它影响方程的根的大小。

当c>0时，两个根都是负数。

当c<0时，两个根一个是正数，一个是负数。

通过分析上述关系，我们可以看出，方程的根与系数之间存在着一定的关联。

系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了根的和与积的关系，系数c决定了根的大小。

因此，我们可以通过观察方程的系数来初步判断方程的根的性质。

总之，一元二次方程的根与系数之间存在着密切的关系，通过对系数的分析，我们可以初步了解方程根的性质。

这种关系不仅有助于我们更好地理解方程的性质，也为我们解决实际问题中的应用提供了一定的指导。

2.5一元二次方程的根与系数的关系课件北师大版数学九年级上册

感悟新知
(4)x11 ＋x12=x1x＋1x2x2； (5)xx21＋xx12=x22x＋1x2x21=(x1＋x2x)12x－2 2 x1x2； (6) |x1 －x2 |= (x1－x2)2 = (x1＋x2)2－4 x1x2 .
知1－讲
感悟新知
知1－练
例 1 【母题教材P51习题T3】已知关于x 的一元二次方程x2－6x＋q=0 有一个根为2，求方程的另一个根和q 的值.
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2<0
x1＋x2>0 x1＋x2<0 x1＋x2>0 x1＋x2<0
两根同为正数两根同为负数两根异号，且正根的绝对值大两根异号，且负根的绝对值大
感悟新知
知1－讲
2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 (1)x21＋x22=x21＋2 x1x2＋x22－2 x1x2=(x1＋x2)2－2 x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4 x1x2； (3)(x1＋a)(x2＋a)=x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
感悟新知
∴－ba2－4·1a＝1.∴b2＝a2＋4a. ∴t＝10a－b2＝－a2＋6a＝－(a－3)2＋9. ∵－(a－3)2≤0， ∴t＝－(a－3)2＋9≤9，即 t 的最大值为 9.
知1－练
感悟新知
知2－讲
知识点 2 二次项系数为1 的一元二次方程的性质
1. 以x1，x2 为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系
12，则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12=0
B. x2＋7x＋12=0
C. x2＋7x－12=0
D. x2－7x－12=0
感悟新知

§2.5一元二次方程的根与系数的关系

第二章一元二次方程2.5 一元二次方程的根与系数的关系【课标要求】了解一元二次方程的根与系数的关系。

【教材分析】本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。

根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。

这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。

同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

【学情分析】“一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。

基于九年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

【学习目标：】知识与技能：1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。

过程与方法：通过韦达定理的教学过程，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养创新意识和创新精神。

情感与态度：通过情境教学过程，激发求知欲望，培养积极学习数学的态度。

体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

2.5 一元二次方程的根与系数的关系北师大版九年级上册教学课件

x1·x2 =
c a
引申：1. 若 ax2 bx c 0 (a 0 0)
（1）若两根互为相反数，则b0；
（二2）、若两合根互作为倒交数，流则a，c；探究新知
（3）若一根为0，则c0 ；
（4）若一根为1，则abc0 ；
（5）若一根为1，则abc0；
（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根.
判别式定理一、复习回顾
当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根
当b2-4ac＜0时,方程没有实数根
当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
判别式逆定理
一、复习回顾若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0
若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0
一正根，
两个正根
两个负根
一负根二、合作交流，探究新知
{ △＞0 X1X2＜0
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＞0
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＜0
例1 已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根是 x1, x2 且x12 x22 4
求 k 的值.
三、运用新知解：由根与系数的关系得
解得：k=4 或k=－2
x1+x2=-k， x1×x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 k2- 2(k+2）=4
k2-2k-8=0
∵ห้องสมุดไป่ตู้△= k2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2
例2 方程 mx 2 2mx m 1 0(m 0) 有一个正根，一个负

2.5一元二次方程的根与系数的关系-九年级上册初三数学(北师大版)

4.总结回顾环节，我发现部分学生对于一元二次方程根与系数关系的掌握程度仍有待提高。在今后的教学中，我会加强对于这一知识点的巩固练习，确保学生能够熟练掌握。
5.课堂氛围较为活跃，学生提问积极性较高，这说明他们在课堂上愿意思考、探究。作为老师，我要继续保持这种良好的课堂氛围，鼓励学生提问，培养他们的质疑精神。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。一元二次方程的根与系数关系是指方程的三个系数a、b、c与其根x1、x2之间的数学关系。这个关系在解决实际问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何通过已知的根来求解方程的系数，以及如何利用系数关系来解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根与系数关系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了一元二次方程的根与系数关系这一章节。通过引入日常生活中的问题，我希望能够激发学生的兴趣，帮助他们理解数学与实际的联系。在授课过程中，我发现以下几点值得反思：
1.学生对于根的判别式Δ的理解存在困难。在讲解这一部分时，我应该更加形象地使用抛物线图像来帮助学生理解Δ值与方程根的关系。今后，我可以在课堂上增加更多直观的示例，以加深学生的理解。
2.教学难点
-理解根的判别式Δ的含义及其与方程根的关系。

2.5一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)教案

3.应用能力：将韦达定理应用于解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，加强数学与现实生活的联系。
4.协作能力：通过小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力，激发学生的学习兴趣和主动性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a≠0），以及根与系数之间的关系。
举例：
（1）在讲解韦达定理的推导过程时，教师可通过图形、数值等多种方式引导学生观察、分析，从而发现根与系数之间的关系，并解释其背后的原因。
（2）在解决实际问题时，教师可引导学生将问题转化为数学模型，然后运用韦达定理求解。同时，通过举例说明如何根据系数的符号判断根的符号、大小及个数，帮助学生突破这一难点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了韦达定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程根与系数关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如：两个物品的价格和数量关系）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。
2.教学难点
（1）理解韦达定理的推导过程：学生需要通过观察、分析、归纳等逻辑推理方法，发现并证明根与系数之间的关系。

北师大版九年级数学上册说课稿：2.5 一元二次方程的根与系数的关系

北师大版九年级数学上册说课稿：2.5 一元二次方程的根与系数的关系一. 教材分析《北师大版九年级数学上册》第二章第五节主要介绍了一元二次方程的根与系数的关系。

这一节内容是在学生掌握了二次方程的解法、根的判别式的基础上进行学习的，是整个初中数学中非常重要的一部分。

通过学习本节内容，使学生能更好地理解一元二次方程的根与系数之间的关系，进一步掌握一元二次方程的解法，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的解法、根的判别式等知识，对二次方程有一定的认识和了解。

但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。

因此，在教学过程中，要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能运用这一关系解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主发现一元二次方程的根与系数之间的关系。

3.情感态度与价值观目标：培养学生的团队合作意识，提高学生分析问题、解决问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：如何引导学生发现并证明一元二次方程的根与系数之间的关系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾一元二次方程的解法、根的判别式等知识，引导学生进入新课。

2.自主探究：让学生独立思考，尝试发现一元二次方程的根与系数之间的关系。

3.合作交流：学生分组讨论，分享自己的发现，互相启发，共同归纳出一元二次方程的根与系数之间的关系。

4.讲解演示：教师对学生的发现进行讲解，利用多媒体课件展示一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生理解并掌握这一关系。

5.练习巩固：让学生进行相关的练习，巩固所学知识。

6.拓展提高：引导学生运用一元二次方程的根与系数之间的关系解决实际问题，提高学生的应用能力。