九上数学精品课件22.3 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
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第二十二章
二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二 次函数问题．(重点) 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、 难点) 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个 2 二次函数的形式为 y ax
如何确定a是多少？
-2
-1 -2
1
2
A
已知水面宽4米时，拱顶离水 面高2米，因此点A（2，-2） 在抛物线上，由此得出 解得
8 2 2
那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米. y
O
x
3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组
成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根
不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图）， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ C ） A.50m B.100m C.160m D.200m
y
●
B(1,2.25)
A (0,1.25)
●
D
o
●
x
C
练一练
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中， 求出这条抛物线表示的函数的解析式；
y C 解：设该拱桥形成的抛 O h 20 m D B
2. 物线的解析式为 y = ax x ∵该抛物线过(10,-4),
解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的 位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处. y
O
x
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，
即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
2.2Байду номын сангаасa+k=3.05， k=3.5， 解得 a=－0.2， k=3.5，
4.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如
图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成， 矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的 表达式．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 . ∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
7 ∴﹣5.6=36a，a . 45
3 x 2 2
1 3 9 y 1.125 2 2 8
因此拱顶离水面高1.125m
y
我们来比较一下
（2，2）
y
（0，0）
o
x
o
（0，0）
（4，0） x
（-2，-2）
（2，-2）
y （0，2）
（-2，2） 谁最 合适
y
（-2，0）
o
（2，0）
o x
（-4，0）
（0，0） x
知识要点
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
典例精析
例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面 处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由
柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状
导入新课
问题引入
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱 桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米. 现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样 变化．你能想出办法来吗？
讲授新课
一 利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
因此，
2 ag22 1 a 2
y 1 2 x 2
-4
，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
2.45 x 2.45
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 水面宽3m时 从而
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当 x=－2.5时，y=2.25 .
y
故该运动员出手时的高度为2.25m. O
x
当堂练习
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式 h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过 的时间，则球在 4 s后落地. 2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 y 1 x 2 1 x 3 ，
A
∴-4=100a，a=-0.04 ∴y=-0.04x2.
二 利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距
离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运
行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，
篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中 心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少米？
相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计 成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如 果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使 喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为 (1，2.25).
y
●
B(1,2.25)
导入新课
情境引入
我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州 观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛
美丽的广州吧！
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的
坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y y y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c
数学化
●
A (0,1.25)
D
o
●
x
C
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛 物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) . 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半 径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二 次函数问题．(重点) 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、 难点) 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个 2 二次函数的形式为 y ax
如何确定a是多少？
-2
-1 -2
1
2
A
已知水面宽4米时，拱顶离水 面高2米，因此点A（2，-2） 在抛物线上，由此得出 解得
8 2 2
那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米. y
O
x
3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组
成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根
不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图）， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ C ） A.50m B.100m C.160m D.200m
y
●
B(1,2.25)
A (0,1.25)
●
D
o
●
x
C
练一练
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中， 求出这条抛物线表示的函数的解析式；
y C 解：设该拱桥形成的抛 O h 20 m D B
2. 物线的解析式为 y = ax x ∵该抛物线过(10,-4),
解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的 位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处. y
O
x
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，
即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
2.2Байду номын сангаасa+k=3.05， k=3.5， 解得 a=－0.2， k=3.5，
4.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如
图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成， 矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的 表达式．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 . ∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
7 ∴﹣5.6=36a，a . 45
3 x 2 2
1 3 9 y 1.125 2 2 8
因此拱顶离水面高1.125m
y
我们来比较一下
（2，2）
y
（0，0）
o
x
o
（0，0）
（4，0） x
（-2，-2）
（2，-2）
y （0，2）
（-2，2） 谁最 合适
y
（-2，0）
o
（2，0）
o x
（-4，0）
（0，0） x
知识要点
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
典例精析
例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面 处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由
柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状
导入新课
问题引入
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱 桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米. 现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样 变化．你能想出办法来吗？
讲授新课
一 利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
因此，
2 ag22 1 a 2
y 1 2 x 2
-4
，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
2.45 x 2.45
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 水面宽3m时 从而
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当 x=－2.5时，y=2.25 .
y
故该运动员出手时的高度为2.25m. O
x
当堂练习
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式 h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过 的时间，则球在 4 s后落地. 2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 y 1 x 2 1 x 3 ，
A
∴-4=100a，a=-0.04 ∴y=-0.04x2.
二 利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距
离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运
行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，
篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中 心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少米？
相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计 成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如 果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使 喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为 (1，2.25).
y
●
B(1,2.25)
导入新课
情境引入
我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州 观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛
美丽的广州吧！
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的
坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y y y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c
数学化
●
A (0,1.25)
D
o
●
x
C
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛 物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) . 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半 径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.