提公因式1
数学：12.2提公因式法第一课时
解:12x2y+18xy2 解:-x2+xy-xz =-x(x+y-z) =3xy(4x+6y)
解:2x3+6x2+2x =2x(x2+3x)
你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
小结：提公因式法
1、多项式的第一项系数为负数时，先提
取“-”号，注意多项式的各项变号；
2、 公因式的系数取多项式各项 系数的最大公约数 __________________; 3、 字母取多项式各项中都含有 相同的字母 的____________; 4、 相同字母的指数取各项中最 最低次数 小的一个,即_________.
a b
如果一个多项式的各项含有公因 式，那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形 式.这种分解因式的方法叫做 提公因式法.
多项式2x2+6x3，12a2b3-8a3b2-16ab4 各项的公因式是什么？
你是如何确定的？（小组总结）
确定公因式的方法： 1、定系数：公因式的系数是多项 式各项系数的最大公约数。
例1
（1）把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b
=3a(a-3b)
3a 3a a 9ab 3a 3b
2
温馨提示 分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， (即将多项式化为两个因式的 乘积)
（2）把8a3b2+12ab3c分解因式 .
分析:先找出各项的公因式,然后再分解. 公因式： 4ab2
提公因式法分解因式与单项式 乘多项式有什么关系？
互逆
分解因式要注意什么？ 1 分解的对象必须是多项式. 2 分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. 3 要分解到不能分解为止.
提公因式法(1)
提公因式法（1）学习目标：1、理解公因式及提公因式法.2、会找多项式中各顶的公因式及会用提公因式法分解因式.学习过程：一、快乐自学（自信使人成功）根据学习目标，自学教材P5- P8，并完成下列问题：1、多项式各项都有的__________叫做多项式各项的公因式. 把一个多项式中各项的公因式提到括号外面, 这种把多项式因式分解的方法叫做___________.须注意:⑴公因式的系数是各项系数的____________;⑵公因式含的字母是各项中____的字母, 且其指数应取次数_______的;⑶公因式是多项式的某项时, 提出公因式后, 该项应改为___充当;⑷首项为负数时, 应先提取”-“号, 使剩下因式第一项系数为____数;⑸当提公因式的各项中为分数系数时, 须把公分母也提出来.2、(1)代数式 223212,9,3abc a b b c -的共同点是都含有一个因式______________;(2)代数式2216,12,24x y xy xy -的共同点是都含有一个因式__________.3、你能指出下面多项式中各项的公因式吗？⑴ 22a +43a ⑵ 24xy+16x 2y⑶362m n+48m 2n⑷-12y x 2 +18xy - 15y (5) 2323r h r ππ+4、把下列各式分解因式（1）8x －72= ； （2）a 2b －5ab= ；（3）4m 3－6m 2= ； （4）a 2b －5ab+9b= 。
二 、合作探究（团结就是力量）三、拓展延伸（勇攀知识高峰）1. 如何利用因式分解法计算:3.167×1.258+1.258×(-4.167)+11×1.258 ?2. 20123- 4×20113+ 10×20103能被7整除吗? 为什么?四、达标训练（迅达成功彼岸）（一）、必做题：1、多项式11824n n x x +-的公因式是___,提取公因式后另一个因式是 .2、把下列多项式分解因式:(1)2328a bc a b +; (2)323612a a b a -+;(3)3223314728m n m n m n +-; (4)323612x x x -+-;(5)32222152142x y xy x y --+; (6)21327n n n aa a ++-+-（二）、选做题：3、分解因式: 22221218246(________________)a b ab a b ab -+=.4、若8,12a b ab +==,则22ab a b --的值是_____.5、计算: 2009201011()()22-+-=_____；6、已知,x y 互为相反数,则233x xy +=__________. 五、课外作业：（不满是向上的车轮）完成教材P10 A 组1 ,2.⑴⑵⑶ 3题学习反思：。
4.2提公因式法(1)
小颖解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解：
8 a3b2 –12ab3c + ab = ab· 8a2b - ab· 12b2 c +ab· 1 = ab(8a2b - 12b2c)
当多项式的某一项和 公因式相同时，提公因 式后剩余的项是1。
错误
2
ab( 2abc－1 )
（提取后括号内的多项式为整数系数） 1 1 1 2 3. m n－ mn2＋ mn 8 4 2
1 = mn(4m－2n＋1) 8
思考题 1、分解因式计算 (-2)101+(-2)100 2、利用简便方法计算：
4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8
3、已知 a+b=3, ab=2, 求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2 的值。 4、把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式.
判断下列分解因式正确吗
2.3a²c-6a³c=3a²(c-2ac)
=2ab(4a²-6b²c+1)
我做得 对吗？
1.2x²+3x³+x=x(2x+3x²) X(2X+3X²+1) 3a²c(1-2a) 注意: 提取公因式后, (1)另一个因式不能再 含有公因式;(2)另一个因式的项数与原多项 式的项数一致.
2
ab( 2abc－1 )
（提取后括号内的多项式为整数系数） 1 1 1 2 3. m n－ mn2＋ mn 8 4 2
1 = mn(4m－2n＋1) 8
提公因式法分解因式
正确的找出多项式各项的公因式。
注意：
因式分解(1)-提取公因式(1)(1)
──提公因式法
揭标引学
1.了解因式分解的意义，会用提公因式法进 行因式分解（指数是正整数）；
2.经历通过整式乘法逆向得出因式分解方法 的过程，发展学生的逆向思考问题的能力和推理 能力.
情境引入
计算：375×2.8+375×5+375×2.2 解：原式=375×(2.8+5+2.2) =375×10 =3750
射阳县实验初中
例题讲解
例2：把下列各式分解因式 (1)12a2bc-6ab (2)-2m3+8m2-12m
♦当多项式的第一项的系数是“−”时，通常 把“−”作为公因式的负号写在括号外，使括 号内第一项的系数化为“+ ”． ♦提公因式法因式分解的关键就是找公因式．
射阳县实验初中
练一练：【自学检查】
射阳县实验初中
拓展延伸
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(1+x)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)2 （1）上述分解因式的方法是_提__取_公__因_式___法，共应用 了__2___次； （2）若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2018，则 需要应用上述方法_2_0_1_8_次，分解因式后的结果是 _____； （3）请用以上的方法分解因式： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n (n为正整数)，必须 有简要的过程.
提公因式法1
(3)a b+ab
2
2
(4)3x -6x
2
3
(5)8m2 n+2mn2 (6)3x 2-6xy+3x
如何确定多项式的公因式？ 公因式的确定：（1）系数—— 最大公约数 （2）字母—— 各项都含有的相同字母 （3）指数—— 相同字母的最低次幂
（1）a b+ab =ab (
2 2
2
2
a+b
2
)
(2) 3x -6x =3x (
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
课本第96页习题4．2第1题
3、多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 3x +4x呢？多项式mb +nb–b呢？ 答：多项式ab+ac有相同的因式 a，多项式3x2 +4x有相同的因式 x，
2 多项式mb +nb–b有相同的因式 b。
2
2
结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
(1)2x+4 (2)ma+mb+mc
3
2
（4） 3a m–6a m +12am
3
2
（5）–2x –12xy +8x
2
2
用提公因式法分解因式： （1）ma +mab （4）a b-5ab+9b
2 2
(2) 3y +6y
3
3
2 2
(3) ab - 5ab
2
(5)-4a +4a - 16a
从今天的课程中，你学会了哪些知识？需要注意什么地方？ 1、学会了用提公因式法分解因式（第一找公因式，第二提公因式） 2、要注意：用提公因式法进行因式分解时，要做到准确迅速地确定公因式， 需考虑以下因素： ①第一项有负号，先把负号作为公因式的符号； ②公因式系数是各项系数的最大公约数； ③公因式中的字母是各项都含有的字母； ④公因式中的字母的次数是各项相同字母的最低次幂； ⑤若有某项与公因式相同时，该项保留公因式是1，而不是0；不要丟项。 ⑥提公因式一定要提最大公因式，要提“净”。
提公因式法(1)教案和教学反思
4.2提公因式法（1）学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。
2.会用提公因式法把多项式因式分解。
教学重点：能确定多项式公因式，并用提公因式法把多项式因式分解。
教学难点：确定多项式的公因式。
教学过程：一、复习回顾，引入课题1.什么是因式分解？2.因式分解与整式乘法有什么关系？二、自主先学，感知设疑小组讨论自学的收获和困惑：1.什么是公因式？2.如何确定多项式各项的公因式？3.会用提公因式法把多项式因式分解吗？三、目标导学，情境引入（一）展示学习目标，让学生齐读。
学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。
2.会用提公因式法把多项式因式分解。
（二）情境引入多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式m b2+nb-b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流。
这几个多项式的相同因式比较好找，学生容易找到，并逆用乘法分配律将他们写成几个因式的乘积的形式，让学生初步感受找公因式，并提公因式。
四、互助研学，探究解疑（一）探究活动一公因式的定义利用情境中提出的几个多项式让学生归纳出公因式的定义，并让学生齐读记忆。
培养学生的初步归纳能力。
一个多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
（二）议一议：确定公因式的方法？多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？让学生分组讨论，教师可以点拨学生从系数，字母，指数三方面去考虑。
学生讨论后提问并归纳出确定公因式的方法：系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数；字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即取字母最低次幂。
简单的说就是：1.定系数；2.定字母；3.定指数。
（三）即学即练1.多项式8x2y-14x2y+4x y3各项的公因式是（）A. 8xyB. 2xyC. 4xyD. 2y2.下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是（）A.15a2b−20a2b2B.30a2b3-15a b4-10a3b2C.10a2b2-20a2b3+50a4b5D.5a2b4-10a3b3+15a4b2(四)探究活动二提公因式分解因式你能将多项式2x2+6x3因式分解吗？指名上台讲解。
提公因式法(1)
提公因式法（1）三原县东郊中学陈娟【教学目标】1、经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中，能确定多项式的公因式。
2、让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式。
3、通过找公因式，培养学生的观察能力。
4、在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用。
【教学重点】能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.【教学难点】让学生识别多项式的公因式，并注意各种变形的符号问题。
【教学方法】独立思考——合作交流法.【教学设计】一、回顾思考，引入新课：1.什么是因式分解？把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．2.因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。
二、初探新知，学习探究：1、ma+mb+mc=m（a+b+c）因式分解m（a+b+c）=ma+mb+mc整式乘法［师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.公因式：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、议一议：（1）8－12abc的公因式是什么？（2）8ab－12abc的公因式是什么？（3）8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？3、找出下列各多项式中的公因式：（1）8x+64（2）3x+x3（3）7x3-21x2 (4)8a3b2-12ab3c+ab ［师］通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.【过关秘密武器】：正确找出多项式各项公因式的关键是：一定系数：各项整数系数的最大公约数；（包括常数项）二定字母：取各项的相同的字母；三定指数：相同字母的指数取次数最低的，即相同字母最低次幂。
温馨提示：一定系数二定字母三定指数速记口诀：公因式，要提取；公约数，取大值；公有字母提出来；字母次数要最低。
1. 因式分解技巧-提公因式 -单墫
1.提公因式学过因式分解的人爱说：“一提、二代、三分组．”“提”是指“提取公因式”．在因式分解时，首先应当想到的是有没有公因式可提． 几个整式都含有的因式称为它们的公因式．例如ma 、mb 、-mc 都含有因式m ，m 就是它们的公因式．由乘法分配律，我们知道,)(mc mb ma c b a m -+=-+因此 )1).((c b a m mc mb ma -+=-+这表明(1)式左边三项的公因式m 可以提取出来，作为整式-+mb ma mc 的因式．mc mb ma -+的另一个因式c b a -+仍由三项组成，每一项等于mc mb ma -+中对应的项除以公因式m:.,,m mc c m mb b m ma a ÷=÷=÷=1.1 - 次 提 净例1 分解因式：.156122232acx y abx x a -+ 解 223215612acx y abx x a -+由223215612acx y abx x a -、、这三项组成，它们的数系数12、6、-15的最大公约数是3，各项都含有因式a 和,2x 所以23ax 是上述三项的公因式，可以提取出来作为+3212x a 22156acx y abx -的因式，即有223215612acx y abx xa -+ ).524(32c by ax ax -+=在例1中，如果只将因式3a 或3ax 提出，那么留下的式子仍有公因式可以提取，这增添了麻烦，不如一次提净为好．因此，应当先检查数系数，然后再一个个字母逐一检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以直接提取，还需注意原式如果由三项组成，那么提取公因式后留下的式子仍由三项组成．在例1中，这三项分别为223215612acx y abx x a -、、除以公因式23ax 所得的商．初学的同学为了防止产生错误，可以采取两点措施：1．在提公因式前，先将原式的三项都写成公因式23ax 与另一个式子的积，然后再提取公因式，即 223215612acx y abx x a -+)5(32343222c ax by ax ax ax -⋅+⋅+⋅=).524(32c by ax ax -+⋅=在熟练之后应当省去中间过程，直接写出结果．2．用乘法分配律进行验算．由乘法得出)524(32c by ax ax -+.156122232acx y abx x a -+=1.2 视“多”为 一例2 分解因式：.))((6)()(223322c b y x b a c b y x b a ++-++ 解 原式由 23322))((6)()(2c b y x b a c b y x b a ++-++、这两项组成．它们的数系数的最大公约数是2，两项都含有因式2a 和b ，而且都含有因式y x +与,c b + 因此))((22c b y x b a ++是它们的公因式．于是有 23322))((6)()(2c b y x b a c b y x b a ++-++)(3))((2)())((2222C b ab c b y x b a y x c b y x b a +⋅++-+⋅++=)](3))[()((222c b ab y x c b y x b a +-+++=).33)()((2232c ab ab y x c b y x b a --+++=在本例中，我们把多项式c b y x ++、分别整个看成是一个字母，这种观点在因式分解时是很有用的.l.3 切 勿 漏 1例3 分解因式：).2()2()2(23y x y x y x +++-+ 解 我们把多项式y x +2看成是一个字母，因此原式由y x y x y x ++-+2)2()2(23、、这三项组成，y x +2是这三项的公因式，于是)2()2()2(23y x y x y x +++-+1)2()2()2()2()2(2⋅+++⋅+-+⋅+=y x y x y x y x y x].1)2()2)[(2(2+⋅+-++=y x y x y x请注意，中括号内的式子仍由三项组成，千万不要忽略最后一项1．在省去中间过程时，尤需加倍留心．1.4 注 意 符 号例4 分解因式：).32()32()32(334y x a y x ac y x ab +-+++-解 )32()32()32(334y x a y x ac y x ab +-+++- ++⋅+++⋅-⋅+=23)32()32()32()3()32(y x c y x a y x b y x a )1()32(-⋅+y x a].1)32()32(3)[32(23-+++-+=y x c y x b y x a注意中括号内的最后一项是-1，千万别漏掉！本例中，原式的第一项有个因数-1，它也可以作为因数提取出来，即)32()32()32(334y x a y x ac y x ab +-+++--+-⋅+-+⋅+-=23)32)(()32()32(3)32(y x c y x a y x b y x a 1)32(⋅+y x a].1)32()32(3)[32(23++-++-=y x c y x b y x a (2)这样做也是正确的．但必须注意各项的符号，提出因数-1后各项都应改变符号，所以(2)式的中括号内三项的符号恰与原式中相应的三项相反．1.5 仔 细 观 察例5 分解因式：).32)(32()23)(32(y x x y y x y x +-+--解 初看起来，原式所含的第一项)23)(32(y x y x --与第二项)32)(32(y x x y +-没有公因式，但进一步观察便会发现),23(32y x x y --=-因此y x 23-是两项的公因式．于是有)32)(32()23)(32(y x x y y x y x +-+--)]32()32)[(23(y x y x y x +---=).23(6y x y --=提出公因式后，留下的式子如果可以化简，就应当化简．1.6 化“分”为 整例6 分解因式： .427633223ab b a b a +- 解 这里的第三项ab 427的系数是分数，为了避免分数运算，我们把⋅41先提取出来，这时每项都除以41（也就是乘以4），即 ab b a b a 427633223+-)272412(413223ab b a b a +-= ).984(4322+-=ab b a ab 熟练以后可以将以上两步并作一步，“一次提净”．在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把-1作为公因数提出，使第一项系数成为正整数，小 结提公因式是因式分解的基本方法之一，在因式分解时，首先应该想到是否有公因式可提。
4.2-提取公因式法公开课(1)
第六章第2节《提取公因式法》【教学背景】“提取公因式法”是“浙江版七年级数学（下）”第六章第二节内容。
本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链结开拓作用。
提取公因式法是因式分解的基础，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程（如一元二次方程）打下结实的基础，从而也为学生的运算能力拓展了道路。
（老教材本小节是分两个课时上的）【教学内容分析】“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法。
它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练。
例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化。
利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形。
（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式。
）能力目标：⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。
⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。
情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。
【教学重点、难点】1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。
⒉．教学难点∶正确地找出公因式【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式）【教学工具】应用投影仪（计算机）【教学过程】㈠创设情境，提出问题如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？列式：3.7×3.8+3.7×6.2 (学生思考后列式)3.7 有简便算法吗?=3.7×(3.8+6.2)3.7 =3.7×10=37(m2)在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:ma＋mb =m(a＋b)利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点.（使学生初步意识到因式分解可以使运算简便,同时起到使知识进行迁移化归.）【以问题引入能引起学生的学习兴趣，符合学生的认知规律。
多项式的因式分解提公因式法 (1)
多项式的因式分解提公因式法一、知识概述因式分解与整式和分式联系极为密切.因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础.1、一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式，此时，h也是f的一个因式，2、一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．3、几个多项式的公共的因式称为它们的公因式．4、如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法．5、提公因式的方法公因式的系数为各项系数的最大公约数，字母部分为相同字母的最低次数．如8x3y2－6x2y3＋2xy4的公因式为2xy2；用提公因式法分解因式的关键是准确地出公因式，解题步骤可概括为“一找、二分、三提、四查”.二、重难点知识1、对因式分解的理解(1)因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘的逆向变形.(2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.(3)分解因式都是在指定的数集内进行(如无特殊说明，一般指有理数)，其结果要使每一个因式不能再分解为止.2、公因式的构成①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.3、提公因式时要一次提尽.添加括号时如果括号前面有负号，括号内的各项要变号．三、典型例题讲解例1、（1）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A．(x＋5)(x－5)=x2－25B．C．x2y－xy2=xy(x－y)D．15=3×5（2）下列各式的因式分解中正确的是（）A．－a2＋ab－ac=－a(a＋b－c)B．9xyz－6x2y2=3xyz(3－2xy)C．3a2x－6bx＋3x=3x(a2－2b)D．解析：（1）显然，A是乘法运算，不正确；B分解因式是将多项式分成几个整式的积，而右边有分式；D是常数，是单项式，不是多项式，不属于分解因式范围，所以C是正确的.（2）A．提－a后括号里面各项要变号，但第二、三项未变号.B．第二项没有公因式z.C．提3x后，括号里第三项还有因数1，掉了一项.D．是正确的.答案：（1）C；（2）D例2、分解因式：（1）.(2).分析：(1)由于两项、中都有公因式，因此可提取.(2)多项式中各项字母没有相同的，因此只需提出系数公约数即可. 解：(1)=.(2)=.点评：（1）当公因式是单项式时，一定要注意取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂；(2)对于数字系数，提出的系数应是多项式中各项系数的最大公约数.很多同学在分解因式时容易忽略数字系数的处理，以致于造成分解不彻底的错误.（3）提公因式后，一定要注意括号内的项数与原多项式的项数在合并同类项之前是相同的，不能漏项，尤其是将整个一项作为公因式提取后，这一项就变为1.例3、把下列各式分解因式：(1)6x4y2－12x3y＋27x2y3；(2)－x4y＋x3y2－x2y3；(3)x n＋3x n－1＋x n－2；(4)5(x－y)3＋10(y－x)2；(5)m(5ax＋ay－1)－m(3ax－ay－1).分析：分解因式时，首先要看多项式各项有无公因式，若有公因式，应先提取公因式，要对数字系数和字母分别进行考虑，如果系数为整数，应该提各项系数的最大公约数；字母考虑两点：一点是取各项相同的字母，一点是各项相同字母的指数取最低的；公因式提出后，剩下的因式的求法是：用公因式去除多项式的每一项，所得的商即为剩下的因式.一个多项式中的公因式，既可以是一个单项式，也可以是一个多项式，注意用整体思想去观察分析多项式，关于幂的底数的符号与指数有如下规律：解：(1) 6x4y2－12x3y＋27x2y3＝3x2y·2x2y－3x2y·4x＋3x2y·9y2＝3x2y(2x2y－4x＋9y2)(2)－x4y＋x3y2－x2y3＝－(x4y－x3y2＋x2y3)＝－(x2y·x2－x2y·xy＋x2y·y2)＝－x2y(x2－xy＋y2)(3)x n＋3x n－1＋x n－2＝x n－2·x2＋x n－2·3x＋x n－2·1＝x n－2(x2＋3x＋1)(4)5(x－y)3＋10(y－x)2＝5(x－y)3＋10(x－y)2＝5(x－y)2(x－y＋2)(5)m(5ax＋ay－1)－m(3ax－ay－1)＝m[(5ax＋ay－1)－(3ax－ay－1)]＝m·(5ax＋ay－1－3ax＋ay＋1)＝m(2ax＋2ay)=2ma(x＋y)例4、不解方程组求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值.分析：先把7y(x－3y)2－2(3y－x)3进行因式分解，再将2x＋y=6和x－3y=1整体代入. 解：7y(x－3y)2－2(3y－x)3=7y(x－3y)2＋2(x－3y)3=(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]=(x－3y)2(2x＋y)∵2x＋y=6，x－3y=1，∴原式=12×6=6．点评：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用．例5、求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除．分析：先把32000－4×31999＋10×31998因式分解证明：∵32000－4×31999＋10×31998=31998×(32－4×3＋10)=7×31998∴32000－4×31999＋10×31998能被7整除．在线测试一、选择题1、在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（）A．－5x2y3=－5xy(xy2)B．x2－4－3x=(x＋2)(x－2)－3xC．ab2－2ab=ab(b－2)D．(x－3)(x＋3)=x2－92、49a3bc3＋14a2b2c2－21ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是（）A．7abc2B．7ab2c2C．7a2b2c2D．7a3bc33、已知二次三项式x2＋bx＋c 可分解为(x＋α)(x＋β)，下面说法中错误的是（）A．若b＞0，c＞0，则α、β同取正号B．若b＜0，c＞0，则α、β同取负号C．若b＞0，c＜0，则α、β异号，且正数的绝对值小于负数的绝对值D．若b＜0，c＜0，则α、β异号，且负的一个数的绝对值较大4、因式分解(x－y)2－(y－x)应为（）A．(x－y)(x－y－1) B．(y－x)(x－y－1)C．(y－x)(y－x－1) D．(y－x)(y－x＋1)5、把多项式3m(x－y)－2(y－x)2分解因式的结果是（）A．(x－y)(3m－2x－2y) B．(x－y)(3m－2x＋2y)C．(x－y)(3m＋2x－2y) D．(y－x)(2x－2y＋3m)6、在下列各式中：①a－b=b－a；②(a－b)2=(b－a)2；③(a－b)2=－(b－a)2；④(a－b)3=(b－a)3；⑤(a－b)3=－(b－a)3；⑥(a＋b)(a－b)=(－a＋b)(－a－b).正确的等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、在分解－5x3(3a－2b)2＋(2b－3a)2时，提出公因式－(3a－2b)2后，另一个因式是（）A．5x3B．5x3＋1C．5x3－1 D．－5x38、下列各组代数式中没有公因式的是（）A．5m(a－b)与b－a B．(a＋b)2与－a－bC．mx＋y与x＋y D．－a2＋ab与a2b－ab2 9、下列各题因式分解正确的是（）A．3x2－5xy＋x=x(3x－5y)B．4x3y2－6xy3z=－2xy2(2x2－yz＋3)C．3ab(a－b)－6a(a－b)=3(a－b)(ab－2a)D．－56x3yz＋14x2y2z－21xy2z2=－7xyz(8x2－2xy＋3yz)10、把3a n＋2＋15a n－1－45a n分解因式是（）A．3(a n＋2＋5a n－1－15a n)B．3a n(a2＋5a－1－15)C．3a n－1(a3＋5－15a－1)D．3a n－1(a3＋5－15a)重 做提 示B 卷二、解答题。
3.2提公因式法(1)
解： 2a(b+c)－3(b+c)
= (b+c)(2a-3)
注意：公因式可以是数字，字母，也 可以是单项式，还可以是多项式
先分解因式，再求值
4a2（x+7）-3（x+7） 其中a=-5 x=3
解： 4a2（x+7）－3（x+7） = （x+7）（ 4a2 －3） 当a=－5，x=3时， 原式=（3+7）〔4×（－5）2－3〕 =10×(100 －3) =970
例1: 找出3 x
2
– 6 x 的公因式。
x 系数：各项系数的 字母： 各项 最大公约数。
的相同字母
3
1 指数：相同字母
的最低次幂
所以，公因式是3x
指出下列各多项式中的公因式
①ax+ay+a 2 ②3mx-6nx ③4a2b+10ab2 4 3 3 3 ④x y +x y ⑤12x2yz-9x3y2
一、计算：(3x+4)(3x-4)–(2x+3)(3x-2)
二、计算下列各式 (1) ( x 3)( x 3)( x 9);
2
(2) (2 x 3) (2 x 3) ;
2 2
(3) ( x y 4)( x y 4).
(3x+4)(3x-4)–(2x+3)(3x-2)
课堂小结
本节课你学到了些什么？有哪些收获？
把下列各式分解因式 ⑴ x2+x6 ； 解: x2+x6 =x2(1+x4) ⑶ 12xyz-9x2y2. 解：12xyz-9x2y2 =3xy(4z-3xy) ⑵ 8m2n+2mn； 解：8m2n+2mn =2mn(4m+1)
提取公因式法知识点
提取公因式法知识点一、公因式的概念。
1. 定义。
- 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
例如，对于多项式6x^2 + 9x，3x就是公因式，因为6x^2=3x×2x，9x = 3x×3。
2. 确定公因式的方法。
- 系数：取各项系数的最大公因数。
例如在多项式12x^3y - 18x^2y^2+24xy^3中，系数12、-18、24的最大公因数是6。
- 字母：取各项相同的字母。
如上述多项式中相同的字母有x和y。
- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。
在12x^3y - 18x^2y^2+24xy^3中，x 的最低次幂是1（在24xy^3中），y的最低次幂也是1（在12x^3y中），所以公因式是6xy。
二、提取公因式法分解因式。
1. 提取公因式法的定义。
- 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
例如，ma + mb+mc=m(a + b + c)。
2. 提取公因式法的步骤。
- 第一步：确定公因式。
- 按照前面确定公因式的方法找出多项式各项的公因式。
例如对于多项式8a^3b^2 - 12ab^3c，先确定系数的最大公因数为4，相同字母有a和b，a的最低次幂是1，b的最低次幂是2，所以公因式是4ab^2。
- 第二步：提取公因式。
- 将公因式提出来，写成公因式与另一个多项式的乘积形式。
对于8a^3b^2 - 12ab^3c，提取公因式4ab^2后得到4ab^2(2a^2 - 3bc)。
3. 注意事项。
- 当多项式的首项系数为负时，一般要提出“ - ”号，使括号内的首项系数为正。
例如，对于-5x^2+10x，先提出“ - ”号，得到-5x(x - 2)。
- 提取公因式后，括号内的项数与原多项式的项数相同。
例如3x^2y+6xy^2 = 3xy(x + 2y)，原多项式有两项，提取公因式后括号内也是两项。
15.2提取公因式1
多媒体播放：
分为三步：
①系数：取各项系数的最大公约数；
②字母：取各项中的相同的字母，
③指数：相同字母取次数最低的.
每一个多项式都由两部分组成：系数部分与字母部分，因此，有必要将系数部分与字母部分分开讨论．在教师的引导下，学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分，最后找到这个多项式的公因式．在学生具备初步的判断能力之后，应该将学生的能力进一步升华，引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力．
课堂教学设计表
课题名称
15.2提取公因式法
学科
数学
授课班级
八年级（4）班
授课时数
第一节课
设计者
陈玲
所属学校
福建省莆田市荔城区清江中学
本节（课）教学内容分析
教材内容：
本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．
在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后，再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式．准确确定多项式中的公因式.
五、做一做
说出下列多项式各项的公因式：
(1)ma + mb ；
(2)4kx－ 8ky ；
(3)5y2+20y4；
(4)a2b－2ab4+ab .
学生独立完成习题，认识公因式。
教学难点
确定多项式中各项的公因式和理解因式分解的意义．
向学生说明提公因式的依据，培养学生不仅要掌握顺向思维的方式，还应运用逆向思维去考虑问题．由于多项式的因式分解和整式乘法是目标不同，方向相反的恒等变形，可以借此机会训练学生双向思维，特别是逆向思维方式．
提取公因式应当注意的几个问题 (1)
提取公因式应当注意的几个问题提取公因式法是最基本的也是最常用的因式分解方法，对于提取公因式法应当注意以下几个问题：1. 公因式要提尽也就是提取公因式后的多项式的各项不应该再有公因式。
例如：都是没有提尽公因式，因而没有达到因式分解的目的。
2. 小心丢掉“1”当多项式中的某一项恰好是公因式时，提完公因式这一项的位置应该是“1”，而不能把它丢掉。
例如：提取公因式的结果是，而不是。
3. 当多项式第一项系数为负时，要提出“－”号，使提取公因式后的多项式的第一项系数为正但要注意，提出“－”号后，括号内的各项都要变号。
例如：4. 公因式是多项式时，要小心符号对于公因式是多项式或多项式的幂时，要注意几种常见的变形：一般地，n为偶数时，；n为奇数时，。
例如：5. 多项式系数中出现分数的处理一般来说，当提取系数为分数的公因式后，得到的多项式的各项的系数都应该是整数，为了达到这样的目的，有两种处理方法：（1）利用分数的基本性质化成同一分母后再提取公因式。
例如：（2）直接提取各项系数中分子的最大公约数，分母的最小公倍数，作为整个公因式的系数。
如分子8、4的最大公约数是4，分母27、9的最小公倍数是27，故系数提取，于是：6. 提取公因式后，括号中的多项式要注意化简例如：7. 提取公因式分解因式的结果，对于相同因式的积一般写成幂的形成例如：例1. 下列各式因式分解正解的是（）A.B.C.D.解：A错，因为提取y后，第二项应为1而不是0。
B错，因为提取后，括号中的第二项、第三项没有变号。
C错，因为公因式没有全部提取尽，应提取，而不是。
对于D。
因为，故分解正确，应选D。
例2. 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）。
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2.2 提公因式法(一)
一、学习目标
能确定多项式各项的公因式，会用提取单项式公因式法进行因式分解．
二、导学
【活动一】算一算 计算：29
76971397⨯+⨯-⨯
【活动二】想一想
多项式bc ab +中各项有相同的因式吗？多项式x x +23呢？多项式mb 2+nb –b 呢？
结论：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的 。
比如多项式bc ab +各项公因式是 ；多项式x x +23各项公因式是 ；
三、问题提出：（小组合作）
（1）多项式3262x x +中各项的公因式是什么？
（2）你能将3262x x +写成几个因式的乘积形式吗？并尝试将bc ab +，x x +23， mb 2+nb –b 分别写成几个因式的乘积。
总结：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个 提出来，从而将多项式化成两个因式 的形式，这种分解因式的方法叫做 。
四、初步应用
将下列各式分解因式。
（1）33x x + （2）x x 2172-
（3）ab c ab b a +-323128 （4）x x x 28122423+--
五、方法小结：
1、你能说说如何确定公因式吗？
⑴如果多项式第一项系数为负，一般应该 ； ⑵取各项系数的 为公因式的系数；
⑶取各项都含有的字母的 作为公因式的因式； 12a 2b 2c 2、8a 2b 3、4a 3b 2c 的公因式是： ；
2、提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？请举例说明。
六、验收落实：
1、 写出下列多项式各项的公因式。
（1）4k x -8k y （2）am+an （3）48mn –24m 2n 3 （4）a 2b –2ab 2+ab
； ； ； ；
2、 把下列各式分解因式。
⑴728-x = ； ⑵2364m m -= ⑶ab b a 52-= ； ⑷b ab b a 952+-= ⑸ac ab a -+-2 (6)x x x 24223++-
(7)a b a b a 264233-+- (8)ma ma ma 126323-+-
3、（A 层）利用因式分解进行计算。
（1）121⨯0.13+12.1⨯0.9-12⨯1.21
（2）232221mR mR mR ++,其中14.3,12,16,20321====m R R R 。
4、（A 层）拓展提高：
试说明，对于任意整数n ，4n 2＋4n 一定是8的倍数。