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2020年上海市浦东新区建平中学高三(上)期中数学试卷

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2020-2021上海建平实验中学高三数学上期中模拟试卷(带答案)

2020-2021上海建平实验中学高三数学上期中模拟试卷(带答案)

2020-2021上海建平实验中学高三数学上期中模拟试卷(带答案)一、选择题1．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 km B ．3 kmC ．105 kmD ．107 km 2．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．363．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞ B ．()22,-+∞C ．[)3,-+∞D ．)22,⎡-+∞⎣5．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<6．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km7．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．238．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+dC ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d9．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．610．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-11．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-112．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <二、填空题13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 14．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 15．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V，则ab =__16．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 17．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________18．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．19．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，3sin23ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______.20．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．三、解答题21．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()2cos cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若22a b ==，，求()sin 2B C -的值.22．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △的面积为3，求b ，c ．23．在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且240a bc -=．(1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围．24．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 26．已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin 3A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700． 所以AC ＝107km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．2．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C3．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．4．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．B解析：B 【解析】 试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B.考点：比较大小.6．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,2222232cos (603)902603904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯g 10800=,所以603BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.7．A解析：A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===， 所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34． 故选A ． 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.10．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.故选：D . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．二、填空题13．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为解析：4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴Q 可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.14．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项解析：21nn + 【解析】 【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和， 由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.15．4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得由余弦定理可得根据同角三角函数基本关系式可得进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理可得即：由余弦定理可得可得的面积为可得解得故答案为4【点睛解析：4 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知等式可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得cos C ，根据同角三角函数基本关系式可得sin C ，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】222sin sin sin sin sin A B C A B +=+Q ，∴由正弦定理可得，222ab c a b +=+，即：222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，可得sin C ==，ABC QV 1sin 2ab C ==，∴解得4ab =，故答案为4． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16．【解析】试题分析：所以所以考点：累加法；裂项求和法 解析：40322017【解析】试题分析：111,n n n n a a n a a n +--=+-=，所以()11221112n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+=L ，所以11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，122016111140322120172017a a a ⎛⎫+++=-= ⎪⎝⎭L . 考点：累加法；裂项求和法.17．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13-【解析】 【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-.【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.18．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且 故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题 解析：(0,4)(4,8)⋃【解析】 【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】 由题意可得,14,||11a q q=<- ， 且0q ≠14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠故答案为(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.19．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】解析：【解析】 【分析】根据条件可得1cos 3ABC ∠=， cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，利用余弦定理即可得到AB 、AC 的关系，再利用基本不等式即可得解.【详解】设AD x =，3CD x =，三角形ABC 的边为a ，b ，c ，由21cos 12sin23ABC ABC ∠∠=-=， 由余弦定理得222161cos 23a c x ABC ac +-∠==，所以2222163x a c ac =+-， ① 又cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，22222262x x=2221238x c a =+-， ②①②相除化简得2232296ac a c ac -=+≥， 故4ac ≤，当且仅当3a c =成立，所以()()2222339632448AB BC c a c a ac ac +=+=++=+≤， 所以3AB BC +的最大值为3 故答案为：3 【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，考查了方程思想和运算能力，属于中档题.20．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为 解析：23π【解析】由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571cos 2352C +-==-⨯⨯,故2π3C =,也就是最大内角为2π3. 三、解答题21．（Ⅰ）34C π=（Ⅱ）210- 【解析】 【分析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得C 的大小.（II ）根据余弦定理求得c ，利用正弦定理求得sin B ，利用同角三角函数关系式求得cos B ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角差的正弦公式求得()sin 2B C -的值. 【详解】()sin cos sin cos sin 0C A B B A C ++=sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-，∵0C π<<，∴34C π=（Ⅱ）因为2a b ==，34C π=，由余弦定理得2222cos 2422102c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴c =由sin sin sin c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以cos B =4sin 225B ==，223cos 2cos sin 5B B B =-=()43sin 2sin 2cos cos 2sin 525210B C B C B C ⎛-=-=⨯--⨯=- ⎝⎭【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题. 22．(1)60A =︒；(2)2b c ==. 【解析】 试题分析：（1）由题意利用正弦定理边化角可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得()1302sin A -︒=，则60A =︒．（2）由题意结合三角形面积公式可得12S bc sinA =⋅=4bc =，结合余弦定理计算可得4b c +=，则2b c ==． 试题解析：（1）∵在ABC V 中，0acosC b c --=，利用正弦定理可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，1cosA -=， 即()1302sin A -︒=， ∴3030A -︒=︒， ∴60A =︒．（2）若2a =，ABC V 的面积为3， 则13324S bc sinA bc =⋅==， ∴4bc =，又由余弦定理可得()2222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=， ∴4b c +=， 故2b c ==．23．(1)2 12b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; (2)62m <<． 【解析】试题分析: 本题考查正弦定理和余弦定理;(1)先利用正弦定理将角角关系转化为边边关系,再通过解方程组求解;(2)利用余弦定理进行求解. 试题解析：由题意得2,40b c ma a bc +=-=． (1)当52,4a m ==时,5,12b c bc +==, 解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; (2)()222222cos 22b c bc a b c a A bc bc+--+-===()222222232a ma a m a --=-, ∵为锐角,∴()2cos 230,1A m =-∈,∴2322m <<,又由b c ma +=可得0m >, 62m << 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 24．（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ）112221n n ++--【解析】试题分析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，，根据已知由等比数列的性质可得32311(1)9,8a q a q +==，联立解方程再由数列{}n a 为递增数列可得11{2a q ==则通项公式可得（2）根据等比数列的求和公式，有122112nn n s -==--所以1112(21)(21)nn n n n n n a b s s +++==--，裂项求和即可 试题解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，所以有323141231(1)9,8a a a q a a a q +=+===联立两式可得11{2a q ==或者18{12a q ==又因为数列{}n a 为递增数列，所以q>1，所以11{2a q == 数列{}n a 的通项公式为12n n a -=（2）根据等比数列的求和公式，有122112nn n s -==--所以1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b s s ++++===----- 所以1111111111221 (133721212121)n n n n n n T ++++-=-+-++-=-=---- 考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和25．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+． （2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221nn n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 26．（1）π3A =（2）△ABC 为等边三角形 【解析】分析：（1）由//m n u r r ，得3sin (sin )02A A A ⋅-=，利用三角恒等变换的公式，求解πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求解角A 的大小； （2）由余弦定理，得224b c bc =+-和三角形的面积公式，利用基本不等式求得4bc ≤，即可判定当b c =时面积最大，得到三角形形状．详解：（1）因为m//n,所以()3sin sin 02A A A ⋅-=.所以1cos23022A A --=1cos212A A -=， 即 πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 因为()0,πA ∈ , 所以ππ11π2666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，. 故ππ262A -=，π3A =. （2）由余弦定理，得 224b c bc =+-又1sin 24ABC S bc A bc ∆==， 而222424b c bc bc bc bc +≥⇒+≥⇒≤，（当且仅当b c =时等号成立）所以1sin 42ABC S bc A ∆==≤=.当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.。

2020届上海市建平中学高三上学期12月月考数学试题解析版

2020届上海市建平中学高三上学期12月月考数学试题解析版

2020届上海市建平中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．“1arcsin 3α=”是“1sin 3α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件，必要条件的定义即可判断． 【详解】 因为1arcsin3α=⇒1sin 3α=，但是 1sin 3α=⇒ 1arcsin 23k απ=+或1arcsin 23k αππ=-+，k Z ∈．所以“1arcsin 3α=”是“1sin 3α=”的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的判断，涉及三角方程的解法应用，属于基础题．2．已知数列{}n a 满足：()()200911201812.20193n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．则下列结论正确的是（ ）A ．lim n n a →+∞和lim n n S →+∞都存在B ．lim n n a →+∞和lim n n S →+∞都不存在C ．lim n n a →+∞存在，lim n n S →+∞不存在 D ．lim n n a →+∞不存在，lim n n S →+∞存在 【答案】A【解析】根据数列的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式以及分组求和法即可求解. 【详解】数列{}n a ，对任意的正整数n ，()()20091,1201812.20193n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩， 设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，12320181a a a a ∴=====，102019123a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，112020123a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，，200912,20193n n a n -⎛⎫=-⨯≥ ⎪⎝⎭102018202791121331120182018213313n n n S --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=+=+⨯- ⎪⎝⎭-， 202799111lim lim 201822018333n n n n S -→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫∴=+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 20091lim lim 203n n n n a -→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以lim n n a →+∞和lim n n S →+∞都存在. 故选：A 【点睛】本题考查了数列的分组求和、等比数列的前n 项和公式、数列极限，考查了基本计算能力，属于中档题.3．对于实数0.2019a =，定义函数()f n k =定义域为Z +，其中k 为a 的小数点后第n 位的数字，规定()02f =，则()()()f f f n 的值域为（ ）A ．{}2,0,1,9B ．{}2,0,1C ．{}0,1D ．{}2,0【答案】D【解析】可知()f n 是以4为周期的函数，根据定义依次求出()f n ，(())f f n ，()()()f f f n 的取值范围即可.【详解】可知()f n 是以4为周期的函数，()f n k =，且{}2,0,1,9k ∈，{}()2,0,1,9f n ∴∈， (2)0,(0)2,(1)2,(9)(1)2f f f f f =====， {}(())0,2f f n ∴∈，()()(){}0,2f f f n ∴∈，即()()()f f f n 的值域为{}0,2.故选：D.【点睛】本题考查函数周期性的应用，属于基础题. 4．已知数列{}n a 满足112a =-，2131n n n a a a +=++，若12n nb a =+，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则使得2019S k -最小的整数k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】根据2131n n n a a a +=++，得到10n n a a +->，判断出n a 为递增数列，由()()1112n n n a a a ++=++，从而得到11111n n n b a a +=-++，然后利用裂项相消法得到2019S ，从而得到2019S k-，判断出201911a +的范围，得到要使2019S k -最小的整数k的值. 【详解】因为2131n n n a a a +=++，所以()2212110n n n n n a a a a a +-=++=+≥，所以n a 为递增数列，而()()2113212n n n n n a a a a a ++=++=++，所以()()1111111212n n n n n a a a a a +==-+++++ 所以1111211n n n n b a a a +==-+++， 因为数列{}n b 的前项和为n S ，112a =- 所以2019122320192020111111111111S a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+-++++++ 2020121a =-+而()()21131124a a a +=++=， ()()3227711216a a a +=++=，所以20203771116a a ++=≥从而得到202011382,2177a ⎡⎫-∈⎪⎢+⎣⎭所以2019S k -要取最小，k 的整数值为2， 故选C. 【点睛】本题考查数列的递推关系研究数列的性质，裂项相消法求数列的和，属于中档题.二、填空题5．已知角α的终边过点()2,3-，则sin 2α=_________. 【答案】1213-【解析】求出r ，直接利用三角函数的定义，求出sin α，cos α，再利用二倍角公式求解即可． 【详解】r ==所以sin α==cos α== 则sin 2α=2=1213- 故答案为1213- 【点睛】本题是基础题，考查三角函数的定义及二倍角公式，考查计算能力，常考题型． 6．已知复数z 满足1i z i ⋅=-（其中i 为虚数单位），则z =__________．【解析】先求出复数z ，再利用复数的模的计算公式即可求出． 【详解】因为1i z i ⋅=-，所以11iz i i-==--，即z ==．． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则以及复数的模的计算公式的应用，属于基础题． 7．函数()21sin f x x =+的最小正周期是__________．【答案】π【解析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期． 【详解】因为()21cos 2311sin 1cos 2222x f x x x -=+=+=-， 所以函数的最小正周期为22T ππ==． 故答案为：π． 【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用以及余弦型函数的周期公式的应用，属于基础题． 8．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2414a a +=，770S =，则数列{}n a 的通项公式为________． 【答案】32n a n =-【解析】根据条件列关于首项与公差的方程组，解得结果代入等差数列通项公式得结果. 【详解】因为2414a a +=，770S =，设公差为d ， 所以11134d a a d +++=，11776702a +d ⨯⨯=， 解得13,113(1)32n d a a n n ==∴=+-=-， 故答案为32n a n =- 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．若23(2)n a b +的展开式中有一项为412ma b ，则m =__________． 【答案】60【解析】根据二项展开式的通项公式，得出23(2)na b +的展开式的第1r +项，求出412a b 的系数，即可得出结果. 【详解】因为23(2)na b +展开式的第1r +项为22312r n r n r r r n T C ab --+=， 令224312n r r -=⎧⎨=⎩，解得64n r =⎧⎨=⎩，则426260m C ==.故答案为：60. 【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.10．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数的值是 . 【答案】8【解析】试题分析：221610x y -=的右焦点为，所以【考点】本小题主要考查双曲线和抛物线中基本量的计算，考查学生的运算求解能力. 点评：椭圆和双曲线、抛物线经常结合出题，要注意它们之间基本量的联系和区别. 11．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 _____ ． 【答案】40【解析】设B 层中的个体数为n ，则211828nn C =⇒=，则总体中的个体数为8540.⨯=12．设三条不同的直线：()()()123:2310,:2130,:1230l ax by a b l bx a b y a l a b x ay b ++++=++++=++++=，若它们交于同一点，则+a b 的值为_____________. 【答案】12-【解析】设1c a b =++，联立方程组消去,x y 得33330a b c abc ++-=，分解因式即可得结果. 【详解】设1c a b =++，三条直线相交于点(),x y ，则有230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（※）消去,x y 得33330a b c abc ++-=，即()()2220a b c a b c ab bc ac ++++---=，把1c a b =++代入得()()()()222221110a b a b b a ⎡⎤++-++++=⎣⎦， 当()()()222110a b b a -++++=时，解得1a b ==-，不合题意，舍去； 所以2210a b ++=，解得12a b +=-， 故答案为：12-. 【点睛】本题主要考查了直线的交点问题，设1c a b =++可大大简化计算量，属于中档题. 13．已知ABC 的面积为1，点P 满足324AB BC CA AP ++=，则PBC 的面积等于__________． 【答案】12【解析】取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得,,A P D 共线，从而得到1122PBC ABC S S ∆∆==． 【详解】取BC 的中点D ，1()2AD AC AB ∴=+． 432()()AP AB BC CA AB BC CA AB BC AB AC AB =++=+++++=+，1()4AP AC AB ∴=+ ∴12AP AD =，即,,A P D 共线．1122PBC ABC S S ∆∆==．故答案为：12．【点睛】本题主要考查向量共线定理，中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算，属于基础题．14．已知集合U ={1，2，3，4，5}，{|}I X X U =⊆，从集合I 中任取两个不同的元素A ､B ，则A ∩B 中恰有3个元素的概率为____________ . 【答案】562【解析】【详解】当A ∩B 确定后，如A ∩B ={3，4，5}时，设A =A'∪{3，4，5}，B =B ′∪{3，4，5}，A ′∩B =∅，那么{A'，B'}的情况有：{∅，{1}}，{∅，{2}}，{∅，{1，2}}，{{1}，{2}}，共4种情形.所以所求的概率为35232C 410425C 323162⨯⨯⨯==⨯. 故答案为：562． 15．已知平面向量,,a b c 满足0a b ⋅=，1c =，5a c b c -=-=，则a b -的最大值为__________． 【答案】8【解析】由0a b ⋅=，建立坐标系，设(),c x y =，得到221xy +=，然后将条件和所a b -的最大值，得到答案.【详解】因为0a b ⋅=，所以以a 为x 轴，以b 为y 轴建立坐标系， 设(),0a a =，()0,b b =，(),c x y =，1c =可得221x y +=，(),a c a x y -=--，(),b c x b y -=--因为5a c b c -=-=所以()()22222525x a y x y b ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 两式相加得()222212502ax by a b x y ⎡⎤+=+++-⎣⎦ 即()221482ax by a b +=+-由柯西不等式得()()()2222222ax by a bxy a b ≤+++=+，即ax by ≤+所以()221482a b ≤+-整理得2048≤-所以得80≤，(),a b a b -=-所以28a b a ≤-=+.故答案为：8. 【点睛】本题考查通过建立坐标系处理向量问题，利用柯西不等式求最值，属于中档题. 16．设函数()f x 的定义域为()1,1-且满足：①当()1,0x ∈-时，()0f x >；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，(),1,1x y ∈-；以下关于函数()f x 有四个命题：（1）()f x 为奇函数；（2）()f x 为偶函数；（3）()f x 在定义域内单调递减；（4）存在正数m ，使得对于任意的()1,1x ∈-有()f x m <；其中真命题是______． 【答案】（1）（3）【解析】首先令0x y ==得到()00f =，令y x =-得到()()f x f x -=-，即可得到()f x 为奇函数，从而得到（1）正确，（2）错误；设任意11x y -<<<，得到()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，根据101x y xy --<<-，得到()()f x f y >，从而得到函数()f x 在定义域内单调递减，即（3）正确；根据题意得到()max >m f x ，再根据函数()f x 的单调性即可判断（4）错误. 【详解】因为函数()f x 的定义域为()1,1-，()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++=⎪+⎝⎭，令0x y ==得()()()000f f f +=，解得()00f =.令y x =-，()()()00f x f x f +-==，即()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，故（1）正确，（2）错误.设任意11x y -<<<，则()()()()1x y f x f y f x f y f xy ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭.因为11x y -<<<，所以1xy x y =<，即11xy -<<.又因为0x y -<，所以01x yxy-<-. 又因为()()111011x y x yxy xy+--+=>--，所以101x y xy --<<-，即01x y f xy ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭. 所以()()0f x f y ->，即()()f x f y >，函数()f x 在定义域内单调递减. 故（3）正确.任意的()1,1x ∈-有()f x m <，即()max >m f x 即可. 因为当()1,0x ∈-时，()0f x >，()0,1x ∈时，()0f x <，()f x 在区间()1,1-内单调递减，所以当1x →-时，()f x →+∞，当1→+x 时，()f x →-∞， 所以函数()y f x =无最大值，故不存在正数m ，使得对于任意的()1,1x ∈-有()f x m <，（4）错误. 故答案为：（1）（3） 【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.三、解答题17．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱11C D 的中点，F 是侧面11AA D D 的中心.（1）求三棱锥11A D EF -的体积；（2）求EF 与底面1111D C B A 所成角的大小（结果可用反三角函数表示）【答案】（1）13；（2）arctan 2【解析】（1）利用等体积法，可知三棱锥11A D EF -的体积等于三棱锥11E D A F -的体积，分别求出三棱锥11E D A F -的底面面积和高，即可求解；（2）取11A D 的中点G ，易得FG ⊥平面1111D C B A ，根据线面夹角的定义可得GEF ∠即为EF 与底面1111D C B A 所成的角的平面角，解Rt EGF ，即可得到EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小．【详解】（1）因为点E 是棱11C D 的中点，所以点E 到面11AA D D 的距离为1，而1112112A D FS=⨯⨯=，1111111133A D EF E D A F V V --∴==⨯⨯=． （2）取11A D 的中点G ，则FG ⊥平面1111D CB A ，EF 在底面1111DC B A 的射影为GE ，GEF ∠即为EF 与底面1111D C B A 所成的角的平面角．在Rt EGF 中，1,2FG EG ==，2tan GEF ∴∠=，所以EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小是2arctan 2．【点睛】本题主要考查利用等积法求三棱锥的体积，以及直线与平面所成角的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18．设D 是函数()y f x =定义域的一个子集，若存在0x D ∈，使得()00f x x =-成立，则称0x 是()f x 的一个“准不动点”，也称()f x 在区间D 上存在准不动点，已知()()12log 421x x f x a =+⋅-，[]0,1x ∈.（1）若1a =，求函数()f x 的准不动点；（2）若函数()f x 在区间[]0,1上存在准不动点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）00x =；（2）(]0,1【解析】（1）由题意，当1a =时，可得()12()log 421x xf x x =+-=-，[]0,1x ∈，可解得函数()f x 的准不动点．（2）依()f x 在区间[]0,1上存在准不动点，可得4212x x x a +⋅-=在[]0,1上有根．通过分离变量，可转化为1212xxa -=--，令[]21,2xt =∈，只需求出11y t t=--在[]1,2上的值域，即可得112a -≤≤，最后根据4210x x a +⋅->在[]0,1上恒成立，解得0a >，取交集得实数a 的最终范围．【详解】（1）由题意，可得()12()log 421x xf x x =+-=-， 即4212x x x +-=，41x ∴=，0x ∴=． 故当1a =，函数()f x 的准不动点为00x =．（2）由题意知，()12()log 421x x f x a x =+⋅-=-即4212x x x a +⋅-=在[]0,1上有根，4212xxxa +⋅-=变形为1212xxa -=--，令[]21,2xt =∈，而11y t t=--在[]1,2上单调递增，所以112y -≤≤，即112a -≤-≤，所以112a -≤≤．又4210x x a +⋅->在[]0,1上恒成立，所以122xx a >-．令[]21,2x t =∈，而1y tt =-在[]1,2上单调递减，所以max 0y =，即有0a >， 综上，01a <≤，即实数a 的取值范围为(]0,1． 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，新定义的理解，含参的不等式在闭区间上恒成立问题的解法，以及分离参数法的应用，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题．19．某城市为发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线1l 与2l 修建景观路（桥），如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通，已知60m AB =，80m BC =，河道两侧的景观道路修建费用为每米1万元，架设在河道上方的景观桥EF 部分的修建费用为每米2万元.（1）若景观桥长90m 时，求桥与河道所成角的大小；（2）如何设计景观桥EF 的位置，使矩形区域ABCD 内的总修建费用最低？最低总造价是多少？ 【答案】（1）2arccos 23π-；（2）景观桥EF 与和河道沿线所成的角为6π时，最低总造价是803+.【解析】设EF 与AB 所成的角为α40tan 3α⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（1）在Rt △EMF 中有cos EMEF α=且EM AB =，求α角，进而求桥与河道所成角；（2）由题意可知总修建费用2y AE FC EF =++得到关于α的函数，利用辅助角公式及正弦函数的性质即可求最低修建费用及景观桥EF 的位置； 【详解】如题设中的图示，EM BC ⊥垂足为M ，设EF 与AB 所成的角为α，即40tan 3MEF αα⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭，故有60tan MF α=，60cos EF α=.（1）当景观桥EF 的长为90m 时，得602290cos arccos cos 33EF ααα==⇒=⇒=，即景观桥EF 与和河道沿线所成的角为2arccos 23π-. （2）由8060tan AE FC α+=-，可得总修建费用()()60sin 2608060tan 1280cos cos y αααα-=-⨯+⨯=-， 令sin 2cos t αα-=，又40tan 3α≤≤，故02πα<<，则0t <且2sin cos 2sin()1t tαααϕ-=⇒+=+()2111sin tαϕ≤⇒≤++有t ≤，所以t 最大值为，y 有最小值为80+6πα=，景观桥EF 与河道沿线所成的角为3π. 【点睛】本题考查了利用三角函数解决实际问题，结合辅助角公式及正弦函数的值域范围求最值问题，注意实际问题中的约束条件； 20．已知抛物线2:4C y x =，点()4,4P （1）求点P 与抛物线C 的焦点F 的距离；（2）设斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若PAB △的面积为线l 的方程；（3）是否存在定圆()22:4M x m y -+=，使得过曲线C 上任意一点Q 作圆M 的两条切线，与曲线C 交于另外两点,A B 时，总有直线AB 也与圆M 相切？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）5；（2）1y x =-；（3）存在实数3m =【解析】（1）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，再根据两点间的距离公式，即可求出距离；（2）设直线l 的方程为y x a =+，代入抛物线的方程，由弦长公式求出AB ，点到直线的距离公式求出PAB △的高，再依据三角形的面积公式，解方程可得a ，进而得到直线方程；（3）假设存在，根据一般到特殊的原理，取()0,0Q ，设切线为y kx =，联立抛物线方程，求出点,A B 以及直线AB ，由相切可得3m =．再由特殊到一般，证明对任意的动点Q ，直线AB 与圆相切，即可说明存在3m =，使得直线AB 与圆M 相切． 【详解】（1）抛物线2:4C y x =的焦点坐标为()1,0，则点P 与抛物线C 的焦点F 5=． （2）设直线l 的方程为y x a =+，把y x a =+方程代入抛物线24y x =，可得222(2)0x a x a +-+=，1142x x a ∴+=-，212x x a ⋅=，21||AB x ∴=-==点P 到直线的距离d =1||2PAB S AB d ∆∴=12=⨯=， 解得1a =-，所以直线l 的方程1y x =-．（3）假设存在．取()0,0Q ，圆()22:4M x m y -+=，设切线为y kx =，2=，解得2244k m =-，①将直线y kx =代入抛物线方程24y x =， 解得244,A k k ⎛⎫⎪⎝⎭，244,B kk ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 直线AB 的方程为24x k=， 若直线AB 和圆相切，可得242m k -=② 由①②解得，3m =．下证3m =时，对任意的动点Q ，直线AB 和圆M 相切． 理由如下：设21,4Q a a ⎛⎫⎪⎝⎭，21()4x t y a a =-+，2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫⎪⎝⎭2=，可得()22222114634024a t a at a ⎛⎫⎛⎫---+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21221624a a t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴+=-，2212213444a t t a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-， 又直线与曲线相交于A ，B ， 由21()4x t y a a =-+，代入抛物线方程可得22440y ty ta a -+-=， 可得()221114y t y a a =-+，()222224y t y a a =-+，则a ，1y 是方程224()y t y a a =-+的两根，即有2114ay t a a =-，即114y t a =-，同理224y t a =-．则有()2111444,A t a t a ⎛⎫--⎪⎝⎭，()2221444,B t a t a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线()()()2112121:4424AB y t a x t a t t a ⎡⎤--=--⎢⎥+-⎣⎦， 即为()()2211414444a y t a x t a a-⎡⎤--=--⎢⎥⎣⎦， 则圆心()3,0到直线AB 的距离为()2211224134444414a t a t a ad a a -⎡⎤--+-⎢⎥⎣⎦=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由()2222211114634024a t a at a ⎛⎫⎛⎫---+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入上式，化简可得222424a d a+==+，则有对任意的动点Q ，存在实数3m =，使得直线AB 与圆M 相切．【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式，点到直线的距离公式等的应用，计算量大，全面考查学生综合运用平面解析几何知识的能力，属于难题．21．已知无穷数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足：1||||n n n x y z +=-，1||||n n n y z x +=-，1||||n n n z x y +=-，n *∈N ．记max{||,||,||}n n n n a x y z =（{}max ,,x y z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（1）若12x =，23y =，34z =，求1y ，1z 的可能值； （2）若11x =，12y =，求满足23a a =的1z 的所有值；（3）设1x ，1y ，1z 是非零整数，且1||x ，1||y ，1||z 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n x ，{}n y ，{}n z 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．【答案】（1）112y =，15z =； 112y =，15z =-； 112y =-，15z =； 112y =-，15z =-；（2）2,1,1,2--；（3）证明见解析.【解析】（1）利用已知关系代入特殊值求出可能情况即可；（2）先设1z x =，计算222,,x y z ，再结合n a 的定义得2a ，333,,x y z ，最后利用x 分类讨论计算出3a ，满足23a a =得1z 值即可； （3）利用反证法证明即可. 【详解】（1）由211||||y z x =-，得1||23z -=，所以15z =±； 由322||||z x y =-，得2||34x -=，所以27x =±，又2111||||||55x y z y =-=--≥，故27x =，1||12y =，112y =±． 所以1y ，1z 的所有可能值为112y =，15z =； 112y =，15z =-； 112y =-，15z =； 112y =-，15z =-．（2）若11x =，12y =，记1z x =，则211211||||2||,||||||1x y z x y z x x =-=-=-=-，21z =-，又max{||,||,||}n n n n a x y z =，故22,01,1,1||2,1,2,x x a x x x ⎧-≤<⎪=≤<⎨⎪-≥⎩ 3|||1|1x x =--，31|2|||y x =--，3|2||||||1|z x x =---，当0||1≤x <时，333||,||1,1x x y x z =-=-=，31a =，由32a a =，得||1x =，不符合；当1||2≤x <时，333||2,||1,32||x x y x z x =-=-=-，32,1 1.5,1,1.52,x x a x x ⎧-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎩由32a a =，得||1x =，符合；当||2≥x 时，333||2,3||,1x x y x z =-=-=-，31,23,2,3,x a x x ⎧≤<⎪=⎨-≥⎪⎩由32a a =，得||2x =，符合； 综上，1z 的所有取值是2,1,1,2--；（3）先证明“存在正整数3k ≥，使,,k k k x y z 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数3k ≥，,,k k k x y z 都不为0，由111,,x y z 是非零整数，且111||,||,||x y z 互不相等，得1N a *∈，2N a *∈．若对任意3k ≥，,,k k k x y z 都不为0，则k a N *∈， 即对任意1k ，k a N *∈．当1k时，{}1||||||||max ||,||,k k k k k k a x y z y z +=-<≤11||||||,||||||k k k k k k k k y z x a z x y a ++=-<=-<，所以，{}1111max ||,||,||k k k k k a x y z a ++++=<． 所以，{}k a 严格单调递减， 由2a 为有限正整数，所以，必存在正整数3m ≥，使得0m a ≤，矛盾． 所以，存在正整数3k ≥，使,,k k k x y z 中至少有一个为0． 不妨设0k x =，且10x ≠，20x ≠，，10k x -≠，则11||||k k y z --=，且111||||||k k k y z x ---=≠， 否则，若111||||||k k k y z x ---==，因为1110k k k x y z ---++=，则必有1110k k k x y z ---===，矛盾． 于是，1111||||0,||||0k k k k k k y z x z x y ----=-≠=-≠，且k k y z =-， 所以，10k x +=，11||,||||k k k k k y z z y z ++==-=-，依次递推，即有：对11,0,||,||n n k n k n k x y z z z ++∀===-≥，且||0k z ≠， 此时有且仅有一个数列{}n x 自第k 项起各项均为0． 综上，结论成立． 【点睛】本题考查了数列的综合应用，考查了分类讨论思想和反证法，属于难题.。

上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

高三期中数学卷一.填空题1.已知集合M ={}2,0,xy y x N ==(){}2|lg 2x y x x =-,则M N ⋂=_______.【答案】(1,2) 【解析】M ={}2,0x y y x =={}1,y y N ={}2|lg(2x y x x =-={|02}x x <<,所以M N ⋂={|12}x x <<.2.三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为________. 【答案】34 【解析】 【分析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算． 【详解】由题意，可知： （﹣1）1+2•2674-=--[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．故答案为：34．【点睛】本题主要考查行列式的代数余子式的概念及根据行列式的代数余子式的定义进行计算．本题属基础题．3.已知幂函数()y f x =的图像过点1(2，则4log (2)f 的值为________. 【答案】14【解析】 【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x 用2代替求出函数值． 【详解】由设f （x ）＝x a ，图象过点（12），∴（12）a =a 12=， ∴log 4f （2）＝log 412124=． 故答案为：14【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值． 4.已知向量()1,3a=，()3,b m =且b 在a 上的投影为3，则a 与b 角为______.【答案】【答案】π6. 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义求得m 的值，然后再求出两向量的夹角． 【详解】设a ，b 的夹角为θ， 则||236a b a b cos θ==⨯=，又()()1,33,3a b m ==+，∴336m +=， 解得3m =．∴2||22a b cos a b θ===⨯，又0θπ≤≤， ∴6πθ=．故答案为：6π． 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，用几何意义计算向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题． 5.满足不等式arccos2arccos(1)x x <-的x 的取值范围为________ 【答案】11(,]32【解析】反余弦函数的定义域为[]1,1-，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：12111121x x x x -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩，求解不等式有：11220213x x x ⎧-≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎩， 综上可得，不等式的解集为11,32⎛⎤⎥⎝⎦.6.函数log (3)1(01)a y x a a =+->≠且的图像恒过定点A ，若A 在直线10mx ny ++=，其中,0m n 均大于，则12m n+的最小值_________ 【答案】8 【解析】试题分析：由已知可得定点()2,1A --，代入直线方程可得21m n +=，从而1212()(2)m n m n m n +=++4448n m m n =++≥=. 考点：1、函数的定点；2、重要不等式.【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.7.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是____. 【答案】1(2,0)(0,]4- 【解析】 【分析】 由题意易得11a q =-q ，可得a 1＝﹣（q 12-）214+，由二次函数和等比数列的性质可得． 【详解】∵无穷等比数列{a n }的各项和等于公比q ， ∴|q |＜1，且11a q=-q ，∴a 1＝q （1﹣q ）＝﹣q 2+q ＝﹣（q 12-）214+， 由二次函数可知a 1＝﹣（q 12-）21144+≤，又等比数列的项和公比均不为0， ∴由二次函数区间的值域可得： 首项a 1的取值范围为：﹣2＜a 114≤且a 1≠0 故答案为：1(2,0)(0,]4- 【点睛】本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．8.已知函数2()f x x =，[1,2]x ∈的反函数为1()f x -，则121[()](2)f x f x --+的值域是____.【答案】[1 【解析】 【分析】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），得函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x y＝x [1，2]上的增函数，可得y 的值域．【详解】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x x 满足14124x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即1≤x ≤2，又y ＝x [1，2]上的增函数，所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）的值域是[1，4]，故答案为：[1【点睛】本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题．解题时注意定义域优先的原则．9.在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________.【答案】【解析】【分析】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值．【详解】由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短， ∴|AB |＝=2，故答案为：【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题．10.设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是________. 【答案】43(,)32ππ 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d 的范围求出公差的值，代入前n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a 1取值范围．【详解】由()22222233363645sin a cos a cos a cos a sin a sin a sin a a -+-=+1， 得：()()()336363636452cos a cosa cosa sina sina cosa cosa sina sina sin a a -+-+=+1，即()()()336364521cos a cos a a cos a a sin a a -++-=+，由积化和差公式得：()3634511222221cos a cos a cos a sin a a +-=+，整理得：()()()()()()63636345451122222cos a cos a sin a a sin a a sin a a sin a a --+-==++1，∴sin （3d ）＝﹣1．∵d ∈（﹣1，0），∴3d ∈（﹣3，0）， 则3d 2π=-，d 6π=-．由()()2111116221212n n n n n S na d na n a n πππ⎛⎫-⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭=+=+=-++ ⎪⎝⎭．对称轴方程为n 1612a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由题意当且仅当n ＝9时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，∴1176192122a ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜＜，解得：14332a ππ＜＜． ∴首项a 1的取值范围是4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 故答案为：4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了三角恒等变换的应用，化简原式得公差的值是关键，考查了学生的运算能力，是中档题．11.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为__________．【答案】8 【解析】 由题意，()1f x x=，()y f x =与y x =都是奇函数，第一象限图象如图，当8x>时，两图象无交点，所以[)6,0-与(]0,6对称，零点之和为0，(]6,8上，零点为8，所以，[)6,-+∞上的零点之和为8.12.在数列{}n a中，11a=，1221332?32(2)n n nn na a n----=-+≥，nS是数列1nan+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和，当不等式*1(31)()1()3()mnmnS mm NS m++-<∈-恒成立时，mn的所有可能取值为 . 【答案】1或2或4【解析】试题分析：由1221332?32(2)n n nn na a n----=-+≥得1212213(1)3(1)332?32(2)n n n n nn na a n------+=++--+≥，即1213(1)3(1)2(2)n nn na a n---+=++≥，所以数列{}13(1)nna-+是以1113(1)2a-+=为首项、2为公比的等比数列，所以13(1)2nna n-+=，由1123nnan-+=，12(1)133(1)1313nn nS⨯-==--，所以1111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3mm m n m n n mnnm m n m m n mmnnmS m m m mS m m mm++++ +++--+---+----⋅-===+< -------即(3)3233(3)33n mm n mmm+--⋅-<--，当3m=时，该不等式不成立，当3m≠时有233330133mnnmm⋅+--<--恒成立，当1m =时，19322n<<，1n =，这时1mn =，当2m =时，1321n <<，1,2n =，这时2mn =或4mn =，当4m ≥时，233330133m nn m m⋅+--<--不成立，所以mn 的所有可能取值为1或2或4. 考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列{}13(1)n n a -+是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力. 二.选择题13.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【点睛】充分、必要条件三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．14.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )A. 在[,]42ππ上是增函数B .其图象关于直线4x π=-对称C. 函数是奇函数D. 当[0,]3x π∈时，函数的值域是[1,2]-【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，()2sin[2()]2sin(2)2cos 2662g x x x x πππ=++=+=，A ：[,]42x ππ∈时，2[,]2x ππ∈，是减函数，故A 错误；B ：()2cos()042g ππ-=-=，故B 错误；C ：()g x 是偶函数，故C 错误；D ：[0,]3x π∈时，22[0,]3x π∈，值域为[1,2]-，故D 正确，故选D ． 考点：1．三角函数的图象变换；2．sin()y A x ωϕ=+的图象和性质．15.已知n N ∈，x ∈R ，则函数22()lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】讨论当|x |＞1，|x |＜1，当x ＝1时和当x ＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f （x ）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x |＞1时，2222121lim 22n n n n n n x x lim x x x x+→∞→∞--==---； 当|x |＜1时，222lim 22n n n n x lim x +→∞→∞--==--1；当x ＝1时，22lim 2n n n x x +→∞-=--1；当x ＝﹣1时，22lim 2n n n x x +→∞--不存在．∴f （x ）()()()21111111.x x x x x ⎧--⎪⎪==-⎨⎪--≤⎪⎩＞或＜无意义＜ ∴只有A 选项符合f （x ）大致图像， 故选A.【点睛】本题考查了函数解析式求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ） A. ||||42OM ON +≥B. O 到直线MN 的距离不大于2C. 直线MN 过抛物线2y x =的焦点D. MN 为直径的圆的面积大于4π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，M ，N 可看作直线MN 与抛物线的交点,对直线MN 进行分类讨论，当直线MN 的斜率不存在时，设出M ，N 的坐标，可以求得M ，N 的坐标及直线MN 的解析式；当直线的斜率存在时，利用斜截式设出直线MN 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，推出直线MN 过定点()2,0，结合选项得出答案. 【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设，由斜率之积为12-，可得20112y -=-，即202y =，∴MN 的直线方程为2x =； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，联立2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，可得20ky y m -+=．设()1122(),,M x y N x y ，，则，∴121212OM ON y y k k k x x m ==-⋅=， 即2m k =-．∴直线方程为()22y kx k k x =-=-． 则直线MN 过定点()2,0．则O 到直线MN 的距离不大于2．故选B ．【点睛】圆锥曲线与方程是高考考查的核心之一，解题时不仅要掌握圆锥曲线的几何性质，还要重点掌握直线与圆锥曲线的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，本题主要利用了设而不求的方法，在设直线方程时要注意斜率是否存在以进行分类讨论. 三.解答题17.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且2a =． （1）若C=60°且b=1，求a 边的值；（2）当c2b=A 的大小． 【答案】（1）3；（2）A=π3【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角形的面积公式，化简可得sin a C =，又由60C =︒且1b =，即可求解；（2）由余弦定理及2a =，化简可得sin()16A π+=，即可求解A 的大小，得到答案．【详解】（1）由题意知2a =，可得21sinC 2b a a =⋅，∴sin a C =，又因为60C =︒且1b =，∴3a ==；（2）当2cb=+2b c ==∵2222cos b c A a bc ==+-，∴221sin 2cos 2bc A b c bc A ⋅=+-，即)222cos bc A A b c +=+，∴22πb c b c 4sin A 46bc c b +⎛⎫+==+= ⎪⎝⎭，得sin()16A π+=， ∵(0,)A π∈，∴7(,)666A πππ+∈，所以62A ππ+=，得3A π=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18.函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++.（1）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B ；（2）若存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(2,4]A B ⋂=；（2）1m ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出集合A ，B ，由交集运算的定义，可得A ∩B ；（2）若存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式g （x ）≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，得﹣m ≥（211x x x +++）min ，解得实数m 的取值范围．【详解】（1）由x 2+2x ﹣8＞0，解得：x ∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）， 故则函数f （x ）＝log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域A ＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），若m ＝﹣4，g （x ）＝x 2﹣3x ﹣4，由x 2﹣3x ﹣4≤0，解得：x ∈[﹣1，4]，则B ＝[﹣1，4] 所以A ∩B ＝（2，4]； （2）存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式x 2+（m +1）x +m ≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，所以﹣m ≥（211x x x +++）min因为211x x x ++=+x +111x +-+1≥1， 当且仅当x +1＝1，即x ＝0时取得等号 所以﹣m ≥1， 解得：m ≤﹣1．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax=-+(0)a>的一部分，CD AD⊥，且CD恰好等于圆E的半径.（1）若30CD=米，245AD=t与a 的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围. 【答案】（1）20t=，149a=；（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B，从而可得半径，即50CD t=-，进而解得t；通过圆E 的方程求得A点坐标，从而得到C点坐标，代入抛物线方程求得a；（2）求解出C点坐标后，可知5075tDF ta=-+≤，可整理为162550att≥++，利用基本不等式可求得162550tt++的最大值，从而可得a的范围.【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B50BE t∴=-又BE，CD均为圆的半径50CD t∴=-，则503020t=-=∴圆E的方程为：()2222030x y+-=()105,0A∴245105145OD AD AO∴=-==，则()145,30C代入抛物线方程得：(230550a=-+，解得：149a=（2）由题意知，圆E半径为：50t-，即50CD t=-则C点纵坐标为50t-，代入抛物线方程可得：txa=tODa=5075DF t ∴=-≤，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++ (]0,25t ∈62550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号）1162510050t t ∴≤++ 1100a ∴≥即a 的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【答案】（1）22184x y +=（2）见解析（3）163【解析】【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=。

上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析
高三期中数学卷 一.填空题 1.直线 x 3y 1的一个法向量可以是________.
【答案】 (1, 3)
【解析】 【分析】 利用直线的法向量的意义即可得Байду номын сангаас． 【详解】由直线方程 x＝3y+1，可得斜率 k 1 ．
3 ∴直线的法向量可以取（1，﹣3）． 故答案为：（1，﹣3）． 【点睛】本题考查了直线的法向量的求法，属于基础题． 2.函数 y log2 (x 3) 的反函数为________. 【答案】 f 1(x) 2x 3 【解析】 【分析】 利用反函数定义直接求解即可． 【详解】∵ y log2 (x 3) ∴ x 3 2y ，即 x 2y 3 ∴函数 y log2 (x 3) 的反函数为 f 1(x) 2x 3 故答案为： f 1(x) 2x 3 【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
3.已知 (1 ax)7 的展开式中，含 x3 项的系数等于 280，则实数 a ________.
【答案】2 【解析】 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，即可求得展开式中的 含 x3 项的系数，再根据含 x3 项的系数等于 280，求得实数 a 的值．
x
x
∴a4
故答案 为： (, 4]
【点睛】本题考查二次不等式在闭区间上恒成立问题，考查参变分离及均值不等式，属于常 考题型. 8.袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的 概率为________.
-4-
4
【答案】
7
【解析】
【分析】
基 本 事 件 总 数 n C94 126 ， 其 中 三 种 颜 色 的 球 都 有 包 含 的 基 本 事 件 个 数

【100所名校】上海市建平中学2020届高三上学期期中考试数学试题Word版含解析

【100所名校】上海市建平中学2020届高三上学期期中考试数学试题Word版含解析

上海市建平中学2020届高三上学期期中考试数学试题一.填空题1.设函数，则f（f（2））=_____2.在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为_____3.若，则tanα=_____4.设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|2x﹣1≤1}，则（∁R A）∩B=_____5.某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是_____6.从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为__________．7.已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N*，都有S n+S m=S n+m+2mn，若a1=1，则a2018=_____8.已知函数的定义域为，当时，;当时，；当时，．则__________．9.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（log2|a﹣1|）＞10.在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，则 =_____11.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则（其中a+c≠0）的取值范围为_____．12.若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h （x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是_____．二.选择题13.已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A. ＞B. ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）C. sin x＞sin yD. x3＞y314.已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线15.已知数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则数列：①{2an}；②{a n2}；③；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 516.设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A. I1＜I2＜I3B. I2＜I1＜I3C. I1＜I3＜I2D. I3＜I2＜I1三.解答题17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求点D到平面PBC的距离．18.设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个19.某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P 的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．20.对于函数，定义f1（x）=f（x），f n+1（x）=f[f n（x）]（n∈N*），已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0，当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）．（1）求f2（x），f3（x），f4（x），f2018（x）；（2）求出函数y=g（x）的解析式；21.对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*，m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列具有性质P（t）．（1）若数列{a n}满足，判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？说明理由；（2）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（3）已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在正整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+K，…是等差数列．上海市建平中学2020届高三上学期期中考试数学试题参考答案一.填空题1.设函数，则f（f（2））=_____【答案】-1【解析】【分析】先计算f(2)=,然后将代入解析式即可得结果.【详解】，f(2)=f（f（2））=f()=cos()=cos.故答案为：-1.【点睛】本题考查分段函数值的求法，注意需将自变量代入相应的解析式即可.2.在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为_____【答案】-2【解析】【分析】由等比数列的通项可得a5=-8a2=a2，计算可得公比q的值.【详解】在等比数列{a n}中，∵a5=-8a2，∴=q3=-8，∴q=-2,即公比q的值为-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用.3.若，则tanα=_____【答案】7【解析】【分析】由向量的数量积坐标公式计算整理即可得到答案.【详解】由数量积公式得=+2，=-2+，即+2=3（-2+），整理得7=，即tanα=7，故答案为：7.【点睛】本题考查向量数量积坐标公式的应用.4.设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|2x﹣1≤1}，则（∁R A）∩B=_____【答案】（0，1]【解析】【分析】解出集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【详解】集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，集合B={x|2x﹣1≤1}={x|x﹣1≤0}={x|x≤1}，∴∁R A={x|0＜x＜2}，∴（∁R A）∩B={x|0＜x≤1}=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点睛】本题考查集合的交集补集的运算.5.某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是_____【答案】80【解析】【分析】用分步计数原理①从5个家庭中选4个家庭；②从每个家庭中选出1个,然后相乘可得．【详解】分步进行：第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有=5种；第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有×××=16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80．故答案为：80．【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.6.从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为__________．【答案】【解析】把圆的方程化为标准方程为，得到圆心的坐标为，圆的半径，由圆切线的性质可知，，且，则，，该圆夹在两条切线间的劣弧长，故答案为.7.已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N*，都有S n+S m=S n+m+2mn，若a1=1，则a2018=_____ 【答案】﹣4033【解析】【分析】根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，用特殊值法分析：令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，变形可得S n+1﹣S n=1﹣2n，再令n=2018计算可得答案．【详解】根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，又由a1=1，即S1=a1=1，则有S n+1=S n+1+2n，变形可得：S n+1﹣S n=1﹣2n，则a2018=S2018﹣S2017=1﹣2×2017=﹣4033；故答案为：﹣4033．【点睛】本题考查数列的递推公式，注意特殊值法分析数列的递推公式，属于中档题．8.已知函数的定义域为，当时，;当时，；当时，．则__________．【答案】【解析】当时，，所以当时，，故；当时，，所以；当时，，所以，故．故填.9.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2），则a的取值范围是_____【答案】【解析】【分析】由题可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合函数的奇偶性可将f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）转化为﹣2＜log2|a﹣1|＜2，解不等式可得a的取值范围.【详解】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，∴f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）⇒f（|log2|a﹣1||）＞f（2）⇒|log2|a﹣1||＜2⇒﹣2＜log2|a﹣1|＜2，得＜|a﹣1|＜4，解得：﹣3＜a＜或＜a＜5，即不等式的解集为（﹣3，）∪（，5）；故答案为（﹣3，）∪（，5）．【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题，其中利用函数的基本性质，将不等式转化f（|log2|a﹣1||）＞f（2）是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.10.在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，则 =_____ 【答案】4【解析】【分析】由题意利用余弦定理可得 c2=（a2+b2），再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，正弦定理即可求得答案．【详解】在锐角三角形ABC中，∵a2+b2=6abcosC=6ab•，∴c2=（a2+b2），则=+=tanC（+）=•（+）=====4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理、同角三角函数的基本关系，行列式的运算，属于中档题．11.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则（其中a+c≠0）的取值范围为_____．【答案】（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b将转为（a﹣b）+，利用基本不等式求得它的范围．【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a＞0，二次函数的对称轴为x==c，△=4﹣4ab=0，∴ac=﹣1，ab=1，∴c=，b=，即c=-b,则==（a﹣b）+，当a﹣b＞0时，由基本不等式求得（a﹣b）+≥6，当a﹣b＜0时，由基本不等式求得﹣（a﹣b）﹣≥6，即（a﹣b）+≤﹣6,故（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.12.若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可【详解】∵x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象，则g（x）在直线f（x）的下方或重合，则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，d=⇒b≥或（舍去）即实数b的取值范围是[，+∞），故答案为：.【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二.选择题13.已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A. ＞B. ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）C. sin x＞sin yD. x3＞y3【答案】D【解析】试题分析：由得:若令满足但有:所以选项A、B、C均不正确，故选D．考点：函数的单调性．14.已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积坐标公式计算化简可得点P的轨迹．【详解】∵动点P（x，y）满足，∴（﹣2﹣x，﹣y）•（3﹣x，﹣y）=x2，∴（﹣2﹣x）（3﹣x）+y2=x2，解得y2=x+6，∴点P的轨迹是抛物线．故选：D．【点睛】本题考查利用直接法求动点的轨迹问题.15.已知数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则数列：①{2an}；②{a n2}；③；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的定义和通项公式逐项进行检验即可得出．【详解】数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则①，不是等比数列；②=q2，故{a n2}是等比数列；③是公比为的等比数列；④{a n a n+1}是公比为q2的等比数列；⑤{a n+a n+1}不一定是等比数列，例如a n=（﹣1）n，综上等比数列的个数为3．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式的应用.16.设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A. I1＜I2＜I3B. I2＜I1＜I3C. I1＜I3＜I2D. I3＜I2＜I1【答案】B【解析】【分析】根据I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案.【详解】由，故==1，由，故=<1，=>1，故I2＜I1＜I3，故选：B．【点睛】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．三.解答题17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求点D到平面PBC的距离．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线PB与CD所成角大小．（2）求出平面PBC的一个法向量，利用向量法的距离公式求点D到平面PBC的距离．【详解】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ=,所以异面直线PB与CD所成角大小为．（2）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），则，取x=1，得=（1，0，1），∴点D到平面PBC的距离d=．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解角和距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．求线线角的步骤：①确定空间两条直线的方向向量；②求两个向量夹角的余弦值；③比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；④确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角．18.设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.19.某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P 的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由题意得M（1，8），则a=8，即得曲线段的函数关系式，可得其定义域；（2）由函数关系式设点P坐标，设直线AB方程，将直线方程与曲线方程联立求出A，B坐标，即可求出最短长度p的取值范围【详解】（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，又得，所以定义域为[1，10]．（2），设AB:由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p=0，△=（8﹣kp2）2+32kp2=（kp2+8）2=0，∴kp2+8=0，∴，得直线AB方程为，得,B(2p,0)，故点P为AB线段的中点，由即p2﹣8＞0,得时，OA＜OB，所以，当时，经点A至P路程最近．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．20.对于函数，定义f1（x）=f（x），f n+1（x）=f[f n（x）]（n∈N*），已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0，当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）．（1）求f2（x），f3（x），f4（x），f2018（x）；（2）求出函数y=g（x）的解析式；（3）若存在实数a、b（a＜b），使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）g（x）=；（3）（﹣，0）.【解析】【分析】（1）根据函数关系代入计算进行求解即可；（2）由偶函数的定义，计算可得所求解析式；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．【详解】（1）因为函数定义f1（x）=f（x），f n+1（x）=f[f n（x）]（n∈N*），f1（x）=，f2（x）=f[f1（x）]= =，（x≠0且x≠1），f3（x）=f[f2（x）]= =x，（x≠0且x≠1），f4（x）=f[f3（x）]= ，（x≠0且x≠1），故对任意的n∈N•，有f3n+i（x）=f i（x）（i=2，3，4），于是f2018（x）=f3×672+2=f2（x）=1﹣，（x≠0且x≠1）；（2）当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）=1﹣，又g（1）=0，由g（x）为偶函数，当x＜0时，﹣x＞0，g（x）=g（﹣x）=1+，可得g（x）=；（3）由于y=g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又a＜b，mb＜ma，可知a与b同号，且m＜0，进而g（x）在[a，b]递减，且a＜b＜0，当a，b∈（0，1）时，g（x）=1﹣为增函数，故，即m==，得a﹣1=b﹣1，即a=b，与a＜b矛盾，∴此时a，b不存在；函数y=g（x）的图象，如图所示．由题意，有，故a，b是方程1+=mx的两个不相等的负实数根，即方程mx2﹣x﹣1=0在（﹣∞，0）上有两个不相等的实根，于是，解得﹣＜m＜0．综合上述，得实数m的取值范围为（﹣，0）．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查分类讨论思想方法、运算和推理能力，属于中档题．21.对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*，m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列具有性质P（t）．（1）若数列{a n}满足，判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？说明理由；（2）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（3）已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在正整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+K，…是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）由，可得a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可判断数列{a n}具有性质P（4）；（2）举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，利用新定义可证数列{a n}不具有性质P（0），即不充分性成立；再证明其必要性即可；（3）依题意，数列{b n}是各项为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），可证得存在整数N，使得b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是等差数列．【详解】（1）∵，a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可得，数列{a n}具有性质P（4）．（2）证明：（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，所以不具有性质P（0）；（必要性）因为数列{a n}具有性质P（0），所以一定存在一组最小的且m＞k，满足a m﹣a k=0，即a m=a k由性质P（0）的含义可得a m+1=a k+1，a m+2=a k+2，…，a2m﹣k﹣1=a m﹣1，a2m﹣k=a m，…所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，…，a m﹣1为一个周期中的各项，所以数列{a n}中最多有m﹣1个不同的项，所以T最多有个元素，即T是有限集；（3）证明：因为数列{b n}具有性质P（2），数列{b n}具有性质P（5），所以存在M′、N′，使得b M'+p﹣b M'=2，b N'+q﹣b N'=5，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P（2），P（5）的含义可得，b M'+p+k﹣b M'+k=2，b N'+q+k﹣b N'+k=5，若M'＜N'，则取k=N'﹣M'，可得b N'+p﹣b N'=2；若M'＞N'，则取k=M'﹣N'，可得b M'+q﹣b M'=5．记M=max{M'，N'}，则对于b M，有b M+p﹣b M=2，b M+q﹣b M=5，显然p≠q，由性质P（2），P（5）的含义可得，b M+p+k﹣b M+k=2，b N+q+k﹣b N+k=5，所以b M+qp﹣b M=（b M+qp﹣b M+（q﹣1）p）+（b M+（q﹣1）p﹣b M+（q﹣2）p）+…+（b M+p﹣b M）=2qb M+qp﹣b M=（b M+pq﹣b M+（p﹣1）q）+（b M+（p﹣1）q﹣b M+（p﹣2）q）+…+（b M+q﹣b M）=5p所以b M+qp=b M+2q=b M+5p．所以2q=5p，又p，q是满足b M+p﹣b M=2，b M+q﹣b M=5的最小的正整数，所以q=5，p=2，b M+2﹣b M=2，b M+5﹣b M=5，所以，b M+2+k﹣b M+k=2，b M+5+k﹣b M+k=5，所以，b M+2k=b M+2（k﹣1）+2=…=b M+2k，b M+5k=b M+5（k﹣1）+5=…=b M+5k，取N=M+5，若k是偶数，则b N+k=b N+k；若k是奇数，则b N+k=b N+5+（k﹣5）=b N+5+（k﹣5）=b N+5+（k﹣5）=b N+k，所以，b N+k=b N+k，所以b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是公差为1的等差数列【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查充分、必要条件的判定，考查推理与论证能力，属于难题．。

2020-2021上海建平香梅中学高三数学上期中模拟试卷带答案

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2020-2021上海建平香梅中学高三数学上期中模拟试卷带答案一、选择题1．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9003．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形4．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+6．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ）A ．12B ．10C ．D ．7．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1408．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()3,-+∞B ．()-+∞C ．[)3,-+∞D ．)⎡-+∞⎣9．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞10．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ）A ．14B ．21C ．28D ．3511．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．14．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 15．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 16．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 17．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.18．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．19．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.三、解答题21．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,b c ==，求ABC ∆的面积.22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若1342,,a a a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ,求满足0n S ≥成立的n 的最小值.24．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =，22BC =，4AC =.（1）求cos BAC ∠；（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD .25．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n n S n a n N *+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明14n T <.26．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =，∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．2．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 3．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。

上海2020-2021学年建平中学高三上学期期中模拟卷(数学学科)参考答案

上海2020-2021学年建平中学高三上学期期中模拟卷(数学学科)参考答案

第1页，共2页上海2020-2021学年建平中学高三上学期期中模拟卷数学学科参考答案一.填空题（本大题共有题，本大题满分分，只要求直接填写结果，第题每题填对得分，第题每题填对得分，否则一律得零分.）1.(0,1)2.323.54.8-5.31,2⎛⎤⎥⎝⎦6.57.68.1289.1(,10)10 10.9π 11.[4,)π+∞ 12.][)(,66,-∞-⋃+∞二、选择题（本大题共4小题，本大题满分20分）每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分 13.D 14.C 15.C 16.C三.解答题（共有五题，满分76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解答写在答题卡的制定区域内）17、1AD 上找一点E ，令2DE ，连接BE 、AC ，则DE BC由题意得，PA平面ABCD ，AB ,AD平面ABCD ，PA AB ,PA AD ,在Rt PAB ,Rt PAE ,Rt EAB 中，2PB BEPE ,则PBE 为等边三角形，即3PBE,CD BE ,PB 与CD 夹角为3.2同1理得，Rt PAC 中，6PC,2PB ,2BC222PB BC PC 即2PBC，12222S PBC令h 为D 到平面PBC 距离PBCDDPBCV V111122323h 22h，即为所求. 18、()1由题意得()2cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()f x ⎡∈-⎣ABC h ∆∴=，4BC =22424T πππω===⨯()2()00435f x x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 04sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则0-4322x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则03cos 435x ππ⎛⎫+=⎪⎝⎭()()000+1+1+43434f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4355⎭19、 （1）由题意可知曲线C 是以A,B 为焦点且长轴长为8的椭圆，又24c = ,则2c = ，b = 所以曲线C 的方程为2211612x y += （2）由于A,B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为5：3,因此设A,B 两岛的距离比为5：3.即鱼群距离A 岛，B 岛的距离为5海里和3海里。

2020届上海市建平中学高三上学期9月月考数学试题(解析版)

2020届上海市建平中学高三上学期9月月考数学试题(解析版)
【答案】D
【解析】记 ，依题意可得 ，将两边平方再累加即可得到 ，从而得解；
【详解】
解：记 ，
则 ，
其中 ，规定 ，
对上式两边平方得 ， ，
累加得 ，
所以 时，必有 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查向量的数量积的运算，属于中档题.
二、填空题
5．函数 的最小正周期为_______________.
【答案】
【答案】
【解析】根据平移原则得到 ，根据三角函数的有界性可得 ，可得 的值，代入 即可得结果.
【详解】
由函数 的图象向右平移 个单位，
得 ，
∵存在 使得 ，
∴ ， ，
即 ，即 ，
故 ，
解得 ，结合 ，得 的最小值为 ，
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的平移以及三角函数的有界性，得出 ， 是解题的关键，属于中档题.
由题f（x）过点（4,2）,所以
【考点】反函数
10．设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ________.
【答案】
【解析】根据等差数列的求和公式直接计算即可.
【详解】
,
,
，
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了等差数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题.
11．若行列式 中的元素4的代数余子式的值等于 ，则实数 的取值集合为____________.
（2）在 中， 分别是角 所对的边，若 ，且 ，求边 的值．
【答案】(1) ， ；（2） .
【解析】试题分析：（1）跟据二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的正弦公式可得 ，根据正弦函数的图象与性质可得结果；（2）由 ，得 ，结合三角形内角的范围可得 或 ，讨论两种情况分别利用余弦定理可求出边的值.

2020-2021上海建平中学高三数学上期中一模试题(附答案)

2020-2021上海建平中学高三数学上期中一模试题(附答案)

2020-2021上海建平中学高三数学上期中一模试题(附答案)一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+3．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．164．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25C ．41D ．525．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2 B ．4C ．16D ．8 6．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．367．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．138．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形9．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．403710．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．4037202011．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-12．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 二、填空题13．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．14．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．15．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .16．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 17．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B =________．19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 20．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．三、解答题21．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积.22．在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且240a bc -=．(1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围．23．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？24．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，24n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n n a S S -（*n N ∈，且2n ≥） （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：当2n ≥时，12311113232n a a a na ++++<L 26．设函数2()1f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。

上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

高三期中数学卷一.填空题1.已知角α的终边经过点(,6)P x -，且3tan 4α=-，则x 的值为_________【答案】8【解析】【分析】直接利用三角函数定义得到答案.【详解】角α的终边经过点(,6)P x -，63tan 84x x α-==-∴=故答案为：8【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于简单题.2.函数y x=的定义域为_________【答案】[2,0)(0,2]- 【解析】【分析】定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩，计算得答案.【详解】函数4x y x =的定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩解得22x -≤≤且0x ≠故答案为：[2,0)(0,2]- 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.3.已知幂函数()f x 存在反函数，且反函数1()f x -过点(2,4)，则()f x 的解析式是_________【答案】()f x =【解析】【分析】根据反函数性质得到函数()f x 过点(4,2)，代入幂函数得到答案.【详解】反函数1()f x -过点(2,4)，则函数()f x 过点(4,2)设幂函数()a f x x =代入点(4,2)得到12a =，解析式为()f x =故答案为：()f x =【点睛】本题考查了函数的解析式，待定系数法是常用的方法，需要熟练掌握.4.(1n -展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为_________【答案】56-【解析】【分析】通过二项式系数和计算得到8n =，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】(1n 展开式的二项式系数之和为25682n n =∴=3188((1)r r rr rr T C C x+==-，当3r =时，3348(1)56T C x x=-=-故答案为：56-【点睛】本题考查了二项式定理，混淆二项式系数和系数是容易发生的错误.5.已知cos()63πα-=，则5cos()6πα+=_________【答案】【解析】试题分析：因为，cos()63πα-=，所以，5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--=。

上海市浦东新区建平中学2020届高三上学期10月月考数学试卷Word版含答案

上海市浦东新区建平中学2020届高三上学期10月月考数学试卷Word版含答案

上海市浦东新区建平中学2020届高三上学期10月月考数学试卷一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共20分）.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|x≥0}，则A∩B= ．2．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的定义域为．3．（5分）当x＞0时，函数f（x）=x+x﹣1的值域为．4．（5分）“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．5．（5分）若函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，则f﹣1（3）= ．6．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}，B={t|at﹣1=0}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为．7．（5分）已知函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为．8．（5分）已知不等式≤1的解集为A，若1∉A，则实数a的取值范围是．9．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，若f（a）＞f（2a﹣1），则实数a的取值范围是．10．（5分）若集合A={x|x2+4x+a=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}，则A ∪B的元素之和的函数关系式f（a）= ．11．（5分）当m＞0时，方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，则实数m的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=，记函数g（x）=f（x）﹣t，若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则实数a的取值范围是．二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（x）至少有三个零点；③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]．则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．已知U=R，P={x|＞a}，Q={x|x2﹣3x≤10}．（1）若a=1，求（∁U P）∩Q；（2）若P∩Q=P，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=+（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M 的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．20．设函数f（x）=|4x﹣a•2x+4|+a•2x，其中a∈R．（1）当a＜0时，求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）若a=5，求函数f（x）的值域并写出函数f（x）的单调区间；（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），若函数g（x）的最大值为5，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=log n x（n＞0，n≠1）．（1）若f（x1x2）=10，求f（x12）+f（x22）的值；（2）设g（x）=f（），当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求m与n的值；（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+（m＞0），如果对于区间[﹣1，0]上的任意三个实数r，s，t，都存在以h（r）、h（s）、h（t）为边长的三角形，求实数m的取值范围．上海市浦东新区建平中学2020届高三上学期10月月考数学试卷参考答案一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共20分）.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|x≥0}，则A∩B= [0，1）．【分析】根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x＜1}，B={x|x≥0}，则A∩B={x|0≤x＜1}=[0，1）．故答案为：[0，1）．2．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．【解答】解：对数函数f（x）=log2（x﹣1）中，x﹣1＞0，解得x＞1；∴f（x）的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．3．（5分）当x＞0时，函数f（x）=x+x﹣1的值域为[2，+∞）．【分析】直接利用基本不等式求得函数f（x）=x+x﹣1的最小值得答案．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）=x+x﹣1=x+．当且仅当x=1时，上式“=”成立．∴函数f（x）=x+x﹣1的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．4．（5分）“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是a＜1 ．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：若“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则a＜1，故答案为：a＜1．5．（5分）若函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，则f﹣1（3）= 1 ．【分析】由已知可得x＞0时，f（x）=x+2，若f﹣1（3）=a，则f（a）=3，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，故x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x﹣2=﹣f（x），即f（x）=x+2，若f﹣1（3）=a，则f（a）=3，当a＜0时，f（a）=a﹣2=3，即a=5（舍去）当a＞0时，f（a）=a+2=3，即a=1，故f﹣1（3）=1故答案为：16．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}，B={t|at﹣1=0}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为{0，，1} ．【分析】求出集合A={1，2}，B={t|at﹣1=0}，A∪B=A，从而B⊆A，当a=0时，B=∅，成立；当a≠0时，B={}，由B⊆A，得=1或，由此能求出实数a的取值集合．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}={x|1≤x≤2}={1，2}，B={t|at﹣1=0}，A∪B=A，∴B⊆A，当a=0时，B=∅，成立；当a≠0时，B={}，∵B⊆A，∴=1或，解得a=1或a=，∴实数a的取值集合为{0，，1}．故答案为：{0，，1}．7．（5分）已知函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为（，1] ．【分析】讨论a=0、a＞0和a＜0时，函数f（x）在（1，2）上为减函数实数a满足的条件是什么．【解答】解：a=0时，函数f（x）=lg（﹣4x+5），应满足﹣4x+5＞0，解得x＜，不满足题意；a＞0时，由题意知，解得＜a≤1；a ＜0时，由题意知，此时无解；综上，函数f （x ）=lg （ax 2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，实数a 的取值集合是（，1]．故答案为：（，1]．8．（5分）已知不等式≤1的解集为A ，若1∉A ，则实数a 的取值范围是 （0，1] ．【分析】求出不等式中x 的范围，根据1∉A ，求出a 的范围即可． 【解答】解：∵≤1，∴≤0，∴或，解得：0＜x ＜a ，而1∉A ，故a ∈（0，1]，故答案为：（0，1]．9．（5分）设函数f （x ）=ln （1+|x|）﹣，若f （a ）＞f （2a ﹣1），则实数a 的取值范围是 （，1） ．【分析】根据题意，分析可得函数f （x ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，据此可以将不等式f （a ）＞f （2a ﹣1）转化为|a|＞|2a ﹣1|，解可得a 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f （x ）=ln （1+|x|）﹣，分析可得f （﹣x ）=f （x ），即函数f （x ）为偶函数，又由当x ＞0时，y=ln （1+|x|）=ln （1+x ）和y=﹣都是增函数，则函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，若f （a ）＞f （2a ﹣1），则有|a|＞|2a ﹣1|，变形可得：a 2＞4a 2﹣4a+1，解可得＜a ＜1，即a 的取值范围是（，1）；故答案为：（，1）．10．（5分）若集合A={x|x2+4x+a=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}，则A∪B的元素之和的函数关系式f（a）= ．【分析】求出集合B，讨论a的取值，求出集合A，再求函数f（a）的表达式．【解答】解：集合A={x|x2+4x+A=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}={t|64﹣16t（4﹣t）≤0}={t|t=2}={2}，△=16﹣4a，a＞4时，△＜0，方程x2+4x+a=0无解，A=∅；f（a）=2；a=4时，△=0，方程x2+4x+a=0有一解﹣2，A={﹣2}；f（a）=﹣2+2=0；a=﹣12时，△=64，方程x2+4x+a=0有两解﹣6和2，A={2，﹣6}；f（a）=2﹣6=﹣4；a∈（﹣∞，﹣12）∪（﹣12，4）时，△=16﹣4a，方程x2+4x+a=0有两解﹣2﹣和﹣2+，A={﹣2﹣，﹣2+}；f（a）=（﹣2﹣）+（﹣2+）+2=2∴函数f（a）=．故答案为：．11．（5分）当m＞0时，方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，则实数m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）．【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（0）、f（1）的值，由函数零点判定定理可得f（0）f（1）=（1﹣m）（m2﹣3m）≤0，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，令f（x）=m2x2﹣2mx﹣+1﹣m，有f（0）=1﹣m，f（1）=m2﹣3m，若方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，即函数f（x）在区间[0，1]上有且只有一个零点，有f（0）f（1）=（1﹣m）（m2﹣3m）≤0，又由m为正实数，则（1﹣m）（m2﹣3m）≤0⇒（1﹣m）（m﹣3）≤0，解可得0＜m≤1或m≥3，即m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故答案为：（0，1]∪[3，+∞）．12．（5分）已知函数f（x）=，记函数g（x）=f（x）﹣t，若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（，）．【分析】若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则a≥t＞0，且a2﹣4a2+4a＞t＞0且，解得答案．【解答】解：若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则函数y=f（x）与y=t有四个交点，即|x|=t，x≤a，与x2﹣4ax+4a=t各有两个解，故a≥t＞0，且a2﹣4a2+4a＞t＞0且解得：a∈（，），故答案为：（，）二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=【分析】求出函数的定义域和值域，逐个进行对比即可．【解答】解：函数y=10lgx的定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），对于A，定义域是（﹣∞，+∞），值域是[0，+∞），A错．对于B，定义域是（﹣∞，+∞），值域是（﹣∞，+∞），B错．对于C，定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），C错．对于D，定义域是（0，+∞），值域是（0，+∞），与题干函数定义域和值域相同．故D对．故选：D．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若￢q，则￢p”，写出即可．【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【分析】结合二次函数的图象和性质，设函数f（x）=ax2+bx+c在x1处取的最大值，在x2处取的最小值，0≤x1≤1，0≤x2≤1，且x1≠x2，则M﹣m=a（x12﹣x22）+b（x1﹣x2），即可得到答案【解答】解：设函数f（x）=ax2+bx+c在x1处取的最大值，在x2处取的最小值，0≤x1≤1，0≤x2≤1，且x1≠x2，∴M=f（x1）=ax12+bx1+c，m=f（x2）=ax22+bx2+c，∴M﹣m=ax12+bx1+c﹣ax22﹣bx2﹣c=a（x12﹣x22）+b（x1﹣x2），∴与a，b有关，但与c无关，故选：B．16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（x）至少有三个零点；③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]．则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分别根据函数的性质进行判断即可．【解答】解：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则满足f（﹣x）=f（x）且f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）=0故①正确；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（﹣1）=f（1）=﹣f（1），即f（1）=0，则f（﹣1）=f（1）=0，且f（0）=0，则f（x）至少有三个零点，0，1，﹣1；故②正确，③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数错误，只要函数f（x）是一对一函数即可，与函数是否单调没有关系；故③错误，④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]，错误．比如函数f（x）=x，（﹣1≤x≤0或1≤x≤2）则函数的值域为[﹣1，0]∪[1，2]，故正确的命题个数为2个，故选：B．三、解答题17．已知U=R，P={x|＞a}，Q={x|x2﹣3x≤10}．（1）若a=1，求（∁U P）∩Q；（2）若P∩Q=P，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，U=R，P={x|0＜x＜1}，Q={x|﹣2≤x≤5}，由此能求出C U P和（∁U P）∩Q．（2）由P={x|＞a}，Q={x|﹣2≤x≤5}，P∩Q=P，得P⊆Q，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，U=R，P={x|＞1}={x|0＜x＜1}，Q={x|x2﹣3x≤10}={x|﹣2≤x≤5}．C U P={x|x≤0或x≥1}，∴（∁U P）∩Q={x|﹣2≤x≤0或1≤x≤5}．（2）∵P={x|＞a}，Q={x|﹣2≤x≤5}，P∩Q=P，∴P⊆Q，当x＞0时，P={x|0＜x＜}，由P⊆Q，得a，当x≤0时，P⊆Q不成立．综上，实数a的取值范围是[，+∞）．18．已知函数f（x）=+（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．【分析】（1）f（x）为奇函数，运用定义法判断，求得函数的定义域，计算f（﹣x），与f（x）比较即可得到所求奇偶性；（2）由题意可得0＜2x﹣1≤3，运用指数函数的单调性，即可得到所求解集．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．理由：函数f（x）=+，即为f（x）=，定义域为{x|x≠0}，由f（﹣x）===﹣f（x），则f（x）为奇函数；（2）f（x）≥，即为+≥，即有≥，可得0＜2x﹣1≤3，解得1＜2x≤4，解得0＜x≤2，则原不等式的解集为（0，2]．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M 的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由消去y，利用△=0，求出m即可；（2）①写出点P的坐标（t，2t2），代入直线MN的方程，用t表示出直线方程，利用直线方程求出M、N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式即可求出S的最大值．【解答】解：（1）函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣m=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×m=0，解得m=﹣；（2）设点P的横坐标为t，则0＜t＜1，∴点P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+），其中0＜t＜1；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣；即S的最大值是4﹣．20．设函数f（x）=|4x﹣a•2x+4|+a•2x，其中a∈R．（1）当a＜0时，求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）若a=5，求函数f（x）的值域并写出函数f（x）的单调区间；（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），若函数g（x）的最大值为5，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＜0时，f（x）=4x+4，即可解得f﹣1（x）=log4（x﹣4），x＞4，（2）设2x=t，则f（t）=|t2﹣5t+4|+5t=，分段求出函数的值域并判断判断区间，（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），设2x=t，则1≤t≤4，g（t）=，分类讨论，求出函数的最值即可．【解答】解：（1）当a＜0时，f（x）=4x﹣a•2x+4+a•2x=4x+4，∴4x=y﹣4，y＞4，∴x=log4（y﹣4），∴y=log4（x﹣4），∴f﹣1（x）=log4（x﹣4），x＞4（2）当a=5时，f（x）=|4x﹣5•2x+4|+5•2x，设2x=t，则4x﹣5•2x+4=t2﹣5t+4，当t2﹣5t+4＜0时，解得0＜t＜4，当t2﹣5t+4≥0时，解得t＞4，∴f（t）=|t2﹣5t+4|+5t=，当t≥4时，f（t）在（0，1）和（4，+∞）上单调递增，则4＜f（t）≤5或f（t）≥20，当1＜t＜4时，f（t）=﹣t2+10t﹣4=﹣（t﹣5）2+21，∴f（t）在（1，4）上单调递增，∴f（1）＜f（t）＜f（4），∴5＜f（t）＜20，综上所述f（x）的值域为（4，+∞），函数f（x）的单调区间为（﹣∞，+∞），（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），设2x=t，则1≤t≤4，∴g（t）=，当a≤0时，g（t）==t+，在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，∴g（t）max=max{g（1），g（5）}∵g（1）=5，g（4）=5，∴函数g（t）的最大值为5，即当a≤0时，满足函数g（x）的最大值为5，当a＞0时，由t2﹣at+4≥0，即a≤t+，则由（2）可得y=t+，在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，∴（t+）min=2+=4，∴当0＜a≤4时，g（t）==t+，故可知满足函数g（x）的最大值为5，当a＞4时，g（t）==﹣（t+）+2a，∵y=﹣（t+），在[1，2]上单调递增，在（2，4]上单调递减，∴y max=﹣（2+）+2a=﹣4+2a，此时满足函数g（t）的最大值为5，综上所述当a∈（﹣∞，4]时，函数满足函数g（x）的最大值为521．已知函数f（x）=log n x（n＞0，n≠1）．（1）若f（x1x2）=10，求f（x12）+f（x22）的值；（2）设g（x）=f（），当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求m与n的值；（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+（m＞0），如果对于区间[﹣1，0]上的任意三个实数r，s，t，都存在以h（r）、h（s）、h（t）为边长的三角形，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据对数的运算法则进行化简求解即可．（2）根据复合函数单调性的关系进行求解．（3）问题转化为2y min＞y max，然后利用对勾函数的单调性进行分类讨论求解即可．【解答】解：（1）若f（x1x2）=10，则log n x1x2=10，则f（x12）+f（x22）=log n x12+log n x22=log n x12x22=log n（x1x2）2=2log n x1x2=20．（2）g（x）=f（）=log n=log n（）=log n（1+），则y=1+在（1，+∞）上为减函数，∵当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），∴m=1，n＞1，则函数g（x）在（m，n）上为减函数，则g（n）=1，即log n（1+）=1，得1+=n，即=n﹣1，的（n﹣1）2=2，得n﹣1=±，则n=1或n=1﹣（舍）．（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+=3x+，（m＞0），∵﹣1≤x≤0，∴设t=3x，则≤t≤1，即y=t+，（≤t≤1），由题意得在≤t≤1上恒有2y min＞y max即可．①当0＜m≤时，函数h（x）在[，1]上递增，y max=1+m，y min=3m+．由2y min＞y max得6m+＞1+m，即5m＞，得m＞．此时＜m≤．②当＜m≤时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，y max=max{3m+.1+m}=1+m，y max=3m+，y min=2，由2y min＞y max得4＞1+m，得．此时＜m≤．③当＜m＜1时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，y max=max{3m+.1+m}=3m+，y min=2，由2y min＞y max得4＞3m+，得＜m＜．此时＜m＜1 ④当m≥1时，h（x）在[，1]上递减，y max=3m+，y min=m+1，由2y min＞y max得2m+2＞3m+，得m＜．此时1≤m＜，综上＜m＜．。

上海市建平中学2019-2020学年2020届高三第一学期数学期中考试卷(简答)

上海市建平中学2019-2020学年2020届高三第一学期数学期中考试卷(简答)

建平中学高三期中数学卷2019.11一. 填空题1. 设函数()f x A ，R 为全体实数集，则A =R ð2. 若复数1z ，2z 满足112i z =+，234i z =+（i 是虚数单位），则12||z z ⋅=3. 在二项式51)x 的展开式中，展开式的系数和为4. 双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是340y x -=， 那么双曲线的方程 是5. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，4d =，则2lim1n n S n →∞=+ 6. 已知函数34()log (2)f xx =+，则方程1()4f x -=的解x =7. 行列式sin 4cos 35x x 的最大值为 8. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为9. 某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为10. 已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 11. 已知a r 、b r 、2c r 是平面内三个单位向量，若a b ⊥r r ，则|4|2|32|a c a b c +++-r r r r r 的最小值是12. 已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤， 则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的 取值范围是二. 选择题13. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值可能是（ ）A. 0B. 2π C. π D. 2π 14. 设x ∈R ， 则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ）条件A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15. 已知椭圆的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，[0,2)θπ∈，则该椭圆的焦点坐标为（ ）A. (0,B. (2,0)±C. (D. (1,0)±16. 数列{}n a 为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是41a =，51a =，62a =，74a =，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此继续，则2019a =（ ）A. 16B. 4C. 2D. 1三. 解答题17. 如图，在Rt △ABC 中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点，现将Rt △ABC以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=. （1）求该圆锥的全面积（即表面积）；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥.19. 某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m 人（60150m <<，且m 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润a 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润2a 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.（1）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （千元）关于x 的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？20. 如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，左顶点为(4,0)A -，经过点(2,3)，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，(3,0)Q -，证明：对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥恒成立；（3）若过点作直线的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||AD AE OM +的最小值.21. 设数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将两个数列的偏差距离定义为[{},{}]n n M a b ，其中1122[{},{}]||||||n n m m M a b a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-.（1）求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；（2）设A 为满足递推关系+11+=1n n na a a -的所有数列{}n a 的集合，{}nb 和{}nc 为A 中的两个 元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的偏差距离小于2020，求m 最大值；（3）记S 是所有8项数列{|18,0n n a n a ≤≤=或1}的集合，T S ⊆，且T 中任何两个元素的偏差距离大于或等于4，证明：T 中的元素个数小于或等于16.参考答案一. 填空题1. {|11}x x -<<2.3. 324. 221916x y -= 5. 2 6. 1 7. 5 8.439.427 10. 1 11. 12. 21(0,]2019二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）12π；（2）. 18.（1）12-；（2）[2,2]26k k ππππ-+，k ∈Z . 19.（1）(100)(2)20,00.6(1002)(2)20,0.6x m x x x m y x m x x m x m +--<≤⎧=⎨+--<≤⎩；（2）30m -.20.（1）2211612x y +=；（2）证明略；（3）21.（1）6；（2）3461；（3）证明略.。

2019-2020学年上海中学高三(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年上海中学高三(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年上海中学高三（上）期中数学试卷一.填空题1．已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N = ．2．函数y = ．3．等比数列{}n a 中，公比4q =，且前3项之和是21，则数列的通项公式n a = ． 4．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x --<的解集是 ．5．设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ．6．若不等式20px qx r -+…的解集为{|2x x -…或3}x …，则不等式2()(1)0qx px r x ++->的解集为 ．7．已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令*n b n N =∈，2020)n <，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = ．8．若不存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立，则实数k 的取值范围是 ． 9．定义：数集的容量是集合中所有元素的和．例如，数集{1，2，3}的容量为1236++=．则满足条件“{1A ⊆，2，3，4，5，6，7}，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和是 ．10．a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1-，1]上有零点，则a 的取值范围是 ．11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 项．12．设220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+=⎨++->⎩…，若()f x 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为 ．二.选择题13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠．若12345m a a a a a a =，则(m = ) A ．9B ．10C ．11D ．1215．若存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．13(,)24-B ．13(,)(,)22-∞-+∞ C ．13(,)44-D ．13(,)(,)44-∞-+∞ 16．给定函数()f x 和()g x ，令(){()h x max f x =，()}g x ，对以下三个论断：（1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数；（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性； 其中正确论断的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个三.解答题17．已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<． （1）若1a b +=，求11(1)(1)a b++的最小值；（2）若14ab =，求1111a b+--的最小值． 18．已知()|1|()f x ax a R =-∈，()1||g x x =-． （1）解关于x 的不等式()1f x …；（2）若()()f x g x …的解集为R ，求a 的取值范围．19．若函数()y f x =与()y g x =在给定的区间上满足()()0f x g x …恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”．（1）若函数2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-在R 上和谐，求实数a 的取值范围；（2）若函数30()f x a x =-与()()xg x lg a=在*N 上和谐，求实数a 的取值范围． 20．在数列{}n a 中，10a =，21n na a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈．（1）若2a 、3a 、4a 依次成公差不为0的等差数列，求m ； （2）证明：“14m >”是“*11()4n a n N +>∈恒成立”的充要条件； （3）若14m >，求证：存在*k N ∈，使得2019k a >． 21．已知2()||f x x a x b =--，其中0a >，0b >． （1）若2a =，1b =，写出()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2-，求a 、b 的值；（3）若函数()f x 在[2-，2]上有四个不同零点1x 、2x 、3x 、4x ，求1234||||||||x x x x +++的最大值．2019-2020学年上海中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N = {|22}x x -<< ．【解答】解：集合{|42}M x x =-<<，2{|60}{|23}N x x x x x =--<=-<<，{|22}MN x x ∴=-<<．故答案为：{|22}x x -<<．2．函数y = [4．)+∞ ． 【解答】解：由已知可得2log 20x x ⎧⎨>⎩…，解不等式可得{|4}x x …故答案为：[4，)+∞3．等比数列{}n a 中，公比4q =，且前3项之和是21，则数列的通项公式n a = 14n - ． 【解答】解：因为公比4q =，且前3项之和是21， 所以31(14)2114a -=-，解得11a =，所以11144n n n a a --==， 故答案为：14n -．4．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x--<的解集是 (1-，0)(0⋃，1) ． 【解答】解：函数()f x 是奇函数 ()()f x f x ∴-=- ∴不等式()()0f x f x x--<可转化为：()0f x x <根据条件可作一函数图象： ∴不等式()()0f x f x x--<的解集是(1-，0)(0⋃，1)故答案为：(1-，0)(0⋃，1)5．设0x >，0y >，25x y +=的最小值为【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，==+；由基本不等式有：64xyxy=；当且仅当=时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =⎧⎨=⎩或232x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，；故答案为：6．若不等式20px qx r -+…的解集为{|2x x -…或3}x …，则不等式2()(1)0qx px r x ++->的解集为 (3-，1)(2⋃，)+∞ ．【解答】解：20px qx r -+…的解集为{|2x x -…或3}x …，所以其对应的方程20px qx r -+=有两个根2-，3，且0p >，22(2)(3)6px qx r p x x px px p -+=+-=--，所以q p =，6r p =-． 2()(1)0qx px r x ++->，即2(6)(1)0p x x x +-->，即(3)(2)(1)0x x x +-->，由穿针引线法，得(3x ∈-，1)(2⋃，)+∞． 故答案为：(3-，1)(2⋃，)+∞．7．已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令*n b n N =∈，2020)n <，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = 1010 ．【解答】x =y =，*n b n N =∈，2020)n <，∴根据基本不等式222222222()22()x y x y xy x y x y x y +=+++++=+…，得222020*********()2(2)4n n n b a a a a -=+==…，当且仅当2020n n a a -=时，n b 取到最大值， 此时1010n =，1010k ∴=． 故答案为：1010．8．若不存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立，则实数k 的取值范围是 14k 剟 ．【解答】解：设原不等式的解集为A ， 当0k =时，则4x >，不合题意，当0k >且2k ≠时，原不等式化为[(x -4)](4)0k x k +-<，44k k+>， ∴4(4,)A k k =+，要使不存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立，须45k k+…，解得：14k 剟； 当2k =时，A =∅，合题意，当0k <时，原不等式化为[(x -4)](4)0k x k +->，(A ∴=-∞，4)(4k k+⋃，)+∞，不合题意，故答案为：14k 剟． 9．定义：数集的容量是集合中所有元素的和．例如，数集{1，2，3}的容量为1236++=．则满足条件“{1A ⊆，2，3，4，5，6，7}，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和是 224 ．【解答】解：若满足条件则下列同一括号里的数，同时属于或不属于A ，即(1,7)、(2,6)、(3,5)，4又(1,7)属于集合是一种情况，不属于集合又是一种情况，共两种情况，同理(2,6)，(3,5)，4同(1,7)类似各有两种情况，∴利用乘法原理，可得满足条件的集合个数为42(1,7)、(2,6)、(3,5)，4出现和不出现的次数是相等的， (1,7)∴、(2,6)、(3,5)，4出现的次数均为8， ∴总容量为：8(8884)224⨯+++=，故答案为：22410．a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1-，1]上有零点，则a 的取值范围是 ([1，)+∞ ． 【解答】解：0a =时，不符合题意，所以0a ≠，2()2230f x ax x a =+--=在[1-，1]上有解，2(21)32x a x ∴-=-在[1-，1]上有解∴212132x a x-=-在[1-，1]上有解， 问题转化为求函数22132x y x -=-在[1-，1]上的值域．设32t x =-，[1x ∈-，1]，则23x t =-，[1t ∈，5]， 17(6)2y t t∴=+-，设7()g t t t =+，27()1g t t∴'=-，[1t ∈时，()0g t '<，此函数()g t 单调递减，t ∈，5]时，()0g t '>，此函数()g t 单调递增，y ∴的取值范围是3-，1]，∴13a∈-，1]，1a ∴…或a …．故答案为(-∞[1，)+∞． 11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 89 项．【解答】解：由题可知，数列要想项数最少，需要各项最大；又因为数列首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1， 所以需要数列前面递增，后面对称递减； 又各项之和是2019，中间可能存在相等的项，设除去相等项后的各项为：1，2，3⋯，(1)n -，n ，(1)n -，3⋯，2，1； ∴令各项和：2(1)[1(1)]123(1)(1)212[123(1)]2(1)20192n n n n n n n n n n n n -+-+++⋯+-++-+⋯++=+++⋯+-+=⨯+=-+=…， 得44n …，当n 为44时，项数为432187⨯+=项， 220194483-=，将83分成小于或等于44的项，最少可以分成两项， 故这个数列至少有87289+=项， 故答案为：89．12．设220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+=⎨++->⎩…，若()f x 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为{2[1---，1] ．【解答】解：（1）若0a -…，即0a …时，22,0()1,0121,1x ax x f x a x x a x ⎧-+⎪=+<⎨⎪+->⎩……， ()f x ∴在(-∞，0]上单调递减，最小值为(0)2f =，在(0,)+∞上最小值为1a +，故只需21a +…即可，解得01a 剟； （2）若01a <-…，即10a -<…时，则22,021,0()1,121,1x ax x x a x af x a a x x a x ⎧-+⎪--+<-⎪=⎨+-<<⎪⎪+-⎩………，()f x ∴在(-∞，0]上先减后增，最小值为2()224a a f =-，在(0,)+∞上最小值为1a +，故只需2214a a -+…即可，解得22a ---+， 又10a -<…，10a ∴-<…；（3）若1a ->，即1a <-时，22,021,01()1,121,x ax x x a x f x a x a x a x a⎧-+⎪--+<⎪=⎨--<<-⎪⎪+--⎩………，()f x ∴在(-∞，0]上先减后增，最小值为2()224a a f =-，()f x 在(0,)+∞上的最小值为10a -->，而()f x 的最小值为10a +<，故只需令2214a a -=+即可，解得2a =--2a =-+（舍)，综上，a的取值范围是{2[1---，1]．故答案为：{2[1---，1]． 二.选择题13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件． 故选：B ．14．在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠．若12345m a a a a a a =，则(m = ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解答】解：根据等比数列的性质得，215243a a a a a ==， 又12345m a a a a a a =，所以53m a a =， 因为111m m m a a q q --==，2231a a q q ==， 所以125()m q q -=，所以110m -=，即11m =， 故选：C ．15．若存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．13(,)24-B ．13(,)(,)22-∞-+∞C ．13(,)44-D ．13(,)(,)44-∞-+∞ 【解答】解：命题存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立的否定为[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立．由[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立，得2212x a --剟，即1322x xa -剟， 当[1x ∈，2]时，12x -的最大值为14-，32x 的最小值为34． ∴命题[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立为真命题的a 的取值范围为1[4-，3]4， 则命题[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立为假命题的a 的取值范围为13(,)(,)44-∞-+∞，即存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立的实数a 的取值范围是13(,)(,)44-∞-+∞． 故选：D ．16．给定函数()f x 和()g x ，令(){()h x max f x =，()}g x ，对以下三个论断：（1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数；（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性； 其中正确论断的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】解：（1）若()f x x =-，3()g x x =，则3,0(),0x x h x x x -<⎧=⎨⎩…，则()h x 为非奇非偶函数，故（1）错误，（2）若()2xf x =，()2xg x -=，则2,0()2,0x x x h x x -⎧=⎨<⎩…，则()h x 为偶函数，故（2）错误，（3）由（1）（2）知，()f x 和()g x 与()h x 的奇偶性没有关系，故（3）错误， 故正确的个数为0个， 故选：A ． 三.解答题17．已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<． （1）若1a b +=，求11(1)(1)a b++的最小值；（2）若14ab =，求1111a b+--的最小值．【解答】解：已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<．（1）若1a b +=，11(1)(1)(1)(1)(2)(2)4419a b a b a ba b a b b a ++++=++=++++=…，当且仅当a b =成立，故最小值为9，（2）令11x a =-，11y b =-，所以1x a x-=，1y b y -=，1x >，1y >，所以2x y +>，由14ab =，得1114x y x y --=，化简得234()34()44x y xy x y +=+++…，当且仅当x y =时成立， 解得4x y +…，或者43x y +…（不成立） 故x y +的最小值为4．18．已知()|1|()f x ax a R =-∈，()1||g x x =-． （1）解关于x 的不等式()1f x …；（2）若()()f x g x …的解集为R ，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）()1f x …，|1|1ax ∴-…，111ax ∴--剟，02ax ∴剟，∴当0a >时，20xa 剟；当0a =时，x R ∈；当0a <时，20x a剟， ∴当0a >时，不等式的解集为2[0,]a；当0a =时，不等式的解集为R ； 当0a <时，不等式的解集为2[,0]a；（2）不等式()()f x g x …的解集为R ， 即|1|1||ax x --…的解集为R ． |1|y ax =-经过定点(0,1)， ∴当0a =时，||0x …，满足题意； 当0a ≠时，关于x 的不等式|1|1||ax x --…的解集为R ， 则11a …或11a-…，11a ∴-剟且0a ≠， a ∴的取值范围为[1-，1]．19．若函数()y f x =与()y g x =在给定的区间上满足()()0f x g x …恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”．（1）若函数2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-在R 上和谐，求实数a 的取值范围；（2）若函数30()f x a x =-与()()xg x lg a=在*N 上和谐，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-是公共区间上的“和谐函数”，可得在公共定义域上()()0f x g x …， 若()f x ，()g x 对应的方程是同解方程， 则1222a a a a⎧-=⎪⎨⎪-+=-⎩，解得2a =； 此时22(2)(224)0x x x x +-+-…． 若()f x ，()g x 对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数x ，函数值乘积均为正， 则需要两个二次函数的判别式均小于或等于0， 即22(1)4(22)042(2)0a a a a ⎧---+⎨-⨯⨯-⎩……， 解得70a -剟， 即a 的取值范围是70a -剟． 当0a =时，函数化为2()2f x x x =-+与2()2g x x =，()g x 大于等于0，()f x 的判别式小于0，()f x 大于0恒成立，函数值乘积恒非负，也满足条件．综上知，实数a 的取值范围是70a -剟或2a =； （2）由定义域可得0xa>，由题意可得0a >， 由()0f x =，可得30x a=，由()0g x =，可得x a =， 由题意可得两零点之间无正整数， 由于5630⨯=，所以当05a <<时，306a>，不满足题意； 当6a >时，3005a<<，不满足题意； 当56a 剟时，3056a剟，满足题意．所以a 的取值范围是[5，6]．20．在数列{}n a 中，10a =，21n na a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈． （1）若2a 、3a 、4a 依次成公差不为0的等差数列，求m ； （2）证明：“14m >”是“*11()4n a n N +>∈恒成立”的充要条件； （3）若14m >，求证：存在*k N ∈，使得2019k a >． 【解答】解：（1）10a =，21n na a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈． 当1n =时，20a m m =+=， 当2n =时，23a m m =+，当3n =时，224()a m m m m =++=，∴若2a 、3a 、4a 依次成公差不为0的等差数列，3242a a a ∴=+，得1m =-± （2）证明： 充分性：21n n a a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈．1n a m +∴…，14m >， *11()4n a n N +∴>∈恒成立．∴ “14m >” ⇒ “*11()4n a n N +>∈恒成立”． 必要性：21n n a a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈，1n a m +∴…，又*11()4n a n N +>∈恒成立，14m ∴>， ∴ “*11()4n a n N +>∈恒成立” ⇒ “14m >” （3）221111()()244n n n n n a a a m a a m m +-=+-=-+--…，又14m >，∴令104d m =->， 由1n n a a d --…， 12n n a a d ---…，⋯21a a d -…，将上述不等式相加，得： 1(1)n a a n d --…，即(1)n a n d -…，取正整数20191k d>+，就有 2019(1)()2019k a k d d d->=…． 21．已知2()||f x x a x b =--，其中0a >，0b >． （1）若2a =，1b =，写出()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2-，求a 、b 的值；（3）若函数()f x 在[2-，2]上有四个不同零点1x 、2x 、3x 、4x ，求1234||||||||x x x x +++的最大值．【解答】解：（1）2a =，1b =时，2222222,1(1)1,1()2|1|22,1(1)3,1x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎧-+-+=--==⎨⎨+-<+-<⎩⎩厖， ()f x ∴在(-∞，1]-单调递减，在(1,1)-上单调递增，在[1，)+∞单调递增；（2）由题意2()||0f x x a x b =--=有三个解，且他们的和为2-，x b <时，2()0f x x ax ab =+-=必有两个解，x =，x b ∴>时，2()0f x x ax ab =-+=只有一解，△240a ab =-=，4a b =①，2x b =②，联立①②解得4a =，1b =，综上所述4a =，1b =；（3）2()||0f x x a x b =--=即20x ax ab -+=或20x ax ab +-=，设20x ax ab -+=的两根为1x ，2x ，则12x x a +=，10x >，20x >；设20x ax ab +-=的两根为3x ，4x ，则34x x a +=-，340x x ab =-<，23434||||||4x x x x a ab ∴+=-==+，1x ，2x ，3x ，4x 均在区间[2-，2]内，20x ax ab ∴+-=在区间[2-，2]内，∴2-，4a ∴+，1234||||||||4x x x x a ∴+++=+，综上所述1234||||||||x x x x a +++=+的最大值为4；。

2020-2021学年上海中学高三上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海中学高三上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.若x，y，z为实数，则下列命题正确的是()A. 若x>y，则1x <1yB. 若x>y，则sinx>sinyC. 若x<y，则x2<y2D. 若x−yz2<0，则x<y 2.在等比数列{a n}中，a3=3，a6=6，则a9=()A. 19B. 112C. 9D. 123.已知且，且，那么函数的图象可能是()A. B.C. D.4.命题“存在x∈R，使得x2+2x<1”的否定是()A. 对任意x∈R，都有x2+2x>1B. 对任意x∈R，都有x2+2x≥1C. 存在x∈R，使得x2+2x>1D. 存在x∈R，使得x2+2x≥1二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设集合A={a,2a2}，B={1,a+b}，若A∩B={−1}，则实数b=______．6.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x对称，则g(3)=______．7.已知a=log132，b=(13)12，c=(23)12，则a，b，c大小关系为______．8.已知p：a−4<x<a+4，q：(x−2)(x−3)<0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是_____．9.若动直线与函数与的图像分别交于两点，则的最大值为．10. 某学校有一块面积为的锐角空地，欲修一个面积最大的内接矩形作为小运动场(如图所示)，已知，则小运动场的最大面积为 ． 11. 设全集U =R ，集合A ={x ｜x 2<1}，B ={x ｜x 2−2x >0)则A ∩(C R B )=________．12. 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ∗.若a 3=16，S 20=20，则S 10的值为 ．13. 已知集合A ={x|x ≥4或x <−5}，B ={x|a +1≤x ≤a +3,a ∈R}，若B ⊆A ，则a 的取值范围为______．14. 已知函数f(x)={log 2x,0<x <2(23)x +59,x ≥2.若函数g(x)=f(x)−k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是______．15. 从数列{12n }(n ∈N ∗)中可以找出无限项构成一个新的等比数列{b n }，使得该新数列的各项和为17，则此数列{b n }的通项公式为______．16. 已知函数f(x)=|x 2−1|，g(x)=x 2+ax +2，x ∈R ，若函数ℎ(x)=f(x)+g(x)+2在(0,2)上有两个不同的零点x 1，x 2，则a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 设0<x 1<x 2<π2．(Ⅰ)证明：x 1>sinx 1(Ⅱ)x 1sinx 2cosx 1>x 2sinx 1cosx 2．18. 已知函数f(x)=|x −1|−2|x +a|．(Ⅰ)当a =3时，求不等式f(x)>2的解集；(Ⅱ)若f(x)+x +1≤0的解集为A ，且[−2,−1]⊆A ，求a 的取值范围．19. 若为正实数且满足． (1)求的最大值为；(2)求的最大值．20. 已知f 1(x)=|3x −1|，f 2(x)=|a ⋅3x −9|(a >0)，x ∈R ，且f(x)={f 1(x),f 1(x)≤f 2(x)f 2(x),f 1(x)>f 2(x)． (1)当a =1时，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，若方程f(x)−m =0有4个不等的实根，求实数m 的范围；(3)当2≤a <9时，设f(x)=f 2(x)所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间[m,n]的长度定义为n −m)，试求l 的最大值．21. 已知数列g(x)的前n 项和为(t,3)，a 1=12,S n =n 2a n −n(n −1)，n =1，2，…．(Ⅰ)证明：数列{n+1n S n }是等差数列，并求S n ； (Ⅱ)设b n =S n n 3+3n 2，求证：b 1+b 2+⋯+b n <512．【答案与解析】1.答案：D解析：解：对于选项A：x=1，y=0，故1y没意义，故错误．对于选项B：x=2π，y=π2，所以sin2π=0<sinπ2=1，故错误．对于选项C：x=−2，y=−1，则x2>y2，故错误．对于选项D：x−yz2<0，所以x<y，故正确．故选：D．直接利用不等式的性质的应用和三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．2.答案：D解析：解：根据题意，在等比数列{a n}中，a3=3，a6=6，则有(a6)2=a3×a9，变形可得a9=(a6)2a3=363=12；故选：D．根据题意，由等比中项的性质可得(a6)2=a3×a9，变形计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比中项的定义，属于基础题．3.答案：A解析：由得到，函数过点(0,1)且单调递减，故选A．4.答案：B解析：解：命题为特称命题，则命题的否定为对任意x∈R，都有x2+2x≥1，故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5.答案：0解析：解：∵A∩B={−1}，∴−1∈A，−1∈B，∴{a=−1a+b=−1，解得b=0．故答案为：0．根据A ∩B ={−1}，得到关于a ，b 的方程组，解出即可．本题考查了集合的交集的运算，考查对应思想，是一道基础题．6.答案：2解析：解：∵函数g(x)的图象与函数f(x)=log 2(3x −1)的图象关于直线y =x 对称， ∴对于函数f(x)=log 2(3x −1)，令f(x)=3得：log 2(3x −1)=3，∴3x −1=23=8，∴x =2，∴f(2)=3，即g(3)=2，故答案为：2．利用反函数的定义f(x)=3得x =2，所以f(2)=3，即g(3)=2．本题主要考查了反函数的定义及其性质，是基础题．7.答案：c >b >a解析：解：∵a =log 132<log 131=0， 又∵函数y =x 12在(0,+∞)是增函数，∴(23)12>(13)12>0．所以，c >b >a ．故答案为c >b >a ．由对数式的运算性质得到a <0，由幂函数的单调性得到c >b >0，所以答案可求． 本题考查了对数式的运算性质，考查了幂函数的性质，是基础的不等式大小比较问题． 8.答案：[−1,6]解析：解：p ：a −4<x <a +4，q ：(x −2)(x −3)<0⇔2<x <3．又¬p 是¬q 的充分条件，即¬p ⇒¬q ，它的等价命题是q ⇒p ．所以{a −4≤2a +4≥3，解得−1≤a ≤6， 故答案为[−1,6]．解出p ，q 所对应的x 的范围，根据包含关系得出结论．若A ={x|x 满足条件p}，B ={x|x 满足条件q}：①A ⊊B ，则p 是q 的充分不必要条件；②A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A =B ，则p 是q 的充要条件．。

上海市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)

上海市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)

上海市2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题 1.设函数()f x A ，R 为全体实数集，则R C A =________【答案】{|11}x x -<< 【解析】 【分析】被开方数需大于等于0求得集合A ，再求A R.【详解】由题意得：2{|10}{|1A x x x x =-≥=≥或1}x ≤-， 因为R 为全体实数集，所以{|11}A x x =-<<R.故答案为：{|11}x x -<<.【点睛】本题考查函数定义域的求法、集合间的补集运算，考查对定义域概念的理解和基本的运算求解能力.2.若复数1z ，2z 满足112i z =+，234i z =+（i 是虚数单位），则12||z z ⋅=________【答案】【解析】 【分析】先要据复数相乘得到12510i z z ⋅=-+，再利用复数求模的公式，即得答案. 【详解】因为12(12i)(34i)510i z z ⋅=+⋅+=-+，所以12||z z ⋅==.故答案为：【点睛】本题考查复数相乘、复数模的计算，考查基本运算求解能力.3.在二项式51)x-的展开式中，展开式的系数和为________【答案】32 【解析】 【分析】利用赋值法令1x =即可得到展开式各项的系数和.【详解】由二项式51)x的展开式知，展开式的系数和是由展开式的各项的系数相加，所以1x =得：展开式的系数和为5(31)32-=. 故答案为：32.【点睛】本题考查二项展开式各项系数和的计算，求解过程中要学会用赋值法进行求解，考查对展开式各项系数的理解和基本的运算求解能力.4.双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是340y x -=， 那么双曲线的方程是________【答案】221916x y -=【解析】 【分析】由双曲线的焦点坐标得c ，再由渐近线方程得ba，结合222c a b =+，从而求得,a b ，进而求得双曲线的方程.【详解】因为双曲线的焦点是(5,0)，所以5c =， 因为渐近线是340y x -=，所以43b a =，又222c a b =+， 所以3,4a b ==，所以双曲线的方程是221916x y -=.故答案为：221916x y -=.【点睛】本题考查利用待定系数法求双曲线方程，考查焦点坐标、渐近线方程的概念，考查基本运算求解能力，注意222c a b =+而不能记成222a b c =+. 5.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，4d =，则2lim 1nn S n →∞=+________【答案】2 【解析】【分析】利用等差数列的前n 项和公式求得n S ，再代入极限式子中，分子分母同时除以2n ，进而计算求得答案.【详解】因为21(1(14222n S n n n n n a n d n n --=⋅+⋅=+⋅=-））， 所以2222122lim lim lim 21111n n n n S n n n n n n→∞→∞→∞--===+++. 故答案为：2. 【点睛】本题考查等差数列求和、数列极限，考查数列中的基本量法求和，考查基本的运算求解能力.6.已知函数34()log (2)f x x=+，则方程1()4f x -=的解x =________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1()4f x -=的x 值，即求(4)f 的值． 【详解】由题意得x 值即为(4)f 的值，因为34()log (2)f x x =+， 所以34(4)log (2)14f =+=，所以1x =. 故答案为：1x =.【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点(,)x y ，则反函数过点(,)y x ，考查对概念的理解和基本运算求解能力. 7.行列式sin 4cos 35x x的最大值为________【答案】13 【解析】 【分析】由行列式计算结合辅助角公式得13sin()x ϕ-，再由三角函数的值域，求得行列式的最大值. 【详解】因为sin 4cos 5sin 12cos 13sin()1335x x x x x ϕ=-=-≤，其中12tan 5ϕ=， 所以sin 4cos 35x x的最大值为13.故答案为：13.【点睛】本题考查行列式的计算、辅助角公式的运用及三角函数的最值，考查逻辑推理和运算求解能力.8.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的2，，所以该多面体的体积为21421(2).33⨯⨯⨯=点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．9.某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为________ 【答案】427【解析】 【分析】先求出基本事件总数33327n =⨯⨯=，其总分至少为207分包含的基本事件个数3213314m C C C =+=，由此能求出其总分至少为207分的概率．【详解】某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考，每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分， 基本事件总数33327n =⨯⨯=，其总分至少为207分包含的基本事件个数：3213314m C C C =+=，∴则其总分至少为207分的概率427m p n ==． 故答案为：427． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________【答案】1 【解析】 【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()an n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==， 则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列， ∴19999991001log (99)199a =⋅=． 故答案为：1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．11.已知a 、b 、2c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则|4|2|32|a c a b c +++-的最小值是________【答案】【解析】 【分析】设2(,)c e x y ==，(1,0)a =，(0,1)b =，将问题转化为求|2||64|a e a b e +++-的最小值，再证明|2||2|a e a e +=+，从而将原问题转化为求|2||64|a e a b e +++-的最小值. 【详解】令2c e =，设(1,0)a =，(0,1)b =，e 对应的点C 在单位圆上， 所以问题转化为求|2||64|a e a b e +++-的最小值.因为2222(2)(2)330a e a e e a +-+=-=，所以|2||2|a e a e +=+，所以|64|(|22)|a e a b e x ++-=++ 表示C 点到点(2,0)-和(6,4)的距离之和， 过点(2,0)-和(6,4)的直线为220x y ，原点到直线220x y1=<，所以与单位圆相交，所以|2||64|a e a b e +++-的最小值为：点(2,0)-和(6,4)之间的距离，即故答案为：【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与解析几何中直线与圆的位置关系的交会，求解的关键在于问题的等价转化，即将最小值转化为两点问的距离，考查数形结合思想、转化与化归思想的灵活运用，综合性很强．12.已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________ 【答案】21(0,]2019【解析】【分析】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++，再利用绝对值不等式和01|()|2019f x ≤，求得a 的取值范围. 【详解】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++， 所以42019()(3)(1)(2)a f m f m f m f m ⨯=++-+-+|()||(3)||(1)||(2)|f m f m f m f m ≤++++++142019≤⨯所以212019a ≤. 故答案为：21(0,]2019. 【点睛】本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似整零点”只与图象的开口大小有关，且四个整零点之间的最小距离为3，此时a 可取到最大值. 二. 选择题13.若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值可能是（ ） A. 0 B.2π C. πD. 2π【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性的定义可得ϕ需满足的条件为2k πϕπ=+，k Z ∈，结合选项可得答案．【详解】函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，()()f x f x ∴-=，即sin()sin()x x ϕϕ-+=+，2x x k ϕϕπ∴-+=++或2x x k ϕϕππ-+++=+，k Z ∈，当2x x k ϕϕπ-+=++时，可得x k π=-，不满足偶函数定义中的任意性； 当2x x k ϕϕππ-+++=+时，2k πϕπ=+，k Z ∈，当0k =时，2ϕπ=. 故选：B.【点睛】本题考查正弦函数图象，涉及函数的奇偶性，求解过程中也可以采用代入法求解，重点学校 试卷 可修改 欢迎下载即直接把四个选项代入一一进行验证求得ϕ的值． 14.设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B 。

2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高三(上)月考数学试卷(12月份)(附答案详解)

2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高三(上)月考数学试卷(12月份)(附答案详解)

2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高三（上）月考数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1. “α=arcsin 13”是“sinα=13”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知数列{a n }满足：a n ={1 , (1≤n ≤2018)−2⋅(13)n−2009. (n ≥2019)，设S n 表示数列{a n }的前n 项和.则下列结论正确的是( )A. n →+∞lim a n 和n →+∞limS n 都存在 B. n →+∞lima n 和n →+∞limS n 都不存在 C. n →+∞lima n 存在，n →+∞limS n 不存在 D. n →+∞lima n 不存在，n →+∞limS n 存在3. 对于实数a =0．2⋅019⋅，定义函数f(n)=k ，定义域为Z +，其中k 为a 的小数点后第n 位的数字，规定f(0)=2，则f(f(f(n)))的值域为( )A. {2,0，1，9}B. {2,0，1}C. {0,1}D. {2,0}4. 已知数列{a n }满足a 1=−12,a n+1=a n2+3a n +1，若b n =1a n +2，设数列{b n }的前项和为S n ，则使得|S 2019−k|最小的整数k 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知角α的终边过点(−2,3)，则sin2α= ______ ．6. 已知复数z 满足i ⋅z =1−i(其中i 为虚数单位)，则|z|= ______ ．7. 函数f(x)=1+sin 2x 得最小正周期是______ ．8. 若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2+a 4=14，S 7=70，则数列{a n }的通项公式为______．9. 若(2a 2+b 3)n 的二项展开式中有一项为ma 4b 12，则m =______． 10. 若抛物线y 2=2px(p >0)的焦点与双曲线x 26−y 210=1的右焦点重合，则实数p 的值是______．11. 一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数是______ ．12. 设三条不同的直线l 1：ax +2by +3(a +b +1)=0，l 2：bx +2(a +b +1)y +3a =0，l 3：(a +b +1)x +2ay +3b =0，若它们交于同一点，则a +b 的值为______ ． 13. 已知△ABC 的面积为1，点P 满足3AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△PBC 的面积等于______ ．14. 已知集合U ={1,2，3，4，5}，I ={X|X ⊆U}，从I 中任取两个不同的元素A ，B ，则A ∩B 中恰有三个元素的概率为______ ．15. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =0，|c ⃗ |=1，|a ⃗ −c ⃗ |=|b ⃗ −c ⃗ |=5，则|a ⃗ −b ⃗ |的最大值为______ ．16. 设函数f(x)的定义域为(−1,1)且满足：①当x ∈(−1,0)时，f(x)>0；②f(x)+f(y)=f(x+y1+xy )，x ，y ∈(−1,1)； 以下关于函数f(x)有四个命题： (1)f(x)为奇函数； (2)f(x)为偶函数；(3)f(x)在定义域内单调递减；(4)存在正数m ，使得对于任意的x ∈(−1,1)有|f(x)|<m ． 其中真命题是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，(如图)E 是棱C 1D 1的中点，F 是侧面AA 1D 1D 的中心． (1)求三棱锥A 1−D 1EF 的体积；(2)求EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小.(结果可用反三角函数表示)18.设D是函数y=f(x)定义域的一个子集，若存在x0∈D，使得f(x0)=−x0成立，则称x0是f(x)的一个“准不动点”，也称f(x)在区间D上存在准不动点．已知(4x+a⋅2x−1),x∈[0,1]．f(x)=log12(1)若a=1，求函数f(x)的准不动点；(2)若函数f(x)在区间[0,1]上存在准不动点，求实数a的取值范围．19.某城市为发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线l1与l2修建景观路(桥)，如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通.已知AB=60m，BC=80m，河道两侧的景观道路修建费用为每米1万元，架设在河道上方的景观桥EF部分的修建费用为每米2万元．(1)若景观桥长90m时，求桥与河道所成角的大小；(2)如何设计景观桥EF的位置，使矩形区域ABCD内的总修建费用最低？最低总造价是多少？20.已知抛物线C：y2=4x，点P(4,4)．(1)求点P与抛物线C的焦点F的距离；(2)设斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若△PAB的面积为2√2，求直线l的方程；(3)是否存在定圆M：(x−m)2+y2=4，使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点A，B时，总有直线AB也与圆M相切？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．21.已知无穷数列{x n}，{y n}，{z n}满足：x n+1=|y n|−|z n|，y n+1=|z n|−|x n|，z n+1=|x n|−|y n|，n∈N∗.记a n=max{|x n|,|y n|,|z n|}(max{x,y，z}表示3个实数x，y，z 中的最大值)．(1)若x1=2，y2=3，z3=4，求y1，z1的可能值；(2)若x1=1，y1=2，求满足a2=a3的z1的所有值；(3)设x1，y1，z1是非零整数，且|x1|，|y1|，|z1|互不相等，证明：存在正整数k，使得数列{x n}，{y n}，{z n}中有且只有一个数列自第k项起各项均为0．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵“α=arcsin 13”⇒“sinα=13”，“sinα=13”⇒“α=arcsin 13+2kπ，k ∈Z ”或“α=π−arcsin 13+2kπ,k ∈Z ”， ∴“α=arcsin 13”是“sinα=13”的充分不必要条件． 故选A ．“α=arcsin 13”⇒“sinα=13”，“sinα=13”⇒“α=arcsin 13+2kπ，k ∈Z ”或“α=π−arcsin 13+2kπ,k ∈Z ”，由此知答案．本题考查必要条件、充分条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答．2.【答案】A【解析】解：∵数列{a n }，对任意的正整数n ，a n ={1 , (1≤n ≤2018)−2⋅(13)n−2009. (n ≥2019)， 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，∴a 1=a 2=a 3=⋯=a 2018=1，a 2019=−2⋅1310，a 2020=−2⋅1311，a 2019=−2⋅1312，…，∴S n =2018+=2018+=2017−， n →+∞limS n =−2⋅1310(1−13n−2009)1−13=−139，n →+∞lim a n =n →+∞lim(−2×(13)n−2019)=0， 故选：A ．推导出S n ，利用数列极限的运算法则化简求解即可． 本题考查了分组求和和极限的定义，属于中档题．3.【答案】D【解析】解：由题意可知函数f(x)是以4为周期的函数， 因为f(n)=k ，k ∈{2,0，1，9}，f(2)=0，f(0)=2，f(1)=2，f(9)=f(1)=2，所以f(f(n))∈{0,2}， 所以f(f(f(n)))∈{0,2}， 故选：D ．分析出函数是以4为周期的函数，根据定义求出f(n)，f(f(n))，f(f(f(n)))的取值范围即可．本题主要考查了函数周期性质的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：a n+1−a n =(a n +1)2≥0，a 1=−12，等号不成立，可得a n+1>a n ，∴数列{a n }是递增数列．∵数列{a n }满足a 1=−12,a n+1=a n2+3a n +1， ∴1an+1+1=1(an +1)(a n+2)=1a n+1−1a n +2，∴b n =1a n +2=1a n +1−1a n+1+1∴数列{b n }的前项和为S n =1a 1+1−1a 2+1+1a 2+1−1a 3+1+⋯…+1a n+1−1a n+1+1=2−1a n+1+1．则使得|S 2019−k|=|2−1a2020+1−k|使得|S 2019−k|最小的整数k 的值为2． 故选：C ．a n+1−a n =(a n +1)2≥0，可得数列{a n }是递增数列．数列{a n }满足a 1=−12,a n+1=a n 2+3a n +1，可得1an+1+1=1(an +1)(a n+2)=1a n+1−1a n+2，b n =1a n+2=1a n+1−1a n+1+1进而得出结论．本题考查了数列的递推关系、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】−1213【解析】解：角α的终边过点(−2,3)，根据三角函数的定义可知：sinα=√13，cosα=√13， 则sin2α=2sinαcosα=−2√13×√13=−1213，故答案为：−1213．根据定义求出sinα，和cosα的值，利用二倍角公式可得sin2α的值．本题考查了三角函数的定义和二倍角公式的计算．属于基础知识考查．6.【答案】√2【解析】解：∵i⋅z=1−i(i为虚数单位)，∴z=1−ii =−i(1−i)−i2=1−i，∴|z|=√2，故答案为：√2．利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，把复数化简到最简形式，利用复数的模的定义求出|z|．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义和求法．7.【答案】π【解析】解：函数f(x)=1+sin2x=1+1−cos2x2=32−12cos2x的最小正周期为2π2=π，故答案为：π．利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．8.【答案】a n=3n−2(n∈N∗)【解析】解：由等差数列的性质可得2a3=a2+a4=14，解得a3=7，由求和公式可得S7=7(a1+a7)2=7×2a42=70，解得a4=10，故等差数列的公差d=a4−a3=3，故数列{a n}的通项公式为a n=a3+(n−3)d=3n−2故答案为：a n=3n−2(n∈N∗)由等差数列的性质和求和公式可得a3，a4，可得公差，进而可得其通项公式．本题考查等差数列的通项公式的求解，涉及等差数列的求和公式，属基础题．9.【答案】154【解析】解：根据二项式的展开式的通项为T r+1=C n r 2n−r a 2n−2r b 3r，令{2n −2r =43r =12，解得{n =6r =4， 所以m =C 6422=60．故答案为：60．直接利用二项式的展开式的应用建立方程，进一步求出结果．本题考查的知识要点：二项式的展开式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.【答案】8【解析】解：∵双曲线的方程为x 26−y 210=1，∴a 2=6，b 2=10，可得c =√a 2+b 2=4 因此双曲线x 26−y 210=1的右焦点为F(4,0)∵抛物线y 2=2px(p >0)的焦点与双曲线的右焦点重合 ∴12p =4，解之得p =8故答案为：8根据双曲线的方程，可得c =√a 2+b 2=4，从而得到双曲线的右焦点为F(4,0)，再根据抛物线的简单几何性质，可得12p =4，解之即可得到实数p 的值．本题给出抛物线以原点为顶点，双曲线的右焦点为焦点，求抛物线方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．11.【答案】40【解析】解：设B 层中有n 个个体， ∵B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，∴1C n2=128，∴n 2−n −56=0， ∴n =−7(舍去)，n =8，∵总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1 ∴共有个体(4+1)×8=40 故答案为：40．设出B 层中的个体数，根据条件中所给的B 层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于128，算出n 的值，由已知A 和B 之间的比值，得到总体中的个体数．本题是分层抽样的相关知识．容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．12.【答案】−12【解析】解：设c =a +b +1，三条直线相交于点(x,y)， 则有{ax +2by +3(a +b +1)=0ax +2by +3(a +b +1)=0(a +b +1)x +2ay +3b =0，消去x ，y 可得，a 3+b 3+c 3−3abc =0， 即(a +b +c)(a 2+b 2+c 2−ab −bc −ac)=0，把c =a +b +1代入可得，(2a +2b +1)[(a −b)2+(b +1)2+(a +1)2]=0， 当(a −b)2+(b +1)2+(a +1)2=0时，解得a =b =−1，不符合题意； 所以2a +2b +1=0，解得a +b =−12． 故答案为：−12．设c =a +b +1，联立方程组消去x ，y ，可得a ，b ，c 之间的关系式，分解因式即可得到答案．本题主要考查了直线的交点问题，其中设c =a +b +1可大大的简化计算量，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】12【解析】解：取BC 的中点D ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∵4AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴A ，P ，D 共线，∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴S △PBC =12S △ABC =12×1=12， 故答案为：12．取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得A ，P ，D 三点共线，继而得到S △PBC =12S △ABC ． 本题考查向量的线性运算，考查三角形面积的计算，属于基础题14.【答案】562【解析】解：∵集合U ={1,2，3，4，5}，I ={X|X ⊆U}， ∴集合I 的可能取值有25=32个，从I 中任取两个不同的元素A ，B ，基本事件总数n =C 322=496．A ∩B 中恰有三个元素，当A ∩B 确定后，如A ∩B ={3,4，5}时，可设A =A′∪{3,4，5}，B =B′∪{3,4，5}，A′∩B′=⌀， ∴{A′,B′}的情况有：{⌀,{1}}，{⌀,{2}}，{⌀,{1,2}}，{{1},{2}}，共4种，∵确定A ∩B 的方法有C 53种，∴A ∩B 中恰有三个元素包含的基本事件个数m =4×C 53=40，∴A ∩B 中恰有三个元素的概率为P =m n=40496=562．故答案为：562．集合I 的可能取值有25=32个，从I 中任取两个不同的元素A ，B ，基本事件总数n =C 322=496.A ∩B 中恰有三个元素，当A ∩B 确定后，如A ∩B ={3,4，5}时，可设A =A′∪{3,4，5}，B =B′∪{3,4，5}，A′∩B′=⌀，利用列举法求出{A′,B′}的情况有4种，由此求出A ∩B 中恰有三个元素包含的基本事件个数，由此能求出A ∩B 中恰有三个元素的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等基础知识，是基础题．15.【答案】8【解析】解：平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =0，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，建立直角坐标系，作矩形OADB ，根据矩形的性质CA 2+CB 2=OC 2+CD 2，|c ⃗ |=1，|a ⃗ −c ⃗ |=|b ⃗ −c ⃗ |=5，25+25=1+CD 2， 所以CD =7，由|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=OD ≤OC +CD =1+7=8， 当O ，C ，D 共线的时候成立， 故答案为：8．建立空间直角坐标系，根据矩形的性质求出CD ，再求出最大值．本题考查向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题．16.【答案】(1)(3)【解析】解：设函数f(x)的定义域为(−1,1)且满足：①当x ∈(−1,0)时，f(x)>0；②f(x)+f(y)=f(x+y1+xy )，x ，y ∈(−1,1)； 令x =y =0时，整理得f(0)+f(0)=f(0)，即f(0)=0，当y =−x 时，f(x)+f(−x)=f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)，故函数f(x)为奇函数；故(1)正确，(2)错误；对于(3)设任意的−1<x <y <1，则f(x)−f(y)=f(x)+f(−y)=f(x−y1−xy )，由于−1<x <y <1，所以|xy|=|x||y|<1，即−1<xy <1， 由于x −y <0，所以x−y1−xy <0， 又由于x−y1−xy +1=(1+x)(1+y)1−xy >0，所以−1<x−y1+xy <0，即f(x−y 1−xy )>0，所以f(x)−f(y)>0，即f(x)>f(y)，故函数f(x)在定义域(−1,1)内单调递减，故(3)正确；对于(4)对于任意的x ∈(−1,1)有|f(x)|<m ，即m >f(x)max 即可， 由于当x ∈(−1,0)时，f(x)>0，当x ∈(0,1)时，f(x)<0， 函数f(x)在(−1,1)内单调递减，所以x →−1时，f(x)→+∞，x →+1时，f(x)→−∞， 所以函数y =|f(x)|无最大值，故不存在正数m ，使得对于任意的x ∈(−1,1)有|f(x)|<m ，故(4)错误． 故答案为：(1)(3)．直接利用抽象函数的定理，利用赋值法，函数的奇偶性的判定，函数的单调性的应用判定(1)(2)(3)(4)的结论．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，赋值法，函数的奇偶性的判定，抽象函数的定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)V A 1−D 1EF =V E−A 1D 1F =13⋅1⋅1=13.(6分)(体积公式正确3分)(2)取A 1D 1的中点G ，则FG ⊥平面A 1B 1C 1D 1，EF 在底面A 1B 1C 1D 1的射影为GE ，所求的角的大小等于∠GEF 的大小，(8分)在Rt △GEF 中tan∠GEF =√22，所以EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小是arctan √22.(12分)【解析】(1)由已知中棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是棱C 1D 1的中点，F 是侧面AA 1D 1D 的中心，我们利用等体积法，可得三棱锥A 1−D 1EF 的体积等于三棱锥E −D 1A 1F 的体积，分别求出其底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案． (2)取A 1D 1的中点G ，易得FG ⊥平面A 1B 1C 1D 1，根据线面夹角的定义可得∠GEF 即为EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的平面角，解Rt △GEF 即可得到EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小．本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面所成的角，其中(1)的关键是利用等体积法，将求三棱锥A 1−D 1EF 的体积转化为求三棱锥E −D 1A 1F 的体积，降低运算的难度，(2)的关键是确定出∠GEF 即为EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的平面角．18.【答案】解：(1)由题意，当a =1时，可得f(x)=log 12(4x +2x −1)=−x ，x ∈[0,1]， 可得：4x +2x −1=2x ， 即4x =1 ∴x =0．当a =1，函数f(x)的准不动点为x 0=0．(2)由定义：f(x)=log 12(4x +a2x −1)=−x ，x ∈[0,1]，上有零点”， 可得：F(x)=4x +a ⋅2x −1−2x ，即F(x)=(2x )2+a ⋅2x −1−2x ，上有零点”， 且4x +a ⋅2x −1>0， 令2x =t ， x ∈[0,1]， 则t ∈[1,2]那么F(x)转化为g(x)=t 2+at −t −1，上有零点”图象是一条连续不断的曲线， 且t 2+at −1>0，(1≤t ≤2)．根据二次函数根的分布：则有{g(1)≤0g(2)≥0或{g(1)≥0g(2)≤0．解得−12≤a ≤1．要使t 2+at −1>0(1≤t ≤2)恒成立．其对称轴x =−a2，在1≤t ≤2上是递增的，当t =1时最小值， 可得a >0．综上可得实数a 的取值范围是(0,1]．【解析】(1)由题意，当a =1时，可得f(x)=log 12(4x +2x −1)=−x ，x ∈[0,1]，可得函数f(x)的准不动点．(2)依题意，“f(x)在区间D 上有不动点”当且仅当“F(x)=f(x)+x 在区间D 上有零点”，F(x)在区间[0,1]上是一条连续不断的曲线，换元法转化为二次函数问题求解准不动点，可得实数a 的取值范围．本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点最值等有关知识，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题中图形可知，EM⊥BC，垂足为M，设EF与AB所成的角为α，即∠MEF=α(0≤tanα≤43)，则有MF=60tanα,EF=60cosα，当景观桥EF的长为90m时，则EF=60cosα=90，解得cosα=23，所以α=arccos23，所以桥与河道所成角的大小为π2−arccos23；(2)由AE+FC=80−60tanα，所以总修建费用为y=(80−60tanα)×1+60cosα×2=80−60(sinα−2)cosα，令t=sinα−2cosα，又0≤tanα≤43，故0<α<π2，则t<0且sinα−tcosα=2，所以sin(α+φ)=√1+t2，又|sin(α+φ)|≤1，所以2≤1，解得t≤−√3，所以t的最大值为−√3，则y有最小值80+60√3，此时α=π6，所以当景观桥EF与河道沿线所成的角为π3时，矩形区域ABCD内的总修建费用最低为80+60√3万元．【解析】(1)设EF与AB所成的角为α，即∠MEF=α(0≤tanα≤43)，利用边角关系表示出EF，然后令EF=90，即可求出α的值，从而得到答案；(2)求出中修建费用的函数关系，然后利用换元法结合辅助角公式以及三角函数的有界性，求解最值即可．本题考查了三角函数在实际生活中的应用问题，考查了辅助角公式的应用以及三角函数的有界性，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)抛物线C：y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则点P与抛物线C的焦点F的距离为√(4−1)2+42=5；(2)设直线l的方程为y=x+ a，把y=x+a方程代入抛物线y2=4x，可得x2+2(a−2)x+a2=0，∴x1+x2=4−2a，x1⋅x2= a2，∴|AB|=√1+k2⋅|x1−x2| =√2√(x1+x2)2−4x1x2=4√2(1−a)，点P到直线的距离d=|a|√2，∴S△PAB=12|AB|d=12×4√2(1−a)×√2=2√2，解得a=−1，∴直线l的方程y=x−1；(3)取Q(0,0)，圆(x−m)2+y2=4，切线为y=kx，由mk√1+k2=2，解得k2=4m2−4，①将直线y=kx代入抛物线方程y2=4x，解得A(4k2,4k)，B(4k2,−4k)，直线AB的方程为x=4k2，若直线和圆相切，可得|4k2−m|=2②由①②解得m=3或2(舍去)．综上可得，对任意的动点Q，直线AB与圆相切，必有m=3．下证m=3时，对任意的动点Q，直线AB和圆相切．理由如下：设Q(14a2,a)，l：x=t(y−a)+14a2，A(14y12,y1)，B(14y22,y2)，由|3−14a 2+ta|2=2，可得(a 2−4)t 2−(12a 2−6)at +(14a 2−3)2−4=0， ∴t 1+t 2=a(12a 2−6)a 2−4，t 1t 2=(14a 2−3)2−4a 2−4，又直线与曲线相交于A ，B ，由x =t(y −a)+14a 2，代入抛物线方程可得y 2−4ty +4ta −a 2=0，可得y 12=4t 1(y 1−a)+a 2，y 22=4t 2(y 2−a)+a 2，则a ，y 1是方程y 2=4t 1(y −a)+a 2的两根，即有ay 1=4t 1a −a 2，即为y 1=4t 1−a ，同理y 2=4t 2−a ． 则有A(14(4t 1−a)2,4t 1−a)，B(14(4t 2−a)2,4t 2−a)， 直线AB ：y −(4t 1−a)=22(t 2+t 1)−a(x −14(4t 1−a)2)，即为y −(4t 1−a)=4−a 24a(x −14(4t 1−a)2)，则圆心(3,0)到直线AB 的距离为 d =|4−a 24a (3−14(4t −a)2)+4t −a|√1+(24a)2，由(a 2−4)t 12−(12a 2−6)at 1+(14a 2−3)2−4=0， 代入上式，化简可得d =2|4+a 2|4+a 2=2，则有对任意的动点Q ，存在实数m =3，使得直线AB 与圆M 相切．【解析】(1)求得抛物线的焦点坐标，由两点距离公式，计算可得所求距离； (2)设直线l 的方程为y =x +a ，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式以及三角形的面积公式，解方程可得a ，进而得到直线方程；(3)取Q(0,0)，切线为y =kx ，求得交点A ，B ，和直线AB ，由相切可得m =3，证明对任意的动点Q ，直线AB 与圆相切，必有m =3.设Q(14a 2,a)，l ：x =t(y −a)+14a 2，A(14y 12,y 1)，B(14y 22,y 2)，运用直线和圆相切的条件和韦达定理，求得AB 的方程，计算圆心到直线AB 的距离，即可得证．本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆的位置关系：相切的条件，具有一定的运算量，属于难题．21.【答案】解：(1)由题意可得，y 2=|z 1|−|x 1|，∵x 1=2，y 2=3，z 3=4， ∴|z 1|=5，z 1=±5， ∵|z 3|=|x 2|−|y 2|， ∴|x 2|−3=4，x 2=±7，又∵x 2=|y 1|−|z 1|=|y 1|−5≥−5，∴x 2=7，x 2=−7(舍去)，|y 1|=12，y 1=±12， ∴y 1，z 1 的可能取值为：y 1=12，z 1=5，y 1=12，z 1=−5， y 1=−12，z 1=5，y 1=−12，z 1=−5， (2)若x 1=1，y 1=2，设z 1=x ，则|x 2|=|y 1|−|z 1|=2−|x|，y 2=|z 1|−|x 1|=|x|−1，z 2=−1， ∵a n =max{|x n |,|y n |,|z n |}， ∴当0≤|x|<1时，a 2=2−|x|， 当1≤|x|<2时，a 2=1， 当|x|≥2时，a 2=|x|−1，又∵x 3=||x|−1|−1，y 3=1−|2−|x||，z 3=|2−|x||−||x|−1|， 当0≤|x|<1时，x 3=−|x|，y 3=|x|−1，z 3=1，即a 3=1， ∵a 3=a 2，∴|x|=1，不符合取值范围，舍去，当1≤|x|<2时，x 3=|x|−2，y 3=|x|−1，z 3=3−2|x|， a 3={2−|x|,2≤|x|<3|x|−1,1.5≤|x|<2，∵a 3=a 2，∴|x|=1，符合题意，当|x|≥2时，x 3=|x|−2，y 3=3−|x|，z 3=−1， ∵a 3=a 2，∴|x|=2，符合题意，综上所属，z 1 的所有取值是−2，−1，1，2，(3)证明：运用反证法，假设对任意正整数k ≥3，x k ，y k ，z k 都不为0， ∵x 1，y 1，z 1是非零整数，且|x 1|，|y 1|，|z 1|互不相等， 又∵假设对任意正整数k ≥3，x k ，y k ，z k 都不为0， ∴对任意k ≥1，a k 为正整数，当k≥1时，|x k+1|=||y k|−|z k||<max{|y k|,|z k|}≤a k，同理可得|y k+1|<a k，|z k+1|< a k，∴a k+1=max{|x k+1|,|y k+1|,|z k+1|}<a k，∴{a k}严格单调递减，∵a2为有限正整数，∴∃m≥3，使得a m≤0，与假设矛盾，∴存在正整数k≥3，使x k，y k，z k至少有一个为0，假设x k=0，且x1≠0，x2≠0，⋅⋅⋅，x k−1≠0，∵x n+1=|y n|−|z n，x k=0，∴|y k−1|=|z k−1|，且|y k−1|=|z k−1|≠|x k−1|，否则，若|y k−1|=|z k−1|=|x k−1|，∵x n+1=|y n|−|z n|，y n+1=|z n|−|x n|，z n+1=|x n|−|y n|，∴当n=k−2时，x k−1+y k−1+z k−1=0，∴x k−1=y k−1=z k−1=0，与假设矛盾，∴y k=|z k−1|−|x k−1|≠0，z k=|x k−1|−|y k−1|≠0，又∵|y k−1|=|z k−1|，∴y k=−z k，∵x n+1=|y n|−|z n|，y n+1=|z n|−|x n|，z n+1=|x n|−|y n|，x k=0，∴x k+1=0，y k+1=|z k|，z k+1=−|y k|=−|z k|，依次递推可得，对任意n≥k，x n=0，y n+1=|z k|，z n+1=−|z k|，且z k≠0，有且只有一个数列自第k项起各项均为0．【解析】(1)将特殊值代入已知条件，即可求解，(2)设z1=x，根据已知条件，可得a n的表达式，再结合x的取值范围，即可求解，(2)根据已知条件，运用反证法，即可求解．本题考查了数列的综合应用，考查了分类思想，需要较强的综合能力，难度系数大，属于难题．。

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高三（上）期中数学试卷题号一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 若函数f(x)=sin(x +φ)是偶函数，则φ的一个值是( )A. 0B. π2C. πD. 2π2. 设x ∈R ，则“x 2−5x <0”是“|x −1|<1”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知椭圆的参数方程为{x =2cosθy =sinθ，θ∈[0,2π)，则该椭圆的焦点坐标为( )A. (0,±√3)B. (±2,0)C. (±√3,0)D. (±1,0)4. 数列{a n }为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、…，首先给出a 1=1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a 2=1，a 3=2，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是a 4=1，a 5=1，a 6=2，a 7=4，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，…，如此继续，则a 2019=( )A. 16B. 4C. 2D. 1二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设函数f(x)=√x 2−1的定义域是A ，R 为全体实数集，则∁R A =______．6. 若复数z 1，z 2满足z 1=1+2i ，z 2=3+4i(i 是虚数单位)，则|z 1⋅z 2|=______．7. 在二项式(3√x 3−1x )5的展开式中，展开式的系数和为______． 8. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是3y −4x =0，那么双曲线的方程是______．9. 若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 1=1，d =4，则n →∞limS n n 2+1=______．10. 已知函数f(x)=log 3( 4x +2 )，则方程f −1(x)=4的解x = ______ ． 11. 行列式∣∣∣sinx4cosx 35∣∣∣的最大值为______． 12. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为______．13.某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考，已知每门学科考A+得70分，考A得67分，考B+得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为______．14.已知数列{a n}中，其中a=99199,a n=(a n−1)a1，那么log99a100=______．115.已知a⃗、b⃗ 、2c⃗是平面内三个单位向量，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+4c⃗|+2|3a⃗+2b⃗ −c⃗|的最小值是______．16.已知二次函数f(x)=2019ax2+bx+c(a>0)，若存在x0∈Z，满足|f(x0)|≤1，2019则称x0为函数f(x)的一个“近似整零点”，若f(x)有四个不同的“近似整零点”，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，在Rt△AOB中，∠OAB=π，斜边AB=4，D是AB6的中点．现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC=π．2(1)求该圆锥的全面积；(2)求异面直线AO与CD所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)18.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b+c=2a，5csinB=7asinC．(1)求cos B的值；(2)设f(x)=sin(x+B)，解不等式f(x)≥1．219.某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m人(60<m<150，且m为10的整数倍)，每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元(即若裁员a人，留岗员工可多创利润a千元)；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元(即若裁员a人，留岗员工可多创利润2a千元)，为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．(1)设公司裁员人数为x，写出公司获得的经济效益y(千元)关于x的函数(经济效益=在职人员创利总额−被裁员工生活费)；(2)为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？20.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，左顶点为A(−4,0)，经过点(2,3)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．(1)求椭圆C的方程；(2)已知P为AD的中点，Q(−3,0)，证明：对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ恒成立；(3)若过点作直线的平行线交椭圆C于点M，求|AD|+|AE|的最小值．|OM|21.设数列{a n}和{b n}的项数均为m，则将两个数列的偏差距离定义为M[{a n},{b n}]，其中M[{a n},{b n}]=|a1−b1|+|a2−b2|+⋯+|a m−b m|.(1)求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；(2)设A为满足递推关系a n+1=1+a n的所有数列{a n}的集合，{b n}和{c n}为A中的两1−a n个元素，且项数均为m，若b1=2，c1=3，{b n}和{c n}的偏差距离小于2020，求m 最大值；(3)记S是所有8项数列{a n|1≤n≤8,a n=0或1}的集合，T⊆S，且T中任何两个元素的偏差距离大于或等于4，证明：T中的元素个数小于或等于16．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=sin(x +φ)是偶函数， ∴f(−x)=f(x)，即sin(−x +φ)=sin(x +φ)，∴(−x +φ)=x +φ+2kπ或−x +φ+x +φ=π+2kπ，k ∈Z ， 当(−x +φ)=x +φ+2kπ时，可得x =−kπ，不满足函数定义； 当−x +φ+x +φ=π+2kπ时，φ=kπ+π2，k ∈Z ， 结合选项可得B 为正确答案． 故选：B ．由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得． 本题考查正弦函数图象，涉及函数的奇偶性，属基础题．2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查充分必要条件，考查解不等式问题，属于基础题． 根据充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果． 【解答】解：∵x 2−5x <0，∴0<x <5， ∵|x −1|<1，∴0<x <2， ∵0<x <5推不出0<x <2， 0<x <2⇒0<x <5，∴0<x <5是0<x <2的必要不充分条件， 即x 2−5x <0是|x −1|<1的必要不充分条件． 故选：B ．3.【答案】C【解析】解：椭圆的参数方程为{x =2cosθy =sinθ，θ∈[0,2π)，整理为直角坐标方程为x 24+y 2=1，所以焦点的坐标为(±√3,0).故选：C．直接利用参数方程和直角坐标方程之间的转换，求出椭圆的直角坐标方程，进一步求出焦点的坐标．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，椭圆的方程的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4.【答案】D【解析】解：由数列{a n}的构造方法可知a1=1，a3=2，a7=4，a15=8，……，可得：a2n−1=2n−1，所以数2n−1首次出现于第2n−1项，所以当m=2n−1+k(1≤k≤2n−1)时，有a m=a k(1≤k≤2n−1)，故a2019=a996=a485=a230=a103=a40=a9=a2=1，故选：D．由数列{a n}的构造方法找出规律a2n−1=2n−1，再结合数列重复出现，找出相等两项间隔2n−1项，从而算出a2019的值．本题主要考查了利用归纳推理求数列项的值，求解时敏锐发现数列排列规律是关键，是中档题．5.【答案】{x|−1<x<1}【解析】解：由x2−1≥0得x≥1或x≤−1，即A={x|x≥1或x≤−1}，则∁R A={x|−1<x<1}，故答案为：{x|−1<x<1}根据函数成立的条件求出函数的定义域，结合集合补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合函数成立的条件求出函数的定义域是解决本题的关键．比较基础．6.【答案】5√5【解析】解：∵z1=1+2i，z2=3+4i，∴z1⋅z2=(1+2i)(3+4i)=−5+10i，∴|z1⋅z2|=|−5+10i|=√(−5)2+102=5√5．故答案为：5√5．利用复数代数形式的乘除运算求解z 1⋅z 2，再由复数的模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．7.【答案】32【解析】解：在二项式(3√x 3−1x )5中，取x =1，即可得到展开式的系数和为(3−1)5=32． 故答案为：32．直接在给出的二项式中取x =1，即可求得展开式的系数和．本题考查二项式定理的应用，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，是基础题．8.【答案】x 29−y 216=1【解析】解：由题意可得c =5，即a 2+b 2=25， 由一条渐近线是3y −4x =0， 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线方程为ay −bx =0，可得b a =43， 解得a =3，b =4， 则双曲线的方程为x 29−y 216=1．故答案为：x 29−y 216=1．可得c =5，运用双曲线的a ，b ，c 的关系，以及渐近线方程，可得a ，b 的关系，解方程可得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 1=1，d =4，则S n =n +4⋅n(n−1)2=2n 2−n ，故n →∞limSn n 2+1=n →∞lim2n 2−n n 2+1=2．故答案为：2直接利用等差数列的求和公式的应用和极限的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的求和公式的应用，极限的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】1【解析】解：由题意得，即求f(4)的值∵f(x)=log3( 4+2 )，，x∴f(4)=log3(1+2)=1，∴f(4)=1．即所求的解x=1．故答案为1．根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足f−1(x)=4的x值，即求f(4)的值．本题主要考查了反函数的概念，互为反函数的两个函数的函数值和关系，属于基础题．11.【答案】13【解析】解：原式=5sinx−12cosx=√52+122sin(x+φ)=13sin(x+φ)，+2kπ,k∈z时，行列式的最大值为13．所以当x+φ=π2故答案为：13先写出行列式结果，再用三角函数知识求解最大值．本题考查行列式与三角函数的综合应用，属于基础题．12.【答案】43【解析】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：√2，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，×√2×√2×多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×131=4．3．故答案为：43求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可．本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．13.【答案】427【解析】解：某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考，每门学科考A+得70分，考A得67分，考B+得64分，该生每门学科均不低于64分，基本事件总数n=3×3×3=27，其总分至少为207分包含的基本事件个数：m=C33+C32C11=4，∴则其总分至少为207分的概率p=mn =427．故答案为：427．先求出基本事件总数n=3×3×3=27，其总分至少为207分包含的基本事件个数m= C33+C32C11=4，由此能求出其总分至少为207分的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】1【解析】解：由a n=(a n−1)a1，得log99a n=a1log99a n−1，∴log99a nlog99a n−1=a1=99199，则数列{log99a n}是以log99a1=log9999199=199为首项，以99199为公比的等比数列，∴log99a100=199⋅(99199)99=1．故答案为：1．由已知数列递推式可得数列{log99a n}是以log99a1=log9999199=199为首项，以99199为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题．15.【答案】4√5【解析】解：先简化本题，将2 c⃗⃗⃗ 看成一个整体，仍记为c⃗，则本题化为已知 a⃗⃗⃗ 、 b⃗⃗⃗ 、 c⃗⃗⃗ 是平面内三个单位向量，若 a⃗⃗⃗ ⊥b⃗ ，求| a⃗⃗⃗ +2c⃗|+|6a⃗+2b⃗ −c⃗|的最小值，根据题意设 a⃗⃗⃗ =(1,0)，b⃗ =(0,1)，2c⃗对应的点C在单位圆上，∵| a⃗⃗⃗ +2c⃗|2=5+4a⃗c⃗，|2a⃗⃗⃗⃗ +c⃗|2=5+4a⃗c⃗，∴|a⃗+2c⃗|=|2a⃗+c⃗|，∵|2a⃗+c⃗|表示C点到(−2,0)的距离，|6 a⃗⃗⃗ +4b⃗ −c⃗|表示点C到(6,4)的距离，而单位圆与以点(−2,0)，(6,4)为端点的线段相交，所以 a⃗⃗⃗ +2c⃗|+|6a⃗+2b⃗ −c⃗|的最小值为(−2,0)和(6,4)两点的距离4√5，故答案为：4√5．本题中2 c⃗⃗⃗ 是一个整体，首先简化，根据条件 a⃗⃗⃗ ⊥b⃗ ，建立直角坐标系，将| a⃗⃗⃗ +2c⃗|转化为|2 a⃗⃗⃗ +c⃗|，进一步转化为两点间的距离，同理|6 a⃗⃗⃗ +4b⃗ −c⃗|也可以表示为两点间的距离，最后数形结合可知，最小值为两点间的距离．本题需要对向量的模考察非常深刻，题目属于难题．]16.【答案】(0,120192【解析】解：设四个“近似整零点”为m，m+1，m+2，m+3，则4×2019a=f(m)+f(m+3)−f(m+1)−f(m+2)≤|f(m)|+|f(m+3)|+|f(m+1)|+|f(m+2)|≤4×1，2019∴a≤1．20192]．故答案为：(0,120192设四个“近似整零点”为m，m+1，m+2，m+3，再利用绝对值不等式的性质和|f(x0)|≤1，求得a的取值范围．2019本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似整零点”只与图象的开口大小有关，且四个整零点的最小距离为3，此时a可取得最大值，属于中档题．17.【答案】解：(1)Rt△AOB中，OB=2即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积S侧=πrl=8π….4’故圆锥的全面积S全=S侧+S底=8π+4π=12π….6’(2)过D作DM//AO交BO于M，连CM则∠CDM为异面直线AO与CD所成角….8’∵AO⊥平面OBC∴DM⊥平面OBC∴DM⊥MC在Rt△AOB中，AO=2√3∴DM=√3，∵D是AB的中点∴M是OB的中点，∴OM=1∴CM=√5．在Rt △CDM 中，tan∠CDM =√5√3=√153，….10’∴∠CDM =arctan√153， 即异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan √153….12’【解析】(1)求出圆锥底面半径，圆锥的侧面积S 侧，然后求解圆锥的全面积． (2)过D 作DM//AO 交BO 于M ，连CM ，说明∠CDM 为异面直线AO 与CD 所成角，在Rt △CDM 中，求解异面直线AO 与CD 所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，几何体的全面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．18.【答案】解：(1)∵5csinB =7asinC ，∴由正弦定理可得5bc =7ac ，即b =75a ， ∵b +c =2a ，∴c =2a −b =2a −75a =35a ， ∴cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+(35a)2−(75a)22×a×35a=−12．(2)∵cosB =−12，B ∈(0,π)，∴B =2π3，∴f(x)=sin(x +2π3)，∵f(x)≥12，即sin(x +2π3)≥12， ∴2kπ+π6≤x +2π3≤2kπ+5π6，k ∈Z ，解得2kπ−π2≤x ≤2kπ+π6，k ∈Z ， ∴不等式f(x)≥12的解集为[2kπ−π2,2kπ+π6]，k ∈Z ．【解析】(1)由已知利用正弦定理可得b =75a ，c =35a ，利用余弦定理可求cos B 的值． (2)由cosB =−12，B ∈(0,π)，可求B =2π3，可得解析式f(x)=sin(x +2π3)，进而根据正弦函数的图象和性质即可解得sin(x +2π3)≥12的解集，从而得解． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.【答案】解：(1)设公司裁员人数为x ，获得的经济效益为y 千元，则由题意得当0<x ≤310×2m 时，y =(2m −x)(100+x)−20x ； 当310×2m <x ≤12×2m 时，y =(2m −x)(100+2x)−20x ； ∴y ={(100+x)(2m −x)−20x,0<x ≤0.6m(100+2x)(2m −x)−20x,0.6m <x ≤m，x ∈N ∗；(2)当0<x ≤0.6m 时，y =(2m −x)(100+x)−20x =−[x 2−2(m −60)x]+200m ；①由①得对称轴x =m −60>0，当0<m −60<0.6m 时，即60<m <150时， 当x =60−m 时，y 有最大值，y 1=m 2+80m +3600；当0.6m <x ≤m 时，y =(2m −x)(100+2x)−20x =−2[x 2−2(m −30)x]+200m ；②由②得对称轴x =m −30，∵60<m <150，∴当0.6m <m −30<m 时，即75<m <150时，x =m −30，y 有最大值，y 2=2m 2+80m +1800；∵当m −30≤0.6m 时，即60<m ≤75时，x =0.6m 时，y 有最大值，y 3=1.68m 2+128m ； ∵当60<m ≤75时，y 3−y 1=0.68m 2+48m −3600；y 3−y 1在(60,75]上单调递增，当m =60时，(y 3−y 1)min =1728>0 当75<m <150时，y 2−y 1=m 2−1800>3825>0，即当60<m <150时，y 2最大即当公司应裁员数为m −30， 即公司应裁员m −30人时，获得的经济效益最大．【解析】(1)欲求获得最大的经济效益时，该公司的裁员人数x.分情况求出和两种情况下函数的解析式，列出分段函数；分别对分段函数进行参数的讨论，最后得出裁员的最佳人数．(2)利用配方法，分段求函数的最值，再比较利润，即可求出公司获得最大的经济效益，公司应裁员的人数．本题考查分段函数的应用，同时考查一元二次函数最值的求法．属于中档题．20.【答案】解：(1)∵已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，左顶点为A(−4,0)，经过点(2,3)， ∴a =4， 4a 2+9b 2=1，∴b 2=12∴椭圆方程为：x 216+y 212=1．(2)设直线l 的方程y =k(x +4)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2) ∴交y 轴于点E(0,4k)，联立{y =k(x +4)x 216+y 212=1，得(3+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2−48=0∴x 1+x 2=−32k 23+4k2，x 1 x 2=64k 2−483+4k 2，y 1+y 2=243+4k 2， ∴AD 的中点P(−16k 23+4k 2,12k3+4k 2)， ∴EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−4k)， ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−16k 23+4k 2,12k 3+4k 2)⋅(−3,−4k)=0，∴对于任意的k(k ≠0)都有OP ⊥EQ 恒成立． (3)∵OM//l ，∴OM 的方程可设为：y =kx ，由{x 216+y 212=1y =kx ，得M 点横坐标为x =√3√4k 2+3由OM//l ，得|AD|+|AE||OM|=|x D −x A |+|x E −x A ||x M |=x D −2x A |x M |=−16k 2+124k 2+3+84√3√4k 2+3=1√34k 2+9√4k 2+3=√3√√4k 2+3)≥2√2当且仅当√4k 2+3=2，即k =±√32时取等号，∴当k =±√32时，|AD|+|AE||OM|的最小值为2√2．【解析】(1)椭圆C 左顶点为A(−4,0)，得出a =4，经过点(2,3)，得4a 2+9b 2=1，b 2=12，进而的椭圆方程，(2)设直线l 的方程y =k(x +4)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)交y 轴于点E(0,4k)，联立{y =k(x +4)x 216+y 212=1，得(3+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2−48=0，得x 1+x 2=−32k 23+4k ，x 1 x 2=64k 2−483+4k 2，y 1+y 2=243+4k 2，AD 的中点P(−16k 23+4k 2,12k 3+4k 2)，EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−4k)，去证明OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可．(3)因为OM//l ，所以OM 的方程可设为：y =kx ，由{x 216+y 212=1y =kx，得M 点横坐标为x =√3√4k 2+3，由OM//l ，得|AD|+|AE||OM|=|x D −x A |+|x E −x A ||x M |=x D −2x A |x M |=−16k 2+124k 2+3+84√32=√3⋅2√4k 2+3=√3(√4k 2+3√4k 2+3)≥2√2进而得出结论．本题考查直线与椭圆相交问题，恒成立，最值问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意知，数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离为|1−2|+|2−3|+|7−5|+|8−6|=6． (2)设a 1=p ，其中p ≠0，且p ≠±1，由a n+1=1+a n1−a n，得a 2=1+p 1−p ，a 3=−1p ，a 4=p−1p+1，a 5=p∴a 1=a 5，∴A 中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，∴{b n }中，b 4k−3=2，b 4k−3=−3，b 4k−1=−12，b 4k =13，(k ∈N ∗)， ∴{c n }中，c 4k−3=3，c 4k−2=−2，c 4k−1=−13，c 4k =12，(k ∈N ∗). 由k+1i =1|b i −c i |≥ki =1|b i −c i |，得项数m 越大，数列{b n }和{c n }的距离越大．由4i =1|b i −c i |=73∑|3460i=1b i −c i |=∑|4×865i=1b i −c i |=73×865≈2018.3， ∑|3464i=1b i −c i |=∑|4×866i=1b i −c i |=73×866≈2020.7，∑|m i=1b i −c i |<2020∴当m <3464时，∑|m i=1b i −c i |<2020， ∴m 的最大值为3463．(3)假设T 中的元素个数大于等于17个． 因为数列{a n }中，a i =0或1．所以仅由数列的前三项组成的数组(a 1,a 2,a 3)有且只有8个：(0,0，0)，(1,0，0)，(0,1，0)，(0,0，1)，(1,1，0)，(1,0，1)，(0,1，1)，(1,1，1)． 那么这17个元素(即数列)之中必有三个具有相同的a 1，a 2，a 3． 设这三个数列分别为{c n }：c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，c 6，c 7；{d n }：d 1，d 2，d 3，d 4，d 5，d 6，d 7； {f n }：f 1，f 2，f 3，f 4，f 5，f 6，f 7；其中c 1=d 1=f 1，c 2=d 2=f 2，c 3=d 3=f 3． 因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，所以{c n }与{d n }中，c i ≠d i (i =4,5，6，7)中至少有3个成立． 不妨设c 4≠d 4，c 5≠d 5，c 6≠d 6．由题意，得c 4，d 4中一个等于0，而另一个等于1． 又因为f 4=0或1．所以f 4=c 4和f 4=d 4中必有一个成立， 同理，得f 5=c 5和f 5=d 5中必有一个成立， 得f 6=c 6和f 6=d 6中必有一个成立，所以“f i =c i (i =4,5，6)中至少有两个成立”或“f i =d i (i =4,5，6)中至少有两个成立”中必有一个成立．所以∑|7i=1fi −c i |≤2 和∑|7i=1f i −d i |≤2 中必有一个成立． 这与题意矛盾，所以T 中的袁术个数小于等于16．【解析】(1)由数列距离的定义即可求得数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的距离； (2)由数列的递推公式，即可求得a ，a 3，a 4，a 5，求得A 中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，求得数列{b n }和{c n }规律，可知随着项数m 越大，数列{b n }和{c n }的距离越大，∑=4i=1b i −c i |=73，根据周期的定义，∑|3460i=1b i −c i |=∑|4×865i=1b i −c i |=73×865≈2018.3，∑|3464i=1b i −c i |=∑|4×866i=1b i −c i |=73×866≈2020.7，∑|m i=1b i −c i |<2020，m <3464时，∑|m i=1b i −c i |<2020，求得m 的最大值；(3)利用反证法，假设T 中的元素个数大于等于17个，设出{c n }，{d n }，{f n }，最总求得∑|7i=1f i −c i |≤2，∑|7i=1f i −d i |≤2中必有一个成立，与数列的距离大于或等于3矛盾，故可证明T 中的元素个数小于或等于16．本题考查数列的新定义，求数列的周期，考查反证法的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键，属于难题。

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