不等关系与不等式
1-1.1不等关系1.2不等关系与不等式
第三章 不等式
3.(1)已知 a＋b>0，b<0，那么 a，b，－a，
－b 的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
(2)已知 a>b>0，c<d<0，e<0，求证：a－e c>b－e d.
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第三章 不等式
解：(1)选 C.法一：因为 A、B、C、D 四个选项中，每个选项 都是唯一确定的答案，所以可用特殊值法． 令 a＝2，b＝－1， 则有 2>－(－1)>－1>－2， 即 a>－b>b>－a. 法二：因为 a＋b>0，b<0， 所以 a>－b>0，－a<b<0， 所以 a>－b>0>b>－a， 即 a>－b>b>－a.
第三章 不等式
§1 不等关系
1．1 不等关系 1．2 不等关系与不等式
第三章 不等式
1．不等式的有关概念 (1)用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式，形成 不等关系的式子叫作不等式．
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第三章 不等式
(2)常见的文字语言与数学符号之间的转化如下表
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
第三章 不等式
(1)作差法的一般步骤 ①作差；②变形：常采用配方、因式分解等变形手段，将“差” 化成积；③定号：就是确定作差的结果是大于 0，等于 0，还 是小于 0；④得出结论，其中“定号”是目的，“变形”是关键． (2)作商法的一般步骤 比较两代数式的大小时，若两式均为积的形式且同号，可采用 作商法比较，其步骤为作商→变形→判断(与 1 比较大小)．
不等关系与不等式
1.掌握不等式的性质及其推论，并能证明这些结论. 2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系.
不等式：用不等号连接的式子，叫作不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠． (2) 不等式研究的范围是实数集R．
对于任意两个实数 a、b，在“a＞b，a = b，a＜b”
用“＜”或“＞”填空
（１） 如果 a b, c d ，则 a c __＞__ b d ； （２） 如果 a b 0, c d 0 ，则 ac _＞___ bd ； （３） 如果 a b 0 ，则 a2 _＞___ b2 ； （４） 如果 a b 0 ，则 a _＞___ b .
解: 设住宅窗户面积和地板面积分别为 a,b ,同时增加的面积为 m ,
根据问题的要求 a b, 且 a 10% . b
由于 a m a m(b a) 0, b m b b(b m)
于是 a m a , 又 a 10%, bm b b
因此, a m a 10%. bm b
初中时我们曾经学过哪些不等式的性质?
１（对称性）：如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b. 2（传递性）：如果a>b，b>c，那么a>c.
3（可加性）：如果a>b，则a+c>b+c. 不等式的两边都加上同一个实数，不等号方向不变.
4（可乘性）：如果a>b，c>0，则ac>bc； 如果a>b，c<0，则ac<bc.
所以,同时增加相 等的窗户面积和地板面积后,住宅的 采光条件变好了!
一般地,设 a,b 为正实数,且 a b, m 0 ,则 am a. bm b 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式?
不等关系与不等式
1不等关系与不等式知识回顾一、不等式性质：1.a ＞b ⎛ b ＜a .(反身性)2.a ＞b ，b ＞c =>a ＞c .(传递性)3.a ＞b ⎛ a+c ＞b+c.(平移性)4.a ＞b ，c ＞0 => ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0 => ac ＜bc .(伸缩性)5.a ＞b ≥0 => ，n ∈N ，且n ≥2.(乘方性)6.a ＞b ≥0 => a ＞nb ，n ∈N ，且n ≥2.(开方性)7.a ＞b ，c ＞d => a+c ＞b+d.(叠加性)8.a ＞b ≥0，c ＞d ≥0 => ac ＞bd .(叠乘性)二、如果a －b 是正数，则a >b ；如果a >b ，则a －b 为正数； 如果a －b 是负数，则a <b ；如果a <b ，则a －b 为负数； 如果a －b 等于零，则a =b ；如果a =b ，则a －b 等于零。
判断两个实数大小的依据是：000a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-< 三、作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小. 例题与练习例1． 比较x 2－x 与x －2的大小。
例2.比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小例3.已知a b m 、、都是正数,且a b >,求证: b m b a ma+>+2.若0x y <<，试比较()()22x y x y +-与()()22x y x y -+的大小；23.已知1260a <<，1536b <<，求12a b -及a b的取值范围；1.若0a b <<，则下列结论不正确的是.A 22a b < .B 2ab b < .C 2b aa b +> .D a b a b -=-2.设,(,0)a b ∈-∞，则“a b >”是“11a b a b->-”成立的.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3.下列不等式：()1 232()x x x R +≥∈，()2553223(,)a b a b a b a b R +≥+∈，()3222(1)a b a b +≥--．其中正确的个数为.A 0 .B 1 .C 2 .D 34.已知,,a b c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 .A ab ac > .B c b a ()-<0 .C cb ab 22< .D 0)(<-c a ac5.若,a b c R a b ∈>、、，则下列不等式成立的是.A ba11<.B 22b a > .C 1122+>+cb ca .D ||||cbc a >6.若0a >，0b >，则不等式1b a x-<<等价于.A 10x b-<<或10x a<< .B 11x a b-<<.C 1x a<-或1x b>.D 1x b<-或1x a>7.若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于 A ．{}|34x x x ≤>或 B ．{}|13x x -<≤ C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<8．若0a b a >>>-，0c d <<，则下列命题：()1ad bc >；()20a b d c +<；()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-中能成立的个数是.A 1 .B 2 .C 3 .D 4。
高中数学必修五-不等关系与不等式
不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
高二数学不等关系与不等式
的简报中医师名录听者莫不撕小纸片记录……。彷佛太平盛世就应该这样，每件事都跟昨天、前天没什么差别。一位迟到妈妈拉著尚未换穿球衣、头发睡歪一边的儿子小跑步而来，手上还捧著纸碗装蚵仔面线，由於限塑政策推行彻底，一支小汤匙只好含在嘴里，就这么快快快抵达树荫下，
立刻有几只妈妈手围上来替男孩剥衣换服下一秒钟他就像走出电话亭的超人，直接上场了。 ? 唉，在太平盛世的范围，早起算是相当痛苦的。 ? 你坐在布满粉紫草花的草地上，看这浮世一角看得趣味盎然，甚至还不想打开手中诗集。你不禁想，浮生之所以有趣，在於允许你隐身於安全
一粒吃又揣了一粒在口袋，再将它放回原处，装作啥事都不知晓。过不了几日，便会听到她的抱怨：“半包软糖仔那是你们阿姑买给我的，放在棉被堆里也给你们偷拿去呷。看看，剩三粒，比日本仔还野！夭鬼囡仔，我藏到无路啰！－－喏，敏嫃，剩这粒给你。”
?我
的确是特权了，可以分享到阿嬷的卷仔饼，及她那个年代的甜处。于是，公事包里常常有些奇怪的东西：五条卷仔饼、一把纽仔饼、六粒龙眼球、两块爆米香、一块红龟仔果......我便拿着去普渡众生，遇到谁就给谁。回到家，阿嬷还要问食后心得：“好呷莫？”我说：“马马虎虎啦，
气息。扑蝶事件将成为他生命中的奇异点，此後因不断被引述、传诵而有了亮度。浮生甚暖，一陌生男孩抓到奇异光点时，你正好在现场。 ? 中场休息。孩子奔来，肥鸭们赶忙递水、擦汗、喂面包、抹驱蚊膏。你打开波兰女诗人辛波丝卡诗集，阳光捆著你的眼眸放在〈越南〉那页： ?
妇人，你叫什么名字？── 我不知道。 ? 你生於何时，来自何处？──我不知道。 ? 你为什么在地上挖洞？──我不知道。 ? 你在这里多久？」──我不知道。 ? 你看著树荫下十多个家庭的寻常早晨，相信太平盛世里所有的缺口都有办法弥补，即使「挖洞」这讨人厌的事，也能找
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
不等关系与不等式
不等关系与不等式一、学习指导不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用， 要弄清条件和结论，考试中多以小题出现，题目难度不大，学 习时，应抓好基本概念，少做偏难题．二、基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数 学符号 连接两个数或代数式以表示它们 之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ；a －b ＜0⇔ . 另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b ＜1⇔a ＜b .3．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔ ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．三、典型题型题型一 比较大小【例1】已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与 ab ＋bc ＋ca 的大小．解：∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )．A.a b ＞1B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b题型二 不等式的性质【例2】 若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b c ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立 的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4方法总结：在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的 命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应 用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如 对数函数，指数函数的性质等．题型三 不等式性质的应用【例3】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. 求f (－2)的取值范围．[审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)， f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用 不等式的性质求f (－2)的范围．解：f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.题型四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a ＞0. 证明：∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b .∴a －c ＞a －b ＞0，∴1a －b ＞1a －c ＞0. ∴1a －b ＋1c －a ＞0.又b －c ＞0，∴1b －c＞0. 1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.四 、小结。
不等式不等关系与不等
2023不等式不等关系与不等式ppt•不等式的定义和分类•不等式的性质和证明•不等式的解法和求解技巧•不等式不等关系的建立和应用目•不等式在数学和实际生活中的应用录01不等式的定义和分类不等式是指用不等号（如“$<$”,“$>$”,“$\leqslant$”,“$\geqslant$”）连接两个数或表达式的数学式子。
不等式的定义不等式可以用数学符号表示为$a < b$或$a \geqslant b$等，其中$a$和$b$是两个数学表达式或数值。
不等式的表达不等式的含义和表达不等式的分类不等式可以分为严格不等式和广义不等式。
不等式的相互关系不等式可以传递性、加法逆元、乘法逆元、正值性和正值传递性的关系。
不等式的分类及相互关系不等式在优化问题中的应用不等式可以用来描述限制条件，如时间、资源、成本等，在优化问题中起到重要作用。
不等式在数学建模中的应用不等式可以用来描述客观世界中的不等关系，如物理学、经济学、工程学等领域中的问题，通过数学建模的方法可以解决这些问题。
不等式在实际问题中的应用02不等式的性质和证明1不等式的性质和定理23如果`a>b`和`b>c`，那么`a>c`。
传递性如果`a>b`且`b>a`，那么`a=b`。
反对称性如果`a>b`，那么`a+c>b+c`。
可加性通过代数运算和代数式变形来证明不等式。
不等式的证明方法代数证明通过几何图形和几何性质来证明不等式。
几何证明通过三角函数的性质和变换来证明不等式。
三角函数证明最值问题优化问题理论证明利用不等式优化生产、分配、消费等实际问题。
利用不等式证明数学理论中的一些重要结论。
03不等式的应用举例02 01利用不等式求函数的最值。
03不等式的解法和求解技巧不等式的解法及步骤求解不等式化简合并同类项理解不等式的定义和性质移项观察不等式中未知数的系数和常数项利用不等式的性质简化不等式将不等式中的未知数分离出来构造函数或方程利用单调性或极值求解不等式的求解技巧不等式解的应用举例求最值比较大小求解概率统计问题解决实际问题04不等式不等关系的建立和应用不等式不等关系是指两个或多个数值或变量之间存在的不平等关系，这种关系通常用不等号（如“<”、“>”、“≤”、“≥”）来表示。
知识讲解_不等关系与不等式
不等关系与不等式编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系；2．会用差值法比较两实数的大小；3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.【要点梳理】要点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a 、b①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立.要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.要点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1) 对称性：a>b b<a ⇔(2) 传递性：a>b, b>c a>c ⇒(3) 可加性：a b a c b c >⇔+>+ (c ∈R)(4) 可乘性：a>b ，⎪⎩⎪⎨⎧<⇒<=⇒=>⇒>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有：(1) 可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+(2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>⇒⋅>⋅(3) 可乘方性：*0,0n n a b n N a b >>∈⇒>>(4)可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>⇒>要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.要点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小.①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较a b与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1b a a b>⇔>； ②1b a a b<⇔<； ③1b a a b =⇔=. 中间量法：若a>b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；最后下结论.要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程.【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，室内面积共2180m ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为218m ，可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。
不等关系与不等式
a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． 作差 解: ∵ ( a 3)( a 5) ( a 2 )( a 4 )
变形
∵ a 、 、 m 都是正数,且 a b b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
定符号
确定大小
∴
bm am
b a
0
∴
bm am
b a
例 4 .当 p , q 都 为 正 数 且 p + q = 1 时 ， 试 比 较 代 数 式 (px qy ) 与 px qy 的 大 小
2 2
>
练习2. 比较下列各组中两个代数式的大小 :
(1)当x 1 , x 与x x 1; 时
3 2
(2) x y 1与2( x y 1).
2 2
练3. ,乙两人同时从A出发去B地,已知甲在前一半 甲 路程的速度为v1 , 而在后一半的路程为v2 (v1 v2 );乙 在前一半时间的速度为v1 , 而在后一半时间的速度 为v2 . : 两人中谁先到达B地 ? 问
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作差法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作差． (2)变形，将两个实数作差，作差后变形为： ①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形 式． • (3)定号，即判断差的符号是正、负还是零． • (4)结论，利用实数大小之间的关系得出结论．
不等关系与不等式
个同向不等式两边分别相加，所得的不等式与原不等式
同向.
（4）性质4说明①在一个不等式的两边同乘一个非 零实数时，不等号是否改向取决于所乘的这个数的正负
性；②在性质4的推论中，要注意所有的字母都是正数，
例如，如果仅有a>b,且c>d，就不能推出ac>bd；同时有 两个异号不等式，如a>b>0,0<c<d，也不能推出ac>bd.
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甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食 （同一品种），两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮 方式也不同.其中，甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去 1 000元钱，谁的购粮方式更合算？
解：设两次价格分别为a元，b元，则甲的平均价格为
2 000 2ab a b 元，乙的平均价格为 n , m 1 000 1 000 a b 2 a b a b 2ab (a b) 2 m n 0 .∴乙合算. 2 a b 2(a b)
返回目录Biblioteka 1.用数学符号“≠”，“>”,“<”,“≥”,“≤”连接两个 数或代数式，以表示它们之间的不等关 含有这些不等号 系,
.
的式子，叫做不等式.
2.常用不等式的基本性质： （1）a>b ,b>c a > c ; （2）a>b a+c > b+c ; （3）a>b,c>0 ac > bc ; （4）a>b,c<0 ac < bc ; （5）a>b ,c>d a+c > b+d ; （6）a>b>0,c>d>0 ac > bd ; （7）a>b>0,n∈N，n>1 an > bn; > nb . （8）a>b>0,n∈N,n>1 n a
不等式与不等关系
不等式与不等关系一、概念引入不等式是数学中的一种重要概念，与等式相对应。
不等式表示了数值之间的大小关系，常用于描述实际问题中的约束和条件。
不等式由不等号连接的两个数或表达式组成，不等号可以是大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）或小于等于号（≤）。
二、基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性指若a>b 且b>c，则有a>c。
例如，若3>2 且2>1，则有 3>1。
2. 不等式的加减运算性质若 a>b，则 a+c>b+c。
例如，若 3>2，则有 3+1>2+1。
3. 不等式的乘除运算性质当 c>0 时，若 a>b，则 ac>bc。
例如，若 3>2，则有 3×2>2×2。
当c<0 时，不等号方向反向。
三、一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数，并且该未知数的最高次幂为一次的不等式。
例如，2x+3>5、4x-1<10等都是一元一次不等式。
解一元一次不等式的方法包括图解法、试值法和代数法。
图解法将不等式表示在数轴上，利用数轴的方向性确定不等式的解集。
试值法则通过给定一个试探值，并代入不等式中验证是否成立。
代数法则通过一系列的变形和运算，将不等式化简为更简单的形式，从而求得解集。
四、二元一次不等式组二元一次不等式组是指包含两个未知数的一次不等式的系统。
常用于描述平面上的几何关系和约束条件。
解二元一次不等式组一般采用图解法。
将两个不等式表示在二维直角坐标系中，分别确定两个不等式的解集，然后找出二者的交集区域，即为不等式组的解集。
五、不等关系不等关系是用于比较两个不等式的关系。
常见的不等关系包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）以及不等于（≠）。
不等关系可以根据两个不等式之间的关系，利用布尔运算（与、或、非）进行合并和推导。
不等关系与不等式的性质
2023-11-06CATALOGUE 目录•不等关系•不等式•不等式的解法•不等式在实际问题中的应用•不等式的扩展知识01不等关系不等关系是数学中的一个基本概念，它描述了两个数或量之间的大小关系。
在日常生活中，不等关系也广泛存在，例如人的身高、体重、年龄等都可以用不等式来表示。
引言如果对于任意两个实数a和b，可以用一个大于号（>）或者小于号（<）来表示它们之间的关系，那么就说a与b之间存在不等关系。
特别地，当a=b时，称a与b相等；当a>b时，称a大于b；当a<b时，称a小于b。
如果a>b且b>c，那么a>c。
不等关系的传递性如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。
不等关系的逆向性如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
不等关系的可加性如果a>b且c>d，那么ac>bd（当c>0时）；如果a>b且c<d，那么ac<bd（当c<0时）。
不等关系的可乘性02不等式用不等号(“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”)连接两个数的式子，称为不等式。
不等式的定义严格不等式非严格不等式用严格不等号“≠”连接两个数的式子，称为严格不等式。
用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数的式子，称为非严格不等式。
03不等式的定义0201极值定理对称性如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。
加法单调性也就是不等式方向不变。
乘法单调性积大于每一个因数。
任何数都有大于、小于、等于它自身的关系，这是自然界的普遍规律。
反身性传递性如果a>b，b>c，那么a>c。
如果f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值之差为零。
不等式的性质一元不等式只含有一个未知数的不等式。
线性不等式未知数是线性组合的不等式。
不等式与不等关系
不等关系与不等式一、不等式的定义用不等号（<，>，≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫不等式。
如：)()(x g x f >，)()(x g x f ≤等等。
例1：已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的二、掌握实数的运算性质与大小顺序间的关系实数的运算性质：b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0。
例2：已知a 、b 为正实数，试比较a b b a +与b a +的大小。
三、不等式的性质与推论①对称性：a b b a <⇔>；②传递性：b a >，c a c b >⇒>；③加法性质：c b c a b a +>+⇒>；（这是不等式移项法则的基础）推论：b a >，d b c a d c +>+⇒>；（这是同向不等式相加法则的依据，它还可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向） ④乘法性质：b a >，bc ac c >⇒>0；b a >，bc ac c <⇒<0；推论1：0>>b a ，bd ac d c >⇒>>0推论2：0>>b a ，N n ∈，n n b a n >⇒>1； ⑤开方性质：0>>b a ，N n ∈，n n b a n >⇒>1。
主要题型：1．利用不等式的性质证明不等式利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。
解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的几条性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。
例3：若0>>b a ，0<c ，求证：bc a c >。
2．利用不等式的性质求取值范围利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围。
高考数学讲义：不等关系与不等式(解析版)
第12讲：不等关系与不等式【学习目标】1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．【基础知识】基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小【考点剖析】考点一：不等式组表示不等关系例1．为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是___________.【答案】2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N【详解】设该校有初中班x个，高中班y个，则有：2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N故答案为：2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N变式训练1：《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为________.【答案】 91110813x y y x x y【详解】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得： 91110813x y y x x y 故答案为： 91110813x y y x x y 变式训练2：A 杯中有浓度为%a 的盐水x 克，B 杯中有浓度为%b 的盐水y 克，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A 、B 两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为___________．【答案】ax by b a x y【详解】由题意，将A 、B 两杯盐水混合再一起后浓度为ax by x y， b a y ax by a x y x y ∵， a b x ax by b x y x y，∵A 杯中的盐水更咸一些，a b ，ax by b a x y，故答案为：ax by b a x y.变式训练3：已知b 克盐水中含有 0a b a 克盐，若给盐水加热，蒸发了 0m m b a 克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：______.【答案】a ab m b 【详解】原来盐占盐水的比例为a b ，给盐水加热，蒸发了 0m m b a 克水后，盐占盐水的比例为a b m ，则a a b m b考点二：作差法比较大小（一）例2．比较231x x 与221x x 两个代数式的大小：；【答案】（1）223121x x x x ；【详解】（1） 2222312122110x x x x x x x ∵，因此，223121x x x x ；变式训练1：已知2253M x x ，242N x x ，则M ________N （用>，<，=填）【答案】＞【详解】2253M x x ，242N x x ，222225342131024M N x x x x x x x ，故M N .故答案为： .变式训练2：试比较 15x x 与 23x 的大小.【答案】2(1)(5)(3)x x x 【详解】因为222153656940x x x x x x x ，2(1)(5)(3)x x x 变式训练3：比较3x 与21x x 的大小；【答案】详解见解析；【详解】作差得：323222(1)()(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x （i）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x ；（ii）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x ；（iii）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x .考点三：作差法比较大小（二）例3．证明不等式：（1）设0,0a b ，求证：3322a b ab a b ；（2）设,x y R ，求证：2252(2)x y x y .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】证明：（1）因为3322a b ab a b 3322a b ab a b 3232a ab b a b 2222a a b b b a 222a b a b a b a b ，因为00a b ，，所以 20a b a b ，所以33220a b ab a b ，所以3322a b ab a b ；（2）因为 22522x y x y 22542x y x y 22425x x y y22210x y ，所以 22522x y x y .变式训练1：若221a x ，22b x x ，3c x ，比较a ，b ，c 的大小.【答案】a b c .详解：∵221a x ，22b x x ，3c x ，∴22212a b x x x 222110x x x ，即a b ， 223b c x x x 223333024x x x ，即b c ，综上可得：a b c .变式训练2：已知a，b R ，比较22a b 与245a b 的大小．【答案】22245a b a b .【详解】a ∵，b R ，22245a b a b 222144a ab b 22(1)(2)0a b ，22245a b a b ，当且仅当1a ，2b 时，等号成立，两式相等．变式训练3：已知0a b ，比较22a b b a 与11a b 的大小.【答案】2211a b b a a b【详解】解：222211a b a b b a b a a b b a2211()a b b a222()()a b a b a b.∵0a b ，2()0a b ，∴222()()0a b a b a b ，当且仅当a b 时，取等号，∴2211a b b a a b.考点四：作商法比较大小例4．设 121p a a ，21q a a ，则（）A．p qB．p q C．p qD．p q 【答案】D【详解】 1222110132411p a a a a a，22131024q a a a ，则222121111a a a a a a a q a p 222222111a a a a .故p q ，当且仅当0a 时，取等号，故选：D变式训练1：2211,,()1P a a Q a R a a ，则,P Q 的大小关系为_______．【答案】≥【详解】因为22131024P a a a ，22131024a a a 则0Q 由 222224211111P a a a a a a a a Q所以P Q故答案为：变式训练2：已知0a ，0b，试比较a b 时取等号）【详解】a b2211，当且仅当ab 时等号成立，a b 时取等号）.变式训练3：设0a b ，比较2222a b a b与a b a b 的大小【答案】2222a b a b a b a b【详解】220,0,a b a b a b ∵，22220,0a b a b a b a b，.两数作商 222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b22222211a b ab a b a b，2222a b a b a b a b.【过关检测】1、已知,a b R ，则2252a b _______42ab a ．（用“>”或“<”填空）【答案】>【详解】因为225242a b ab a 22(2)(1)1a b a ,又2(2)0a b ≥，2(1)0a ，所以2252420a b ab a ，所以225242a b ab a ，故答案为：>.2、已知0x ，则 221x 与421x x 的大小关系为_______.【答案】 221x 421x x 【详解】因为 221x 421x x 42422211x x x x x ，又0x ，所以20x .所以221x 421x x .故答案为： 221x 421x x .3、设222m a a ， 21n a ，则m ，n 的大小关系是______.【答案】m n .【详解】因为 2222110m n a a a ，所以m n .故答案为：m n .4、已知241Ma a ，122N a ，则M ________N .（填“>”或“<”）【答案】 【详解】22312(1)022M N a a a，∴M N ．故答案为： ．5、已知231M a a ，122N a，则M________N．（填“>”或“<”）【答案】 【详解】22111()0224M N a a a，∴M N ．故答案为： ．6、设x R ，231Mx x ，21N x x ，则M 与N 的大小关系为________.【答案】M N【详解】22311M N x x x x ∵222132222(1)2[(]024x x x x x ，M N故答案为：M N .7、已知a ，b 为实数，则221214a b______2ab a ．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）【答案】≥【详解】2222112121042a b ab a a b a ，当且仅当1a ，2b 取等号．故答案为：≥8、设2,1M x N x ，则M 与N 的大小关系是________.【答案】M N【详解】由作差比较法，可得22213(1)1(024M N x x x x x，所以M N .故答案为：M N .9、若 23x a a ， 34y a a ，则x 与y 的大小关系是__________.【答案】x y【详解】22233461260x y a a a a a a a a ，因此，x y .故答案为：x y .10、已知1x ，比较36x x 与26x 的大小.【答案】3266x x x .【详解】解： 32226616161x x x xx x x x ∵1x ，∴ 2610x x ∴3266x x x .11、若0x ，试比较251x 和2331x x 的大小；【答案】答案见解析；【详解】作差得： 22251331232212x x x x x x x ；所以当2x 时，2251331x x x ；当2x 时，2251331x x x ；当02x 时，2251331x x x ；12、设a 、b 为实数，比较22a b 与448a b 的值的大小.【答案】22448a b a b 【详解】由于a 、b 为实数，则 2222224484444220a ba b a a b b a b ，当且仅当22a b时，等号成立.因此，22448a b a b .13、比较221x y 与 21x y 的大小；【答案】 22121x y x y ；【详解】因为 2222211111x y x y x y ，又 2210,10x y ，所以222101x y x y ，所以 22121x y x y ；14、x R ，比较2(1)(1)2x x x 与 2(112x x x 的大小．【答案】 22111122x x x x x x【详解】由22(1)(1)(1212x x x x x x 323233331110222222x x x x x x所以 22111122x x x x x x15、设a ，b 为实数，比较22a b 与1ab a b 的大小．【答案】见解析详解：解：22(1)a b ab a b 221(222222)2a b ab a b22221[(2)(21)(21)]2a b ab a a b b 2221[()(1)(1)]2a b a b 222()0,(1)0,(1)0a b a b ∵，当且仅当1a b 时同时取等号22(1)0a b ab a b ，当且仅当1a b 时取等221a b ab a b 16、已知0a ，0b ，试比较11a b M a b 与11b a N a b的大小．【答案】当a b 时，M N =；当a b ¹时，M N .【详解】11111111a b b a a b a b M N a b a b a a b b Q 211111111a b a b a b a b a b a b a b .因为0a ，0b ，所以 110a b ， 20a b ，得0M N 当a b 时，M N =；当a b ¹时，M N .17、已知,R a b的大小．【详解】a ba ba b2，显然成立， ，当且仅当a b 时取等号.18、若0a b ，0c d ，0e ，试比较 2e a c 与 2e b d 的大小.【答案】22e e a c b d 【详解】 22ee a c b d2222e b d a c a c b d22e a b c d b a c d a c b d ∵0a b ，0c d ，0a b ，0c d ，0b a ，0c d ，0a b c d ， 0b a c d .∵0e ， 0e a b c d b a c d 又 220a c b d ， 220eea cb d ，即 22e ea cb d .19、先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为1p ，第二次购物时该物品单价为2p （12p p ）.甲两次购物的平均价格记为1Q ，乙两次购物的平均价格记为2Q .（1）求1Q ，2Q 的表达式（用12p p ，表示）；（2）通过比较1Q ，2Q 的大小，说明哪种购物方式比较划算.【答案】（1）1212121222p p p p Q Q p p，；（2）第二种购物方式比较划算.【详解】解：（1）设甲两次购物时购物量均为m，则两次购物总花费为1p m+2p m，购物总量为2m，平均价格为1212122p m p m p p Q m .设乙两次购物时用去钱数均为n，则两次购物总花费2n，购物总量为12n n p p ，平均价格为122121222p p n Q n n p p p p =综上，1212121222p p p p Q Q p p （2）∵12p p ，∴ 2212121212121212121242022()2()p p p p p p p p p p Q Q p p p p p p 12Q Q 由此可知，第二种购物方式比较划算.20、甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为a 元，b 元(0,0)a b ，问甲、乙谁的购物比较经济合算.【答案】（1）5，245；（2）乙的购物比较经济合算.【详解】（1）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为，645m m m m ，乙两次购买这种物品平均价格为，224564n n n .（2）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为，2am bm a b m m ，乙两次购买这种物品平均价格为22n ab n n a b a b ，22222()42()022()2()2()a b ab a b ab a b ab a b a b a b a b a b ，所以乙的购物比较经济合算.。
不等关系与不等式介绍
不等关系与不等式介绍不等关系是数学中常用的一种关系，用于描述两个数之间的大小关系，即比较两个数的大小。
在数学中,不等关系可以表示为"大于"、“小于”、“大于等于”、“小于等于”。
不等关系可以形成不等式，不等式是含有不等号的数学式子。
不等关系是不等式的基础，而不等式则是对不等关系进行了约束。
在不等关系中，常常使用符号“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）、“≤”（小于等于）来表示。
为方便表达，我们将两个数用变量表示，一般用字母x或y来表示。
例如，若x>y，表示x比y大；若x<y，表示x比y小；若x≥y，表示x大于等于y；若x≤y，表示x小于等于y。
不等关系可以直接表示两个数之间的大小关系，而不等式则将不等关系进行了约束，通过不等式可以表示一系列满足条件的数的范围。
不等式可以分为一元不等式和二元不等式。
一元不等式是只含有一个未知数的不等式，二元不等式是含有两个未知数的不等式。
解不等式即求不等式的解集，即满足不等式条件的变量值的范围。
解不等式的方法与解方程的方法有些相似，但由于不等式的特殊性，有一些注意事项。
对于一元不等式，可以通过将不等式化简为等价的形式，然后求解，在不等式两边施以同一个正数或同一个负数时，不等号的方向会发生改变。
例如，对于不等式2x-5>7，我们可以将其化简为2x>12，再除以2得到x>6，所以该不等式的解集为{x，x>6}。
当不等式左右两边均含有未知数，即为二元不等式时，需要绘制不等式的图形来找出解集。
一般将不等式转化为一元不等式的形式，取出一个未知数，再通过绘制图形来求解。
例如，对于二元不等式2x+3y≤8，我们可以将其转化为一元不等式2x≤8-3y，再通过绘制图形求解。
在绘制图形时，将不等式转化为等式，将未知数看作坐标轴上的变量，找出所有使等式成立的点，再根据不等式的符号来确定图形中的哪些点属于解集。
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3.1不等关系与不等式（第一课时）【教学目标】1.通过具体情境让学生感受和体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。
2．建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系。
3．了解不等式或不等式组的实际背景。
4.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题。
【重点难点】重点:１.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性。
２.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。
3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。
难点:1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系。
2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题。
【方法手段】1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。
3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。
【教学过程】教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课日常生活中，同学们发现了哪些数量关系。
你能举出一些例子吗？实例1.某天的天气预报报道，最高气温35℃，最低气温29℃。
实例2.若一个数是非负数，则这个数大于或等于零。
实例3.两点之间线段最短。
实例4.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
引导学生想生活中的例子和学过的数学中的例子。
在老师的引导下，学生肯定会迫不及待的能说出很多个例子来。
即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。
推进新同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系，非常好。
而且大家同学们认真观看显示屏幕上老师所举的例子。
让学生们边看边思考：生活中有许多的事情课已经考虑到本节课的标题《不等关系与不等式》，所举的实例都是反映不等量的关系。
（下面利用电脑投影展示两个实例）实例5：限时40km/h的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度 v不超过40km/h。
实例6：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%. 的描述可以采用不等的数量关系来描述过程引导能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但是我们还要能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，那么我们用什么知识来表示这些不等关系呢？什么是不等式呢？用大屏幕展示一组不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于现实生活，这才是学习数学的最终目的。
思考并回答老师的问题：可以用不等式或不等式组来表示不等关系。
经过老师的启发和点拨，学生可以自己总结出：用不等号将两个解析试连接起来所成的式子叫不等式。
目的是让学生回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号≤，≥的含义，是或的关系。
回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了。
此时学生已经迫不及待地想说出自己的观点了。
合作探究（一）。
下面我们把上述实例中的不等量的关系用不等式或不等式组一一的表示出来，那应该怎么表示呢？29℃≤t≤35℃x≥0|AC|+|BC|>|AB||AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交被减数与减数的位置也可以。
如果用表示速度，则v≤40km/h.如果学生没有想到的话，老师可以在黑板上板演示意图，启发学生考虑三边的大小关系。
这两位同学的观点是否正确？老师要表扬学生：“很好！这样思考问题很严密。
”应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达。
（二）。
问题一：设点 A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点。
请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量的关系。
老师提示：借助于图形，这个问题是不是可以解决？（下面让学生板演，结合三角形草图来表达）问题（二）：某种杂志原以每本2。
5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0。
1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？是不是还有其他的思路？为什么可以这样设？很好，请继续讲。
f≥2.5%或p≥2.3%学生自己纠正了错误：这种表达是错误的，因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示次实际问题中的不等量关系，即可以表示为⎩⎨⎧≥≥%3.2%5.2pf也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.过点A作AC⊥平面α于点C，则d=|AC|≤|AB|可设杂志的定价为x元，则销售量就减少2.01.05.2⨯-x万本。
销售量变为(8-2.01.05.2⨯-x)万本，则总收入为(8-2.01.05.2⨯-x)x万元。
即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为(8-2.01.05.2⨯-x)x≥20.解法二：可设杂志的单价提高了0.1n元，（n∈*N）我只考虑单价的增量。
那么销售量减少了0.2n万本，此时启发学生“或”字可以吗？学生没有了声音，他们在思考着。
到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”。
此时学生们在思考，时间长的话，老师要及时点拨。
让学生知道，在解决问题时应该贯穿数形结合的思想，以形助数，下面有学生的声音，有学生在讨论，有的学生还有疑问。
老师注意关注学生的思维状况，并这位学生回答的很好，表述得很准确。
请同学们对两种解法作比较。
问题（三）：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不超过500mm 钢管的3倍。
怎样写出满足上述所有不等式关系的不等式？假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。
根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？右边的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？这位学生回答得很好，思维很严密，那么该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等式组把实际问题中隐藏的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好。
请同学们完成书本练习第74页1，2。
课堂小结：1.学习数学可以帮助我们解决实际生活中的问题。
2.数学和我们的生活联系非常密切。
3.本节课巩固了二元一次不等式及二元一次不等式组，并且能用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题。
还要注意思维要严密，规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用。
布置作业：第75页习题3.1 A组4，5。
单价为（2.5+0.1n）元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20.截得两种钢管的总长度不能超过4000mm。
截得600 mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。
截得两种钢管的数量都不能为负数。
它们是同时满足条件，应该是且的关系。
由实际问题的意义，还应有x,y N∈要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+Nyxyxyxyx,34000600500且及时的加以指导。
此时学生已经真正进入本节课的学习状态，老师再给出问题（三）使学生一直处于跟随老师积极思考和解决问题的状态。
问题是教学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识。
【教学反思】(【设计说明】)本节课内容很多，都是不等式和不等式组的有关问题，还有很多是生活中的实例，学生学习起来很感兴趣，课堂的气氛也很好，大多数学生都能很积极地回答问题，使课堂的学习气氛很浓，确实也做到了愉快教学。
设计是按照老师引导式教学，边讲授边引导，启发学习思考问题及能自己解决问题，锻炼学习能自主的学习能力。
【交流评析】一是课堂容量适中，二是实例很好，接近生活，学生感兴趣。
三是学生回答问题积极踊跃，和老师配合很好。
四是多媒体应用的恰到好处，教学设备很完善，老师也能很熟练的应用。
姓名：李春霞学校：四十七中联系方式26918825--5219时间2007-11月。