3.3 方差和标准差 导学案(含答案)
(完整版)方差和标准差教案
方差和标准差教材分析本节课选自浙教版八年级数学上册第四章第四节，主要内容是方差和标准差。
是在学习了如何抽样与抽样调查中所涉及到的概念，和用平均数，中位数，众数来表示数据集中程度的统计量后的另一种反映数据离散程度的统计量。
节课是七年纪上册“数据与图表”内容的延续，用统计量来反映数据的特征和变化，在日常生活和实际生产中有着广泛的应用。
学情分析本节课的授课对象是八年级学生，他们正处于形象思维向抽象思维的过渡阶段，注意力水平不高，在教学中需要采用启发式教学。
在知识上，我们已经接触过统计方面的知识，有助于本节课的学习。
教学目标知识与技能：1、了解方差，标准差的公式的产生过程。
2、掌握方差和标准差的计算方法及其运用。
3、能通过实例学会用样本方差分析总体方差，用方差公式来分析数据离散程度。
情感态度价值观：1、通过合作交流，以面对面的互动形式，培养良好的团队合作精神，感受集体的力量。
2、以具体的例子出发，体会数学来源于生活，生活离不开数学，从来增加学习数学的兴趣。
教学重难点重点：方差和标准差的概念、计算及其运用。
难点：方差和标准差的计算及运用。
方差是各变量值相对于平均数的离差平方的平均数。
教学方法采用情景探究、小组合作，实施启发式教学。
教学手段以“教师为主导，学生为主体，探索为主线，思维为核心”的教学思路，采用矛盾冲突教学方法，加以多媒体的使用，充实了教学内容，通过师生合作，生生合作以及学生自身的独立思考，探索获得方差的公式和标准差的合理出现。
教学过程一、创设情景引出课题师：同学们，谁看过射击实况转播？相信绝大多数同学都看过，今天老师要让你们自己想办法解决有关射击的问题。
问题一、为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，学校决定对选拔方案进行招标。
如果你参与竞标，那么你将设计什么方案？生：让甲、乙二人在相同的条件下各射靶10次，选拔平均环数较多的学生。
师：这个方案不错。
可是如果两人的平均环数一样，怎么办？生：再比一次。
10.3 方差与标准差(2)
10.3 《方差与标准差》导学案（2）一、教学内容：方差与标准差二、学习目标：1、知道可以用样本、方差、样本、标准差去推断总体与方差，总体与标准差。
2、能运用方差、标准差解释统计结果，并根据结果作出简单判断，从而帮助决策者作出恰当决策。
三、教学重点、难点：依据统计结果，作出恰当决策。
四、课前准备：请同学们回顾上节学习的内容，完成任务：1、研究一组数据的离散程度一般用等。
其一般规律是。
2、一组数据的离散程度，就是通常所指的这组数据的稳定性，离散程度越小，稳定性越高。
因此研究数据的稳定性指标一般用等。
五、学习过程：（一）课前预习：课前阅读教材P101—P102内容，自主完成下列问题：若你是工厂的老板，想对你的车床工人的技术进行测试，你将用什么办法？请说说你的想法？（二）课内探究：依据课前预习的结果，请自主探究完成下列问题：例 2.要从甲、乙两位车工中选拔一名车工参加比赛，从他们加工的零件中任意抽取5个进行检验，测得它们的直径（单位：毫米）如下：甲加工的零件：15.05，15.02，14.97，14.96，15.00乙加工的零件：15.00，15.01，15.02，14.97，15.00①分别求两个样本的平均数和方差②应推荐谁参加技术比赛，说明理由。
例3.山青农场连续6年在管理和自然条件相同、面积相等的两块土地上种植甲、乙两种玉米，各年的平均产量如下（单位：千克）：由以上两个问题解答，你能理清这种问题的解题思路吗？①②③巩固训练：课本P104第1、2、3、4题六、课堂检测：甲、乙两同学进行练习射击练习，两人在相同条件下各射靶10次，射击结果统②请运用学过知识评价甲、乙两人的射击水平？七、小结：。
高中数学 第2章《统计》方差与标准差 精品导学案 苏教版必修三
江苏省响水中学高中数学第2章《统计》方差与标准差导学案苏教版必修3学习目标1.理解样本数据的方差、标准差的意义和作用2.学会计算数据的方差、标准差，掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的方法.一、基础知识导学有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个样本检查它们的抗拉强度(单位:kg/mm2), 通过计算发现,两个样本的平均数均为125.甲110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪种钢筋的质量较好?三、重点难点探究探究一甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位: t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8探究二为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下,试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差. 天数151-180 181-210 211-240 241-270 271-30301-330 331-360 361-390灯泡数 1 11 18 20 25 16 7 2 四、智能基础检测教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。
2.观摩研讨：以年级组、教研组为单位，围绕一定的主题，定期组织教学观摩，开展以课例为载体的“说、做、评”系列校本研修活动。
【九年级】方差与标准差导学案
【九年级】方差与标准差导学案一．目标1.体验描述数据分散程度的探索过程，感受表示数据分散程度的必要性2．掌握方差和标准差的概念，卉计算方差和标准差，理解它们的统计意义.3.体验探索区间和方差的应用过程，了解数据波动中区间和方差的计算时间和差异，积累统计经验二．要点梳理1.我们知道范围只能反映一组数据中两个之间的大小，对其他数据的波动不敏感2．描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的，再求这组数据与的差的的平均数，用这个平均数衡量这组数据的波动性大小3.在一组数据x1、X2、X3、x4中，。
Xn，每个数据与其平均值之差的平方是（x1-）2，（X2-）2，（X3-）2，。
，（xn-）2。
然后我们计算它们的平均值，也就是S2=4．一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的。
5.方差是描述一组数据的特征数。
波动可以通过比较其大小来判断。
方差表示数据越稳定，6．为什么要这样定义方差？7.为什么要除以数据n的数量？8．标准差与方差的区别和联系？三、问题探索知识点1.探究计算数据方差和标准差的必要性例1质检部门分别从a厂和B厂挑选了10个乒乓球，并测试了这些乒乓球的直径。
结果如下（单位：mm）a厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1工厂B:39.8,40.2,39.8,40.2,39.9,40.1,39.8,40.2,39.8,40.2思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差？2.根据它们的平均值和范围，你能得出这两家工厂生产的乒乓球直径相同的结论吗？3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗？直径/毫米直径/毫米a厂b厂知识点2如何计算一组数据的方差和标准差例2.在一组数据中x1、x2、x3…xn中，它们与平均数的差的平方是(x1－)2,(x2－)2,(x3－)2,…,(xn－)2.我们用它们的平均数，即用s2=1n[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2…＋(xn－)2]描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的.在某些情况下，有必要使用方差的算术平方根，即描述一组数据的离散度，并将其称为这组数据的标准偏差【变式】甲、乙两台机床生产同种零，10天出的次品分别是：答：0,1,0,2,2,0,3,1,2,4乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1分别计算两个样本的平均值和方差，并根据您的计算判断哪台机床的性能更好？知识点3.例3已知一组数据x1，X2，。
2015春浙教版数学八下3.3《方差和标准差》word导学案
3.3方差和标准差【课前预习导学】1．方差的公式为 .2. 已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是 .3. 甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且中环的平均数X X 乙甲，如果甲 的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是2S 甲 2S 乙.4. 已知一个样本1，3，2，6，则这个样本的方差是 .5．已知一个样本1，3，2，x ，5，其平均数是3，则这个样本的方差是 ，标准差为 .【课外资料导学】标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的重要指标．说起标准差首先得搞清楚它出现的目的．我们使用方法去检测它，但检测方法总是有误差的，所以检测值并不是其真实值．检测值与真实值之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指标．但是真实值 是多少，不得而知．虽然样本的真实值是不可能知道的，但是每个样本总是会有一个真实值的，不管它究竟是多少．可以想象，一个好的检测方法，基检测值应该很紧密的分散在真实值周围．如何不紧密，那距真实值的就会大，准确性当然也就不好了，不可能想象离散度大的方法，会测出准确的结果．因此，离散度是评价方法的好坏的 最重要也是最基本的指标．【课中生成导学】1. 方差的实质是各数据与平均数的差的平方的平均数．方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．2.标准差是方差的一个派生概念，它的优点是单位和样本的数据单位保持一致，给计算和研究带来方便。
3.利用方差比较数据波动大小的方法和步骤：先求 ，再求 ，然后判断得出结论.4.对于一组数据1，2，3，4，5的方差为 ，标准差为 .那么对于5个连续的整数的方差为 ，标准差为 .（推导过程同学们自己思考下）5. 如果一组数据1x , 2x ,… n x 的平均数是x ，方差为2S ,那么（1）新数据1ax , 2ax ,… n ax 的平均数是 ，方差为 ；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10次数 10 9 876543210 环数甲 乙 （2）新数据1x b +, 2x b +,… n x b +的平均数是 ，方差为 ；（3）新数据1ax b +, 2ax b +,… n ax b +的平均数是 ，方差为 .【课堂测评导学】(10分)1．若一个样本的标准差S ()()]10...10)10[(50122221-++-+-=n x x x ,则这个样本中的数据个数是 ，平均数是.2．数据8，10，9，11，12的方差是 （ ）A B ．2 C. 10 D ．503．如果一组数据1x , 2x ,… n x 的方差是2，那么另一组数据13x , 23x ,… 3n x 的方差是 （ ）A. 2 B. 18 C. 12 D. 64．甲、乙两人在相同条件下各射靶的成绩情况如图所示。
高中数学《平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差》导学案
1.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差1.4.2标准差[航向标·学习目标]1．理解平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的概念．2．会计算数据的平均数、标准差．3．体会用统计量表达样本数据，提高学生的学习兴趣．[读教材·自主学习]1．平均数：一般地，对于n个数x1，x2，…，x n，我们把□011n(x1＋x2＋…＋x n)叫作这n个数的算术平均数，简称平均数．2．中位数：一般地，将n个数据按大小顺序排列，处于□02最中间的一个数(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．3．众数：一组数据中□03出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数．4．极差：极差是数据的□04最大值与□05最小值的差．5．标准差：各个数据与平均数□06之差的平方的平均数，称为这组数据的方差，方差的□07算术平方根称为这组数据的标准差．[看名师·疑难剖析]1．平均数、中位数、众数刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息．平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量．2．方差、标准差n 个数据x 1，x 2，…，x 3，我们把x 1＋x 2＋…＋x n n记为x －，则方差可以用s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]来表示，将方差的算术平方根s ＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]称为标准差． 刻画一组数据离散趋势的统计量有方差、标准差等．对方差和标准差的理解还要注意以下几方面：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数的波动大小．标准差、方差越大，数据离散程度越大，稳定性越差；标准差、方差越小，数据离散程度越小，稳定性越好；(2)因方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据分散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差；(3)标准差与方差的取值范围是[0，＋∞)．考点一 平均数、众数、中位数的计算例1 求下列一组数据的平均数、中位数、众数：10,20,80,40,30,90,50,40,50,40. [分析] 明确各概念，利用定义解题．[解] 这组数据的平均数为(10＋20＋80＋40＋30＋90＋50＋40＋50＋40)÷10＝45.将这组数据按从小到大的顺序排列，得10,20,30,40,40,40,50,50,80,90，所以中位数为(40＋40)÷2＝40.又因为40出现3次，出现次数最多，所以众数为40.类题通法求平均数必须先将所有数据求和，再把和除以数据的个数.求中位数时，必须将所有数据按从小到大的顺序排列后，把中间的数或中间两项的平均数称为这组数据的中位数.而众数则是出现次数最多的数据.在解答本类问题时，一定要审清题意，明确各数据出现的次数，认真计算，以防计算失误.[变式训练1] (1)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.(2)在如下图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.答案(1)2423(2)4546解析(1)由茎叶图可知甲的平均数为(9＋8＋20)＋(1＋3＋2＋100)＋(1＋1＋5＋90)＝24，乙的平均数为10(9＋7＋1＋30)＋(1＋4＋2＋4＋80)＋(2＋90)＝23.10(2)甲组数据从小到大排序后，最中间的数是45，即甲组数据的中位数为45；乙组数据从小到大排序后，最中间的数是46，即乙组数据的中位数是46.考点二平均数、众数、中位数的应用例2个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有工作人员8月份的工资表：李某大厨二厨采购员杂工服务生会计3000元450元350元400元320元320元410元(1)计算所有员工8月份的平均工资；(2)由(1)计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？(3)去掉李某的工资后，再计算平均工资，这能代表打工人员当月的收入水平吗？(4)根据以上计算，以统计的观点，你对(3)的结果有什么看法？[解] (1)这7个人的8月份平均工资是x －1＝17(3000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．(2)计算出的平均工资不能反映打工人员的当月收入的一般水平，可以看出，打工人员的工资都低于平均工资，因为这7个值中有一个极端值——李某的工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大，同时他也不是打工人员．(3)去掉李某的工资后的平均工资x －2＝16(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)，该平均工资能代表打工人员的当月收入的一般水平．(4)从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很大的影响，因此在选择样本时，样本中尽量不用特殊数据．类题通法本题充分说明了平均数在具体问题中的意义.[变式训练2] 据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．解 (1)平均数是x －＝1500＋4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋591＝2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元． (2)平均数是x －′＝1500＋28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋1788＝3288(元)．中位数是1500元，众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．考点三 方差与标准差的计算例3 一个样本数据的方差是s 2＝120[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋(x 3－3)2＋…＋(x 20－3)2]．(1)求样本的容量n 及平均数x －；(2)如果样本数据的平方和为200，求样本的方差．[分析] 本题主要用方差的公式进行变形求解，我们要熟练掌握公式的变形． [解] (1)由样本数据方差公式可以得到样本容量n ＝20，平均数x －＝3. (2)由s 2＝120[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 20－3)2]＝120[(x 21＋x 22＋…＋x 220)－6(x 1＋x 2＋…＋x 20)＋20×9]＝120(200－360＋180)＝1.类题通法解决此类问题一定要熟记公式.[变式训练3] 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：s 1、s 2、s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( ) A ．s 3>s 1>s 2 B ．s 2>s 1>s 3 C ．s 1>s 2>s 3 D ．s 2>s 3>s 1 答案 B解析 x －甲＝(7＋8＋9＋10)×520＝8.5，s 21＝5×[(7－8.5)2＋(8－8.5)2＋(9－8.5)2＋(10－8.5)2]20 ＝1.25，x －乙＝(7＋10)×6＋(8＋9)×420＝8.5，s 22＝6×[(7－8.5)2＋(10－8.5)2]＋4×[(8－8.5)2＋(9－8.5)2]20＝1.45，x －丙＝(7＋10)×4＋(8＋9)×620＝8.5，s 23＝4×[(7－8.5)2＋(10－8.5)2]＋6×[(8－8.5)2＋(9－8.5)2]20＝1.05，由s 22>s 21>s 23得s 2>s 1>s 3.故选B.考点四 数据的数字特征的应用例4 一次科技知识竞赛，两组学生成绩如下表：已经计算得到两个组成绩的平均数都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次，并说明理由．[分析]优次之分的标准是通过数据的各数字特征来反映．[解](1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些；(2)s2甲＝150×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172(分2)．s2乙＝150×(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256(分2)．因为s2甲<s2乙，所以甲组的成绩比乙组的成绩好．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度来看，甲组的成绩总体较好．(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩高于90分(含90分)的人数为14＋6＝20(人)，乙组的成绩高于90分(含90分)的人数为12＋12＝24(人)，所以乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的比甲组得满分的多6人，从这一角度来看，乙组的成绩较好．类题通法用数据的数字特征来反映该组数据的特点，本例就是从众数、中位数、方差、高分段以及满分的人数等数字特征全方位进行综合分析、比较，并作出判断.[变式训练4]有一组数据：x1，x2，…，x n(x1<x2<…<x n)的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9，若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11.(1)求出第一个数x 1关于n 的表达式及第n 个数x n 关于n 的表达式； (2)若x 1，x 2，…，x n 都是正整数，试求第n 个数x n 的最大值，并举出满足题目要求且x n 取到最大值的一组数据．解 (1)依条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋…＋x n ＝10n ， ①x 1＋x 2＋…＋x n －1＝9(n －1)，②x 2＋x 3＋…＋x n ＝11(n －1)， ③由①－②得x n ＝n ＋9. 又由①－③得x 1＝11－n .(2)由于x 1是正整数．故x 1＝11－n ≥1⇒1≤n ≤10， 故x n ＝n ＋9≤19.当n ＝10时，x 1＝1，x 10＝19，x 2＋x 3＋…＋x 9＝80.此时，x 2＝6，x 3＝7，x 4＝8，x 5＝9，x 6＝11，x 7＝12，x 8＝13，x 9＝14.[例] (12分)某酒厂有甲、乙两条生产线生产同一种型号的白酒，产品在自动传输带上包装传送，每15分钟抽一瓶测定其质量是否合格，分别记录抽查的数据如下(单位：毫升)：甲生产线：508,504,496,510,492,496 乙生产线：515,520,480,485,497,503 问：(1)这种抽样是何种抽样方法？(2)分别计算甲、乙两条生产线的平均值与标准差，并说明哪条生产线的产品较稳定．(一)精妙思路点拨(二)分层规范细解(1)根据题意知，抽样是每15分钟抽一瓶，是等距抽样，所以这种抽样是系统抽样.4分(2)根据已知抽样数据可计算：x －甲＝16×(508＋504＋496＋510＋492＋496)＝501①，6分∴s 2甲＝16×[(508－501)2＋(504－501)2＋(496－501)2＋(510－501)2＋(492－501)2＋(496－501)2]＝45①，∴s 甲＝35≈6.708.8分x －乙＝16×(515＋520＋480＋485＋497＋503)＝500①，∴s 2乙＝16×[(515－500)2＋(520－500)2＋(480－500)2＋(485－500)2＋(497－500)2＋(503－500)2]≈211.3①10分∴s 乙≈14.536.∴s 甲<s 乙，甲生产线的产品较稳定②.12分 (三)来自一线的报告通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②见分层规范细解过程)(四)类题练笔掌握从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)： 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42； 乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40. 问：(1)哪种玉米的苗长得高？ (2)哪种玉米的苗长得齐？解 (1)x －甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42) ＝110×300＝30(cm)，x －乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)，∵x－甲<x－乙，∴乙种玉米的苗长得高．(2)s2甲＝110×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110×1042＝104.2(cm2)，s2乙＝110×[(27－31)2×2＋(16－31)2×3＋(44－31)2×2＋(40－31)2×3]＝110×1288＝128.8(cm2)．∵s2甲<s2乙，∴甲种玉米的苗长得齐．(五)解题设问(1)本题中样本数据的个数是多少？________.(2)需用样本数据的哪些数字特征？需要求出样本数据的________，用来衡量玉米的高度；求出样本数据的________(或________)用来衡量玉米长得是否齐．答案(1)有10个(2)平均数方差标准差1．已知某班8名学生的身高(单位：m)分别为：1.74,1.68,1.72,1.80,1.64,1.69,1.75,1.82，则这8名学生的平均身高为()A．1.60 m B．1.82 mC．1.73 m D．1.64 m答案 C解析求平均数．2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9．48.49.49.99.69.49.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为() A．9.40.484 B．9.40.016C．9.50.04 D．9.50.016答案 D解析 去掉最高分9.9和最低分8.4，余下的数为9.4,9.4,9.6,9.4,9.7，其平均数x －＝3×9.4＋9.6＋9.75＝9.5，s 2＝15×(0.12＋0.12＋0.12＋0.12＋0.22)＝0.016.3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A ．85、85、85B ．87、85、86C ．87、85、85D ．87、85、90答案 C4．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a ，b 的取值分别是________．答案 a ＝10.5，b ＝10.5解析 依题意及中位数定义可知：a ＝10.5，b ＝10.5.5．甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸(单位：mm)分别如下．甲：10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1 乙：10.3,10.4,9.6,9.9,10.1,10.9,8.9,9.7,10.2,10分别计算上面两个样本的平均数和方差．如果图纸规定零件的尺寸为10 mm ，从计算的结果来看，用哪台机床加工这种零件较合适？(要求利用公式笔算)解 x －甲＝110×(10.2＋10.1＋…＋10.1)＝110×100＝10， x －乙＝110×(10.3＋10.4＋…＋10)＝110×100＝10.所以s 2甲＝110×[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋…＋(10.1－10)2]＝0.03(mm 2)， 所以s 2乙＝110×[(10.3－10)2＋(10.4－10)2＋…＋(10－10)2]＝0.06(mm 2)． 所以s 2甲<s 2乙.所以甲机床比乙机床稳定，即用甲机床加工较合适．一、选择题1．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )89⎪⎪⎪ 9 73 1 6 4 0 2A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92答案 A解析 中位数为12(91＋92)＝91.5；平均数为18(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.2．某校高一有四个班，1～4班的人数分别为N 1，N 2，N 3，N 4，总人数为N ，英语成绩的平均分分别为M 1，M 2，M 3，M 4，则该校高一英语的平均分是( )A ．M 1，M 2，M 3，M 4的平均数B ．M 1，M 2，M 3，M 4的中位数C ．M 1N 1，M 2N 2，M 3N 3，M 4N 4的平均数D ．M 1N 1，M 2N 2，M 3N 3，M 4N 4的和与1N 的乘积 答案 D3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65 B.65 C. 2 D ．2答案 D解析 由题可知样本的平均值为1，所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故选D. 4．甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示如下图所示，则下列说法正确的是( )A.甲的平均成绩比乙的平均成绩高B ．甲的平均成绩比乙的平均成绩低C ．甲成绩的方差比乙成绩的方差大D ．甲成绩的方差比乙成绩的方差小 答案 C解析 x －甲＝15(98＋99＋105＋115＋118)＝107， x －乙＝15(95＋106＋108＋112＋114)＝107.s 2甲＝15[(98－107)2＋(99－107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2]＝66.8，s 2乙＝15[(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2]＝44.所以排除A 、B 、D ，选C.5．如下图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x －A 和x －B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x －A >x －B ，s A >s BB.x －A <x －B ，s A >s BC.x －A >x －B ，s A <s BD.x －A <x －B ，s A <s B 答案 B解析 由图可知A 组的6个数为2.5,10,5，7.5，2.5,10， B 组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10， 所以x －A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.56， x －B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝706.显然x －A <x －B ，又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A >s B ，故选B.6．某次考试，班长算出了全班40人的数学成绩的平均分M ，如果把M 当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ∶N 为( )A ．40∶41B ．41∶40C ．2∶1D ．1∶1答案 D解析 由题意知全班40个同学的总分为40M ，则N ＝40M ＋M41，整理，得M ＝N .二、填空题7．若40个数据的平方和是48，平均数是12，则这组数据的方差是________． 答案 1920解析 由题可得x 21＋x 22＋…＋x 240＝48，x －＝12. 所以s 2＝140[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 40－x －)2] ＝140[(x 21＋x 22＋…＋x 240)＋40x －2－2x －(x 1＋x 2＋…＋x 40)] ＝140⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋40×14－2×12×12×40＝1920.8．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行追踪调查的结果如下：甲：3,4,5,6,8,8,8,10； 乙：4,6,6,6,8,9,12,13； 丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数，众数，中位数中的哪一种集中趋势的特征数．甲：________，乙：________，丙：________. 答案 众数 平均数 中位数9．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.答案 3.2解析本题主要考查统计知识——方差的计算.5个数据的平均数x－＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.三、解答题10．某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩．解甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班；甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理，乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理乙班27人，占54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班．如果记85分以上为优秀，甲班有20人，优秀率为40%；乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率来看成绩较好的是乙班．可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定．11．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况．有关数据如下表：每户丢弃旧塑料袋个数234 5户数6161513(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数；(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．解根据平均数和标准差的公式计算即可．(1)平均数x －＝150(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝18550＝3.7. (2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为s 2＝150[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝150×48.5＝0.97.所以标准差s ≈0.985.12．两台机床同时生产直径为10毫米的零件，为了检验产品质量，检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下(单位：毫米)：如果你是检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件更符合要求？解 先计算平均直径：x －甲＝14×(10＋9.8＋10＋10.2)＝10(毫米)．x －乙＝14×(10.1＋10＋9.9＋10)＝10(毫米)．由于x －甲＝x －乙，因此，平均直径反映不出两台机床生产的零件的优劣．再计算方差：s 2甲＝14×[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02(毫米2)，s 2乙＝14×[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005(毫米2)． 由于s 2乙<s 2甲，这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此，从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件更符合要求．13．近几届冬奥会男、女1500米速滑的冠军成绩分别如下表所示：(1)分别求出男、女1500米速滑的冠军成绩的平均数和中位数；(2)分别求出男、女1500米速滑的冠军成绩的标准差；(3)通过(1)(2)的计算，请用自己的语言描述近几届冬奥会男、女1500米速滑的冠军成绩分别有什么特点．解(1)近几届冬奥会男子1500米速滑冠军成绩的平均数和中位数分别是1′54.17″，1′54.81″；女子的平均数和中位数分别是2′05.32″，2′03.42″.(2)近几届冬奥会男、女1500米速滑冠军成绩的标准差分别是3.7637″，6.0194″.(3)从上面的计算结果我们不难看出：近几届冬奥会男子速滑的冠军成绩相比女子成绩优异而且比较稳定.。
八年级数学下册第3章数据分析初步3.3方差和标准差教案(新版)浙教版
3.3 方差和标准差教学目标1、知识目标：了解方差、标准差的概念.2、能力目标：会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度,能用样本的方差来估计总体的方差.3、情感目标：通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力．教学重点理解并记忆方差和标准差公式，能灵活地运用方差和标准差公式解题.教学难点灵活地运用方差和标准差公式解决实际问题.教学设计一、创设情景，提出问题甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下表：第一次第二次第三次第四次第五次甲命中环数7 8 8 8 9乙命中环数10 6 10 6 82.请根据这两名射击手的成绩在图中画出折线图.3.现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适？为什么？(各小组讨论)二、合作交流，感知问题请根据统计图，思考问题：①甲、乙两名射击手他们每次射击成绩与他们的平均成绩比较，哪一个偏离程度较低？(甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：(7－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(9－8)＝0；乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：(10－8)＋(6－8)＋(10－8)＋(6－8)＋(8－8)＝0)②射击成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？(甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＝2；乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(10－8)2＋(6－8)2＋(10－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2＝16)上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？——与射击次数有关.③用怎样的特征数来表示数据的偏离程度？可否用各个数据与平均数的差的累计数来表示数据的偏离程度？④是否可用各个数据与平均数的差的平方和来表示数据的偏离程度？⑤数据的偏离程度还与什么有关？要比较两组样本容量不相同的数据偏离平均数的程度，应如何比较？三、概括总结，得出概念根据以上问题情景，在学生讨论，教师补充的基础上得出方差的概念、计算方法及用方差来判断数据的稳定性.用各数据偏离平均数的差的平方的平均数来衡量数据的稳定性.设一组数据x 1,x 2,…,x n 中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x 1-x )2, (x 2－x )2,… ,(x n －x )2，那么我们称它们的平均数，即s 2=n1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+(x 3-x )2+…+(x n -x )2]为这组数据的方差.方差用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小) 方差的单位和数据的单位不统一，引出标准差的概念.(注意：比较两组数据的特征时，应取相同的样本容量，计算过程可借助计数器.) 现可以请学生回答③的问题(这个问题没有标准答案，要根据比赛的具体情况来分析，作出结论).四、应用概念，巩固新知1、例:为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位: cm):甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 问：哪种小麦长得比较整齐？思考：求数据的方差的一般步骤是什么？ (1)求数据的平均数；(2)利用方差公式求方差.(在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定)师生共同完成.2、数据的单位与方差的单位一致吗？ 为了使单位一致，可用方差的算术平方根：S =. 五、小结回顾，反思提高1、这节课我们学习了方差、标准差的概念，方差的实质是各数据与平均数的差的平方的平均数.方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.2、标准差是方差的一个派生概念，它的优点是单位和样本的数据单位保持一致，给计算和研究带来方便.3、利用方差比较数据波动大小的方法和步骤：先求平均数，再求方差，然后判断得出结论.。
八年级数学下册 3.3 方差和标准差导学案(新版)浙教版
八年级数学下册 3.3 方差和标准差导学案（新版）浙教版1、了解方差、标准差的概念、2、会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度、能用样本的方差来估计总体的方差、3、通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养同学们应用数学的意识和能力、重点难点重点：方差的概念和计算、、难点：方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点、【课前自学课堂交流】一：课前预习：（一）、仔细阅读课本P624)2+(x24)2]，则这个样本的平均数是，样本的容量是、6、方差和标准差的作用：都是反映一组数据的特征量，他们的值越小，说明这组数据，反之，值越大，说明这组数据、7、甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且打中环数的平均数相等，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是S2甲 S2乙、二：课中交流8、求数据99,97,96,98,95的方差、将这组数据的每个数都减去97，得到的新数据是，请求这组新数据的方差：比较这两组数据的方差，你有什么发现？用你发现的结论来解决以下的问题：已知数据X1，X２，X ３，…Xn的平均数为a，方差为b，标准差为c。
则(1)X1+3，X２+3，X３+3…，Xn+3的平均数 ,方差，标准差、(2)４x1，４x２，４x３，…４xn的平均数，方差，标准差、(3)2x1+3，2x２+3，2x３+3，…2xn+3的平均数，方差，标准差、根据这个发现，用简便方法求101，102，103，104，105的方差、9、801班要从小陈和小王两人中选出一人去参加学科竞赛，他们在平时的6次测试中成绩如下（单位：分）小陈：525355515453 小王：676253404353如果你是班主任，在收集了上述数据后，你将利用哪些统计的知识来决定这一个名额？（思路：分别从平均数，中位数，众数，方差等特征量进行判断）课后作业作业本反思说说你在这节课中的收获与体会：。
九年级上册《方差与标准差》导学案数学教案
九年级上册《方差与标准差》导学案数学教案
标题：九年级上册《方差与标准差》导学案
一、教学目标：
1. 学生能够理解并掌握方差和标准差的概念。
2. 学生能够熟练地计算一组数据的方差和标准差。
3. 学生能够运用方差和标准差来描述数据的离散程度，并能对不同数据集的离散程度进行比较。
二、教学重点难点：
1. 教学重点：方差和标准差的概念及其计算方法。
2. 教学难点：理解和运用方差和标准差描述数据的离散程度。
三、教学过程：
1. 导入新课：
通过实际生活中的例子引入课题，比如学生的考试成绩分布，引出描述数据集中趋势和离散程度的需求。
2. 新课讲解：
（1）介绍平均数作为描述数据集中趋势的一个指标，然后引出描述数据离散程度的需要。
（2）讲解方差的概念和计算方法，引导学生理解方差反映的是数据相对于平均数的偏离程度。
（3）讲解标准差的概念和计算方法，说明它是方差的平方根，更直观地反映了数据的离散程度。
3. 练习巩固：
设计一些练习题，让学生通过计算实例数据的方差和标准差，加深对方差和标准差的理解。
4. 小结：
总结本节课学习的主要内容，强调方差和标准差在描述数据离散程度中的作用。
5. 作业布置：
布置一些包含计算方差和标准差的题目，让学生在实践中进一步熟悉这两个概念。
四、教学反思：
在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，以提高教学效果。
苏教版高中数学必修三《方差与标准差》学案
总体特征数的估计 方差与标准差教学目标 通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用；学会计算数据的方差、标准差；使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．重点难点 用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差． 引入新课1．有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：2/mm kg ），通过计算发现，两个样本的平均数均为125．甲 110 120130 125 120 125 135 125 135 125 乙115100125130115125125145125145问题：哪种钢筋的质量较好？由图可以看出，乙样本的最小值 ，低于甲样本的最小值 ， 最大值 高于甲样本的最大值 ，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定．我们把一组数据的 称为极差（range ）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差．2．方差：标准差：3．方差和标准差的意义：描述样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．例题剖析例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：2/hmt），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8例2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．天数151~18181~21211~24241~27271~30301~33331~36361~39灯泡数 1 11 18 20 25 16 7 2巩固练习1．数据90，91，92，93的标准差是．2．一个样本中，数据15和13各有4个，数据14有2个，求这个样本的平均数、方差和标准差（标准差保留两个有效数字）．3．从两个班级各抽5名学生测量(身高单位：厘米)，甲班的数据为：160，162，159，160，159；乙班的数据为180，160，150，150，160．试估计哪个班学生身高的波动小．课堂小结1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：①．用样本平均数估计总体平均数．②．用样本方差、标准差估计总体方差、标准差．样本容量越大，估计就越精确．2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度．。
九年级上册《方差与标准差》导学案
九年级上册《方差与标准差》导学案一、学习目标1、理解方差和标准差的概念。
2、掌握方差和标准差的计算方法。
3、能运用方差和标准差来分析数据的离散程度。
二、学习重难点1、重点（1）方差和标准差的概念及计算。
（2）运用方差和标准差解决实际问题。
2、难点（1）理解方差和标准差反映数据离散程度的本质。
（2）在不同情境中正确选择和运用方差和标准差。
三、知识回顾在前面的学习中，我们已经了解了平均数、中位数和众数等统计量，它们可以帮助我们描述一组数据的集中趋势。
但要全面了解数据的特征，还需要研究数据的离散程度。
四、新课导入我们先来看一个例子：甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射靶10 次，每次命中的环数如下：甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7观察上面的数据，你能判断哪名运动员的射击成绩更稳定吗？要解决这个问题，仅仅依靠平均数是不够的，还需要引入新的统计量——方差和标准差。
五、知识讲解1、方差（1）定义：设有 n 个数据 x₁，x₂，…，xₙ，各数据与它们的平均数\（＼overline{x}＼）的差的平方分别是\（（x₁＼overline{x}）²\），＼（（x₂＼overline{x}）²\），…，＼（（xₙ ＼overline{x}）²\），我们用这些差的平方的平均数，即＼S²＝＼frac{1}｛n}（x₁＼overline{x}）²＋（x₂＼overline{x}）²＋… ＋（xₙ ＼overline{x}）²＼来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。
（2）意义：方差越大，表明这组数据的波动越大；方差越小，表明这组数据的波动越小，数据越稳定。
2、标准差（1）定义：方差的算术平方根 S 叫做这组数据的标准差。
（2）计算公式：＼（S ＝＼sqrt{＼frac{1}｛n}（x₁＼overline{x}）²＋（x₂＼overline{x}）²＋… ＋（xₙ ＼overline{x}）²}＼）3、方差和标准差的计算步骤（1）计算这组数据的平均数\（＼overline{x}＼）。
3.3 方差和标准差
知识要点
1．方差的定义： 在一组数据 x1，x2，…，xn 中，各数据与它们的平均 数 x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通 常用 S2 表示，即 S2＝n1[(x1－—x)2＋(x2－—x)2＋…＋(xn－ —x )2]．
2．标准差的定义和计算： 方差的算术平方根叫做标准差，用 S 表示，即 S＝ S2＝ n1[(x1－—x)2＋(x2－—x)2＋…＋(xn－—x)2]．
【例 3】 为了让广大青少年学
生走向操场、走进自然、走
到阳光下，积极参加体育锻
炼，我国启动了“全国亿万
学生阳光体育运动”．短跑
运动可以锻炼人的灵活性，
增强人的爆发力，因此小明
和小亮在课外活动中，报名
参加了短跑训练小组，在近几次百米训练中，所测成绩如图 3-3-2
所示，请根据统计图解答以下问题．
(1)补全下面的表格：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
小明 13．3 13．4 13．3
13．3
小亮 13．2
13．1 13．5 13．3
(2)从图中看，小明与小亮分别是哪次的成绩最好？
(3)分别计算他们成绩的平均数和方差，若你是他们的教练，将
小明与小亮的成绩比较后，你将分别给予他们怎样的建议？
【解析】 (1)(2)可从图中直接看出；(3)从稳定性或从最好的成绩方面提 建议都可以． (1)小明：13．2；小亮：13．4． (2)小明第 4 次成绩最好，为 13．2 s；小亮第 3 次成绩最好，为 13．1 s． (3)－x 小明＝13．3＋13．4＋135．3＋13．2＋13．ห้องสมุดไป่ตู้＝13．3(s)，
则下列说法中，错误的是
()
A．甲、乙得分的平均数都是 8
《总体离散程度的估计》 导学案
《总体离散程度的估计》导学案一、学习目标1、理解样本数据的方差、标准差的概念和意义。
2、掌握方差、标准差的计算方法。
3、能运用方差、标准差来估计总体的离散程度。
二、学习重难点1、重点（1）方差、标准差的概念和计算方法。
（2）用方差、标准差估计总体的离散程度。
2、难点（1）理解方差、标准差与数据离散程度的关系。
（2）根据实际问题选择合适的统计量来估计总体离散程度。
三、知识回顾1、平均数（1）定义：一组数据$x_1, x_2, ＼cdots, x_n$的平均数为$＼overline{x} ＝＼frac{x_1 ＋ x_2 ＋＼cdots ＋ x_n}｛n}＄。
（2）作用：反映一组数据的平均水平。
2、众数（1）定义：一组数据中出现次数最多的数据。
（2）作用：可以反映一组数据的集中趋势。
3、中位数（1）定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
（2）作用：也是反映一组数据集中趋势的量。
四、新课导入在日常生活和实际工作中，我们不仅关心数据的集中趋势，还关心数据的离散程度。
例如，在评价两个班级的成绩时，仅仅知道平均成绩是不够的，还需要了解成绩的波动情况。
那么，如何来衡量数据的离散程度呢？这就是我们今天要学习的内容——总体离散程度的估计。
五、方差1、定义设有$n$个数据$x_1, x_2, ＼cdots, x_n$，各数据与它们的平均数$＼overline{x}＄的差的平方分别是$（x_1 ＼overline{x}）＾2, （x_2 ＼overline{x}）＾2, ＼cdots, （x_n ＼overline{x}）＾2$，我们用这些值的平均数，即＼s^2 ＝＼frac{1}｛n}（x_1 ＼overline{x}）＾2 ＋（x_2 ＼overline{x}）＾2 ＋＼cdots ＋（x_n ＼overline{x}）＾2＼来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差。
3.3 方差和标准差（详细解析考点分析名师点评）
标准差答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、某班5位同学的身高分别为155，160，160，161，169（单位：厘米），这组数据中，下列说法错误的是（）A、众数是160B、中位数是160C、平均数是161D、标准差是2考点：算术平均数；中位数；众数；标准差。
分析：利用众数是出现频数最高的数据即可判断A是对的；利用中位数的求法，可知B是对的；利用平均数的求法可知C是对的；利用方差的公式可求出方差，和标准差=方差的算术平方根，从而对D作出判断．解答：解：因为众数是出现频数最高的数据即160厘米，所以A是对的；对于中位数，因题中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的一个数即160厘米，所以B是对的；根据平均数的公式得平均数为（155+160+160+161+169）=161厘米，故C是对的；这组数据的方差为：[（155﹣161）2+（160﹣161）2+（160﹣161）2+（161﹣161）2+（169﹣161）2]=102，标准差=方差的算术平方根，所以标准差是，所以D是错误的．综上，故选D．点评：本题考查的是平均数、众数、中位数及标准差．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．2、下列说法正确的是（）A、为了检验一批零件的质量，从中抽取10件，在这个问题中，10是抽取的样本B、如果x1、x2、…、x n 的平均数是，那么样本（x1﹣）+（x1﹣）+…+（x n﹣）=0C、8，9，10，11，11这组数的众数是2D、一组数据的标准差是这组数据的方差的平方型号22 22.5 23 23.5 24 24.5 25数量（双） 3 5 10 15 8 3 2则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（）A、平均数B、众数C、中位数D、标准差考点：众数；加权平均数；中位数；标准差。
分析：众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数．解答：解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．故选B．点评：考查了众数、平均数、中位数和标准差意义，比较简单．4、设x1，x2，x3，…，x10的平均数为，方差为s2，标准差为s，若s=0，则有（）A、=0B、s2=0且=0C、x1=x2=…=x10D、x1=x2=…=x10=0考点：方差；算术平均数；标准差。
【高中教育】人教版高中数学2.3.2方差与标准差导学案.doc
2.3.2《方差与标准差》导学案教学目标:（1）通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用；（2）学会计算数据的方差、标准差；（3）使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想。
教学重点: 用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差。
教学难点: 理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
教学过程:一、问题情境1．上图显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温，如何对这两段时间的气温进行比较呢?２．有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm 2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125．表20.2.1 上海每日最高气温统计表 （单位：℃）哪种钢筋的质量较好？二、学生活动由图可以看出，哪种钢筋的抗拉强度稳定?三、建构数学1、极差：2、方差：3、标准差：4、方差和标准差的意义：四、数学运用例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。
年例2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。
已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。
16五、课堂练习：（1）课本第68页练习第1、2、3、4题 ；（2）____3,,3,34,,,2121的方差为，那么的方差为若+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅n n x x x x x x（3）____42,,,21后的方差为，那么这组数据均乘以的方差为若n x x x ⋅⋅⋅（4）若k 1,k 2,….k 8的方差为3，则2（k 1-3)， 2(k 2-3), ….2（k 8-3)的方差为________0D. 0x x C.x x x x .B 0A..x 0x ,x ,x ..______3X 5231).6(.D .C .B .A )5(n 21n 21n 21总体方差一定是 ）（，则表示的方差为，若样本是，则这个样本的标准差，若它的平均数是，，，，已知一个样本以上都不对 标准差 方差极差 ）（的指标是一组数据变化范围大小在数据统计中，能反映======== （7）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________、_______.六、回顾小结：七、课外作业：课本第69页第3， 4，5，7题．。
方差和标准差.3方差和标准差
3.3方差和标准差教学设计一、教学目标1、了解方差，标准差公式的产生过程2、熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用。
3、能通过实例学会用样本方差分析总体方差二、教学重点方差、标准差的概念、计算及其运用三、教学难点方差概念的理解和应用四、教材分析《方差与标准差》这节课是选自浙教版八年级上第三章第三节，是在学生学会用平均数，中位数，众数来表示数据集中程度的统计量后的另一种反映数据离散程度的统计量。
是对数据进行分析的另一重要指标。
这节课是七年纪上册“数据与图表”内容的延续，在数据与图表中是着重用图表的形式来反映数据的特征和变化。
而本章则是用统计量来反映数据的特征和变化。
学好本节课，不仅为进一步学好数据分析打好基础，而且在日常生活和实际生产中有着广泛的应用。
计算方差、标准差时，首先要求平均数，因此，求方差、标准差也是求平均数的练习和巩固的过程。
但平均数与方差的最本质的区别是：平均数是反映一组数据的集中程度的统计量而方差是反映一组数据的离散程度的统计量。
五、学情分析根据我自己对所带两个班级学生的了解，他们在分析，推导能力上不是特别强，所以本节的内容我准备按课本的要求来，不做较大的改变，不要求学生解决复杂或生僻的问题。
对于八年级的学生要根据实际选择统计量，并通过数据分析作出判断或预测。
不仅需要学生有教高的综合分析能力，而且要有较丰富的生活实践经验，对于这个年龄段的学生来说，是比较薄弱的。
因此，我在教学中会把握好教学要求，给学生留有充分的时间思考和小组讨论，用集体的智慧来解决难题。
在这堂新课中，我放较大的比重在公式的产生上，既公式的推导过程。
因为中考不允许学生使用计算器，所以在数据的选择上要便于计算，不允许学生使用计算器。
六、教学过程 （一）情景引入 学生观看射击比赛视频提问：一年一度的比赛又要开始了，所有的学员都这么优秀选谁？ 设计意图：1、通过视频吸引学生的注意力，让学生的注意力集中到课堂上 2、每个学员都很优秀有自己的特点，所以我们要有一个合理的选拔 标准，从而引出了本堂课的学习内容 （二）合作学习甲、乙两人的测试成绩统计如下:（1）分别算出甲、乙两人的平均成绩. （2）根据这两人的成绩，再画出折线统计图.（3）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜?为什么?提问：1、哪组数据围绕其平均数波动较大，波动大反映了什么？ 2、谁射击成绩比较稳定？设计意图：1、1,2两个小题学生根据自己现有的知识能够解决，通过给出两个 问题，引导学生仔细观察折线图，因为折线图能够直观反应两人成24 68 成绩（环）10 0 1 2 3 4 5绩水平的高低以及稳定性。
初中数学 教案：3.3 方差和标准差
1．本节课的每一个环节，均紧紧围绕着教学目标进行，提供给学生充分的动手
操作与思考、交流的时间、空间，学生的参与度高，教师的主导作用和学生的主体
地位把握地恰当、到位．
2．本节课采取的教学组织形式，以学生操用，总是将学生自主的思想与操作贯穿始终，重视学生自我经验的积累和丰 富，把方差概念的形成作一步步引导，在知识形成的过程中又可以把学生存在的疑 问解决到位．这种学习方式和节奏，符合学生的认知心理和规律．
（四）考考你
甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数
7
8
8
8
9
乙命中环数
10
6
10
6
8
分别计算甲、乙两名射击手的方差并决定选派谁参加比赛？
设计意图：让学生练习利用方差就可解决此问题，体会方差的作用．
（五）动动脑
思考：数据的单位与方差的单位一致吗？
学生思考、讨论、交流，确定答案．
①数据 a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3 的平均数为 ，方差为
标准差为
．
②数据 a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3 的平均数为
，方差为
，
标准差为
．
③数据 3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an 的平均数为
，方差为
，
标准差为
．
④数据 2a1-3，2a2 -3，2a3 -3 ，…，2an -3 的平均数为
4．已知一样本 a1，a2，…，an 的平均数＝5，方差＝0．025，则：
(1)4+al，4+a2,…，4+an 的平均数＝
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3.3方差和标准差
【课前预习导学】
1．方差的公式为 .
2. 已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是 .
3. 甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且中环的平均数X X 乙甲，如果甲 的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是2
S 甲 2
S 乙.
4. 已知一个样本1，3，2，6，则这个样本的方差是 .
5．已知一个样本1，3，2，x ，5，其平均数是3，则这个样本的方差是 ，标准差为 .
【课外资料导学】
标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的重要指标．说起标准差首先得搞清楚它出现的目的．我们使用方法去检测它，但检测方法总是有误差的，所以检测值并不是其真实值．检测值与真实值之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指标．但是真实值 是多少，不得而知．虽然样本的真实值是不可能知道的，但是每个样本总是会有一个真实值的，不管它究竟是多少．可以想象，一个好的检测方法，基检测值应该很紧密的分散在真实值周围．如何不紧密，那距真实值的就会大，准确性当然也就不好了，不可能想象离散度大的方法，会测出准确的结果．因此，离散度是评价方法的好坏的 最重要也是最基本的指标．
【课中生成导学】
1. 方差的实质是各数据与平均数的差的平方的平均数．方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
2.标准差是方差的一个派生概念，它的优点是单位和样本的数据单位保持一致，给计算和研究带来方便。
3.利用方差比较数据波动大小的方法和步骤：先求 ，再求 ，然后判断得出结论.
4.对于一组数据1，2，3，4，5的方差为 ，标准差为 .那么对于5个连续的整数的方差为 ，标准差为 .（推导过程同学们自己思考下）
5. 如果一组数据1x , 2x ,… n x 的平均数是x ，方差为2
S ,那么
（1）新数据1ax , 2ax ,… n ax 的平均数是 ，方差为 ；
（2）新数据1x b +, 2x b +,… n x b +的平均数是 ，方差为 ；
（3）新数据1ax b +, 2ax b +,… n ax b +的平均数是 ，方差为 .
【课堂测评导学】(10分)
1．若一个样本的标准差S ()()]10...10)10[(50
122221-++-+-=n x x x ,则这个样本中的数据个数是 ，平均数是 .
2．数据8，10，9，11，12的方差是 （ ）
A ．2
B ．2 C. 10 D ．50
3．如果一组数据1x , 2x ,… n x 的方差是2，那么另一组数据13x , 23x ,… 3n x 的方差是 （ ）A. 2 B. 18 C. 12 D. 6
4．甲、乙两人在相同条件下各射靶的成绩情况如图所示。
（1） 请填写下表 平均数 方差 中位数 命中9环及以上次数 甲 7 1
乙 7 5．4
（2） 请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看，
分析谁的成绩稳定些； ②从平均数和命中9环及以上的次数相结合看，
分析谁的成绩好些； ③从折线图上两人射击命中环数的走势看， 分析谁更有潜力些. 【课后拓展导学】 小飞在求一组数据的方差时，觉得运用公式 2222121
[()()()]n S x x x x x x n =-+-++- 求方差比较麻烦，善于动脑的小飞发现求方差的简化公式22222
121[()]n S x x x nx n =+++- ，你认为小飞的想法正确吗？请你就3
n =时，帮导小飞证明该简化公式.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
次数
10 9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 环数
甲 乙
参考答案
【课前预习导学】
1．22
22121
[()()()]n S x x x x x x n =-+-++-
2．2 3．﹤ 4．3.5 5．2 2
【课中生成导学】
3．平均数 方差 4．2 2 2 2 5．ax 22a S x b + 2S a x b + 22a S
【课堂测评导学】
1． 50 10 2． B 3． B 4． (1)1.2 7 7.5
3 (2)甲 乙 乙 【课后拓展导学】
错 化简略。