第15讲 几何非线性有限元分析-11(简)_421102065

∂u ∂ 2 w 1 ∂w 2 εx = − z 2 + ( ) ∂x ∂x 2 ∂x
z w
y v
σy
∂v ∂ 2 w 1 ∂w 2 εy = − z 2 + ( ) 2 ∂y ∂y ∂y
γ xy
∂u ∂v ∂ 2 w ∂w∂w = + − 2z + ∂y ∂x ∂x∂y ∂x∂y
σx
x u
汽车工程系
有限元法与应用
(第十五讲)
清华大学汽车工程系 结构分析与CAE研究室
第12章 几何非线性有限元分析
12.1 引言 12.2 大位移几何非线性
12.1 引言
线性有限元分析均基于小位移(或小变形)假设。小变形假 设包含了两个含义： • 假定物体所发生的位移远小于自身的几何尺度，在此前提 下，建立单元体或结构的平衡方程时可以不考虑物体的位置 和形状（简称位形）的变化，因此分析中可用变形前的位形 描述变形后的平衡位形； • 假定在变形过程中的应变可用一阶微量的线性应变进行度 量，即应变与位移增量成一阶线性关系。
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12.1 引言
工程中会碰到很多不符合小变形假设的几何非线性问题， 如, 大位移几何非线性
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第12章 几何非线性有限元分析
12.1 引言 12.2 大位移几何非线性
12.2 大位移几何非线性
1) 大挠度梁 *应变-位移关系 z 挠度w 引起的应变
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12.2 大位移几何非线性
3) 大位移三维体单元 *应变-位移关系（几何方程）
∂u 1 ∂u 2 ∂v 2 ∂w 2 + [( ) + ( ) + ( ) ] ∂x 2 ∂x ∂x ∂x ∂v 1 ∂u ∂v ∂w ε y = + [( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 ] ∂y 2 ∂y ∂y ∂y ∂w 1 ∂u 2 ∂v 2 ∂w 2 + [( ) + ( ) + ( ) ] εz = ∂z 2 ∂z ∂z ∂z
εx =
γ xy =
∂v ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w + +( + + ) ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂w ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w + +( + + γ yz = ) ∂y ∂z ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂u ∂w ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w +( + + γ zx = + ) ∂z ∂x ∂x ∂z ∂x ∂z ∂x ∂z
T [ dB ] ∫ L {σ }dV =[ Kσ ]{dδ }
（应力刚度矩阵）
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12.2 大位移几何非线性
于是(d)式为
{dψ } = ([ K 0 ] + [ Kσ ] + [ K L ]){dδ } = [ KT ]{d δ }
其中
[ K T ] = [ K 0 ] + [ Kσ ] + [ K L ]
{d σ } = [ Dep ]{d ε } = ([ D ] − [ D p ])[ B ]{d δ }
在计算前面[ K 0 ]和[K L ]的式子中，把[D]改为[Dep ]，得到
切线刚度矩阵： [ KT ] = [ K0 ] + [ Kσ ] + [ K L ] - [K R ] 其中
[ K R ] = ∫ ([ B0 ]T [ Dp ][ B0 ] + [ B0 ]T [ Dp ][ BL ] + [ BL ]T [ Dp ][ BL ]+[BL ]T [D p ][B0 ])dV
代入虚功方程，得单元平衡方程
{ ψ (δ )} = ∫ [B] {σ}dV −{ f } = 0
e T
(a)
上式对材料特性、变形大小均无限制 汽车工程系
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12.2 大位移几何非线性
•对小变形、线弹性问题的有限元，
{ε } = [ B ]{δ }, {σ } = [ D ]{ε }
方程（a）为
T [ B ] ∫ [ D][ B]dv{δ } −{ f } = 0
即
[ K ]{δ } = { f }
(线性方程组)
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12.2 大位移几何非线性
• 对大位移几何非线性问题，应变和位移的关系是非线性 [ B] 是δ的函数，可写成： 的，因此，方程（a）中的
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12.2 大位移几何非线性
代入（c）得 式中
{dψ } = ∫ [dBL ]T {σ }dV + [ K ]{d δ }
(d)
[ K ] = ∫ [ B ]T [ D ][ B ]dV = ∫ [ B0 + BL ]T [ D ][ B0 + BL ]dV = [ K 0 ] + [ K L ]
[ K 0 ] = ∫ [ B0 ]T [ D ][ B0 ]dV
[ K L ] = ∫ ([ B0 ]T [ D ][ BL ] + [ BL ]T [ D ][ BL ] + [ BL ]T [ D ][ B0 ])dV
式中[K0]为小位移的线性刚度矩阵；[KL]为大位移刚度矩阵。 （d）式右边第一项可写成如下形式
称为荷载矫正矩阵。
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12.2 大位移几何非线性
对于双重非线性问题，一般也是用牛顿-拉夫逊方法求 解，计算步骤与前面几何非线性问题时基本相同，但在每一载 荷增量步中，为了计算切线刚度矩阵 [K T ] ，需要用到上一章的 弹塑性本构关系计算[Dp ] 。
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T
解。 因此需建立{dψ(δ)}和{dδ}间的关系。由式（a）得
{dψ } = ∫ [d B ]T {σ }dV + ∫ [ B ]T {dσ }dV
(c)
当材料为线弹性时 {σ } = [ D]{ε }
{dσ } = [ D ]{d ε } = [ D ][ B ]{d δ }
由（b）式
[d B] = [dBL ]
[ B] = [ B0 ] + [ BL (δ )]
(b)
式中[B0]作为线性应变矩阵项，与{δ}无关；[BL]是大位移 应变矩阵项，它与{δ}有关，一般来说，[BL]是δ 的线性函 数。
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12.2 大位移几何非线性
ψ(δ)}= ∫ [B] {σ}dV −{f }= 0 用牛顿-拉夫逊方法求 通常，方程（a）： { e
d x = (dx )2 + ( dw dw dx )2 = dx 1 + ( )2 dx dx
w dx
由二项式展开定理
1 dw d x = dx[1 + ( ) 2 ] 2 dx
w
w+dw
12.2 大位移几何非线性
挠度w 在梁中性轴引起的附加应变
1 dw 2 ε = ( ) 2 dx
I x
2 d w ε xII = − z 2 dx
由w 引起的弯曲应变
z拉伸位移 u 引起的应变 则，梁单元内的应变
ε
III x
du = dx
du d 2 w 1 dw 2 εx = −z 2 + ( ) dx dx 2 dx
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12.2 大位移几何非线性
2) 大挠度板 *应变-位移关系
为切线刚度矩阵。
*牛顿-拉夫逊迭代公式
{Δδ }n = −[ KT ]−1{ψ }n {δ }n +1 = {δ n } + {Δδ n }
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12.2 大位移几何非线性
为双重非线性——弹塑形大位移问题 当材料为弹塑性时， 对于双重非线性问题，前面推导的非线性几何关系仍然适 用，关键一步是应力应变改为如下形式
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12.2 大位移几何非线性
*单元刚度方程 由变形体虚功方程：
T T d { ε } { σ } dV = d { δ } {f} ∫
式中d{ε}和d{δ}为微小虚应变和微小结点虚位移； {σ}为应力列阵。 若把应变和位移的关系可写成增量形式
d {ε } = [ B ]d {δ }