最新人教版高中数学必修4第三章两角差的余弦公式

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两角差的余弦公式教学设计()

课题：两角差的余弦公式（第一课时）说课稿运城市盐化中学景锦各位评委老师好：我说课的题目是《两角差的余弦公式》。

下面阐述我对本节课的教学设计。

一、教材内容分析1、介绍内容：《两角差的余弦公式》是新课标教材人教A版数学必修4第三章第一节内容，主要研究两角差的余弦公式的推导及其简单应用。

2、内容分析：两角差的余弦公式是在学生学习了三角函数及平面向量的基础上引入的，同时又是《三角恒等变换》的起始课。

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，是发展学生推理能力和运算能力的重要载体。

在同角关系式的部分，学生初步学习了恒等变换。

在这节对两角差的余弦公式的研究，一方面是对上述知识的应用，同时又是对它的拓展和延伸；另一方面它也为以后学习两角和的余弦，两角和与差的正弦、正切，从而进一步学习二倍角的正弦、余弦、正切等奠定良好基础。

同时又有了三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，因此本节内容起到承上启下的作用。

3、教学重难点：重点：通过探索得到两角差的余弦公式。

难点：探索过程的组织和适当引导，两角差余弦公式的探究思路的发展。

二、教学目标解析1、能借助单位圆，运用向量的方法，推导出两角差的余弦公式。

2、理解两角差的余弦公式，并能初步应用它们解决简单的三角函数求值问题。

3、经历两角差的余弦公式的的推导过程，体验由简单到复杂的变换思想方法。

进一步体现了向量是近代数学中重要和基本数学概念之一。

4、通过探究两角差的余弦公式，培养学生逻辑推理能力，树立创新意识和应用意识，提高数学素质。

三、教学问题诊断分析：两角差的余弦公式是所有恒等变换公式的核心，是最基本的公式，由它可以推导出所有其它公式。

因此深刻理解两角差的余弦公式的推导是非常重要的。

对两角差的余弦公式的推导，需要良好的三角函数基础，即会作三角函数线。

也需一定的向量基础。

这两点大部分学生已经具备。

但学生正处于初中到高中的过渡阶段，代数运算和推理本身存在着先天不足，因此在第一种方法中分析如何利用几何直观得到()-的值与角α，β的三角函数值的关系时，学生很难想到cosαβ把它们和三角函数线联系起来，为了解决这个问题我在此设计了两个过渡问题： 1、如何构造角α，β，αβ-？2：如何做出角αβ-的余弦线，角α、β的正弦线、余弦线？这样通过这两个具有层次感的问题，学生的思维之门会被悄然打开，不知不觉就从解决旧知中探求到了新知。

必修4两角差的余弦公式

两角差的余弦公式（选自人教版高中数学必修4第三章3.1.1节）一、教材分析《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。

本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

二、学情分析1．本节课的授课对象是高二学生，他们已经了解高中数学的教学模式，并形成自己独特的掌握新知识的方法，具有强烈的好奇心和求知欲；2．在知识水平上，高二学生之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，教师在教学新内容前可以先对这些知识进行适当回顾，为学生本节课的学习奠定良好的基础；3．教师在学生已经掌握三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用的基础上，引导学生如何利用差角的正弦余弦值来表示任意角，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。

三、教学目标（一）知识与技能引导学生建立两角差的余弦公式，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。

（二）过程与方法通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。

（三）情感态度与价值观在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。

四、教学重难点1．教学重点通过探索得到两角差的余弦公式以及两角差余弦公式的应用。

2．教学难点探索过程中的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程所必备的基础知识是否已掌握的问题以及运用已学知识和方法的能力问题等等。

五、教学方法与手段启发式讲授法，并用多媒体展示、计算机辅助教学。

六．教学关键注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比，联系，化归的观点去分析，处理问题，使他们能依据三角函数式的特点，逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换，还包括式子中角的变换，以及不同三角函数之间的变换，引导学生逐渐拓广有关公式在变换过程中的作用，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识，并且也注意了这种引导的渐进性和层次性。

新人教A版必修4 3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

π π π [自主解答] (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos － 3 3 3 π 2π 2π 2cos xsin － 3cos cos x－ 3sin sin x 3 3 3 1 3 3 3 ＝ sin x＋ cos x＋sin x－ 3cos x＋ cos x－ sin x 2 2 2 2
[悟一法]
1．解决此类问题的关键是熟练掌握和差公式的结构特征，并灵活地正用、逆用、变形用． 2．对于正切公式，要熟悉以下常用的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)， tan α＋tan β 1－tan αtan β＝， tanα＋β tan α－tan β 1＋tan αtan β＝ . tanα－β
α，β，α－β≠
两角差的正切
T(α－β)
tan α－tan β 1＋tan αtan β
π kπ＋ (k∈Z) 2
[小问题·大思维 ] 1．是否存在α、β使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立？
π 提示：存在．如 α＝0，β＝ . 2 π 2．若化简 tan( －β)，能否利用两角差的正切公式？ 2 π 提示：不能．因为 tan 不存在．可切化弦： 2
1 3 ＝2＋1－2sin x＋
3 3 － 3＋ cos x 2 2
＝0.
tan 12° ＋tan 33° (2)∵ 1－tan 12° · tan 33° ＝tan(12° ＋33° ) ＝tan 45° ＝1， ∴tan 12° ＋tan 33° ＝1－tan 12° · tan 33° . ∴tan 12° ＋tan 33° ＋tan 12° · tan 33° ＝1－tan 12° tan 33° ＋tan 12° tan 33° ＝1.

高中数学必修四3.1.1两角和与差的余弦公式

第三章三角恒等变换3.1.1 两角和与差的余弦公式（一）预习指导探究cos(α+β)≠cos α+cos β反例：cos =cos( + )≠cos + cos 问题：cos(α+β),cos α,cos β的关系（二）基本概念1.解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2.探究：在坐标系中α、β角构造α+β角3.探究：作单位圆，构造全等三角形探究：写出4个点的坐标P 1(1,0),P(cos α,sin α)P 3(cos(α+β),sin(α+β)),P 4(cos(-β),sin(-β)), 5.计算31p P ，42p p 31p P =42p p =6.探究：由31p P =42p p 导出公式[cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2展开并整理得所以可记为C )(23π63π67.探究：特征①熟悉公式的结构和特点；②此公式对任意α、β都适用③公式记号C )(8.探究：cos(α+β)的公式以-β代β得：公式记号C )(（三）典型例题选讲：例1不查表，求下列各式的值.(1)cos105°（2）cos15°(3)cos (4)cos80°cos20°+sin80°sin20°(5)cos 215°-sin 215°(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°例2已知sin α= ，α，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值. 103sin 5sin 103cos 554,2135例3：已知cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= ,且，求cos(α+β)的值.例4：cos(α- )=- ,sin( -β)= ,且＜α＜π，0＜β＜，求cos 的值.【课堂练习】1.求cos75°的值2.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°141173440,242912322223.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°4.sin α-sin β=- ,cos α-cos β= , α(0, ), β(0, ),求cos(α-β)的值.5.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)=- ,求cos β.6.已知cos(α-β)= ,求(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2的值. 2121225313531。

高中数学人教A版必修4第三章 3.1.1两角差的余弦公式教学设计

人教A版高中数学必修4 3.1.1两角差的余弦公式
一、教材分析
人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换是在学习三角函数和平面向量两章内容后的延续和发展，共分两大节，4小节内容。

本节课是第一节中的第一小节，通过对两角差的余弦公式的探究和推导，掌握公式的灵活应用，为今后建立其他和差角公式打好基础。

转化和化归思想是本节学习的一个重要思想，在解题中会灵活应用。

二、教学目标
1．知识与技能
正确理解两角差的余弦公式的推导，掌握两角差余弦公式的应用。

2．过程与方法
通过两角差的余弦公式的推导及应用过程，感知应用数学解决问题的方法，体会数形结合的思想方法。

3．情感态度与价值观
通过公式的探究，使学生经历了发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到了数学学习的严谨、求实的科学态度。

三、教学重点、难点
重点：两角差的余弦公式的探究过程及公式的运用。

难点：探究过程的组织和引导；两角差余弦公式的探究思路的发现。

四、教学方法与手段
教学方法：诱思探究教学法
学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

教学手段：多媒体辅助教学
五、教学过程
cos30
-的探究1：怎样联系单位圆上的三
（3）OA
设
的夹角公式得出
)
OA OB
β==
cos sin
αβ+
（以上推导是否有不严谨之处？应=cos cos
αβ+
45
sin
30
cos
45+。

高中数学必修4三角函数优质课件：两角和与差的正弦、余弦公式

s_i_n_α_c_o_s_β_－__co_s_α_s_in__β_____ S(α－β) __
第二页，编辑于星期日：二十三点三十八分。
给角求值问题
[例 1]
cos (1)sin
2200°°【·c常os考1题0°＋型】3sin
10°tan
70°－2cos
40°＝________.
(2)求值：(tan 10°－
＝－2.
第六页，编辑于星期日：二十三点三十八分。
[类题通法] 解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分式值；要善于逆用或变用公式．
(2)原式＝cos(70°＋α)sin(10°＋α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)
＝sin[(10°＋α)－(70°＋α)] ＝sin(－60°)
＝－ 23.
第二十六页，编辑于星期日：二十三点三十八分。
(3)原式＝cos 21°cos 24°＋sin(180°－21°)sin(180°＋24°) ＝cos 21°cos 24°－sin 21°sin 24° ＝cos(21°＋24°)
20°cos 10°＋ sin 20°
3sin
10°－2cos
40°
＝2cos
20°cos
10°sin 30°＋sin sin 20°
10°cos
30°－2cos
40°
＝2cos 20°ssinin2300°°＋10°－2cos 40°
＝2cos
20°sin

两角差的余弦公式教案

两角差的余弦公式一、教材分析1、教材的地位和作用本节课教学内容是人教版《高中数学》必修４第三章３.１.１《两角和与差的余弦》（要三个课时），这是第一课时。

本节内容是三角函数公式的推广，它还涉及到平面向量的内容。

同时，它又是本节及其后面各节公式的“源头”。

因此，两角和与差的余弦公式起着承上启下的核心作用。

两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

2、教学目标知识与技能：能够推导两角差的余弦公式，了解单角与复角三角函数间的联系，理解两角差的余弦公式，并且能够运用两角差的余弦公式求非特殊角的余弦。

过程与方法：通过猜想、探索等数学活动，发现并推导“两角差的余弦公式”，体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过创设问题情景，学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和激发学生的学习兴趣。

3、教学的重点和难点教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式；教学难点：探索过程的组织和恰当引导。

二、教法与学法分析教法：启发引导学生自主学习，调动学生的积极性学法：积极主动探究问题三、教学流程1、提出问题，引入课题如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F 与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F 的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F 作用在物体上的功W ．解：co s(60)W F S F S β=⋅=⋅⋅︒-=30cos(60)β⋅︒-6m Sβ β 8m F提问：1）解决问题需要求什么？2）你能找到哪些与β有关的条件?3）能否利用这些条件求出)60cos(β-︒？2、分析问题，猜想结论要求()β-60cos ︒我们可以转化到求()βα-cos从特殊情况去猜测公式的结构形式令ββπβαπαcos )cos()cos(,-=-=-=则：令ββπβαπαsin )2cos()cos(,2-=--=--=则：请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想．令︒=︒=30,120βα则：︒=︒-︒=-90cos )30120cos()cos(βα＝0 学生思考、交流、猜想：我们的公式的形式应该与αcos ，βcos ，αsin ，βsin 均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“＋”、“－”、“⨯”、“÷”？3、引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示．我们先来讨论最简单的情况：βα、为锐角，且βα>方法一：（利用三角函数线）证明：在单位圆O 中，作α=∠OXP 1，交单位圆于点1P ，作1P O P β∠=， y O P 1 βα-B αβc o s xM βs i n C α 1 P β1 A则βα-=∠XOP ．过点P 作PM 垂直x 轴于M ，A OP PA 于点1⊥，过B OM AB A 于点作点⊥ ，过点C AB PC P 于点，作⊥，则：βcos =OA ，βsin =AP ，且α=∠=∠OX P PAC 1co s sin co s co s sin sin O M O B B M O B C PO A A P ααβαβα=+=+=+=+∴βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-（βα、为锐角，且βα>）提问：当αβ、取任意角的时候，结果又会怎样呢？大家思考一下．方法二：（利用向量）启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？证明：在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角βα、，它们终边与单位圆O 的交点分别为A 、B ，则：OA =)sin ,(cos αα，OB =)sin ,(cos ββco s()||||(co s ,sin )(co s ,sin )O A O B O A O B αβααββ⋅-===αβαβsin sin cos cos +y-1 -1 1 1B )sin ,(cos ββ )sin ,(cos αα αβx 0∴)cos(βα-=αβαβsin sin cos cos + （0≤βα-≤π）公式称两脚差的余弦公式，简记作()βα-C4、运用结论，多方练习1）解决引例中的问题2）例：利用差角余弦公式求cos15°的值。

高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式教案

《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？（请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。

数学必修四312两角和与差的正弦余弦正切公式

能不能由公式 C （ - ）推出 c o s ( ) 的值吗？
二、基础知识讲解
由于 c o s ( ) c o s [ ( )]
c o sc o s ( ) s ins in ( )
c o sc o s sin sin
所以，对于任意角，
有 cos()coscossinsin
c o s ( )( c o s c o s) 2 ( s in s in ) 2 2 2
c( o s) 2 [c (o c so )2 s (si n si)2 n ] 2
一、复习引入
两角差的余弦公式C（α-β）
c o （ s ） c o sc o s s i n s i n
4 4
①利用诱导公式
②利用和(差)角公式
P131练习2,3,4
变通公式
α =(α＋β)－β 2β=（α＋β）- （α-β） β=α- （α-β） 2 α =（α＋β）+ （α-β） β=（α＋β）- α
+=(-)+(-)
2
22
二教P74例1
三、例题分析逆用公式
例4：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
(2)公式中右边有两项 ,中间符号与左边两角间的符号相同 ;
(3)右边三角函数的排列的顺序是:sincos、 cossin. sin15° sin75°
二、基础知识讲解
探究：你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从C（）， S()出发，推导出用任意
证明：∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴△ABC中没有直角，∴tanAtanB≠1.
∵ tan(A+B)= tanAtanB , 1tanAtanB

《两角差的余弦公式》的教学案

两角差的余弦公式说课稿教材分析1、教材所处的地位和作用：《两角差的余弦公式》是新课标人教版数学必修四第三章第一课时的教学内容，是本模块第一章《三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延续和拓展。

其中心任务是通过已学知识,探索建立两角差的余弦公式。

它不仅是前面已学的诱导公式的推广，也是后面其它和（差）角公式推导的基础和核心，具有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。

2、重点，难点以及确定的依据：对本节课来说，学生最大的困惑在于如何得到公式．所以，本节课的教学重点是：两角差的余弦公式的探究和应用；教学难点是：两角差的余弦公式的由来及证明；引导学生通过主动参与,独立探索。

教学目标设计（1）知识与技能：本节课的知识技能目标定位在公式的向量法证明和应用上；学会运用分类讨论思想完善证明；学会正用、逆用、变用公式；学会运用整体思想，抓住公式的本质．在新旧知识的冲撞过程中，让学生自主地对知识进行重组、构建，形成属于自己的知识结构体系．（2）过程与方法：创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想；在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运用过程中，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力．（3）情感、态度与价值观：体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆猜想，培养学生的“问题意识”，使学生感受科学探索的乐趣，激励勇气，培养创新精神和良好的团队合作意识．通过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神．教法设计1、学情分析：学生刚刚学习了同角三角函数的变换及平面向量的知识，对用举反例推翻猜想、运用单位圆、用向量解决三角问题已经有了一定的基础，但还远未达到综合运用这些方法自主探究和证明的水平． 2、教学手段：(1)从知识的认知程序上看，老师看问题从整体到局部，而学生却是从局部到整体。

新人教版数学必修4同步课件：两角差的余弦公式

∴cos β=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
=∵170×<β11<34 π2+,∴47β3=×π3.3143 = 12.
当堂检测
0,
π 2
,若 sin α=35,则 22cos
��-
π 4
=(
A.110
B.170
C.-170
) D.-110
解析因为 α∈
0,
π 2
,sin α=35,所以 cos α=45,
原式=
2 2
cos��cos
π 4
+
sin��sin
π 4
= 12(cos α+sin α)=12
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
解(1)cos(-375°)=cos 375°=cos 15°
=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
=
2 2
×
3 2
+
2 2
×
1 2
=
6+ 4
2.
(2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°
=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15° =cos(75°-15°)=cos 60°=12. (3)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α
于是 cos
π 4
-��
=cos
π4cos α+sin
π4sin
α=
2 2
×
4 5

高中数学人教版必修4教案第三章三角恒等交换 3.1.1两角差的余弦公式

3. 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.教学过程1、提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用向量的知识,如何推导发现cos(α-β)=?如图2,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则OA= ,OB= ,∠AOB=.由此可知,对于任意角α、β都有c os(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))③细心观察C(α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？填空,cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)=__________④如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？.如①cos75°cos45°+sin75°sin45°=？②cos α =cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.是否成立2、应用示例例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.变式训练1. 利用差角余弦公式求sin75°,sin15°的值.2. 利用差角余弦公式求:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.的值例2 已知sin α=54,α∈(2π,π),cos β=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.已知sinα=54,α∈(0,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.例3 已知cosα=71,cos(α+β)=1411-,且α、β∈(0, 2π),求cosβ的值.变式训练课本习题3.1 A 组4、5.题课后练习1、2、3、4、题课堂小结1、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.2.、本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.作业布置课本习题3.1 A组2、3、4、5.题。

新课程人高中数学必修件时两角差的余弦公式

诱导公式及其应用
诱导公式
通过周期性、奇偶性、和差化积等性质，推导出诸如$sin(alpha + 2kpi) = sinalpha$， $cos(alpha + 2kpi) = cosalpha$，$tan(alpha + kpi) = tanalpha$等诱导公式。
诱导公式的应用
利用诱导公式化简三角函数式，求解三角函数的值，证明三角恒等式等。
解析
题目2
解析
利用两角差的余弦公式， $cos(45^circ - 30^circ) = cos 45^circ cos 30^circ + sin 45^circ sin 30^circ$，代入特殊角的三角函数值计算即可。
已知$cos alpha = frac{3}{5}$，$alpha in (0, frac{pi}{2})$，$beta in (0, frac{pi}{2})$，且 $cos(alpha - beta) = frac{12}{13}$，求$cos beta$的值。
知识与技能目标
掌握两角差的余弦公式的推导过程，能够熟练运用公式进行三角函数的求值、化简和证明等。
情感态度与价值观目标
激发学生对数学的兴趣和热爱，培养学生的探究精神和创新意识。同时，引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用，培养学生的应用意识和实践能力。
过程与方法目标
通过公式的推导和应用，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
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学习方法建议
理解记忆
多做练习
在理解公式推导过程的基础上记忆公式，可以加深对公式的理解和记忆。
通过大量的练习，熟悉公式的应用方法和技巧，提高解题速度和准确率。

高中数学人教版必修4课件：3.两角和差余弦公式

感谢观看，欢迎指导！
4.已知sin2,(,3),cos3,
3
2
4
(3,2),求cos()的值.
2
先求 : co s?,sin?
答:2 7 3 5 12
5、已知sin2,(,),cos3,
32
4
(,3),求cos(),cos()
2
解 s： i n2,(,)
32
cos1si2n
5
cos3,(,3) 3
4
2
sin1cos2 7
•
5.根据场景来梳理。一般一个场景可以梳理为一个情节。小说中的场景就是不同时间人物活动的场所。
•
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握小说故事发展的关键。线索有单线和双线两种。双线一般分明线和暗线。高考考查的小说往往较简单,线索也一般是单线式。
•
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅有别的影响，原因在于阅读并非是对作品的简单再现，而是一个积极主动的再创造过程，人生的经历与生活的经验都会参与进来。
cos 1 sLeabharlann n2 sin 1 cos2
1
4 5
2
3 5
1
5 13
2
12 13
cos()
3541233 5 135 13 65
练习：求 c o s( )的值 6 3
65
例3.在△ABC中,cosA= 3 ,cosB= 5
则cosC的值为( 3 3 )。5
13
65
•
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整体感知小说的起点。命题者在为小说命题时,也必定以情节为出发点,从整体上设置理解小说内容的试题。通常从情节梳理、情节作用两方面设题考查。

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2× + × -
2 7
1 3
3 7
5 =
4 2-3 5 . 21
-9-
1.1
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题型一
题型二
题型三
已知 sin α(或 cos α),cos β(或 sin β),求 cos(α-β)的步骤:(1)利用同角三角函数的基本关系式,求得 cos α(或 sin α),sin β(或 cos β)的值;(2)代入两角差的余弦公式得 cos(α-β)的值.
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给值(式)求值问题
【例 2】已知 sin α= ,α∈ 0,
1 3
π 2
,cos β= ,β 是第四象限角,求 cos(α-β)的值.
第三章
三角恒等变换
-1-
3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
-2-
3.1.1
两角差的余弦公式
-3-
1.1
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1.理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路. 2.掌握两角差的余弦公式及其应用.
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两角差的余弦公式 (1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. (2)此公式简记作 C(α-β). 对两角差的余弦公式的理解: (1)公式中的 α,β 都是任意角. (2)差角的余弦公式不能按分配律展开,即一般情况下,cos(α-β)≠cos α-cos β. (3)使用公式时不仅要会正用,还要能够活用、逆用.在很多时候,逆用更能简捷地处理问题.如由 cos 50° cos 20° +sin 50° sin 20° 能迅速地想到 cos 50° cos 20° +sin 50° sin 20° =cos(50° -20° )=cos 30° = ;又如 cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos [(α+β)-β]=cos α. (4)记忆:公式右端的两个部分为同名三角函数的积,连接符号与左边角的连接符号相反.
)
解析:cos(20° -3° )=cos 20° cos 3° +sin 20° sin 3° . 答案:B
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利用 C(α-β)求特殊角的余弦值剖析:常见的特殊角有 0° ,30° ,45° ,60° ,90° ,120° ,135° ,150° ,180° ,其中任意两个角的差的余弦值均能用 C(α-β)求出.这些角是: 30° -45° =45° -60° =120° -135° =135° -150° =-15° , 45° -30° =60° -45° =135° -120° =150° -135° =15° , 135° -60° =75° , 60° -135° =-75° , 135° -30° =150° -45° =105° , 30° -135° =45° -150° =-105° . 由此看来,± 15° ,± 75° ,± 105° 等角的余弦值也均能用 C(α-β)求出.
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题型一
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题型三
题型一
化简求值问题
【例 1】求值: (1)sin 285° ; (2)sin 460° sin(-160° )+cos 560° cos(-280° ). 分析:解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦的形式求解. 解:(1)sin 285° =sin(270° +15° )=-cos 15° =-cos(60° -45° ) =-(cos 60° cos 45° +sin 60° sin 45° )=6+ 2 . 4
2 7
分析:分别求得 cos α,sin β 的值,利用 C(α-β)求得. 解:∵sin α= ,α∈ 0,
1 3 π 2
,
2 3
∴cos α= 1-sin2 α =
2 7
2.
∵cos β= ,β 是第四象限角, ∴sin β=- 1-cos 2 β=3 7
5.
2 3
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=
(2)原式=-sin 100° sin 160° +cos 200° cos 280° =-sin 100° sin 20° -cos 20° cos 80° =-(cos 80° cos 20° +sin 80° sin 20° )=-cos 60° =- . 解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是:①把非特殊角转化为特殊角的和或差;②用公式求值.
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【做一做】 cos(20° -3° )等于( A.cos 20° cos 3° -sin 20° sin 3° B.cos 20° cos 3° +sin 20° sin 3° C.sin 20° sin 3° -cos 20° cos 3° D.cos 20° sin 20° +sin 3° cos 3°