2017-2018学年江苏省溧中、省扬中、镇江一中、江都中学、句容中学高一下学期3月联考试题 数学

2017-2018学年江苏省溧中、省扬中、镇江一中、江都中学、句容中学高一下学期3月联考试题 数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卷相应位置．．．．．．．上． 1．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若︒==60,3A a ，则=Bb si n ▲ ．2．等差数列{}n a 中，已知484,4a a =-=，则12a = ▲ ．3．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若060B =，4=a ，2c =，则=b ▲ ． 4．在等比数列{}n a 中，如果34a =，716a =，那么5a 等于 ▲ ．5．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c B a =cos 2，则A B C ∆的形状 一定是 ▲ 三角形．6．已知数列{}n a 满足111,2n n a a a +==-，则数列{}n a 的前n 项n S = ▲ ． 7．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()a b c a m -+=,，),(b c a n -=，若n m ⊥，则角C = ▲ ．8．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为 ▲ ． 9．已知等比数列{a n }为递增数列，且2510a a =，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝ ▲ ．10．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为 ▲ ．11．一个球从128米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第9次着地时，共经过的路程是 ▲ 米． 12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项1a >，12130,0S S ><.则12313||,||,||,,||a a a a 中最小的项为 ▲ ．13．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ac b =2，且54c o s =B ，则CAt a n 1t a n 1+的值是 ▲ ．14．各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13n n n S a a +=，则21nk k a ==∑ ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答题卷相应位置．．．．．．．上． 15．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等差数列，且公差2=d ，11=n a ，36=n S ，求1a 和n ； （2）若{}n a 为等比数列，且23=a ，63=S ，求1a 和公比q ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2co s co s a b C c B -⋅=⋅. （1）求角C 的大小；（2）若2c =， △ABC .17.（本小题满分14分） 等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1） 若n n S b n=，证明：数列{}n b 为等差数列；（2） 若212S =，1414S =-，求12S 的值.18．（本小题满分16分）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，BC 边上的中线A D m =，且满足2224a b c m +=.（1）求B A C ∠的大小；（2）若2a =，求A B C ∆的周长的取值范围.19．（本小题满分16分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足2222623455a ,a a a a ,=+=+数列{}n b 的通项公式为311n b n =-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）将数列{}n a ,4{}n b +中的公共项按从小到大的顺序构成数列{}n C ，请直接写出数列{}n C 的通项公式； （3）记n n nb d a =，是否存在正整数,m n (5)m n ≠≠，使得5,,m n d d d 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）如图所示，某镇有一块空地O A B ∆，其中3O Akm =，O B m =，90A O B ∠=。

当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖O M N ∆，其中,M N 都在边A B 上，且30M O N ∠=，挖出的泥土堆放在O A M ∆地带上形成假山，剩下的O B N ∆地带开设儿童游乐场. 为安全起见，需在O A N ∆的周围安装防护网.（1）当32A M km =时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地O M N ∆的面积是堆假山用地O A M ∆倍，试确定A O M ∠ 的大小；（3）为节省投入资金，人工湖O M N ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使O M N ∆ 的面积最小？最小面积是多少？2017-2018学年度高一学情调研2018.03数学参考答案与评分标准二、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卷相应位置．．．．．．．上． 1．2 2．12 3．32 4．8 5．等腰 6．2n 7．3πOAB MN8．32π9．2n 10．32或34. 11．383 12．7||a 13．35 14． 3(1)2n n +15．解 （解：（1）由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧=⨯-+=⨯-+3622)1(112)1(11n n na n a ………2分 消1a 得：036122=+-n n ………4分 解得6=n ，11=a ………6分（2）由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧=++=62211121q a q a a q a ………8分消1a 得：3122=++qq q，即0122=--q q………10分解得21-=q 或1， ………12分将q 代入上述方程解得⎩⎨⎧==211a q 或者⎪⎩⎪⎨⎧=-=8211a q ………14分（不讨论1=q ，直接用61)1(313=--=qq a S 解得21-=q 或1；或者漏解1=q 的情况均扣3分）16.解：（1）在△ABC 中，由正弦定理知s in s in s in a b c ABC==R 2=又因为()2co s co s a b C c B -⋅=⋅所以2sin sin co s A co sC B co sC B sin C =+，即2sin co s sin A C A = ……………… 4分 ∵π<<A 0,∴0sin >A ∴1c o s 2C =……………… 6分∵0C π<< ∴3C π= ……………… 8分（2）∵1sin 2A B C S a b C ∆==∴4a b = ……………… 10分又()222223c a b a b co sC a b a b =+-=+- ∴()216a b += ∴4a b +=∴周长为6. ……………… 14分 17. 解（1）设{}n b 的公差为d ，则1(1)2n n n S n a d -=+，112n n b a d -=+1n ≥时，112n n b b d +-=，所以数列{}n b 为等差数列………………7分（2122S =…………………………14分18．解：（1）在A B D ∆中，由余弦定理得：2221c o s 4c m a m a A D B =+-， ①在A C D ∆中，由余弦定理得：2221c o s 4b m a m a A D C =+-， ②因为A D B A D C π∠+∠=，所以co s co s 0A D B A D C ∠+∠=， ①+②得：2222122b c m a +=+， ……………… 4分即2222111224m b c a =+-， 代入已知条件2224a b c m +=，得2222222a b c b c a +=+-，即222b c a b c +-=， ……………… 6分2221c o s 22b c aB AC b c+-==，又0A π<<，所以3B AC π∠=. ……………… 8分（2）在A B C ∆中由正弦定理得s in s in s in3a b c BCπ==，又2a =，所以s in 3b B=，2333c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴24sin 2336a b c B C B π⎛⎫++=++=++ ⎪⎝⎭， ……………… 10分∵A B C ∆为锐角三角形，3B AC π∠=∴⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<<<2020ππC B ,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ……………… 12分 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+32,36πππB，∴s in 62B π⎛⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦． ∴A B C ∆周长的取值范围为(26⎤+⎦． ……………… 16分19．19. （1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由65a =得155a d +=，解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-………………………………5分 (2) 61n C n =+………………………………………………………………………10分(3),假设存在正整数m 、n ，使得d 5，d m ，d n 成等差数列，则d 5＋d n ＝2d m ．31127n n d n -=-所以43＋31127n n --＝311227m m -⨯-， 化简得：2m ＝13－92n -．……… 13分当n －2＝－1，即n ＝1时，m ＝11，符合题意； 当n －2＝1，即n ＝3时，m ＝2，符合题意 当n －2＝3，即n ＝5时，m ＝5(舍去) ； 当n －2＝9，即n ＝11时，m ＝6，符合题意．所以存在正整数m ＝11，n ＝1；m ＝2，n ＝3；m ＝6，n ＝11使得b 2，b m ，b n 成等差数列．…16分20．解：（1）在O A B ∆中，3O A =，O B =90A O B ∠=︒，60O A B ∴∠=︒，在A O M ∆中，33,,602O A A M O A M ==∠=︒，由余弦定理，得2O M =， ……………2分222O MA MO A ∴+=，即O M A N ⊥，30A O M ∴∠=︒，O A N ∴∆为正三角形，所以O A N ∆的周长为9，即防护网的总长度为9km . ………………4分 （2）设(060)A O M θθ∠=︒<<︒，O M N O A M S ∆∆=，11sin 30sin 22O N O M O A O M θ∴⋅︒=⋅，即in O N θ=，…………………6分在O A N ∆中，由3s in 60s in (6030)c o s O N O Aθθ==︒+︒+︒，得2co s O N θ=， ………8分从而2co s θθ=，即1s in 22θ=，由02120θ︒<<︒，得230θ=︒，15θ∴=︒，即A O M ∠15=︒. …………………………………10分 （3）设(060)A O M θθ∠=︒<<︒，由（2）知2co s O N θ=，又在A O M ∠中，由s in 60s in (60)O M O A θ=︒+︒，得2s in (60)O M θ=+︒，…………12分127s in 30216s in (60)c o s O M N S O M O N θθ∆∴=⋅⋅︒=+︒OABMN222==， …………………14分∴当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，O M N ∆ 42k m . ………………………………………16分。