抛物线的标准方程
(完整版)求抛物线的标准方程
（2）若弦AB被焦点分成长为m，n的两部分，求证：
1/m＋1/n＝2/p。
（3）设θ为直线AB的倾斜角，求证：当θ＝90o时，取 得︱AB︱的最小值2p。
（4）求证：焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
（5）若弦AB过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线 相切。
背 葡萄美酒夜光杯,
4cm
景
引 欲饮琵琶马上催.
入
8cm
问题1:如果测量得酒杯杯口宽 4cm，杯深8cm，试求出该抛 物线方程？
4cm 8cm
解：如图建立平面直角坐标系, 则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程
为： x2 = 2 py( p > 0)
A、B点在抛物线上，代入抛
1 物线方程，可得P= 4 ,
B
y2=2px(p>0)，由题意得，点A的坐标为
（40，30）代入方程得 p = 45
4
所以所求抛物线的标准方程是y2=
45
x
2
例2：过抛物线 y2 = 2 px( p > 0)
的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两 点,自A、B向准线作垂线,垂足分别为
C、D,求证: CFD = 90
２
１ ３ ６ ５ ４
(0,0)
e=1
y2 = -2 px x 0, ( p > 0) y R
关于x 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 = 2 py ( p > 0)
y 0, xR
关于y 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 = -2 py y 0,
关于y 轴 对称，无
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程抛物线是平面几何中的一种曲线，它是一种非常常见且重要的曲线形状。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
抛物线的标准方程是描述抛物线形状的数学表达式，它可以帮助我们更好地理解和分析抛物线的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨抛物线的标准方程及其相关知识点。
首先，我们来看一下抛物线的定义。
抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
这个定点被称为焦点，定直线被称为准线。
抛物线是关于准线对称的，它是一条开口向上或向下的曲线。
接下来，我们来推导抛物线的标准方程。
假设抛物线的焦点为F（p,0），准线为直线x=-p，过焦点的直线方程为y=kx。
设抛物线上任意一点为P（x,y），则P到焦点的距离为PF，即√((x-p)²+y²)，P到准线的距离为PM，即|x+p|。
根据抛物线的定义可得：√((x-p)²+y²)=|x+p|。
整理得到：(x-p)²+y²=(x+p)²。
展开得到：x²-2px+p²+y²=x²+2px+p²。
化简得到：y²=4px。
这就是抛物线的标准方程。
从这个方程我们可以看出，抛物线的形状和焦点的位置密切相关，当p为正数时，抛物线开口向右，焦点在右侧；当p为负数时，抛物线开口向左，焦点在左侧。
而抛物线的开口方向由p的正负决定，抛物线的形状由p的大小决定。
抛物线的标准方程还可以进一步转化为其他形式，例如顶点坐标形式和参数方程形式。
顶点坐标形式为(y-k)²=4a(x-h)，其中顶点坐标为(h,k)，参数方程形式为x=at²，y=2at。
这些不同形式的方程可以帮助我们更灵活地应用抛物线的相关知识，解决各种实际问题。
在物理学中，抛物线的运动规律被广泛应用。
例如，抛物线运动是一种自由落体运动，它描述了一个物体在重力作用下的运动轨迹。
抛物线及其标准方程
抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。
抛物线标准方程四种形式
抛物线标准方程四种形式
抛物线的标准方程有四种形式，参数p的几何意义，是焦点到准线的距离。
标准方程为：y²=2px（p>0）；y²=-2px（p>0）；x²=2py（p>0）；x²=-2py（p>0）。
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
在数学中，抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
高中数学公式—抛物线及抛物线标准方程_公式总结
高中数学公式—抛物线及抛物线标准方程_公式总结
高中数学公式之抛物线公式：
抛物线：y=ax^2+bx+c
就是y等于ax 的平方加上bx再加上c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a(x+h)^2 + k
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 以上是小编为大家整理的高中数学公式的抛物线方程，希望便于大家牢记。
抛物线标准方程怎么求
抛物线标准方程怎么求抛物线是二次函数的图像，它是数学中非常重要的一种曲线。
抛物线可以用标准方程来表示，标准方程的形式为y=ax^2+bx+c。
那么，如何求解抛物线的标准方程呢？接下来，我们将详细介绍抛物线标准方程的求解方法。
首先，我们需要明确抛物线的顶点坐标和另一点坐标。
顶点坐标可以通过平移变换或者配方法求得，而另一点坐标可以通过抛物线上已知点的坐标求得。
接下来，我们可以利用顶点坐标和另一点坐标来确定抛物线的标准方程。
首先，我们可以利用顶点坐标来确定抛物线的平移变换，得到抛物线的顶点形式方程。
然后，我们可以利用另一点坐标来确定抛物线的标准方程。
具体步骤如下：1. 确定抛物线的顶点坐标。
首先，我们需要确定抛物线的顶点坐标。
顶点坐标可以通过平移变换或者配方法求得。
如果抛物线的顶点坐标已知，我们可以直接利用这个顶点坐标来确定抛物线的标准方程。
2. 确定抛物线上另一点的坐标。
除了顶点坐标外，我们还需要确定抛物线上另一点的坐标。
这个点的坐标可以通过抛物线上已知点的坐标求得。
有了这个点的坐标，我们就可以利用顶点坐标和这个点的坐标来确定抛物线的标准方程。
3. 利用顶点坐标和另一点坐标确定抛物线的标准方程。
有了顶点坐标和另一点坐标，我们就可以利用这两个点的坐标来确定抛物线的标准方程。
具体地，我们可以利用这两个点的坐标来确定抛物线的平移变换，得到抛物线的顶点形式方程。
然后，我们可以利用另一点坐标来确定抛物线的标准方程。
通过以上步骤，我们就可以求解抛物线的标准方程。
在实际问题中，我们可以根据具体的题目要求来确定抛物线的顶点坐标和另一点的坐标，然后利用这些坐标来求解抛物线的标准方程。
总之，求解抛物线的标准方程需要确定抛物线的顶点坐标和另一点的坐标，然后利用这些坐标来确定抛物线的标准方程。
希望通过本文的介绍，您能够更加深入地理解抛物线标准方程的求解方法。
抛物线的定义及标准方程
y M F E 0 F x 0 M E x M 0 E y l y F 0 y l M
图形
x l
F
x
标准方程 焦点坐标
y 2 2 px( p 0)
( p ,0
x2 2 py( p 0)
(0, p ) 2
x 2 2 py( p 0)
E
0
F
x
x
p ． 2
设M(x，y)为抛物线上的任意一点，点M到l的距离为d，则 |MF| = d
(x
抛物线的标准方程
p 2 p ) y2 x ． 2 2
( p p ，， 0) 准线l的方程为 x ． 2 2
焦点坐标为 y 2 2 px ( p 0)．
抛物线的标准方程
2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （ 1）
y 2 20 x； （2） 2 y 2 5x 0．
(1) F (5,0), 准线x 5. 5 5 (2) F ( ,0)，准线x . 8 8
THANKS
(0, p ) 2
准线方程
x
p 2
x
p 2
y
p 2
y
p 2
例题讲解
例1 根据下列条件求抛物线的标准方程． （1）焦点在x轴的正半轴上，并且p = 5；
图 形
（2）焦点为F（0，－2）； 1 x ． （3）准线方程为 2
(1) y 2 10x
(2) x2 8 y
(3) y 2 2 x
2.3.1抛物线的定义与标准方程
抛物线的定义
一般地，平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的 点的轨迹（集合）叫做抛物线． 定点F叫做抛物线的焦点. 定直线l为抛物线的准线．
抛物线的标准方程及性质
抛物线的标准方程及性质一、抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线 想一想： 定义中的定点与定直线有何位置关系？点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 则P 〉0 求抛物线的方程解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴 设︱KF ︱= p 则F （0,2p ）,l ：x = —2p 。
设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知 ｜MF|=｜MN| 即：2)2(22px y P x +=+-化简得 y 2 = 2px （p ＞0) 二、标准方程把方程 y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F （2P ，0)，l ：x = — 2P而p 的几何意义是： 焦 点 到 准 线 的 距 离｜FK|一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。
1．四种抛物线的标准方程对比图形 标准方程焦点坐标准线方程)0(22>=p px y⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -=)0(22>-=p px y⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 2px =)0(22>=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p2py -=)0(22>-=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来? 顶点在原点三、抛物线的性质设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则（1）范围：抛物线上的点(x ，y ）的横坐标x 的取值范围是x ≥0。
，在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.(3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程抛物线是一种常见的二次曲线，它在数学和物理学中都有着重要的应用。
在本文中，我们将讨论抛物线的标准方程，以及如何通过标准方程来描述和分析抛物线的特性。
首先，让我们来看一下抛物线的定义。
抛物线是指平面上所有到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
这个定点和定直线分别称为焦点和准线。
抛物线是一种对称图形，其轴是垂直于准线的直线，过焦点并与准线垂直的直线称为对称轴。
接下来，我们来看一下抛物线的标准方程。
一般来说，抛物线的标准方程可以写成：y = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c是常数，且a不等于0。
这个方程描述了抛物线在坐标系中的形状和位置。
具体来说，a决定了抛物线的开口方向，正值表示抛物线开口向上，负值表示抛物线开口向下；b决定了抛物线在x轴上的平移；c决定了抛物线在y轴上的平移。
在实际应用中，我们经常需要根据给定的抛物线的顶点和焦点等信息来确定其标准方程。
例如，如果已知抛物线的顶点坐标为(h, k)，则可以通过平移变换将抛物线平移到以原点为顶点的位置，然后再根据焦点的位置确定a的值，最终得到抛物线的标准方程。
除了标准方程之外，抛物线还可以用其他形式的方程来描述，例如顶点形式和焦点形式。
这些形式的方程在不同的情况下可能更加方便和直观，因此在实际问题中也经常会用到。
最后，让我们来看一些抛物线的性质。
抛物线是一种平滑的曲线，其在顶点处有最值，且关于对称轴对称。
这些性质使得抛物线在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在抛物线运动和抛物面天线的设计中。
总之，抛物线是一种重要的曲线，在数学和物理学中都有着广泛的应用。
通过标准方程，我们可以描述和分析抛物线的各种特性，从而更好地理解和应用抛物线的知识。
希望本文能够帮助读者更好地理解抛物线的标准方程及其应用，同时也希望读者能够进一步深入学习和研究抛物线的相关知识。
3.3.1抛物线的定义及其标准方程
生活中存在着各种形式的抛物线
抛物线及标准方程
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
一、定义
焦点.
准线.
定直线l 叫做抛物线的
定点F叫做抛物线的
二、标准方程
如何建立直角 坐标系？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、标准方程
E
设 M(x,y) ，令︱EF︱= p
2. 根据抛物线标准方程的形式如何判断抛物线的焦点位置？
问题：
不是,它是一条过定点垂直于定直线的直线
焦点：看一次项的变量及符号如：一次项为 x且符号为正,则焦点在X轴正半轴
例2 求下列抛物线的交点坐标和准线方程. （1）y²=8x； （2）x²+4y=0.
练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
练习
小 结 ：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法
2、抛物线的焦点坐标和准线方程
3、注重数型结合的思想。
由定义可知，
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程
它表示的抛物线焦点在X轴的正半轴
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式，
图 形
焦 点
准 线
标准方程
1.如果定点恰好在定直线上,点M的轨迹还是抛物线吗?
（1）焦点是F（3，0）；
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =12x
y2 =x
y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
焦点坐标
准线方程
（1）
（2）
（3）
（4）
（5，0）
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程2篇抛物线是数学中一种重要的曲线形式，通过其标准方程可以描述出抛物线的形状特征。
本文将介绍抛物线的标准方程，并阐述其应用领域和数学意义。
一、抛物线的标准方程抛物线的标准方程是形如y = ax^2 + bx + c的二次方程，其中a、b、c为实数常数，且a ≠ 0。
这个方程是由于抛物线的特性而得出的，并可以帮助我们更好地理解和分析抛物线。
在标准方程中，a决定了抛物线的开口方向和大小，当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
b决定了抛物线在x 方向的平移，c决定了抛物线在y方向的平移。
抛物线的标准方程提供了对抛物线特性的直观描述，并可以通过调整参数a、b、c的值来改变抛物线的形状和位置。
二、抛物线的应用领域抛物线在不同领域中都有着广泛的应用，并且在自然界中也可以找到很多与抛物线相似的形状和运动。
1. 物理学中的应用：抛物线在物理学中被广泛运用，特别是在投射运动以及力学、光学、电磁学等领域。
抛物线的运动特性使其成为研究物体受力后的运动轨迹的基础模型。
2. 工程学中的应用：抛物线在航天工程、建筑设计等领域中有着重要的应用。
例如，火箭发射的运动轨迹、拱顶的设计、天桥的曲线形状等，都可以使用抛物线来描述和计算。
3. 经济学和金融学中的应用：抛物线在经济学和金融学中常用于描述供求关系、市场走势和价值曲线等。
通过对抛物线的分析和研究，可以帮助人们更好地理解和预测市场发展趋势。
4. 生物学中的应用：抛物线形状在生物学中也有重要意义。
例如，生物体在空中的运动轨迹、胚胎发育的曲线形态等，都可以使用抛物线进行描述和分析。
三、抛物线的数学意义抛物线在数学中具有重要的意义，它是几何学和代数学的重要研究对象，并与二次函数密切相关。
1. 几何解读：抛物线是焦点到直线的距离相等的点的轨迹，也可由动点在平面上沿着一定方向的投影路径描述。
这些几何特性对于理解和应用抛物线具有重要作用。
抛物线的标准方程公式
抛物线的标准方程公式抛物线是解析几何中的基本曲线之一，它具有许多重要的性质和应用。
在学习抛物线的过程中，了解其标准方程公式是至关重要的。
本文将介绍抛物线的标准方程公式及其推导过程，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来回顾一下抛物线的定义。
抛物线是平面上到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹。
这个定点称为焦点，定直线称为准线。
抛物线在数学和物理学中都有广泛的应用，比如抛物线运动、抛物线反射定律等。
接下来，我们来推导抛物线的标准方程公式。
假设抛物线的焦点为F（p,0），准线为直线x=-p，过焦点的直线方程为y=kx。
设抛物线上一点为P(x,y)，则P到焦点的距离为PF=√((x-p)²+y²)，到准线的距离为PM=|x+p|。
根据抛物线的定义，有PF=PM，即√((x-p)²+y²)=|x+p|。
两边平方得到(x-p)²+y²=(x+p)²，展开得到x²-2px+p²+y²=x²+2px+p²，化简可得y²=4px。
这就是抛物线的标准方程公式。
抛物线的标准方程公式为y²=4px，其中p为焦点到准线的距离。
这个公式描述了抛物线的基本形状和特征。
当p>0时，抛物线开口向右；当p<0时，抛物线开口向左。
当p的绝对值越大时，抛物线越“尖”，开口越小；当p的绝对值越小时，抛物线越“扁”，开口越大。
因此，通过标准方程公式，我们可以直观地了解抛物线的形状和方向。
除了标准方程公式，抛物线还有其他常见的方程形式，比如顶点坐标形式和一般式形式。
顶点坐标形式为(y-k)²=4a(x-h)，其中顶点坐标为(h,k)，焦点到顶点的距离为|a|。
一般式形式为Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，其中A、B、C不全为0。
这些形式都可以通过一定的变换和化简得到抛物线的标准方程公式。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程抛物线是一条常见的数学曲线，其在物理学、工程学和数学学科中都有广泛的应用。
它的标准方程是一个二次方程，用中文来讲述抛物线的特性和应用，将会是一段长篇文章。
以下是一篇关于抛物线标准方程的3000字文章。
抛物线是一种经典的二次曲线，又称为牛顿曲线，是由希腊数学家阿基米德所研究和完善的。
它的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于零。
首先，我们来研究抛物线的基本特性。
抛物线在二维直角坐标系中呈现出特殊的对称性。
通过观察标准方程可以发现，抛物线关于y轴对称，且开口的方向取决于a的正负。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点处于坐标系的原点O(0, 0)处，这是因为在标准方程中，当x等于零时，y就等于c，也即抛物线的顶点在y轴上。
通过进一步研究抛物线的导数，我们可以找到其切线和法线的方程。
抛物线在顶点处的切线垂直于x轴，其方程为x = 0。
法线则是与切线垂直的，经过顶点的直线，其方程可通过将切线的x和y互换得到，即y = 0。
这些特性使得抛物线在物理学和工程学的应用中发挥着重要的作用。
抛物线的对称性和特殊的形状使得它在现实世界中有着广泛的应用。
一个典型的例子是发射物体的抛物线轨迹。
当我们将一个物体从高处抛出，只受重力的作用，它会在空中形成一个以抛出点为顶点的抛物线轨迹。
通过研究这个轨迹，我们可以计算出物体的飞行距离、飞行时间以及最高点的高度。
这对于射击、火箭发射等应用来说都是至关重要的。
除了物体的抛射轨迹之外，抛物线还在天文学中有着广泛的应用。
行星的轨道和彗星的轨迹都可以通过抛物线来描述。
在数学上，我们可以通过知道行星或彗星的初始速度和位置，来求解其轨道的形状和位置。
这对于天文学家来说是非常重要的，因为它们可以通过计算行星或彗星的轨道，来预测其位置和行为。
此外，抛物线还在天然界中出现。
例如，我们经常看到的喷泉水柱形成的水流就呈现出抛物线的形状。
抛物线标准方程
小 结
1.抛物线的定义及活用定义解题. 抛物线的定义及活用定义解题. 抛物线的定义及活用定义解题 2.抛物线的标准方程. 抛物线的标准方程. 抛物线的标准方程
顶 点 在 原 点 对称轴 为x轴 对称轴 为y轴 标准方程为 + y2= 2px(p>0) 标准方程为 + x2= 2py(p>0) 开口与x轴正向同向 开口与 轴正向同向:y2=2px 轴正向同向 开口与x轴正向反向 开口与 轴正向反向:y2=-2px 轴正向反向 开口与y轴正向同向:x2=2py 开口与y轴正向反向:x2=-2py
2
四种抛物线的标准方程对比 图形 标准方程
y = 2 px
2
(p > 0)
2
抛物线的标准方程的 形式上的共同特点? 形式上的共同特点?
如何根据抛物线的标 y = 2 px 准方程来判断抛物线 ( p > 0) 的焦点位置,开口方 的焦点位置, 向? 2 焦点在一次项字母 x = 2 py 1 , 焦点在 一次项字母 对应的坐标轴上. ( p > 0 ) 对应的坐标轴上. 一次项的系数的符号 2 ,一次项的系数的符号 2 x = 2 py 决定了抛物线的开口方 ( p > 0) 向.
3.已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线 已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线 方程时,应先"定位" 定量" 方程时,应先"定位";后"定量".
�
p 焦点在x轴负半轴上 解:(1)焦点在 轴负半轴上, =5 焦点在 轴负半轴上, 2
所以所求抛物线的标准方程是: 所以所求抛物线的标准方程是
y = 20 x
2
求满足下列条件的抛物线的标准方程: 例2.求满足下列条件的抛物线的标准方程: 求满足下列条件的抛物线的标准方程 (2)焦点在直线 焦点在直线3x-4y-12=0上 焦点在直线 上 由题意, 解:(2)由题意,焦点应是直线 由题意 焦点应是直线3x-4y-12=0 轴或y轴的交点 与x轴或 轴的交点, 轴或 轴的交点, 即A(4,0)或 B(0,-3) ( , ) ( , ) 当焦点为A点时,抛物线的方程是y2=16x 当焦点为 点时,抛物线的方程是 点时 当焦点为B点时,抛物线的方程是 当焦点为 点时,抛物线的方程是x2=-12y 点时
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高二数学学案
使用时间：2013年 12 月 4 日 编印者：尹钰 审定者：高二数学组
一、学习目标：
掌握抛物线的定义、标准方程 二、自主学习： 1、抛物线的定义
平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离 的点的轨迹叫做抛物线。
点F 叫做抛物线的 ，定直线l 叫做抛物线的 . 2、抛物线标准方程的推导过程
由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：
三、导学交流：
【例1】(1)已知抛物线的标准方程是y 2=6x ，求它的焦点坐标和准线方
程； (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．
【例2】一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为4.8m ，深度为0.5m ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
四、随堂检测
1．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离是（ ）
A 4
B 2
C 1
D 2
1
2.抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是 ( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18
D.⎝
⎛⎭⎪⎫
0，14
3．根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：
(1)焦点是F(3，0)；（2）准线方程是4
1-=x (3)焦点到准线的距离是2．
4．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)x 2=2y ； (2)4x 2+3y=0； (3)2y 2+x=0； (4)y 2-6x=0．
5．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形： (1)顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6； (2)顶点在原点，对称轴是y 轴，并经过点p(-6，-3)．
五、拓展延伸
1.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
2.抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )
A ．20
B ．8
C ．22
D ．24
3.到点A(－1,0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是________．
4.若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆12
62
2=+y x 的右焦点重合，则p 的值等
于________．
5.以双曲线x 216－y 2
9＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是
__________．。