1.1.3-2集合的基本运算二

例 4 (1)已知全集 U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0， x∈U}， 求∁UA； (2)设 U＝{2,3， a2＋2a－3}，A＝{b,2}，∁UA＝{5}， 求实数 a 和 b 的值．
(1)解 设 x1、x2 为方程 x －5x＋q＝0 的两根， 则 x1＋x2＝5， 5 ∴x1≠x2(否则 x1＝x2＝ ∉U，这与 A⊆U 矛盾)． 2 而由 A⊆U 知 x1、x2∈U，又 1＋4＝2＋3＝5， ∴q＝ 4 或 q＝6.
⑴ ⑶
UU
U

U

A) A
⑵
U
= U
(
如：U＝{1，2，3，4，5，6},A＝{1，3，5} 则C
UA
= {2，4，6}.
例1填空题． ⑴若S＝{2,3,4}，A＝{4,3}，则 则
S A＝
{2} .
⑵若S＝{三角形}，B＝{锐角三角形}，
SB
＝ {直角三角形或钝角三角形} ．
S A＝
⑶若S＝{1, 2, 4, 8}，A＝，则
一、全集与补集 在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果。
如方程(x-2)(x2-3)=0的解集 在有理数范围内只有一个解，即 A={x∈Q|(x-2)(x2-3)=0}={2}, 在实数范围内有三个解2,即 B={x∈R|(x-2)(x2-3)=0}={2,
3 , 3 }。
在不同的范围内研究问题，结果是不同的，为 此，需要确定研究对象的范围.
3．50 名学生中，会讲英语的有 36 人，会讲日语的 有 20 人，既 不会讲英语也不会讲日语的有 8 人，则既会讲英语又会讲日语的 人数为( A．20
B
) B．14 C．12 D．10
如 图 所 示 ，至 少 会 讲英 语 、 日语 中 一 种 语言 的 学 生有 50-8=42(人)，不妨设 A={会讲英语的学生}，B={会讲日语 的学生}，则有 card(A)=36，card(B)=20， card(A∪B)=42， 故既会讲英语又会讲日语的学生人数为 card(A∩B)=36+20-42=14.
S .
⑷已知A＝{0, 2, 4}， U A＝{－1, 1}， . B ＝{－1, 0, 2}，则B＝{1，4} U
(5) 设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三 角形},B={x|x是钝角三角形}求A∩B,CU(A∪B).
A B , A B {x | x是锐角三角形或钝角三角形}, CU A B {x | x直角三角形}.
练3.已知全集U {2， a 2 2a 3
解：由题可知a 2 +2a-3=5,解得a=-4或a=2. 当a=-4时，I2a-1I=9,与题不合，舍去， 当a=2时，I2a-1I=3，合题。 综上可得a=2.
∁RA＝{x|1≤x≤2}；∁RB＝{x|－3≤x<1}； A∩B＝{x|x<－3，或 x>2}；A∪B＝R.
7．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|4x＋p<0}， 且 B⊆∁UA，求实数 p 的取值范围．
p x|x<－ . x>2}，B＝ 4
解析 如图，
B. a<1 D. a>2
∵B={x|1<x<2}，
∴∁RB={x|x≥2 或 x≤1}．
若要 A∪(∁RB)=R，必有 a≥2.
6．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x<1，或 x>2}， 集合 B＝{x|x<－3，或 x≥1}，求∁RA，∁RB， A∩B，A∪B.
解 借助于数轴，如图可知
练1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合 A {x | x 5x a 0},
2
B {x | x bx 12 0}, 已知 (CU A) B {1,3, 4,5}，求 a, b
2
的值.
a 6, b 7
练2.已知集合A {3,6}，B {x | x 2 ax b 0}, A B A, A B {3}, 求a, b。
定义
对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成 简称为集合A的补集，记作
的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，
CU A
即Cu A {x | x U , 且x A}
A
U
CU A
注意：
研究补集必须是在全集的条件下研究，而全集因研究 问题不同而异． 补集可以看成是集合的又一种“运算”， 它具有以下性质：若全集为U，AU，则
练习
7

A.CU N M
C.CU M CU N
=
3.M , N是全集U的非空子集，若CU M N , 则 ____
B.M N

D.CU N M
5、设全集U ，,， ，,，，集合A ，a 5 ,9, C R A 5,7, 1 ,3 5, 7 9 1, a ？ 6、U x R ( x 1)( x 2 1)( x 2) 0 , M {1}, 求CU M 求CU ( A B ) 8、如图，I是全集，M , P, S是I的三个子集， 则阴影部分所表示的集合是？ A、 P ) S (M C、 P ) S (M B、 P ) C I S (M D、C I ( M P ) S
解
∁UA＝{x|x<－1 或 p ∵B⊆∁UA，∴－ ≤－1 4 ∴p≥ 4，即 p 的取值范围是{p|p≥4}．
变式练习.已知全集U R, A x 1 x 3, B x 0 x m, 则使B CU A 成立的 所有m值的集合是什么？
例2 设U是小于9的正整数，A={1,2,3}，B={3,4,5,6}.
求A B, A B, CU A, CU B;
A CU B , A CU B , CU A B, CU A B;
CU A CU B , CU A CU B , CU A B , CU A B .
4．已知 U＝{x|－1≤x≤3}，A＝{x|－1<x<3}， B＝{x|x2－2x－3＝0}，C＝{x|－1≤x<3}， 则下列关系正确的是 A．∁UA＝B C．∁UA⊇C ( A ) B．∁UB＝C D．A⊇C
解析
B＝{－1,3}，∁UA＝{－1,3}．
5．已知集合 A＝{x|x< a}，B＝{x|1<x<2}，且 A∪(∁RB)＝R， 则实数 a 的取值范围是( C ) A． a≤2 C． a≥2
定 义
如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部
元素，这个就称这个集合为全集（universe set）
全集常用U表示.
注意：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它 含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素.因此全集 因问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集看作全集. 观察下列三个集合： U＝{高一年级的同学} A＝{高一年级参加军训的同学} B＝{高一年级没有参加军训的同学} 问：这三个集合之间有何关系？ 显然，集合U中除去集合 B 之外就是集合 A ． A B
U
0，5 2，3 A
4,7
1，6 B
变式练习： 已知全集 I={小于 10 的正整数}，其子集 A、 满足 (CI A) (CI B) {1,9} ，(CI A) B {4,6,8} ， B A B {2} . 求集合 A、B.
09广(理) 已知全集U＝R，设集合M=﹛x︳-2≤x≤2﹜与N ＝﹛x︳x=2k-1,k∈N﹡﹜的关系的韦恩图（Ｖenn）如图 1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( C ) A．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
CU A {x | x 3或x 7} CU B {x | x 2或x 10}
CU A B {x | 2 x 3或7 x 10}
A (CU B) {x | x 2或3 x 7或x 10}
M s p
4、A x 1 x 2, C R A ?
7、设全集U R，A x R 2 x 9, B x R 1 x 6


关系比较复杂的集合问题常用维恩图来解决 9 设全集 U {x | x 7, x N }，已知 U A) B {1,6} , （C CU ( A B) {0,5},A (CU B) {2,3},求集合A、B.
对于任意的一个集合A都有
（1） A∪( CU A) = U ； （2） A∩( C U A) =； （3） CU (CU A) = 狄摩根定律： U
A
.
CUA
A
∁∪(A∪B)＝ ∁∪A∩∁∪B, ∁∪(A∩B)＝ ∁∪A∪∁∪B，
例3.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求
2
为所求．
变式迁移:已知 U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝ 0}，若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，求 A∪B.
解 由(∁UA)∩B＝{2}，∴2∈B 且 2∉A. 由 A∩(∁UB)＝{4}， ∴4∈A 且 4∉B. 42＋4p＋12＝0 分别代入得 2 ， 2 －5×2＋q＝0 ∴p＝－7，q＝6，∴A＝{3,4}，B＝{2,3}， ∴A∪B＝{2,3,4}．
练习
1．已知 U 为全集，集合 M、N 是 U 的子集，若 M∩N＝N，则 A．(∁UM)⊇(∁UN) C．(∁UM)⊆(∁UN) (
C
)
B．M⊆(∁UN) D．M⊇(∁UN)
2． 图中阴影部分可用集合 M、 表示为( P