函数值域求法十一种(免费)(2)

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函数定义域值域求法十一种

高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足x 2 2x 15 0①11 或 x>5。

3且x 11} {x |x 5}。

1例2求函数y '定义域。

*16 x 2解：要使函数有意义，则必须满足sinx 0 ① 16 x 2 0② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得4x4④由③和④求公共部分，得4 x 或 0 x故函数的定义域为(4，］ (0,］评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

(1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。

(2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。

例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 23 x 3，故函数的定义域是｛x |x(2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。

即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。

三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为 R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。

分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项例1求函数y,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。

函数值域求法十一种精编版

函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x1y =的值域。

解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x3y -=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x=故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数值域求法大全

函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域。

解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1）∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

函数值域求法大全

函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

本文介绍了十一种函数值域求法。

首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。

例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。

再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。

其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。

例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。

还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。

除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。

这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。

总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。

换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。

其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。

换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。

例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。

代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。

由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。

因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。

又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。

函数值域求法十一种

函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。

例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。

解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。

解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。

由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。

故函数的值域是：$[2,4]$。

3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。

解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。

1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。

2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。

4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。

解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。

例13.求函数y sinx cosx的值域。

解：由三角函数的性质可知。

1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。

高中函数值域的12种解法(含练习题)

高中函数值域的12 种求法一、观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1 求函数y＝3＋√ （2－3x）的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√（2－3x）的值域。

解：由算术平方根的性质，知√（2－3x）≥ 0，故3＋√（2－3x）≥ 3。

∴函数的知域为[3 ，＋∞]。

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（ 1 ）被开方数的非负性，（2 ）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y＝[x]（0 ≤ x≤ 5）的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二、反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2 求函数y＝（x＋1）/（x ＋2）的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y＝（x＋1）/（x ＋2）的反函数为:x＝（1 －2y）/ （y－1 ）,其定义域为y≠ 1 的实数,故函数y 的值域为｛y∣ y≠ 1,y∈ R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y＝（10 x＋10 -x）/（10 x－10-x）的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣ y<－ 1 或y> 1 ｝）三、配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。

例3：求函数y＝√（－x2＋x＋2）的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2＋x＋2≥ 0,可知函数的定义域为x∈[－1 ，2]。

此时－x2＋x＋2＝－（x－1/2）2＋9/4 ∈ [0，9/4] ，∴ 0≤√ （－x2＋x＋2）≤ 3/2, 函数的值域是[0，3/2] 。

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

(完整版)函数值域求法十一种

函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x1y =的值域。

解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x3y -=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2xy 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x222=++-在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。

在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。

1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。

例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。

2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。

例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。

通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。

3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。

例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。

4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。

5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。

6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。

求函数值域的方法大全

求函数值域的方法大全函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

找到函数的值域可以帮助我们了解函数的整体走势和性质。

下面是一些常见的方法帮助我们求函数值域。

1.用图形法求值域：使用图形来观察函数的形状和趋势，根据图形的有界性和单调性来确定函数值域的范围。

例如，如果函数是上凸的，那么它的值域可能是从函数的最小值开始一直到正无穷大。

如果函数是下凸的，那么它的值域可能是从负无穷大到函数的最大值。

2.用定义法求值域：通过函数的定义式，将自变量的范围带入函数，计算函数的输出值，从而找到函数的可能取值。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以把不同的x值代入函数中，并记录下函数的输出值，得到一个可能的值域的集合。

3.用反函数法求值域：如果函数具有反函数，可以通过求反函数的定义域来求原函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x，定义域为非负实数，因此原函数的值域也是非负实数。

4.用导数法求值域：对于给定范围内的函数，利用导数求得函数的驻点和拐点，结合函数的单调性和图像的形状来求值域。

例如，当函数的导数为零时，这些点可能是函数的最大值或最小值，通过比较这些点的对应函数值，可以确定函数的值域的上下界。

5.用极限法求值域：当函数的定义域是无界的时候，可以利用函数的极限来求值域。

通过求函数在正无穷大和负无穷大时的极限，可以确定函数的值域的上下界。

6.用解析法求值域：对于一些特定形式的函数，可以通过解析方法求值域。

例如，对于一次函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数，如果a>0，则函数的值域是从负无穷大到正无穷大的实数集合。

7.用二次函数求值域：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，可以通过将二次函数转化为顶点形式来求值域。

首先通过求导数找到二次函数的极值点（即顶点），然后结合函数的开口方向和顶点的y坐标，可以确定二次函数的值域。

8.用指数和对数函数求值域：对于指数函数f(x)=a^x和对数函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1，可以利用指数和对数函数的性质来求值域。

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。

函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。

下面就函数的值域的求法，举例说如下。

一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

高中数学函数值域的种求法总结

高中数学函数值域的种求法总结高中数学中，函数值域是指函数在定义域内所有可能的取值的集合。

求函数值域是解决各类函数问题的重要方法之一、下面将总结高中数学中常用的求函数值域的11种方法。

1.利用定义法：根据函数的定义，直接求解函数的取值范围。

例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方永远非负，所以其值域为[0,+∞)。

2. 利用图像法：通过绘制函数的图像，观察图像的上下界即可求得函数的值域。

例如，对于函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，故其值域为[-1, 1]。

3.利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用函数的对称性来快速求解其值域。

例如，对于奇函数f(x)=x^3，由于x^3关于原点对称，故其值域为整个实数轴。

4.利用函数的性质：通过函数的特点和性质来求解其值域。

例如，对于指数函数f(x)=a^x，由于指数函数永远大于0，所以其值域为(0,+∞)。

5. 利用最值的求解方法：对于具有最值的函数，可以通过求解最值来确定函数的值域。

例如，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，由于 a > 0，故二次函数的开口向上，函数的最小值为顶点的 y坐标，可以通过求解顶点坐标来确定函数的值域。

6.利用函数的递增性或递减性：对于递增函数或递减函数，可以根据函数递增性或递减性来求解其值域。

例如，对于递增函数f(x)=2x+1，由于斜率大于零，函数单调递增，故值域为(-∞,+∞)。

7. 利用函数的周期性：对于具有周期性的函数，可以利用函数的周期性来求解其值域。

例如，对于正弦函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值在一个周期内是重复的，故其值域为 [-1, 1]。

8. 利用函数的复合性：对于复合函数，可以将函数拆解成多个简单的函数，然后求解每个简单函数的值域，最后将值域组合起来得到复合函数的值域。

例如，对于函数 f(x) = sqrt(x^2 + 1)，可以拆解成 f(x) = g(h(x)), 其中 g(x) = sqrt(x) 和 h(x) = x^2 + 1，然后求解 g(x) 和h(x) 的值域，最后得到 f(x) 的值域。

函数定义域值域求法(全十一种)

高中函数界说域和值域的求法总结之南宫帮珍创作一、惯例型即给出函数的解析式的界说域求法, 其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组, 解此不等式（或组）即得原函数的界说域.例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的界说域. 解：要使函数有意义, 则必需满足由①解得 3x -≤或5x ≥. ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5.故所求函数的界说域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且.例2 求函数2x 161x sin y -+=的界说域. 解：要使函数有意义, 则必需满足由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π，③ 由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部份, 得故函数的界说域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④怎样求公共部份？你会吗？二、笼统函数型笼统函数是指没有给出解析式的函数, 不能惯例方法求解, 一般暗示为已知一个笼统函数的界说域求另一个笼统函数的解析式, 一般有两种情况.（1）已知)x (f 的界说域, 求)]x (g [f 的界说域.（2）其解法是：已知)x (f 的界说域是［a, b ］求)]x (g [f 的界说域是解b )x (g a ≤≤, 即为所求的界说域.例3 已知)x (f 的界说域为［－2, 2］, 求)1x (f 2-的界说域. 解：令21x 22≤-≤-, 得3x 12≤≤-, 即3x 02≤≤, 因此3|x |0≤≤, 从而3x 3≤≤-, 故函数的界说域是}3x 3|x {≤≤-.（2）已知)]x (g [f 的界说域, 求f(x)的界说域.其解法是：已知)]x (g [f 的界说域是［a, b ］, 求f(x)界说域的方法是：由b x a ≤≤, 求g(x)的值域, 即所求f(x)的界说域.例4 已知)1x 2(f +的界说域为［1, 2］, 求f(x)的界说域.解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，. 即函数f(x)的界说域是}5x 3|x {≤≤. 三、逆向型即已知所给函数的界说域求解析式中参数的取值范围.特别是对已知界说域为R, 求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决.例5 已知函数8m mx 6mx y 2++-=的界说域为R 求实数m 的取值范围.分析：函数的界说域为R, 标明0m 8mx 6mx 2≥++-, 使一切x ∈R 都成立, 由2x 项的系数是m, 所以应分m=0或0m ≠进行讨论.解：当m=0时, 函数的界说域为R ；那时0m ≠, 08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式, 其对一切实数x 都成立的充要条件是综上可知1m 0≤≤.评注：很多学生容易忽略m=0的情况, 希望通过此例解决问题. 例6 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的界说域是R, 求实数k 的取值范围.解：要使函数有意义, 则必需3kx 4kx 2++≠0恒成立, 因为)x (f 的界说域为R, 即03kx 4kx 2=++无实数①当k ≠0时, 0k 34k 162<⨯-=∆恒成立, 解得43k 0<<；②当k=0时, 方程左边=3≠0恒成立.综上k 的取值范围是43k 0<≤.四、实际问题型这里函数的界说域除满足解析式外, 还要注意问题的实际意义对自变量的限制, 这点要加倍注意, 并形成意识.例7 将长为a 的铁丝折成矩形, 求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式, 并求函数的界说域. 解：设矩形一边为x, 则另一边长为)x 2a (21-于是可得矩形面积.ax 21x 2+-=. 由问题的实际意义, 知函数的界说域应满足2a x 0<<⇒.故所求函数的解析式为ax21x y 2+-=, 界说域为（0, 2a ）.例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架, 如图, 若矩形底边长为2x, 求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式, 并求界说域.解：由题意知, 此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积, 如图.因为CD=AB=2x, 所以x CD π=⋂, 所以2xx 2L 2CD AB L AD π--=--=⋂,故2x 2x x 2L x 2y 2π+π--⋅= 根据实际问题的意义知故函数的解析式为Lxx )22(y 2+π+-=, 界说域（0, 2L +π）.五、参数型对含参数的函数, 求界说域时, 必需对分母分类讨论.例9 已知)x (f 的界说域为［0, 1］, 求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的界说域.解：因为)x (f 的界说域为［0, 1］, 即1x 0≤≤.故函数)x (F 的界说域为下列不等式组的解集：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0, 即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a1x a a 1x a即两个区间［－a, 1－a ］与［a, 1+a ］的交集, 比力两个区间左、右端点, 知（1）那时0a 21≤≤-, F （x ）的界说域为}a 1x a |x {+≤≤-；（2）那时21a 0≤≤, F （x ）的界说域为}a 1x a |x {-≤≤；（3）当21a >或21a -<时, 上述两区间的交集为空集, 此时F（x ）不能构成函数.六、隐含型有些问题从概况上看其实不求界说域, 可是不注意界说域, 往往招致错解, 事实上界说域隐含在问题中, 例如函数的单调区间是其界说域的子集.因此, 求函数的单调区间, 必需先求界说域. 例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间.解：由03x 2x 2>++-, 即03x 2x 2<--, 解得3x 1<<-.即函数y 的界说域为（－1, 3）. 函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==，复合而成的.4)1x (3x 2x t 22+--=++-=, 对称轴x=1, 由二次函数的单调性,可知t 在区间]1(，-∞上是增函数；在区间)1[∞+，上是减函数, 而t log y 2=在其界说域上单调增； 3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，=∞+--=-∞- , 所以函数)3x 2x (log y 22++-=在区间]11(，-上是增函数, 在区间)31[，上是减函数. 函数值域求法十一种1. 直接观察法对一些比力简单的函数, 其值域可通过观察获得. 例1. 求函数x 1y =的值域.解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域. 解：∵0x ≥故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一. 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2xy 2-∈+-=的值域.解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时, 4y min =, 那时1x -=, 8y max = 故函数的值域是：[4, 8] 3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域.解：原函数化为关于x 的一元二次方程（1）那时1y ≠, R x ∈解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时, 0x =, 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域.解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的界说域由0)x 2(x ≥-, 得2x 0≤≤由0≥∆, 仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根, 而不能确保其实根在区间[0, 2]上, 即不能确保方程（1）有实根, 由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围年夜, 故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.可以采用如下方法进一步确定原函数的值域. ∵2x 0≤≤21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即那时22222x 41-+=,原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时, 若原函数的界说域不是实数集时, 应综合函数的界说域, 将扩年夜的部份剔除. 4. 反函数法直接求函数的值域困难时, 可以通过求其原函数的界说域来确定原函数的值域.例6. 求函数6x 54x 3++值域.解：由原函数式可得：3y 5y 64x --=则其反函数为：3x 5y 64y --=, 其界说域为：53x ≠故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53, 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时, 可以利用已学过函数的有界性, 反客为主来确定函数的值域.例7. 求函数1e 1e y xx +-=的值域.解：由原函数式可得：1y 1y e x -+=∵0e x >∴01y 1y >-+解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-例8. 求函数3x sin xcos y -=的值域.解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-, 可化为：即1y y 3)x (x sin 2+=β+∵R x ∈∴]1,1[)x (x sin -∈β+即11y y 312≤+≤-解得：42y 42≤≤-故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,42 6. 函数单调性法例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域. 解：令1x log y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2, 10]上都是增函数所以21y y y +=在[2, 10]上是增函数当x=2时,8112log 2y 33min =-+=-当x=10时, 339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81 例10. 求函数1x 1x y --+=的值域.解：原函数可化为：1x 1x 2y -++=令1x y ,1x y 21-=+=, 显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =, 2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时, 21y y y +=有最小值2, 原函数有最年夜值222=显然0y >, 故原函数的值域为]2,0( 7. 换元法通过简单的换元把一个函数酿成简单函数, 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, 换元法是数学方法中几种最主要方法之一, 在求函数的值域中同样发挥作用. 例11. 求函数1x x y -+=的值域. 解：令t 1x =-, )0t (≥ 则1t x 2+=∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥, 由二次函数的性质可知那时0t =, 1y min = 那时0t →, +∞→y 故函数的值域为),1[+∞例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域.解：因0)1x (12≥+-即1)1x (2≤+故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β= ∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0故所求函数的值域为]21,0[+例13. 求函数1x 2x x x y 243++-=的值域.解：原函数可变形为：222x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯=可令β=tg x , 则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2那时82k π-π=β,41y max =那时82k π+π=β,41y min -= 而此时βtan 有意义. 故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域.解：)1x )(cos 1x (sin y ++=令t x cos x sin =+, 则)1t (21x cos x sin 2-=由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x可得：2t 22≤≤∴那时2t =,223y max +=, 那时22t =,2243y +=故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243. 例15. 求函数2x 54x y -++=的值域.解：由0x 52≥-, 可得5|x |≤故可令],0[,cos 5x π∈ββ=∵π≤β≤0那时4/π=β, 104y max += 那时π=β, 54y min -=故所求函数的值域为：]104,54[+- 8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义, 如两点的距离公式直线斜率等等, 这类题目若运用数形结合法, 往往会更加简单, 一目了然, 赏心悦目.例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域. 解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2）, )8(B -间的距离之和. 由上图可知, 当点P 在线段AB 上时, 10|AB ||8x ||2x |y ==++-=当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, 10|AB ||8x ||2x |y =>++-=故所求函数的值域为：],10[+∞ 例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域. 解：原函数可变形为：上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,43)12()23(|AB |y 22min =+++==,故所求函数的值域为],43[+∞例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域. 解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可看成定点A （3, 2）到点P （x, 0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差. 即：|BP ||AP |y -=由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时, 如点'P , 则构成'ABP ∆, 根据三角形两边之差小于第三边, 有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-即：26y 26<<-（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时, 有26|AB |||BP ||AP ||==-综上所述, 可知函数的值域为：]26,26(-注：由例17, 18可知, 求两距离之和时, 要将函数式变形, 使A 、B 两点在x 轴的两侧, 而求两距离之差时, 则要使A, B 两点在x 轴的同侧.如：例17的A, B 两点坐标分别为：（3, 2）, )1,2(--, 在x 轴的同侧；例18的A, B 两点坐标分别为（3, 2）, )1,2(-, 在x 轴的同侧. 9. 不等式法利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈, 求函数的最值, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值, 解析式是积时要求和为定值, 不外有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧.例19. 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域.解：原函数变形为：当且仅当x cot x tan =即那时4k x π±π=)z k (∈, 等号成立故原函数的值域为：),5[+∞例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域. 解：x cos x sin x sin 4y = 当且仅当x sin 22x sin 22-=, 即那时32x sin 2=, 等号成立.由2764y 2≤可得：938y 938≤≤- 故原函数的值域为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-938,938 10. 一一映射法原理：因为)0c (d cx bax y ≠++=在界说域上x 与y 是一一对应的.故两个变量中, 若知道一个变量范围, 就可以求另一个变量范围. 例21. 求函数1x 2x31y +-=的值域. 解：∵界说域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<21x 21x |x 或由1x 2x 31y +-=得3y 2y 1x +-=故213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -<+-=解得23y 23y ->-<或故函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, 11. 多种方法综合运用例22. 求函数3x 2x y ++=的值域.解：令)0t (2x t ≥+=, 则1t 3x 2+=+（1）那时0t >, 21t1t 11t t y 2≤+=+=, 当且仅当t=1, 即1x -=时取等创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日号, 所以21y 0≤< （2）当t=0时, y=0.综上所述, 函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0注：先换元, 后用不等式法例23. 求函数42432x x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域. 解：4234242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-= 令2tan x β=, 则β=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2222cos x 1x 1 ∴那时41sin =β,1617y max = 那时1sin -=β, 2y min -= 此时2tan β都存在, 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1617,2注：此题先用换元法, 后用配方法, 然后再运用βsin 的有界性. 总之, 在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、认真观察其题型特征, 然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法, 函数单调性法和。

函数求值域15种方法

函数求值域15种方法方法一：对于已知函数，可以通过求函数的表达式来确定函数的值域。

例如对于f(x)=x^2+1需要求值域，可以将其表示为y=x^2+1，然后观察x和y的关系，可以得到y的值域为[1,+∞)。

方法二：对于一些简单的函数，可以使用数学知识来确定其值域。

例如对于 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值域为[-1, 1]，因此 f(x) 的值域也是[-1, 1]。

方法三：对于复合函数，可以通过将内部函数的值域代入外部函数中来确定整个函数的值域。

例如对于f(x)=√(x^2+1)，内部函数g(x)=x^2+1的值域为[1,+∞)，将值域代入外部函数，可以得到f(x)的值域也是[1,+∞)。

方法四：对于分段函数，可以分别求解不同区间上函数的值域，然后将这些值域合并得到整个函数的值域。

例如对于f(x)={x,x<0;x^2,x≥0}，可以分别求解x<0和x≥0的情况，得到f(x)的值域为(-∞,0]∪[0,+∞)。

方法五：利用函数的奇偶性来确定函数的值域。

如果函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)，那么函数的值域关于原点对称；如果函数是偶函数，即f(-x)=f(x)，那么函数的值域关于y轴对称。

根据函数的奇偶性可以推断出函数的值域。

方法六：利用函数的周期性来确定函数的值域。

如果函数有周期T，那么函数的值域在一个周期内是相同的。

可以通过观察函数的图像或者函数的性质来确定函数的周期，并进一步确定函数的值域。

方法七：利用函数的极限来确定函数的值域。

可以求函数在正无穷和负无穷的极限，根据极限的性质来确定函数的值域。

如果函数在正无穷的极限是一个确定的值，那么函数的值域是有界的；如果函数在正无穷的极限趋近于正无穷，那么函数的值域是无界的。

方法八：利用函数的导数来确定函数的值域。

可以求函数的导数，然后分析导函数的正负性和极值点，从而确定函数的值域。

如果导函数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间上是单调递增的，可以确定函数的值域；如果导函数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间上是单调递减的，可以确定函数的值域。

求函数的值域的方法

求函数的值域的方法
要求一个函数的值域，有几种常用的方法：
1. 代数方法：通过分析函数的定义，找到可能的值域范围。

例如，对于二次函数f(x) = ax^2+bx+c，如果a>0，那么函数的值域是[f(c), +\infty)；如果a<0，那么函数的值域是(-\infty, f(c)]。

通过这种方法，可以找到某些特定函数值域的范围。

2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在横坐标上的取值范围。

图像法适用于较简单的函数，例如直线、二次函数等。

通过观察图像的上下界，可以估计函数的值域。

3. 映射法：对于复杂的函数，可以使用映射法来找到值域。

将函数的定义域上的每个元素映射到值域上，然后通过对映射结果的分析来确定值域。

映射法在一些特殊的函数中很有用，例如三角函数、指数函数等。

需要注意的是，对于一些复杂、高阶的函数，确定值域可能是一个非常困难的问题，有时候可能无法找到确切的值域范围，只能给出一个估计范围。

此外，通过代数方法、图像法和映射法得到的结果可能会有所差异，需要综合考虑来确定最终的值域范围。

函数值域求法大全

函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域。

解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。

解：∵0x ≥故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程（1）当1y ≠时，R x ∈ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21 例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1）∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

求函数值域的常见方法

求函数值域的常见方法函数的值域是指函数所有可能的输出值组成的集合。

确定函数的值域可以帮助我们了解函数的性质和特点，进而进行函数的图像绘制、解方程、求极限等各种数学问题。

以下是几种求函数值域的常见方法：1.列表法：将函数的所有可能的输出值写成一个列表。

通常使用这种方法求值域时，要先求出函数的定义域，再根据定义域进行函数运算。

例如，对于函数f(x)=x^2-1，定义域是实数集R。

我们可以取一些实数作为输入值，计算出相应的函数值，然后将结果列成一个列表。

根据计算得到的结果，我们可以得知函数的值域是[-1,+∞)。

2.解析法：利用函数的解析表达式，通过对函数进行分析和推理，求出函数的值域。

这种方法通常适用于简单的多项式函数、指数函数和对数函数等。

例如，对于函数f(x)=x^2，可以通过分析发现，对于任意实数x，x^2的值都是非负的。

因此，函数的值域是[0,+∞)。

3. 图像法：绘制函数的图像，通过观察图像的形状和特点来确定函数的值域。

这种方法适用于各种函数，特别是复杂函数。

当函数的图像在已知定义域内是连续的、单调的、有界的时候，可以通过观察图像的极值点、端点和趋势来确定函数的值域。

例如，对于函数f(x) = sin(x)，我们可以绘制出函数的图像，观察到正弦函数的值在[-1,1]之间变化，因此函数的值域是[-1,1]。

4.推导法：利用函数的性质和数学定理来推导函数的值域。

这种方法通常适用于特殊的函数，如三角函数、指数函数和对数函数等。

例如，对于函数f(x)=e^x，利用指数函数的性质，我们可以得知e^x在定义域内是一个单调递增的正值函数，因此函数的值域是(0,+∞)。

5.逆映射法：如果函数有反函数，可以通过求反函数的定义域来确定原函数的值域。

这种方法适用于有反函数的函数。

例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x。

我们可以求出反函数的定义域是[0,+∞)，因此原函数的值域是[0,+∞)。

函数定义域值域求法(全十一种)

函数定义域值域求法(全十一种)高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型常规型是指已知函数的解析式，求函数的定义域和值域。

解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例如，对于函数 $y=\frac{x^2-2x-15}{|x+3|-8}$，要使函数有意义，则必须满足 $x^2-2x-15\geq 0$ 且 $|x+3|\neq 8$。

解得$x\leq -3$ 或 $x\geq 5$，且 $x\neq -11$ 或 $x\neq 5$。

将两个条件求交集得 $x\leq -3$ 且 $x\neq -11$ 或 $x>5$，即函数的定义域为 $\{x|x\leq -3\text{ 且 }x\neq -11\}\cup\{x|x>5\}$。

二、抽象函数型抽象函数型是指没有给出解析式的函数，需要根据已知条件求解。

一般有两种情况：1）已知 $f(x)$ 的定义域，求 $f[g(x)]$ 的定义域。

解法是：已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f[g(x)]$ 的定义域为解$a\leq g(x)\leq b$。

例如，已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-2,2]$，求 $f(x^2-1)$ 的定义域。

令 $-2\leq x^2-1\leq 2$，得 $-1\leq x^2\leq 3$，即 $-|x|\leq x\leq |x|$。

因此，$-3\leq x\leq 3$，即函数的定义域为$\{x|-3\leq x\leq 3\}$。

2）已知 $f[g(x)]$ 的定义域，求 $f(x)$ 的定义域。

解法是：已知 $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f(x)$ 的定义域为$g(x)$ 的值域。

例如，已知 $f(2x+1)$ 的定义域为 $[1,2]$，求 $f(x)$ 的定义域。

因为 $1\leq x\leq 2$，所以 $2\leq 2x\leq 4$，$3\leq2x+1\leq 5$。

函数值域求法大全

函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域。

解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。

解：∵0x ≥故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程（1）当1y ≠时，R x ∈ 解得：23y 21≤≤（2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1）∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。