2020版高考数学一轮复习课后限时集训2命题及其关系充分条件与必要条件理含解析新人教A版
精选-江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二命题及其关系充分条件与必要条件理含解析
课时跟踪检测（二）命题及其关系、充分条件与必要条件一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·张家港外国语学校检测)命题“若－＋＝，则＝”的逆否命题是．答案：若≠，则－＋≠．(·苏州实验中学检测)在△中，角，，的对边分别为，，.命题甲：＋＝，且＋＝；命题乙：△是正三角形，则命题甲是命题乙的条件．答案：充要．“＝”是“两直线：＋＋＝和：＋(－)＋－＝平行”的条件．答案：充要．(·南京模拟)有下列命题：①“若＞，则＞”的否命题；②“若＋＝，则，互为相反数”的逆命题；③“若＜，则－＜＜”的逆否命题．其中真命题的序号是．解析：①原命题的否命题为“若≤，则≤”，假命题．②原命题的逆命题为：“若，互为相反数，则＋＝”，真命题．③原命题的逆否命题为“若≥或≤－，则≥”，真命题．答案：②③．若＞是＞的充分条件，则实数的取值范围为．解析：由＞是＞的充分条件知，{＞}⊆{＞}，所以≤.答案：(－∞，]．(·苏州中学检测)已知集合＝{(－)＜}，＝{－＜}，则“∈”是“∈”的条件．解析：因为集合＝()，集合＝(－)，所以“∈”是“∈”的充分不必要条件．答案：充分不必要二保高考，全练题型做到高考达标．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是．解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”．(·南通中学高三测试)已知，都是实数，命题：＋＝；命题：直线＋＝与圆(－)＋(－)＝相切，则是的条件．解析：圆(－)＋(－)＝的圆心为(，)，半径＝，直线＋＝与圆相切，则圆心到直线的距离＝＝，解得＋＝.即＋＝±，所以是的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·南通模拟)设，都是不等于的正数，则“＞＞”是“＜”的条件．解析：因为＞＞，所以＞＞，此时＜；反之，若＜，则不一定得到＞＞，例如当＝，＝时，＜成立，但推不出＞＞.故“＞＞”是“＜”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·无锡一中检测)给出下列说法：①“若＋＝，则＝”的逆命题是假命题；②“在△中，＞是＞的充要条件”是真命题；③≤是≤的充分不必要条件；④命题“若＜－，则－－＞”的否命题为“若≥－，则－－≤”．以上说法正确的是(填序号)．解析：对于①，“若＋＝，则＝”的逆命题是“若＝，则＋＝”，当＝，＝时，有＝成立，但＋＝，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△中，由正弦定理得＞⇔＞⇔＞，②正确；对于③，因为，所以≤是≤的必要不充分条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④．(·南通一中高三测试)已知命题：≤≤＋，命题：－＜，若是的充分不必要条件，则的取值范围是．解析：令＝{≤≤＋}，＝{－＜}＝{＜＜}．因为是的充分不必要条件，所以，所以(\\(＞，＋＜，))解得＜＜.答案：()．设：实数，满足(－)＋(－)≤，：实数，满足(\\(≥－，≥－，≤，))则是的条件．解析：表示以点()为圆心，为半径的圆面(含边界)，如图所示．表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，是的必要不充分条件．答案：必要不充分．在命题“若＞－，则＞”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是．解析：若＝，＝，则＞－，但＜，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若＝－，＝－，则(－)＞(－)，但－＜，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为.答案：．(·常熟中学测试)给定下列命题：①若＞，则方程＋－＝有实数根；②若＋≠，则≠或≠；③“＝”是“直线－＝与直线＋＝互相垂直”的充要条件；④“若＝，则，中至少有一个为零”的否命题．其中真命题的序号是．解析：①因为Δ＝－(－)＝＋＞，所以①是真命题；②其逆否命题为真；故②是真命题；③“＝±”是“直线－＝与直线＋＝互相垂直”的充要条件，故③是假命题；④否命题：“若≠，则，都不为零”是真命题．答案：①②④．(·天一中学期末)已知：－＞，：－＋－≥(＞)，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是．解析：由－＞，得－＞或－＜－，即＞或＜－.由－＋－≥(＞)，得[－(－)][－(＋)]≥，即≥＋或≤－，＞.若是的必要不充分条件，则(\\(＞，＋≤，－≥－，))解得＜≤.答案：(]．设等比数列{}的公比为，前项和为，则“＝”是“＝”的条件．解析：因为等比数列{}的前项和为，又＝，所以＋＋＋＝(＋)，所以＋＝＋，所以＝⇔＝，所以“＝”是“＝”的充要条件．答案：充要．(·南师大附中检测)设：实数满足＋－＜(＞)，：实数满足＋－＜，且綈是綈的必要不充分条件，求的取值范围．解：由＋－＜(＞)，得－＜＜，即：－＜＜.由＋－＜，得－＜＜，即：－＜＜.因为綈是綈的必要不充分条件，所以能推出，不能推出，所以{－＜＜－＜＜}，即(\\(－≥－，＜，＞))或(\\(－＞－，≤，＞，))解得＜≤，故的取值范围是.．已知集合＝错误!，＝{－－≤}，＝{＞}，命题：实数为小于的正整数，：是成立的充分不必要条件，：是成立的必要不充分条件．若命题，，都是真命题，求实数的值．解：因为命题是真命题，所以＜＜，∈，①所以＝错误!＝错误!.由题意知，＝{－－≤}＝{－≤≤}，＝＝错误!.因为命题，都是真命题，所以，，所以(\\(()≤，,()＞().))②由①②得＝.三上台阶，自主选做志在冲刺名校．设{}是公比为的等比数列，则“＞”是“{}为递增数列”的条件．解析：当等比数列{}的首项＜，公比＞时，如＝－是递减数列，所以充分性不成立；反之，若等比数列{}为递增数列，则(\\(＜，＜＜))或(\\(＞，＞，))所以必要性不成立，即“＞”是“{}为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要．(·苏州木渎中学测试)若命题“－－＞不成立”是真命题，则实数的取值范围为．解析：由题意知－－≤恒成立，当＝时，－≤成立；当≠时，由(\\(＜，,Δ＝＋≤，))得－≤＜，综上，实数的取值范围为[－]．答案：[－]．已知集合＝{－＋＜}，＝{(－)(－)＜}．()若∈是∈的充分条件，求的取值范围；()若∩＝∅，求的取值范围．解：＝{－＋＜}＝{＜＜}，＝{(－)(－)＜}．()当＝时，＝∅，不合题意．当＞时，＝{＜＜}，要满足题意，则(\\(≤，≥，))解得≤≤.当＜时，＝{＜＜}，要满足题意，则(\\(≤，≥，,))无解．综上，的取值范围为.()要满足∩＝∅，当＞时，＝{＜＜}则≥或≤，即＜≤或≥.当＜时，＝{＜＜}，则≤或≥，即＜.当＝时，＝∅，∩＝∅.综上，的取值范围为∪[，＋∞)．。
2020年高考数学(理)集合与常用逻辑用语专题02命题及其关系、充分条件与必要条件(解析版).pdf
【答案】 B 5.【 2019 年高考北京理数】设点
uuur uuru
uuur
A，B，C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“ | AB
uuur uuur AC | | BC | ”
的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
uuuv uuuv uuur 【解析】∵ A?B?C 三点不共线，∴ | AB + AC |>| BC |
. . 举反例判定假命题 .
6. 充分条件、必要条件和充要条件 （ 1）充分条件：若 p q ，则 p 是 q 充分条件 .
（ 2）必要条件：若 q p ，则 p 是 q 必要条件
（ 3）充要条件：若 p q ，且 q p ，则 p 是 q 充要条件，即： p q
p 的 q 充分不必要条件： p q ，且 q p
C．α， β平行于同一条直线
D ．α，β垂直于同一平面
【解析】由面面平行的判定定理知：
内有两条相交直线都与
平行是 ∥ 的充分条件；
由面面平行的性质定理知，若
∥ ，则 内任意一条直线都与
平行，所以 内有两条相交直线都与
平行是 ∥ 的必要条件 . 故 α∥β的充要条件是 α内有两条相交直线与 β平行 .故选 B ．
原命题 若p则q
互 否
否命题 若非 p 则非 q
互逆
互 为
逆 否
互 为
逆 否互逆Fra bibliotek逆命题 若 q则 p
互 否
逆否命题 若非 q 则非 p
4．四种命题的真假性之间的关系：
1
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性
.
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系
(山东专用)2020年高考数学一轮复习专题02命题及其关系、充分条件与必要条件(含解析)
专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件一、【知识精讲】1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展] 集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、【典例精练】例1.(2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是( )A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③【答案】D【解析】 ①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确． 【方法小结】1．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．例2． (1)(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件例2.(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 (1)A (2)A【解析】(1)法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |<0.当90°<θ<180°时，m ·n <0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 故选A ．法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．故选A ．(2) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．【方法小结】 充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.例3. 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________． 【答案】[0,3]【解析】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． 【方法小结】 根据充分、必要条件求参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 三、【名校新题】1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 【答案】D【解析】命题的形式是“若p ，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若¬q ,则¬q ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2.(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.3.(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1【答案】C【解析】若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.4．（蚌埠一中2019届高三考试题）已知，都是实数，那么“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由条件得a >q ,不能得到；反之，由得|q |>|q |,⇏a >q ,从而2q >2q 不成立。
2020届高考数学理一轮考点测试命题及其关系、充分条件与必要条件
必要条件
高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题，分值 5分，低难度 考纲研读 1．理解命题的概念 2．了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义
一、基础小题
x
2
＋
2
x
－
3>0；条件
q： x>a，且綈
数”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是
()
A． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
答案 B
解析 由 f ( x) ， g( x) 均为奇函数可得 h( x) ＝ f ( x) · g( x) 为偶函数，反之则不成立，如
h( x) ＝ x2， f ( x) ＝
x2 x2 ＋ 1 ，
g(
x)
1．命题“若 a?A，则 b?B”的否命题是 ( )
A．若 a?A，则 b?BB．若 a∈A，则 b∈B
C．若 b∈ B，则 a?A D ．若 b?B，则 a∈ A
答案 B
解析 由原命题与否命题的定义知选 B．
2．命题“正数 m的平方等于 0”的逆命题为 ( )
A．正数 m的平方不等于 0
B．若 m的平方等于 0，则它是正数
是“ a＋ b≠3”的必要不充分条件．故选 B．
10．若命题 p 的逆命题是 q，命题 p 的否命题是 r ，则 q 是 r 的 ________． ( 填“否命题” “逆命题”或“逆否
命题” )
答案 逆否命题
解析 由 4 种命题的相互关系，可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题．
11．已知条件
p：
(北师大版)2020版高考数学一轮复习限时集训2命题及其关系充分条件与必要条件理(解析版)
A 组 基础达标一、选择题1．已知a ，b ∈R ，命题“若ab ＝2，则a 2＋b 2≥4”的否命题是( )A ．若ab ≠2，则a 2＋b 2≤4B ．若ab ＝2，则a 2＋b 2≤4C ．若ab ≠2，则a 2＋b 2＜4D ．若ab ＝2，则a 2＋b 2＜4C [因为将原命题的条件和结论同时否定之后，可得到原命题的否命题，所以命题“若ab ＝2，则a 2＋b 2≥4”的否命题是“若ab ≠2，则a 2＋b 2＜4”，故选C.]2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0C [原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图像不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数，”显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．]3．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数C [“都是”的否定是“不都是”，故选C.]4．(2019·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．]5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3A [a ＞b ＋1⇒a ＞b ，但反之未必成立，故选A.]6．(2019·山师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则a ＝2b 是a |a |＝b|b |成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件B [由a ＝2b 可知：a ，b 方向相同，a |a |，b |b |表示a ，b 方向上的单位向量，所以a |a |＝b|b |成立；反之不成立．故选B.]7．若x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]D [∵x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，∴(－1,4)⊆(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.]二、填空题8．直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点的充要条件是________． k ∈(－1,3) [直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2＜2，解之得－1＜k ＜3.]9．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误．②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．] 10．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．(1,2] [因为p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 但p /⇒q ，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A ，又B ＝(2,3]，当a ＞0时，A ＝(a,3a )；当a ＜0时，A ＝(3a ，a )，所以当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3＜3a ，解得1＜a ≤2；当a ＜0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．]B 组 能力提升1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．]2．(2019·广东七校联考)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1＜0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D [A 中，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 不正确；B 中，由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，故C 不正确；D 中，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，因此其逆否命题为真命题，故D 正确，故选D.]3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若A ＝－B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1得A ＝－B ，故选B.]4．(2019·山西五校联考)已知p ：(x －m )2＞3(x －m )是q ：x 2＋3x －4＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．(－∞，－7]∪[1，＋∞) [p 对应的集合A ＝{x |x ＜m 或x ＞m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4＜x ＜1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，所以m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.]。
2020版高考数学大一轮复习-第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件分层演练(理)(含解析)新人教A版
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是( )A．若x≤0，则x≤1B．若x≤0，则x＞1C．若x＞0，则x≤1D．若x＜0，则x＜1解析：选A.依题意，命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是“若x≤0，则x≤1”，故选A.2．原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．4解析：选D.由题意可知，否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，其为真命题；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，其为真命题．由等价命题的真假性相同可知，该命题的逆命题与原命题也为真命题．故选D.3．(2019·兰州市高考实战模拟)设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，则a·b＝0，即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－12，所以x＝2⇒a⊥b，反之a⊥b⇒x＝2或x＝－12，所以“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件，故选B.4．(2018·石家庄市教学质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A>sin B”是“a>b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R，若sin A>sin B，则2R sin A>2R sin B，即a>b；若a>b，则a2R >b2R，即sin A>sin B，所以在△ABC中，“sin A>sin B”是“a>b”的充要条件，5．已知命题：“若a>2，则a2>4”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.原命题显然是真命题，其逆命题为“若a2>4，则a>2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．6．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.依题意，若A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不妨令C＝A，显然满足A⊆C，B⊆∁U C，故满足条件的集合C是存在的．7．下列命题中正确的个数是( )①命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”；②“x≠1”是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件；③一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.A．0 B．3C．2 D．1解析：选C.对于①，命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”，故①正确；对于②，由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x ＝2，所以“x≠1”不是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件，故②错误；对于③，因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0，反之，如果b＝0，那么f(x)＝kx，所以f(－x)＝－kx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故③正确．正确命题的个数为2，故选C.8．使a>0，b>0成立的一个必要不充分条件是( )A．a＋b>0 B．a－b>0C．ab>1 D.ab>1解析：选A.因为a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由a>0，b>0不能推出a－b>0，ab>1，ab>1.9．(2019·陕西省高三教学质量检测试题(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但是a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，选A.10．(2018·高考北京卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B.a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad ＝bc ，则b a ＝d c，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a b ＝c d，所以ad ＝bc ，所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.11．(2016·高考北京卷)设a ，b 是向量．则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D.取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |, 得|a ＋b|2＝|a －b |2，整理得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |, 故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D. 12．(2019·河北石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是( ) A ．若a >b >0，则ln a <ln bB ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆否命题为真命题D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：选D.因为函数y ＝ln x (x >0)是增函数，所以若a >b >0，则ln a >ln b ，故A 错误；若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错误；(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题，而角的终边在第一象限，角α不一定是锐角，如α＝－315°，该角的终边落在第一象限，但不是锐角，故C 错误；命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )<0”是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2，4]上的图象连续不断，且在区间(－2，4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)>0，故D 正确．故选D.13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________． 解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3. 答案：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<314．对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________． 解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；逆命题：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2. 答案：215．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]16．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )．设p ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，q ：m －3<f (x )<m ＋3.若p是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为p ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2⇒2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以f (x )∈[1，2]， 又因为p 是q 的充分条件， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m －3<1，m ＋3>2，解得－1<m <4，即m 的取值范围是(－1，4)． 答案：(－1，4)1．(2019·四川南山模拟)已知条件p ：14<2x<16，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0，若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围为( ) A ．[－4，＋∞) B ．(－∞，－4) C ．(－∞，－4]D ．(4，＋∞)解析：选B.由14<2x<16，得－2<x <4，即p ：－2<x <4.方程(x ＋2)(x ＋a )＝0的两个根分别为－a ，－2.①若－a >－2，即a <2，则条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－2<x <－a ，由p 是q 的充分而不必要条件可得－a >4，则a <－4；②若－a ＝－2，即a ＝2，则(x ＋2)(x ＋a )<0无解，不符合题意；③若－a <－2，即a >2，则q ：(x ＋2)(x ＋a )<0等价于－a <x <－2，不符合题意． 综上可得a <－4，故选B.2．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么“φ(a ，b )＝0”是“a 与b 互补”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.若φ(a ，b )＝0，即a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方得ab ＝0，故具备充分性．若a ≥0，b ≥0，ab ＝0，则不妨设a ＝0，φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ＝b 2－b ＝0，故具备必要性．3．(2019·山西五校联考)已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．解析：p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，所以m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7. 答案：m ≥1或m ≤－7 4．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x 2－2x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1，所以“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误． 答案：①②③5．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)否命题：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”． (2)命题p 的否命题为真命题，证明如下：因为ac <0，所以－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根． 6．已知p ：x 2－7x ＋12≤0，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.(1)是否存在实数a ，使¬p 是¬q 的充分不必要条件？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)是否存在实数a ，使p 是q 的充要条件？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 解：由题意知，p ：3≤x ≤4，q ：a ≤x ≤a ＋1.(1)因为¬p 是¬q 的充分不必要条件， 所以¬p ⇒¬q ，且¬q ⇒/¬p ， 所以q ⇒p ，且p ⇒/q ， 即q 是p 的充分不必要条件， 故{x |a ≤x ≤a ＋1}{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解， 所以不存在实数a ，使¬p 是¬q 的充分不必要条件．(2)若p 是q 的充要条件，则{x |a ≤x ≤a ＋1}＝{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4，解得a ＝3.故存在实数a ＝3，使p 是q 的充要条件．。
2020届高考数学(文)一轮复习课标精练 命题及其关系、充分条件与必要条件+Word版含解析
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件A组基础题组1.命题“若函数f(x)=e x-mx在[0,+∞)上是减函数,则m>1”的否命题是( )A.若函数f(x)=e x-mx在[0,+∞)上不是减函数,则m≤1B.若函数f(x)=e x-mx在[0,+∞)上是减函数,则m≤1C.若m>1,则函数f(x)=e x-mx在[0,+∞)上是减函数D.若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在[0,+∞)上不是减函数答案 A “若p,则q”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定,故选A.2.“若x,y∈R,x2+y2=0,则x,y全为0”的逆否命题是( )A.若x,y∈R,x,y全不为0,则x2+y2≠0B.若x,y∈R,x,y全不为0,则x2+y2=0C.若x,y∈R,x,y不全为0,则x2+y2≠0D.若x,y∈R,x,y全为0,则x2+y2≠0答案 C 依题意得,原命题的条件为若x2+y2=0,结论为x,y全为0.其逆否命题是若x,y不全为0,则x2+y2≠0,故选C.3.有下列几个命题:①“若a>b,则>”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是( )A.①B.①②C.②③D.①②③答案 C ①原命题的否命题为“若a≤b,则≤”,假命题;②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,真命题;③原命题为真命题,故逆否命题为真命题,所以真命题的序号是②③.4.“x=1”是“x2-2x+1=0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 A 因为x2-2x+1=0有两个相等实数根,为x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件. 5.“(m-1)(a-1)>0”是“logm>0”的( )aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B (m-1)(a-1)>0等价于,或,,而log a m>0等价于或,,所以具有必要性,但不具有充分性,比如m=0,a=0时,不能得出logam>0.6.如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 C 设集合A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cos x≠cos y},则A的补集C={(x,y)|x=y},B的补集D={(x,y)|cos x=cos y},显然C⫋D,所以B⫋A,于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件.7.(2018西安八校联考)在△ABC中,“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 由·>0,得·<0,所以∠B>90°,则△ABC是钝角三角形;当△ABC为钝角三角形时,∠B不一定是钝角.所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件,故选A.8.(2018北京,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C 本题主要考查平面向量的数量积的应用以及充分、必要条件的判断.|a-3b|=|3a+b|⇔|a-3b|2=|3a+b|2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2⇔2a2+3a·b-2b2=0,又∵|a|=|b|=1,∴a·b=0⇔a⊥b,故选C.9.“a=0”是“函数f(x)=sin x-+a为奇函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时,f(x)=sin x-,f(-x)=sin(-x)--=-sin x+=--=-f(x),故f(x)为奇函数;反之,当f(x)=sin x-+a为奇函数时, f(-x)+f(x)=0,又f(-x)+f(x)=sin(-x)-+a+sin x-+a=2a,所以a=0,-所以“a=0”是“函数f(x)=sin x-+a为奇函数”的充要条件,故选C.10.(2019江西南昌模拟)“a2+b2=1”是“asin θ+bcos θ≤1恒成立”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 因为asin θ+bcos θ=sin(θ+φ)≤,所以由a2+b2=1可推得asin θ+bcos θ≤1恒成立.反之,取a=2,b=0,θ=30°,满足asin θ+bcos θ≤1,但不满足a2+b2=1,即由asin θ+bcos θ≤1推不出a2+b2=1,故“a2+b2=1”是“asin θ+bcos θ≤1恒成立”的充分不必要条件.故选A.B组提升题组1.(2019抚州七校联考)A,B,C三个学生参加了一次考试,A,B的得分均为70分,C的得分为65分.已知命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格.则下列四个命题中为p的逆否命题的是( )A.若及格分不低于70分,则A,B,C都及格B.若A,B,C都不及格,则及格分不低于70分C.若A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于70分D.若A,B,C至少有一人及格,则及格分高于70分答案 C2.设集合A={x|x>-1},B={x|x≥1},则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )A.-1<x≤1B.x≤1C.x>-1D.-1<x<1答案 D3.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充分不必要条件是( )A.k≤-2或k≥2B.k≤-2C.k≥2D.k≤-2或k>2答案 B 若直线与圆有公共点,则圆心(0,0)到直线kx-y-3=0的距离d=≤1,即≥3,∴k2+1≥9,即k2≥8,∴k≥2或k≤-2,∴由选项知圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充分不必要的条件是k≤-2,故选B.4.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则原命题及其逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是.答案2解析原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.5.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是.答案[-3,0]解析由题意知ax2-2ax-3≤0恒成立,当a=0时,-3≤0成立;当a≠0时,有,,解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.6.已知命题p:a≤x≤a+1,命题q:x2-4x<0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是.答案(0,3)解析令M={x|a≤x≤a+1},N={x|x2-4x<0}={x|0<x<4}.∵p是q的充分不必要条件,∴M⫋N,∴,,解得0<a<3.。
2020高考数学文科大一轮复习导学案《命题及其关系、充分条件和必要条件》含答案
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件知识点一命题及四种命题1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．1．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是(D) A．逆命题为“周期函数不是单调函数”B．否命题为“单调函数是周期函数”C．逆否命题为“周期函数是单调函数”D．以上三者都不正确解析：原命题可以改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”．其逆命题为“若函数不是周期函数，则函数是单调函数”，故选项A 不正确；其否命题为“若函数不是单调函数，则函数是周期函数”，故选项B不正确；其逆否命题为“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，故选项C不正确．2．“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为若ab不是偶数，则a，b不都是偶数．解析：“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”．3．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是3.解析：原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.知识点二充分条件与必要条件1．若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充分必要条件，q也是p的充分必要条件．2．若A、B为两个集合，满足A B，则A是B的充分不必要条件，B 是A的必要不充分条件；若A＝B，则A是B的充分必要条件．4．(2018·天津卷)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的(A)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x3>8可得x>2，由|x|>2可得x>2或x<－2.故“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件，故选A.5．在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理知asin A＝bsin B＝2R(R为△ABC外接圆半径)．若sin A>sin B，则a2R>b2R，即a>b，所以A>B；若A>B，则a>b，所以2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，所以“A>B”是“sin A>sin B”成立的充要条件．1．区别两个说法(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论．(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．2．充要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p 是r的充分(必要)条件．3．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．考向一四种命题及其关系【例1】(1)已知x∈R，命题“若x2>0，则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3(2)已知命题p：若a<1，则a2<1，下列说法正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”【解析】(1)命题“若x2>0，则x>0”的逆命题是“若x>0，则x2>0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上三个命题中真命题的个数是2.故选C.(2)已知命题p：若a<1，则a2<1，如a＝－2，则(－2)2>1，命题p为假命题，所以A不正确；命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，所以B正确；命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，所以C不正确；命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，所以D不正确．故选B.【答案】(1)C(2)B(1)四种命题在书写时，要注意词语的否定形式，如“都是”的否定应为“不都是”，“大于”的否定为“不大于”等．(2)命题真假的判断方法①联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．②利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．(1)命题“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”的否命题为(D)A．若x2＝4，则x≠2且x≠－2B．若x2≠4，则x＝2且x＝－2C．若x2≠4，则x＝2或x＝－2D．若x2＝4，则x＝2或x＝－2(2)下列命题的逆命题为真命题的是(B)A．若x>2，则(x－2)(x＋1)>0B．若x2＋y2≥4，则xy＝2C．若x＋y＝2，则xy≤1D ．若a ≥b ，则ac 2≥bc 2解析：(1)“若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2”的否命题是“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”．故选D.(2)选项A ，“若x >2，则(x －2)(x ＋1)>0”的逆命题为“若(x －2)(x ＋1)>0，则x >2”，因为由(x －2)(x ＋1)>0得到x >2或x <－1，所以是假命题；选项B ，“若x 2＋y 2≥4，则xy ＝2”的逆命题为“若xy ＝2，则x 2＋y 2≥4”是真命题；选项C ，“若x ＋y ＝2，则xy ≤1”的逆命题为“若xy ≤1，则x ＋y ＝2”；因为x ＝2，y ＝12，满足xy ≤1，但不满足x ＋y ＝2，所以是假命题；选项D ，“若a ≥b ，则ac 2≥bc 2”的逆命题为“若ac 2≥bc 2，则a ≥b ”，因为若c ＝0，a ＝1，b ＝2，满足ac 2≥bc 2，但不满足a ≥b ，所以是假命题．故选B.考向二 充分条件与必要条件的判断【例2】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 6＝3S 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)若集合A ＝{x |x －x 2>0}，B ＝{x |(x ＋1)(m －x )>0}，则“m >1”是“A ∩B ≠∅”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由S6＝3S2，得a1(1＋q＋q2＋q3＋q4＋q5)＝3a1(1＋q)，即q5＋q4＋q3＋q2－2－2q＝0，(q＋1)2(q－1)·(q2＋2)＝0，解得q＝±1，所以“|q|＝1”是“S6＝3S2”的充要条件，故选C.(2)因为p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1.因为綈q⇒綈p，但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选A.(3)化简集合A＝{x|0<x<1}，若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅，反之，若A∩B≠∅，则m>0，因(1，＋∞)(0，＋∞)，故选A.【答案】(1)C(2)A(3)A充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．(1)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(C)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·山东日照联考)“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)2＝(3a＋b)2，∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0，∴a⊥b；反之也成立．故选C.(2)当m<0时，由图象的平移变换可知，函数f(x)必有零点；当函数f(x)有零点时，m≤0，所以“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.(3)因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈q⇒綈p且綈p⇒/綈q，所以綈p是綈q的必要不充分条件．考向三 充分条件、必要条件的应用【例3】 (1)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[－1,2](2)已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[－1,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞) 【解析】 (1)∵x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4)⊆(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.故选A.(2)由4x －1≤－1，解得－3≤x <1；由x 2＋x <a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a <0.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x－a 2＋a ，其大致图象如图，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝－a 2＋a ＋6≥0，f (1)＝－a 2＋a ＋2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤3，－1≤a ≤2，解得－1≤a ≤2.故选C. 【答案】 (1)A (2)C(1)求解充分、必要条件的应用问题时，一般是把充分、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现错误.(1)下面四个条件中，使a >b 成立的必要而不充分条件是( B )A ．a －1>bB ．a ＋1>bC ．|a |>|b |D ．a 3>b 3(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( C )A ．－1≤k <3B ．－1≤k ≤3C．0<k<3D．k<－1或k>3解析：(1)“a>b”不能推出“a－1>b”，故选项A不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a＋1>b”，但“a＋1>b”不能推出“a>b”，故满足题意；“a>b”不能推出“|a|>|b|”，故选项C不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a3>b3”，且“a3>b3”能推出“a>b”，故是充要条件，不满足题意．故选B.(2)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|<2，解得k∈(－1,3)．四个选项中只有(0,3)是(－1,3)的真子集，2故充分不必要条件可以是“0<k<3”．。
2020年数学新高考一轮复习(理) 命题及其关系、充分条件与必要条件
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件[小题体验]1．下列命题是真命题的是( )A ．若log 2a ＞0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域上是减函数B ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题C ．“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0垂直”的充要条件D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题答案：B2．(2019·温州高考适应性测试)已知α，β∈R ，则“α＞β”是“cos α＞cos β ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＞β ⇒/ cos α＞cos β，如α＝π3，β＝π6，π3＞π6，而cos π3＜cos π6；cos α＞cos β ⇒/ α＞β，如α＝π6，β＝π3，cos π6＞cos π3，而π6＜π3.故选D. 3．设a ，b 是向量，则命题“若a ＝－b ，则|a |＝| b |”的逆否命题为：________. 答案：若|a |≠|b |，则a ≠－b1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．(2019·杭州模拟)“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°，结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”．答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角考点一 四种命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( )A ．若a 2＞b 2，则a ≤bB ．若a 2≤b 2，则a ≤bC ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2解析：选B 根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故綈p 为a 2≤b 2，綈q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .2．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( )A ．“若x ＝4，则x 2－3x －4＝0”为真命题B ．“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”为真命题C ．“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝4，则x 2－3x －4＝0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A ，D ，因为x 2－3x －4＝0，所以x ＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，但a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二 充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·杭州高三四校联考)“a ＞－1”是“x 2＋ax ＋14＞0(x ∈R )”的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A若x2＋ax＋14＞0(x∈R)，则a2－1＜0，即－1＜a＜1，所以“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的必要不充分条件．故选A.2．(2019·杭州高三质检)设数列{a n}的通项公式为a n＝kn＋2(n∈N*)，则“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A法一：因为a n＝kn＋2(n∈N*)，所以当k＞2时，a n＋1－a n＝k＞2，则数列{a n}为单调递增数列．若数列{a n}为单调递增数列，则a n＋1－a n＝k＞0即可，所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.法二：根据一次函数y＝kx＋b的单调性知，“数列{a n}为单调递增数列”的充要条件是“k＞0”，所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．设a＞0，b＞0，则“a2＋b2≥1”是“a＋b≥ab＋1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＋1＞0，故不等式a＋b≥ab＋1成立的充要条件是(ab＋1)2≤(a＋b)2，即a2＋b2≥a2b2＋1.显然，若a2＋b2≥a2b2＋1，则必有a2＋b2≥1，反之则不成立，所以a2＋b2≥1是a2＋b2≥a2b2＋1成立的必要不充分条件，即a2＋b2≥1是a＋b≥ab＋1成立的必要不充分条件．2．(2019·浙江期初联考)若a，b∈R，使|a|＋|b|＞4成立的一个充分不必要条件是() A．|a＋b|≥4 B．|a|≥4C．|a|≥2且|b|≥2 D．b＜－4解析：选D对选项A，若a＝b＝2，则|a|＋|b|＝2＋2≥4，不能推出|a|＋|b|＞4；对选项B ，若a ＝4≥4，b ＝0，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项C ，若a ＝2≥2，b ＝2≥2，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项D ，由b ＜－4可得|a |＋|b |＞4，但由|a |＋|b |＞4得不到b ＜－4.故选D.3．(2019·宁波模拟)已知四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，l 为空间一直线，则“l 垂直于两腰AD ，BC ”是“l 垂直于两底AB ，DC ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为四边形ABCD 是梯形，且AB ∥CD ，所以腰AD ，BC 是交线，由直线与平面垂直的判定定理可知，当l 垂直于两腰AD ，BC 时，l 垂直于ABCD 所在平面，所以l 垂直于两底AB ，CD ，所以是充分条件；当l 垂直于两底AB ，CD ，由于AB ∥CD ，所以l 不一定垂直于ABCD 所在平面，所以l 不一定垂直于两腰AD ，BC ，所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．考点三 充分必要条件的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]若不等式x －m ＋1x －2m＜0成立的一个充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是______________．解析：令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －m ＋1x －2m ＜0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12. 因为不等式x －m ＋1x －2m＜0成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，所以B ⊆A . ①当m －1＜2m ，即m ＞－1时，A ＝{x |m －1＜x ＜2m }．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，2m ≥12，m ＞－1，解得14≤m ≤43； ②当m －1＝2m ，即m ＝－1时，A ＝∅，不满足B ⊆A ；③当m －1＞2m ，即m ＜－1时，A ＝{x |2m ＜x ＜m －1}．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ≤13，m －1≥12，m ＜－1，此时m 无解．综上，m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，43.答案：⎣⎡⎦⎤14，43[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(2019·杭州名校大联考)已知条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：x ＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：选A 由|x ＋1|＞2，可得x ＞1或x ＜－3，所以綈p ：－3≤x ≤1；又綈q ：x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以a ≥1.2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ，命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以m ＋3≤－4或m ≥1，故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．设a ，b ∈R ，则“a 3＞b 3且ab ＜0”是“1a ＞1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a 3＞b 3，知a ＞b ，由ab ＜0，知a ＞0＞b ，所以此时有1a ＞1b，故充分性成立；当1a ＞1b时，若a ，b 同号，则a ＜b ，若a ，b 异号，则a ＞b ，所以必要性不成立．故选A.3．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若φ＝0，则f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．4．命题p ：“若x 2＜1，则x ＜1”的逆命题为q ，则p 与q 的真假性为( )A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：选B q ：若x ＜1，则x 2＜1.∵p ：x 2＜1，则－1＜x ＜1.∴p 真，当x ＜1时，x 2＜1不一定成立，∴q 假，故选B.5．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A ．(5，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．(－∞，5)D ．(－∞，5] 解析：选D 由x ＞5是x ＞a 的充分条件知，{x |x ＞5}⊆{x |x ＞a }，∴a ≤5，故选D. 二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．命题“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥3D ．a ≤3解析：选C 即由“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”．因为x ∈[1,2]，所以x 2∈[1,4]，x 2－a ≤0恒成立，即x 2≤a ，因此a ≥4；反之亦然．故选C.3．有下列命题：①“若x ＋y ＞0，则x ＞0且y ＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1.∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0， 即m ＞1. ∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．4．(2019·浙江名校联考信息卷)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0＜θ≤π4时，0＜k ≤1；反之，当k ≤1时，0≤θ≤π4或π2＜θ＜π.故“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的充分不必要条件，故选A. 5．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a ＞4C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B 要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．6．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2(a ，b ∈R )”，否命题的真假性为________．解析：命题的否命题为“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”．若c ＝0，结论成立．若c ≠0，不等式ac 2≤bc 2也成立．故否命题为真命题．答案：真7．下列命题：①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件；②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的充要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①a ＞b ⇒/ a 2＞b 2，且a 2＞b 2⇒/ a ＞b ，故①不正确；②a 2＞b 2⇔|a |＞|b |，故②正确；③a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ，且a ＋c ＞b ＋c ⇒a ＞b ，故③正确．答案：②③8．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的________条件． 解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β＜13，则有sin(α＋β)＜13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0＜13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β＜13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的充分不必要条件． 答案：充分不必要9．已知p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由a ＞0，m 2－7am ＋12a 2＜0，得3a ＜m ＜4a ，即p ：3a ＜m ＜4a ，a ＞0.由方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m ＞m －1＞0，解得1＜m ＜32，即q ：1＜m ＜32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＞1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.答案：⎣⎡⎦⎤13，3810．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1] 解析：选B 由3x ＋1＜1得，3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞2，由p 是q 的充分不必要条件知，k ＞2，故选B.2．在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3，则下列结论正确的为________(填序号)．①2 018∈[2]；②－1∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④命题“整数a ，b 满足a ∈[1]，b ∈[2]，则a ＋b ∈[3]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．解析：由“类”的定义[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3，可知，只要整数m ＝4n ＋k ，n ∈Z ，k ＝0,1,2,3，则m ∈[k ]，对于①中，2 018＝4×504＋2，所以2 018∈[2]，所以符合题意；对于②中，－1＝4×(－1)＋3，所以符合题意；对于③中，所有的整数按被4除所得的余数分为四类，即余数分别为0,1,2,3的整数，即四“类”[0]，[1]，[2]，[3]，所以Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，所以符合题意；对于④中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若a ＋b ∈[3]，不妨设a ＝0，b ＝3，则此时a ∉[1]且b ∉[2]，所以逆命题不成立，所以不符合题意；对于⑤中，因为“整数a ，b 属于同一类”，不妨设a ＝4m ＋k ，b ＝4n ＋k ，m ，n ∈Z ，且k ＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋0，所以a －b ∈[0]；反之，不妨设a ＝4m ＋k 1，b ＝4n ＋k 2，m ，n ∈Z ，k 1＝0,1,2,3，k 2＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋(k 1－k 2)，若a －b ∈[0]，则k 1－k 2＝0，即k 1＝k 2，所以整数a ，b 属于同一类，故“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，所以符合题意．答案：①②③⑤3．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －(3a ＋1)＜0，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，若p 真q 假，求x 的取值范围；(2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2＜x ＜37}，B ＝{x |12＜x ＜146}，因为p 真q 假．所以(∁U B )∩A ＝{x |2＜x ≤12}，所以x 的取值范围为(2,12]．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B .因为a 2＋2＞a ，所以B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}， 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52； 当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意； 当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}， 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2解得－12≤a ＜13； 综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.命题点一 集合及其运算1．(2018·浙江高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，则∁U A ＝( )A ．∅B ．{1,3}C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选C ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，∴∁U A＝{2,4,5}．2．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝() A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}解析：选B∵全集为R，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}．∵集合A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩(∁R B)＝{x|0＜x＜1}．3．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝() A．(－1,2)B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：选A根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．4．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}解析：选C∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}．5．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4解析：选A将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.6．(2017·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1.答案：1命题点二充要条件1．(2016·浙江高考)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24，又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．选A.2．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.3．(2015·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0； 当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．4．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1， 则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“x 3＜1”⇒ / “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．5．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，得0＜θ＜π6， 故sin θ＜12.由sin θ＜12，得－7π6＋2k π＜θ＜π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”． 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 6．(2018·北京高考)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b ，得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．命题点三 四种命题及其关系1．(2015·山东高考)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．2．(2018·北京高考)能说明“若a ＞b ，则1a ＜1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次为________．解析：只要保证a 为正b 为负即可满足要求．当a ＞0＞b 时，1a ＞0＞1b. 答案：1，－1(答案不唯一)3．(2017·北京高考)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．解析：因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题， 则它的否定“设存在实数a ，b ，c .若a ＞b ＞c ，则a ＋b ≤c ”是真命题．由于a ＞b ＞c ，所以a ＋b ＞2c ，又a ＋b ≤c ，所以c ＜0.因此a ，b ，c 依次可取整数－1，－2，－3，满足a ＋b ≤c .答案：－1，－2，－3(答案不唯一)。
浙江专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二命题及其关系充分条件与必要条件含解析
课时跟踪检测(二)命题及其关系、充分条件与必要条件一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. “(2x—1)x= 0” 是“ x = 0” 的()A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件1解析：选B若(2 x—1)x= 0,贝U x = 2或x = 0,即不一定是x= 0;若x= 0,则一定能推出(2x—1)x= 0.故“(2x —1)x= 0”是“ x= 0”的必要不充分条件.3 3 112. 设a, b€ R,则“ a > b 且ab v 0” 是“ a>b” 的()A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件3 3 11解析：选A由a > b,知a> b,由ab v 0,知a> 0 > b,所以此时有- >二，故充分性a b1 1成立；当-〉匚时，若a, b同号，则a v b,若a, b异号，则a> b,所以必要性不成立.故a b选A.3 .设$ € R,^U“ $ = 0” 是“ f (x) = cos( x+ $ )( x € R)为偶函数”的()A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件解析：选A 若$= 0，则f (x) = cos x为偶函数；若f (x) = cos( x + $ )( x € R)为偶函数，贝U $ = k n ( k € Z).故“ $ = 0”是“ f (x) = cos( x + $ )( x € R)为偶函数”的充分不必要条件.4.命题P：“若x2v 1，则x v 1”的逆命题为q,贝y p与q的真假性为()A .p真q真B.p真q假C.p假q真D .p假q假解析：选B q：若x v 1,则x2v 1p：x2v 1，则—1 v x v 1. ••• p 真,当2x v 1时，x v 1不一定成立，•q假,故选B.5.若x>5是x>a的充分条件，则实数a的取值范围为(A .(5, DB .[5 , DC.(—m, 5)D.(—m, 5]解析：选D 由x>5是x>a的充分条件知，{x|x>5}?{x|x>a} ,.•. a w5,故选D.二保咼考，全练题型做到咼考达标1 •命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 A. “若一个数是负数，则它的平方不是正数” B. “若一个数的平方是正数，则它是负数” C. “若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D. “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”. 2.命题“对任意实数 x € [1,2] ,关于x 的不等式 x 2— a <0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（）A. a >4 B . a <4C. a >3D . a <3解析：选C 即由“对任意实数x € [1,2] ，关于 x 的不等式x 2— a <0恒成立”可推出 选项，但由选项推不出“对任意实数x €[1,2]，关于x 的不等式x 2— a <0恒成立”.因为2 2 2x € [1,2]，所以x € [1,4] , x -a w0恒成立，即x w a ,因此a >4；反之亦然.故选 C.3. 有下列命题：①“若x + y > 0,则x > 0且y > 0”的否命题;② “矩形的对角线相等”的否命题；③ “若m > 1,贝U mx -2（m ^ 1）x + m ^3>0的解集是R'的逆命题; ④“若a + 7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题.其中正确的是（）B .②③④C.①③④x >0且y > 0,贝U x + y >0”为真，故否命题为真;② 的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题;③的逆命题为，若 mx — 2（ mi^ 1）x + mi^ 3 > 0的解集为R 贝U m > 1.•••当m= 0时，解集不是R,A.①②③ D .①④解析：选C ①的逆命题为“若 △ v 0,即 m > 1.二应有③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为4.（2019 •浙江名校联考信息卷n ）已知直线I的斜率为k，倾斜角为B ,则“0v 0 <-4是“ k< 1” 的（A.充分不必要条件C.充要条件B .必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：选A 当O VB 时，0V k w 1；反之，当k W1时，o w 0三寸或今V Bvn .n 故“0v 0”是“ k w 1”的充分不必要条件，故选A.5•命题“对任意x € [1,2) , x 2— a w 0”为真命题的一个充分不必要条件可以是 ( )A. a 》4 B • a > 4 C. a >1D . a > 1解析：选B 要使“对任意x € [1,2) , x 2— a w 0”为真命题，只需要 a >4,「. a >4是 命题为真的充分不必要条件.6.命题“若a >b ,贝U ac 2> bc 2( a , b € R) ”，否命题的真假性为 ___________. 解析：命题的否命题为“若 a w b ,则ac 2w be 2”. 若e = 0,结论成立.若e 丰0,不等式ae 2w be 2也成立. 故否命题为真命题. 答案：真 7 •下列命题： ①“ a > b ”是“ a 2> b 2”的必要条件；②“I a | >| b | ”是“ a 2>b 2”的充要条件;③“ a > b ”是“ a + e > b + e ”的充要条件.其中是真命题的是 _________ (填序号). 解析：①a >b a 2>b 2,且a 2>b 2 a >b ,故①不正确; ② a >b ? | a | >| b |，故②正确；③ a >b ? a + e >b + e ,且 a + e >b + e ? a >b ,故③正确. 答案：②③条件.1 1成立.所以“ sin a + sin 3 v 3”是“ sin( a + 3 ) v §”的充分不必要条件.答案：充分不必要2 29.已知p ：实数m 满足m + 12a 2v 7an ( a > 0) , q ：方程一J + T ^~ = 1表示焦点在y 轴 m- 12— m&已知a , 3 €(0 , 1n )，则“ sin a + sin 3 v 玄”是“ sin(31a + 3 ) V 3 ”的解析：因为sin( 3 ) = sin a eos 3 + eos a sin 3 v sina + sin 3 ,所以若 sin 1a + sin 3 v 3，则有 sin( 1na + 3 ) V 3,故充分性成立；当a=3= "2时，有si n( a + 3 )7t =sin1 工n = 0v 3,而 sin3 a + sin 3 = 1 + 1 = 2,不满足 sin a + sin3 v 3，故必要性不上的椭圆•若p 是q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是22解析：由 a >0, m — 7am p 12a v 0,得 3a v m v 4a ,即 p ： 3a v m v 4a , a >0.由方程叶〔2y+= 1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2 — m>m- 1 > 0,解得 2— m3a > 1,因为p 是q 的充分不必要条件，所以 34a w2答案：£,2一 3 2 7尸x — 2x+仁「4丿+花，•-x€ I 3, 2,7•176w yw 2,x € A ”是“ x € B ”的充分条件,••• A? B,.・.1 — m w 176,33解得诈4或 mw —4,三上台阶，自主选做志在冲刺名校7…A —iy奇 yw2j由 x +m > 1,得 x > 1— • B —{x |x > 1—m }.2m ,解得3w a w 3,所以实数a 的取值范围是〔3,810.已知集合 A = y y = x 2—2x + 1, x € 4, ,B ={x |x + m 2》1}.若"x € A ” 是“x € B ”的充分条件，求实数 m 的取值范围. 解:故实数m 的取值范围是-pm1.已知p：x>k, q：士v 1,如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围x r IC. [1 ,+s ) D . (—g, — 1]3 3 2 —x解析：选 B 由v 1 得，—1 = v 0,即(x —2)( x + 1) >0，解得x v—1 或x + 1 x + 1 x + 1x> 2，由p是q的充分不必要条件知，k> 2,故选B.2 .在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k] ={4 n + k|n€ Z}，k= 0,1,2,3 ，则下列结论正确的为____________________ (填序号).①2 018 € [2];②—1€ [3]:③ Z= [0] U [1] U [2] U [3];④命题“整数a，b 满足a€ [1]，b€ [2]，贝U a+ b€ [3] ”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ a—b€ [0] ”.解析：由“类”的定义[k] = {4n + k|n€ Z}，k = 0,1,2,3 ，可知，只要整数m= 4n+ k，n€ Z，k= 0,1,2,3 ，贝U m€ [ k]，对于①中，2 018 = 4X 504+ 2,所以2 018 € [2]，所以符合题意；对于②中，—1 = 4X ( —1) + 3，所以符合题意；对于③中，所有的整数按被4除所得的余数分为四类，即余数分别为0,1,2,3的整数，即四“类” [0]，[1]，[2]，[3]，所以Z= [0] U [1] U [2] U [3]，所以符合题意；对于④中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若a+ b€ [3]，不妨设a= 0，b= 3,则此时a?[1]且b?[2]，所以逆命题不成立，所以不符合题意；对于⑤中，因为“整数a, b属于同一类”，不妨设a= 4m+ k, b= 4n+ k, m, n€Z,且k = 0,1,2,3 ，贝U a—b= 4( m—n) + 0，所以a—b€ [0]；反之，不妨设a= 4n u k1, b = 4n+ k2, m, n€ Z, k1= 0,1,2,3 , k2= 0,1,2,3 ,贝U a—b= 4( m—n) + ( k1—k2),若a—b€ [0], 则k1 —k2 = 0,即k1 = k2,所以整数a, b属于同一类，故“整数a, b属于同一类”的充要条件是“ a—b€[0] ”，所以符合题意.答案：①②③⑤3.已知全集U= R,非空集合A= lx x—x—a^I v 0>, B= {x|( x —a)( x—a2—2)v 0，命题p：x € A,命题q：x € B.(1) 当a= 12时，若p真q假，求x的取值范围；(2) 若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.解：(1)当a= 12 时，A= {x|2 v x v 37} , B= {x|12 v x v 146}，因为p 真q 假.所以(？旧n A= {x|2 v x< 12},所以x的取值范围为(2,12].(2)若q是p的必要条件，即p? q,可知A? B.A. [2 ,+s) B . (2 ,+s) 因为a + 2>a,所以B= {x| a v x v a + 2}.1当3a+ 1 >2，即a>-时，A= {x|2 v x v 3a+ 1},3a< 2, 1 3应满足条件2解得$ v a w ;a2+ 2>3a+1, 3 21当3a+ 1 = 2，即a= 3时，A= ?，不符合题意；1当3a+ 1 v2，即a v3时，A= {x|3a+ 1v x v2},3a w3 a + 1, 应满足条件:+ 2再综上所述，实数a的取值范围为—-。
2020年高考数学(理)一轮复习讲练测：专题1-2命题及其关系、充分条件与必要条件 (讲)含答案
专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念。
2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。
知识点一命题及其关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件1．充分条件、必要条件与充要条件的概念【特别提醒】若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A ，B 的其他关系对应的条件p ，q 的关系．提示 若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．考点一 命题及其关系【典例1】 (2018·北京卷)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________________________________________________。
【答案】f (x )＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一 ，再如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x ，0<x ≤2) 【解析】根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0).【规律方法】1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.【变式1】 （2019·河北衡水第一中学模拟）命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( )A .“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ”B.“若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ”C.“若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”D.“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”【答案】D【解析】命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”.考点二 充分条件与必要条件的判定【典例2】【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<，易知由05x <<推不出02x <<，由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件.故选B.【举一反三】 (2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】|a －3b |＝|3a ＋b |⇔(a －3b )2＝(3a ＋b )2⇔a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2，又∵|a |＝|b |＝1， ∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此|a －3b |＝|3a ＋b |是“a ⊥b ”的充要条件. 【规律方法】充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断.(2)集合法：根据使p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【变式2】【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.故选A.【举一反三】(2018·浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】若m ⊄α，n ⊂α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α.若m ∥α，m ⊄α，n ⊂α，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件.【答案】A考点三 充分条件、必要条件的应用【典例3】（2019·江苏泰州中学月考）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求实数m 的取值范围.【解析】由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0.综上，m 的取值范围是[0，3].【方法技巧】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【变式3】（2019·山东济南模拟） 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a ∈R ；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.若a <0且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【解析】由p 得(x －3a )(x －a )<0，当a <0时，3a <x <a .由q 得x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，则－2≤x ≤3或x <－4或x >2，则x <－4或x ≥－2. 设p ：A ＝(3a ，a )，q ：B ＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又p 是q 的充分不必要条件.可知A B ，∴a ≤－4或3a ≥－2，即a ≤－4或a ≥－23.又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0，即实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0.。
浙江专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二命题及其关系充分条件与必要条件含解析
课时跟踪检测（二）命题及其关系、充分条件与必要条件一抓基础，多练小题做到眼疾手快．“(－)＝”是“＝”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选若(－)＝，则＝或＝，即不一定是＝；若＝，则一定能推出(－)＝.故“(－)＝”是“＝”的必要不充分条件．．设，∈，则“＞且＜”是“＞”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选由＞，知＞，由＜，知＞＞，所以此时有＞，故充分性成立；当＞时，若，同号，则＜，若，异号，则＞，所以必要性不成立．故选.．设φ∈，则“φ＝”是“()＝(＋φ)(∈)为偶函数”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选若φ＝，则()＝为偶函数；若()＝(＋φ)(∈)为偶函数，则φ＝π(∈)．故“φ＝”是“()＝(＋φ)(∈)为偶函数”的充分不必要条件．．命题：“若＜，则＜”的逆命题为，则与的真假性为( )．真真．真假．假真．假假解析：选：若＜，则＜.∵：＜，则－＜＜.∴真，当＜时，＜不一定成立，∴假，故选.．若＞是＞的充分条件，则实数的取值范围为( )．(，＋∞)．[，＋∞)．(－∞，) ．(－∞，]解析：选由＞是＞的充分条件知，{＞}⊆{＞}，∴≤，故选.二保高考，全练题型做到高考达标．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”．“若一个数的平方是正数，则它是负数”．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．．命题“对任意实数∈[]，关于的不等式－≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )．≥．≤．≥．≤解析：选即由“对任意实数∈[]，关于的不等式－≤恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数∈[]，关于的不等式－≤恒成立”．因为∈[]，所以∈[]，－≤恒成立，即≤，因此≥；反之亦然．故选.．有下列命题：①“若＋＞，则＞且＞”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若≥，则－(＋)＋＋＞的解集是”的逆命题；④“若＋是无理数，则是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )．①②③．②③④．①③④．①④解析：选①的逆命题为“若＞且＞，则＋＞”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为，若－(＋)＋＋＞的解集为，则≥.∵当＝时，解集不是，∴应有(\\(＞，,Δ＜，))即＞.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．．(·浙江名校联考信息卷)已知直线的斜率为，倾斜角为θ，则“＜θ≤”是“≤”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选当＜θ≤时，＜≤；反之，当≤时，≤θ≤或＜θ＜π.故“＜θ≤”是“≤”的充分不必要条件，故选.．命题“对任意∈[)，－≤”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )．≥．＞．≥．＞解析：选要使“对任意∈[)，－≤”为真命题，只需要≥，∴＞是命题为真的充分不必要条件．．命题“若＞，则＞(，∈)”，否命题的真假性为．解析：命题的否命题为“若≤，则≤”．若＝，结论成立．若≠，不等式≤也成立．故否命题为真命题．答案：真．下列命题：①“＞”是“＞”的必要条件；②“＞”是“＞”的充要条件；③“＞”是“＋＞＋”的充要条件．其中是真命题的是(填序号)．解析：①＞＞，且＞＞，故①不正确；②＞⇔＞，故②正确；③＞⇒＋＞＋，且＋＞＋⇒＞，故③正确．答案：②③．已知α，β∈(，π)，则“ α＋β＜”是“(α＋β)＜”的条件．解析：因为(α＋β)＝αβ＋αβ＜α＋β，所以若α＋β＜，则有(α＋β)＜，故充分性成立；当α＝β＝时，有(α＋β)＝π＝＜，而α＋β＝＋＝，不满足α＋β＜，故必要性不成立．所以“ α＋β＜”是“(α＋β)＜”的充分不必要条件．答案：充分不必要．已知：实数满足＋＜(＞)，：方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆．若是的充分不必要条件，则的取值范围是．解析：由＞，－＋＜，得＜＜，即：＜＜，＞.由方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，可得－＞－＞，解得＜＜，即：＜＜.因为是的充分不必要条件，所以(\\(＞，≤()))或(\\(≥，＜()，))解得≤≤，所以实数的取值范围是.答案：．已知集合＝，＝{＋≥}．若“∈”是“∈”的充分条件，求实数的取值范围．解：＝－＋＝＋，∵∈，∴≤≤，∴＝.由＋≥，得≥－，∴＝{≥－}．∵“∈”是“∈”的充分条件，∴⊆，∴－≤，解得≥或≤－，故实数的取值范围是∪.三上台阶，自主选做志在冲刺名校．已知：≥，：＜，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )．[，＋∞)．(，＋∞)．[，＋∞) ．(－∞，－]解析：选由＜得，－＝＜，即(－)(＋)＞，解得＜－或＞，由是的充分不必要条件知，＞，故选.．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为[]＝{＋∈}，＝，则下列结论正确的为(填序号)．①∈[]；②－∈[]；③＝[]∪[]∪[]∪[]；④命题“整数，满足∈[]，∈[]，则＋∈[]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数，属于同一类”的充要条件是“－∈[]”．解析：由“类”的定义[]＝{＋∈}，＝，可知，只要整数＝＋，∈，＝，则∈[]，对于①中，＝×＋，所以∈[]，所以符合题意；对于②中，－＝×(－)＋，所以符合题意；对于③中，所有的整数按被除所得的余数分为四类，即余数分别为的整数，即四“类”[]，[]，[]，[]，所以＝[]∪[]∪[]∪[]，所以符合题意；对于④中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若＋∈[]，不妨设＝，＝，则此时∉[]且∉[]，所以逆命题不成立，所以不符合题意；对于⑤中，因为“整数，属于同一类”，不妨设＝＋，＝＋，，∈，且＝，则－＝(－)＋，所以－∈[]；反之，不妨设＝＋，＝＋，，∈，＝，＝，则－＝(－)＋(－)，若－∈[]，则－＝，即＝，所以整数，属于同一类，故“整数，属于同一类”的充要条件是“－∈[]”，所以符合题意．答案：①②③⑤．已知全集＝，非空集合＝错误!，＝{(－)(－－)＜，命题：∈，命题：∈.()当＝时，若真假，求的取值范围；()若是的必要条件，求实数的取值范围．解：()当＝时，＝{＜＜}，＝{＜＜}，因为真假．所以(∁)∩＝{＜≤}，所以的取值范围为(]．()若是的必要条件，即⇒，可知⊆.因为＋＞，所以＝{＜＜＋}．当＋＞，即＞时，＝{＜＜＋}，应满足条件(\\(≤，＋≥＋，))解得＜≤；当＋＝，即＝时，＝∅，不符合题意；当＋＜，即＜时，＝{＋＜＜}，应满足条件(\\(≤＋，＋≥))解得－≤＜；综上所述，实数的取值范围为∪.。
2020年数学新高考一轮复习(理) 命题及其关系、充分条件与必要条件
推出|a|＋|b|＞4；对选项 D，由 b＜－4 可得|a|＋|b|＞4，但
由|a|＋|b|＞4 得不到 b＜－4.故选 D.
答案：D
3．(2019·宁波模拟)已知四边形 ABCD 为梯形，AB∥CD， 返回
l 为空间一直线，则“l 垂直于两腰 AD，BC”是“l 垂直
于两底 AB，DC”的
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
若 p⇒q，则 p 是 q 的 充分 条件，q 是 p 成立的对象的集合 为 A，q 成立的对象的
p 的 必要 条件 集合为 B
p 是 q 的充分不必要 条件 p 是 q 的必要不充分 条件 p 是 q 的 充要 条件 p 是 q 的既不充分也 不必要 条件
p⇒q 且 q p
p q 且 q⇒p p⇔q
返回
1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否 定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．易忽视 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B A)与 A 的 充分不必要条件是 B(B⇒A 且 A B)两者的不同．
返回
[小题纠偏]
1．(2019·杭州模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的 ( )
解析：法一：因为 an＝kn＋2(n∈N *)，所以当 k＞2 时，an＋1
－an＝k＞2，则数列{an}为单调递增数列．若数列{an}为单调 递增数列，则 an＋1－an＝k＞0 即可，所以“k＞2”是“数列{an} 为单调递增数列”的充分不必要条件，故选 A.
法二：根据一次函数 y＝kx＋b 的单调性知，“数列{an}为单调 递增数列”的充要条件是“k＞0”，所以“k＞2”是“数列
假命题．
答案：C
3．给出以下四个命题：
2020年高考数学一轮复习考点02命题及其关系、充分条件与必要条件必刷题(含解析)
考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件1、命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．【答案】假【解析】命题“若x>0，则x2>0”的否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．也可以由逆命题为“若x2>0，则x>0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题．2、给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2，x∈R为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为____．【答案】③【解析】①因为函数y＝3x是R上的增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①是假命题；②若α＝3π2，β＝π2，则α>β，但cosα＝cosβ，充分性不得证，若α＝3π2，β＝2π，cosα<cosβ，但α<β，必要性不得证，所以“α>β”是“cosα<cosβ”的既不充分又不必要条件，故②是假命题；③若a＝0，则f(x)＝x3，x∈R，f(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数，若f(x)＝x3＋ax(x∈R)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)对任意的x∈R恒成立，即(－x)3＋a(－x)2＝－(x3＋ax2)，即ax2＝－ax2，即a＝0，所以“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax，x∈R为奇函数”的充要条件，故③是真命题，故填③.3、设有如下三个命题：甲：m∩l＝A，m，l⊂α，m，l⊄β；乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的________条件．【答案】充要【解析】由题意当甲成立时乙⇒丙，丙⇒乙．故当甲成立时乙是丙的充要条件．4、i、j是不共线的单位向量，若a＝5i＋3j，b＝3i－5j，则a⊥b的充要条件是________．【答案】i⊥j【解析】a⊥b⇔a·b＝0，即(5i＋3j)·(3i－5j)＝0，即15i2－16i·j－15j2＝0，∵|i|＝|j|＝1，∴16i·j＝0，即i·j＝0，∴i⊥j.5、有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 【答案】②③【解析】①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误． ②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．6、记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg (x －a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a 的取值范围为____． 【答案】(－∞，－3]【解析】由x 2＋x －6<0得－3<x<2，即A ＝(－3，2)，由x －a>0，得x>a ，即B ＝(a ，＋∞)．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A ⊆B ，所以a≤－3，故实数a 的取值范围为(－∞，－3]． 7、给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真； ③若a <b ，则am 2<bm 2； ④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号) 【答案】①④【解析】①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z)．故“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真命题，有“p ∨q ”为真命题，则“p ∧q ”为假命题，故②为假命题；③中，当m ＝0时，am 2＝bm 2，故③为假命题；④中，由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，故④为真命题．8、在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的________条件．【答案】必要不充分【解析】在△ABC 中，A >30°⇒0<sin A ≤1，不能推出sin A >12，而sin A >12⇒30°<A <150°，所以在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的必要不充分条件．9、下列命题的否命题为假命题的个数是________． ①p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； ②p ：有的三角形是正三角形； ③p ：所有能被3整除的整数为奇数； ④p ：每一个四边形的四个顶点共圆． 【答案】1【解析】①p 的否命题：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，为真命题； ②p 的否命题：所有的三角形都不是正三角形，为假命题；③p 的否命题：存在一个能被3整除的整数不是奇数，0是能被3整除的非奇数，该命题为真命题； ④p 的否命题：存在一个四边形的四个顶点不共圆，为真命题．10、已知||a ＝2||b ，命题p ：关于x 的方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实数根．命题q ：〈a ，b 〉∈[0，π3]，命题p 是命题q 的________条件． 【答案】充分不必要【解析】方程x 2＋||a x ＋a ·b ＝0没有实根，∴Δ＝||a 2－4a ·b ＝||a 2－4||a ||b cos 〈a ，b 〉＝||a 2－2||a 2cos 〈a ，b 〉<0，∴cos 〈a ，b 〉>12，又∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴0≤〈a ，b 〉<π3，∵[0，π3)⊆[0，π3]，∴p 是q 的充分不必要条件．11、“函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是________． 【答案】1≤a <19【解析】函数的图象全在x 轴上方，若f (x )是一次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＝0－a －＝0⇒a ＝1.若函数是二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0[－a －2－a 2＋4a －⇒1<a <19.反之若1≤a <19，由以上推导，函数的图象在x 轴上方．综上，充要条件是1≤a <19.12、(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围； (2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围． 【答案】(1) p ≥4 (2) 不存在实数p 满足题设要求 【解析】(1)当x >2或x <－1时，x 2－x －2>0， 由4x ＋p <0，得x <－p4，故－p4≤－1时，“x <－p4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件． (2)不存在实数p 满足题设要求．13、已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】(－∞，－34]∪[34，＋∞)【解析】化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，∵x ∈[34，2]，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈[716，2]，∴A ＝{y |716≤y ≤2}．化简集合B ，由x ＋m 2≥1， ∴x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B . ∴1－m 2≤716，∴m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．14、在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列． (1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真？并给出证明．【答案】(1) 在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列 (2) 此时逆命题为真【解析】(1)逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)当q ＝1时，逆命题为假，当q ＝－12时，逆命题为真，证明如下：数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 由题意知：2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1， 即2·a 1·qm ＋1＝a 1·qm －1＋a 1·q m.∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，有S m ＝ma 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1.显然：2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时逆命题为假． 当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1[1－－12m ＋2]1＋12＝43a 1[1－(－12)m ＋2]， S m ＋S m ＋1＝a 1[1－－12m]1＋12＋a 1[1－－12m ＋1]1＋12＝43a 1[1－(－12)m ＋2]， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真．15、设集合A ＝{x|x 2＋2x －3<0}，集合B ＝{x||x ＋a|<1}． (1) 若a ＝3，求A ∪B ；(2) 设命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) (－4，1) (2) [0，2]【解析】(1) 解不等式x 2＋2x －3<0，得－3<x<1，即A ＝(－3，1)． 当a ＝3时，由|x ＋3|<1，解得－4<x<－2，即集合B ＝(－4，－2)， 所以A ∪B ＝(－4，1)．(2) 因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集．又集合A ＝(－3，1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1≤1，解得0≤a≤2，即实数a 的取值范围是[0，2]．16、设函数y ＝lg (－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m)的值域为B.(1) 当m ＝2时，求A∩B；(2) 若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) (1，2) (2) (0，1] 【解析】(1) 由－x 2＋4x －3>0，解得1<x<3， 所以A ＝(1，3)．因为函数y ＝2x ＋1在区间(0，m)上单调递减，所以y ∈⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，所以当m ＝2时，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，所以A∩B＝(1，2)． (2) 由题意得m>0.因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 所以，即⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，3)，所以2m ＋1≥1，解得0<m≤1，故实数m 的取值范围为(0，1].17、已知非空集合A ＝{x|x －2x －（3a ＋1）<0}，B ＝{x|x －a 2－2x －a <0}．(1) 当a ＝12时，求∁R B ∩A ；(2) 命题p ：x ∈A ；命题q ：x ∈B .若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1) ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52 (2) a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52 【解析】(1) 当a ＝12时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94，∁R B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，所以∁R B ∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2) 由q 是p 的必要条件可得A ⊆B . 由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52；②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.18、已知命题“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题． (1) 求实数m 的取值集合M ；(2) 设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2 (2) (－∞，－14)∪(94，＋∞)【解析】(1) 由题意知，方程x 2－x －m ＝0在区间(－1，1)上有解，即m 的取值范围即为函数y ＝x 2－x 在区间(－1，1)上的值域，易得－14≤m <2，所以M ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2.(2) 因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a >2－a ，即a >1时，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94； 当a <2－a ，即a <1时，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－14)∪(94，＋∞).。
2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件含答案
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．了解命题的概念．2．了解四种命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义，能初步判断给定的两个命题的关系．知识梳理1．命题及其真假(1)命题：在数学上，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)真命题：判断为真的语句叫做真命题.(3)假命题：判断为假的语句叫做假命题.2．四种命题的形式(1)原命题：“若p，则q”，其中p为命题的条件，q为命题的结论．(2)逆命题：“若q，则p”，即交换原命题的条件和结论．(3)否命题：“若﹁p，则﹁q”，即同时否定原命题的条件和结论．(4)逆否命题：“若﹁q，则﹁p”，即交换原命题的条件和结论后，再同时加以否定．3．四种命题的关系4．四种命题的真假关系(1)互为逆否的两个命题的真假性相同.(2)互逆或互否的两个命题的真假性没有关系.(3)四种命题的真假成对出现，即原命题与逆否命题的真假性相同，逆命题与否命题的真假性相同.5．充分条件与必要条件(1)如果p?q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．(2)如果p?q，但q p，则p是q的充分必要条件．(3)如果p?q，且q?p，则称p是q的充要条件．(4)如果q?p，且p q，则p是q的必要不充分条件．(5)如果p q，但q p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．若p是q的充分不必要条件，则﹁p是﹁q的必要不充分条件．2．若p，q以集合的形式出现，记条件p、q对应的集合分别为P，Q，一般地有，若P?Q，则p是q的充分条件；若Q?P，则p是q的必要条件；若P Q，则p是q的充分不必要条件；若P Q，则p是q的必要不充分条件；若P＝Q，则p是q的充要条件．热身练习1．下列语句中，不能构成命题的是(C)A．5>12 B．若1x＝1y，则x＝yC．x>0 D．若x<y，则x2<y2一个语句是不是命题，关键是看能否判断真假，因为x>0无法判断真假，因此不能构成命题．2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(D)A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x －m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.3．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为(B)A．0 B．2C．3 D．4原命题：若x＝－1，向量a＝(1，－1)，b＝(1，－1)，a与b共线，所以原命题为真，故逆否命题也为真．逆命题为：若向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则x＝－1.当a与b共线时，x(x＋2)＝x，解得x＝0或－1.所以逆命题为假命题，从而否命题也为假命题．故真命题的个数为 2.4．(2016·四川卷)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件因为x＞1，y＞1，所以x＋y＞2，即p?q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q p.故p是q的充分不必要条件．5．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(C)A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p成立时，q不一定成立；当q成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件．四种命题及其真假判断原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，由共轭复数的定义可知为真命题，所以逆否命题也为真命。
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件 含解析
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题02命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.基础知识融会贯通1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念【知识拓展】从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⊆B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A⊇B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⊊B且A⊊B，则p是q的既不充分也不必要条件．重点难点突破【题型一】命题及其关系【典型例题】原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A．0个B．1个C．2个D．4个【解答】解：原命题：若c＝0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．故选：C．【再练一题】下列命题：①∀x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3成立；②若log2x+log x2≥2，则x＞1；③命题“”的逆否命题；④若命题p：∀x∈R，x2+1≥1，命题q：∃x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，则命题p∧¬q是真命题．其中真命题只有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：不等式x2+2x＞4x﹣3可化为x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞0由实数的性质我们易得该不等式恒成立，故①为真命题；log2x+log x2≥2，则log2x＞0，即x＞1，故②为真命题；根据不等式的性质，成立，由原命题和其逆否命题真假性一致，故③为真命题；根据实数的性质，命题p：∀x∈R，x2+1≥1为真命题，命题q：∃x∈R，x2﹣2x﹣1≤0也为真命题，则¬q是假命题则命题p∧¬q也是假命题，故④为假命题；综上，①②③为真命题故选：A．思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【题型二】充分必要条件的判定【典型例题】“a＝2”是“复数z（a∈R）为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：复数z a﹣2+（a+2）i（a∈R）为纯虚数，则a﹣2＝0，a+2≠0．∴“a＝2”是“复数z（a∈R）为纯虚数”的充要条件．故选：C．【再练一题】已知命题p：“”，命题q：2019x＞2019，则p是q的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：解分式不等式得：x＜0或x＞1，即命题p：x＜0或x＞1，解指数不等式2019x＞2019得：x＞1，即命题q：x＞1，即p是q的必要不充分条件，故选：B．思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．【题型三】充分必要条件的应用【典型例题】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．（1）当m＝0时，求A∩B；（2）若p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，…B＝{x|（x+1）（x﹣1）≥0}＝{x|x≥1或x≤﹣1}．…∴A∩B＝{x|1≤x＜3}．…（2）由于命题p为：（﹣1，3），…而命题q为：（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞），…又q是p的必要不充分条件，即p⇒q，…所以m+1≤﹣1或m﹣1≥3，解得m≥4或m≤﹣2即实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．…【再练一题】．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由|x﹣3|＜1，得﹣1＜x﹣3＜1，得2＜x＜4即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，设A＝{x|￢p}，B＝{x|￢q}，则A⊊B，又A＝{x|￢p}＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|￢q}＝{x|x≥4或x≤2}，则0＜a≤2，且3a≥4∴实数a的取值范围是．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．基础知识训练1．有如下命题：①函数中有三个在上是减函数；②函数有两个零点；③若，则其中真命题的个数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题①函数中，根据函数的单调性易知，三个函数在上是减函数，在R上递增的，故①正确；②令函数=0化简：=x+2，作出图像有两个交点，故由两个零点；②正确；③若，因为为单调递减函数，所以故③正确.故选D2．下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C．命题“，使得”的否定是“，均有”D．“若的极值点，则”的逆命题为真命题【答案】D【解析】解：A,由原命题与逆否命题的构成关系,可知A正确；B,当a=2>1时,函数在定义域内是单调递增函数，当函数定义域内是单调递增函数时，a>1.所以B正确；C,由于存在性命题的否定是全称命题,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正确；D,的根不一定是极值点，例如:函数,则=0，即x=0就不是极值点,所以“若的极值点，则”的逆命题为假命题,故选D.3．下列命题中真命题的是A．若为假命题，则p，q均为假命题B．“”是“”的充要条件C．命题：若，则的逆否命题为：若，则D．对于实数x，y，p：，q：，则p是q的充分不必要条件【答案】D【解析】若为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故A错误；若，则，可得，反之不成立，故B错误；命题：若，则的逆否命题为：若，则，故C错误；对于实数x，y，p：，q：，由，可得，即p可得q，反之由q推不到p，则p是q的充分不必要条件，故D正确．故选：D．4．下列有关命题的叙述错误的是A．命题“”的否定是“”B．已知向量，则“”是“”的充分不必要条件C．命题“若，则的逆否命题为“若，则”D．“”是的充分不必要条件【答案】B【解析】命题“”的否定是“”，故正确；向量，则，则“”是“”的必要不充分条件，故错误；“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故正确；，可得的充分不必要条件，故正确．故选B．5．设是方程的两个不等实根，记.下列两个命题：①数列的任意一项都是正整数；②数列第5项为10. ( )A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误【答案】A【解析】因为是方程的两个不等实根，所以1，，因为，所以，即当时，数列中的任一项都等于其前两项之和，又1，，所以，以此类推，即可知：数列的任意一项都是正整数，故①正确；②错误；因此选A6．下面命题正确的是A．若，则B．命题“”的否定是“”C．若向量满足，则的夹角为钝角D．“”是“”的必要不充分条件【答案】D【解析】对于A选项，当为负数时，不成立，故为假命题.对于B选项，特称命题的否定是全称命题，故B选项错误.对于C选项，当两个向量可能反向，夹角为，不是钝角，故C选项错误.“”不能推出“”，“”则一定满足“”，故“”是“”的必要不充分条件，故D选项是真命题.故选D.7．下列命题中正确的是（）A．在中，为等腰三角形的充要条件B．“”是“”成立的充分条件C．命题“”的否定是“”D．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”【答案】B【解析】当时，三角形为等腰三角形，但是，排除A选项.构造函数，故函数上单调递增，所以当时，，即，故B选项正确.特称命题的否定是全称命题，不需要否定，故C选项错误.“”的否定应该是“”，故D选项错误.综上所述，本小题选B.8．“是“直线与圆相切的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与圆，则圆心到直线得距离，即，即，即，即是“直线与圆相切的充分不必要条件，故选：A．9．函数上不单调的一个充分不必要条件是A．B．C．D．【答案】A【解析】所以令因为函数上不单调即上由实数根a=0时，显然不成立，a≠0时，只需，解得即a∈它的充分不必要条件即为一个子集所以选A10．“”是“对任意恒成立”的A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：对任意恒成立，推不出，，”是“对任意恒成立”的必要不充分条件．故选：C．11．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是A．B．C．D．【答案】B【解析】方程表示双曲线，选项是的充分不必要条件，选项范围是的真子集，只有选项符合题意，故选B．12．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，则，所以，即“”不能推出“”，反之也不成立，因此“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D13．设：关于的方程有解；：函数在区间上恒为正值，则的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意知：即方程有解，，所以，上恒成立，则，解得，所以的必要不充分条件.故选C.14．设，直线，直线，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意，当时，两直线，此时两直线不平行，当时，若，则满足，由，解得，当时，成立，当时，成立，即两直线是重合的（舍去），故所以的充要条件，故选C.15．若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由，由，若“”是“”的充分而不必要条件，则，得.故选：B．16．已知其中a为常数，且若p为真，求x的取值范围；若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】，得，即命题p是真命题是x的取值范围是，，若，则，若，则，若p是q的必要不充分条件，则q对应的集合是p对应集合的真子集，若，则满足，得，若，满足条件．即实数a的取值范围是．17．已知命题；命题（1）若的必要条件，求实数的取值集合；（2）当时，若为真，为假，求实数的取值集合【答案】（1）（2）【解析】（1）时，舍时，舍时，得实数的取值集合为（2）由题意可知一真一假时，真时对应集合为假时对应集合为，真时对应集合为假时对应集合为假时得真时得综上得实数的取值集合18．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足. (Ⅰ) 若命题中椭圆的长轴长为短轴长的2倍，求实数的值；(Ⅱ) 命题是命题的什么条件？【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）充分不必要条件【解析】(Ⅰ)若命题A为真命题，则，解得：，若椭圆的长轴长为短轴长的2倍，即，解得：，又，∴实数的值为.（Ⅱ）命题成立的条件为.由，得，∴命题成立的条件为，，∴命题是命题的充分不必要条件.19．已知.（1）是否存在实数，使的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数，使的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）不存在实数，使的充要条件（2）当实数时，的必要条件【解析】（1）.要使的充要条件，则，即此方程组无解，则不存在实数，使的充要条件；（2）要使的必要条件，则，当时，，解得；当时，，解得要使，则有，解得，所以，综上可得，当实数时，的必要条件．20．已知命题对数式）有意义；命题实数满足不等式. （1）若为真，求实数的取值范围；（2）若的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）由对数式有意义得：，解得：，即实数的取值范围是.（2）∵的充分不必要条件，∴是不等式解集的真子集.令，∴，故只需，即，解得.即的取值范围是能力提升训练1．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合题意可知,而,得到解得,故可以推出结论,而当得到,故由结论推不出条件,故为充分不必要条件.2．给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②定义在上的偶函数的最大值为30；③命题“”的否定形式是“”.其中正确说法的个数为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】对于①，当时，一定有，但是当时，，所以“”是“”的充分不必要条件，所以①正确；对于②，因为为偶函数，所以，因为定义域为，所以，所以函数的最大值为，所以②正确；对于③，命题“”的否定形式是“”，所以③是错误的；故正确命题的个数为2，故选C.3．角是△的两个内角.下列六个条件中，“”的充分必要条件的个数是①；②；③；④；⑤；⑥A．B．C．D．【答案】D【解析】逐一考查所给的条件：由正弦定理可知；在△ABC中，故；函数在区间上单调递减，故；当时，易知，则，当时，由于，故，据此可得：，据此可得：，综上可得：；当时，无意义，则⑤⑥均不是“”的充分必要条件.综上可得：“”的充分必要条件的个数是4.本题选择D 选项.4．已知抛物线C: 24x y =，直线:1l y =-，PA,PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为A,B ，则“点P 在直线l 上”是“PA ⊥PB ”的( )条件A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】C【解析】（1）若P A P B ⊥,设(),P m n ，切线斜率显然存在且不为0，设方程为代入24x y =中得到：，所以，由韦达定理可得，故P 在直线l上；（2）若P 在直线l 上，设(),1P m -，切线方程为代入24x y =，可得，所以1PA PB k k =-，故PA PB ⊥，“点P 在直线l 上”是“PA PB ⊥”的充要条件，故选C.5．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可以推出成立”，给出以下四个命题： ① 若，则；② 若，则；③ 若，则；④ 若，则.其中真命题的个数为（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】对于①，由于f(3)=9时，可以使得f(4)<16，这并不与题设矛盾，所以当f(3)≥9时，由题设不一定得到f(4)≥16成立，所以①为假命题．对于②，∵f(3)=10>9，∴f(4)>4²，∴f(5)>5²=25，所以②为真命题；对于③，若f(4)>16，则f(5)>25，这与f(5)=25矛盾，所以f(4)≤16，所以③为真命题； 对于④，∵f(x)≥(x+1)²>x²，∴f(x+1)>(x+1)²>x²，即有f(x+1)≥x²，所以④为真命题． 综上可得②③④为真命题． 故选C ．6．给出以下命题，其中真命题的个数是（ ） ①若“”是假命题，则“”是真命题；②命题“若，则”为真命题；③若，则！④直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有3条；A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】 ①命题“”是假命题，所以为真命题，是假命题。
2020高考数学(理)一轮复习课时作业2命题及其关系充分条件与必要条件 含解析
③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，真命题．
答案：②③
13．[2017·天津卷]设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的________条件．
解析：由2－x≥0，得x≤2；由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，因为[0,2](－∞，2]，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．
答案：必要不充分
14．已知集合A＝ ，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围为________．
答案：C
2．[2019·四川成都市高中毕业班第一次诊断检测]命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c
B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>b＋c，则a>b
D．若a>b，则a＋c≤b＋c
解析：命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.
综上，条件p是条件q成立的充分不必要条件．故选A.
答案：A
16．[2019·湖南联考]“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()
A．m> B．0<m<1
C．m>0 D．m>1
解析：若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m> ，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，可以有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.
(课标通用)2020版高考数学大一轮复习第一章2第二节命题及其关系、充分条件与必要条件精练(理)
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题p:“若x2<1,则x<1”的逆命题为q,则p与q的真假性为( )A.p真q真B.p真q假C.p假q真D.p假q假答案 D q:若x<1,则x2<1.由x2<1,解得-1<x<1,∴p假,当x<1时,x2<1不一定成立,∴q假.故选D.2.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0⇒x<0;而x<0⇒/-1<x<0.故选B.3.“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B 直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直,所以a(a+2)+1×(-3)=0,解得a=1或a=-3,故“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的充分不必要条件.4.(2019辽宁沈阳质检)命题“若x2+3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为( )A.“若x=4,则x2+3x-4=0”,真命题B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”,真命题C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”,假命题D.“若x=4,则x2+3x-4=0”,假命题答案 C 根据逆否命题的定义可以排除A、D,因为x2+3x-4=0,所以x=-4或1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.5.(2018江西南昌摸底调研)已知m,n为两个非零向量,则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件<θ<π,则cosθ<0,则m·n<0成立;当θ=π答案 B 设m,n的夹角为θ,若m,n的夹角为钝角,则π2时,m·n=-|m|·|n|<0成立,但m,n的夹角不为钝角.故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件,故选B.6.下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x ≠0”B.命题“若cosx=cosy,则x=y ”的逆否命题为真命题C.命题“a,b 都是有理数”的否定是“a,b 都不是有理数”D.“若x+y=0,则x,y 互为相反数”的逆命题为真命题答案 D A 中,命题的否命题为“若xy ≠0,则x ≠0”,选项A 不正确;B 中,命题“若cosx=cosy,则x=y ”为假命题,因此其逆否命题为假命题;对于C,命题“a,b 都是有理数”的否定是“a,b 不都是有理数”,所以C 错误;D 中命题为真命题.故选D.7.已知命题α:如果x<3,那么x<5;命题β:如果x ≥3,那么x ≥5;命题γ:如果x ≥5,那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系,下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.A.①③B.②C.②③D.①②③答案 A 本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换,故①正确,②错误,③正确.8.已知等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,则“d>0”是“S 4+S 6>2S 5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C 解法一:S 4+S 6>2S 5等价于(S 6-S 5)+(S 4-S 5)>0,等价于a 6-a 5>0,等价于d>0.故选C.解法二:∵S n =na 1+12n(n-1)d,∴S 4+S 6-2S 5=4a 1+6d+6a 1+15d-2(5a 1+10d)=d,则S 4+S 6>2S 5等价于d>0.故选C. 9.设a,b ∈R,则“a>b ”是“a|a|>b|b|”的 条件.答案 充要解析 设f(x)=x|x|,则f(x)={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,所以f(x)是R 上的增函数,所以“a>b ”是“a|a|>b|b|”的充要条件.10.原命题“设a 、b 、c ∈R,若a>b,则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 .答案 2解析 由题意可知原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题;逆命题为“设a 、b 、c ∈R,若ac 2>bc 2,则a>b ”,该命题是真命题,所以否命题也是真命题.故真命题有2个11.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是.答案[3,8)解析因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3,又p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8.故实数m 的取值范围是[3,8).12.(2019安徽合肥模拟)已知条件p:x∈A,且A={x|a-1<x<a+1},条件q:x∈B,且B={x|y=√x2-3x+2}.若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是.答案{a|a≤0或a≥3}解析易得B={x|x≤1或x≥2},且A={x|a-1<x<a+1},因为p是q的充分条件,所以A⊆B,所以a+1≤1或a-1≥2,所以a≤0或a≥3.所以实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥3}.13.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.解析(1)逆命题:已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,为真命题.(2)否命题:已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0无实数解,则a2<4b,为真命题.(3)逆否命题:已知a,b∈R,若a2<4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0无实数解,为真命题.。
2020版高考数学一轮复习课后限时集训2命题及其关系充分条件与必要条件文含解析北师大版20190627280
课后限时集训(二)(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．(2019·太原模拟)已知a，b∈R，命题“若ab＝2，则a2＋b2≥4”的否命题是( ) A．若ab≠2，则a2＋b2≤4B．若ab＝2，则a2＋b2≤4C．若ab≠2，则a2＋b2＜4D．若ab＝2，则a2＋b2＜4C[命题“若ab＝2，则a2＋b2≥4”的否命题是“若ab≠2，则a2＋b2＜4”，故选C.] 2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”B[命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”，故选B.]3．(2019·福州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则f(0)＝0是f(x)为奇函数的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[f(0)＝0D/⇒f(x)是奇函数，但f(x)在R上是奇函数⇒f(0)＝0，因此f(0)＝0是f(x)为奇函数的必要不充分条件，故选B.]4．已知x∈R，则“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－3x＋2＞0得x＜1或x＞2，所以“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件，故选A.]5．(2019·莆田模拟)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪、非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )A．充要条件B．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件D [“非有志者不能至也”的等价说法是“到达奇伟、瑰怪，非常之观的人是有志的人”，因此“有志”是“到达奇伟，瑰怪，非常之观”的必要条件，但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件，故选D.]6．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”C [对于C ，命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0”，由Δ＝1＋4m ≥0得m ≥－14，故C 错误．] 7．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A ．a ＞5B ．a ≥5C ．a ＜5D ．a ≤5 D [由x ＞5是x ＞a 的充分条件知，{x |x ＞5}⊆{x |x ＞a }．∴a ≤5，故选D.]二、填空题8．有下列几个命题：①命题“若α＝β，则sin α＝sin β”的逆否命题为真命题；②命题“若a ＜b ，则ac 2≤bc 2”的逆命题为真命题；③“常数m 是2与8的等比中项”是“m ＝4”的必要不充分条件；④“x ＜－1”是“ln(x ＋2)＜0”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________．①③ [对于①，原命题为真命题，∴逆否命题为真命题，故①正确；对于②，逆命题为“若ac 2≤bc 2，则a ＜b ”，当c ＝0时不成立，故②错误；对于③，由m 是2与8的等比中项得m 2＝16，解得m ＝±4.因此，“常数m 是2与8的等比中项”是“m ＝4”的必要不充分条件，故③正确；对于④，由ln(x ＋2)＜0得，0＜x ＋2＜1，即－2＜x ＜－1，因此“x ＜－1”是“ln(x ＋2)＜0”的必要不充分条件，故④错误．]9．“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件． 充分不必要 [x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m ＜14⇒m ≤14，反之不成立．故“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．] 10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(4，＋∞) [A ＝{x |x ＜4}，由题意知A B ，所以a ＞4.]B 组 能力提升1．(2019·长沙模拟)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1 C [由Δ＝1－4m ＜0得m ＞14，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞应是所求的一个真子集，故选C.] 2．若向量a ＝(a －1,2)，b ＝(b,4)，则“a∥b ”是“a ＝1，b ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [由a∥b 可知4(a －1)－2b ＝0，即2a －b ＝2，推不出“a ＝1，b ＝0”；而a ＝1，b ＝0，满足2a －b ＝2，可推出“a∥b ”．故选B.]3．(2019·郑州模拟)已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．(－∞，－7]∪[1，＋∞) [由命题p 中的不等式(x －m )2＞3(x －m )，得(x －m )(x －m －3)＞0，解得x ＞m ＋3或x ＜m .由命题q 中的不等式x 2＋3x －4＜0，得(x －1)(x ＋4)＜0，解得－4＜x ＜1.因为命题p 是命题q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，即m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.所以m 的取值范围为m ≥1或m ≤－7.]4．(2017·北京高考)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a ＋b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．－1，－2，－3(答案不唯一) [只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．]。
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C [因为将原命题的条件和结论同时否定之后，可得到原命题的否命题，所以命题“若 ab＝2，
则 a2＋b2≥4”的否命题是“若 ab≠2，则 a2＋b2＜4”，故选 C.]
2．给出命题：若函数 y＝f(x)是幂函数，则函数 y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、
否命题、逆否命题 3 个命题中，真命题的个数是( )
③原命题的逆否命题为“若 x≥2 或 x≤－2，则 x2≥4”，正确．]
10．设 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2＜0，其中 a≠0，q：实数 x 满足Error!若 p 是 q 的必要不
充分条件，则实数 a 的取值范围是________．
(1,2] [因为 p 是 q 的必要不充分条件，即 q⇒p 但 p q，设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
由 x2－5x－6＝0，解得 x＝－1 或 x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条
件，故 B 不正确；C 中，“∃x∈R，使得 x2＋x＋1＜0”的否定是“∀x∈R，均有 x2＋x＋1≥0”，
故 C 不正确；D 中，命题“若 x＝y，则 sin x＝sin y”为真命题，因此其逆否命题为真命题，
D．[－1,1]
D [∵x＞2m2－3 是－1＜x＜4 的必要不充分条件，
∴(－1,4)⊆(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选 D.]
二、填空题
8．直线 x－y－k＝0 与圆(x－1)2＋y2＝2 有两个不同交点的充要条件是_______．
|1－0－k|
k∈(－1,3) [直线 x－y－k＝0 与圆(x－1)2＋y2＝2 有两个不同交点等价于
ab
B [由 a＝2b 可知：a，b 方向相同， ， 表示 a，b 方向上的单位向量，所以 ＝ 成立；
|a| |b|
|a| |b|
反之不成立．故选 B.]
7．若 x＞2m2－3 是－1＜x＜4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是( )
A．[－3,3]
B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
则 BA，又 B＝(2,3]，当 a＞0 时，A＝(a,3a)；当 a＜0 时，A＝(3a，a)，
所以当 a＞0 时，有Error!
解得 1＜a≤2；当 a＜0 时，显然 A∩B＝∅，不合题意．
综上所述，实数 a 的取值范围是(1,2]．]
பைடு நூலகம்
B 组 能力提升
1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，“攻破楼兰”是
A．a＞b＋1
B．a＞b－1
C．a2＞b2
D．a3＞b3
A [a＞b＋1⇒a＞b，但反之未必成立，故选 A.] ab
6．(2019·山师大附中模拟)设 a，b 是非零向量，则 a＝2b 是 ＝ 成立的( ) |a| |b|
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
ab
A．3
B．2
C．1
D．0
C [原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数 y＝f(x)的图象不过
第四象限，则函数 y＝f(x)是幂函数，”显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命
题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中真命题只有 1 个．]
3．命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆否命题是( )
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得 x2＋x＋1＜0”的否定是“∀x∈R，均有 x2＋x＋1＜0”
D．命题“若 x＝y，则 sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
D [A 中，命题“若 x2＝1，则 x＝1”的否命题为“若 x2≠1，则 x≠1”，故 A 不正确；B 中，
＜ 2，
2
解之得－1＜k＜3.]
9．有下列几个命题：
①“若 a＞b，则 a2＞b2”的否命题；
②“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；
③“若 x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
②③ [①原命题的否命题为“若 a≤b，则 a2≤b2”，错误．
②原命题的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0”，正确．
故 D 正确，故选 D.]
3．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的( ) A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若 A＝－B＝0，则 Sn＝0，数列{an}不是等比数列；若数列{an}是等比数列，则由 a1＝Aq＋B，a2
课后限时集训(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件
(建议用时：40 分钟)
A 组 基础达标
一、选择题
1．已知 a，b∈R，命题“若 ab＝2，则 a2＋b2≥4”的否命题是( )
A．若 ab≠2，则 a2＋b2≤4
B．若 ab＝2，则 a2＋b2≤4
C．若 ab≠2，则 a2＋b2＜4
D．若 ab＝2，则 a2＋b2＜4
A．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
B．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
C．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
D．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
C [“都是”的否定是“不都是”，故选 C.]
4．(2019·佛山模拟)已知 a，b 都是实数，那么“ a＞ b”是“ln a＞ln b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由 ln a＞ln b⇒a＞b＞0⇒ a＞ b，故必要性成立．
当 a＝1，b＝0 时，满足 a＞ b，但 ln b 无意义，所以 ln a＞ln b 不成立，故充分性不成立．]
5．下面四个条件中，使 a＞b 成立的充分而不必要的条件是( )
“返回家乡”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返
回家乡”的必要条件．]
2．(2019·广东七校联考)下列说法正确的是( )
A．命题“若 x2＝1，则 x＝1”的否命题为“若 x2＝1，则 x≠1”
a3 a2
＝Aq2－Aq，a3＝Aq3－Aq2
及＝得 a2 a1
A＝－B，故选
B.]
4．(2019·山西五校联考)已知 p：(x－m)2＞3(x－m)是 q：x2＋3x－4＜0 的必要不充分条件，
则实数 m 的取值范围为________．
(－∞，－7]∪[1，＋∞) [p 对应的集合 A＝{x|x＜m 或 x＞m＋3}，q 对应的集合 B＝{x|－4＜x ＜1}，由 p 是 q 的必要不充分条件可知 BA，所以 m≥1 或 m＋3≤－4，即 m≥1 或 m≤－7.]