2012新高考全案 第10章 圆锥曲线与方程 课件和同步练习10-2

第10章 第2讲
1．(2011·广州一模)已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a ＞0)与双曲线x 24－y 2
3＝1有相同的焦点，则a 的
值为( )
A. 2
B.10 C ．4 D ．10
[答案] C
2．(2010·课标，5)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. 6
B. 5
C.6
2
D.52 [解析] 由焦点在x 轴上且双曲线渐近线方程知，b a ＝2
4，即a ＝2b ，c ＝a 2＋b 2＝5b ，
所以e ＝
5
2
.故选D. [答案] D
3．(2009·天津卷文)设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲
线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±2
2
x
D ．y ＝±12
x
[解析] 由已知得到b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝2，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2
2
x .
[答案] C
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 2
12＝1 B.x 212－y 2
4＝1 C.x 210－y 2
6
＝1 D.x 26－y 2
10
＝1
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
e ＝c a ＝2
c ＝4得a ＝2，∴b ＝23，
∴双曲线方程为x 24－y 2
12＝1.
[答案] A
5．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，那么这
个双曲线的离心率e 等于( )
A ．2
B ．3 C.5
3
D.4
3
[解析] 由已知2b ＝a ＋c ，则2c 2－a 2 ＝a ＋c ⇒3c 2－2ac －5a 2＝0⇒3e 2－2e －5＝0 ⇒(3e －5)(e ＋1)＝0⇒e ＝5
3，e ＝－1(舍去)．
故选C. [答案] C
6．过原点的直线l 与双曲线x 24－y 2
3＝1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是( )
A ．(－32，32]
B ．(－
32，3
2
) C ．(－
32，0)∪(0，32
) D ．(－∞，－
32)∪(3
2
，＋∞) [解析] ∵双曲线的渐近线的斜率k ＝±32.由数形结合，可得－32＜k l ＜3
2，故选B.
[答案] B 二、填空题
7．(2008·山东)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．
[解析] 圆C 与坐标轴的交点为(2,0)，(4,0)． ∴c ＝4，a ＝2，
∴b ＝2 3.故其标准方程为x 24－y 2
12＝1.
[答案] x 24－y 2
12
＝1
8．(2009·汕头一模)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为________．
[答案] x 2－y 2＝2
9．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±1
2x ，则该双曲线的率心率e ＝________.
[解析] 由题可知b a ＝1
2⇒ a ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2
∴c 2＝54a 2
∴e ＝c a ＝52.
[答案]
52
10．(2009·深圳一模)设平面区域D 是由双曲线y 2
－x 24＝1的两条渐近线和椭圆x 22＋y 2
＝1
的右准线所围成三角形的边界及内部．若点(x ，y )∈D ，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________．
[答案] 6 三、解答题
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→
＝0. [解] (1)∵e ＝2，
∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，(λ≠0) 把点(4，－10)代入得16－10＝λ即λ＝6 ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.
(2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝2 3 ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)
∴MF 1→＝(3＋23，m )，MF 2→
＝(3－23，m ) ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2 ∵点M 在双曲线上， ∴9－m 2＝6即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.
12．就m 的不同取值，讨论方程x 29－m 2＋y 2m 2－4＝1所表示的曲线类型．
[解] ①当9－m 2＝m 2－4≠0，即m ＝±
26
2
时，方程所表示的曲线为圆．
②当9－m 2＞0且m 2－4>0且m ≠±262即－3＜m ＜－2或2＜m ＜3且m ≠±26
2
时，方程所表示的曲线为椭圆．
③当(9－m 2)(m 2－4)＜0即m ＞3或m ＜－3或－2＜m ＜2时方程所表示的曲线为双曲线． 13．(2010·广东，20)已知双曲线x 22－y 2
＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P (x 1，y 1)，
Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．
(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；
(2)(理)若过点H (0，h )(h ＞1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2，求h 的值．
[解] (1)由题设知|x 1|＞2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有 直线A 1P 的方程为y ＝y 1
x 1＋2(x ＋2)，①
直线A 2Q 的方程为y ＝
－y 1
x 1－2
(x －2)．② 解法一：联立①②解得交点坐标为x ＝2x 1，y ＝2y x 1，即x 1＝2x ，x 1＝2y
x ，③
则x ≠0，|x |＜ 2.
而点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2
＝1上，
∴x 12
2
－y 12＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹E 的方程为x 22＋y 2
＝1，x ≠0且x ≠±2.
解法二：设点M (x ，y )是A 1P 与A 2Q 的交点， ①×②得y 2
＝－y 12x 12－2
(x 2
－2)．③
又点P (x 1，y 1)在双曲线上，因此
x 122－y 12＝1，即y 12＝x 1
2
2－1.代入③式整理得x 22
＋y 2＝1. 因为点P ，Q 是双曲线上的不同两点， 所以它们与点A 1，A 2均不重合． 故点A 1和A 2均不在轨迹E 上．
过点(0,1)及A 2(2，0)的直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －2＝0，x 22
－y 2＝1得x ＝2，y ＝0.
所以直线l 与双曲线只有唯一交点A 2.
故轨迹E 不经过点(0,1)．同理轨迹E 也不经过点(0，－1)． 综上分析，轨迹E 的方程为 x 22
＋y 2
＝1，x ≠0且x ≠±2. (2)(理)设过点H (0，h )的直线为y ＝kx ＋h (h ＞1)，联立x 22＋y 2
＝1得
(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0.
令Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0得h 2－1－2k 2＝0， 解得k 1＝
h 2－1
2
，k 2＝－h 2－1
2
. 由于l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－h 2－1
2
＝－1，故h ＝ 3.
过点A 1，A 2分别引直线l 1，l 2通过y 轴上的点H (0，h )，且使l 1⊥l 2， 因此A 1H ⊥A 2H ，由
h 2×⎝
⎛⎭⎫－h 2＝－1，得h ＝ 2.
此时，l 1，l 2的方程分别为y ＝x ＋2与y ＝－x ＋2，它们与轨迹E 分别仅有一个交点
⎝⎛⎫－23
，223与⎝⎛⎭⎫23，223.
所以，符合条件的h 的值为3或 2.
亲爱的同学请写上你的学习心得。