3.4 n维向量及其运算

A1 A2
A3 A5
A=
A4
324 244 412 213 225
541 307 343
α 1 = ( 324 , α 2 = ( 244, , α 3 = ( 412, ,
α 4 = ( 213, , α 5 = ( 225, ,
324 244 β 1 = 412 , 213 225
记
三 ,向量内积
a1 b1 n 定义1: 内积, 定义 : α = , β = ,称实数 ∑ a i bi为向量 α与 β的内积 设 i =1 a b n n
记作: (α 记作: , β ) = ∑ ai bi
n i =1
T T 向量内积, 向量内积,可用矩阵乘法表示为 (α , β ) = β α = α β
§3.4
n维向量及其运算 维向量及其运算
一,n维向量的概念
二,向量的线性运算 三,向量的内积
一,n维向量的概念
定义 数域F上的n个数a1 , a 2 , , an 组成的一个有序数组
(a1 , a 2 , , an )
维向量. 个分量. 称为F上的一个 n维向量.a i 称为该向量的第 i个分量.
α β = α + ( β ) = (a1 b1 , a 2 b 2 , , an b n ).
α + β = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
z
α = (a1 , a2 ,a3 )
o
y
β = (b1 , b2 ,b3 )
x
α β = (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
向量一般用 α, β, γ ...表示
n维行向量
α = (a1 , a 2 , , an )
a1 a 2 α= a n
n维列向量
或α = (a1 , a2 , ,an )T 或α T = (a1 , a2 , ,an )
数域F上全体 n维行(列)向量所成的集合记为 F n .
n维行向量可看作一个 1 × n矩阵; 矩阵; n维列向量可看作一个 n × 1矩阵. 矩阵. n = 2时,向量的几何意义为 平面上的有向线段. 平面上的有向线段. y α = (a1 , a 2 ) kα = (ka1 , ka2 ) a2 α = (a1 , a 2 )
..., α = (a1 , a 2, an) F n , 则称向量 ∈ 定义 设k ∈ F ,
(ka1 , ka2, kan ) ...,
的数乘积, 为k与β的数乘积, 记作
kα = (ka1 , ka2, kan ) ...,
向量的线性运算. 加法和数乘运算统称为 向量的线性运算.
(1)α + β = β + α ( 2)α + (β + γ ) = (α + β ) + γ = α + β + γ ( 3)α + 0 = α (4)α + ( α ) = 0 (5)k (α + β ) = kα + kβ ( 6)( k + l )α = kα + lα ( 7)k ( lα ) = (kl )α = l ( kα ) 1 (8) α = α ) α, β , γ ∈ F n , 0是n维零向量. 维零向量. 其中 k , l ∈ F ,
x1 β 1 + x2 β 2 + + xn β n
a11 a12 a1n a a a = x1 21 + x 2 22 + + xn 2n a a a m1 m2 mn a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n xn
向量长度 定义: 定义: 对向量 α,称 (α ,α )为 向量长度 向量长度(或向量范数 向量范数), 向量范数
记作: α 记作: = (α ,α ).
向量长度的性质: 向量长度的性质:
( 1 ) 非负性: α ≥ 0,当且仅当 非负性:
kα = k α
当 α = 1时,称 α 为单位向量. 为单位向量.
内积运算规律: 内积运算规律:
1)对称性: , β ) = (β ,α ) (α 对称性:
2 ) 线性性: 线性性:
(α
+ β, γ
) = (α , γ ) + ( β , γ ),
( k α , β ) = (α , k β ) = k (α , β )
3) 正定性: ,α ) ≥ 0 . 正定性: (α 当且仅当 α = 0时(α,α ) = 0
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1 n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ........................................... am 1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm
定义
..., , ..., , 设α, β ∈ F n , α = (a1 , a 2, an) β = (b1 , b 2, b n) ..., , ..., , 设α, β ∈ F n , α = (a1 , a 2, an) β = (b1 , b 2, b n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若a i = b i , i = 1,2,..., n, 则称α与β 相等, 相等, 记作α = β . 定义 则α + β = (a1 + b1 , a 2 + b 2 , , an + b n ).
o kα = (ka1 , ka2 ) α = ( a1 ,a 2 )
a1
x
n = 3时,向量的几何意义为 空间中的有向线段. 空间中的有向线段. z a3 α = (a1 , a 2 , a 3 )
o
a2 a1
x
y
零向量 负向量
0 = 0, ..., ( 0, 0)
..., α = (a1 , a 2, an) ... α = ( a1, a 2,, an )
α2 = (a21, a22, ..., a2n )
αm = (am1, am2 , ..., amn)
称为A的行向量组. α 1 ,α 2 , , α m 称为 的行向量组.
......................
A的每一列是一个m维列向量 的每一列是一个
a11 a12 a1n a a a β 1 = 21 , β 2 = 22 , ...... , β n = 2n a a a m1 m2 mn 称为A的列向量组. β 1 , β 2 , , β n 称为 的列向量组.
a1 b1 n a2 b2 即设α = , β = , 有 ∑ a i bi ≤ i =1 a b n n
α = 0 时,α = 0
( 2 ) 线性性:对任意向量 α 和任意实数 k,都有 线性性:
当 α ≠ 1时,作数乘
1
α
标准化. α,称将 α标准化.
1
α
α =
1
α
1
α =1 α ), 任一向量均可表示成某单位向量的倍数
又α = α (
α
( 3) 柯西不等式: T β ≤ α β . 柯西不等式: α
例3
n元线性方程组 a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n xn = b1 a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn = b 2 (1) ........................................... am1x1 + am 2 x 2 + ... + amn xn = bm 系数矩阵的列向量组为 a11 a12 a1n a a a 21 , β 2 = 22 , ...... , β n = 2n β1 = a a a m1 m2 mn
a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n xn = 0
a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn = 0 ...........................................
am1x1 + am 2 x 2 + ... + amn xn = 0
例1
0, 5 α = (1, 2,), β = ( 2,4,3,2)
(1)求2( 3α 2 β ); ( 2)3α 2(γ β ) = 0, 求γ. 解 (1)2( 3α 2 β ) = 6α 4 β 0, 30 = (6, 12, ) (8,16,12,8) 16 22 = ( 2, , 24, ) 1 ( 2)2(γ β ) = 3α = [( 3 , 0 , 6 ,15 + ( 4 , 8 , 6 , 4 )]
( 2)
方程组( 2)的向量形式 : x1 β 1 + x 2 β 2 + + xn β n = 0
a11 a12 ... a1n a a22 ... a2n 21 A= .......... .......... . .......... a am2 ... amn m1
A的每一行是一个n维行向量 的每一行是一个 α1 = (a11, a12, ..., a1n )
(1)
a11 a12 ... a1n a a ... a 21 2 AX = ..........22 ..........n .......... . m1 am2 ... amn a
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn ....................................... am 1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn