高数极值与最值

合集下载

高数入门知识点

高数入门知识点高等数学（简称"高数"）是大学数学的一门重要基础课程，为后续学习更高级数学及其他理工科学科打下坚实的基础。

本文将介绍一些高数的入门知识点，帮助初学者快速了解和掌握这门学科。

一、极限极限是高等数学的核心概念之一。

它描述的是函数在某一点无限接近于某个特定值的性质。

例如，当自变量x趋近于某个值时，函数f(x)的极限为L，可以用符号表示为：lim(x→a) f(x) = L在求解极限时，常常用到一些基本的极限公式，如：- 极限的四则运算法则：假设lim(x→a) f(x) = A，lim(x→a) g(x) = B，则(1) lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = A ± B(2) lim(x→a) [f(x) · g(x)] = A · B(3) lim(x→a) [f(x) / g(x)] = A / B (如果B≠0)- 常见函数的极限：(1) lim(x→∞) 1/x = 0(2) lim(x→0) sin(x)/x = 1二、导数导数是高数中另一个重要概念。

它描述的是函数在某一点的变化率。

对于函数y = f(x)，其导数可以表示为dy/dx，也可以用f'(x)来表示。

导数的求解可以通过计算函数的导函数来实现。

常见的一些导数公式包括：(1) 常数函数的导数为0(2) 形如y = x^n的函数的导数为ny'(x) = nx^(n-1)(3) 指数函数、对数函数和三角函数的导数公式导数在实际应用中具有广泛的意义，例如可以用来求解函数的最值、描绘函数的切线等。

三、积分积分是高数中的另一个重要概念，它描述的是函数与自变量之间的关系。

对于函数y = f(x)，其积分可以表示为∫f(x)dx，表示对函数f(x)的自变量x进行求和。

常见的一些积分公式包括：(1) 基本积分法则：∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。

高中数学中的函数的极值与最值分析

高中数学中的函数的极值与最值分析在高中数学中，函数的极值与最值是一个重要的概念。

理解和分析函数的极值与最值对于解决数学问题、优化模型以及应用实例都是至关重要的。

首先，我们需要了解什么是函数的极值与最值。

函数的极值指的是函数在某一区间内的最大值和最小值，可以分为极大值和极小值。

而最值则是指函数在整个定义域内的最大值和最小值。

接下来，让我们看一下如何分析函数的极值与最值。

第一步是寻找函数的驻点。

驻点是函数图像上的拐点，对应于导数为零或不存在的点。

通过求解函数的导数等于零的方程，我们可以找到驻点的横坐标。

第二步是寻找函数的不可导点。

不可导点通常出现在函数图像的尖点、长尾等特殊点上。

对于这些点，我们需要进一步研究函数在该点的极值情况。

第三步是分析函数的极值。

通过求解导数的二阶导数等于零的方程，我们可以确定函数在驻点和不可导点处的极值情况。

通过计算得出的极值可以判断函数的相对最值。

第四步是研究函数的端点。

函数的端点是定义域的边界，可能包含函数的最值。

通过计算函数的极限，我们可以确定函数在端点处的值，进而确定函数的最大值和最小值。

最后，进行整体分析。

将以上步骤得出的极值和最值进行比较，找出函数在整个定义域上的最大值和最小值。

在这一过程中，需要注意函数的定义域和导数的存在性等前提条件。

除了以上方法，还可以利用数学软件进行函数的图像绘制和分析。

数学软件可以快速计算导数和二阶导数，帮助我们找到函数的极值点，并进一步分析最值。

函数的极值与最值分析在数学问题和实际应用中扮演着重要的角色。

例如，在优化问题中，我们可以通过分析函数的极值来确定最优解。

在经济学、物理学等领域，函数的极值和最值也都有着广泛的应用。

总结而言，函数的极值与最值分析是高中数学中的重要内容。

通过寻找驻点、不可导点以及端点，我们可以确定函数的极值和最值。

这对于解决问题、优化模型以及应用实例都有着重要的意义。

通过合理的方法和工具，我们能够更好地理解和应用函数的极值与最值。

同济第3版-高数-35第五节函数的极值与最大值最小值

(1) 函数在极值点处的特征由于极值具有局部最大或最小的特征，故函数在其
极值点的两侧的单调性应发生改变，即函数 y = f( x )在极值点 x0 的两侧的导数符号应变号，于是可知极值点的分析特征是导数变号的临界点。
因此，若函数在极值点 x0 处可导，则应有
f ( x 0 )= 0 .
可判别导数不存在的点的极值性。 • 缺点应用第一充分条件判别极值性时，需将导数化为
因子连乘积形式，而当导数为多个因子乘积时，确定其在各保号区间上的符号较为麻烦。
从几何直观看，函数的极大值对应于曲线凸弧的最高点，极小值对应于曲线凹弧的最低点。由于曲线弧的凹向可通过二阶导数的符来表达，因而也可通过曲线弧的凹向的考察来判别驻点的极值性。
y y f x , x a, b
f x1 f x1 0
Oa
f x2
f x2 0
x1
x2
bx
• 优点应用极值的第二充分条件的好处是应用简便，只
需通过驻点处的二阶导数值 f ( x 0 )的符号便可确定可疑点的极值性。
• 缺点第二充分条件仅能用于判别驻点是否为极值点，
下考察各驻点处的二阶导数符号：因为 f ( 1 )= -2 < 0 ，故 f( x )在驻点 x 1 = 1 处取得极大值。极大值为：
f( 1 ) =[( x - 1 )2( x - 2 )3]x = 1 = 0 .
由于 f
7 5
5 x 1 x 22
求得驻点
x1 1, x2
7 5
, x3 2.
• 判别可疑点是否为极值点由于本例极值可疑点均为驻点，故考虑用第二判别
法考察可疑点的极值性。

函数的极值与最值

函数的极值与最值
函数极值和最值是一个在数学中很重要的概念，它们都涉及到函数的测
量值的变化：极值涉及函数的单调增加和减少，最大值和最小值涉及到函数
的执行值在变换的范围。

函数极值指的是函数上某一点，使得在它一定范围内该函数在该点处取
得局部极大值或者局部极小值，即使函数值改变，其在该点处取得的极大值
和极小值依然是不变的。

极值点可能是极大值点也可能是极小值点，它们分
别表示函数在某个点处取得的局部最大值和局部最小值。

最值指的是函数在一个定义域中的最大值和最小值，这意味着在定义域内，该函数只能取到一个最大值或者一个最小值，而且该值不会改变。

所以，最值用来描述函数输出范围；而极值是用来描述函数变化趋势和单调性的。

显而易见，求一个函数的极值和最值是一个很重要的技能，也是很多科
学计算中的重要组成部分，因此需要学习者对函数极值、最大值和最小值的
计算过程都有足够的掌握，以便更好的实现计算的目的。

2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法

2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法在数学中，极值和最值都是非常重要的概念。

简单来说，极值是指一个函数在某一点处的取值最大或最小，而最值则是指整个区间内的取值最大或最小。

在我们的学习和研究中，极值和最值的求解方法是必须要掌握的重要知识点。

今天，我们就来详细探讨一下2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法。

一、极值的求解方法1. 一阶导数法我们可以通过求导数的方法来求解极值。

首先，我们需要计算出函数的一阶导数，然后让其等于零，求出函数的极值点。

接着，我们再利用二阶导数进行判断，确定是极大值还是极小值。

如何判断？设函数f(x) 在(x0,y0) 处取得极值，且在x0处可导，若f‘(x0) > 0，则 f(x) 在x0 处取得极小值；若f‘(x0) < 0，则f(x) 在x0 处取得极大值。

2. 二阶导数法在使用二阶导数法求解极值时，我们需要先求出函数的二阶导数。

然后，我们需要判断二阶导数的符号。

如果二阶导数大于零，则函数在该点处存在极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点处存在极大值。

如何判断？设函数f(x) 在(x0,y0) 处取得极值，且在x0处可导，若f‘‘(x0) > 0，则 f(x) 在x0 处取得极小值；若f‘‘(x0) < 0，则 f(x) 在x0 处取得极大值。

二、最值的求解方法1. 边界法最值的求解方法有很多种，其中比较简单的是边界法。

所谓边界法，是指在左右端点以及函数在区间上的极值点中，寻找最大值和最小值。

2 讨论法讨论法是最值问题中常用的方法。

对于一个函数f(x)，我们可以考虑：① 若有且仅有一极值点，则该点为极大值或极小值；② 若有多个极值点，则在这些极值点中，函数最大值和最小值一定存在其中；③ 若该函数在一定区间内无极值点，则函数最大值和最小值一定在区间的两个端点上。

三、总结以上就是2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法。

同济第五版高数3-5极值最值.ppt

• 对于应用问题有时可根据实际意义判别对于应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点. 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点
例4 求函数上的最大值和最小值 . 解
在闭区间
′( x) =6x2 − 18x + 12 f = 6( x − 1)( x − 2), 0 < x < 5 2
极大值
极大值 f ( −1) = 10, 极小值 f (3) = −22.
图形如下： f ( x ) = x − 3 x − 9 x + 5 图形如下：3 2来自yf ( −1)
−1 o
3
f ( 3)
x
定理3 第二充分条件第二充分条件) 定理 (第二充分条件处具有二阶导数,且设 f (x)在 x0 处具有二阶导数且 f ′( x0 ) = 0,
思考题
1.下列命题正确吗？ 1.下列命题正确吗？下列命题正确吗
的极小值点, 如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点,那么必存在的某邻域,在此邻域内, x0 的某邻域,在此邻域内, f ( x ) 在 x0 的左侧下降, 的右侧上升. 下降,而在 x 0 的右侧上升.
例3 求出函数 f ( x ) = 1 − ( x − 2) 的极值 .
2 解 f ′( x ) = − ( x − 2 ) ( x ≠ 2) 3 当x = 2时 , f ′( x )不存在 . y
− 1 3
2 3
但函数 f ( x )在该点连续 . 当x < 2时， f ′( x ) > 0; 当x > 2时，f ′( x ) < 0. o ∴ f (2) = 1为f ( x )的极大值 .

函数的极值与最值知识点总结

函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。

本文将对函数的极值和最值进行详细总结。

1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。

1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。

极大值点和极小值点合称为极值点。

1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。

1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。

这是极值判定的充分条件。

2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。

2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。

但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。

2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。

首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。

从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。

3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。

3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。

首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。

当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。

计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。

高数二 3.1极值与最值

有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
符号相同,则 f ( x) 在x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x (是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
Hale Waihona Puke x0x(不是极值点情形)
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0. 定义使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
f ( x)
0
0
极
极

大学数学易考知识点多元函数的极值和最值

大学数学易考知识点多元函数的极值和最值大学数学易考知识点：多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值是大学数学中的一个重要概念，在数学分析和最优化理论中具有广泛的应用。

本文将介绍多元函数的极值和最值的相关概念、计算方法及其应用。

一、极值和最值的定义在介绍多元函数的极值和最值之前，首先需要了解极值和最值的定义。

1. 极值：在某个定义域内，如果一个函数在某一点的某个邻域内的函数值始终大于（或小于）该点的函数值，那么这个函数在该点就有一个极大值（或极小值）。

极大值和极小值统称为极值。

2. 最大值和最小值：在某个定义域内，如果一个函数在该定义域内的所有函数值中存在一个最大值（或最小值），那么这个函数在该定义域就有一个最大值（或最小值）。

二、求解多元函数的极值和最值为了求解多元函数的极值和最值，需要掌握以下几种常用的计算方法。

1. 偏导数法偏导数法是求解多元函数极值和最值的一种常用方法。

步骤如下：（1）求出多元函数的所有偏导数。

（2）令所有偏导数等于零，解得所有的稳定点。

（3）计算这些稳定点的函数值，并找到其中的最大值和最小值。

2. 条件极值法条件极值法是在满足一定条件下求解多元函数的极值和最值的方法。

步骤如下：（1）建立多元函数的约束条件。

（2）应用拉格朗日乘数法或者将约束条件代入目标函数，将多元函数的求解问题转化为含有一个变量的函数的求极值问题。

（3）对这个含有一个变量的函数应用一元函数的求导法则，求得极值点。

（4）将求得的极值点代入原多元函数，求得极值和最值。

3. 边界法边界法是求解多元函数的最值的一种方法。

步骤如下：（1）找到多元函数的定义域的边界。

（2）计算定义域的边界上的函数值，并找出其中的最大值和最小值。

三、多元函数极值和最值的应用多元函数的极值和最值在众多学科中都有着广泛的应用，这里介绍其中的两个应用领域。

1. 经济学中的优化问题在经济学中，很多问题可以抽象为多元函数的极值和最值问题。

例如，生产者如何选择生产要素的投入比例以最大化利润，消费者如何选择商品的购买数量以最大化效用等。

高数知识点总结

高数知识点总结高等数学是大学必修课程，也是各个理工科专业的基础课程。

在学习高等数学的过程中，我们需要掌握和理解一些重要的知识点。

下面将对一些常见的高数知识点进行总结。

一. 极限与连续1. 极限的定义和性质：极限是函数在某点逼近的结果，可以通过函数的左右极限来判断。

常用的极限性质有极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。

2. 连续与不连续：连续是指函数在某点和周围的点都存在极限并且这些极限相等。

常见的不连续点有可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

二. 导数与微分1. 导数的定义和性质：导数是函数在某点处的变化率，可以描述函数曲线的陡峭程度。

导数的性质包括可导的充分必要条件、导数与函数连续的关系、导数的四则运算法则等。

2. 微分与高阶导数：微分是导数的一种表示形式，通过微分可以求得函数值的近似值。

高阶导数表示导数的导数，可以描述更加复杂的曲线变化。

三. 积分与定积分1. 不定积分和定积分的定义：不定积分是求导的逆运算，可以得到函数的原函数。

定积分是求函数在一定区间上的累积值，可以计算曲线下的面积或弧长。

2. 积分的性质和计算方法：积分的性质包括线性性质、区间可加性等。

计算积分可以通过换元法、分部积分法、定积分的几何应用等方法。

四. 一元函数的应用1. 函数的最值和极值点：函数的最值是函数在定义域上的最大值和最小值，极值点是函数的导数等于零或不存在的点。

通过求函数的导数可以找到函数的极值点。

2. 函数的图像与曲线的特性：函数的图像可以通过绘制函数的曲线来了解其性质。

常见的曲线特性有单调性、凹凸性、拐点等。

五. 多元函数的极限、偏导数与全微分1. 多元函数的极限：多元函数的极限是指在多元空间中某点的邻域内，函数值无限接近于某个值。

可以通过多元极限的定义和性质进行计算和推导。

2. 偏导数和全导数：偏导数是多元函数对于某个自变量的导数，全导数是多元函数所有自变量的偏导数的集合。

可以通过偏导数和全导数来分析多元函数的性质和曲线变化。

高数极值与最值

2 2
O
而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损.
2 2 x
说明：在经济学中 C(x) 称为边际成本 R(x) 称为边际收入
y 成本函数
C (x)x36x21x5
p(x) 称为边际利润
由此例分析过程可见, 在给出最大利润的生产水平上 p(x)0, 即
收入函数
R(x)9x
R (x)C (x)
❖定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续且在(x0-δ x0)(x0 x0+δ)内可导 (1)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么
函数f(x)在x0处取得极大值 “左正右负”
(2)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么
即边际收入＝边际成本
（见右图）
O 2 2 2 2 x
亏损最大收益最大
内容小结
1. 连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
(2) 第一充分条件
f (x) 过 x 0 由正变负 f (x) 过 x 0 由负变正
f (x0)为极大值 f (x0)为极小值
(3) 第二充分条件
f(x 0 ) 0 ,f(x 0 ) 0 f(x 0 ) 0 ,f(x 0 ) 0
存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来.
解: 售出 x 千件产品的利润为 p (x ) R (x ) C (x ) x36x26x
p(x)3x21x2 63(x24x2)
令 p(x)0,得x1220.586y
x2223.414
p(x)
又 p (x ) 6 x 1,2

高数极值与最值

定理
要点二
求解方法
若多元函数f(x1,x2,...,xn)在有界闭区域D上连续，则 f(x1,x2,...,xn)在D上必有最大值和最小值。
对于多元函数的最值问题，通常需要先求出函数的一阶偏导数，并令其为0得到驻点。然后计算这些驻点及区域边界上的函数值，比较大小即可得到最大值和最小值。需要注意的是，对于多元函数而言，驻点不一定是最值点，还需结合函数的二阶偏导数或Hessian矩阵来判断驻点是否为极值点。同时，由于多元函数可能存在多个极值点，因此需要通过比较所有极值点和边界点处的函数值来确定最值。
02 极值概念及性质
极值定义
极值是一个函数的局部性质，在一个点的附近（邻域）内，该点的函数值比其他点的函数值都要大（或小），则称该点的函数值为极大值（或极小值）。
极值点不一定是函数的最值点，但最值点一定是极值点或函数定义域的端点。
极值存在条件
一阶导数等于零的点可能是极值点（驻点）。
一阶导数不存在的点也可能是极值点。
数学作为一门基础学科，将在更多领域发挥重要作用，跨学科应用将成为未来数学发展的另一重要趋势。
复杂性与不确定性研究
人工智能与数学结合
随着现代科学的发展，复杂性与不确定性问题日益突出，数学将在解决这些问题中发挥越来越重要的作用。
人工智能的发展离不开数学的支持，未来数学将与人工智能更加紧密地结合，共同推动科技进步和社会发展。
求解方法
首先求出函数f(x)在(a,b)内的驻点（即导数为0的点）和不可导点，然后计算这些点及区间端点a,b处的函数值，比较大小即可得到最大值和最小值。
开区间上可导函数最值问题
定理
若函数f(x)在开区间(a,b)内可导，则f(x) 在(a,b)内的极值点只可能是驻点或不可导点。

函数的极值与最值的判定和求解方法

函数的极值与最值的判定和求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。

极值和最值是函数在某个特定区间内的最大值和最小值。

这些值对于我们理解函数的性质和应用非常重要。

本文将介绍函数的极值与最值的判定和求解方法。

一、极值的定义和判定首先，我们来了解极值的定义。

对于函数f(x)，如果在某个点x0处，存在一个邻域，使得对于该邻域内的任意x值，都有f(x0)≥f(x)（或f(x0)≤f(x)），那么我们称f(x0)是函数f(x)的极大值（或极小值）。

那么如何判定函数的极值呢？一种常用的方法是利用函数的导数。

对于可导函数f(x)，其极值点必然是导数为0的点或导数不存在的点。

因此，我们可以通过求解导数为0的方程或找出导数不存在的点来判定函数的极值。

二、最值的定义和判定接下来，我们来了解最值的定义。

对于函数f(x)，如果在某个区间[a, b]内，对于该区间内的任意x值，都有f(x)≥f(a)（或f(x)≤f(a)），那么我们称f(a)是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值（或最小值）。

如何判定函数的最值呢？一种常用的方法是利用函数的一阶导数和二阶导数。

我们可以通过求解导数为0的方程来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断驻点是极大值还是极小值。

同时，我们还需要比较函数在区间端点处的取值，以确定最值的存在性。

三、求解极值和最值的方法1. 利用导数求解极值和最值对于可导函数f(x)，我们可以通过以下步骤求解极值和最值：（1）求出函数f(x)的导数f'(x)；（2）解方程f'(x) = 0，得到函数的驻点；（3）通过二阶导数f''(x)的符号来判断驻点是极大值还是极小值；（4）比较函数在区间端点处的取值，确定最值的存在性。

2. 利用函数的性质求解极值和最值除了利用导数的方法外，我们还可以利用函数的性质来求解极值和最值。

例如，对于一些特殊函数，我们可以通过观察函数的图像和性质来确定极值和最值的位置。

函数最值和极值的知识点

函数最值和极值的知识点函数是数学中非常重要的概念，它可以描述数值之间的关系。

在实际应用中，我们经常会遇到需要找到函数的最值和极值的问题。

本文将以“step by step thinking”的方式，逐步介绍函数最值和极值的知识点。

1.函数和定义域首先，我们需要明确函数的概念。

函数是一个从一个集合（称为定义域）到另一个集合（称为值域）的映射关系。

通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是对应的值域中的元素。

2.极值的概念在函数中，极值是指函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。

极大值是函数在该点附近的值都小于等于该点的值，而极小值是函数在该点附近的值都大于等于该点的值。

3.局部极值和全局极值函数的局部极值是指在某个特定的定义域范围内，函数取得的最大值或最小值。

而全局极值是指在整个定义域上，函数取得的最大值或最小值。

4.寻找极值的方法为了找到函数的极值，我们可以使用以下方法：a.导数法：通过求函数的导数，找到导数为0的点，即函数的极值点。

具体步骤如下：–求函数f(x)的导数f’(x)；–解方程f’(x) = 0，求出导数为0的点；–对导数f’(x)的符号进行判断，确定各个导数为0的点是极大值还是极小值；–比较函数在导数为0的点以及边界点上的值，找到函数的最大值和最小值。

b.集合法：将函数的定义域分成若干个小区间，在每个区间中比较函数的值，找到最大值和最小值。

5.函数最值和极值的应用函数最值和极值的概念在数学和实际应用中都有广泛的应用。

在数学中，它可以用于证明数学定理和解决数学问题。

在实际应用中，函数的最值和极值可以用于优化问题的求解，例如寻找最佳投资组合、最大利润等。

总结起来，函数最值和极值是数学中重要的知识点。

通过求函数的导数或将定义域分成若干个区间，我们可以找到函数的最大值和最小值。

这个概念在数学和实际应用中都具有重要的意义，它可以帮助我们解决各种问题。

希望本文能够帮助读者更好地理解函数最值和极值的知识点。

大一高数微积分知识点笔记

大一高数微积分知识点笔记微积分是数学的一个重要分支，它研究了函数的变化和运动规律，是自然科学和工程技术的基础。

在大一的高数学习中，微积分是一个重要的知识点。

本文将为大家整理总结大一高数微积分的知识点，希望能够帮助大家理解和掌握这些内容。

一、函数的极限在微积分中，我们经常需要研究函数在某个点的极限，以探究函数的趋势和特性。

一个函数 f(x) 在 x=a 处的极限，可以用以下公式来表示：Lim(x->a) f(x) = L其中 Lim 表示极限的运算符，x->a 表示 x 在无限趋近于 a 的时候，函数 f(x) 的值趋近于 L。

通过计算极限，我们可以得到函数在某个点的重要性质，比如函数的连续性和可导性等。

二、导数与微分导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某个点的变化率。

如果函数 f(x) 在 x=a 处存在导数，那么该导数可以通过以下公式来计算：f'(a) = Lim(h->0) [f(a+h) - f(a)] / h其中 h 是一个无限小的增量，表示 x 在 a 处的偏移。

导数的几何意义是函数图像在该点的切线斜率。

在实际问题中，导数可以帮助我们研究函数的变化趋势和最优化问题等。

微分是导数的一个应用，表示函数在某个点的微小变化值。

微分可以用以下公式来表示：df = f'(x)dx其中 df 表示微分值，f'(x) 表示函数在 x 处的导数，dx 表示自变量 x 的微小增量。

微分在物理学和工程学中有广泛的应用，比如用于描述速度、加速度和力等。

三、极值与最值极值和最值是函数最重要的特性之一，用于研究函数的最大值和最小值。

对于一个函数 f(x) 来说，如果在 x=a 处取得极大值或极小值，那么该点就称为极值点。

通常，我们可以通过求函数的导数来找到极值点，即导数为零的点和导数不存在的点。

通过求解导数方程，我们可以得到极值点的解析表达式。

四、定积分与不定积分定积分和不定积分是微积分的两个核心概念，分别用于研究弧长和曲线下面积的计算。

《极值与最值》课件

THANKS
感谢观看
性方程、积分方程等问题时非常有效。
在日常生活中的应用
要点一
建筑设计
在建筑设计中，极值理论用于优化设计方案。通过找到结构强度、稳定性等性能指标的极值点，可以设计出既美观又安全的建筑结构。
要点二
资源分配
在日常生活中，我们经常面临资源分配的问题。极值理论可以帮助我们找到最优的资源分配方案，使得总体效益达到最大或损失最小。例如，在旅行计划中，我们可以使用极值理论找到最短的旅行路线或最低的旅行成本。
《极值与最值》ppt 课件
目录
• 极值与最值的定义 • 极值的性质 • 最值的性质 • 极值与最值的计算方法 • 极值与最值的应用
01
极值与最值的定义
极值的定义
极值是函数在某点附近的小邻域内的最大值或最 01 小值。
极值点是函数的一阶导数为零的点，或者一阶导 02 数不存在的点。
极值点可以是局部最大值或局部最小值，取决于 03 一阶导数的符号变化。
05
极值与最值的应用
在经济领域的应用
金融分析
极值与最值理论在金融领域中用于风险评估和投资决策。通过对历史数据的分析，确定资产价格的最大值和最小值，以及达到这些极值的概率，从而评估投资风险。
VS
供需分析
在经济学中，极值理论用于分析供需关系，确定市场价格的可能波动范围。通过对需求和供给曲线的极值点进行分析，可以预测市场价格的最高点和最低点。
判别式法
总结词
通过求解一元二次方程的判别式，确定函数的极值点。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的一元二次函数，通过求解判别式$Delta = b^2 4ac$，可以确定函数的极值点。当$Delta > 0$时，函数有两个实根，此时在两根之间

高数微积分极值与最值

的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面
解一设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第
一卦限的顶点的坐标为( x , y , z )
则长方体的体积为V=8xyz
令
F
xyz
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1)
Fx
yz
2x a2
0
Fy
xz
2y b2
0
Fz
xy
ห้องสมุดไป่ตู้
2z c2
0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
a
b
c3
x ,y ,z
3
3
3
25
解四
即求
x2 a2
y2 b2
z2 c2
的最大值
而此三个正数的和一定（=1）
当
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 3
积最大 x
a ,y 3
b ,z 3
c 3
26
例6 将给定的正数 m 分成三个非负数x,y,z 之和使xa ybzc最大其中a, b, c 为给定的正数
说明一元函数 f ( x, y0 )在x x0 处有极大值, 必有 f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 06 .
推广: 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件为 f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0，
当 A 0时有极大值，当 A 0时有极小值；
（2） AC B2 0时没有极值；

函数的极值与最值的求解

函数的极值与最值的求解在数学中，我们经常需要找出一个函数的极值和最值。

极值和最值是指在一个给定的区间内，函数所能达到的最大和最小值。

求解函数的极值和最值是优化问题中的一个重要部分。

本文将详细介绍几种常用的方法来求解函数的极值和最值。

（正文开始）一、函数的极值求解函数的极值指的是在某个区间内，函数的斜率等于零的点。

求解函数的极值可以通过以下步骤进行：1. 求函数的导数首先，我们需要求解函数的导数。

导数可以告诉我们函数在某个点上的斜率。

记函数为f(x)，则其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。

2. 求导数的根接下来，我们需要找出导数的根。

导数的根即为函数的极值点，因为在这些点上，函数的斜率等于零。

3. 检验导数的根对于导数的根，我们需要检验它们是否确实对应函数的极值点。

可以通过计算二阶导数来确定。

如果二阶导数大于零，则说明导数的根对应函数的极小值；如果二阶导数小于零，则说明导数的根对应函数的极大值。

二、函数的最值求解函数的最值指的是在一个给定的区间内，函数所能达到的最大和最小值。

求解函数的最值可以通过以下步骤进行：1. 确定求解区间首先，我们需要确定在哪个区间内求解函数的最值。

这需要根据具体的问题来确定。

2. 将求解区间分成若干小区间将求解区间按照一定的步长进行划分，可以得到若干小区间。

步长的选择需要根据函数的变化情况来确定。

3. 在每个小区间内求解对于每个小区间，分别求解函数的极值。

可以使用之前介绍的函数的极值求解方法。

4. 比较每个小区间的最值将每个小区间的最值进行比较，找出最大值和最小值。

这些最值即为函数的最值。

总结：函数的极值和最值的求解是数学中的重要问题。

通过求解函数的导数和二阶导数，我们可以找到函数的极值点和确定其对应的极值类型。

而求解函数的最值则可以通过将求解区间分成若干小区间，并在每个小区间内求解函数的极值来实现。

这些方法可以帮助我们更好地理解和应用函数的极值和最值。

（正文结束）以上是关于函数的极值与最值的求解的文章，希望对您有所帮助。

高数极值与最值

确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数f (x)
(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点
(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号
(4)确定出函数的所有极值点和极值
例1. 求函数
的极值 .
解: 1) 求导数
f
( x)

2
x3

(x
1)
2 3
x
1 3

5 3

x
2 5
观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最
清楚(视角最大) ?
1.4
解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则

1.8
arctan1.4 1.8 arctan1.8,
x x (0, )
x
x

3.2 x2 3.22

x2
1.8 1.82

(
x
1.4(x2 5.76) 2 3.22 )(x2 1.82
x1 x2 x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续且在(x0-δ x0)(x0 x0+δ)内可导 (1)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么函数f(x)在x0处取得极大值 (2)如果在(x0-δ x0)内f (x)0 在(x0 x0+δ)内f (x)0 那么函数f(x)在x0处取得极小值 (3)如果在(x0-δ x0)及(x0 x0+δ)内 f (x)的符号相同那么函数f(x)在x0处没有极值
问力F 与水平面夹角
为多少时才可使力F 的大小最小?
解: 克服摩擦的水平分力

高数 极值与最值

高数入门知识点

高中数学中的函数的极值与最值分析

同济第3版-高数-35第五节函数的极值与最大值最小值

函数的极值与最值

2023考研数学高数重要知识点：极值与最值的求解方法

同济第五版高数3-5极值最值.ppt

函数的极值与最值知识点总结

高数二 3.1极值与最值

大学数学易考知识点多元函数的极值和最值

高数知识点总结

高数极值与最值

高数极值与最值

函数的极值与最值的判定和求解方法

函数最值和极值的知识点

大一高数微积分知识点笔记

《极值与最值》课件

高数微积分极值与最值

函数的极值与最值的求解

高数极值与最值

高数极值与最值