2013届中考数学解题方法总复习3

AC E DB 推理与证明一、利用三角形全等证明线段相等和角相等我们知道如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等，对应角相等。

全等三角形的性质为我们证明线段相等和角相等提供了方法。

例1 已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =． 分析：从图形中我们发现，AC 、CD 正好是△ ABC 和△CDE 的对应边，我们只要证明了△ABC 和△CDE全等就可以证明结论成立。

怎样证明这两个三角形确定呢？我们从已知条件出发，展开联想，寻找出全等的条件即可。

题目中的第一个条件：AB ED ∥→∠B =∠E题目中的第二个条件：AB CE =，BC ED =正好分别是等角的边。

这时，三角形全等的条件齐了，可以书写证明过程了。

证明：AB ED ∥，∴B E ∠=∠．在ABC △和CED △中，∵AB CE B E BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ABC CED △≌△．∴AC CD =．在上面的证明过程中，我们是怎样书写证明过程的呢？上面的证明过程可以分为三部分：第一部分，使用了一个逻辑推理。

AB ED ∥，∴B E ∠=∠．这个推理为后面证明两个三角形全等起到准备条件的作用，也就是说，在证明三角形全等的三个条件中，已知条件中已经具备了两个，还需要一个条件，这个推理为三角形全等找到了第三个条件。

第二部分，证明两个三角形全等。

第三部分，利用全等三角形的性质，推理得出线段相等。

例2 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，M 是AD 的中点，求证：MB MC =．分析：从图中我们发现，线段MB ，MC 可以看成是△ABM 和△CDM 的对应边，我们只要证明了△ABM 和△CDM全等就可以证明结论成立。

怎样证明这两个三角形确定呢？我们从已知条件出发，展开联想，寻找出全等的条件即可。

题目中的第一个条件：在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥→AB =CD ，∠A =∠D题目中的第二个条件：M 是AD 的中点→AM =DM 。

这时，三角形全等的条件齐了，可以书写证明过程了。

证明：在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥ ∴AB DC A D =∠=∠，∵是AD 的中点 ∴AM DM =在ABM △和DCM △中，∵AB DC A D AM DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ABM DCM △≌△（SAS ）．∴MB MC =．上面的证明过程可以分为三部分：第一部分，使用了两个逻辑推理。

①在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥ ∴AB DC A D =∠=∠，②∵是AD 的中点 ∴AM DM =这两个推理为后面证明两个三角形全等起到准备条件的作用，也就是说，在证明三角形全等的三个条件中，已知条件中没有给出现成的条件，需要寻找三个条件，这两个推理为三角形全等找齐了三个条件。

第二部分，证明两个三角形全等。

第三部分，利用全等三角形的性质，推理得出线段相等。

A B DD CB A DC B A 例3 已知：如图，四边形ABCD 中，,AB BC AD CD ==．求证：A C ∠=∠． 分析：根据上面的经验，如果我们能把∠A ，∠C看作两个三角形的对应角，我们只需证明两个三角形全等即可。

但是图中没有三角形，怎么办？我们可以添加“辅助线”，构造全等三角形。

如图，连接B 、D ，得到△ABD 和△CBD ，我们只要能够证明这两个三角形全等就可以了。

显然，已知条件中已经有了两个全等的条件，而我们添加的“辅助线”正好是两个三角形的公共边，是全等的第 三个条件。

这时，两个三角形全等的条件已经具备，我们来书写证明过程：证明：连接BD ．在△ABD 和△CBD 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧===BD BD CD AD BC AB ∴△ABD ≌△CBD ． ∴A C ∠=∠另外，我们还可以这样来添加“辅助线”：如图，连接A 、C ，得到△ABC 和△ACD ，我们只要能够证明∠BAD 和∠BCD 被AD 分成的两部分分别相等就可以了。

题目中的第一个条件：AB =BC →∠BAC =∠BCA题目中的第二个条件：AD =CD →∠DAC =∠DCA证明：连结AC∵AB BC =，∴BAC BCA ∠=∠同理DAC DCA ∠=∠∵BAD BAC DAC BCD BCA DCA ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴BAD BCD ∠=∠．这个证法使用等边对等角，先证明了∠BAD 和∠BCD 的两个部分分别相等，又使用等式的性质，证明了∠BAD 和∠BCD 整体相等。

FE D CB A 例4 如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF DC =．求证：D 是BC 的中点.分析：这个题目要证明D 是BC 的中点，也就是证明BD =DC ，也是证明两条线段相等，从图中我们可以看出，BD 与DC 所在的两个三角形△ABD 和△ACD 的形状不同，显然，利用这两个三角形全等来证明BD =DC 是不行的。

我们再仔细、全面地观察图形，发现△AEF 和△DBE 的形状、大小相同，这两个三角形有可能全等。

我们从已知条件出发，展开联想：题目中的第一个条件：E 是AD 的中点→AE =DE题目中的第二个条件：过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，即AF ∥BC →∠AFE =∠DBE 题目中的第三个条件：AF DC =→如果AF =BD 成立，则BD =DC 成立。

图中还有一对对顶角。

这时，可以先证△AEF 和△DBE 全等，得到AF =BD ，然后根据AF DC =，可以得到BD =DC 了，下面书写证明过程：证明：E 是AD 的中点 ∴AE =DEAF BC ∥ ∴∠AFE =∠DBE在△AEF 和△DEB 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DE AE DBE AEF DBE AFE ∴△AEF ≌△DEB ∴AF =DBA F D C = ∴DB =DC即D 是BC 的中点．在这个题目中，BD 与DC 所在的两个三角形△ABD 和△ACD 的形状不同，显然，利用这两个三角形全等来证明BD =DC 不行，而发现△AEF 和△DBE 的形状、大小相同，这两个三角形有可能全等（实际上△AEF 和△DBE 全等）。

在证明了这两个三角形全等后，题目的第三个条件就是一座桥，通过这个条件使证明得以完成。

E D C B AF E D CBA例5 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， AB =2，BC =3，CD =1，E 是AD 中点．求证：CE ⊥BE ．分析：如图，要证明CE ⊥BE ，有两种方法：一是证明△BCE 是直角三角形；二是证明∠CED +∠BEA =90°。

（一）如果证明△BCE 是直角三角形，通常需要使用勾股定理的逆定理来判定。

这样就要知道三边CE 、BE 、CD 的长度。

我们从已知条件出发，展开联想：题目中的第一个条件：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°→∠D =90°即△ECD 和△EBA 都是直角三角形。

题目中的第二个条件：AB =2，BC =3，CD =1，这些数据可以帮助我们分别求出CE 、BE 的长度。

题目中的第三个条件：E 是AD 中点→DE =AE =21AD在R t △EC D 和R t △EBA 中，要分别求出CE 、BE 的长度还需要知道DE 和AE 的长度，而DE =AE =21AD ，因此，需要求出AD 的长度。

如图，通过作“辅助线”：过C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，很容易知道四边形AFCD 是矩形，CF =AD ，△CBF 也是直角三角形。

我们可以在这个直角三角形中求出CF 的长，这样也就知道了DA 的长，进而DE 、AE 的长也知道了。

要求出CF ，关键是知道BF =AB －CD =1。

证明: 过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，∴ ∠D ＝∠A ＝∠CF A ＝90°．∴四边形AFCD 是矩形．∴AD=CF AF =CDBF=AB-AF=AB －CD =1． 在Rt △BCF 中，根据勾股定理，得 CF 2+BF 2=BC 2 ∴CF =132 =22∴ AD=CF=22．∵E 是AD 中点 ∴ DE=AE=21AD=2 在Rt △ABE 中，根据勾股定理，得 AE 2+AB 2=BE 2 ∴BE 2=6F E D C B A DF E C B A 同理，EC 2 =3，在△BCE 中，EB 2+ EC 2=9=BC 2 ∴∠CEB ＝90°即EB ⊥EC ．（二）如果证明∠CED +∠BEA =90°，由于题目中给出已知条件是线段的长度，在一般情况下，只知道线段的长度是不能求出∠CED 和∠BEA 的度数，显然不能利用这种方法证明结论成立。

（注意：如果∠CED +∠BEA +∠CEF +∠BEF =180°，且∠CED =∠CEF ，∠BEA =∠BEF ，就可以得到：∠CED +∠BEA +∠CEF +∠BEF =2（∠CED +∠BEF ）=180°→∠CED +∠BEF =90°）例6 把两个含有45°角的直角三角板ABC 和EDC 如图放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．求证：AF ⊥BE ．分析：图中有两个等腰直角三角形，就有很多相等的线段和角，证明三角形全等比较容易。

但是图形比较复杂，不容易找出全等三角形。

我们从已知条件出发，展开联想：题目中的第一个条件：两个含有45°角的直角三角板ABC 和EDC→AC =BC ，CD =CE ，∠ABC =∠DCE =90°→△ACD 和△BCE 全等题目中的第二个条件：点D 在BC 上→BC 与AF 相交与D →∠ADC =∠BDF 利用全等三角形对应角相等，可以得到∠DAC ＝∠EBC ，再利用对顶角相等，可以知道△BFD 和△ACD 已经有两个角对应相等，那么第三个角一定相等。

而第三个角中有一个角是直角，那么另一个角也一定是直角。

证法一：在△ACD 和△BCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=EC DC ECB DCA BC AC 90 ∴ △ACD ≌△BCE （SAS ）∴ ∠DAC ＝∠EBCH G FE D C B A ∵ ∠ADC ＝∠BDF∴ ∠ ACD =∠BFD ＝90° 即AF ⊥BE我们发现上面使用红字的推理使用了简写，完整的书写应该是：在△ACD 和△BCE 中∵∠DAC ＝∠EBC ∠ADC ＝∠BDF∴∠DAC ＋∠ADC ＝∴180°－（∠DAC ＋∠ADC ）=180°－（∠EBC ＋∠BDF ） 即∠ACD =∠BFD∵∠ACD =＝90° ∴∠BFD ＝90° 即AF ⊥BE证法二：在Rt △ACD 和Rt △BCE 中，∵ AC ＝BC DC ＝EC ， ∴BCCE AC CD 即tan ∠DAC ＝tan ∠EBC ∴ ∠DAC ＝∠EBC∵ ∠ADC ＝∠BDF ∴ ∠EBC ＋∠BDF ＝∠DAC ＋∠ADC =90° ∴ ∠BFD =90° ∴ AF ⊥BE（注意：在直角三角形中，如果两个角的三角函数值相等，那么这两个角也相等。