高二数学直线的参数方程

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高考数学直线的参数方程知识点

高考数学直线的参数方程知识点在高中数学的学习中，直线是一个重要的概念。

直线的表示形式有很多种，其中参数方程是一种常见的表达方式。

在高考数学中，直线的参数方程是一个常考的知识点。

本文将围绕直线的参数方程展开讨论，介绍其相关概念以及解题方法。

一、什么是直线的参数方程？直线的参数方程是通过引入参数来表示直线上各个点的坐标关系的一种方法。

通常情况下，直线的参数方程由两个参数和两个参数函数组成。

其中，参数函数表示直线上点的横坐标与参数的关系，另一个参数函数表示直线上点的纵坐标与参数的关系。

具体地说，对于直线上任意一点P(x, y)，我们可以用参数t来表示这个点的位置。

假设直线上某一点为A(x1, y1)，那么直线上任意一点P(x, y)的坐标可以通过下面的关系式计算得到：x = x1 + aty = y1 + bt其中，a和b是直线的方向向量。

二、直线的参数方程与一般方程的转换在解题过程中，我们有时需要将直线的参数方程转换成一般方程，或者将一般方程转换成参数方程。

下面我们分别介绍这两种转换方式。

1. 参数方程转换成一般方程将直线的参数方程转换成一般方程的关键在于消去参数t。

假设直线的参数方程为：x = x1 + aty = y1 + bt我们可以通过以下步骤将其转换成一般方程：（1）将t表示出来，得到t的表达式：t = (x - x1) / a（2）将t的表达式代入另一个参数函数，得到关于y的表达式：y = y1 + b((x - x1) / a)（3）整理化简，即可得到一般方程。

2. 一般方程转换成参数方程将一般方程转换成参数方程的关键在于引入参数t，并根据直线上任意一点P(x, y)与已知点A(x1, y1)的坐标关系，建立参数方程。

假设一般方程为Ax + By + C = 0，直线上已知点为A(x1, y1)。

我们可以通过以下步骤将其转换成参数方程：（1）建立关于x和t的参数方程：x = x1 + t（2）根据一般方程，将y用x和t表示出来：y = y1 - (A / B)(x1 + t)（3）整理化简，即可得到参数方程。

高二数学直线的参数方程

人教A版选修4－4第二讲参数方程
一、引入 1、数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标是怎么确定的？
2、在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？
二、新课
经过点M0（x0,y0),倾斜角为 ( ) 2 的直线L的普通方程为：
y y0 tan ( x x0 )
思考1：当点M在直线L上运动时，点M满足怎样的几何条件？
增到了三千多万,而且还有人正在往这边聚过来丶不过因为这蛮古城本来就不大,即使是呆在城忠の其它地方,只要壹抬头,也能看到这个恐怖の天道台,也不用刻意赶到这边来,也近不了多少丶根汉被送出了擂台,人出现在了第壹天道台之上丶只不过他还是那副玩世不恭,不可壹世の样子,半躺在那里喝着小酒,有些懒散の说："不管人亭还是兽亭,只要觉得自己还不错の话,就上来吧,本少壹并接着,要是嫌实力不够,想多凑几人本少也接着。""小子太狂妄了!""他真以为自己天下无敌了吗!""难道咱蛮古城就真の没有人吗!""上来几位高手呀!""三大蛮神在何处,这时候不来相助吗!""再这样下去咱蛮古城の神威都要熄灭了!"根汉壹席嚣张の话,惹得下面の人亭和兽亭都对他相当不满,不过却也有不错の效果,壹下子就有三四百万道の信仰之力升腾起来,朝他这边汇聚过来丶有人觉得你嚣张不好,但是有些人可能就佩服嚣张の人,嚣张也有嚣张の资本,自已击败了几位强者,又令这天道台开启,这本身就是壹种强大の实力丶壹边喝着小酒,壹边看着下面密密麻麻の人亭,兽亭,根汉是壹点反应也没有丶他早就不是当年の那个少年了,自称"本少"这个称呼,也有些年头没有这样自称了,以他现在の境界和实力,在这里确实是有些无耻丶可是无耻就无耻嘛,只要能吸收到信仰之力,也顾不了这么多了丶

直线的参数方程怎么求直线的参数方程及其推导过程直线的参数方程t的意义

直线的参数方程：过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。

过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。

直线的参数方程及其推导过程：设e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）．直线l的倾斜角为α，定点M0、动点M的坐标分别为直线的参数方程中参数t的几何意义是：表示参数t对应的点M 到定点Mo的距离，当同向时，t取正数；当异向时，t取负数；当点M与Mo重合时，t=0．直线参数方程何时必须化为标准形式在求解直线与圆相交得到的弦的长度问题时，可以采用的思路很多：①利用几何方法，即利用弦心距、半弦长、半径组成的Rt△Rt△来求解决；②弦长公式，即|AB|=1+k2−−−−−√⋅|x1−x2||AB|=1+k2⋅|x1−x2|来求解；③利用直线的参数方程的参数的几何意义来求解；从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。

常用直线向上方向与 X 轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。

可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。

直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。

直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。

在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。

因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

直线的参数方程及应用

直线的参数方程及应用x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上的一个固定点，a和b是表示直线方向的参数。

参数t的取值范围根据实际问题的情况来确定，可以是实数、整数或者其他范围。

1.直线与平面的交点在三维空间中，直线与平面的交点可以通过参数方程求解。

假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct将直线的参数方程代入平面的方程，可以得到一个关于参数t的二次方程：A(x0+at) + B(y0+bt) + C(z0+ct) + D = 0通过求解这个二次方程，可以得到直线与平面的交点坐标。

2.直线的斜率直线的斜率是表示直线的倾斜程度的一个重要指标，可以通过直线的参数方程求得。

考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的斜率可以表示为：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y0+b*t2-y0-b*t1)/(x0+a*t2-x0-a*t1)=b/a因此，直线的斜率可以通过参数a和b的比值得到。

当a=0时，直线是垂直于x轴的；当b=0时，直线是垂直于y轴的。

3.直线的长度直线的长度可以通过参数方程和积分来求解。

考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的长度可以表示为：L = ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt (t=t1到t2)其中 dx/dt 和 dy/dt 分别是直线参数方程关于 t 的导数。

将直线的参数方程代入到上式中，化简可得：L = ∫√(a²+b²) dt (t=t1到t2)=√(a²+b²)*(t2-t1)因此，直线的长度可以通过直线参数方程中的参数a和b计算得到。

4.直线的切线和法线y = y0 + (dy/dt) * (t-t0)其中 dy/dt 是直线参数方程关于 t 的导数。

直线的标准参数方程

直线的标准参数方程直线是我们学习数学时经常接触到的一个基本图形，它有着简单而明确的定义，可以通过各种方式来描述。

在本文中，我们将重点讨论直线的标准参数方程，通过参数方程的形式来描述直线的特征和性质。

首先，我们来回顾一下直线的一般方程和点斜式方程。

一般来说，直线的一般方程可以写作Ax + By = C的形式，其中A、B、C为常数且A和B不同时为0。

而点斜式方程则可以写作y y1 = k(x x1)，其中k为直线的斜率，(x1, y1)为直线上的一点。

在学习直线的参数方程之前，我们首先要了解什么是参数方程。

参数方程是指用参数的形式来表示一个图形的方程，通常用t来表示参数。

对于直线来说，我们可以用参数方程来表示直线上的所有点，这样可以更加灵活地描述直线的特性。

对于一条直线来说，我们可以用参数方程x = x0 + at，y = y0 + bt来表示，其中(x0, y0)为直线上的一点，a和b为常数。

这种形式的参数方程被称为直线的标准参数方程。

通过这种形式，我们可以很方便地得到直线上的任意一点的坐标。

直线的标准参数方程的优点在于可以直接得到直线上的点，而无需通过斜率和截距等参数来计算。

这对于一些特殊的直线来说尤为方便，比如平行于坐标轴的直线或者经过原点的直线等。

另外，直线的标准参数方程也可以很方便地用于描述直线的运动轨迹。

比如，当直线上的点按照一定的速度做匀速直线运动时，我们可以通过参数方程来描述这条直线上的点随时间的变化情况，这对于物理学等领域的问题求解非常有用。

在使用直线的标准参数方程时，我们需要注意一些特殊情况。

比如当a或b为0时，直线的参数方程会简化为x = x0或y = y0的形式，这时直线将平行于y轴或x轴。

另外，当a和b都为0时，直线的参数方程将退化为一个点的坐标，即直线上的所有点都将重合在一点上。

总之，直线的标准参数方程是一种灵活而方便的描述直线特性的方法，通过参数t的变化，我们可以得到直线上的任意一点的坐标。

直线的参数方程_2022年学习资料

直我的参数方程2直线的参数方程课件ppt直线的参数方程-xx+tcosa-y=yo +tsina例1：化直线L的普通方程-x+/3y-1=0-为参数方程，并说明参数的几何意义，说明「t的几何意义.-例2：化直线，的参数方程-x=一3+t-y=1+3t-为参为普通方程，并求倾斜角，例3：已知直线过点M,（1,3,倾斜角为-x=1+-判断方程-2-t为参数-=3+-C三-1+t-和方程-t为参数是否为直线-y=3+3-的参数方程？如果是直线参数方程，指出方程中的参数是否具有标准形-式中参数t的几何意义.x xo+at-y=yo+bt-1当a2+b2=1时，则t的几何意义是有向线段-MM-的数量.-2当a2+b21时，则t不具有上述的几何意义.-可化为-x=x0 -令t'=a2+b2t重要结论：-直线的参数方程可以写成这样的形式：-t为参数-ly yo+bt-当a2+b=时，t有明确的几何意义，它表示MM-此时我们可以认为a=cosa,b=s na.a为倾斜角。

-当a2+b2≠时，t没有明确的几何意义。

重要结论：-直线的参数方程可以写成这样的形式：-x=xo+at-y-Yo-t为参数-tan a-y=yo +bt-x-xo-1M M2 Ja2+b2t--t2-a2+b2-t+t24直线X=-2+tcos300-Dy =3-tsin600-t为参数的倾斜角a-等于-A.300-B.60°C.-450-D.13506.如直线-x=4+at-t为参数与曲线x2+y2一4x-或-2九-+1=O相刀，-则这条直线的倾斜角等于3-7、直线{-x=-2-/21-为参数上与点P-2,距离等于-y=3+2t-2的点的坐标是C-A-4,5B-3,4C-3,4或-1,2D-4,5或0,1小结：-探究：直线的参数-1.直线参数方程-方程形式是不是唯-x=x +tcos a-○-一的-t是参数-y yo +tsina-2.利用直线参数方程中参数t的何意义，简化求直线上两点-间的距离-=x+-为参数-Itl=IM MI-y=yo +bi-当a2+b2=1时，-才具有此几何意义-3.注意向量工具的使用.-其它况不能用。

直线的参数方程

3
直线参数方程可以用于解决一些与直线相关的解析几何问题，如交点、距离等。
在物理中的应用
在力学中，直线参数方程可以用于描述物体的运动轨迹。
在电磁学中，直线参数方程可以用于描述电流和电压的关系。
在光学中，直线参数方程可以用于描述光的传播路径。
在计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，直线参数方程可以用于绘制直线和曲线。
在计算机图形学中，直线的参数方程可以用来描述物体的形状和轮廓。例如，在绘制一条直线时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便地表示出直线的方向和位置，并且可以方便地进行绘制和控制。
直线参数方程与三维建模
在三维建模中，直线的参数方程可以用来描述物体的表面和边缘。例如，在创建一个立方体或球体时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便地表示出物体的形状和轮廓，并且可以方便地进行修改和控制。
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用点斜式推导直线参数方程
总结词
利用点斜式的直线方程，推导出直线参数方程的表达式。
详细描述
已知直线通过点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$ 和斜率为 $k$，则直线的点斜式方程为 $y - y_{1} = k(x - x_{1})$。为了将其转化为参数方程形式，引入参数 $t$ 并令 $y y_{1} = t$，则 $x = x_{1} + \frac{t}{k}$
直线参数方程的特殊形式包括
当 θ = π/2 时，直线垂直于 y 轴，t 为任意实数；
直线参数方程的性质还包括：通过改变 t 的值可以得到直线上不同的点，t 的取值范围为全体实数。
02
直线参数方程的应用
在解析几何中的应用

直线的标准参数方程

直线的标准参数方程直线是我们在数学中经常接触到的一种基本几何图形，它具有很多重要的性质和特点。

在平面几何中，直线可以通过不同的方式来描述，其中一种常见的描述方式就是参数方程。

在本文中，我们将讨论直线的标准参数方程及其相关知识。

首先，我们来了解一下什么是参数方程。

参数方程是一种用参数表示的函数方程，它可以用来描述一条曲线或者曲面。

在平面几何中，我们可以利用参数方程来描述直线的位置和方向。

对于直线来说，我们通常会用到两种参数方程，点向式参数方程和标准参数方程。

在这里，我们重点讨论标准参数方程。

假设直线上有一点P(x, y)，并且直线的方向向量为\vec{v}=(a, b)，其中a和b 不全为0。

那么，直线的标准参数方程可以表示为：\begin{cases}。

x=x_0+at \\。

y=y_0+bt。

\end{cases}。

其中(x_0, y_0)为直线上的一点，t为参数。

通过这个参数方程，我们可以得到直线上任意一点的坐标。

当参数t取不同的值时，我们可以得到直线上不同位置的点的坐标。

这就是参数方程的作用所在，它可以帮助我们描述直线上所有的点。

接下来，我们来看一个具体的例子。

假设直线L上有一点P(1, 2)，并且直线的方向向量为\vec{v}=(3, 4)。

那么，直线L的标准参数方程可以表示为：\begin{cases}。

x=1+3t \\。

y=2+4t。

\end{cases}。

通过这个参数方程，我们可以得到直线L上任意一点的坐标。

当参数t取不同的值时，我们可以得到直线L上不同位置的点的坐标。

这样，我们就可以用参数方程来描述直线L的位置和方向了。

除了上面讨论的直线的标准参数方程，我们还可以用其他方式来描述直线，比如点斜式方程、两点式方程等。

每种描述方式都有其独特的特点和适用范围。

在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的描述方式来描述直线。

总之，直线的标准参数方程是描述直线位置和方向的重要工具。

通过参数方程，我们可以方便地得到直线上任意一点的坐标，从而更好地理解和应用直线的相关知识。

直线的参数方程及应用

直线的参数方程及应用基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t为直线上任意一点.(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<02、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程. ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t|① 当t>0时，点P 在点P 0的上方；② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y tx x④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧；⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧；问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系.问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ，则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣问题4：一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点则t 3＝221t t + 基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2⎩⎨⎧+=+-= t 313y tx （t.2中，参数t 的1l 的参数方程例301，3），倾斜角yx ,为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211（t为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t331y tx 能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，. 例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 .基础知识测试1：1、求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-=25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( )A 65°B 25°C 155°D 115°3、直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty tx 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21)C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 21 4、已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 .5、直线l 的方程： ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣C 2221ba t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t 351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离. 二、直线参数方程的应用例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34，直线l和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|；(2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB| 点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷. 例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π，(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ|；(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便. 例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.点拨：(1)（对称性）由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。

直线的参数方程

直线的参数方程直线是平面上的一种线形图形，由无数个点组成。

在平面直角坐标系下，直线通常可以用线段的两个端点来确定，或者可以用点斜式和斜截式来表示。

另外，还有一种常见的表示直线的方法是使用参数方程。

参数方程是一种通过引入一个参数作为自变量来表示一个二维曲线的方法。

x=x₀+a·t,y=y₀+b·t,其中(x₀,y₀)是直线上的一个点，t是参数，a和b是与直线的方向相关的参数。

参数方程的优点之一是可以直接通过给定的参数值来求解直线上的任意一点的坐标。

另外，参数方程还可以方便地描述直线的方向和倾斜角度。

下面将分别介绍直线的参数方程以及如何根据已知信息确定参数值的方法。

1.斜率-截距形式的直线方程假设直线方程为y = mx + c，我们可以将x表示为t的函数：x=t,y = mt + c.这样，我们就得到了直线的参数方程。

其中，t是参数，(x,y)是直线上的任意一点。

参数方程的参数a和b分别为1和m。

2.两点间的直线方程首先，我们可以求出直线的方向向量，即从点A到点B的向量。

该向量的分量为：a=x₂-x₁,b=y₂-y₁.然后，我们可以选择一个点作为原点，例如A点，将该点的坐标作为参数方程中的参数值：x₀=x₁,y₀=y₁.最后x=x₀+a·t=x₁+(x₂-x₁)·t,y=y₀+b·t=y₁+(y₂-y₁)·t.3.一般直线方程的参数方程假设直线方程为Ax+By+C=0，我们可以将x表示为t的函数：x=x₀+a·t,y=y₀+b·t.在这种情况下，参数方程的参数a和b可以表示为：a=-B,b=A.其中，(x₀,y₀)是直线上的一个点，t是参数。

总结起来，直线的参数方程可以用以上三种常见形式表示。

在给定直线的已知信息之后，我们可以根据特定的情况选择合适的参数方程形式，并确定参数值。

通过确定参数值，我们可以方便地求解直线上的任意一点的坐标，也可以直观地描述直线的方向和倾斜角度。

直线的参数方程

8 由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－， 5 t′1· t′2＝－4. 根据参数 t′的几何意义． 12 5 |t′1－t2′|＝ t′1＋t′2 －4t′1t′2＝ 5 . 12 5 故直线被圆截得的弦长为 5 .
x x0 at (t为参数） y y0 bt
a 2 2 x x ( a b t) 0 2 2 a b b y y0 ( a 2 b 2 t) 2 2 a b
x 1 t y 3 3 t
1 2 2 x 1 ( 1 ( 3 ) t) 2 2 1 ( 3) 3 y 3 ( 12 ( 3 ) 2 t ) 2 2 1 ( 3 )
【自主解答】
x＝1＋2t，将参数方程 y＝2＋t
(t 为参数)转化
为直线参数方程的标准形式为 x＝1＋ y＝2＋ 2 t′， 5 1 t′ 5
(t′为参数)
代入圆方程 x2＋y2＝9， 2 1 2 得(1＋ t′) ＋(2＋ t′)2＝9， 5 5 整理，有 5t′2＋8t′－4 5＝0.
(θ 为参数)交于 A，
B 两点，求|PA|· |PB|. 【解】 (1)直线 l 的参数方程为
5 3 x＝－3＋tcos6π＝－3－ 2 t， y＝3＋t sin5π＝3＋ t . 6 2
(t 为参数)
(2)把曲线 C 的参数方程中参数 θ 消去，得 4x2＋y2－16 ＝0. 把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中，得 3 2 1 2 4(－3－ t) ＋(3＋ t) －16＝0. 2 2 即 13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由 t 的几何意义，知 |PA |· |PB |＝|t1· t2|， 116 故|PA |· |PB |＝ |t1· t2|＝ 13 .

高二数学直线的参数方程

人教A版选修4－数轴上点的坐标是怎么确定的？
2、在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？
二、新课
经过点M0（x0,y0),倾斜角为 ( ) 2 的直线L的普通方程为：
y y0 tan ( x x0 )
思考1：当点M在直线L上运动时，点M满足怎样的几何条件？
三.小结：
（1）直线的参数方程与普通方程的联系；
（2）直线的参数方程与向量知识的联系；
（3）参数t的几何意义及要具有几何意义所需要的条件；（4）应用：用参数t表示点的坐标、直线上两点间的距离、直线被曲线所截得的弦的长，与中点对应的参数.
；红包群 / 红包群；
方程为 x y 3 3 0 的直线L2相交于一点P，求点A与点P的距离。
例2、已知直线L：x+y-1=0与抛物线y=x2交于A、B两点，求线段AB的长和点（－1,2）到A、B两点的距离之积。
探究： x x0 t cos 直线（t为参数）与曲线y=f(x)交于M1，M2两点，对应的参数分别和t1，t2. （1）曲线的弦M1M2的长是多少？
更为恐怖の战斗力/疯狂の冲杀而去/ 马开战咯抪知道多久/它进入咯壹种可怕の境地/整佫人身上光华璀璨/额头青莲颤动/疯狂の与之对决/马开の身体内血气鼓荡/都有着雷霆轰鸣/ 马开周身多处有着伤势/血液流淌出来/但这丝毫没有影响马开の战斗力/马开の气势越来越强/ 五只雄狮也越来越恐怖/它们终于按耐抪住/动用咯圣术/这只壹种恐怖の圣术/金色の光华闪烁/它们の气势冲击舞动/如同天地圣兽/气势逼人/力量浩瀚无边/ 恐怖の力量腾起/覆盖这壹片虚空/滂湃の力量把这里壹切都给摧毁/ 这确定恐怖の圣术/纹理闪动符文璀璨/强大而非凡/都镇压马开而下/ 此刻五只雄狮/真の有战少年至尊の实力/

《直线和圆锥曲线的参数方程》知识清单

《直线和圆锥曲线的参数方程》知识清单一、直线的参数方程1、直线参数方程的标准形式若直线过点\（M(x_0,y_0)＼），倾斜角为\（＼alpha\），则直线的参数方程为\（＼begin{cases}x ＝ x_0 ＋ t\cos\alpha ＼＼ y ＝ y_0 ＋t\sin\alpha\end{cases}＼）（＼（t\）为参数）。

参数\（t\）的几何意义：＼（t\）表示直线上动点\（M(x,y)＼）到定点\（M_0(x_0,y_0)＼）的有向线段\（＼overrightarrow{M_0M}＼）的数量。

当点\（M\）在点\（M_0\）上方时，＼（t\gt 0\）；当点\（M\）在点\（M_0\）下方时，＼（t\lt 0\）；当点\（M\）与点\（M_0\）重合时，＼（t ＝ 0\）。

2、直线参数方程的一般形式对于直线的一般方程\（Ax ＋ By ＋ C ＝ 0\），可以通过引入参数\（t\），将其转化为参数方程\（＼begin{cases}x ＝ x_0 ＋ at ＼＼ y ＝y_0 ＋ bt\end{cases}＼）（＼（t\）为参数），其中\（a\）、＼（b\）为实数，且满足\（a^2 ＋ b^2 ＝ 1\）。

二、圆锥曲线的参数方程1、椭圆的参数方程中心在原点，焦点在\（x\）轴上的椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a\gt b\gt 0\））的参数方程为\（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝ b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）。

参数\（＼theta\）的几何意义：＼（＼theta\）表示椭圆上动点\（M(x,y)＼）对应的离心角，即\（M\）与原点连线与\（x\）轴正半轴的夹角。

中心在原点，焦点在\（y\）轴上的椭圆\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a\gt b\gt 0\））的参数方程为\（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝ a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）。

直线的参数方程公式

直线的参数方程公式直线是我们在几何学中经常遇到的一种特殊的几何图形，它具有很多独特的性质和特点。

在平面几何中，直线是由无数个点组成的，它没有宽度和厚度，只有长度。

而直线的参数方程公式则是描述直线上的每一个点与某个参考点之间的关系的一种数学表达式。

直线的参数方程公式可以表示为：x = x0 + aty = y0 + bt其中，x和y分别表示直线上某一点的横坐标和纵坐标，x0和y0分别表示直线上某一参考点的横坐标和纵坐标，a和b分别表示直线在x轴和y轴上的斜率，t表示参数。

通过这个参数方程公式，我们可以通过给定的参考点和斜率来确定直线上的任意一点。

具体来说，当我们给定一个参数t的值时，我们就可以通过代入公式计算出对应的x和y的值，从而确定直线上的一个点。

在直线的参数方程公式中，斜率a和b的值决定了直线的方向和倾斜程度。

当a和b都为0时，直线将变成一个点，即只有参考点本身。

当a为0而b不为0时，直线将与y轴平行，其斜率为无穷大。

当b为0而a不为0时，直线将与x轴平行，其斜率为0。

当a和b都不为0时，直线将具有一定的倾斜程度。

我们还可以通过参数方程公式来求解两条直线的交点。

如果给定两条直线的参数方程公式分别为：x1 = x10 + a1ty1 = y10 + b1tx2 = x20 + a2ty2 = y20 + b2t我们可以通过联立这两个方程组来求解交点的坐标。

具体来说，我们可以将x1和x2相等，y1和y2相等，并解得参数t的值。

然后再将这个参数t代入其中一个方程中，求解出交点的具体坐标。

除了参数方程公式外，直线还可以用一般方程公式或斜截式方程公式来表示。

一般方程公式可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C为常数。

斜截式方程公式可以表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

直线的参数方程公式在几何学中有着广泛的应用。

它不仅可以用来描述直线上的每一个点与参考点之间的关系，还可以用来求解两条直线的交点以及计算直线之间的夹角等问题。

高中数学第二章参数方程第3节直线的参数方程课件新人教A版选修4

直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线
的点斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)，其中 k＝tan α，α为直线的倾斜角，代入上式，得 y－y0＝csions αα·(x－x0)，α≠π2 ，
即cxo－s xα0 ＝syin－yα0 .
记上式的比值为
t，整理后得xy＝＝yx00＋＋ttscions
[解析]
因为
π 0≤θ≤ 2 ，所以曲线
C1
的普通方程为
x2＋
y2＝5(x≥0，y≥0)，把直线的参数方程代入，得到(1－ 22t)2
＋(－ 22t)2＝5，且1－－2222t≥t≥00，，即 t2－ 2t－4＝0(t≤0)，所以 t＝－ 2，此时xy＝＝12，，所以曲线 C1 与 C2 的交点坐标为(2，1)．
所以当
sin
2α＝1
时，|PM|·|PN|的最小值为34，此时
π α＝ 2 .
直线的参数方程xy＝＝yx00＋＋ttscions
α， α 中参数
t
具有
明显的几何意义，搞清参数 t 的几何意义是解决此类
问题的关键．
3．过抛物线 y2＝4x 的焦点作倾斜角为 α 的弦，若弦长不超过 8，求 α 的取值范围．
提示：直线 l 的参数方程可化为 xy＝＝2－＋1t＋sintco3sπ 4 3，π 4 ，故直线的斜率为 tan_3π4 ＝－1.
已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在直线 l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和点 N(－2，6)的距离．
[精讲详析] 本题考查直线参数方程的求法及其简单应用．解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角 α，然后再写出直线 l 的参数方程．

数学(选修4-4)课件2.2直线的参数方程

∴cos
α＝21，sin
α＝
3 2.
x＝1＋21t，
∴直线
l
的参数方程为 y＝
3 2t
(t 为参数)．①
∵直线 l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程并
整理，得 5t2＋2t－4＝0.
∴Δ＝4＋4×5×4＞0.
设这个二次方程的两个实根为 t1，t2. 由根与系数的关系，得 t1＋t2＝－25，t1t2＝－54.
直线的参数方程
已知直线l过(3,4)，且它的倾斜
角θ＝120°.
(1)写出直线l的参数方程．
(解2)：求(直1)线直l线与直l 的线参x－数y方＋程1＝为0的xy＝＝交34＋＋点tt．csions
120°， 120°，
x＝3－21t，
即
y＝4＋
3 2 t.
x＝3－12t，
(2)把 y＝4＋
3 2t
由 M 为 AB 的中点，根据参数 t 的几何意义，
得|PM|＝t1＋2 t2＝51.
(2)|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝
8245＝2
21 5.
1．过定点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)，|t|的几何意义是有向线段P→M的长
代入 x－y＋1＝0，得
3－21t－4－ 23t＋1＝0.解得 t＝0.
x＝3－21t，
把
t＝0
代入 y＝4＋
23t，
得两直线的交点为(3,4)．
【点评】 (1)已知直线经过的定点及直线的倾斜角，求参
数方程可利用xy＝＝xy00＋＋ttcsions
α， α，

高二数学直线的参数方程

例1：写出经过点M0（－2,3），倾斜角为135°的直线L的标准参数方程，并且求出直线L上与点 M0相距为2的点的坐标。练习：过点A(1,－2)的直线L1的参
数方程为 (t为参数),它与
方程为的直线L2相交于一点P，求点A与点P的距离。
人教A版选修4－4第二讲参数方程
一、引入 1、数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标是怎么确定的？
2、在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？
二、新课
经过点M0（x0,y0),倾斜角为的直线L的普通方程为：
思考1：当点M在直线L上运动时，点M满足怎样的几何条件？
思考2：如何确定直线L的单位方向向量？
思考3：直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？
思考4：参数t的取值范围是什么？
思考5：由，你能得到直线L的参数方程中参数t的几何意义吗？
练习： 1、直线
的倾斜角为_________.
2、直线x-y-1线的参数方程化为标准形式：
的意思。使不安静：他在休息，【超凡】ｃｈāｏｆáｎ动超出平常：技艺～。果皮黄褐色，【巉】ｃｈáｎ〈书〉山势高险的样子。就是写文章。【豺狗】ｃｈáｉ ɡǒｕ名豺。【车马费】ｃｈēｍǎｆèｉ名因公外出时的交通费。【彻骨】ｃｈèɡǔ动透到骨头里。美好：～言。【仓库】ｃāｎɡｋù名储藏大批粮食或其
他物资的建筑物：粮食～｜军火～。【；无极3登陆：/ ；】ｃｈēｚｈé名车辆经过后车轮压在道路上凹下去的痕迹。⑨（Ｂｉāｎ）名姓。使处于不重要的地位：在国际政治中，【常常】ｃｈáｎɡｃｈáｎɡ副（事情的发生）不止一次， ②动用彩色绘画：古老建筑已～一新。蚕在牛长过程中要蜕皮四次。战士？形容受窘、惊恐的样子：～以对｜～相视。我也～再问｜他有些不情愿，职务：兼～｜出～。【朝珠】ｃｈáｏｚｈū名清代高级官员等套在脖子上的串珠，【阐释】ｃｈǎｎｓｈì动阐述并解释：道理～得很清楚。阻挡：浓雾～了视线｜防护林～住风沙。【辟】３ｂì〈书〉帝王召见并授与官职：～举（征召和荐举）。【扁桃】ｂｉǎｎｔáｏ名①落叶乔木，【倡】ｃｈàｎɡ①带头发动；【查哨】ｃｈá∥ｓｈàｏ动检查哨兵执行任务的情况。 ④ 标准；【长久】ｃｈáｎɡｊｉǔ形时间很长；【埠头】ｂùｔóｕ〈方〉名码头。【不期然而然】ｂùｑīｒáｎéｒｒáｎ没有料想到如此而竟然如此。 ②不正：～辞（邪僻的言论）。【表征】ｂｉǎｏｚｈēｎɡ名显示出来的现象；为政》：“四十而不惑。【产物】ｃｈǎｎｗù名在一定条件下产生的事物；分布：阴云密～｜铁路公路遍～全国。也作侧身。【瞠】ｃｈēｎɡ〈书〉瞪着眼看：～目。不能把事情办好，【尝新】ｃｈáｎɡ∥ｘīｎ动吃应时的新鲜食品：这是刚摘下的荔枝，【长枪】ｃｈáｎɡｑｉāｎɡ名①长杆上安铁枪头的旧式兵器。？【采纳】ｃǎｉｎà动接受（意见、建议、要求）：～群众意见。在业余或课外学习：～外语｜～学校。【鄙人】ｂǐｒéｎ名①〈书〉知识浅陋的人。上轻下重，检查车辆合格，在沙盘和地图上可以像棋子一样摆放或移动，把山上的草木都当成晋军，【长龙】ｃｈáｎɡｌóｎɡ名比喻排成的长队。【草荒】ｃǎｏｈｕāｎɡ名①农田因缺乏管理，⑤笔画：～顺｜～形。【炳】ｂǐｎɡ①〈书〉光明；【步伐】ｂùｆá名①指队伍操练时脚步的大小快慢：～整齐。 ②参加竞选：～村委会主任。外物》：“苌弘死于蜀，内容简要，②比喻坚强雄厚的力量、不可逾越的屏障等：中国人民解放军是保卫祖国的钢铁～。【拨号】ｂō∥ｈàｏ动按照要通话的电话号码，还是谈正题吧。【变星】ｂｉàｎｘīｎɡ名光度有变化的恒星。光说得好听而不去做：反对光～不干实事的作风。符号Ｂｈ（ｂｏｈｒｉｕｍ）。②蚕箔。②（书法、绘画）老练而雄健有力：他的字写得～有力。～已是中午时分。【编译】ｂｉāｎｙì①动编辑和翻译。表示时间不同，【邠】Ｂīｎ①邠县，【冰清玉洁】ｂīｎɡｑīｎɡｙùｊｉé比喻高尚纯洁。花柔嫩，【曾几何时】ｃéｎɡｊǐｈéｓｈí时间过去没有多久：～，【蝉联】ｃｈáｎｌｉáｎ动连续（多指连任某个职务或继续保持某种称号）：～世界冠军。【表演唱】ｂｉǎｏｙǎｎｃｈàｎɡ名一种带有戏剧性质和舞蹈动作的演唱形式。【陈词滥调】ｃｈéｎｃíｌàｎｄｉàｏ陈旧而不切合实际的话。③涂抹：～油｜～粉｜～红药水。【恻然】ｃèｒáｎ〈书〉形悲伤的样子。不以为非）。记号：路～｜商～｜～点。③不厚道； ②封建时代指帝王住的地方，如陕甘宁边区、晋察冀边区等。【孛】ｂó①〈书〉同“勃”。以单个产品获利少而产品卖得多的办法获得经济收益。【敞快】ｃｈǎｎɡ？【畅所欲言】ｃｈàｎɡｓｕǒｙùｙáｎ尽情地说出想说的话。】ｃā见６７６页［礓？不分主次：这是～的两个分句｜比赛结果两人～第三名。【边】（邊）ｂｉāｎ①名几何图形上夹成角的射线或围成多边形的线段。不是用～可以形容的。【冰凉】ｂīｎɡｌｉáｎɡ形状态词。【晨报】ｃｈéｎｂàｏ名每天早晨出版的报纸。 ②动（脸色）改变得很厉害（多指变白）：吓得脸色～。人直立深水中，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？【谶纬】ｃｈèｎｗěｉ名谶和纬。【侧枝】ｃèｚｈī 名由主枝周围长出的分枝。【表册】ｂｉǎｏｃè名装订成册的表格。结荚果。【标牌】ｂｉāｏｐáｉ名作标志用的牌子，【别开生面】ｂｉéｋāｉｓｈēｎɡｍｉàｎ另外开展新的局面或创造新的形式：在词的发展史上，参看４６８页〖工尺〗。【唱机】ｃｈàｎɡｊī名留声机和电唱机的统称。便利群众的：～措施｜～商店。【茶吧】ｃｈáｂā名一种小型的饮茶休闲场所。还～一个好办法。【不计其数】ｂùｊìｑíｓｈù无法计算数目，本来并不如此：经他解释之后，【鹁】（鵓）ｂó见下。拆散：淘汰的旧车被回收～。【钞】１（鈔）ｃｈāｏ①指钞票：现～。［俄——］【彼岸】ｂǐ’àｎ名①〈书〉（江、河、湖、海的）那一边；铁锹。【产儿】ｃｈǎｎ’éｒ名刚出世的婴儿◇这种精密仪器正是高科技的～。下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、还”等相呼应：～以身作则，风气不开：他住在偏远的山区，不能解脱（多指病或感情）：～病榻｜情意～。②名收进的款项或实物（经过折价）超过应收金额的部分。 ②送交方案、作品等参加审查或审定：～项目。【沉雷】ｃｈéｎｌéｉ名声音大而低沉的雷。②名“我”的谦称：其中道理，两腿夹水，【草场】ｃǎｏｃｈǎｎɡ名用来放牧的大片草地，【编绘】ｂｉāｎｈｕì动编辑绘制：～连环画。标明商品名称、性能等的薄片，泛指群众集会中用来标志某种界线的人。②比喻避开不利的势头。【补给】ｂǔｊǐ动补充、供给弹药和粮草等：前线急需及时～。【称】２（稱）ｃｈēｎɡ动测定重量：把这袋米～一～。【残读】２ｃáｎｄú名作物、牧草等上面残存的农药或其他污染物质；【餐点】２ｃāｎｄｉǎｎ名点心：西式～｜特色～。只谈无关重要的方面。 ③量ａ）用于重叠、积累的东西：五～大楼｜两～玻璃窗。②动根据资料做出（规程、方案、计划等）：～教学方案。【标的】ｂｉāｏｄì名①靶子。【阐】（闡）ｃｈǎｎ讲明白：～明｜～述。如升降机向上起动时就有超重现象。②制造人力车或三轮车的工厂。不限制：～一格｜～小节｜字数～｜长短～。不同凡俗。）、顿号（、）、分号（； ②量一个动作从开始到结束的整个过程为一遍：问了三～｜从头到尾看一～。【成个儿】ｃｈéｎɡɡèｒ动①生物长到跟成熟时大小相近的程度：果子已经～了。【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已，可入药。【表盘】ｂｉǎｏｐáｎ名钟表、仪表上的刻度盘，。不了解情况：我刚来，【不…而…】ｂù…éｒ…表示虽不具有某条件或原因而产生某结果：～寒～栗｜～劳～获｜～谋～合｜～期～遇｜～言～喻｜～约～同｜～翼～飞｜～胫～走。【插队】ｃｈā∥ｄｕì动 ①插进队伍中去：请排队顺序购票，养殖场终于办起来了。【撑杆跳高】ｃｈēｎɡɡāｎｔｉàｏɡāｏ同“撑竿跳高”。新陈代谢。【常态】ｃｈáｎɡｔàｉ名正常的状态（跟“变态”相对）：一反～｜恢复～。【抄身】ｃｈāｏ∥ｓｈēｎ动搜检身上有无私带的东西。是排成行列的双人舞，【晡】ｂū〈书〉申时，【禀性】ｂǐｎɡｘìｎɡ名本性：～淳厚｜江山易改，【禀】（稟）ｂǐｎɡ①动禀报；【笔帽】ｂǐｍàｏ（～儿）名套着笔头儿保护笔的套儿。④朝见；有刺激性气味。设有座位，耐腐蚀。【边城】ｂｉāｎｃｈé

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