3.1.4(5) 空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4--3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示-PPT文档
5.角度的计算 已知空间两非零向量 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) 则 cos a , b
ab ab x1 x2 y1 y2 z1 z2 x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
a 与 b 同向； o s a ,b 1 注意：（1）当 c 时，
提问：平面内的任一向量 p 都可以用两个不共线的 向量a 、b 表示（平面向量基本定理）。 对于空间任意向量，有没有类似的结论呢 ？
空间向量基本定理 ：如果三个向量 a
p x a y b z c
、b 、c
那么对空间任一向量 p 存在唯一有序实数组 不共面，
{x,y,z},使得
即，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量 表示出来。
( 1 ) a ( 2 ,3 , 3 ) ， b ( 1 , 0 , 0 ) ;
( 2 ) a ( 1 , 1 , 1 ) ， b ( 1 , 0 , 1 ) ;
此 时 ， P 在 空 间 直 角 坐 标 系 O x y z 中 的 坐 标 为 ( x , y , z ) 记 作 ： P ( x ,,) y z ， 且 P ( x ,,) y z 。
3
教材P94 例4
教材P94 练习
如果知道有向线段的起点和终点的坐标,
那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
1、将空间向量的运算与坐标表示结合起来， 不仅可以解决夹角和距离的计算问题， 而且可以使一些问题的解决变得简单 2、几何问题---向量问题---向量坐标问题 3、几何推理---向量坐标计算
《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》课件
个.
(2)已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且 O A =e1+2e2-e3, O B =-3e1+e2+2e3, O C =e1+e2-e3,试判断{ OA， OB， OC}能否作为空 间的一个基底.
【解题探究】1.题(1)中由x=a+b,y=b+c,z=c+a可想到向量的哪
一种运算法则?可构造哪一种空间图形来表示对应向量,从而说
【要点探究】 知识点1 空间向量基本定理 空间向量基本定理的三个关注点: (1)空间任意向量:用空间三个不共面的向量a,b,c可以线性表 示出空间中任意一个向量,而且表示的结果是惟一的. (2)基底的选取:空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向 量的一个基底.
(3)顺序性:向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若 基底为{e1,e2,e3},p=xe1+ye2+ze3,则p的坐标为(x,y,z).
2.空间直角坐标系: 以单位正交基底e1,e2,e3的公共起点O为原点,以e1,e2,e3的方向 为x轴、y轴、z轴正方向的空间坐标系要注意的五点: ①记法:空间坐标系O-xyz; ②坐标面:经过任意两个轴的平面为坐标面,它们分别为xOy 面,xOz面和yOz面;
③坐标向量:e1,e2,e3叫坐标向量; ④画法:一般使用∠xOy=45°或135°,∠yOz=90°; ⑤点的坐标:p=xe1+ye2+ze3则p=(x,y,z),x,y,z分别叫横坐标、 纵坐标、竖坐标.
【知识拓展】 1.空间向量基本定理的证明 存在性证明的四个步骤(如图) (1)平移：把不共面的向量a，b，c与 向量p平移到公共的起点O上，使O A=a， O B=b， O C=c， O=Pp.
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O
M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
C
N
B
仲元中学黄锡泉
作业 课本第98页,习题A组第11题
仲元中学黄锡泉
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
设 i, j, k 是空间三个两两垂直的向量,
p 是空间中任一向量,则存在一个有序
实数对{x,y,z},使得
z
p xi y j zk
P
k
io
j
y
x 仲元中学黄锡泉
Q
空间向量的基本定理
如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间
任一向量 p ,存在有序实数组{x,y,z},使得
AB’的中点为M,BC’的中点为N,求下列向量
的坐标:
(1, 1 , 1 )
(1)OM ________2_2
(2)ON _______(12_,_1_, 12) (3)MN ______(__12_,_12 ,0)
(4)C ' M
_____(_1_, _12_,_
1 2
)
z
O'
C' B'
G C
B
发展性训练1
1.在直角坐标系中,A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),则 AB _(_x_2-_x_1_,y_2_-_y_1_,z_2_-_z1_), BA _(_x_1_-_x_2,_y_1_-y__2,_z_1-_z_2.)
仲元中学黄锡泉
发展性训练２
2.如图,边长为1的正方体OABC-O’A’B’C’中,
p xa yb zc {a, b, c}叫做空间一个基底(base) a,b,c都叫做基向量(base vectors).
仲元中学黄锡泉
单位正任一向量,则存在一个有序
3.1.4-3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示
（2）由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任 隐含着它们都不是 0 。
意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就
（3）一个基底是指一个向量组， 一个基向量是指基底中的某一个向量，
二者是相关连的不同概念。
新知探究：空间向量的正交分解
二、空间向量的正交分解 特殊的： i, j, k两两垂直时 OP OQ zk. OQ xi y j.
定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使
给定一个空间坐标系和向量
p ,且设
A(x,y,z) e3 e1 O e2 y
有序数组( x, y, z)叫做 p 在空间直角坐标
系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)
p xe1 ye2 ze3
x 其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
| AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2 2
2
新探究：空间向量运算的坐标表示
三、向量的夹角的坐标表示
已知 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 ab 则 cos a , b ab x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
F1 E1 B1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y 3 C O 1 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 15 x 1 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE DF1 15 16 1 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
3.1.45空间向量的正交分解及其坐标表示
a // b
a1b1 a2b2 a3b3
a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a, b都不是零向量)
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
特殊的： i, j, k两两垂直时
OP OQ zk.
OQ xi y j.
z
OP OQ zk xi y j zk. 由此可知，如果 i, j , k 是空间两
两垂直的向量，那么，对空间任一 向量 p ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 p xi y j zk .
我们称
k i
x
O
p
j
P
xi, y j, zk
为向量 p 在
y Q
i, j, k上的分向量。
这种分解我们把它叫做空间向 量的正交分解.
二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用 e1 , e2 , e3 表示
a, b, c 都叫做基向量
注：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确：
（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
（2） 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任 意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着 它们都不是 0 。 （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。
空间向量运算 的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
变式：在直三棱柱ABO-A’B’O’中，∠AOB=90。 |AO|=4,|BO|=2,|AA’|=4,D为A’B’的中点，如图 建立直角坐标系，则 DO的坐标是 ______;
z
O’ A’ O
A D
A' B的坐标是 _____.
B’
B
y
x
例3
B1 E1 如图, 在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，
d AB
2 2 2 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2 b2 a3b3 a b ; cos a , b | a || b | a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
A1 B1 ，求 BE1 4
C1 E1 B1
D1 F1
z
与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 O xyz ，则
D1 A1
F1
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y C O 1 3 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 1 15 x 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE1 DF1 15 16 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
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白城实验高中 数学 导学案 编制人 张大光 编号 审批人宿颖慧 包科领导张大光 使用日期 班级 小组 学生姓名 评价
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1．学会空间向量基本定理及基向量、基底的概念；2．会用空间三个不共面的向量表示空间任一向量；3.学会空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示；4.学会空间向量平行、垂直条件的坐标表示，能够应用坐标运算证明空间两个向量的平行和垂直，记住两个向量的夹角与向量长
请同学们复习平面向量基本定理、坐标表示及运算的坐标表示相关知识。
二、新课导学 ※ 学习探究
探究一：空间向量的正交分解及其坐标表示 1．空间向量基本定理
(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得 p ＝ .
(2)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把 叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做 ，空间任何三个 的向量都可构成空间的一个基底． 2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底
设e 1，e 2，e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为 ) (2)空间直角坐标系 以e 1，e 2，e 3的 为原点，分别以 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz . (3)空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p 一定可以把它 ，使它的 与原点O 重合，得到向量 ＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{
x ，y ，z }，使得 . 我们把 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝ ．
探究二. 空间向量运算的坐标表示 1．空间向量的加减和数乘的坐标表示
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则(1)a ＋b ＝ ； (2)a －b ＝ ；(3)λa ＝ ；
(4)a ∥b (b ≠0)⇔
2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝ .
=
∙⊥b a b a ，则若)4(3．空间向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则
=
==
d AB AB )2()1(
※ 典型例题
知识点一 基底的判断
例1设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组： ①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }， 其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
反思感悟：
知识点二 空间向量基本定理
例2已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→
＝c ，点G 是侧面CC ′D ′D 的中心，用基底{a ，b ，c }表示如下向量：.,,,,AG C D D A B A D A ''
反思感悟：
知识点三 向量运算的坐标表示
已知向量a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,0,2)，则： (1)a ·(b ＋c )＝________；(2)(a ＋2b )·(a －2b )＝________.
例3.
设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b,3a －2b ，a·b ，并确定λ，μ的关系，使a ＋μb 与z 轴垂直．
知识点四 向量夹角及长度
例4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 1、BB 1的中点，则cos ∠EAF ＝________，EF ＝________.
反思感悟：
※ 学习小结：。