3.1.4(5) 空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4--3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示-PPT文档
5.角度的计算 已知空间两非零向量 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) 则 cos a , b
ab ab x1 x2 y1 y2 z1 z2 x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
a 与 b 同向； o s a ,b 1 注意：（1）当 c 时，
提问：平面内的任一向量 p 都可以用两个不共线的 向量a 、b 表示（平面向量基本定理）。 对于空间任意向量，有没有类似的结论呢 ？
空间向量基本定理 ：如果三个向量 a
p x a y b z c
、b 、c
那么对空间任一向量 p 存在唯一有序实数组 不共面，
{x,y,z},使得
即，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量 表示出来。
( 1 ) a ( 2 ,3 , 3 ) ， b ( 1 , 0 , 0 ) ;
( 2 ) a ( 1 , 1 , 1 ) ， b ( 1 , 0 , 1 ) ;
此 时 ， P 在 空 间 直 角 坐 标 系 O x y z 中 的 坐 标 为 ( x , y , z ) 记 作 ： P ( x ,,) y z ， 且 P ( x ,,) y z 。
3
教材P94 例4
教材P94 练习
如果知道有向线段的起点和终点的坐标,
那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
1、将空间向量的运算与坐标表示结合起来， 不仅可以解决夹角和距离的计算问题， 而且可以使一些问题的解决变得简单 2、几何问题---向量问题---向量坐标问题 3、几何推理---向量坐标计算
《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》课件
个.
(2)已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且 O A =e1+2e2-e3, O B =-3e1+e2+2e3, O C =e1+e2-e3,试判断{ OA， OB， OC}能否作为空 间的一个基底.
【解题探究】1.题(1)中由x=a+b,y=b+c,z=c+a可想到向量的哪
一种运算法则?可构造哪一种空间图形来表示对应向量,从而说
【要点探究】 知识点1 空间向量基本定理 空间向量基本定理的三个关注点: (1)空间任意向量:用空间三个不共面的向量a,b,c可以线性表 示出空间中任意一个向量,而且表示的结果是惟一的. (2)基底的选取:空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向 量的一个基底.
(3)顺序性:向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若 基底为{e1,e2,e3},p=xe1+ye2+ze3,则p的坐标为(x,y,z).
2.空间直角坐标系: 以单位正交基底e1,e2,e3的公共起点O为原点,以e1,e2,e3的方向 为x轴、y轴、z轴正方向的空间坐标系要注意的五点: ①记法:空间坐标系O-xyz; ②坐标面:经过任意两个轴的平面为坐标面,它们分别为xOy 面,xOz面和yOz面;
③坐标向量:e1,e2,e3叫坐标向量; ④画法:一般使用∠xOy=45°或135°,∠yOz=90°; ⑤点的坐标:p=xe1+ye2+ze3则p=(x,y,z),x,y,z分别叫横坐标、 纵坐标、竖坐标.
【知识拓展】 1.空间向量基本定理的证明 存在性证明的四个步骤(如图) (1)平移：把不共面的向量a，b，c与 向量p平移到公共的起点O上，使O A=a， O B=b， O C=c， O=Pp.
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O
M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
C
N
B
仲元中学黄锡泉
作业 课本第98页,习题A组第11题
仲元中学黄锡泉
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
设 i, j, k 是空间三个两两垂直的向量,
p 是空间中任一向量,则存在一个有序
实数对{x,y,z},使得
z
p xi y j zk
P
k
io
j
y
x 仲元中学黄锡泉
Q
空间向量的基本定理
如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间
任一向量 p ,存在有序实数组{x,y,z},使得
AB’的中点为M,BC’的中点为N,求下列向量
的坐标:
(1, 1 , 1 )
(1)OM ________2_2
(2)ON _______(12_,_1_, 12) (3)MN ______(__12_,_12 ,0)
(4)C ' M
_____(_1_, _12_,_
1 2
)
z
O'
C' B'
G C
B
发展性训练1
1.在直角坐标系中,A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),则 AB _(_x_2-_x_1_,y_2_-_y_1_,z_2_-_z1_), BA _(_x_1_-_x_2,_y_1_-y__2,_z_1-_z_2.)
仲元中学黄锡泉
发展性训练２
2.如图,边长为1的正方体OABC-O’A’B’C’中,
p xa yb zc {a, b, c}叫做空间一个基底(base) a,b,c都叫做基向量(base vectors).
仲元中学黄锡泉
单位正任一向量,则存在一个有序
3.1.4-3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示
（2）由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任 隐含着它们都不是 0 。
意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就
（3）一个基底是指一个向量组， 一个基向量是指基底中的某一个向量，
二者是相关连的不同概念。
新知探究：空间向量的正交分解
二、空间向量的正交分解 特殊的： i, j, k两两垂直时 OP OQ zk. OQ xi y j.
定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使
给定一个空间坐标系和向量
p ,且设
A(x,y,z) e3 e1 O e2 y
有序数组( x, y, z)叫做 p 在空间直角坐标
系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)
p xe1 ye2 ze3
x 其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
| AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2 2
2
新探究：空间向量运算的坐标表示
三、向量的夹角的坐标表示
已知 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 ab 则 cos a , b ab x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
F1 E1 B1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y 3 C O 1 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 15 x 1 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE DF1 15 16 1 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
3.1.45空间向量的正交分解及其坐标表示
a // b
a1b1 a2b2 a3b3
a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a, b都不是零向量)
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
特殊的： i, j, k两两垂直时
OP OQ zk.
OQ xi y j.
z
OP OQ zk xi y j zk. 由此可知，如果 i, j , k 是空间两
两垂直的向量，那么，对空间任一 向量 p ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 p xi y j zk .
我们称
k i
x
O
p
j
P
xi, y j, zk
为向量 p 在
y Q
i, j, k上的分向量。
这种分解我们把它叫做空间向 量的正交分解.
二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用 e1 , e2 , e3 表示
a, b, c 都叫做基向量
注：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确：
（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
（2） 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任 意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着 它们都不是 0 。 （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。
空间向量运算 的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
变式：在直三棱柱ABO-A’B’O’中，∠AOB=90。 |AO|=4,|BO|=2,|AA’|=4,D为A’B’的中点，如图 建立直角坐标系，则 DO的坐标是 ______;
z
O’ A’ O
A D
A' B的坐标是 _____.
B’
B
y
x
例3
B1 E1 如图, 在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，
d AB
2 2 2 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2 b2 a3b3 a b ; cos a , b | a || b | a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
A1 B1 ，求 BE1 4
C1 E1 B1
D1 F1
z
与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 O xyz ，则
D1 A1
F1
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y C O 1 3 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 1 15 x 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE1 DF1 15 16 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
z
D1
C1
F E
1 1 1 E (1,1, ), F ( , ,1), EF ( 1 , 1 , 1 ), 2 2 2 2 2 2 A1 (1,0,1), D(0,0,0), DA1 (1,0,1), A 1 1 1 EF DA1 ( , , ) (1, 0,1) 0, x 2 2 2 EF DA1即: EF DA1
3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以 用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定 理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
问题：
OP OQ zk xi y j zk. 由此可知，如果 i, j , k 是空间两
2 2 2 1.距离公式 | a | a a a1 a2 a3 2 2 2 | AB | AB AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b 2 2 2 2 | a || b | a12 a2 a3 b12 b2 b3 0 a b a , b 90 cos a , b 0 a b 0 a1b1 a2 b2 a3b3 0
B1
D O
C
B
y
1.若E1，F1分别是A'B'和C'D' 的一个四等分点，那么 DF1 BE1 又是多少呢？
A'
z D' F1 (0, ,1)
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
新知探究
问题6、上述结论就是空间向量基本定 理，其中{a，b，c}叫做空间的一个基 底，a，b，c都叫做基向量.那么空间 任意三个向量都能构成一个基底吗？ 零向量能否作基向量？一个基底中的 三个基向量是否要起点相同？
新知探究
问题7、若空间向量的一个基底中的三个 基向量互相垂直，则称这个基底为正交 基底，若三个基向量是互相垂直的单位 向量，则称这个基底为单位正交基底， 在哪些空间几何图形中能找到正交基底 和单位正交基底？
新知探究
问题8、设e1，e2，e3为有公共起点O的单位 正交基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、 y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz. 对于空间任意一个向量p，用基底 {e1，e2，e3}可以怎样表示？
z
p e3 e2 e1 O
p＝xe1＋ye2＋ze3
y
x
新知探究
问题9、若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把 x, y，z称为向量p在单位正交基底e1， e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z). 对一个给定的向量p，其坐标唯一吗？
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
复习巩固
1.平面向量基本定理是什么？
如果a、b是同一平面内的两个不共 线向量，那么对于这一平面内的任意 向量p，有且只有一对实数λ1，λ2， 使p＝λ1a＋λ2b.
{a,b}叫做平面的一个基底
复习巩固
2.平面向量的坐标表示的基本原理是 什么？
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i、j作为 基底，若a＝xi＋yj，则把有序数对（x， y）叫做向量a的坐标，记作：
相等向量的坐标相等吗？z
p e3 e2
e1 O
y
x
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
2 2 2
| AB | AB AB
d A, B ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
已知 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 ab 则 cos a , b ab x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
DA i , DC j , DD1 k . 建立如图的空间直角坐标系
D1
C1 B1
A1 D A
E F
B C
y
x
AE D1 F (0,1, ) (0, , 1) 0. AE D1 F .
2 2 2 2
例 4.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
∵ a， b ，不同面， c
1 （x y ） 1 2 x 1 ∴ B1C OD OC1， ∴1 （ x y ） 0 即 2 y 1 x 1
3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示
类比：
由平面向量的基本定理，平面内的任意向量a, 均可分解为可分解为不共线的向量 1a 1和2 a 2，使得 a 1a 1 2 a 2 .如果 a 1 a 2时，这种分解就是平 面向量的正交分解. 如果取a 1，a 2为平面直角坐标 系的坐标的坐标轴方向单位向量 i , j , 则存在 一 对实数x、 y，使得 a x i y j ,，即得到平面向量 的坐标坐标a ( x, y).
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
2.设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且 ，则点B的坐标是
3.在三棱锥OABC中，G是 的重心（三条中线的交点），选取 为基底，试用基底表示 ＝
4.正方体 的棱长为2，以A为坐标原点，以 为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是.
（4）设A ，B ，则 ＝.
（5）向量的直角坐标运算：
设a＝ ，b＝ ，则⑴a＋b＝ ；⑵a－b＝ ；
⑶λa＝ ；⑷a·b＝ .
试试：
1.设 ，则向量 的坐标为.
2.若A ，B ，则 ＝.
3.已知a＝ ，b＝ ，求a＋b，a－b，8a，a·b
例1已知向量 是空间的一个基底，从向量 中选哪一个向量，一定可以与向量 构成空间的另一个基底？
课题
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
课型
新授
日期
点拨与总结
主备人
张峰源
审核人
岳宪伟
班级
姓名
学习设计
【学习目标】
1.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；（重点）
2.掌握空间向量的坐标运算的规律；（难点）
【学习过程】【独学】
1空间向量的正交分解：空间的任意向量 ，均可分解为不共面的三个向量 、 、 ，使 .如果 两两，这种分解就是空间向量的正交分解.
5.已知关于x的方程 有两个实根， ，且 ，当t＝时， 的模取得最大值.
变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？
例2如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用 表示 和 .
3.1.4-3.1.5空间向量的正交分解及其坐标运算
于是d AB AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 ) .
2 2 2
三、坐标运算应用
例1、 （1） 与 向 量 ( 2,1,2)共 线 且 满 足 方 程 ： a a b 18的 向 量 是 _______; b
（2） 已 知 、B、C三 点 的 坐 标 分 别 是 ,1,2), (4,5,1), A (2 ( 2,2,3),求 点P的 坐 标 使 1 1 (1)OP ( AB AC );( 2) AP ( AB AC ). 2 2
z
O’ A’ O
A D
A' B的坐标是 _____.
B’
B
y
x
二、空间向量的坐标运算
设 a (a1 , a 2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ),则 （1） b (a1 b1 , a 2 b2 , a 3 b3 ); a （2） b (a1 b1 , a2 b2 , a 3 b3 ); a （3） a (a1 , a 2 , a 3 );
3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
一、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底 的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这 个基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表 示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一
个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、 z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 空间直角坐标系O--xyz 点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向 量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
D’ F’ A’
E’
3.1.4-3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示和运算的坐标表示.
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
注意：（1）当 cos a , b 1时，a 与 b 同向；
（2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
6.空间两非零向量垂直的条件
a b a b 0 x1x2 y1 y2 z1z2 0
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40) a b (2, 3,5) (3,1, 4) 29
练习：
1.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
思考：当 0 cos a , b 1及1 cos a , b 0 时，
的夹角在什么范围内？
练习:已知 a (2,3,5), b (3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
对空间任一向量 a ,由空间 z a
向量基本定理，存在唯一的有序实
数组 (a1 , a2 , a3 ),使a a1i a2 j a3k.
有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) 就
k i Oj
A(a1 , a2 , a3 )
y
叫做 a 在这一空间直角坐标系 x
x
P(x, y, z)
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2),
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
3．1.4空间向量的正交分解及其坐标表示预习课本P92～94，思考并完成以下问题1．空间向量基本定理的内容是什么？2．在空间向量中，基底的定义是什么？应满足什么条件？[新知初探]1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz.(3)空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP ＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()(2)向量AP的坐标与点P 的坐标一致( )(3)对于三个不共面向量a 1，a 2，a 3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a 1＋λ2a 2＋λ3a 3( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．已知A (2,3－μ，－1＋ν)关于x 轴的对称点是A ′(λ，7，－6)，则λ，μ，ν的值为( ) A ．λ＝－2，μ＝－4，ν＝－5 B ．λ＝2，μ＝－4，ν＝－5 C ．λ＝－2，μ＝10，ν＝8D ．λ＝2，μ＝10，ν＝7答案：D3．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，下列向量中可以与p ＝2a －b ，q ＝a ＋b 构成空间的另一个基底的是______(填序号)．①2a ；②－b ；③c ；④a ＋c 答案：③④空间向量基本定理的理解 [典例] 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ＝e 1＋2e 2－e 3，OB＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ，OB ，OC}能否作为空间的一个基底？[解] 假设OA ，OB ，OC 共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA＝x OB ＋y OC成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1此方程组无解，即不存在实数x ，y ，使OA ＝x OB ＋y OC成立． ∴OA ，OB ，OC不共面．故{OA ，OB ，OC}能作为空间的一个基底．判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．[活学活用]设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a ，b ，x }；②{x ，y ，z }；③{b ，c ，z }；④{x ，y ，a ＋b ＋c }． 其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a ＝AB ，b ＝AA 1 ，c ＝AD，则x ＝AB 1 ，y ＝AD 1 ，z ＝AC ，a ＋b ＋c ＝AC 1.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：3空间向量基本定理的应用[典例] 如图，四棱锥P -OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA ＝a ，OC ＝b ，OP＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c表示：BF ，BE ，AE ，EF .[解] 连接BO ，则BF ＝12BP ＝12(BO ＋OP )＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE ＝BC ＋CE ＝－a ＋12CP ＝－a ＋12(CO ＋OP )＝－a －12b ＋12c . AE ＝AP ＋PE ＝AO ＋OP ＋12(PO ＋OC )＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a＋12b ＋12c . EF ＝12CB＝12OA ＝12a .用基底表示向量时：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．[活学活用]如图，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值．(1)BD ' ＝x AD ＋y AB ＋z AA ' ；(2)AE ＝x AD ＋y AB ＋z AA ' .解：(1)∵BD ' ＝BD ＋DD '＝ BA ＋BC ＋DD ' ＝－AB ＋AD ＋AA ' ， 又BD ' ＝x AD ＋y AB ＋z AA ' ，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE ＝AA ' ＋A E ' ＝AA ' ＋12A C ''＝AA ' ＋12(A B '' ＋A D '' )＝AA ' ＋12A B '' ＋12A D ''＝12AD ＋12AB ＋AA '， 又AE ＝x AD ＋y AB ＋z AA ' ，∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.[典例] 如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN的坐标．[解] ∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB ，AD ，AP是两两垂直的单位向量．设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A -xyz .法一：如图所示，∵MN ＝MA ＋AP ＋PN＝－12AB ＋AP＋12PC＝－12AB ＋AP＋12(PA ＋AC )＝－12AB ＋AP＋12(PA ＋AB ＋AD )＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3， ∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O . 则O 为AC ，BD 的中点， 连接MO ，ON ，∴MO ＝12BC ＝12AD，ON ＝12AP，∴MN ＝MO ＋ON ＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3.∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.用坐标表示空间向量的方法步骤[活学活用]在直三棱柱ABO -A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ，A B 1的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(OO 1 ＋O D 1)＝－⎣⎡⎦⎤OO 1 ＋12()OA ＋OB＝－OO 1 －12OA－12OB＝－4e 3－12×4e 1－12×2e 2＝－2e 1－e 2－4e 3，∴DO＝(－2，－1，－4)．(2)∵A B 1 ＝OB －OA 1 ＝OB －(OA ＋AA 1)＝－OA ＋OB －AA 1＝－4e 1＋2e 2－4e 3， ∴A B 1＝(－4,2，－4)．层级一 学业水平达标1．已知A (3,2，－3)，则点A 关于y 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－3，－2,3) B ．(－3,2，－3) C ．(－3,2,3)D ．(－3，－2，－3)解析：选C 由对称定义知．2．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p ⇒/ q ，q ⇒p .3．在空间直角坐标系O -xyz 中，下列说法正确的是( )A ．向量AB的坐标与点B 的坐标相同B ．向量AB的坐标与点A 的坐标相同C ．向量AB与向量OB 的坐标相同D ．向量AB与向量OB －OA 的坐标相同解析：选D 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不正确；同理B ，C 都不正确；由于AB ＝OB－OA ，所以D 正确．4．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG等于( )A.16OA ＋13OB ＋13OCB.14(OA＋OB ＋OC )C.13(OA ＋OB ＋OC )D.16OB＋13OA ＋13OC 解析：选B 如图，OG ＝12(OM ＋ON ) ＝12OM＋12×12(OB ＋OC ) ＝14OA＋14OB ＋14OC ＝14(OA＋OB ＋OC )． 5．空间四边形OABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA，N 为BC 中点，则MN为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c 解析：选B MN ＝MA ＋AB ＋BN＝13OA＋OB －OA ＋12(OC －OB ) ＝－23OA＋12OB ＋12OC＝－23a ＋12b ＋12c .6．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．解析：由于{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底， 所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)． 答案：a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝xa ＋yb ＋2c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.解析：因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λxa ＋λyb ＋2λc ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.答案：2 －28．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF＋λA D 1＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ， 则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上， 易知EF 綊12A 1D ，∴EF ＝12A D 1 ，即EF －12A D 1＝0，∴λ＝－12.答案：－129．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ＝a ，AD＝b ，AA 1 ＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D B 1 ，EF；(2)若D F 1＝xa ＋yb ＋zc ，求实数x ，y ，z 的值．解：(1)如图，D B 1 ＝D D 1 ＋DB ＝－AA 1 ＋AB －AD＝a －b －c ，EF ＝EA ＋AF ＝12D A 1 ＋12AC ＝－12(AA 1＋AD )＋12(AB＋AD )＝12(a －c )．(2)D F 1 ＝12(D D 1 ＋D B 1 )＝12(－AA 1 ＋D B 1 ) ＝12(－c ＋a －b －c ) ＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥AB 1.证明：设AB ＝a ，AA 1 ＝b ，AD＝c ，则EF ＝EB 1＋B F 1 ＝12(BB 1 ＋B D 11 )＝12(AA 1＋BD )＝12(AA 1 ＋AD －AB ) ＝12(－a ＋b ＋c )， AB 1 ＝AB ＋BB 1 ＝AB ＋AA 1＝a ＋b .∴EF ·AB 1＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴EF ⊥AB 1，即EF ⊥AB 1.层级二 应试能力达标1．已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且无三点共线，则能使向量MA ，MB ，MC成为空间的一个基底的关系是( )A ．OM ＝13OA ＋13OB ＋13OCB ．MA ＝MB ＋MCC ．OM ＝OA ＋OB ＋OCD ．MA ＝2MB －MC解析：选C 对于选项A ，由OM ＝x OA ＋y OB ＋z OC(x ＋y ＋z ＝1)⇒M ，A ，B ，C 四点共面，知MA ，MB ，MC 共面；对于选项B ，D ，易知MA ，MB ，MC共面，故选C.2．给出下列命题：①若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底；②已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA ，BM ，BN不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面；④已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由BA ，BM ，BN 不能构成空间的一个基底，知BA ，BM ，BN 共面．又BA ，BM ，BN过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．下面证明①④正确：假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝kc .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.3．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝3i ，AD＝2j ，AA 1 ＝5k ，则向量AC 1 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(1,1,1) B.⎝⎛⎭⎫13，12，15 C ．(3,2,5)D ．(3,2，－5)解析：选C AC 1 ＝AB ＋BC ＋CC 1 ＝AB ＋AD ＋AA 1＝3i ＋2j ＋5k ，∴向量AC 1在基底{i ，j ，k }下的坐标是(3,2,5)，故选C.4．已知向量OA 和OB 在基底{a ，b ，c }下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若OC ＝25AB，则向量OC在基底{a ，b ，c }下的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，85解析：选A ∵AB ＝OB－OA ＝(2b ＋c )－(3a ＋4b ＋5c )＝－3a －2b －4c ，∴OC ＝25AB ＝－65a －45b －85c ，∴向量OC 在基底{a ，b ，c }下的坐标是⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85，故选A. 5．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z ，使得xa ＋yb ＋zc ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．解析：若x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间的一个基底知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0.答案：x ＝y ＝z ＝06．若a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，若e 1，e 2，e 3不共面，当d＝αa ＋βb ＋γc 时，α＋β＋γ＝________.解析：由已知d ＝(α＋γ)e 1＋(α＋β)e 2＋(γ＋β)e 3.所以⎩⎪⎨⎪⎧ α＋γ＝1，α＋β＝2，γ＋β＝3，故有α＋β＋γ＝3.答案：37．设A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别是异面直线l 1，l 2上的三点，且M ，N ，P ，Q 分别是线段AA 1，BA 1，BB 1，CC 1的中点．求证：M ，N ，P ，Q 四点共面． 证明：依题意，有BA ＝2 NM ，A B 11 ＝2 NP .PQ ＝PB 1 ＋B C 11 ＋C Q 1 ＝12BB 1 ＋B C 11 ＋12C C 1 ＝12(BC ＋CC 1 ＋C B 11 )＋B C 11 ＋12C C 1 ＝12(BC ＋B C 11 )． (*)∵A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别共线，∴存在λ，ω∈R ，使得BC ＝λBA ＝2λNM ，B C 11 ＝ωA B 11 ＝2ωNP .代入(*)式，得PQ ＝12(2λNM ＋2ωNP )＝λNM ＋ωNP ， ∴PQ ，NM ，NP 共面．∴M ，N ，P ，Q 四点共面．8．已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .证明：如图，取向量OA ，OB ，OC 为空间基底，则OM ＝12(OB ＋OC )，ON ＝12(OA ＋OC )．∴PM ＝OM －OP ＝12(OB ＋OC ) －12OA ＝12(OB ＋OC －OA )， QN ＝ON －OQ ＝12(OA ＋OC )－12OB＝12(OA ＋OC －OB )．又∵AB ＝OB －OA ，∴PM ＝12(AB ＋OC )，QN ＝12(OC －AB )， ∴PM ·QN ＝12(AB ＋OC )·12(OC －AB ) ＝14(|OC |2－|AB |2)， 又∵|AB |＝|OC |，∴PM ·QN ＝0，即PM ⊥QN .。
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示.doc
3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程1．情景创设： 平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？2．建构数学：如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j kr r r 作为基向量，对于空间任一向量a r ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++r r r r ；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a r 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a r ＝（x ，y ，z ）。
在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA u u u r 是确定的，容易得到OA =u u u r xi y j zk ++r r r 。
因此，向量OA u u u r 的坐标为OA =u u u r （x ，y ，z ）。
这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。
类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。
设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则a +b ＝（112233,,a b a b a b +++），a －b ＝（112233,,a b a b a b ---），λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。
空间向量平行的坐标表示为a ∥b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。
例题分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。
例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。
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白城实验高中 数学 导学案 编制人 张大光 编号 审批人宿颖慧 包科领导张大光 使用日期 班级 小组 学生姓名 评价
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1．学会空间向量基本定理及基向量、基底的概念；2．会用空间三个不共面的向量表示空间任一向量；3.学会空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示；4.学会空间向量平行、垂直条件的坐标表示，能够应用坐标运算证明空间两个向量的平行和垂直，记住两个向量的夹角与向量长
请同学们复习平面向量基本定理、坐标表示及运算的坐标表示相关知识。
二、新课导学 ※ 学习探究
探究一：空间向量的正交分解及其坐标表示 1．空间向量基本定理
(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得 p ＝ .
(2)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把 叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做 ，空间任何三个 的向量都可构成空间的一个基底． 2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底
设e 1，e 2，e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为 ) (2)空间直角坐标系 以e 1，e 2，e 3的 为原点，分别以 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz . (3)空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p 一定可以把它 ，使它的 与原点O 重合，得到向量 ＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{
x ，y ，z }，使得 . 我们把 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝ ．
探究二. 空间向量运算的坐标表示 1．空间向量的加减和数乘的坐标表示
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则(1)a ＋b ＝ ； (2)a －b ＝ ；(3)λa ＝ ；
(4)a ∥b (b ≠0)⇔
2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝ .
=
∙⊥b a b a ，则若)4(3．空间向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则
=
==
d AB AB )2()1(
※ 典型例题
知识点一 基底的判断
例1设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组： ①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }， 其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
反思感悟：
知识点二 空间向量基本定理
例2已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→
＝c ，点G 是侧面CC ′D ′D 的中心，用基底{a ，b ，c }表示如下向量：.,,,,AG C D D A B A D A ''
反思感悟：
知识点三 向量运算的坐标表示
已知向量a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,0,2)，则： (1)a ·(b ＋c )＝________；(2)(a ＋2b )·(a －2b )＝________.
例3.
设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b,3a －2b ，a·b ，并确定λ，μ的关系，使a ＋μb 与z 轴垂直．
知识点四 向量夹角及长度
例4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 1、BB 1的中点，则cos ∠EAF ＝________，EF ＝________.
反思感悟：
※ 学习小结：。