数学必修二2《平面(2)》课件

2.1 .1 平 面(2)
1.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内.
①图形语言：

A
l
B
②符号语言：Al, B l且A, B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系：
可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
同理可证 C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内． 证法 2：(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3 确定一个平面 β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内，又在平面 β 内． ∴平面 α 和 β 重合，即直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝ A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 解：(1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内，如图(1)； (2)直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上，如图(2)； (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q，如图(3)．
共线问题 [例 3] 已知△ABC 在平面 α 外，其三边 所在的直线满足 AB∩α＝P，BC∩α＝Q， AC∩α＝R，如图所示． 求证：P，Q，R 三点共线． [证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又 AB⊂平面 ABC，∴P∈平面 ABC. ∴由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上， 同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P，Q，R 三点共线．
故经过点A和直线a有一个平面. 唯一性. 因为B，C在a上， 所以过直线a和点A的平面一定经过点A，B，C. 由公理2，经过不共线三点A，B，C的平面只有一个， 所以过直线a和点A的平面只有一个.
1.平面的基本性质
公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
解析：
序号 正误
原因分析
太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是 ①×
抽象的，且无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
解析：若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若
这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．
答案：C
3．下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面； ②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面； ④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限 集． 其中正确的是________．
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练习
⑹.判断下列命题是否正确:
(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点. ×
(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个
平面. √ (3)经过两条相交直线,有且只有一个平面. √
(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个
平面重合. √
back
文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
由DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3可得GE∥FH 且GE≠FH，即EFHG是梯形，由此得到GH 与EF交于一点． 证明E、F、H、G四点共面―→EFHG为梯 形―→GH和EF交于一点O―→证O∈平面 ABD―→O∈平面BCD―→平面ABD∩平面 BCD＝BD―→O∈BD―→得出结论
[规范解答] 因为 E，G 分别为 BC，AB 的中点，所以 GE∥AC.又因 为 DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以 FH∥AC，从而 FH∥ GE.∴GE≠FH.(4 分)
[例1] 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点M与平面AC； (4)点A1与平面AC； (5)直线AB与直线BC； (6)直线AB与平面AC； (7)平面A1B与平面AC.
[解] (1)点P∈直线AB； (2)点C ∉直线AB； (3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC； (5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC； (7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
[随堂即时演练]
1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可
记作( )
A．Q∈b∈β
B．Q∈b⊂β
C．Q⊂b⊂β
D．Q⊂b∈β
解析：∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.
又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b⊂β，∴Q∈b⊂β. 答案：B
2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
[类题通法] 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细 观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如 何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意 实线和虚线的区别．
[活学活用] 1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关
法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面 APR∩平面 α＝PR. ∵B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC⊂平面 APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面 APR，又 Q∈α， ∴Q∈PR，∴P，Q，R 三点共线．
[类题通法] 点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平 面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明 点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直 线，然后证明其他点也在其上．
3 因为平面型斜屋面与地面不相交,所以屋面所在的平面
与地面不相交. ×
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(4).填空: ①__不__在__同__一__直__线__上___的三点确定一个平面; ②两条 平行 或 相交直线确定一个平面; ③有一个公共点的两个平面交于 唯一 的一条直线.
⑸.下列命题正确的是( D ) A. 经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
点、线共面问题
[例 2] 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面 内．
[解] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线 l1、l2、l3 在同一平面内． 证法 1：(纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α.
[活学活用] 3. 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1
中，设线段 A1C 与平面 ABC1D1 交于 点 Q，求证：B，Q，D1 三点共线． 证明：如下图所示，连接 A1B，CD1.显然 B∈平面 A1BCD1，D1∈平面 A1BCD1.
∴BD1⊂平面 A1BCD1. 同理 BD1⊂平面 ABC1D1. ∴平面 ABC1D1∩平面 A1BCD1＝BD1. ∵A1C∩平面 ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面 ABC1D1. 又∵A1C⊂平面 A1BCD1， ∴Q∈平面 A1BCD1. ∴Q∈BD1，即 B，Q，D1 三点共线．
2.证明三线共点问题
[典例] 如图，在四面体 ABCD 中，E，G 分别为 BC， AB 的中点，F 在 CD 上，H 在 AD 上，且有 DF∶FC＝DH∶ HA＝2∶3.
求证：EF，GH，BD 交于一点．
[解题流程]
欲证EF、GH、BD交于一点，可先证两条 线交于一点，再证此点在第三条直线上.
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
练习
2.练习
(1)用符号表示" A在直线l上, l在平面外",正确的是(B)
[类题通法] 证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常 用方法有 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线 都在这个平面内，即用“纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、 线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一 法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证 法”．
1.平面的基本性质
(2)公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.
①图形语言：

P

l
②符号语言：P , P l且P l
③该公理反映了平面与平面的位置关系：
i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个 公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线. (找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可) ii)该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线 是这两个平面的公共交线，则该点在交线上.
故E，F，H，G四点共
面．又因为GE＝
1 2
AC，FH
＝
2 5
AC，所以四边形EFHG
是一个梯形，设GH和EF交
于一点O.(6分)
[名师批注] 如何证明四点共面？
根据公理2的推论可知， 本题可利用HF∥GE即可确定 E，F，H，G四点共面.
为什么GH和EF交于一点？
因为E，F，H，G四点共面，且 GE綊12AC，HF綊25AC，所以GE
∥HF且GE≠HF，即EFHG为 梯形，梯形两腰延长线必相交于 一点.
因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两平