7.1总体分布参数的假设检验

2.一个正态总体均值或方差的假设检验
设总体X服从N(μ,σ2)分布，X的一个 样本为X1、X2、…、Xn、均值为、修正 方差为S*2、离均差平方和为SS，样本 的观测值为x1,x2,…,xn ,均值的观测值 为 x,修正方差的观测值为s*2，离均差 平方和的观测值为ss，显著性水平为α， 则有：
结论1）若σ2已知，对于给定的数值μ0， 作一个正态总体均值的假设检验时， H0为μ＝μ0，而H1分别为 ①μ≠μ0，②μ＞μ0，③μ＜μ0。 X 0 可设 U , 它的观测值
出厂检验问题的数学模型
对总体X ~ f ( x ; p) p (1 p) , x 0,1 提出假设
x 1 x
H 0 : p 0.04 ;
要求利用样本观察值
H1 : p 0.04
( xi 3 or 1 )
i 1 12
( x1 , x2 , , x12 )
对提供的信息作出接受 H 0 (可出厂) , 还 是接受 H1 (不准出厂) 的判断.
习惯上称观测值g(x1,x2,…,xn)所 满足的不等式为假设检验方案，称 这个不等式所确定的观测值g 的取 值范围为假设检验的放弃域。 放弃域由两个区间构成的假设检 验被形容为双侧检验，放弃域由一个 区间构成的假设检验被形容为单侧检 验。后面将要讲述的内容可以粗糙地 概括为：
H0为相等、H1为不相等的假设检验 为双侧检验，观测值g ( )较大或较小时 放弃H0； H0为相等、H1为大于的假设检验为单 侧检验，观测值g ( )较大时放弃H0； H0为相等、H1为小于的假设检验为 单侧检验，观测值g ( )较小时放弃H0。
假设检验的两类错误
⑴ 在原假设为真时，决定放弃原假设，
称为第一类错误，其出现的概率通常记作α；
⑵ 在原假设不真时，决定接受原假设， 称为第二类错误，其出现的概率通常记作β。
假设检验的两类错误
所作判断 接受 H0 真实情况
H0 为真 H0 为假
正确 第二类错误
(取伪)
拒绝 H0
第一类错误
(弃真)
正确

2 2
右侧检验
(V V )
P(V V )
根据样本值计算,并作出相应的判断.
假设检验的步骤如下：
⑴ 提出H0和H1； ⑵ 指定概率α；
⑶ 寻求统计量g(X1,X2,…,Xn)及其分布； ⑷ 在H0为真时构造小概率事件并推导 g( )所满足的不等式；
⑸ 当统计量的观测值g(x1,x2,…, )满足 不等式时放弃H0、否则接受H0。
2 0
H 0为
2
2
，而H 1分别为
2 0
(1) , (2) , (3) .
2 0 2 2Biblioteka 0 2 2 0可设 它的观测值

2

2
SS


2 0
,

ss

2 0
,
当H0为真时， ~ (n 1),
2 2
(1)P{
2
当
2
2 0.5
均值μ也是1600，或大于1600，或小于1600.
以上有三种不同的形式，在统计学中通常 记作：
(1) H 0为 1600 H1为 1600 ， ； (2) H 0为 1600 H1为 1600 ， ； (3) H 0为 1600 H1为 1600 ， .
由于是根据总体的一个样本的观测值及小 概率原理对所提出的假设进行检验并决定接 受或放弃所提出的假设， 因此假设检验 的 结果，会出现以下两类错误：
(3) P{
2
2 1
(n 1)} ,
当
2 2
2 1
(n 1)时拒绝 0 , H
2 0
认为 .
结论2）若σ2未知，对于给定的数值μ0， 作一个正态总体均值的假设检验时， H0为μ＝μ0，而H1分别为 ①μ≠μ0，②μ＞μ0，③μ＜μ0。 X 0 可设 T ,
S* n
它的观测值
x 0 t , s* n
当H0为真时， T ~ t (n 1),
(1) P{ T t10.5 (n 1)} , 当t t10.5 时拒绝 0，认为 0 ; H
n x 0 u ,

n
当H0为真时， U ~ N (0,1),
(1) P{ U u10.5 } , 当u u10.5 时拒绝 0，认为 0 ; H (2) P{U u1 } ,
当u u1 时拒绝 0，认为 0 ; H (3) P{U u1 } , 当u u1 时拒绝 0，认为 0 . H
内 容
检验 种类
参数假 设检验 非参数 检 验
双侧检验 单侧检验
分布检验 符号检验 秩和检验
不学
u 检验—利用正态分布检验 2 检验—利用 2 分布检验
t 检验—利用 t 分布检验 F 检验—利用 F 分布检验
若对参数 一无所知
若对 参数 有所 了解 但有怀 疑猜测 需要证 实之时
用参数估计 的方法处理
过增大样本容量的方法来减少 .
通常只限定犯第一类错误的最大概率α， 不考虑犯第二类错误的概率β。这样的假设 检验又称为显著性检验， 概率α称为显著性水平 ，α可以等 于0.01或0.05或其他的数值，在未加说明时 α =0.05。
以下所讲述的假设检验，都是 显著性检验。 如果α=0.05，则称μ与μ0有显著的差异或 差异显著；如果水平α=0.01，则称μ与μ0有 极显著的差异或差异极显著。
推断原理,即“小概率原理”
某产品出厂检验规定: 次品率p不 超过4%才能出厂. 现从一万件产品中任意 抽查12件发现3件次品, 问该批产品能否出 厂？若抽查结果发现1件次品, 问能否出厂？ p 0.04, p 0.04 代入 解 假设 3 3 9 P (3) C12 p (1 p) 0.0097 0.01 12 这是 小概率事件 , 一般在一次试验中 是不会发生的, 现一次试验竟然发生, 故认 为原假设不成立, 即该批产品次品率p 0.04 则该批产品不能出厂.
然而,发生冤案的可能性就相当大.有罪推理采取了将罪犯 绳之于法的强硬措施,同时就会使大量无辜者受冤枉.所谓 “宁可错杀一千,也不放过一个”,就是这种思维的极端化.
医生对就诊者某项疾病的评估.一般任何化验手段 检验疾病都不能达到100%准确.所以,对于SARS,禽流感, 艾滋病,霍乱,鼠疫等极严重的传染病的化验结果是否判断 为阳性,应该用更保守的假设检验,即检验: 零假设:就诊者为阳性; 对立假设:就诊者为阴性. 这种零假设属于宁可错判为阳性,也不能让感染者漏网. 此时用的就是”有罪推理”
§ 总体分布参数的假设检验 7.1
1.假设检验的基本概念 数理统计的基本任务是根据对样本的考察来 对总体的某些情况作出判断。
常把一个要检验的假设记作H0,称为原假设 （或零假设null hypothesis），与H0对立的假设 H1，称为备择假设(alternative hypothesis）
例 某工厂在正常情况下生产的电灯泡的寿命 X(小时)~N(1600,802).从该工厂生产的一批灯 泡中随机抽取10个灯泡，测得它们寿命为： 1450,1480,1640,1610.1500, 1600,1420,1530,1700.1550 如果标准差不变，试检验这批灯泡的寿命
别的保护. 因而,通常把有把握的、有经验的结论 作为原假设,或者尽可能使后果严重的 错误成为第一类错误.
假设检验步骤(三部曲)
根据实际问题所关心的内容,建立H0与H1
在H0为真时,选择合适的统计量V,由H1确 定拒绝域形式
给定显著性水平,其对应的拒绝域 双侧检验 (V V1 ) (V V ) 其中 (V V1 ) 左侧检验
(2) P{T t1 (n 1)} ,
当t t1 时拒绝 0，认为 0 ; H (3) P{T t1 (n 1)} , 当t t1 时拒绝 0，认为 0 . H
结论3） 未知，对于给定的数值 , 若 作一个正态总体方差的假设检验时，
但是，取H1为大于的假设检验必 须已知不可能小于，取H1为小于的假 设检验必须已知不可能大于，它们的 根据都只能是各个专业的理论与实践。
在无罪推理法庭体系中,法庭处理的就是以下的假 设检验问题: 零假设:被告无罪; 备择假设:被告有罪 此时假定被告无罪.只有检查官调查取得充分的证据确实 证明被告有罪,才拒绝零假设,判他有罪.否则,就是没有充分 的证据支持被告有罪.事实上,此时究竟犯罪嫌疑人是否无罪 并不确切知道,只能以证据不足释放.由于证据的取得方式 与证据的解释是差错,也可能发生误判.在判决中可能出现 两类错误: 第一类错误:无罪犯罪嫌疑人被错判有罪,构成冤案,反而 使犯罪人逃脱; 第二类错误:犯罪人被错放了 从以人为本权衡利弊,一般认为冤案(即第一类错误)的社会 影响更为严重.所以法制社会要控制第一类错误的概率在一 个相当小的显著水平以下.但是,这时,第二类错误就会攀升
(n 1)
2
2 2 10.5
2 0.5
或
2 10.5
} ,
时拒绝 0 , H
认为 ; 2 (2) P{ (n 1)} ,
2
当 (n 1)时拒绝 0 , H 2 2 认为 0 ;
2
2 0 2 1 2 1
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
任何检验方法都不能完全排除犯错 误的可能性.理想的检验方法应使犯两类 错误的概率都很小,但在样本容量给定的 情形下,不可能使两者都很小,降低一个, 往往使另一个增大.
假设检验的指导思想是控制犯第一类
错误的概率不超过, 然后,若有必要,通