重庆市高三联合数学诊断性考试答案
2023年重庆市普通高等学校招生全国统一考试高三第三次联合诊断检测数学参考答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试高三第三次联合诊断检测数学参考答案一、单选题1～8CBDB ACCC第8题提示：圆内接n 边形为正n 边形时面积最大，要使棱柱体积最大，可知上下底面为正n 边形，由正n 边形与外接圆的面积比不依赖于圆的半径，故只需考虑球体内接圆柱体积最大时，上下底面间的距离，设圆柱底面圆的半径为r ，则球心到圆柱底面圆的距离为，圆柱体积为2r π，考虑函数()f x =，()f x '=，可知223r x ==时体积最大.二、多选题9.ACD 10.ACD 11.BCD 12.ABD第12题提示：令1y =，得2(1)()(1)x f x xf x +=+，令0x =，得(0)0f =，令1x =，得(2)4(1)8f f ==显然()2x f x x =⋅是一个满足条件的函数，故C 错误由(1)()21f x f x x x +=⋅+，记()n f n a n=，可知12n n a a +=，{}n a 为等比数列2n n a =，()2n f n n =⋅，∴11()(1)22nn k f k n +==-⋅+∑三、填空题13.0.72814.12+15.16.(0,3第16题提示：设1221,,PF n PF m PF F α==∠=，由正弦定理22sin 3sin sin 4sin 3sin sin 3sin m n c m n a ααααααα+====++∴23sin 42sin 2cos 22cos 1sin 3sin 4sin 4sin cos e ααααααααα-===+-由(,)64ππα∈，cos )22α∈，可得(0,3e ∈四、解答题17.（10分）解：（1）∵121n n S S +=+，∴121n n S S -=+(2)n ≥两式相减得12n n a a +=(2)n ≥，即数列{}n a 从第二项开始为等比数列令1n =，∴212121S a a a =+=+，22a =∴212a a =，∴数列{}n a 为等比数列，1112n n n a a q--=⋅=…………5分（2）112122log (22)4212n n n n n n b n --=⋅+⋅=⋅+-，设n T 为{}n b 的前n 项和21(444)(1321)2n n T n =+++++++- 2214(14)22421433n n n n -=⋅+=⋅-+-…………10分18.（12分）解：（1）由题sin cos sin cos sin sin sin sin cos A B C A B C A B C-=由正弦定理，cos cos cos ac B bc A ab C-=由余弦定理，222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab+-+-+-⋅-⋅=⋅化简整理得2223a c b +=，2223a c b +=…………6分（2）由题2222cos 23a cb B ac +-==联立2223a c b +=得2220a c ac +-=，∴a c =，ABC △为等腰三角形∴sin sin()cos 222B B A π=-=由22cos 2cos123B B =-=，解得30sin cos 26B A ==…………12分19.（12分）解：（1）设BDC △的外心为P ，∵球心O 到底面的距离为1，∴1OP =∵BCD △1BP =∴OB ==，球O 的表面积为248OB ππ=………………6分（2）以DC 中点M 为原点，,,MB MC PO 分别为,,x y z 轴正向建立空间直角坐标系∴3(,0,0)2B，(0,,0)2C，(0,2D -，1(,0,1)2O ，1(,0,2)2A-1(,,2)22AC =-，3(,22BC =-，DC = 设平面ABC 的法向量为n ，由00AC n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，令1x =，解得n =设平面ABC 的法向量为m ，由00AC m DC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，令1z =，解得(4,0,1)m = 设二面角B AC D --的平面角为θ，cos 17||||n m n m θ⋅==⋅ ………………12分20.（12分）解：（1）设甲一局的得分为1ξ，由题得1111(1)663P ξ==+=，11(3)3P ξ==，1111(0)1(1)(3)3P P P ξξξ==-=-==设乙一局的得分为2ξ，由题得21111(1)5630P ξ==+=，21(3)4P ξ==，22223(0)1(1)(3)60P P P ξξξ==-=-==若最后一轮甲反败为胜，其概率为(3,0)(3,1)P P X Y P X Y ===+==12311113603304=⋅+⋅=………………6分（2）列出,X Y 和||X Y -取值相应的概率表如下：由此可得||Z X Y =-的分布列||Z X Y =-0123P 131********90∴113719233()01233418090180E Z =⋅+⋅+⋅+⋅=………………12分21.（12分）解：（1）∵ABD △是面积为的正三角形，∴1221a b a b a ⎧⋅⋅=⎪⇒==⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为2213x y +=…………4分（2）设11221122(,),(,),(,),(,)P x y Q x y P x y Q x y ''--，∴212221:()P Q y y l y x x y x x '+=-+-由对称性知K 在x 轴上，令0y =，解得121212K y x x y x y y +=+设直线:PQ l x ty m =+，联立椭圆得222(3)230t y tmy m +++-=∴12223tm y y t -+=+，212233m y y t -⋅=+（*）1212121212121212()()2K y x x y y ty m ty m y ty y x m y y y y y y ++++===++++代入（*）得3K x m =∵AKB ∠为钝角，∴0AK BK ⋅< ，即2339(,1)(,1)10m m m-⋅=-<解得(,3)(3,)m ∈-∞-+∞ …………12分22.（12分）解：（1）曲线()()ln x y f x g x k k x =-=-，ln x k y k k x'=-，当1x =时，ln y k k k '=-，y k =，故切线方程为(ln )(1)y k k k k x -=--，整理有(ln )ln 20k k k x y k k k ---+=…………4分（2）解法一：先设()()()1ln F x h x g x kx k x =-=--，(1)()k k x F x k x x -'=-=，当1x >时()0F x '>，当01x <<时()0F x '<，所以()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以(1)10F k =-≥，故1k >。
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参考答案一、选择题一、 1.A 2.B 3.D 4.B 5.A 6.(理)B (文)A 7.D 8.B 9.D 10.A 11.C 12.A 二、填空题13.50 14.5 15. 60°或(或3π)；16.①③三、解答题17.解：(Ⅰ)由1＜log 3｜x -1｜＜2得3＜｜x -1｜＜9 2分 即，3＜x -1＜9或-9＜x -1＜-3 4分 解得，3＜x ＜10或-8＜x ＜-2 6分(Ⅱ)当x ∈(1，+∞)时，f (x )=log 3｜x -1｜是增函数，设1＜x 1＜x 2则f (x 1)-f (x 2)=log 3｜x 1-1｜-log 3｜x 2-1｜=log 31121--x x8分∵1＜x 1＜x 2 ∴｜x 1-1｜＜｜x 2-1｜ ∴0＜1121--x x ＜1 10分∴log 31121--x x ＜0 即f (x 1)＜f (x 2)∴f (x )=log 3｜x -1｜是增函数. 12分 18.解：(Ⅰ)∵｜ｚ｜＝22)2cos 211(cos 2θθ++ 2分 22cos 22cos 412++=θθ 8)42(cos 212-+=θ 4分 ∵9≤(cos2θ+4)2≤25∴｜z ｜∈［217,21］ 6分 (Ⅱ)设arg z =α∵παθ 0,0)2cos 211(+则｜tg α｜=θθθθocs 21cos 21cos 22cos 211+=+ 8分≥121221=⋅ 10分 ∴α≥4π ∴arg z 的最小值为4π12分 19.解：(Ⅰ)由题意，点P n (a n ,b n )在点(n ,0)与(n +1,0)的垂直平分线上，∴a n =2121+=++n n n 3分 ∴b n =(a n )2=(n +21)2 6分(Ⅱ)∵C n =]111[21221212+-⋅=+=+-n n n n n a b n n 8分)]113121211(21[lim )(lim 21+-+-+-⋅=+++∞→∞→n c c c n n n )]111(21[lim +-⋅=∞→n n 10分 =2112分20.解：(Ⅰ)设BN ∩MB 1=P ，则CBN M BB BCN Rt BM B Rt CN BM BC BB ∠=∠⇒∆≅∆⇒⎭⎬⎫==111而∠CBN 与∠NBB 1互为余角，∴∠BB 1M 与∠NBB 1也互为余角.∠B 1PB =90°，即BN ⊥MB 1 ① 2分1111B BCC AM BC AM B BCC ABC 平面又面⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥BN AM ⊥⇒ ②由①②，∴BN ⊥平面AMB 1. 4分 (Ⅱ)由AM ⊥平面BCC 1B 1，∴AM ⊥MB ，且AM ⊥MB 1∠BMB 1为二面角B —AM —B 1的平面角 6分 ∴tg BMB 1=2241==BM BB ∴二面角B —AM —B 1的正切值为2. 8分 (Ⅲ)N BB A N AB B V V 11--= =.331632421313121=⋅⋅⋅=⋅AM S N BB 12分 21.(Ⅰ)设使用n 月后的月平均消耗为y (元)，则nn n n nn n y 4410300)1(30010000 10300]3000)1(600[)3000600()3000(7000⨯+-⋅+=⨯++-+++++⋅=97003003000000++=n n(文6、理3分) (Ⅱ)y ≥2n n3003000000⋅+9700=69700(元) ∴当且仅当n3000000=300n ，即n =100(月)时，平均成本最低. (文12、理6分) (Ⅲ)设第n 年后可以收回成本.由题意则有50+50·(1-5%)+50·(1-5%)2+…+50·(1-5%)n -1≥300… 8分即7.03.0195.0,695.0195.01=-≤≥--n n10分 ∴n ≥7022.0154.015.9lg 17lg 95.0lg 7.0lg ==--=故，7年后刚好可以收回成本. 12分22.解：(Ⅰ)由y 2=4x 知，焦点F 为(1，0)，准线L ：x =-1 设C 1中，点P (x,y ),B (p,q )，由定比分点公式x =2102,2112+⨯+=+⨯+q y p 得B 的坐标为B (3x -2,3y ) (文3、理2分)再设椭圆中心为O ′，B 在准线L 上的射影为B ′，则有acFB O F B B BF ='=' 即2222)3()33(123123)3()33(y x x x y x ++---=+-+- (文6、理4分)化简，得C 2：y 2=)1(32-x (文8、理6分)(Ⅱ)由⎪⎩⎪⎨⎧-==++)1(2102x y m y x 可得，3y 2=2(-m-y -1) (文10分)3y 2+2y +2m +2=0，由Δ=4-12(2m +2)=-24m -20＞0 (文12、理7分) 得m ＜-65(文14、理8分)(Ⅲ)设交点M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2),则y 1+y 2=-3)1(2,3221+=⋅m y y若以MN 为直径的圆过原点，那么OM ⊥ON ，有K OM ×K ON =-1，,12221-=⋅x y x y 即y 1y 2+x 1x 2=0 10分 将x =-y-m 代入上式，得2y 1y 2+m (y 1+y 2)+m 2=0∴0323)1(42=+-+m mm 12分 整理为3m 2+2m +4=0 Δ=4-12×4＜0因满足条件的实数m 不存在，故不存在以MN 为直径的圆过原点. 14分。
重庆市高三三诊数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则 ()(){}|2340A x Z x x =∈+-<{|B x y ==A B = A ． B ． C ． D ．(]0,e {}0,e {}1,2()1,2【答案】C【详解】 ，()(){}2340A x Z x x =∈+-<{}3={|4,}1,0,1,2,32x x x -<<∈=-Z {B x y = ，选C.{}{|1ln 0}(0,]1,2x x e A B =-≥=∴⋂=2．复数的共轭复数在复平面内对应的点位于 2i1i++z A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数的四则运算化简可得z ，然后可得，最后由复数的几何意义可得. z 【详解】因为，所以，所以对应复平面内的点.2i (2i)(1i)31i 1i 222z ++-===-+31i 22z =+z 31(,22故选：A ． 3．已知，则（ ）2cos tan 5sin ααα=+3πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D 1313-【答案】C【分析】根据已知式子结合同角三角函数的商数关系与平方关系，可求得的值，再由诱导公sin α式求得的值.3πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】解：①， 222cos sin 2cos tan sin 5sin 2cos 5sin cos 5sin αααααααααα=⇒=⇒+=++由于代入①，得：，22sin cos 1αα+=()()23sin 5sin 203sin 1sin 20αααα+-=⇒-+=由于，所以，故， []sin 1,1α∈-sin 20α+≠1sin 3α=所以.3π1cos sin 23αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭故选：C.4．某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是，连续两天顾客量超过1920万人次的概率是，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后720一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（ ）. A ．B ．C ．D ．7109104579【答案】D【分析】利用条件概率的定义及其概率计算公式求解即可．【详解】设“某天接纳顾客量超过1万人次”为事件A ，“随后一天的接纳顾客量超过1万人次” 为事件B ， 则，，9()20P A =7()20P AB =所以， 7()720()9()920P AB P B A P A ===故选：D ．5．如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取正六边形各边的三等分点ABCDEF ，，，，，，作第2个正六边形，然后再取正六边形各边1A 1B 1C 1D 1E 1F 111111A B C D E F 111111A B C D E F 的三等分点，、、，，，作第3个正六边形，依此方法，如果这个2A 2B 2C 2D 2E 2F 222222A B C D E F 作图过程可以一直继续下去，由，，...构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案，则11A BB ∆212A B B ∆该螺旋线型图案的面积与正六边形的面积的比值趋近于（ ）ABCDEFA ．B ．CD11216【答案】B【分析】分别计算出阴影部分面积和正六边形的面积，即可求解.【详解】解：由外至内设每个六边形的边长构成数列，每个阴影三角形的面积构成数列，{}n a {}n S 设，则，，……， ABa =11A B ==222A B a =依此类推，，nn n A B a =所以数列是以为公比的等比数列，所以，{}n aa 1n n a a -=⨯又，所以， 21121sin120233Sa a ︒=⨯⨯⨯=222S a =，……，22423S a a ⎫⎪==⎪⎭依此类推，，222n n S a -=则数列的前n 项和{}nS 24222222n n T a a a -=+2422212277711999n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=++++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22297711299n na a ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-=-⎢⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎥⎣⎦⎦正六边形的面积为：，2216sin 602ABCDEF S a =⨯=. 16=故选：B.6．已知函数，记，，，则，，的大小关()21xf x =-()0.5log 3a f =()5log 3b f =()lg 6c f =a b c 系为（ ）． A ． B ． a b c <<a c b <<C ． D ．b<c<a c b a <<【答案】C【分析】根据函数的奇偶性及指数函数的性质判断函数单调性，再根据自变量的大小关系比较函数值的大小.【详解】由，，()21xf x =-()()2121xxf x f x --=-=-=所以函数为偶函数， ()f x 又当时，，0x ≥()21xf x =-所以函数在上单调递增， ()f x ()0,∞+因为，且0.5122log 3log 3log 3==-2log 31>又，，，， 5ln 3log 3ln 5=50log 31<<ln 6ln 2ln 3lg 61ln10ln 2ln 5+==<+0lg 61<<则， 5log 3ln 3ln 2ln 5ln 2ln 3ln 3ln 5lg 6ln 5ln 2ln 3ln 2ln 5ln 3ln 5+⋅+⋅=⋅=+⋅+⋅又，则， ln 5ln 3ln 20>>>ln 2ln 5ln 3ln 5ln 2ln 3ln 3ln 5⋅+⋅>⋅+⋅所以， 5log 3ln 2ln 3ln 3ln 51lg 6ln 2ln 5ln 3ln 5⋅+⋅=<⋅+⋅所以，52log 3lg 6log 3<<所以， ()()()()520.5log 3lg 6log 3log 3f f f f <<=即， b<c<a 故选：C.7．已知点F 为抛物线的焦点，，点M 为抛物线上一动点，当最小时，点M24y x =()1,0A -MF MA恰好在以A ，F 为焦点的双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线斜率的平方是（ ）A B ．C ．D 2+3+【答案】B【分析】由题可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求AM MF MAM 出2a ，结合，可求得，再利用求得结果.1c =c a 2221b c a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】由抛物线的对称性，不妨设为抛物线第一象限内点，如图所示：M故点作垂直于抛物线的准线于点B ，由抛物线的定义知，易知轴，可得M MB ||||MF MB =//MB xMAF BMA ∠=∠cos cos MF MB A BM A AMA M F M=∠∠∴==当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，MAF ∠MF MAAM 24y x =设直线方程为：，AM ()1y k x =+联立，整理得，()241y x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩()2222240k x k x k +-+=其中，解得：， 216160k ∆=-+=1k =±由为抛物线第一象限内点，则，M 1k =则，解得：，()24210x x ++-=1x =此时，即或 24y =2y ==2y -所以点的坐标且M (1,2)M 由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为 ()1,0A -()1,0F设双曲线的实轴长为2a ，则，2||||2a AM MF =-=，1a ∴=-又，则， 1c =1c a==+故渐近线斜率的平方为)22222221112b c a c a a a -⎛⎫==-=-=+ ⎪⎝⎭故选：B8．把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫做图形在这个平面上的射影.M M 'M 如图，在三棱锥中，，，，，，将围成A BCD -BD CD ⊥AB DB ⊥AC DC ⊥AB DB 5==4CD =三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，，，，设面积为的三角形所在的平面1S 2S 3S 4S 2S 为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是α4S αA ．B ．C ．D ．2521030【答案】A【分析】将所给三棱锥补形为长方体，根据长方体的性质，分别计算，，，，A BCD -1S 2S 3S 4S 然后找到对应的，在所在的平面上的投影，计算其面积得答案. 4S ABC 2S ACDE AHC 【详解】将该三棱锥补形为长方体如图所示，因为，，由长方体性质可得，AB DB 5==4CD =，3BE ==BC ==AC DE ==所以， 11102BCD S BD CD S =⋅===， 212ACD S AC CD S =⋅===， 312522ABD S AB BD S =⋅===在中，由余弦定理可得，，ABC cos ABC ∠==sin ABC ∠=所以， 41sin 2ABC S AB AC BAC S =⋅⋅∠== 由上面计算可知，平面是平面，也即是平面 αACD ACDE 则问题转化为求解三角形在平面平面上的射影面积， ABC ACDE 过点在平面内作，交于点， B BDE BH DE ⊥DE H 因为平面，平面，所以，CD ⊥BDE BH ⊂BDE BH CD ⊥又因为，平面，平面， DE CD D ⋂=DE ⊂ACDE CD ⊂ACDE 所以平面，BH ⊥ACDE 则面积为的在平面上的射影为 4S ABC αAHC故射影面积为. 1122ACDE S S AC CD ==⋅=故选：A.【点睛】求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解，其中一个很重要的方法为将几何体补形为长方体，这使得几何体中的位置关系更为直观明确.二、多选题9．下列说法正确的的有（ ）A ．已知一组数据的方差为10， 则的方差也为10 12310,,,,x x x x 123102,2,2,,2x x x x ++++B ．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，,x y ˆ0.3yx m =-(),2.8m 则实数的值是m 4C ．已知随机变量服从正态分布，若，则X ()2,N μσ()(1)51P X P X >-+≥=2μ=D ．已知随机变量服从二项分布，若，则X 1,3B n ⎛⎫⎪⎝⎭()316E X +=6n =【答案】AC【分析】根据方差的定义可判断A ；根据样本点在回归直线上求得的值可判断B ；根据m 可得，由对称性求出对称轴可得的值可判断C ；()(1)51P X P X >-+≥=()()51P X P X ≥=≤-μ根据二项分布方差的公式以及方差的性质可判断D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：设的平均数为，方差为， 12310,,,,x x x x x ()D x 则，， 121010x x x x +++=()()()()222121011010D x x x x x x x ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ 所以的平均数为，123102,2,2,,2x x x x ++++ 2x +所以方差为 ()()()2221210122222210x x x x x x ⎡⎤+--++--+++--⎢⎥⎣⎦ ，故选项A 正确；()()()()222121011010x x x x x x D x ⎡⎤=-+-++-==⎢⎥⎣⎦ 对于B ：因为线性回归直线过样本点中心，所以， 2.80.3m m =-可得，故选项B 错误；4m =-对于C ：因为随机变量服从正态分布，X ()2,N μσ所以对称轴为，又， X μ=()()151P X P X >+≥=-而，所以，()()111P X P X >+≤-=-()()51P X P X ≥=≤-则，故选项C 正确； ()5122μ+-==对于D ：因为服从二项分布，所以，所以X 1B ,3n ⎛⎫⎪⎝⎭()13E X n =，则，故选项D 错误.(31)3()13163nE X E X +=+=⨯+=5n =故选：AC.10．下列命题为真命题的是（ ） A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．为直线，为不同的两个平面，若，则 m ,αβ,m m αβ⊥⊥αβ∥C ．为不同的直线，为平面，若，则 ,m n α//,//m n ααm n ∥D ．为不同的直线，为平面，若，则 ,m n α,m n αα⊥⊥m n ∥【答案】BD【分析】根据空间中点线面的位置关系，结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A ，过任意不共线的三点有且仅有一个平面，故A 错， 对于B ，由于，所以，故B 正确，,m m αβ⊥⊥αβ∥对于C, 若，则可以异面，也可以相交，也可以，故C 错误， //,//m n αα,m n m n ∥对于D,根据垂直于同一平面的两直线平行，可知D 正确. 故选：BD11．已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>12,FF )P外，点在椭圆上，则（ ）C Q C A ．椭圆的离心率的取值范围是C ⎫⎪⎪⎭B ．当椭圆时，的取值范围是C1QF 22⎡⎣C ．存在点使得Q 210QF QF ⋅=D ．的最小值为2 1211QF QF +【答案】ABC【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而)P C b 判断A ；根据离心率求出，则，即可判断B ；c []1,QF a c a c ∈-+设上顶点，得到，即可判断C ；A 120AF AF ⋅<根据利用基本不等式判断D. 124QF QF +=【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，解得2a =)PC 22114b+>b <所以椭圆的离心率的离心率的取值范围是，故A 正确；C c e a ==>C⎫⎪⎪⎭当，所以的取值范围是，即，e=c=1b ==1QF [],a c a c -+22⎡⎣故B 正确；设椭圆的上顶点为，，，由于，()0,A b ()1,0F c -()2,0F c 222212·20AF AF b c b a =-=-<所以存在点使得，故C 正确；Q 120QF QF ⋅=， ()21121212112224QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立， 122QF QF ==又， 124QF QF +=所以，故D 不正确． 12111QF QF +≥故选：ABC12．已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有R ()f x A 12,R x x ∀∈12x x A -∈，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）()()12f x f x A -∈()f x A A ．是“封闭”函数()2f x x =[]1,1-B ．定义在上的函数都是“封闭”函数R ()f x {}0C ．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数()f x {}1()f x {}k ()*N k ∈D ．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数()f x [],a b ()*,N a b ∈()f x {}ab 【答案】BC【分析】A 特殊值判断即可；B 根据定义及函数的性质即可判断；C 根据定义得到124,3x x ==都有，再判断所给定区间里是否有成立即可判断，DR x ∀∈(1)()1f x f x +=+22()()f x k f x k +-=选项可判断出其逆否命题的正误，得到D 选项的正误.【详解】对A ：当时，，而，A 错124,3x x ==121[1,1]x x -=∈-12()()1697[1,1]f x f x -=-=∉-误；对B ：对于集合，使，即，必有， {}012,R x x ∀∈120x x -=12x x =12()()0f x f x -=所以定义在上的函数都是“封闭”函数，B 正确； R ()f x {}0对C ：对于集合，使，则，{}112,R x x ∀∈{}121x x -∈121x x =+而是“封闭”函数，则，即都有， ()f x {}122(1)()1f x f x +-=R x ∀∈(1)()1f x f x +=+对于集合，使，则，，{}k 12,R x x ∀∈{}12x x k -∈12x x k =+*N k ∈而，，...，， 22()(1)1f x k f x k +=+-+22(1)(2)1f x k f x k +-=+-+22(1)()1f x f x +=+所以，222222()(1)...(1)(1)(2)...()1f x k f x k f x f x k f x k f x k +++-+++=+-++-+++-即，故，一定是“封闭”函数，C 正确；22()()f x k f x k +=+22()()f x k f x k +-=()f x {}k ()*N k ∈对D ，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“封闭”函数，只需()f x {}ab ()f x [],a b ()*,N a b ∈判断出其逆否命题的正误即可，使，则，12,R x x ∀∈12x x ab -=12()()f x f x ab -=若，则，[],ab a b ∈ab a ab b a b ≥⎧⎪≤⎨⎪<⎩由解得，因为，所以，ab b ≤1a ≤*N a ∈1a =即使，则，12,R x x ∀∈[]12,x x ab b a b -==∈[]12()(),f x f x ab b a b -==∈满足是“封闭”函数，()f x [],a b ()*,N a b ∈故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D 错误. 故选：BC【点睛】关键点点睛：对于C ，根据给定的条件得到都有，有R x ∀∈(1)()1f x f x +=+R x ∀∈恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.()()f x a f x b +=+三、填空题13．已知向量，若，则_____．(4,3),(1,)a b m =-= (2)a b b +⊥m =【答案】或/或 2-12122-【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可.【详解】，(4,3),(1,)a b m =-=，2(2,32)a b m →→∴+=-+，(2)a b b +⊥ ，解得或. (2)2(32)0a b b m m →→→∴+⋅=-++=2m =-12m =故答案为：或.2-1214．若，则______． ()()()()82801281111x a a x a x a x -=+++++++ 5a =【答案】448-【分析】令可得，分析可知为展开式中的系数，然后利1x t +=()82801282t a a t a t a t -=++++ 5a 5t 用二项式定理可求得的值.5a 【详解】令可得，则， 1x t +=1x t =-()1112x t t -=--=-所以，， ()82801282t a a t a t a t -=++++ 所以，为展开式中的系数，5a 5t 的展开式通项为， ()82t -()()()88188C 2C 210,1,2,,8k kk k kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= 所以，. ()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-故答案为：.448-15．已知有相同焦点、的椭圆和双曲线交于点，，椭圆和双曲线的离心率分别1F 2F P 12||||PO F F =是、，那么__________（点为坐标原点）． 1e 2e 221211e e +=O 【答案】5【分析】设，根据椭圆的定义和双曲线的定义可得，在12,PF m PF n ==122,2m n a m n a +=-=和中，分别利用余弦定理，两式相加，则，进而得到，即可1POF ∆2POF ∆22210m n c +=2212225a a c c+=得到答案.【详解】设椭圆的长半周长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为， 1a 2a c 并设，根据椭圆的定义和双曲线的定义可得， 12,PF m PF n ==122,2m n a m n a +=-=在中，由余弦定理得，1POF ∆22211112cos PF OF OP OF OP POF =+-∠即2221422cos m c c c c POF =+-⨯∠在中，由余弦定理得，2POF ∆22222222cos PF OF OP OF OP POF =+-∠即2221422cos n c c c c POF =+-⨯∠又由, 12POF POF π∠=-∠两式相加，则，22210m n c +=又由，所以，()2222212222m n m n mn a a +=+-=+222222*********a a c a a c +=⇒+=所以，即.2212225a a c c+=2212115e e +=【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的定义及其几何性质的求解，其中解答中利用椭圆和双曲线的定义，以及在和中，利用余弦定理，两式相1POF ∆2POF ∆加，求得是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.22210m n c +=四、双空题16．意大利数学家傲波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作Fn .已知，，（，且n >2）. 11F =21F =12n n n F F F --=+*N n ∈（1）若斐波那契数Fn 除以4所得的余数按原顺序构成数列，则{}n a 1232023a a a a +++= ___________.（2）若，则___________.2024F a =1232022F F F F +++=【答案】 2697 /-1+a1a -【分析】（1）根据带余除法的性质，总结数列规律，可得答案； （2）利用递推公式，结合裂项相消，可得答案.【详解】（1）由题意，，则，，则， 141401F ÷=÷= 11a =241401F ÷=÷= 21a =由，则除以4的余数为，即， 312F F F =+3F ()11402+÷= 32a =由，则除以4的余数为，即， 423F F F =+4F ()12403+÷= 43a =由，则除以4的余数为，即， 534F F F =+5F ()32411+÷= 51a =由，则除以4的余数为，即， 645F F F =+F 6()31410+÷= 60a =由，则除以4的余数为，即， 756F F F =+7F ()01401+÷= 71a =由，则除以4的余数为，即，867F F F =+8F ()01401+÷= 81a=故由斐波那契数除以4的余数按原顺序构成的数列，是以6为最小正周期的数列，因为n F {}n a ，所以；202363371÷= 1232023833712697a a a a ++++=⨯+= （2）由斐波那契数的递推关系可知：时，且，， n F 2n >21n n n F F F --=-121F F ==2024F a =所以. ()()()122022324320242023202421F F F F F F F F F F F a +++=-+-++-=-=- 故答案为：2697，a -1五、解答题17．已知是等比数列的前项和．()12n n S λλ+=-∈R {}n a n (1)求及； λn a (2)设，求的前项和． 21log n n nb a a =+{}n b n n T 【答案】(1)， 2λ=2n n a =(2) 1(1)122n n n n T +=-+【分析】（1）由与关系求通项公式，再由等比数列的定义求解 n a n S （2）由分组求和法求解【详解】（1）①当时，，1n =114a S λ==-②当时，，2n ≥11222n n nn n n a S S +-=-=-=由题意得，故， 142a λ=-=2λ=2n n a =（2）， 211log 2n n n n n b a a ==++则， 2111()(12)222n n T n =+++++++ 得 1(1)122n n n n T +=-+18．在中，角所对的边分别为，且. ABC ,,A B C ,,a b c 2cos a b c B +=(1)求证：； 2C B =(2)求的最小值. 3cos a bb B+【答案】(1)证明见解析(2)最小值为【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明. （2）将问题转化，根据第一问解得，32cos 2cos cos a b c B b b B b B ++=24cos cos B B =+π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后结合不等式求解.【详解】（1）在中，， ABC 2cos a b c B +=由正弦定理得， sin sin 2sin cos A B C B +=又，()πA B C =-+因为, ()sin sin 2sin cos B C B C B ++=⋅所以, sin cos sin cos sin C B B C B ⋅-⋅=所以,又,()sin sin C B B -=sin 0B >所以，且, 0πC B C <-<<πB C B C +-=<所以， B C B =-故.2C B =（2）由（1）得，2C B =()30,πB C B +=∈所以，π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为， 2cos ,2a b c B C B +==所以32cos 2cos cos a b c B bb B b B++=2sin cos 2sin 2sin2cos 2sin sin cos sin cos C B B B B BB B B B⋅+⋅+==⋅⋅， 24cos cos B B=+≥当且仅当即，即当且仅当时等号成立， 24cos cos B B =cos B =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π4B =所以当时，的最小值为π4B =3cos a bb B +19．某厂计划购买台机床，该种机床使用四年后即被淘汰，并且在使用过程中机床有一易损零50件，若在购进机床同时额外购买这种易损零件作为备用件，此时每个只需元．在使用期间如果300备件不足再购买，则每个要元．所以在购买前要决策购买数目．使得该厂购买机床时搭配的易500损备用零件费用最省．为此业内相关人员先搜集了台以往这种机床在四年内更换的易损零件50数，并整理数据后得如下柱状图．以这台机床更换的易损零件数的频率代替每台机床更换的易损零件数发生的概率．记表示50X 2台机床四年内实际共需更换的易损零件数，表示购买台机床的同时备用的易损零件数目，n 2为购买机床时备用件数发生的概率．()P X n =n （1）求时的最小值；()0.5P X n ≤≥n （2）求的分布列及备用的易损零件数时的数学期望；X 19n =X （3）将购买的机床分配给名年龄不同（视技术水平不同）的人加工一批模具，因熟练程度不同50而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同．若用变量表示不同技工的年龄，变量为x y 相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的每日工作效益满足最小二乘法和关于的线性y x 回归方程，已知他们年龄的方差为，所对应的效益方差为. 1.240ˆyx =+x 214.4x s =222.5ys =①试预测年龄为岁的技工使用该机床每日所产生的经济效益；50②试根据的值判断使用该批机床的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱．r 附：下面三个计算回归直线方程的斜率和截距及表示随机变量与相关关系强弱的 ˆy bxa =+ˆb a x y 系数计算公式：，r ()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑r =【答案】（1）；（2）分布列见解析，元；（3）①元；②该机床的技工所产19()5490E X =100生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系.【分析】（1）计算出、、、的值，进而可求得满足()16P X =()17P X =()18P X =()19P X =时的值；()0.5P X n ≤≥n （2）根据题意可知，随机变量的可能取值有、、、、、，计算出随机变量在X 161718192021X 不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并根据实际情况求得时的数学期望； X 19n =X （3）①将代入回归直线方程可求得结果；20x =②根据相关系数公式结合已知数据求得的值，进而可得出结论. r 【详解】（1）根据图示柱表，易知更换易损零件的频数为的频率为．易损零件的频数10100.250=为的频率为． 20200.450=将频率视为概率，且知每台机床易损零件的发生与否是相互独立的，结合图表得：当时，；16X =()16880.20.20.04P X ==+=⨯=当时，；17X =()1789980.20.40.40.20.16P X ==+=+=⨯+⨯=当时，；18X =()189********.40.420.20.20.24P X ==+=+=+=⨯+⨯⨯=当时，． 19X =()19109910118811P X ==+=+=+=+20.40.220.20.20.24=⨯⨯+⨯⨯=据互斥事件发生的概率知；()()()()181617180.440.5P X P X P X P X ≤==+=+==<．()()()1918190.440.240.680.5P X P X P X ≤=≤+==+=>于是的最小值为；n 19（2）由（1）进而知，随机变量的可能取值为：、、、、、， X 161718192021当时，； 20X =()2010101199110.20.220.40.20.2P X ==+=+=+=⨯+⨯⨯=当时，；21X =()211011111020.20.20.08P X ==+=+=⨯⨯=当时，． 21X =()2211110.20.20.04P X ==+=⨯=于是分布列为：X 16 17 18 1920 2122P 0.04 0.160.240.240.2 0.080.04进而结合（1）知，当备用的易损零件数时，随机变量取值为、、、、、19n =X 161718192021，需注意的是，虽备用的易损零件数时，但发生的概率仍按实际需要的台机床时计算． 19n =X 则购买易损零件所产生的实际费用数学期望为()193000.04193000.16193000.24193000.24E X =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()()()193005000.21930025000.0819********.04+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯（元）；()193000.040.160.240.241240536288=⨯++++++387614885362885940=+++=（3）①先根据回归方程易知（元），即岁的技工日使用该机床产生的效益1.250401ˆ00y=⨯+=50为元；100②由方差计算公式知，()()()22221250150x s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦即等价化为， ()()()2222125050xs x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-同理．()()()2222125050y s y y y y y y=-+-+⋅⋅⋅+-又，，，据公式求出相关系数则有 214.4xs =222.5ys =ˆ 1.2b=r ()()()5015021i i i i i x xy y r x x==--==-∑∑． 1.20.9ˆ6b ===易知：该机床的技工所产生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系．【点睛】本题是以工业生产为背景命制的试题，命题目的：其一是考查考生能够在实际情景中从数学的视角发现问题、分析问题、建立模型、解决模型、改进模型；能对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题．其二是考查考生对概率知识、随机变量分布列、数学期望、回归分析、相关关系等概念的应用；其三是考查考生的数据处理能力、逻辑推理能力、和运算求解能力及建模能力．体现了数学应用和数学转化的数学素养，落实了高考对数学应用性、综合性的考查要求，属于难题.20．如图，在三棱柱中，平面 .111ABC A B C -111,,BC BB BC B C O AO ==⊥ 11BB C C(1)求证:;1AB B C ⊥(2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值.160B BC ︒∠=AB 11BB C C 30︒111A B C A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由平面 ，得到，再由，证得，进而证得AO ⊥11BB C C 1AO B C ⊥1BC BB =11BC B C ⊥平面，即可证得.1B C ⊥1ABC 1AB B C ⊥（2）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别O 1,,OB OB OA ,,x y z 求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.11AB C 111B C A 12,n n【详解】（1）证明: 因为平面 ，平面，所以， AO ⊥11BB C C 1B C ⊂11BB C C 1AO B C ⊥因为， 四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形， 1BC BB =11BB C C 11BB C C 所以，11BC B C ⊥又因为，平面，平面，所以平面， 1AO BC O ⋂=AO ⊂1ABC 1BC ⊂1ABC 1B C ⊥1ABC 因为平面， 所以.AB ⊂1ABC 1AB B C ⊥（2）解： 因为与平面所成角为平面，所以， AB 11BB C C 30,AO ︒⊥11BB C C 30ABO ︒∠=因为， 所以是正三角形， 160B BC ︒∠=1BCB △设， 则，2BC =12,1B C BO OA ===以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， O 1,,OB OB OA ,,x y z如图所示，则，11(0,1,0),(0,0,1),(B B A C所以 ，11111(0,1,1),1)AB C B A B AB =-===-设平面的一个法向量为，则，11AB C 1(,,)n x y z =111110n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取，可得，1x=y z ==1(1,n =设平面的一个法向量为，则，111B C A 2111(,,)n x y z = 21111111110n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取，可得，11x=1y z ==2(1,n =设二面角的大小为，111A B C A --θ因为， 121cos ,7n n = 所以，sin θ==所以二面角111A B C A --21．已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 1F x 与短轴两端点的连线相互垂直. 1F （1）求椭圆的方程；C （2）若圆上存在两点，，椭圆上存在两个点满足：三点共线，222:O x y a +=M N C ,P Q 1,,M NF 三点共线，且，求四边形面积的取值范围.1,,P Q F 0PQ MN ⋅=PMQN 【答案】（1）；（2）2212x y +=【解析】（1）又题意知，，及即可求得，从而得椭圆方程. a =a =222a b c =+a b c 、、（2）分三种情况：直线斜率不存在时，的斜率为0时，的斜率存在且不为0时，设MN MN MN 出直线方程，联立方程组，用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可.【详解】（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，，b c =∵过点且与1F x 22ba∴=又，解得.222a b c =+1a b c ===∴椭圆的方程为C 2212x y +=（2）由（1）可知圆的方程为，O 222x y +=（i ）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0， MN PQ此时||2,||PMQN MN PQ S ===四边形（ii ）当直线的斜率为零时，.MN |||2PMQN MN PQ S ===四边形（iii ）当直线的斜率存在且不等于零时，设直线的方程为， MN MN (1)(0)y k x k =-≠联立，得，222x y +=2222(1)220(0)k x k x k +-+-=∆>设的横坐标分别为，则. ,M N ,M N x x 222222,11M N M N k k x x x x k k -+=⋅=++所以，||MN =-（注：的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.）||MN 由可得直线的方程为，联立椭圆的方程消去，PQ MN ⊥PQ 1(1)(0)y x k k=--≠C y 得 222(2)4220(0)k x x k +-+-=∆>设的横坐标为，则. ,P Q ,P Q x x 222422,22p p Q Q k x x x x k k -+=⋅=++||PQ ∴==1||||2PMQNS MN PQ ===四边形2110,1222PMQN S k <<<<∴<<+ 四边形综上，由（i ）（ii ）（ⅲ）得的取值范围是.PMQN S 四边形【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆方程是基础；通过联立直线方程与椭圆方程建立方程a b c 、、组，应用一元二次方程根与系数，得到目标函数解析式，运用函数知识求解；本题是难题.22．已知函数． ln ()e xxf x a x-=+(1)若是的极值点，求a ；1x =()f x (2)若，分别是的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．0x 1x ()f x ①当时，；②当时，．0a >2100ln 1x x x <-+a<010ln 21x x <-注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) e a =(2)证明见解析.【分析】（1）对函数进行求导，由是函数的极值点，则，即可得，然后将1x =()f x ()01f '=e a =带入原函数进行分析说明即可；e a =（2）选择①因为分别为的零点和极值点，所以，分别求出的值，01,x x ()f x 0()0,f x =1()0,f x '=a 找出等量关系式，然后根据，对函数式进行分析，利用构造新函数利用函数导数单调性，同0a >时结合已知的条件即可得；2100ln 1x x x <-+选择②因为分别为的零点和极值点，所以，分别求出的值，找出01,x x ()f x 0()0,f x =1()0,f x '=a 等量关系式，然后根据，对函数式进行分析，利用构造新函数利用函数导数单调性，同时结0a <合已知的条件即可得；10ln 21x x <-【详解】（1）因为，所以， ln ()e xx f x a x -=+21ln ()e xx f x a x --'=-+若是函数的极值点，则，，即， 1x =()f x ()01f '=121ln1(1)e 01f a --'=-+=e a =此时，2121e ln ()x x xf x x --'-=设，则，，21()1e ln x g x x x ---=121()2e1e xx g x x x x--+--'=(1)2g '=-所以存在，使得当时，，单调递减， 1m n <<(),x m n ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增，当时，，(),1x m ∈22()(1)()0g x g f x x x '=>=()f x ()1,x n ∈22()(1)()0g x g f x x x'=<=单调递减，()f x 所以当时，是的极值点. e a =1x =()f x （2）选择①：因为分别为的零点和极值点，所以， 01,x x ()f x 0000000ln e ln ()e0,x x x x f x a a x x -=+==-，所以. ()111112211e 1ln 1ln ()e0,xx x x f x a a x x ---'=-+==()1010210e ln 1e ln xx x x a x x --==当时，，则，即 0a >()1010210e ln 1e ln 0x x x x x x -=<01ln 0,ln 1x x <<0101,0e,x x <<<<因为，所以当，即时，成立，200314x x -+≥13ln 4x <3410e x <<2100ln 1x x x <-+当时，若，则只需证明，341e e x ≤<10e x x ≤2000ln x x x <-设，则 ()2e ln 1()x x k x x -=()3e ln 2ln 3(),x x x x x k x x --+'=设，1()ln 2ln 3k x x x x x =--+则为增函数，且12()ln k x x x'=-112(1)20,(e)10,e k k ''=-<=->所以存在唯一，使得， 2(1,e)x ∈12222()ln 0k x x x '=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增， 2(1,)∈x x 1()0k x '<1()k x 2(,)x x ∈+∞1()0k x '>1()k x 故，所以，单调递增， 112224()()5(0k x k x x x ≥=-+>()0k x '>()k x 所以，则，等价于. 10e x x ≤()100e 100222100e ln 1e ln e ln e x x x x x x x x x -=≤02+(1e)010e x x --≥设，则，2+(1e)1()e x m x x -=-[]2+(1e)()(1e)1exm x x -'=-+当时，若时，，，单调递减，3410e e e x x ≤≤<14e 1x -≤<(1e)10x -+<()0m x '<()m x 所以当，所以当时，成立，14e1x -≤<3e()(1)e10,m x m ->=->341e e x ≤<10e e x x ≤<设，则， 2()ln n x x x x =-+1()21n x x x'=-+当时，，单调递增所以当时，，01x <<()0n x '>()n x 01x <<()(1)0n x n <=即成立，22000100ln ,ln 1x x x x x x <-<-+综上，若，分别是的零点和极值点，当时，.0x 1x ()f x 0a >2100ln 1x x x <-+选择②：因为分别为的零点和极值点，所以， 01,x x ()f x 0000000ln e ln ()e0,x x x x f x a a x x -=+==-，所以. ()111112211e 1ln 1ln ()e0,x x x x f x a a x x ---'=-+==()1010210e ln 1e ln x x x x a x x --==当时，，则，即 0a <()1010210e ln 1e ln 0x x x x x x -=>01ln 0,ln 1x x >>011,>e,x x >若，即则只需证明， 10e x x ≤101ln ln x x ≤+002ln 2x x <-设，则， 2()ln 2x x x h =-+1()2h x x'=-当时，，单调递减，所以.1x >()0h x '<()h x 10()(1)0,ln 21h x h x x <=<-若，设，则，单调递增， 10e e x x >>2e ()(e)xx x x ϕ=>3(2)e ()0x x x xϕ-'=>()ϕx 所以，所以，，()()10e x x ϕϕ>()01e 101222010eln 1e ln e (ln 1)e x x x x x x x x x--=>02e 100ln e ln 1x x x x x +-<+所以只需证明.2e 000e ln 121x x x x x +-+<-设，则，2e ()e ln 22x x u x x x x +-=-+[]2e ()ln (1e)ln 1e 2x xu x x x x +-'=+-+-当时，，当时，即时，，1x >[]2e ()(2e)ln 1e 2x xu x x +-'<-+-(2e)ln 10x -+≤1e 2ex -≥()0u x '<设，[]2e ()(2e)ln 1e2x xv x x +-=-+-则， 2e 2e ()(e 1)(e 2)ln 1e e x x v x x x +--⎡⎤'=+--+-⎢⎥⎣⎦因为当时，函数单调递增， 1x >2e()(e 1)(e 2)ln 1e t x x x -=+--+-所以当时，，1e 21ex -<<11e 2e 211e 2e 22e 2e ()(e)(e 1)(e 2)ln e1e=0eet x t ------<=+--+-<，单调递减，此时也有，()0v x '<()v x 3e ()()(1)e 20u x v x v -'<<=-<所以当时，单调递减，，即当时，， 1x >()u x ()(1)0u x u <=1e e x x >>10ln 21x x <-综上，综上，若，分别是的零点和极值点，当时，. 0x 1x ()f x 0a <10ln 21x x <-【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现， 难度相当大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.。
2024届重庆二诊(康德卷)数学试题+答案
题2图EAB题6图题3图52030v /(m ·s －1)t /sPQ题1图2024年重庆市普通高中学业水平选择性考试高三第二次联合诊断检测物理各项专业动作，产生各种优美的波形。
题1图为带操某一时刻的情形，下列说法正确的一、选择题：共10题，共43分。
（一）单项选择题：共7题，每题4分，共28分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2023年艺术体操亚锦赛，中国选手赵雅婷以31.450分摘得带操金牌。
带操选手伴随着欢快的音乐，完成了是A．带上质点的速度就是波传播的速度B．带上质点运动的方向就是波传播的方向C．图示时刻，质点P 的速度大于质点Q 的速度D．图示时刻，质点P 的加速度大于质点Q 的加速度2．如题2图所示，一带正电粒子仅在电场力作用下，从A 点运动到B 点过程中，下列说法正确的是A．该粒子加速度增大B．该粒子速度增大C．该粒子电势能减少D．该粒子可能做直线运动3．某汽车沿直线停车过程中，其v -t 图像如题3图所示。
已知该汽车所有减速过程的加速度均相等，中间有一段时间匀速运动，图示整个过程中该汽车行驶了450m 。
则该汽车匀速运动的时间为A．8s B．10s C．12sD．16.5s4．已知某两个相距足够远的星球的密度几乎相等，若将这两个星球视为质量分布均匀的球体（两星球的半径不同），忽略自转及其他天体的影响，关于这两个星球，下列物理量近似相等的是A．表面的重力加速度大小B．第一宇宙速度大小C．表面附近卫星运动的周期D．相同圆形轨道卫星的速度大小5．已知氢原子处于基态的能量为E 1，第n 能级的能量21nE E n 。
大量处于某同一激发态的氢原子向低能级跃迁时，辐射的光子中能量最大为－981E ，h 为普朗克常量。
则这些氢原子向低能级跃迁时，辐射的光子中频率最小为A．－hE 3651B．hE 3651C．－hE 91D．hE 916．如题6图所示，两根半圆柱体静止于粗糙程度处处相同的水平地面上，紧靠但无相互作用力。
重庆市2023届高三第一次联合诊断检测数学试卷+答案(康德卷)
2023年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学数学测试卷共4页,满分150分.考试时间120分钟.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={−1,0,1,2,3},B={x∣x2−x−2<0},则A∩B=A.{−1,0,1,2}B.{−1,0}C.{1,2}D.{0,1}2.cos198∘cos132∘+cos42∘sin18∘=A.−√32B.−12C.√32D.13.设复数z满足zi+z‾⋅i=1,则z的虚部为A.−12B.12C.−1D.14.某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”,2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”,2010年广州亚运会吉祥物“阿祥”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”,2022年北京冬奥会吉样物“冰墩墩”,2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”,若他从这15个吉祥物中随机取出两个,这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是A.110B.15C.25D.235.某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下:(1)将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能看到房顶的位置,测量出人与镜子的距离;(2)将镜子后移,重复(1)中的操作;(3)求建筑物高度.如图所示,前后两次人与镜子的距离分别a1m,a2m(a2>a1),两次观测时镜子间的距离为am,人的“眼高”为ℎm,则建筑物的高度为A.aℎa2−a1m B.(a2−a1)ℎam C.a(a2−a1)ℎm D.aℎ2a2−a1m6.设等差数列{a n}的前n项和为S n,5S9=9a9−36,则a4=A.−2B.−1C.1D.27.已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,两条渐近线分别为l 1,l 2,过F 且与l 1平行的直线与双曲线C 及直线l 2依次交于点B,D ,点B 恰好平分线段FD ,则双曲线C 的离心率为A.43B.√2C.√3D.28.已知a =25,b =e −35,c =ln5−ln4,则A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知两组样本数据x 1,x 2,x 3,x 4,x 5和y 1,y 2,y 3,y 4,y 5的均值和方差分别为x ‾,y ‾和s 12,s 22,若x i +y i =100且x i >y i (i =1,2,3,4,5),则A.x ‾>y ‾B.x ‾+y ‾=100C.s 12>s 22D.s 12=s 2210.在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,点E,F,G 分别是棱AB,AD,AA 1上的点,则一定成立的是A.|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |2B.|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |C.(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D.AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FG⃗⃗⃗⃗⃗ =0 11.已知函数f (x )=2sin (ωx +π3)(ω>0),则使得“y =f (x )的图象关于点(π4,0)中心对称”成立的一个充分不必要条件是A.f (x )的最小正周期为3π4B.f (x )的图象向右平移π8个单位长度后关于原点对称C.f (−π4)=√3D.f (x )的图象关于直线x =π16对称 12.已知函数f (x )=x 4−x 2+x −1,则A.f (x )有两个零点B.过坐标原点可作曲线f (x )的切线C.f(x)有唯一极值点D.曲线f(x)上存在三条互相平行的切线三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2√x−1x )9的展开式中常数项为.14.已知a>0,b>0,2a+b=2,则1a +2b的最小值是.15.已知定义域为(0,+∞)的减函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=−1,则不等式f(x+2)+ f(x+4)>−3的解集为.16.在△PAB中,AB=4,∠APB=π3,点Q满足QP⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AQ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则QA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=c(cosA+sinA).(1)求角C;(2)求a+√2bc的最大值.18.(12分)已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列,设b n=lg2a n+1−lg2a n.(1)证明:数列{b n}是等差数列;(2)设数列{b n}的前5项和为35,b4=9,求数列{a n}的通项公式.19.(12分)如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,侧面ABB1A1是正方形,且平面A1BC⊥平面ABB1A1.(1)求证:AB⊥BC;(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为π6,E为线段A1C的中点,求平面ABE与平面BCE所成锐二面角的大小.20.(12分)驾照考试新规定自2022年8月1日开始实施,其中科目一的考试通过率低成为热点话题,某驾校需对其教学内容和教学方式进行适当调整以帮助学员适应新规定下的考试,为此驾校工作人员欲从该驾校的学员中收集相关数据进行分析和统计.该驾校工作人员从2022年7月份该校首次参加科目一考试的新学员和8月份该校首次参加科目一考试的新学员中分别随机抽取了25人,对他们首次参加科目一考试的成绩进行统计，按成绩“合格”和“不合格”绘制成2×2列联表如下:附:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.(1)完成题中的2×2列联表,并判断能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响?（2）若用样本中各月科目一考试的合格率作为该地区当月科目一考试通过的概率,已知该地区在2022年7月和8月首次参加科目一考试的学员人数之比为2:1,现从该地区在2022年7月和8月首次参加科目一考试的学员中随机抽取两名学员进行学情调查,设抽到的两名学员中有X人首次参加科目一考试不合格,求X 的分布列与数学期望.21.(12分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,且过点(2,√2),点O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C上的动点M,P,Q满足直线MP,MQ的斜率互为相反数,且点M不在坐标轴上,设直线PQ,OM的斜率分别为k1,k2,求k1k2的值.22.(12分)已知函数f(x)=ax−lnx,a>0.(1)讨论f(x)的零点个数;（2）若对∀x∈(0,+∞),不等式e ax≥ax⋅f(x)恒成立,求a的取值范围.数学参考答案一、单选题 1∼8DCBBABBC第8题提示:由e x≥1+x,∴e −35>25,又ln (1+x )≤x,∴ln5−ln4=ln (1+14)<14二、多选题 9.ABD10.ABD 11.ABD 12.ACD第11题提示:y =f (x )的图象关于点(π4,0)中心对称,则π4ω+π3=kπ,其中k ∈Z ,ω=12k−43,所以充要条件是ω∈S ={ω∣ω=12k−43,k ∈Z,ω>0}.对于A,2πω=3π4⇒ω=83=12⋅1−43,故A 正确;对于B,可知(−π8,0)是原函数的对称点,−π8ω+π3=kπ⇒ω=−24k+83=12(−2k+1)−43∈S ,故B 正确;对于C,sin (−π4ω+π3)=√32,−π4ω+π3=2kπ+π3或2kπ+2π3,ω=−8k或−24k+43,ω不一定在S 中,C 错误;对于D,π16ω+π3=kπ+π2⇒ω=16k +83=12(4k+1)−43∈S ,故D 正确.第12题提示:f (x )=(x −1)(x 3+x 2+1),对于函数g (x )=x 3+x 2+1,g ′(x )=3x 2+2x ,可得g (x )在x =−23,x =0处分别取极大值和极小值,由g (0)>0,知g (x )只有一个零点,f (x )有两个零点,A 正确;假设B 成立,设切点坐标为(x 0,f (x 0)),切线方程y =(4x 03−2x 0+1)(x −x 0)+x 04−x 02+x 0−1即y =(4x 03−2x 0+1)x −3x 04+x 02−1, ∴−3x 04+x 02−1=0,但显然−3x 04+x 02−1<0,B 错误;f ′(x )=4x 3−2x +1,f ′′(x )=12x 2−2,∴f ′(x )在x =−√66,√66分别取到极大值和极小值,由f ′(√66)>0知f ′(x )只有一个零点,f (x )有一个极值点;若D 正确,则存在实数m 使得f ′(x )=4x 3−2x +1=m 有三个不同的根, 此时只需m ∈(f ′(√66),f ′(−√66))即可成立,故D 正确.三、填空题13.−537614.415.(−2,0)16.−8825第15题提示:∵−3=3f (2)=f (8),f (x +2)+f (x +4)>−3⇒{f (x 2+6x +8)>f (8)x +2>0x +4>0⇒{x 2+6x +8<8x >−2⇒−2<x <0第16题提示:设AB 中点为M,QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒QP⃗⃗⃗⃗⃗ =4MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2由∠APB =π3,知P 点轨迹是以AB 为弦,圆周角为π3的优弧,∴当PM ⊥AB 时,|QM |最大,此时△PAB 是等边三角形,|QM |=2√35,|QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1225−4=−8825. 四、解答题 17.(10分)解:（1）由正弦定理sinB =sinC (cosA +sinA ),sin (A +C )=sinCcosA +sinCsinA⇒sinAcosC =sinCsinA, tanC =1, C =π4(2)由正弦定理得:a +√2bc =sinA +√2sinB sinC =√2(sinA +√2sin (A +π4))=√2(2sinA +cosA )=√10sin (A +φ), 其中sinφ=√5cosφ=√5,又A ∈(0,3π4),故A +φ∈(φ,3π4+φ),∴sin (A +φ)max =1,∴√10sin (A +φ)max =√10,故a+√2b c的最大值为√1018.(12分)解:（1）设{a n }的公比为q (q >0),∴b n =(lga n+1+lga n )(lga n+1−lga n )=lga 12q 2n−1⋅lgq=(2lga 1+(2n −1)lgq )⋅lgq故b n+1=(2lga 1+(2n +1)lgq )⋅lgq ,所以b n+1−b n =2lg 2q , 故{b n }是以2lg 2q 为公差的等差数列;(2)∵数列{b n }的前5项和为35,∴5b 3=35,b 3=7,又b 4=9,故{b n }的公差2,故b n =2n +1,即(2lga 1+(2n −1)lgq )⋅lgq =2n +1, 故lg 2q =1且(2lga 1−lgq )lgq =1,从而q =10, a 1=10或q =110,a 1=110,所以a n =10n 或110n19.(12分)解:（1）设A 1B 中点为M ,则AM ⊥A 1B∵平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1,∴AM ⊥平面A 1BC,∴AM ⊥BC 又直三棱柱ABC −A 1B 1C 1,∴BB 1⊥BC ∴BC ⊥平面ABB 1A 1,∴AB ⊥BC(2)由(1)直线AC 与平面A 1BC 所成的角为∠ACM =π6,不妨设AB =2,AM =√2,AC =2√2,BC =√AC 2−AB 2=2 以B 为原点,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x,y,z 轴正向建立坐标系A (2,0,0), C (0,2,0), E (1,1,1)设平面ABE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z ){n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2x =0x +y +z =0,令y =1,n ⃗ =(0,1,−1)同理可得平面CBE 的法向量为m ⃗⃗ =(1,0,−1) 设平面ABE 与平面BCE 所成锐二面角的大小为θ∴cosθ=n ⃗ ⋅m ⃗⃗ |n ⃗ |⋅|m ⃗⃗ |=12, θ=π320.（12分) 解：(1）由题得K 2=50(20⋅15−5⋅10)225⋅25⋅30⋅20=813>3.841∴可以在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响(2)由题该地7月份不合格率为525=15,8月份不合格率为1525=35,抽取7月份首次参加考试的学员概率为23,抽取8月份首次参加考试的学员概率为13 X 可能的取值为0,1,2P (X =0)=(23)2(45)2+C 21⋅23⋅13⋅45⋅25+(13)2(25)2=49P (X =2)=(23)2(15)2+C 21⋅23⋅13⋅15⋅35+(13)2(35)2=19P (X =1)=1−P (X =2)−P (X =0)=49EX =0⋅49+1⋅49+2⋅19=2321.(12分) 解:(1)由题ca =√22,4a 2+2b 2=1,a 2=b 2+c 2,联立解得a 2=8,b 2=4椭圆方程为x 28+y 24=1(2)设N (x 0,y 0),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),直线l NP :y =k (x −x 0)+y 0联立椭圆方程得(2k 2+1)x 2+4(y 0−kx 0)kx +2(y 0−kx 0)2−8=0x 1+x 0=4(kx 0−y 0)k 2k 2+1,∴x 1=2k 2x 0−4ky 0−x 02k 2+1y 1=k (x 1−x 0)+y 0=y 0−2kx 0−2k 2y 02k 2+1同理可得x 2=2k 2x 0+4ky 0−x 02k 2+1,y 2=y 0+2kx 0−2k 2y 02k 2+1∴k 1=y 1−y 2x 1−x 2=4kx 08ky 0=x 02y 0,k 2=y 0x 0∴k 1k 2=1222.（12分)解:（1）f ′(x )=a −1x=ax−1x∴f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a,+∞)上单调递增f min (x )=f (1a)=1+lna当a >1e 时,f (1a )>0,f (x )的零点个数为0;当a =1e 时,f (x )的零点个数为1; 当0<a <1e 时,f (x )的零点个数为2 （2）由题e axax ≥ax −lnx =ln e ax ax+lna令t =e ax ax,对于g (x )=e x x,g ′(x )=e x (x−1)x 2,∴g (x )≥g (1)=e,t ≥e∴t ≥lnt +lna 对t ≥e 恒成立 对于ℎ(t )=t −lnt,ℎ′(t )=t−1t,∴ℎ(t )在[e,+∞)上单调递增∴ℎ(t )≥ℎ(e )=e −1 ∴lna ≤e −1,0<a ≤e e−1。
重庆市2022届高三第三次联合诊断数学试卷及答案
重庆市2022届高三第三次联合诊断数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}24B x x ==，则()U A B =（ ） A ．{}2,2-B ．{}2,4C ．{}4D ．{}22．函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为（ ）A ．12x π= B ．12x π=- C ．6x π=D ．6x π=-3．已知0a >且1a ≠，“函数()x f x a =为增函数”是“函数()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知O 为ABC 的重心，记OA a =，OB b =，则AC =（ ） A ．2a b --B ．2a b -+C ．2a b -D ．2a b +5．已知函数()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则函数()()12g x f x =-的零点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断.为了研究“冰墩墩”与“雪容融”在不同性别的人群中受欢迎程度是否存在差异，某机构从关注冬奥会公众号的微信用户中随机调查了100人，得到如下2×2列联表：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附表：则下列说法中正确的是（ ）A ．有95%以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关” B ．有95%以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关”D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关” 7．中国传统文化中，在齐鲁大地过年包饺子要包三样，第一是麸子，寓意幸福；第二是钱币，寓意求财：第三是糖，寓意甜蜜.小明妈妈在除夕晚煮了10个饺子，其中5个麸子饺子，3个钱币饺子，2个糖饺子，小明从中随机夹了3个饺子，则小明夹到的饺子中既有麸子饺子又有钱币饺子的概率是（ ） A ．12B ．712 C ．58D ．458．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1*1π1sin4n n n n a a n +++-=∈N ，则2022S =（ ）A ．B ．0C D二、多选题 9．已知复数21iz =-+，则（ ）A ．z =B ．z 的虚部为-1C ．2z 为纯虚数D ．z 在复平面内对应的点位于第一象限10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中心，当点P 在线段1BC 上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线OP 异面的是（ ）A ．1AB B ．1AC C ．1A AD ．1AD11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（ ） A ．1PQA △的周长 B ．1PF Q 的周长与2PQ 之差 C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅12．在矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E ，F 分别在边AD ，DC 上（不包含端点）运动，且满足6EBF π∠=，则BEF 的面积可以是（ ）A ．2B ．C ．3D ．4三、填空题 13．曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为___________. 14．cos40cos80cos50sin100︒︒-︒︒=___________.15．已知点()2,3A -，()2,1B ，圆C ：()2220x y r r +=>与线段AB （包含端点）有公共点，则r 的取值范围是___________.16．已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()1124n n n n n a a a a ++-=-. (1)证明：1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列；(2)求n S .18．在平面四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，CD =120ABC ∠=︒，90ADC ∠=︒. (1)证明：AC 平分BAD ∠； (2)求ABD △的面积.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BD BP ===PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱P A 的中点，且BE ∥平面PCD .(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C --的余弦值.20．甲､乙两人进行射击比赛，一局比赛中，先射击的一方最多可射击3次，一旦未击中目标即停止，然后换另一方射击，一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止，本局比赛结束，各方击中目标的次数即为其本局比赛得分，已知甲､乙每次射击击中目标的概率分别为23和12，两人的各次射击是否击中目标相互独立，一局比赛中，若甲先射击. (1)求甲､乙得分相同的概率；(2)设乙的得分为X ，求X 的分布列及数学期望.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的短轴长为2，左右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆C 上一点，且1MF x ⊥轴，217MF MF =. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线x ty m =+（0t ≠且02m <<）与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于原点的对称点为1A ､关于x 轴的对称点为2A ，直线2BA 与x 轴交于点D ，若ABD △与1ABA △的面积相等，求m 的值.22．已知函数()1e ln xf x x ax -=--，a R ∈.(1)当1e 2a =-时，求函数()f x 的单调性；(2)当0a >时，若函数()f x 有唯一零点0x ，证明：012x <<.参考答案：1．D【分析】根据补集以及交集的概念直接计算即可.【详解】{}{}2|422,===-B x x ， 由题可知：{}2,4UA =，所以(){}2U AB =.故选：D. 2．B【分析】根据余弦函数的对称性即可得出答案.【详解】解：令2,Z 6x k k ππ+=∈，则,Z 122k x k ππ=-+∈，即函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称轴为,Z 122k x k ππ=-+∈， 当0k =时，12x π=-.故选：B. 3．C【详解】函数()x f x a =为增函数,则 1a > ,此时10a ->,故函数()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增;当()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增时, ,10a ->,所以1a >,故()xf x a =为增函数.故选:C 4．A【分析】因为O 为ABC 的重心，所以0OA OB OC ++=，表示出OC ，则AC OC OA =-，代入即可得出答案.【详解】因为O 为ABC 的重心，所以0OA OB OC ++=，所以OC OA OB =--，而22AC OC OA OA OB a b =-=--=--.故选：A. 5．C【分析】解方程()0g x =可得结果.【详解】当0x ≤时，由()0g x =可得1122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得1x =（舍去）；当0x >时，由()0g x =可得21log 2x =，即21log 2x =-或21log 2x =，解得x =综上所述，函数()g x 的零点个数为2.故选：C. 6．B【分析】根据题目条件求出观测值2K ，同观测值表中的0k 进行检验，即可得出答案.【详解】由题意可得：()2210025352515 4.167 3.84140605050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”. 故选：B. 7．C【分析】分三种情况讨论，利用古典概型的概率公式得解.【详解】解：小明从中随机夹了3个饺子共有3101098C 120321⨯⨯==⨯⨯种；如果是1个麸子1个钱币饺子1个糖饺子，共有532=30⨯⨯种；如果是1个麸子2个钱币饺子，共有1253C C 15=种；如果是2个麸子1个钱币饺子，共有2153C C 30=种.由古典概型的概率公式得:小明夹到的饺子中既有麸子饺子又有钱币饺子的概率是30153051208P ++==.故选：C 8．C【分析】当n 为奇数时有1sin4+π+=n n n a a ，函数()*sin 4π=∈N n y n 的周期为8可得80S =， 计算出21+a a ，43a a +，65+a a 可得答案. 【详解】当n 为奇数时有1sin4+π+=n n n a a ，函数()*sin 4π=∈N n y n 的周期为8，故有981++++=+n n n n a a a a ，21sin 4π+==a a 433sin 4π+==a a 655sin 4π+==a a ，按此规律下去循环重复下去，80S =，故有202225202222=⨯++-=S . 故选：C. 9．ABC【分析】化简得1i z =--，求出复数的模即可判断选项A 和B 的真假；求出2z 即可判断选项C 的真假；求出z 即可判断选项D 的真假.【详解】解：由题得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z --===---+-+--，所以z =A 正确； 因为z 的虚部为-1，所以选项B 正确；由于22(1i)2i z =--=为纯虚数，所以选项C 正确；1i z =-+在复平面内对应的点为(1,1)-位于第二象限，所以选项D 错误.故选：ABC 10．BCD【分析】对于A ，当P 为1BC 的中点时，1//OP AB ，故A 不正确；对于BCD ，根据异面直线的判定定理可知都正确.【详解】对于A ，当P 为1BC 的中点时，11////OP DC AB ，故A 不正确；对于B ，因为1AC ⊂平面11AAC C ，O ∈平面11AAC C ，O ∉1A C ，P ∉平面11AAC C ，所以直线1A C 与直线OP 一定 是异面直线，故B 正确；对于C ，因为1A A ⊂平面11AAC C ，O ∈平面11AAC C ，O ∉1A A ，P ∉平面11AAC C ，所以直线1A A 与直线OP 一定 是异面直线，故C 正确；对于D ，因为1AD ⊂平面1AD C ，O ∈平面1AD C ，O ∉1AD ，P ∉平面1AD C ，所以直线1AD 与直线OP 一定 是异面直线，故C 正确；故选：BCD 11．BD【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ． 【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PF Q 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ ++=+++=+所以1PF Q 的周长与2PQ 之差为4a ，故B 正确； 设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-， 由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确； 由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x aαβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---为常量，故D 正确； 故选：BD12．BC【分析】以B 为原点，BA BC 、所在的直线为x y 、轴的正方向建立平面直角坐标系，设()(),4,2,F x E y ，利用勾股定理可得2216=+BF x ，()()22224=-+-EF x y ，224=+BE y，再利用由余弦定理和基本不等式得222241619236416+=+-≥x y x y xy xy ，从而求出xy 的范围，由=---BEFABCD BCFDEFBEASS SSS可得BEF S =△142-xy ，再根据选项可得答案.【详解】如图，以B 为原点，BA BC 、所在的直线为x y 、轴的正方向建立平面直角坐标系， 设()()(),4,2,02,04<<<<F x E y x y ，因为222=+BF BC CF ，222=+EF FD DE ，222=+BE BA AE ， 所以2216=+BF x ，()()22224=-+-EF x y ，224=+BE y ， 由余弦定理得222cos 2+-∠=BF BE EFEBF BF BE得2222cos6π+++----=222241619236416+=+-≥x y x y xy xy ，当且仅当24x y =等号成立，即223801920-+≥x y xy ，解得24xy ≥，或803≤≤xy ，因为02,04<<<<x y ，所以08<<xy ，所以803<≤xy ，因为=---BEFABCD BCFDEFBEAS S SSS，所以1118222=---BEFSBC CF FD DE AB AE ()()118224422=-----=-x x y y xy ， 因为803<≤xy ，所以41032-≤-<xy ，所以414432≤-<xy ，843≤<BEFS ，而82,43⎡⎫∉⎪⎢⎣⎭，8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭，83,43⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，84,43⎡⎫∉⎪⎢⎣⎭，故选：BC. 13．22y x =-+【分析】利用导数求出切线的斜率，可得出所求切线的点斜式方程． 【详解】由()1ln 225y x x =+++，2111y x x '=-++，则切线的斜率为12422x y =-=-+=-'． 所以曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为： 1322y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即22y x =-+．因此所求切线的方程为22y x =-+． 故答案为：22y x =-+． 14．12-##0.5-【分析】利用诱导公式和和角的余弦公式求解.【详解】解：原式=1cos 40cos80sin 40sin80cos(4080)cos1202︒︒-︒︒=+==-.故答案为：12-15r ≤≤【分析】求出,A B 两点都在圆内时r 的范围，再求出原点到直线AB 的距离，再根据题意即可得出答案，注意说明当直线AB 与圆相切时，切点在线段AB 上. 【详解】解：当,A B 两点都在圆内时，则224941r r ⎧+<⎨+<⎩，解得r > 直线AB 的方程为313222y x --=++，即240x y +-=，原点到直线AB = 又因311,,222OA OB AB k k k =-==-，所以原点与线段AB 上的点所在直线的斜率的范围为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，因为圆C ：()2220x y r r +=>与线段AB （包含端点）有公共点，r ≤≤r ≤≤16．4 【分析】由题得313a b b a+=+，再利用基本不等式求出2(3)a b +的最小值即得解. 【详解】解：由题得331(3)3,3a b ab a b a b a b ab b a ++=+∴+==+，所以23133(3)()(3)101016a b a b a b b a b a +=++=++≥+. (当且仅当1a b ==时取等)因为34a b +≥，所以3a b +的最小值为4.故答案为：417．(1)证明见解析；(2)2n n S n =⋅.【分析】（1）由递推关系化简，根据等比数列的定义得证；（2）由（1）求出n a ，根据错位相减法求和.（1）()1124n n n n n a a a a ++-=-,1124n n n n na na a a ++∴-=-，即()()1122n n n a a n ++=⋅+1221n n a a n n +∴=⋅++， 故1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列. （2）由（1）知，()1112121n n n n a a n n --=⨯⇒=+⋅+， 021223242(1)2n n S n -=⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅++⋅，1232223242(1)2n n S n =⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅++⋅，212222(1)2n n n n S -∴-=+++++⋅-12222(1)212n n n --⨯=+-+⋅- 2n n =-⋅，2n n S n ∴=⋅18．(1)证明见解析【分析】（1）根据余弦定理及三角函数，再结合角平分线的定义即可证明；（2）利用三角函数及二倍角的正弦公式，再结合三角形的面积公式即可求解.（1）在ABC 中，由余弦定理及已知，得22212cos 416224282AC AB BC AB AC ABC =+-⋅⋅∠=++⨯⨯⨯=，即AC =在Rt ADC 中，4AD ==，所以cos AD CAD AC ∠=， 在ABC 中，由余弦定理得所以222cos2AB AC BC BAC AB AC +-∠==⋅⋅，所以cos cos CAD BAC ∠==∠.故AC 平分BAD ∠. （2）由（1）知，4,AD AC ==,cos CAD ∠=在Rt ADC 中，sin DC CAD AC ∠==.sin sin 22sin cos 2DAB DAC DAC DAC ∠=∠=∠⋅∠==所以ABD △的面积为11sin 2422ABD S AB AD DAB =⨯⨯⨯∠=⨯⨯所以ABD △19．(1)证明见解析【分析】（1）取AD 中点Q ，连接,,PQ BQ EQ ，由面面平行的判定定理证得面//BEQ 面PCD ，由面面平行的性质定理证得BQ CD ∥，再有题目证得BQ ⊥面ADP ，则CD ⊥面PAD .（2）以Q 点为坐标原点，建立如图所示得空间直角坐标，分别求出平面APB 和平面PBC 的法向量，由面面角的公式带入即可求出答案.（1）取AD 中点Q ，连接,,PQ BQ EQ ，因为E 是棱P A 的中点，所以//EQ PD ，EQ ⊄面PCD ，PD ⊂面PCD ，∴//EQ 面PCD ，∵//BE 面PCD ，BE EQ E ⋂=.∴面//BEQ 面PCD ，面BEQ ⋂面ABCD BQ =，面PCD 面ABCD CD =，所以BQ CD ∥，2BQ =，222BQ PQ BP +=，故PQ BQ ⊥，PQ AD Q =.∴BQ ⊥面ADP ，BQ CD ∥，∴CD ⊥面PAD .（2）因为BQ ⊥面ADP，PA PD ==所以PQ AD ⊥，建立如图所示得空间直角坐标系，()0,0,0Q ，()0,1,0A -，()0,0,1P ，()2,0,0B ，()1,1,0C ，()=2,0,1PB -，()=0,1,1AP ，设平面APB 法向量为(),,n x y z =，00n PB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以200x z y z -=⎧⎨+=⎩，则()1,2,2n =-- ()=1,1,1PC -，设平面PBC 法向量为()111,,m x y z =，00m PC m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以 11111200x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，则()1,1,2m = 设平面APB 和平面PBC 所成角为θ，所以1cos cos ,m n θ-+===.二面角A PB C --20．(1)727(2)分布列答案见解析，数学期望：121144【分析】（1）由题意可知，满足甲､乙得分相同有3种情况，分别计算概率后再求和即可； （2）根据甲先射击及一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止可得到X 可取，再分别求出概率即可求解分布列即期望.（1）由题意，①甲、乙第一次均未击中，则1111326P =⨯=； ②甲、乙第一次都击中，第二次均未击中，则221111332218P =⨯⨯⨯=； ③甲、乙均击中两次，32211113332227P =⨯⨯⨯⨯=. 所以11176182727P =++=总. （2）由题意，可得X 可取0,1,2,3,4.则， 11211222122111(0)32332333233322P X ==⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 111211122211(1)322332233322P X ==⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯221111333224+⨯⨯⨯⨯= 32221111211112121113(2)3222332223233272P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111211117(3)3222233222144P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=111111(4)3222248P X ==⨯⨯⨯⨯= 所以X 的分布列如下：X 的期望()11137112101234247214448144E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．(1)2214x y +=【分析】（1）短轴长为2得b ，由椭圆定义和217MF MF =得14=a MF ，274=a MF ， 由2222112=+MF MF F F 得2227444⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a c ，且22221-=-=ab ac ， 可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()211,A x y -，联立直线和椭圆方程利用韦达定理12y y ⋅，12y y +代入直线2BA ：()122221y y y y x x x x +-=--，令0y =得4x m=，从而得到D 、1A 坐标，求出1A D 的中点坐标代入直线方程x ty m =+可得答案. （1） 因为短轴长为2，所以1b =，因为217MF MF = ，21111782+=+==MF MF MF MF MF a ，所以14=a MF ，21774==a MF MF ， 又因为1MF x ⊥轴，所以2222112=+MF MF F F ，2227444⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a c ，且22221-=-=a b a c ， 解得2a =，∴2214x y +=. （2）()11,A x y ，()22,B x y ，()211,A x y -，联立直线和椭圆方程得2244=+⎧⎨+=⎩x ty m x y ，整理得()2224240+++-=t y tmy m ， 212244m y y t -⋅=+，12242y m y t -++=+，2121242y y m y y tm -=+， 直线2BA ：()122221y y y y x x x x +-=-- 令0y =， ()()()112121221121211212221222ty y ty y ty y m y y x y x y y y x m t y y y y y m m y y y +++===+++=+++++⋅ 44x m m m m =-+=， 4,0D m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()111,A x y --，1A D 的中点坐标为11211,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x y m ， 由中点在x ty m =+上，可得1121122-=-+x ty m m ， ()1112121112222-+=--=+ty m ty m ty m m m ， 232=m m ，解得243m =，02m <<，所以m =22．(1)在()0,2上单调递减，在()2,+∞单调递增(2)证明见解析【分析】（1）根据题意得()111e e 2x f x x -'=--+，又()121e 0x f x x -+'=>'，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，易知()20f '=，分析即可求解单调性；（2）根据（1）可知()f x '在()0,∞+上单调递增，又e 1x x ≥+恒成立，所以()01111a f a '+=->+，()10f a '=-<，所以存在唯一的()01,1t a ∈+，使得()00f t '=，即0101e 0t t a ---=，分析可知()f x 单调性，得到()()0min f x f t =，再通过分析证明，若函数()f x 有唯一零点0x ，则()00f t =，所以00x t =，即010e 1x a x -=+，所以()00001ln 0f x a x ax x =+--=，设()00001ln u x a x ax x =+--，分析单调性，再分别判断()1u 和()2u 的正负，即可求解.（1）根据题意得：()f x 的定义域为()0,∞+，所以()111e e 2x f x x -'=--+，又()121e 0x f x x-+'=>'，所以()f x '在()0,∞+上单调递增， 易知()112e e 022f '=--+=，所以当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增.（2）因为0a >，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()11e x f x a x-'=--， 所以()121e 0x f x x -+''=>，所以()f x '在()0,∞+上单调递增， 设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 单调递增，当0x <时，()0h x '<，所以()h x 单调递减，所以()()00h x h ≥=，所以e 10x x --≥，即e 1x x ≥+，所以()1111e 111011a a f a a a a a a'+=-->+-=-++->+，又()10f a '=-<， 所以存在唯一的()01,1t a ∈+，使得()00f t '=，即0101e 0t t a ---=， 当()00,x t ∈时，()00f t '<，()f x 单调递减，当()0,x t ∈+∞时，()00f t '>，()f x 单调递增，所以()()0min f x f t =， 又e 1x x ≥+，所以()ln 1x x ≥+，所以1ln x x -≥，当1x =时，等号成立，则ln x x >，所以()()111e ln e e 1x x x f x x ax x ax a x ---=-->--=-+，即()()1e1x f x a x ->-+，又e 1x x ≥+，所以1e x x -≥，所以12e 2x x -≥， 所以22e 4x x -≥，又12e e x x -->，所以21e 4x x ->， 所以()()()21e 114x x f x a x a x ->-+>-+，即()()214x f x a x >-+， 所以()()()()21614114104a f a a a ++>-+⨯+=⎡⎤⎣⎦， 当0x →时，()0f x >，若函数()f x 有唯一零点0x ，则()00f t =，所以00x t =， 即010e 1x a x -=+，所以()00001ln 0f x a x ax x =+--=， 设()00001ln u x a x ax x =+--，所以()0200110u x a x x '=---<， 所以()0u x 在()1,+∞单调递减，所以()110u =>， ()12ln 202u a =--<，所以012x <<.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
重庆市2022届高三第一次联合诊断数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 函数（，）的部分图象如图所示，若在上有且仅有3个零点，则的最小值为（）A．B．C．D．2. 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，.根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为A ．75B ．155.4C ．375D ．466.23.曲线在处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为A．B ．2C ．4D ．84.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 将一副三角板中的两个直角三角板按如图所示的位置摆放，若，则（）A．B．C．D ．1926.已知集合，，若，则A．B．C．D．7. 已知点A ，B 在抛物线上，O 为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是（ ）A．B．C．D．8.定义表示，，中的最小值．已知实数，，满足，，则（ ）A．的最大值是B ．的最大值是C．的最小值是D ．的最小值是9. 已知公差为d 的等差数列前n 项和为，若存在正整数，对任意正整数m ，恒成立，则下列结论一定正确的是（ ）A．B ．有最小值C．D．重庆市2022届高三第一次联合诊断数学试题(1)重庆市2022届高三第一次联合诊断数学试题(1)三、填空题四、解答题10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P 为椭圆C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆C 的焦距为1B ．点在椭圆C 内部C ．若椭圆的焦点在x轴上，则D ．若点，则的距离的最大值为11. 对两个变量和进行回归分析，则下列结论正确的为（）A．回归直线至少会经过其中一个样本点B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．建立两个回归模型，模型的相关系数，模型的相关系数，则模型的拟合度更好D ．以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为12. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的远行规律时发现的.在平面直角坐标系中，设到与两点的距离之积为2的点的轨迹为曲线，则（ ）A．B ．曲线关于原点对称C ．曲线围成的面积不大于7D ．曲线C 上任意两点之间的距离不大于313. 若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.14.将函数的图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍后，所得函数的图像在区间上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则的值为___________．15.已知函数是偶函数，将的图象沿轴向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.已知的图象相邻对称中心之间的距离为，则________，若的图象在其某对称轴处对应的函数值为，则在上的最大值为________.16. 已知椭圆的右焦点为，坐标原点为，椭圆的动弦过右焦点且不垂直于坐标轴，的中点为，过且垂直于线段的直线交射线于点.(1)证明：点在直线上：(2)当四边形是平行四边形时，求的面积.17.已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上不同于，的动点，直线，的斜率，满足，的最小值为-4.（1）求的方程；（2）为坐标原点，过的两条直线，满足，，且，分别交于，和，.试判断四边形的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.18. 已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．19. 已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值20. 已知定义在正实数集上的函数，（其中e为常数，）,若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同．（1）求实数的值；（2）当时, 恒成立，求实数的取值范围.21.已知椭圆E：经过点，且离心率为．F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF．(1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标；(2)记△AFM、△BFM的面积分别为和，当取最大值时，求直线AB的方程．参考结论：点为椭圆上一点，则过点Q的椭圆的切线方程为．。
重庆市高三联合数学诊断性考试
重庆市高三联合诊断性考试(二)数学试2001.5 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟.)]sin()[sin(21cossinβαβαβα-++=)]sin()[sin(21sincosβαβαβα--+=)]cos()[sin(21coscosβαβαβα-++=)]cos()[cos(21sinsinβαβαβα--+-=S台侧=21(c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长，lV=hSSSS)(31+'+'其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．满足M∪｛a,b｝=｛a,b,c,d｝的集合M的个数共有A．4个B．5个C．6个D．72．若复数ｚ＝(a-i)2的辐角主值是23π，那么实数aA．±1 B．1 C．-1 D．03．下列坐标所表示的点不是．．函数)62(tgπ-=xy的图象的对称中心的是A．)0,3(πB．)0,35(π- C．)0,34(πD．)0,32(π4．若x＞0，则22113xxy--=的最大值是A．3 B．23C．29D．05．设A、B、C是△ABC的三个内角，且tg A、tg B是方程6x2-5x+1=0的两个实数根，那么，△ABC是A.钝角三角形B.C.等腰直角三角形D.等边三角形6.(理)在极坐标系中，圆ρ=cos θ-3sin θ圆心的极坐标是A.)3,1(πB.)3,1(π-C.)3,2(π- D.)3,2(π(文)已知l1：0133:0332=+-=+-y x l y x 和，则l 1到l 2的角θA.150°B.120°C.60°D.30°7.设(2-x )5=a0+a 1x +a 2x 2+…+a 5x 5，那么｜a 1｜+｜a 2｜+ …+｜a 5A.242B.243C.222D.211 8.某饭店有200A.90元B.80元C.70元D.609.函数f (x )=)2(log 221++ax x 的值域为(-∞，+∞)，则实数aA.)22,22(- B. ]22,22[-C.),22()22,(+∞⋃--∞D. ),22[]22,(+∞⋃--∞10.如图，A1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成A.1030B.21C.1530 D.101511.已知点F 为双曲线191622=-y x 的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标是(5，4)，则4｜MF ｜-5｜MA ｜的最大值为A.12B.20C.9D.1612.设f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f (x +3)=-)(1x f -，又当-3≤x ≤-2时，f (x )=2x ，则f (113.5)A.51B.- 51C.5.31D.- 5.31第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.6个人分乘的两辆不同的车，每辆车最多可乘坐4个，则不同的乘车方法种数为 .(用数字作答)14.抛物线x 2-8x -4y +a =0的焦点在x 轴上，则抛物线上一点P (m ，3)到此抛物线的准线的距离是 .15.一个圆锥的全面积是底面积的7倍，则此圆锥的侧面展开为扇形后，它的圆心角的大小为 .(用角度作答)16.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 成60°角；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .其中，正确结论的序号是 .三、解答题(本大题共6小题，共74字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=log 3｜x -1｜. (Ⅰ)当1＜f (x )＜2时，求x(Ⅱ)当x ∈(1,+∞)时，试判定f (x )的单调性，并用函数单调的定义证明你的结论.18.(本小题满分12分)已知复数ｚ＝)20(,)2cos 211(cos 2πθθθ ≤++i （Ⅰ）求｜ｚ (Ⅱ)求ａｒｇｚ的最小值． 19．(本小题满分12分)在直角坐标平面上有一点列P １（ａ１，ｂ１）、Ｐ２（ａ２，ｂ２）、…、Ｐｎ（ａｎ，ｂｎ），对于每个自然数ｎ，点P ｎ在函数ｙ＝ｘ２的图象上，且点P ｎ、点(ｎ，０）与点(ｎ＋１，０）构成一个以点P ｎ(Ⅰ)求对每个自然数ｎ，以点Pｎ的纵坐标所构成的数列ｂｎ(Ⅱ)令Ｃｎ＝)(lim ,2121n n n n c c c na b ++++-∞→ 求20．(本小题满分12分)在正三棱柱ABC —A １B １C １中，各棱长均为4，M 、N 分别是棱BC 、CC １的中点(Ⅰ)求证：BN ⊥平面AMB １ (Ⅱ)求二面角B —AM —B １(Ⅲ)求三棱锥B —AB１N21．(本小题满分12分)某航运公司用300万元买回客运飞船一艘，此船投入7000元，第n 月的维修费和工资支出为［６００（ｎ(Ⅰ)设月平均消耗为ｙ(元)，写出ｙ与ｎ(月)(Ⅱ)这艘飞船在投入客运后的第几个月，营运成本最低?(Ⅲ)如果该飞船第一年的纯收入为50万，由于每年维修费用的增加和竞争的加剧，其纯收入每年按5%递减.那么，该船多少年后可收回成本?22．(本小题满分14分)已知抛物线C：ｙ２＝４ｘ，一动椭圆C１的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线L分别重合．(Ⅰ)点P在椭圆C１的短轴的一个端点B与焦点F的连线上，且P分所成比为２∶１，求点P的轨迹方程C２(Ⅱ)若直线ｘ＋ｙ＋ｍ＝０与轨迹C ２相交于M、N两点，求ｍ(Ⅲ)以MN为直径的圆是否过坐标原点?若能，求出相应的ｍ。
重庆市2022届高三第一次联合诊断数学试题
2022年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学数学测试卷共4页，满分150分。
考试时间120分钟。
． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2log 2A x x =≤，{}24B x x =−<<，则A B ⋂= A ．()2,2−B ．()0,2C ．()0,4D ．(]0,42．设复数z 满足()i z i R +∈，则z 的实部为 A ．0B ．1C ．-1D ．i3．设向量i ，j 是互相垂直的单位向量，则与向量i j +垂直的一个单位向量是A ．i j −B ．)2i j −C )i j −D ．)2i j −− 4．已知0a >且1a ≠，则函数()x xa bf x b a =−为奇函数的一个充分不必要条件是A ．0b <B ．1b >−C ．1b =−D ．1b =±5．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 及其渐近线在第一象限分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若()12OA OF OB =+，则双曲线C 的渐近线方程为A ．12y x =±B ．3y x =±C ．y x =±D ．2y x =±6．已知1a e=，ln 35b =，ln 23c =，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检．单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005．若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X 次，采用“5合1”混检方式共需检测Y 次，已知当00.001p <<时，()()*11np np n −≈−∈N ，据此计算()():E X E Y 的近似值为 A.12B.1427C.611D.598．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足：当(]0,1x ∈时，()ln 1f x x x =+，当1x >时，()()10f x f a a x ⎛⎫⋅=> ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()2f x =有两个不等实根，则a 的取值范围是，A ．()0,eB ．()1,2C ．22,2e ⎛⎫−⎪⎝⎭D ．22,e ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆康德2023年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断检测数学参考答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断检测 数学参考答案一、单选题1～8 CADA CBCA第8题提示：当e x ay-=与lny x=相切或相离时存在公切线，由于当0a>时，x ay e-=是xy e=向右平移a个单位得到的，当0a<时，x ay e-=是xy e=向左平移a个单位得到的，只需考虑e x ay-=与lny x=相切时a的取值，设此时切点横坐标为0x，公切线斜率相等01x aex-=，函数值相等有0lnx ae x-=，联立可知0x=℘，lna=℘+℘，故所求a的范围是(ln]-∞℘+℘，二、多选题9.BCD 10.BCD 11.AB 12.BCD第11题提示：由AC BD⊥于点O，OA OC OD==，∴ACD△为等腰直角三角形，A正确；由题知BD⊥平面APC，所以平面PAC⊥平面ABCD，B正确；过P作PH AC⊥于H，则PH⊥平面ABCD，若AP CP≠，则H不为点O，C错误；设H到AB BC CD DA，，，距离分别为1234,,,d d d d，若P到AB BC CD DA，，，距离均相等，则222222221234d PH d PH d PH d PH+=+=+=+，即1234d d d d===，故点H为DAB DCB∠∠，角平分线的交点，当AD AB≠时，H不在DAB∠的平分线上，矛盾，D错误第12题提示：(0,1]x∈时，ln(1)0x+>，sin0x>，且都单调递增，故()f x在(0,1]上单调递增. 又()f x为奇函数，(0)0f=，()f x在[1,1]-上单调递增. 又()(2)f x f x=-+，将()f x在[1,1]-上的图象关于x轴对称，再向右平移2个单位即得()f x在[1,3]上的图象，且()(4)f x f x=+，周期为4，其大致图象如图，(2023)f x+为偶函数⇔()f x关于2023x=对称，C正确；∵1(1)2f=>=，∴1()2f x=在[2,6]-上有4个零点，它们的和为12，D正确三、填空题13.6714.10x y+-=或10x y-+=15.16316.（1）92；（2）(1)2k k-第16题提示：观察图形可知，第n行第k列的图形点数为[(1)2]1(1)(21)[(1)1]2k n kn n k n-+⋅++++++-+=∴第3行第8列的点数为92，1[(1)2][(1)(1)2](1)222n n k n k k n k k ka a --+⋅--+⋅--=-=四、解答题 17．（10分）解：（1）设公比为q ，由题142332a a a a ==-，∴14,a a 是方程214320x x +-=的两根，∵10a >，∴12a =，416a =-，2q =- ∴111(1)2n n n n a a q --==- ……………………………5分（2）2n nnb =，设n b 的前n 项和为n T 231123122222n n n n n T --=+++++234111*********n n n n n T +-=+++++ 两式相减得231111111212222222n n n n n n T +++=++++-=-222n n n T +=- ……………………………10分18.（12分）解：（1）由题可得下表满意不满意合计在校学生 1040 50非在校学生40 10 50 合计50 50 100设零假设0H ：学生对限行政策之后交通情况的满意度与是否在校无关220.001100(40401010)3610.828=50505050χχ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 依据小概率值0.001α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为学生对限行政策之后交通情况的满意度与是否在校有关，此推断犯错误的概率不大于0.001…………………6分 （2）由题抽取一名学生回答不满意的概率估计为5011002=，X 的可能值为1,2,4,5 1(1)2P X ==，111(2)224P X ==⋅=，11111(4)222216P X ==⋅⋅⋅=3(5)1(1)(2)(4)P X P X P X P X ==-=-=-== ，所以X 的分布列为111335124524161616EX=⋅+⋅+⋅+⋅=…………………12分19.（12分）解：（1）2cos cos(1cos2)3a A Bb A c⋅++=，22cos cos2cosa A Bb A⋅+=，由正弦定理22sin cos cos2sin cosA AB B A C⋅+=2cos(sin cos sin cos)A AB B A C+=，2cos sin()A AB C+=2cos sinA C C=，cos2A=，6Aπ=…………………6分（2）由题1sin142bc A bc=⇒=222222cos28a b c bc A b c bc=+-=+-≥-=-周长44a b c a++≥+=+=（或624）等号成立时a=），2b c==…………………12分20.（12分）解：（1）由BC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE知BC BD⊥在矩形EFBC由,BF CE EC EF⊥∥，1,2,3EF FB EC===知BC=设(02)AB x x=<<，则2,1AF DE x CD x==-=+故22221BD AB AD x=+=+，22(1)CD x=+由勾股定理：2222221(1)BD BC CD x x+=⇒++=+，解得1x=，AB的长度为1…………………5分（2）因为ED AD⊥，,,,ED DC AD DC D AD DC⊥⋂=⊂平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD.结合DA DC⊥知：,,DA DC DE两两相互垂直；故以D为原点，,,DA DC DE为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.所以()000D,,,()100A,,,()110B,,,()020C,,,()001E,,,()1,0,1F.所以()()()()011100110021BF,,,EF,,,BC,,,EC,,=-==-=-. …………（7分）设()1111,,n x y z=为平面BCE的一个法向量，所以11111100020n BC x yn EC y z⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取11x=，则()11,1,2n=；BAD C设()2222,,n x y z=为平面BEF的一个法向量，所以22222n EF xn BF y z⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21y=-，则()20,1,1n=--记所求二面角大小为θ，则1212cos2n nn nθ==⋅⋅=；所求二面角大小为56π…………………12分21. （12分）解：（1）当1k m==时，直线:1l y x=+，椭圆上顶点为(0,1),1b=，连结11,AF BF，有1122||||||||4AF BF AF BF a+++=，而2ABF△的周长为4a，所以l经过1F，故1(1,0)F-，所以2112a=+=，所以22:12xC y+=…………………4分（2）联立直线l与C的方程，有222(12)4220k x kmx m+++-=，设1122(,),(,)A x yB x y，有2121222422,1212km mx x x xk k-+=-=++，有222(,1212km mDk k-++，由D在圆2234x y+=上，有222223()(12124km mk k+=++，整理有22223(12)416kmk+=+，原点O到直线l的距离21dk=+，||AB=所以OAB△的面积OABS=△，法一：222212)2(12)2OABm k mSk++-=≤=+△等号成立时22212m k m=+-，结合22223(12)416kmk+=+解得212k=，21m=∴OAB△面积的最大值为2…………12分法二：OABS=△=令21(01)14t tk=<≤+，2OABS=≤△，等号成立时13t =，212k =，21m =∴OAB △…………………12分 22.（12分）解：（1）∵()2axf x ae '=-，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，由()0f x '=得12ln xa a=， ()f x 在12(,ln a a -∞单调递减，在12(ln ,)a a+∞为单调递增，∴当0a >时，()f x 极小值为22(1ln a a -…………………5分（2）即0x ∀>，关于x 的不等式2210ax e x ax --->恒成立，设2()21axg x e x ax =---，则()22ax g x ae ax '=--，2()2axg x a e a ''=-， （i ）当0a ≤时，()0g x ''≥，()g x '单调递增，(0)20g a '=-<，x →+∞时，()g x '→+∞∴存在00x >，使得0()0g x '=，∴()g x 在0(0,)x 上单调递减当0(0,)x x ∈时，()(0)0g x g <=矛盾（ii ）当0a >时，令()0g x ''=，解得12ln x a a=()g x '在12(,ln a a -∞上单调递减，在12(ln ,)a a +∞上单调递增①若12ln 0a a≤即2a ≥时，()g x '在(0,)+∞上单调递增2()(0)20g x g a a ''>=-≥，()g x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0g x g >=，满足条件②若02a <<时，()g x '在12(0,ln a a上单调递减，此时2()(0)20g x g a a ''<=-< ()g x 在12(0,ln a a上单调递减，()(0)0g x g <=，矛盾综上，实数a 的取值范围[)2,+∞…………………12分。
重庆市2022届高三第二次联合诊断检测数学试题(2)
一、单选题二、多选题1.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2. 已知角的终边过点，则（ ）A．B．C．D．3. 已知定义在上的函数满足，则（ ）A．是奇函数且在上单调递减B．是奇函数且在上单调递增C．是偶函数且在上单调递减D．是偶函数且在上单调递增4. 已知全集，集合，则（ ）A．B．C．D．5. 设a，，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 为检测疫苗的有效程度，某权威部门对某种疫苗进行的三期临床效果比较明显的受试者，按照年龄进行分组，绘制了如图所示的样本频率分布直方图，其中年龄在内的有1400人，在内有800人，则频率分布直方图中的值为（）A ．0.008B ．0.08C ．0.006D ．0.067. 已知数据x 1，x 2，x 3，…，x 50,500(单位：kg)，其中x 1，x 2，x 3，…，x 50是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x ，中位数为y ，则x 1，x 2，x 3，…，x 50,500这51个数据的平均数、中位数分别与x 、y 比较，下列说法正确的是 ( )A ．平均数一定变大，中位数一定变大B ．平均数一定变大，中位数可能不变C ．平均数可能不变，中位数可能不变D ．平均数可能不变，中位数可能变小8. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．9. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，E 为AB 的中点，则（ ）A ．BC 1∥平面A 1EC重庆市2022届高三第二次联合诊断检测数学试题(2)重庆市2022届高三第二次联合诊断检测数学试题(2)三、填空题四、解答题B ．二面角A 1－EC －A的正弦值为C ．点A 到平面A 1BC 1的距离为D．若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为10. 已知函数，若，则下列结论正确的是A．B．C．D ．当时，11.已知等比数列的公比为q ，前n项和，设，记的前n 项和为，则下列判断正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则12. 已知向量，则（ ）A．B ．若，则C ．若，则D．13.已知三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则外接球的表面积为___________.14. 已知数列的前项和，且恰好有一项是负项，则的值是_________．15. 动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是___________.16. 如图，在四边形中，．若，，______，求的长．从①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17.在平面直角坐标系中，已知点，是一动点，直线，，的斜率分别为，，，且，记点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）已知直线：，与曲线交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点.当四边形的面积最小时，求直线的方程.18.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，其短轴的一个端点到焦点的距离为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若为的中点，为椭圆上一点，过且平行于的直线与椭圆相交于，两点，是否存在实数，使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19. 已知．（）(1)讨论的单调性；(2)若，且存在，使得，求的取值范围．20. 已知，求的值．21. 已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且的周长是6．过点的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间，又线段AB的中点横坐标为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求的值．。
2022届重庆市高三第一次联合诊断测试数学试题
2022年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测 数学参考答案一、选择题1-8 CABCBDBC第6题解析： 3532<，∴3ln 35ln 2<，ln 3ln 253∴<，即b c <；ln e a e=，23e << ，∴32e e >，3ln ln 2e e ∴>，ln ln 23e e ∴>，即a c >，b c a ∴<<．第7题解析：由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为10(1)p -和101(1)p --，故这10人组检测次数的期望为101110(1)p --，相当于每个个体平均检测101.1(1)p --次，同理，采用5合1混检，每个个体平均检测51.2(1)p --次，1051.1(1) 1.1(110)0.1100.10.00514():() 1.2(1) 1.2(15)0.250.20.002527p p p E X E Y p p p ----++∴=≈===----++．第8题解析：当(01]x ∈， 时，()ln 1f x x '=+，故()f x 在1(0)e ，上单减，在1(1]e ， 上单增，11()1e ef =-，(1)1f =，0x →时()1f x →，当1x >时1()(0f x f a x⋅=>，故()f x 在(1e)， 上单增，在(e )+∞， 上单减，1x →时()f x a →，x →+∞时()f x a →，故()2f x =有两个不等实根只需2(e)a f <<，即12(1)2ea -<<．二、选择题9．BCD 10．BCD 11．AD12．AC 第11题解析：取9n =得210990a a -=>，故910a a <；取10n =得2111010a a +=，与前式相减得11919a a +=；由题知，2221(21)n n a a n --=-①，2212(2)n n a a n ++=②，22221(21)n n a a n ++-=+③，②-①得212141n n a a n +-+=-，②+③得2222841n n a a n n ++=++，357946810()()()()a a a a a a a a ∴+++++++为定值，题中条件只限制211a a -=，所以12a a +的值不确定，故前10项和无法确定；前20项中奇数项有10项，相邻两项的和确定，故这10项的和确定，同理10个偶数项的和确定，故前20项和为定值．第12题解析：选项A ，过点P 与直线AB 相交的直线必在平面PAB 内，过点P 与直线11A D 相交的直线必在平面11PA D 内，故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯一交线，A 正确；选项B ，若存在一条直线与11AB A D ， 都平行，则11//AB A D ，矛盾，B 不正确；C 选项，因为11//A D AD ，若11l A D ⊥则l AD ⊥，若l AB ⊥，则l ⊥平面ABCD ，显然满足条件的直线唯一，即1CC ，C正确；D 选项，过取11BB DD ， 的中点E F ，，连PE PF ，，则PE //11A D PF ， //AB ，若l 与直线11AB A D ， 所成角为45︒，则l 与PE PF ，所成角为45︒，显然EPF ∠的角平分线及其外角平分线均符合，D 不正确．三、填空题13．e 14．215．56 16．2+第15题解析：由题知，有3次运送2颗、有5次运送1颗，而卫星无区别，故只需确定8次中是哪3次运送2颗，共有3856C =种情况．第16题解析：22||||||12||PQ PO PA PO =⇒-=，设()P x y ，，则2222(1)(1)12()x y x y -+--=+，化简得22(1)(1)3x y +++=，故点P 轨迹是以(11)--，||PQ =，||PA的最大值为+，故||PQ 的最大值为2=+．四、解答题17．（10分）解：（1）22222sin sin (sin sin sin )sin sin 33A B C A B C a b c ab C +=-⇒+=-，即2cos sin 3ab C ab C =-，即tan C =，故23C π=； ………5分 （2）由余弦定理知22195223()2b b b b +-=⋅⋅-，2b ∴=， ………7分 由CBD CAD ABC S S S +=△△△知，1112sin 3sin 3sin 232323b CD b CD b b πππ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅，即3342CD b ==． ………10分 18．（12分）解：（1）取1BB 中点N ，连接MN AN ， ，则//MN BC ， 1BB ⊥平面ABC ，∴1BB BC ⊥，又BC BA ⊥，BC ∴⊥平面11ABB A ，故MN ⊥平面11ABB A ，AN 即为AM 在平面11ABB A 内的射影，又1AM BA ⊥，1BA AN ∴⊥， ………3分故1Rt Rt ABN A AB △△，1BN AB AB AA ∴=，而AB ==1AA ∴==………6分 N A C 1B 1C 1A B M（2）连接1AB ，由（1）知11B C ⊥平面11ABB A ，故11C AB ∠为直线1AC 与平面11ABB A 所成角，………9分1AC ==，111B C =，11sin C AB ∴∠=，即所求角的正弦值为10．………12分19．（12分） 解：（1）13n n a a n λ++=+，1233n n a a n λ+++=++，两式相减得23n n a a +-=，故2{}n a 是公差为3的等差数列； ………5分（2）由题知123a a λ+=+，22a λ∴=+，若{}n a 为等差数列，则213113()22a a a a -=-=， 故3212λ+-=即12λ=，………7分 此时2121212333(1)32n n a a a n a n a a +-=+---=-+=， 221212133(1)3(1)2n n a a a n a n a a --=+----=-=，即对*n ∀∈N 有132n n a a +-=，………9分 故{}n a 为等差数列，且3122n a n =-，21()31244n n n a a S n n +==+． ………12分 20．（12分）解：（1）考虑两种情况：甲接下来选择回答B 类问题并取得复赛资格的概率为1312231(2443372⨯+⨯⨯=，甲接下来选择回答C 类问题并取得复赛资格的概率为1213341()2334496⨯+⨯⨯=，故所求概率为31412477296288+=；………5分 （2）由于甲回答A B ， 两类问题的概率相同，故只需考虑ABC 、ACB 、CAB 这三种回答顺序，按ABC 顺序回答，取得复赛资格的概率为3312231()4443348⨯+⨯⨯=， ………7分按ACB 顺序回答，取得复赛资格的概率为3213341()4334464⨯+⨯⨯=， ………9分 按CAB 顺序回答，取得复赛资格的概率为2313319()3444432⨯+⨯⨯=， ………11分 314119486432>>，故甲按ABC 或BAC 顺序回答问题取得复赛资格的概率最大．………12分 21．（12分）解：（1）由题意可得，点(22a a ，在椭圆上，将点()22a a ，代入椭圆方程得22144a b=1+a =，c ∴=，3c e a ==；………4分 （2）由（1）知222:33C x y b +=，0)2D b ，，设11()M x y ，，22()N x y ，，直线:2l x my b =+，代入椭圆方程得2229(3)04m y b ++-=，由D 在椭圆内部知必有0∆>，则21212229433b y y y y m m -+==++， ， ………6分由题知122y y =-，故223y m -=+①，22229423b y m --=+②， ………8分 由得22223192(3)4m b m b =+⋅，即295m =，故l的斜率为3±． ………12分 22．（12分）解：（1）由题知221ln 0()1ln()0x x x x f x x x x x ⎧++>⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩，，，332110()2110x x x f x x x x ⎧-+>⎪⎪'=⎨⎪-+<⎪⎩，，，即3232()x x f x x +-'=(0)x ≠，令32()2g x x x =+-，则22()323()3g x x x x x '=+=+， 故()g x 在2(3-∞-， 和(0)+∞， 上单增，在2(0)3-，上单减，又2(03g -<，(1)0g =，所以()01g x x >⇔>，()00g x x <⇔<或01x <<，从而()01f x x '>⇔>或0x <，()001f x x '<⇔<<， ()f x ∴在(0)-∞， 和(1)+∞， 上单增，在(01)，上单减； ………5分（2）由题知221ln 0()1ln()0x a x x x f x x a x x x ⎧++>⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩， ， ，33210()210a x x x f x a x x x ⎧-+>⎪⎪'=⎨⎪-+<⎪⎩， ， ，即212()()f x x a x x '=-+，令22()h x x a x =-+，则34()1h x x'=+，()00h x x '>⇔>或134x <-， 13()040h x x '<⇔-<<，即()h x 在13(4)-∞-， 和(0)+∞， 上单增，在13(40)-， 上单减， 0x >且0x →时()h x →-∞，x →+∞时()h x →+∞，()h x ∴在(0)+∞， 上唯一零点，记为0x ， 当0x x >时，()0h x >，()0f x '>，()f x 单增，当00x x <<时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单减， 0x ∴为()f x 的极小值点，由题知()f x 有唯一极值点，故()f x 在(0)-∞，上无极值点，………8分13(4)h a -=+，x →-∞时()h x →-∞，0x <且0x →时()h x →-∞， 故当13(4)0h -≤时()0h x ≤，()0f x '≥，()f x 在(0)-∞，上单增，()f x 在(0)-∞， 上无极值点；………10分 当13(4)0h ->时()h x 在13(4)-∞-， 和13(40)-，内各存在一个零点，分别记为12x x ， ，则 1x x <或2x x >时()0h x <，()0f x '>，()f x 单增，12x x x <<时()0h x >，()0f x '<，()f x 单减， 所以1x 为()f x 的极大值点，2x 为()f x 的极小值点，不合题意，舍去；综上，13(4)0h -≤即a ………12分 ①2 ②。
重庆市2022届高三第三次联合诊断数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（）A．B．C．D．2. 已知直线过点，则“直线的斜率为”是“直线被圆：所截弦长为”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知，则的最小值是A．B．C．D．4. 已知函数和的图象的对称轴完全相同，若，则的取值范围是A．B．C．D．5. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A．B．C．D．6. 18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，（常数）.利用以上公式，可以估计的值为（ ）A．B．C．D．7. 函数的最小正周期为（ ）A ．B．C．D ．8.设全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．9.商务部关于城市居民消费习惯调查报告显示，的居民消费发生在夜间，“夜间经济”已经成为衡量城市经济活力的重要指标，在扩大内需、繁荣市场、创造就业等方面发挥着多重作用．目前越来越多的城市提出要支持夜市经济或打造夜市品牌．某饭店推出夜市烧烤，为了提前准备原料，店长统计了上一星期7天的日销售额（单位：元），得到如图所示的折线图，则下列结论正确的是（ ）重庆市2022届高三第三次联合诊断数学试题(1)重庆市2022届高三第三次联合诊断数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．从星期三到星期六，日销售额逐步增加B ．这一星期的日销售额的极差为600元C ．这一星期的日销售额的中位数为550元D ．星期五、星期六、星期日3天的日销售额总和超过前4天的日销售额总和10.关于函数下列结论正确的是（ ）A ．图像关于轴对称B ．图像关于原点对称C ．在上单调递增D．恒大于011.已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（ ）A ．，，且，则B ．，，且，则C．，，且，则D ．，，且，则12. 设O 为坐标原点， F 为抛物线C ：的焦点，过焦点F 且倾斜角为的直线与抛物线C 交于M ，N 两点（点M 在第二象限），当时，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．△MON的面积的最小值为C ．存在直线，使得D ．分别过点M ，N 且与抛物线相切的两条直线互相垂直13.已知等差数列中，，则数列前9项和最大值是________.14. 已知为两个相互垂直的不共线单位向量，k 为实数，若向量与向量垂直，则k=_____________．15.在正四棱柱中，，点在棱上，平面，则三棱锥的外接球的表面积为__________.16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E ，F 分别是棱，的中点．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)在截面内是否存在点，使平面，并说明理由．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）设函数，若存在，使，证明：.18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求B；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.19. 如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.(1)求；(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.20. 已知函数．(1)当时，证明：当时，；(2)当时，恒成立，求a的取值范围．21. 已知函数，.（1）求函数的单调递减区间；（2）若存在，当时，，求实数的取值范围.。
重庆市2023届高三4月诊断模拟数学试题含解析
数学试题（答案在最后）注意事项：1.作答前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，答题卡交回.一、选择题：本题共8小题、每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()12i 2i iz -=-，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】先运用复数的除法规则求出z ，再根据复数的几何意义求解.【详解】i 3+==，()()()()3i 12i 3i 1i 12i 12i 12i z -+-====+--+，1i z ∴=-，实部为1，虚部为-1，所以z 在第四象限；故选：D.2.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin 2sin 2A B =”是“a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据sin 2sin 2A B =结合三角函数的性质，可得A B =或π2A B +=，进而可求解.【详解】若sin 2sin 2A B =，则222π,Z A B k k =+∈或22π+2π,Z A B k k +=∈，由于在三角形中，所以22A B =或22πA B +=，故A B =或π2A B +=，当A B =时，则a b =，但π2A B +=时，,a b 关系不确定；反过来，若a b =，则必有A B =，sin 2sin 2A B =．故“sin 2sin 2A B =”是“a b =”的必要不充分条件，故选：B3.已知抛物线()220y px p =>的准线过双曲线2213xy -=的一个焦点，则p =（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】求出抛物线22y px =的准线方程和双曲线2213x y -=的焦点坐标，由条件列方程求p .【详解】抛物线()220y px p =>的准线方程为2p x =-，双曲线2213x y -=的左焦点的坐标为()2,0-，右焦点的坐标为()2,0，因为抛物线22y px =的准线过双曲线2213x y -=的一个焦点，所以22p=，所以4p =，故选：C.4.林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm ，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm ，则估计该大树属于（）A.一级B.二级C.三级D.不是古树【答案】C 【解析】【分析】由条件抽象出等差数列的基本量，再结合等差数列的前n 项和，求n .【详解】设树干的截面圆的半径为r ，树干周长2π 3.14r =，0.5m 50cm r ==，从内向外数：50.4a =，40.2n a -=，()54500.32n n a a n S r n-+⋅====，∴5001673n =≈年，所以为三级.故选:C5.已知函数()()y f x x =∈R 如满足：(3)()f x f x +=-，()()0f x f x -+=，且[3,0)x ∈-时，8()log (4)f x x =+，则(2024)f =（）A.3-B.13-C.0D.13【答案】B 【解析】【分析】先判断出函数()f x 是周期为6的周期函数，再利用周期性直接求解即可．【详解】由(3)()f x f x +=-，则(6)(3)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数，又()()0f x f x -+=，即()()f x f x =--，所以81(2024)(2)(2)log 23f f f ==--=-=-．故选：B ．6.在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，以1C 为球心，3为半径的球面与侧面11ABB A 的交线长为（）A.9 B.9C.3D.9【答案】B 【解析】【分析】设1D 为11A B 的中点，证明11C D ⊥平面11ABB A ，根据球的截面性质确定交线的形状，结合弧长公式求交线长.【详解】设1D 为11A B 的中点，连接11C D ，因为112A B AB ==，111A B C △为等边三角形，所以11C D =，因为1111C D A B ⊥，111C D AA ⊥，1111A B AA A ⋂=，111,A B AA ⊂平面11ABB A ，所以11C D ⊥平面11ABB A ，所以以1C 为球心，3为半径的球面与平面11ABB A 的交线为以1D 为圆心的圆，3=，可得交线即以1D 为圆心，3为半径的圆弧，设该圆弧与1AA ，1BB 分别相交于点M ，N ，因为13MD =，111A D =，所以11cos 2MD A ∠=，因为11π0,2MD A ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以11π6MD A ∠=所以12π3MD N ∠=，故交线长12π339l =⨯⨯=.故选：B.7.函数()()sin f x A x =+ωϕ，（0A >，0ω>，0πϕ<<）的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期是10π9B.函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于直线π4x =对称D.若圆C 的半径为5π12，则函数()f x 的解析式为()3ππsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，求得()f x 的最小正周期，可判定A 错误；利用五点作图法，求得π3ϕ=，结合三角函数的性质，可判定B 错误；利用三角函数的图形变换得到平移后的函数解析式为()cos 2g x A x =，进而判定C 错误；利用222CMOM OC =+，求得A 的值，可判定D 正确.【详解】解：由函数()f x 图象，可得点C 的横坐标为π3，所以函数()f x 的最小正周期为ππ2[(π36T =--=，所以A 不正确；又由2π2Tω==，且π(06f -=，即ππsin[2(]sin()063ϕϕ⨯-+=-+=，根据五点作图法且0πϕ<<，可得π03ϕ-+=，解得π3ϕ=，因为7ππ,123(x --∈，可得π5ππ,3632()x +--∈，结合三角函数的性质，可得函数()f x 在7ππ,12(3--是先减后增的函数，所以B 错误；将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后，得到()πsin(2cos 22g x A x A x =+=，可得对称轴的方程为2π,Z x k k =∈，即π,Z 2k x k =∈，所以π4x =不是函数()g x 的对称轴，所以C 错误；当0x =时，可得()π0sin32f A A ==，即2OM A =,若圆的半径为5π12，则满足222CM OM OC =+，即2225ππ())()1223A =+，解得A =，所以()f x 的解析式为()πsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以D 正确.故选：D.8.已知定义在R 上的函数()f x 满足，()()()1212f x x f x f x +=+，且当0x >时，()0f x >，()11f =，则关于x 的不等式()()()1122227f x f x f x +-++≤的解集为（）A.[)1,+∞B.[]1,1- C.[]22-,D.[)2,+∞【答案】B 【解析】【分析】根据题意得()f x 为R 上的奇函数，且为增函数，又由题得()()()27222f x f xf x -++≤，令()()()()222f x f xg x f x -=++，得()g x 为R 上的偶函数，且在[)0,∞+上单调递增，得()()1g x g ≤即可解决.【详解】由题知，定义在R 上的函数()f x 满足，()()()1212f x x f x f x +=+，且当0x >时，()0f x >，()11f =，所以()()()0000f f f +=+，即()00f =，又()()()(0)0f x f x f x x f +-=-==，所以()f x 为R 上的奇函数，设12x x <，()()()()()121121210f x f x f x f x x x f x x -=-+-=--<，所以()f x 为R 上的增函数，因为()()()1122227f x f x f x +-++≤()()()27222f x f x f x -⇔++≤，令()()()()222f x f x g x f x -=++，因为()()()()222f x f x g x f x -=++为R 上的偶函数，且在[)0,∞+上单调递增，()712g =，所以()()1g x g ≤，所以11x -≤≤，故选：B ．二、选择题：本大题共4小题、每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分、有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知平面向量()2,1a =- ，()4,2b = ，()2,c t =，则下列说法正确的是（）A.若bc ⊥，则4t =B.若//a c，则1t =-C.若1t =，则向量a 在c上的投影向量为35c - D.若4t >-，则向量b与c的夹角为锐角【答案】BC 【解析】【分析】根据向量线性运算即数量积公式可判断AB 选项，根据投影向量定义可得判断C 选项，由4t >-可得0b c ⋅>，但此时向量b与c的夹角可以为零角并非锐角，可得D 错误.【详解】解：已知平面向量(2,1)a =-，(4,2)b = ，(2,)c t = ，对于A ，若bc⊥，可得0b c ⋅=，即4220t ⨯+=，解得4t =-，所以A 选项错误；对于B ，若//a c，根据平面向量共线性质，可得221t-=，即1t =-，所以B 选项正确；对于C ，若1t =，则(2,1)c =，由投影向量定义可知向量a 在c 上的投影向量为222413215a c c c c c⋅-+⋅==-+，所以C 选项正确；对于D ，若4t >-，则422820b c t t ⋅=⨯+=+> ，所以cos ,0b c b c b c⋅=>⋅；但当1t =时，cos ,1b c b c b c ⋅====⋅，此时向量b与c的夹角为0︒，所以D 选项错误；故选：BC.10.已知22:10100A x y x y +--= ，22:62400B x y x y +-+-= ，则下列说法正确的是（）A.两圆位置关系是相交B.两圆的公共弦所在直线方程是3100x y ++=C.A 上到直线3100x y +-=的点有四个D.若(,)P x y 为B上任意一点，则22max (5)(5)90x y ⎡⎤-+-=+⎣⎦【答案】ACD【解析】【分析】先将A ，B 的一般方程化成标准方程，再利用圆心距与两半径之差和半径之和比较即可判断A ；联立两圆的方程，化简即可得到公共弦所在直线方程，进而即可判断B ；先求得()5,5A 到直线3100x y +-=的距离d ，再比较2d 与A R 的大小即可判断C ；依题意得22max (5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦的几何意义为()5,5A 到B 上点的距离的平方的最大值，再结合选项A 求解即可判断D ．【详解】对于A ，由22:10100A x y x y +--= ，即()()225550x y -+-=，其圆心为()5,5A ，半径为A R =，22:62400B x y x y +-+-= ，即()()223150x y -++=，其圆心为()3,1B -，半径为B R =，则两圆的圆心距为AB ==，则A B A B R R AB R R -<<+，即两圆相交，故A 正确；对于B ，联立两圆的方程22221010062400x y x y x y x y ⎧+--=⎨+-+-=⎩，化简得3100x y +-=，故B 错误；对于C ，由()5,5A 到直线3100x y +-=的距离为d==，且2d =<，所以A上到直线3100x y +-=的点有四个，故C 正确；对于D ，依题意得22max (5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦的几何意义为()5,5A 到B 上点的距离的平方的最大值，所以结合选项A 得()(2222max(5)(5)9040B x y AB R ⎡⎤-+-=+==+⎣⎦，故D 正确．故选：ACD ．11.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（）A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则第一次取到红球且第二次也取到红球的概率为35D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627【答案】ABD 【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解即可判断A ；根据二项分布求概率公式计算即可求判断B ；根据独立事件的概率公式计算即可判断C ；根据对立事件的概率求解即可判断D.【详解】A ：所求的概率为122436C C 3C 5P ==，故A 正确；B ：取到红球的次数2(6,)3X B ，所以其方差为2246(1)333⨯⨯-=，故B 正确；C ：第一次取到红球的概率为46，第二次取到红球的概率为35，所以第一次取到红球且第二次取到红球的概率为432655⨯=，故C 错误；D ：每次取到红球的概率为23，所以至少有一次取到红球的概率为32261(1)327--=，故D 正确.故选：ABD.12.下列说法中，其中正确的是（）A.命题：“30,10x x x ∃≥--≥”的否定是“30,10x x x ∀<--<”B.化简22cos 5sin 5sin 40sin 50︒︒︒︒-的结果为2C.012233C 2C 2C 2C n n n n ++++…2C 3nnnn +=D.在三棱锥-P ABC中，PA AB PB AC ====，CP =，点D 是侧棱PB的中点，且CD =，则三棱锥-P ABC 的外接球O 的体积为287π3.【答案】BCD 【解析】【分析】根据存在性量词命题的否定即可判断A ；根据二倍角的正弦、余弦公式和诱导公式计算即可判断B ；根据二项式定理即可判断C ；利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PAB ，结合正弦定理、勾股定理和球的体积公式计算即可判断D.【详解】A ：命题：“30,10x x x ∃≥--≥”的否定是“30,10x x x ∀≥--<”，故A 错；B ：22cos 5sin 5cos10cos10sin80211sin40sin50sin40cos40sin80sin8022︒︒︒︒︒︒︒︒︒-====︒︒，故B 正确；C ：012233C 2C 2C 2C n n n n ++++…()2C 123nn n nn +=+=，故C 正确；D：如图所示，由PA AC ==CP =222PA AC CP +=，得PA AC ⊥，由D 是PB的中点，PA AB PB ===PAB 为等边三角形且3AD =，又CD =，所以222CA AD CD +=，得CA AD ⊥，又AD AP A = ，,AP AD ⊂平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB .设球心为O 且在过△PAB 中心垂直于面PAB 的垂线上，点O 到底面PAB的距离为12d AC ==，由正弦定理得PAB的外接圆半径22sin 6032PA r == ，球O的半径OA R ==所以三棱锥-P ABC 的外接球O的体积为3344287πππ333V R ===.故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm ）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______.【答案】10.8【解析】【分析】将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可.【详解】数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，所以1280%=9.6⨯，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8.故答案为：10.814.二项式6x ⎛⎝展开式中常数项是________．（填数字）【答案】240【解析】【分析】根据二项式的展开通项公式求解即可.【详解】展开式的通项公式为3662166C 2C rrr r r r r T x x--+==，令3602r -=，解得4r =，所以常数项为44562C 240T ==，故答案为:240.15.已知a ，b 为正实数，直线2y x a =-与曲线()ln 2y x b =+相切，则41a b+的最小值为______．【答案】9【解析】【分析】由直线2y x a =-与曲线()ln 2y x b =+相切可得1a b +=，后由基本不等式可得答案.【详解】设切点为()00,x y ，()222ln x b x b '⎡⎤+=⎣⎦+，则切线斜率可表示为022,x b +由题有0022212x b x b =⇒+=+.又切线可表示为：()()()0000002222222ln ln x y x x x b x a a x b x b x b=-++=-⇒=-+++，代入021x b +=可得021a x a b =⇒+=，又a ，b 为正实数，则()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即21,33a b ==时取等号.故答案为：9.16.经过坐标原点O 的直线与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于A ，B 两点，过A 垂直于AB 的直线与C 交于点D ，直线DB 与y 轴相交于点E ，若22OB OE OE ⋅= ，则C 的离心率为_______．【答案】2【解析】【分析】设直线BD 的方程为(0)y kx m k =+≠，与椭圆方程联立，由22OB OE OE ⋅=求得点B 的纵坐标，进而利用韦达定理得到其横坐标，从而得到点D 的坐标，然后根据AB AD ⊥，由1AD ABk k =-化简求解.【详解】解：设直线BD 的方程为()11(0),,y kx m k B x y =+≠，()22,D x y ，则()()11,,0,A x y E m --，由22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22222222220b a k x kma x a m a b +++-=，显然存在,k m ，使得0∆>，故由韦达定理得222121222222222,2kma k ma x x y y m b a k b a k +=-+=-++，因为22OB OE OE ⋅= ，则212y m m =，即12y m =，则2211222212,,2,2,AB y m m k ma x B m k k y k k x b a k ⎛⎫====- ⎪+⎝⎭，因为AB AD ⊥，所以121212ADy y k x x k +==-+，即22222222221222k ma kma m b a k k b a k ⎛⎫-+=-- ⎪++⎝⎭，即222222222k a b k a a -++=，化简得222a b =，所以22c e a ===，故答案为：2.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=（1）求tan tan AB的值；（2）若点D 为边AB 的中点，10,5AB CD ==，求BC 的值．【答案】（1）4；（2）【解析】【分析】（1）由3cos cos 5a B b A c -=，带入余弦定理整理可得22235a b c -=，所以222222222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B a c b ac b c a B A B b c a bbc+-⋅+-===+-+-⋅，带入22235a b c -=即可得解；（2）作AB 边上的高CE ，垂足为E ，因为tan ,tan CE CE A B AE BE ==，所tan tan A BEB AE=．又tan 4tan AB=，所以4BE AE =，因为点D 为边AB 的中点且10AB =，所以5,2,3BD AE DE ===，再根据勾股定理即可得解.【详解】（1）因为3cos cos 5a Bb Ac -=，所以2222223225c a b b c a a b ca bc +-+-⋅-⋅=，即22235a b c -=．又222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B ac b c a B A B bbc +-⋅==+-⋅，所以22222222tan 854tan 52A a c b c B b c a c +-==⨯=+-．（2）如图，作AB 边上的高CE ，垂足为E ，因为tan ,tan CE CE A B AE BE ==，所以tan tan A BEB AE=．又tan 4tan AB=，所以4BE AE =．因为点D 为边AB 的中点，10AB =，所以5,2,3BD AE DE ===．在直角三角形CDE 中，5CD =，所以22534CE =-=．在直角三角形BCE 中，8BE =，所以224845BC =+=．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S S ++=，11a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记121n n b a a a +=⋅⋅⋅，2log n n c b =，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）21n n T n =-+【解析】【分析】（1）采用作差法，验证1a 是否符合通式，即可求解{}n a 的通项公式；（2）求得()122n n n b +-=，化简得()12n n n c +=-，结合裂项求和法可求n T .【小问1详解】∵122n n S S ++=，∴122n n S S -+=()2n ≥，两式相减得120n n a a ++=()2n ≥.∴12nn a a +=-，又11a =，()12122a a a ++=，解得212a =-，∴112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；【小问2详解】∵121···n n b a a a +=⋅⋅⋅=01211112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅-⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1212n n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭()122n n +-=，∴()21log 2n n n n c b +==-，()1211211n c n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭，111111111212233411n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-⋅⋅⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1211n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭21n n =-+19.如图所示，在三棱柱ABF DCE -中，点G 、M 分别是线段AD 、BF 的中点.（1）求证：//AM 平面BEG ；（2）若三棱柱ABF DCE -的侧面ABCD 和ADEF 都是边长为2的正方形，平面ABCD ⊥平面ADEF ，求二面角E BG F --的余弦值；【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】取BE 中点N ，则MN 平行且等于12FE ，AG 也平行且等于12BC ，而BC 平行且等于EF ，所以MN 平行且等于AG ，因此四边形AMNG 为平行四边形，AM ∥GN ，又AM ⊄平面BEG ，GN ⊂平面BEG ，所以//AM 平面BEG ；【小问2详解】由已知易证,,AF AD AF AB AB AD ⊥⊥⊥建立以A 为原点，以,,AB AD AF的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,2,2)E ，(0,0,2)F ，(0,1,0)G ，(1,0,1)M ，所以(2,2,2),(2,1,0)=-=-BE BG ，设(,,)n x y z =为面BEG 的法向量，则()22201,2,120n BE x y z n n BG x y ⎧⋅=-++=⎪⇒=--⎨⋅=-+=⎪⎩，同理可求平面BFG 的法向量为(1,2,1)m =---，2cos ,3n m m n n m ⋅==⋅.所以二面角E BG F --的余弦值为23.20.为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造､智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平.一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计.某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管理软件服务公司有如下两种收费方案.方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务，每次另外收费200元；方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元.（1）设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图，该工厂要调查服务质量，现从服务次数为13次和14次的月份中任选3个月求这3个月，恰好是1个13次服务､2个14次服务的概率；（3）依据条形统计图中的数据，把频率视为概率从节约成本的角度考虑该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由.【答案】（1）方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：7600,15,500100,15,x x Nyx x x N∈⎧=⎨+>∈⎩；（2）715；（3）从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：y=7600,15,, 500100,15,.x x Nx x x N≤∈⎧⎨+>∈⎩（2）记选择的3个月恰好是1个13次服务､2个14次服务为事件A，根据条形图，利用组合数可得P(A)=12 28310 C C C=715，即求.（3）根据方案分别列出方案一与方案二中月收费的分布列，根据分布列求出数学期望，比较均值即可求解.【详解】解：（1）由题意知，方案一：中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为y=200x+4800，x∈N，方案二：当15x>，x∈N时，()760015500500100y x x=+-⨯=+，x∈N所以管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系为：y=7600,15,, 500100,15,.x x Nx x x N≤∈⎧⎨+>∈⎩（2）记选择的3个月恰好是1个13次服务､2个14次服务为事件A，则P(A)=1228310C CC=715.（3）对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为ξ元，由条形统计图得ξ的取值为7400，7600，7800，8000，8200，P(ξ=7400)=0.1，P(ξ=7600)=0.4，P(ξ=7800)=0.1，P(ξ=8000)=0.2，P(ξ=8200)=0.2，∴ξ的分布列为：ξ74007600780080008200 P0.10.40.10.20.2 E(ξ)=7400×0.1+7600×0.4+7800×0.1+8000×0.2+8200×0.2=7800.对于方案二，设管理软件服务公式的月收费为η元，由条形统计图得η的可能取值为7600，8100，8600，P(η=7600)=0.6，P(η=8100)=0.2，P(η=8600)=0.2，∴η的分布列为：η760081008600P0.60.20.2E(η)=7600×0.6+8100×0.2+8600×0.2=7900.∵E (ξ)<E (η)，∴从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适.21.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 到双曲线E 的一条渐近线y =（1）求双曲线E 的方程；（2）如图，过圆O ：221x y +=上一点M 作圆O 的切线l 与双曲线E 的左右两支分别交于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆经过双曲线E 的右顶点A ，求直线l 的方程．【答案】（1）2213y x -=（2）33y x =+或33y x =--【解析】【分析】（1）利用双曲线的性质即可求出双曲线的标准方程；（2）由已知直线l 的斜率存在，设l ：y kx m =+，联立双曲线E 与直线l 的方程，由根与系数的关系得12221222333mk x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，由0AP AQ ⋅= ，即可求出m 与k 的关系，由l 与圆O ：221x y +=相切，则2211d m k ==⇒=+，联立求出k 值即可．【小问1详解】由题可得21bc a a b ⎧⎧==⎪⎪⇒=⎨⎪==⎩，E 的方程：22 1.3y x -=【小问2详解】由已知直线l 的斜率存在，设l ：y kx m =+，l 与圆O ：221x y +=相切，则2211d m k ==⇒=+，联立双曲线E 与直线l 的方程：()222223303230x y k x mkx m y kx m⎧--=⇒----=⎨=+⎩，，设直线l 与双曲线E 的左右两支交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，所以()()2222221223044330303k k m m k m x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∆=++->⎨⎪+⎪=-<⎪-⎩，可得203k ≤<，所以212122223,33mk m x x x x k k++==---，又()()()112210,,A P x y Q x y ，,,，以P ，Q 为直径的圆经过双曲线的右顶点A ，所以AP AQ ⊥，0AP AQ ⋅=，又()()()()()()121212121111AP AQ x x y y x x kx m kx m ⋅=--+=--+++()()()2212121110k x x mk x x m =++-+++=，即()()()22222221321102033k m mk mk mm mk k k k ++--+++=⇒--=--()()202m k m k m k ⇒-+=⇒=或m k =-，①当m k =-时，点M 与右顶点A 重合，不合题意舍去；②当2m k =时，代入221m k =+，得213k =，3k =±，满足条件，所以直线l的方程为33y x =+或.33y x =--22.已知函数2()2ln f x x mx x =-+（m R ∈）.（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若45m <<，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求12()()f x f x -的取值范围.【答案】（1）4m ≤；（2）1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【解析】【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为22m x x≤+在(0,)+∞上恒成立，利用基本不等式求得22x x +的最小值即可得解；（2）由题意结合函数极值点的概念可得122m x x +=，121x x ⋅=，进而可得1112x <<，转化条件为21211211()()4ln f x f x x x x -=-+，令221()4ln g x x x x =-+（112x <<），利用导数求得函数()g x 的值域即可得解.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴2()20f x x m x '=-+≥在(0,)+∞上恒成立，即22m x x ≤+在(0,)+∞上恒成立，又224x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，∴4m ≤；（2）由题意2222()2x mx f x x m x x-+'=-+=，∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴12,x x 为方程2220x mx -+=的两个不相等的实数根，由韦达定理得122m x x +=，121x x ⋅=，∵120x x <<，∴1201x x <<<，又121112()2()(4,5)m x x x x =+=+∈，解得1112x <<，∴()()2212111222()()2ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+()()()()22121212122ln ln 2x x x x x x x x =-+--+-()()2221122ln ln x x x x =-+-2112114ln x x x =-+，设221()4ln g x x x x =-+（112x <<），则4222333242(21)2(1)()20x x x g x x x x x x---+--=-+='=<，∴()g x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，又1111544ln 4ln 22424g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，(1)1100g =-+=，∴150()4ln 24g x <<-，即12()()f x f x -的取值范围为1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，牢记函数单调性与导数的关系、合理转化条件是解题关键，属于中档题.。
2022高三数学联合诊断性考试理科
2022届重庆市高三联合诊断性测试第二次理科数学试卷本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.共150分,测试时间120分钟.第一卷〔选择题 共60分〕参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(球的外表积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径一、选择题：〔本大题12个小题,每题5分,共60分.〕1．集合},02|{},,01|{22R x x x x B R x x x A ∈>-+=∈>-=集合,那么A 、B 满足的关系是〔 〕A ．A ≠⊂BB ．B ≠⊂AC ．A=BD ．A ⊆B 或B ⊆A 2．x x f 26log )(=,那么)8(f 等于 〔 〕A ．21B ．34 C ．8D ．183．设)(x f 是定义在R 上的最小正周期为π35的函数,⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=),0[cos )0,32[sin )(ππx xx xx f ,那么)316(π-f 的值为〔 〕A ．－21 B ．21 C ．23-D ．23 4．函数)01(11)(2≤≤---=x x x f ,那么函数)(1x f y -=的图象是〔 〕5．设公比为q 〔|q|<1〕的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,且n n S p ∞→=lim .那么以下命题正确的是〔 〕A ．1-⋅=n n q p aB ．)1(n n q p a -=C ．)1(n n q p S -=D ．qq p S nn --=1)1(6．设a 、b 是不共线的两个非零向量,.2,,2b a CD b a BC b p a AB -=+=+=假设A 、B 、D 三点共线,那么p 的值为〔 〕A ．1B ．2C ．－2D ．－17．在7)1(+ax 的展开式中,x 3项的系数是x 2项系数与x 5项系数的等比中项,那么a 值为〔 〕A ．510B ．925C ．35 D ．3258．平面M 、N 都垂直于平面γ,且M ∩γ=a ,N ∩γ=b.给出四个命题：①假设b a ⊥,那么M ⊥N ；②假设a //b,那么M//N ；③假设M ⊥N,那么b a ⊥；④假设M//N,那么a //b. 以上命题中,正确命题的个数为 〔 〕A ．4B ．3C ．2D ．19．计算21lim 231--+-→x x x x 的值为〔 〕A ．31 B ．0C ．－31 D ．91-10．球面上有三个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61,经过这三个点的小圆的周长为4π.那么这个球的半径为 〔 〕A ．34B ．32C ．2D ．411．椭圆E 的离心率为e ,两焦点为F 1,F 2.抛物线C 以F 1为顶点,F 2为焦点.P 为两曲线的一个交点.假设e e PF PF 则.||||21=的值为〔 〕A ．33B ．23C ．22D ．3612．某火车站在节日期间的某个时刻候车旅客到达顶峰,此时旅客还在按一定的流量到达.如果只翻开三个检票口,需要半小时才能使所有滞留旅客通过检票口,如果翻开六个检票口那么只需10分钟就能让所有滞留旅客通过.现要求在5分钟内使所有滞留旅客通过,那么至少同时需要翻开的检票口数为〔假设每个窗口单位时间内的通过量相等〕〔 〕 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12第二卷〔非选择题 共90分〕二、填空题：〔本大题4个小题,每题4分,共16分,只填结果,不要过程〕.13．|163|,12++-+=z z z i z 则= . 14．设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点,F 1、F 2是左右焦点,假设0212=⋅F F PF , |PF 1|=6,那么该双曲线的方程为 . 15．向量)2sin 5,2cos2(BA B A a +-=的模为B A tan tan ,223⋅则的值为 . 16．定义一种“*〞运算：对于*N n ∈满足以下运算性质,〔1〕2*2=1；〔2〕〔2n+2〕*2=3〔2n*2〕.那么用含n 的代数式表示2n*2为 . 三、解做题：〔本大题6个小题,共74分,必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤〕. 17．〔12分〕函数54)(23+++=bx ax x x f 的图象在x =1处的切线方程为.12x y -=〔1〕求函数)(x f 的解析式； 〔2〕求函数)(x f 在[－3,1]上的最值.18．〔12分〕函数),(23cos cos sin 3)(2R x R x x x x f ∈∈+-⋅=ωωωω的最小正周期为π,且图象关于直线6π=x 对称.〔1〕求)(x f 的解析式；〔2〕假设函数)(1x f y -=的图象与直线y=a 在[0,2π]上只有一个交点,求实数a 的取值范围.19．〔12分〕在直角梯形P 1DCB 中,P 1D//CB,CD ⊥P 1D,且P 1D=6,BC=3,DC=6,A 是P 1D 的中点,沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置,使二面角P —CD —B 成45°角.设E 、F分别是线段AB、PD的中点.〔1〕求证：AF//平面PEC；〔2〕求PC与底面所成角的正弦值.20．〔12分〕设事件A发生的概率为P,假设在A发生的条件下发生B的概率为P′,那么由A 产生B的概率为P·P′.根据这一事实解答下题.一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、……、100,共101站,一枚棋子开始在第0站〔即P0=1〕,由棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次.假设硬币出现正面那么棋子向前跳动一站,出现反面那么向前跳动两站.直到棋子跳到第99站〔获胜〕或第100站〔失败〕时,游戏结束.硬币出现正、反面的概率相同,设棋子跳到第n 站时的概率为P n . 〔1〕求P 1,P 2,P 3；〔2〕设)1001(1≤≤-=-n P P a n n n ,求证：数列{}n a 是等比数列； 〔3〕求玩该游戏获胜的概率.21．〔12分〕两个动点A 、B 和一个定点M ),(00y x 均在抛物线)0(22>=p px y 上.设F 为抛物线的焦点,Q 为对称轴上一点,假设|||,||,|,0)21(FB FM FA AB AB QA 且=⋅+成等差数列.〔1〕求OQ 的坐标；〔2〕假设||OQ =3,||,2||AB FM 求=的取值范围.22．〔14分〕)].([)(,*2),()(,2)(1123x g f x g N n n x f x g ax x x f n n -=∈≥=-=时且当 〔1〕假设1)1(=f 且对任意*N n ∈,都有,)(00x x g n =求所有x 0组成的集合； 〔2〕假设3)1(>f ,是否存在区间A,对*N n ∈,当且仅当A x ∈时,就有,0)(<x g n如果存在,求出这样的区间A,如果不存在,说明理由.数学试题〔理科〕评分标准及参考答案一、选择题：〔本大题12个小题,每题5分,共60分〕BACBC DBADB AC二、填空题：〔本大题4个小题,每题4分,共16分〕13．2； 14．422=-y x ； 15．91； 16．3n —1 三、解做题：〔本大题6个小题,共74分〕17．〔12分〕解：〔1〕∵1)(,212)(2==++='x x f y b ax x x f 在而处的切线方程为x y 12-=,…………2分∴.18,312541221212)1()1(12-=-=⇒⎩⎨⎧-=+++-=++⇒⎩⎨⎧-='=-=b a b a b a f f k …………5分故,.51834)(23+--=x x x x f …………6分 〔2〕∵)32)(1(618612)(2-+=--='x x x x x f 令,0)(='x f 解得驻点为 .23,121=-=x x …………7分 那么)(x f 的增减性及极值如下： ………………9分∵驻点11-=x 属于[－3,1],且,12)1(,76)3(,16)1(-=-=-=-f f f 又…………11分 ∴)(x f 在[－3,1]上的最小值为－76,最大值为16.…………12分 18．〔12分〕解：〔1〕∵23cos cos sin 32+-⋅x x x ωωω =23)2cos 1(212sin 23++-x x ωω…………2分 =1)62sin(+-πωx ………………3分由f (x )的周期为,1|2|2,±=⇒=∴ωπωππ……4分 ∴1)62sin()(+-±=πx x f ………………5分1〕当16sin)6(,1)62sin()(,1+=+-==πππωf x x f 时不是最大或最小值,其图象不x〔－∞,－1〕－1 〔－1,3/2〕3/2 〔3/2,+∞〕)(x f '的符号+ 0 － 0 + f(x)增减性递增极大值16递减极小值－61/4递增关于6π=x 对称,舍去.……………………………………………6分2〕当012sin )6(,1)62sin()(,1=+-=++-=-=πππωf x x f 时是最小值,其图象关于6π=x 对称.………………………7分故,)62sin(1)(π+-=x x f 为所求解析式.…………………………………………8分〔2〕∵)62sin()(1π+=-=x x f y 在同一坐标系中作出)62sin(π+=x y 和y=a 的图象：……………………………………10分 由图可知,直线y=a 在1)21,21[=-∈a a 或时,两曲线只有一个交点, ∴.1)21,21[=-∈a a 或……………………12分 19．〔12分〕解法一：设PC 中点为G,连FG.……1分∵FG//CD//AE,且GF=AE CD =21∴AEGF 是平行四 边形,……2分∴AF//EG,EG ⊂平面PEC,∴AF//平面PEC.…………4分 〔2〕连接AC. ∵BA ⊥AD,BA ⊥AP 1, ∴BA ⊥AD,BA ⊥AP …………5分∴BA ⊥平面PAD …………①…………6分 又CD//BA,∴CD ⊥PD,CD ⊥AD,∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角, ∴∠PDA=45°.…………8分又PA=AD=3,∴△PAD 是等腰直角三角形, ∴PA ⊥AD …………②…………9分由①、② ∴PA ⊥平面ABCD,∴AC 是PC 在底面上的射影.…………10分 ∵PA=3,1563222=+=+=DC AD AC ,∴623152=+=PC , 那么46623sin ==∠PCA ,∴PC 与底面所成角的正弦值为.46…………12分 解法二：〔1〕设线段PC 的中点为G ,连结EG.…………1分 ∵)(2121CP DC BC DP BC DF AD AF ++=+=+= =EG CG EC CG BC EB CG AB BC =+=++=++21…………2分∴AF//EG,又EG ⊂平面PEC,AF ⊆平面PEC,…………3分∴AF//平面PEC.…………4分〔2〕∵BA ⊥P 1D,∴BA ⊥平面PAD …………①………………6分又CD//BA,∴CD ⊥PD,CD ⊥AD,∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角,∠PDA=45°.………8分 又PA=AD=3,∴△PAD 是等腰直角三角形,∴PA ⊥AD …② 由①、② ∴PA ⊥平面ABCD,………………9分设PA 与PC 所成的角为)20(πθθ≤< 那么PC 与平面ABCD 所成的角为.2θπ-……10分∵AD AP AB AD AP AC PC 又知,-+=-=、AB 、AP 两两互相垂直, 且.6993)(||||cos 6||,3||||++-+=⋅=⇒===AP AB AD PA PC PA AB AD AP θ4666=⋅=APAP ………………11分 故知PC 与底面所成角的正弦值为46.………………12分 20．〔12分〕解：〔1〕∵P 0=1,∴.8521432121,43212121,21321=⨯+⨯==+⨯==P P P ……3分 〔2〕棋子跳到第n 站,必是从第n －1站或第n －2站跳来的)1002(≤≤n ,所以212121--+=n n n P P P ………………5分 ∴)(212121212111--------=++-=-n n n n n n n P P P P P P P …………6分 ∴.21),1002(210111-=-=≤≤-=-P P a n a a n n 且…………7分 故{}n a 是公比为21-,首项为21-的等比数列.)1001(≤≤n …………8分 〔3〕由〔2〕知,9921a a a +++ =(P 1－P 0)+( P 2－P 1)+…+ (P 99－P 98)=992)21()21()21(-++-+-= ………………10分 ).211(323)21(11009999099-=⇒-+-=-⇒P P P ………………11分 故,获胜的概率为).211(3210099-=P …………12分21．〔12分〕解：〔1〕设.2||,2||,2||),,(),,(2012211p x FB p x FM p x FA y x B y x A +=+=+=则…1分 由|||,|,||FB FM FA 成等差数列,有.2)2()2()2(2210210x x x p x p x p x +=⇒+++=+…………2分 ∵,2,2222121px y px y ==两式相减,得.2212121y y p x x y y k AB +=--=…………3分 设AB 的中点为,0)21(),2,(210=⋅++AB AB QA y y x N ∴NQ 是AB 的垂直平分线,设).0,(Q x Q …………4分 ∴.1202,1,0221021021-=+⋅--+-=⋅--+=y y p x x y y k k x x y y k Q AB NQ Q NQ 得由…………5分 ∴,0p x x Q += ∴).0,(0p x Q +…………6分〔2〕由.2,122,3,2||,3||000==⇒=+=+==p x p x p x FM OQ 且得……7分 ∴抛物线为)0)(1(2:.42≠-=-=N NN y x y y y AB x y 为又直线…………8分 ∴有.0422)14(2222=-+-⇒-=-N N N N y y y y y y y y ……9分 ∴,16)42(4411||4222N N N ABy y y k AB -=--⋅+=…………10分 由,0,220≠<<-⇒>∆N N y y 且…………11分 ∴||AB 的取值范围为〔0,4〕.…………12分22．〔14分〕解：〔1〕由.1211)1(=⇒-=⇒=a a f ………………1分∴232)(x x x f -=……2分 当,0)12(2)()(020*********=--⇒=-==x x x x x x x f x g∴.2110000-===x x x 或或…………4分由题设,,)()]([)(000102x x f x g f x g ===……5分 假设00)(x x g k =,……6分 当n=k+1时,,)()]([)(00001x x f x g f x g k k ===+∴1)(00+==k n x x g n 对时也成立.……………………………………8分 ∴当0010)(x x g x =满足时,就有.)(00x x g n =∴所有x 0组成的集合为}.21,1,0{-………………………………………………9分 〔2〕假设.132)1(-<⇒>-=a a f …………………………………………10分 令,20)2(,02)()(2231a x a x x ax x x f x g <⇔<-<-==得…………11分 对于.2)(0)]([0)(,211a x g x g f x g n n n n <⇔<⇔<≥--…………12分 ∴假设对,0)(*<∈x g N n n 有必须且只须.0)(1<x g …………13分 ∴).2,(a A -∞=…………………………………………14分。
2021届重庆市高三上学期第一次联合诊断检测数学试题(解析版)
2021届重庆市高三上学期第一次联合诊断检测数学试题一、单选题1．设集合A ＝{x |-1≤x ≤4}，B ＝{x |x 2＜4}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |-2＜x ≤4} B ．{x |-1＜x ＜2}C ．{x |-2＜x ＜2}D ．{x |-1≤x ＜2}【答案】D【分析】化简集合B ，即得解. 【详解】由题得B ＝{x |22x -<<}， 所以A ∩B ＝{x |-1≤x ＜2}. 故选：D2．设复数z 满足(1)2z i i -=，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】首先根据题意得到21iz i=-，从而得到z 在复平面内对应点为()1,1-，即可得到答案.【详解】因为()()()22122222111112i i i i i z i i i i i +-+-+=====-+-+--， 所以z 在复平面内对应点为()1,1-，位于第二象限. 故选：B.3．命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3的否定为（ ）A ．∀x ∈N ，|x +2|＜3B ．∀x ∉N ，|x +2|＜3C ．∃x ∈N ，|x +2|≥3D ．∃x ∈N ，|x +2|＜3 【答案】D【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可. 【详解】因为命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3是全称命题， 所以其否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈N ，|x +2|≥3”的否定为：∃x ∈N ，|x +2|＜3. 故选：D .【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4．为打赢新冠肺炎疫情阻击战，防止境外输入病例，中国国际航空公司在重庆江北机场设定了3个国际航班定点隔离酒店，重庆某医院呼吸科从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离酒店进行核酸检测采样工作，则选派的3名医生中至少有1名女医生的概率是（ ） A ．2328B ．514C ．1556D ．27【答案】A【分析】利用组合计数原理、古典概型以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，所求概率为35381023115628C P C =-=-=. 故选：A.5．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2-4x -2y -4＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A．B ．4C ．6D．【答案】D【分析】直线与圆相交，弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解.【详解】圆x 2＋y 2-4x -2y -4＝0的圆心为(2,1)3= ，圆心到直线y ＝x ＋1=，=，则AB = . 故选：D【点睛】抓住直线和圆相交以后的几何特征，直角三角形，勾股定理解题. 6．已知,0a b >，8ab a b =++，则ab 的最小值为（ ） A ．4 B ．8C ．12D ．16【答案】D【分析】由基本不等式，得到88ab a b =++≥，结合不等式的解法，即可求解.【详解】由基本不等式，可得a b +≥a b =时等号成立，则88ab a b =++≥，即2)0≥，解得16ab ≥，当且仅当4a b ==时，ab 取到最小值16． 故选: D.7．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且||512||PT AT -=．若ES AP BQ λ-=（λ∈R ），则λ＝（ ）A ．51+ B 51- C ．51+ D 15-【答案】D【分析】根据图象的对称性和向量的运算法则，化简得到512RQ QB -=，即可求解. 【详解】根据图形的对称性，可得ES RC =，AP QC =，由和向量的运算法则，可得ES AP RC QC RC CQ RQ -=-=+=， 又由RQ PT =，||||BQ AT =，故512RQ QB -=，所以15λ-=． 故选：D.8．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，()()f x f x =-，当0x >时，()2'>f x x ，则关于x 的不等式()()244f x f x x -->-的解集为（ ）A ．（-∞，-1）∪（1，＋∞）B ．（-1，＋∞）C ．（-∞，1）D ．（-1，1）【答案】C【分析】根据已知条件构造函数()()2g x f x x =-，结合()g x 的单调性与奇偶性，得到不等式2x x ->，解不等式即可.【详解】当0x >时，()2'>f x x ，即()20f x x '->⇒()()20f x x '->，令()()2g x f x x =-，则函数()g x 在（0，＋∞）上单调递增，又()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，故()g x 为偶函数，()()244f x f x x -->-⇔()()()2222f x x f x x --->-，即()()2g x g x ->，∴2x x ->，解得1x <． 故选：C.【点睛】构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、多选题9．下表是某生活超市2020年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（ ）A ．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区B ．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区C ．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区D ．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过50% 【答案】BC【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断. 【详解】由题中数据知，营业收入最低的是其它类，A 错； 生鲜区的净利润占比65.8%50%>，故B 正确；生鲜区的营业利润率为65.8%32.5%50%48.6%⨯<，故D 错；同理可计算其他各区的营业利润率，显然日用品区为20.2%32.5%10.8%⨯，最高，故C 正确．故选：BC.10．已知函数()cos cos f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 在[0,]π上单调递减 C ．()f x 奇函数 D ．()f x 的图象关于直线x π=对称【答案】AD【分析】根据函数周期性的定义，可判定A 正确；由()()02f f ππ==，可判定B 不正确；由(0)0f ≠，可判定C 不正确；根据函数对称性的定义，可判定D 正确. 【详解】当20x π+≥时，cos 2cos(2)cos cos x x x x ππ+=+==， 当20x π+<时cos 2cos(2)cos()cos x x x x ππ+=--=-=， 又由cos(2)cos x x π+=，所以()()2f x f x π+=， 即2π为()f x 的周期，所以A 正确； 由()coscos0222f πππ=+=，()cos cos 0f πππ=+=，所以函数()f x 在[0,]π上不是单调递减函数，所以B 不正确；由(0)cos0cos 020f =+=≠，所以()f x 不是奇函数，所以C 不正确； 当20x π-≥时，cos 2cos(2)cos cos x x x x ππ-=-==， 当20x π-<时，cos 2cos(2)cos cos x x x x ππ-=-==， 又由cos(2)cos x x π-=，所以()(2)f x f x π-=， 所以函数()f x 的图象关于直线x π=对称，所以D 正确. 故选：AD.11．已知,,a b c ∈R ，且0b >，若1e ln ab c==，则,,a b c 的大小关系可以是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】ACD【分析】在同一坐标系中画出函数y ＝e x ，y ＝lnx ，1y x=的图象，然后观察y m =与他们的交点即可得到答案.【详解】如图，在同一坐标系中画出函数y ＝e x ，y ＝lnx ，1y x=的图象，当直线y m =与三者都相交时，交点的横坐标即为,,a b c 的值，由图知，当m 从大变到小时，依次出现c ＜a ＜b 、a ＜c ＜b 、a ＜b ＜c ．故选：ACD.12．已知数列{}n a 和各项均为正数的等比数列{}n b 满足：()122nini a i b=+=-∑，12b =，23b b +是3b 与4b 的等差中项，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n n a b -是等差数列B ．()11222n n n n S ++-=-C ．数列{}n a 是递增数列D ．11121ni i n a b =⎛⎫<- ⎪⎝⎭∑ 【答案】ABC【分析】设等比数列{}n b 的公比为q ，求出q 的值，可求得数列{}n b 的通项公式，根据已知条件可求得n S ，利用n a 与n S 的关系可求得数列{}n a 的通项公式，进而可判断各选项的正误.【详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可知，()23342b b b b +=+，即43220b b b --=，即222220b q b q b --=，因为20b ≠，故220q q --=，解得2q或1q =-（舍），所以，112n n n b b q-==，因为()()11122222nn i n n i n n a i S b +=++=+=-=-∑，故()11222n n n n S ++=--，B 选项正确；当1n =时，2112121a S ==--=. 当2n ≥时，()()11112222222n n n n n n n n n n a S S n +-+-⎡⎤⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 11a =满足2n n a n =-，所以，对任意的n *∈N ，2n n a n =-.所以，22n nn n a b n n -=--=-，故数列{}n n a b -是等差数列，A 选项正确； ()()11212210n n nn n a a n n ++⎡⎤-=-+--=->⎣⎦，故数列{}n a 为单调递增数列，C 选项正确；当1n =时，111a ，11211b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，矛盾，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】思路点睛：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求通项公式n a 的步骤： （1）当1n =时，11a S =；（2）当2n ≥时，根据n S 可得出1n S -，化简得出1n n n a S S -=-；（3）如果1a 满足当2n ≥时1n n n a S S -=-的通项公式，那么数列{}n a 的通项公式为1n n n a S S -=-；如果1a 不满足当2n ≥时1n n n a S S -=-的通项公式，那么数列{}n a 的通项公式要分段表示为11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.三、填空题13．若直线2x ＋y ＋4＝0经过抛物线y 2＝ax 的焦点，则实数a ＝________． 【答案】8-【分析】求出直线与x 轴的交点，由抛物线的焦点坐标即可求解.【详解】由抛物线y 2＝ax 的焦点在x 轴上，又直线2x ＋y ＋4＝0与x 轴的交点为()20-，， 所以抛物线y 2＝ax 的焦点为()20-，， 又抛物线y 2＝ax 的焦点为,04a ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以24a=-，则8a =-. 故答案为：8-.14．7(x的展开式中x 的系数为________．【答案】560【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得r 的值，代入即可求解. 【详解】由题意，二项式7(x-的展开式的通项为3772177((2)r r rr r rr T C xC x --+==-⋅，令4r =，可得4457(2)560T C x x =-⋅=，即x 的系数为560. 故答案为：560.15．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝2，c ＝3，A ＝2B ，则a ＝________．【分析】由A ＝2B ，得sin sin 2A B =，结合正弦二倍角公式与正余弦定理即可求解． 【详解】由A ＝2B ，得sin sin 2A B =，所以sin 2sin cos A B B = 由正弦定理得2cos a b B =，又由余弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅，代入b ＝2，c ＝3得a 2＝10，故a =16．在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝DA ＝AA 1＝2，以CD 中点O 为球心、OD 1为半径的球O 截侧面ABB 1A 1所得图形的面积为________． 【答案】π【分析】取AB 的中点1O ，则1OO AB ⊥，可得1OO ⊥平面11ABB A ，得到O 到侧面11ABB A 的距离为1OO =求得球O 截侧面11ABB A 所得的圆的半径为r =进而求得截面的面积.【详解】由题意，四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱，且底面ABCD 为等腰梯形，因为112,2DD AA CD ===，且O 为CD 的中点，所以1OD 取AB 的中点1O ，则1OO AB ⊥，可得1OO ⊥平面11ABB A ，又由O 到侧面11ABB A 的距离为1OO ==所以球O 截侧面11ABB A 所得的圆的半径为532r =-=，即球O 截侧面11ABB A 所得的图形是以1O 为圆心，半径为2的半圆， 所以截面的面积为21(2)2S ππ=⋅=. 故答案为：π.四、解答题17．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，有下列四个条件： ①4a =；②△ABC 的面积是272222322a bc c b +=+；④2b c=或12．请选择其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个“若________，则________”形式的命题（用序号填写即可），判断该命题的真假并说明理由． 【答案】答案见解析【分析】若①②③，则④：根据余弦定理以及三角形面积公式先求解出bc 、22b c +的值，再根据22b c bc+的结果进行判断；若①②④，则③：根据余弦定理以及三角形面积公式求解出bc 的值，再根据22,,a bc b c +的值进行判断；若①③④，则②：根据余弦定理求解出,sin bc A 的值，然后根据三角形面积公式求解出面积并进行判断；若②③④，则①：根据余弦定理以及三角形面积公式求解出sin ,A bc 的值，然后再利用余弦定理求解出a 的值并进行判断.【详解】解：若①②③，则④．此为真命题，理由如下：②sinbc A ⇒=③2223cos sin24b c aA Abc+-⇒==⇒==，故16bc=，222216340324b cb c+-=⇒+=，所以22405162b c b cbc c b+=+==，即2bc=或12；若①②④，则③．此为假命题，理由如下：②sinbc A⇒=④2252b c b cbc c b+⇒=+=，即2252b c bc+=，因为222516582cos224bcb c aAbc bc bc-+-===-，sin Abc=，且22sin cos1A A+=，所以225814bc⎛⎫-+=⎪⎝⎭⎝⎭，解得16bc=或1769，当16bc=时，()222580b c bc+==，223324880a bc+=+=，所以2222322a bc c b+=+成立，当1769bc=时，()22880259b c bc+==，21762728802332339a bc+=+=≠，所以2222322a bc c b+=+不成立；若①③④，则②．此为真命题，理由如下：③2223cos sin24b c aA Abc+-⇒==⇒==，④2252b c b cbc c b+⇒=+=，即2252b c bc+=，又因为222324b c abc+-=，所以5163224bcbc-=，所以16bc=，所以11sin16224ABCS bc A==⨯⨯=若②③④，则①．此为真命题，理由如下：②sinbc A⇒=③2223cos sin24b c aA Abc+-⇒==⇒==，故16bc=，④2252b c b c bc c b +⇒=+=，即225402b c bc +==，所以22232cos 4032164a b c bc A =+-=-⨯=，所以4a =. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于对条件的化简以及条件的结合使用，对于公式的熟练运用有一定要求，如③可用来求解A 的余弦值和正弦值，搭配②使用亦可求解出bc 的值.18．已知向量a ＝（sin x ，cos x ），π(cos()sin ,cos )6b x x x =++，函数()f x a b =⋅．（1）求f （x ）的单调递增区间； （2）若π1cos()63α-=，求f （α）．【答案】（1）(,)36k k k Z πππ-π+∈；（2）1336. 【分析】（1）先利用二倍角公式将函数化简，然后利用正弦函数单调性求解即可；（2）利用诱导公式将函数用πcos()6α-表示，然后代入数值即可求解.【详解】解：（1）1113()sin sin )12(cos 21)1sin(2)24264f x x x x x x x π=-+=+-+=++22226236k x k k x k k πππππππππ-<+<+⇒-<<+∈Z ，，∴f （x ）的单增区间为,36k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，； （2）21313131113()sin(2)cos(2)cos ()2642346249436f ααααπππ=++=-+=--+=+=．【点睛】易错点睛：第二问关键是得想到()f α用 πcos()6α-表示，通常思路为将π6α-乘以2，然后和26πα+找关系，一般会用到诱导公式转换.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，49S a =，6321a a =+． （1）求n a ； （2）设1n n b S n =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n T 与1n n a a +的大小，并说明理由．【答案】（1）31n a n =-；（2）1nn n a T a +<，理由见解析. 【分析】（1）将条件用1,a d 表示，然后解方程即可求出通项； （2）先求n T ，再用作差法比较大小.【详解】解：（1）4911146832S a a d a d a d =⇒+=+⇒=，631211a a d a =+⇒=+，∴12,3a d ==，∴23(1)31n a n n =+-=-； （2）由题知223131222n n S n n n +-=⋅=+，221211()331n b n n n n =⋅=-++ ∴211111212(1)(1)32231313(1)n nT n n n n =-+-++-=-=+++， 13132n n a n a n +-=+， 2132303(1)(32)n n n a n n T a n n +--+-=<++，故1nn n a T a +<． 20．2020年11月16日召开的经济形势专家和企业家座谈会全面分析了当前经济形势，并指出“注重开拓下沉市场特别是县乡市场，满足量大面广的基层需求，提升民生品质”等发展方向．某生产企业积极响应号召，决定将一批刚研发的新产品投入到县乡市场，为了解产品的销售量y （单位：件）与售价x （单位：元/件）之间的关系，现对该产品进行试销，得到售价x i 和销售量y i （i ＝1，2，…，6）的对应数据如下表所示．（1）若y 与x 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程y bx a =+； （2）若该产品每件成本为5元，试依据（1）中的回归方程，确定产品售价为多少元/件时，企业可获得最大利润？（结果取整数）参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．【答案】（1）ˆ4106y x =-+；（2）每件售价定为16元．【分析】（1）结合数据利用公式分别求出ˆa，ˆb 即可求出回归方程； （2）列出函数表达式后再求取得最值的条件即可. 【详解】解：（1）由题知 6.5x =，80y =，2360420498560600126 6.580ˆ41625364964816 6.5b+++++-⨯⨯==-+++++-⨯， ˆ80(4) 6.5106a=--⨯=， 故所求回归方程为ˆ4106yx =-+； （2）由题知，当每件售价定为x 元时，企业获利2(5)(4106)4126530z x x x x =--+=-+-，对称轴为x ＝15.75，故当x ＝16时，z 最大，即每件售价定为16元．21．已知函数()()211f x x a x x=+++，a ∈Z ． （1）当a ＝-1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）在区间（0，＋∞）上无零点，求a 的最小值． 【答案】（1）f（x ）在（-∞，0）和上单减，在)+∞上单增；（2）2- . 【分析】（1）利用导函数的正负判断原函数的增减，先求函数的导函数，再求出导函数大于0和小于0的区间，即是原函数的增减区间； （2）将函数无零点的问题转化为y a =与21()1g x x x=---没有交点，求出函数()g x 的值域()g x g ≤，估计32g -<<-，且a Z ∈，从而求出a 的最小值为2-.【详解】解：（1）21()f x x x =+，3'22121()2x f x x x x-=-=，'()0f x x >⇒>， 故f（x ）在（-∞，0）和上单减，在)+∞上单增； （2）21()01f x a x x =⇔=---，令21()1g x x x =---（x ＞0），则3'3322()1x g x x x-=-+=，'()00g x x >⇒<<，故g （x）在上单增，在)+∞上单减，x →0时g （x ）→-∞，11g =-=， x →＋∞时g （x ）→-∞，故f （x）无零点只需a g >，又3464()2327=>，故413<<，∴322<<，∴32g -<<-， ∴整数a 的最小值为-2．【点睛】理解原函数和导函数之间的关系，会将零点问题转化为函数图像交点个数问题，特别注意a Z ∈ .22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的四个顶点所围成的菱形边长为2，面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的下顶点作两条斜率之和为2的直线l 1，l 2，直线l 1，l 2与椭圆C 的另一交点分别为M ，N ，求点A （-1，0）到直线MN 的距离的最大值．【答案】（1）2213x y +=；（2【分析】（1）利用菱形的边长、面积与a ，b 的关系列出a 和b 的方程，求解即可得到答案；（2）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y kx m m =+≠±，联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理结合两条斜率之和为2，求出k 与m 的关系，从而得到直线恒过定点()1,1，再求解直线MN 的斜率不存在时也过该定点，从而分析点A 到直线MN 距离的最大值即可．【详解】（1）由题知2242a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得a =b ＝1，所以椭圆C 的方程为2213x y +=；（2）椭圆C 的下顶点为（0，-1），由题知M ，N 均不是椭圆的上下顶点，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m （m ≠±1），点M （x 1，y 1），N（x 2，y 2），由()2222231633013y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， Δ＝12（3k 2-m 2＋1）＞0，且122631km x x k +=-+，21223331m x x k -=+，①由题知1212112y y x x +++=，即1212112kx m kx m x x +++++=，即12122(1)2x x k m x x +++=， 将①式代入得262(1)233km k m m -++=-，整理得11k m -=-，即k ＋m ＝1， 所以直线MN 过点（1，1）当直线MN 的斜率不存在时，设M （x 0，y 0），N （x 0，-y 0）， 则0000112y y x x +-++=即x 0＝1， 综上，直线MN 恒过定点P （1，1）．当AP ⊥MN 时，点A 到直线MN的距离最远，即为||AP = 此时2k =-，m ＝3，Δ＝12（12-9＋1）＞0，这样的直线MN 存在， 故点A 到直线MN【点睛】关键点点睛：设直线MN 的方程为y kx m =+，得出直线过定点()1,1P ，从而当AP ⊥MN 时，点A 到直线MN 的距离最远是解题的关键.。
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参考答案
一、选择题
一、1.A 2.B 3.D 4.B 5.A 6.(理)B (文)A 7.D 8.B 9.D 10.A 11.C 12.A 二、填空题
13.50 14.5 15. 60°或(或
3
π
)；16.
17.解：(Ⅰ)由1＜log 3｜x -1｜＜2得3＜｜x -1｜＜9 2分 即，3＜x -1＜9或-9＜x -1＜
-3 4 解得，3＜x ＜10或-8＜x ＜
-2 6
(Ⅱ)当x ∈(1，+∞)时，f (x )=log 3｜x -1｜是增函数，设1＜x 1＜x
2
则f (x 1)-f (x 2)=log 3｜x 1-1｜-log 3｜x 2-1｜=log 31
121--x x
8
分
∵1＜x 1＜x 2 ∴｜x 1-1｜＜｜x 2-1｜ ∴0＜
1121--x x ＜1 10分
∴log 31
121--x x ＜0 即f (x 1)＜f (x 2
)
∴f (x )=log 3｜x -1｜是增函数. 12分 18.解：(Ⅰ)∵｜ｚ｜＝22
)2cos 2
11(cos
2θθ++ 2分
22cos 22cos 4
1
2++=θθ 8)42(cos 2
1
2-+=θ
4
∵9≤(cos2θ+4)2≤
25
∴｜z ｜∈［
2
17
,
21］ 6分 (Ⅱ)设arg z =
α
∵παθ 0,0)2cos 2
1
1(+
则｜tg α｜=θθθθ
ocs 21cos 2
1cos 22cos 21
1+
=+
8
≥
12
1
2
2
1=⋅
10
∴α≥
4π ∴arg z 的最小值为4
π
12
19.解：(Ⅰ)由题意，点P n (a n ,b n )在点(n ,0)与(n +1,0)
∴a n =
2
1
21+=++n n n
3 ∴b n =(a n )2
=(n +2
1)2
6
(Ⅱ)∵C n =
]1
1
1[21221212+-⋅=+=+-n n n n n a b n n
8
)]1
1
3121211(21[lim )(lim 21+-+-+-⋅=+++∞→∞→n c c c n n n )]111(21[lim +-⋅=∞→n n
10 =2
1
12
分
20.解：(Ⅰ)设BN ∩MB 1=P
CBN M BB BCN Rt BM B Rt CN BM BC BB ∠=∠⇒∆≅∆⇒⎭
⎬⎫
==111
而∠CBN 与∠NBB 1互为余角，
∴∠BB 1M 与∠NBB 1也互为余角.
∠B 1PB =90°，即BN ⊥MB 1 ①
2
1111B BCC AM BC AM B BCC ABC 平面又面⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥BN AM ⊥⇒
由①②，∴BN ⊥平面AMB 1
. 4 (Ⅱ)由AM ⊥平面BCC 1B 1AM ⊥MB ，且AM ⊥MB
1
∠BMB 1为二面角B —AM —B 1的平面角
6
∴tg BMB 1=
22
4
1==BM BB ∴二面角B —AM —B 1的正切值为
2. 8 (Ⅲ)N BB A N AB B V V 11--= =
.33
1632421313121=⋅⋅⋅=⋅AM S N BB
12
21.(Ⅰ)设使用n 月后的月平均消耗为y (元)，则
n
n n n n
n n y 4
4
10300)1(30010000 10300]3000)1(600[)3000600()3000(7000⨯+-⋅+=
⨯++-+++++⋅=
97003003000000
++=
n n
(文6、理3分) (Ⅱ)y ≥2
n n
3003000000
⋅+9700=69700(元
) ∴当且仅当
n
3000000
=300n ，即n =100(月)时，平均成本最低. (文12、理6分) (Ⅲ)设第n 年后可以收回成本.由题意则有
50+50·(1-5%)+50·(1-5%)2+…+50·(1-5%)n -1
≥300 (8)
分
即
7.03.0195.0,695
.0195.01=-≤≥--n n
10
分 ∴n ≥
7022
.0154
.015.9lg 17lg 95.0lg 7.0lg ==--=
故，7年后刚好可以收回成本
. 12
22.解：(Ⅰ)由y 2
=4x 知，焦点F 为(1，0)，准线L ：x
=-1 设C 1中，点P (x,y ),B (p,q )，由定比分点公式x =
2
10
2,2112+⨯+=+⨯+q y p 得B 的坐标为
B (3x -2,3y ) (文3、理2分
)
再设椭圆中心为O ′，B 在准线L 上的射影为B
则有
a
c
FB
O F B B BF =
'=
'
即
2
2
2
2)
3()33(1231
23)3()33(y x x x y x ++---=+-+- (文6、理4分)
化简，得C 2：y 2
=)1(3
2
-x (文8、理6分
)
(Ⅱ)由⎪⎩
⎪⎨⎧-==++)1(2102x y m y x 可得，3y 2
=2(-m-y -1) (文10分)
3y 2
+2y +2m +2=0，由Δ=4-12(2m +2)=-24m -20＞0 (文12、理7分
) 得m ＜-6
5
(文14、理8分)(Ⅲ)设交点M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2),则y 1+y 2=-3
)
1(2,3221+=⋅m y y
若以MN 为直径的圆过原点，那么OM ⊥ON ，有K OM ×K ON
=-1
,1
2
2
21-=⋅x y x y 即y 1y 2+x 1x 2=0 10
将x =-y-m 代入上式，得2y 1y 2+m (y 1+y 2)+m 2
=0
∴
3
23)1(42=+-+m m
m 12
整理为3m 2
+2m +4=0
Δ=4-12×4＜0
因满足条件的实数m 不存在，故不存在以MN 为直径的圆过原点. 14分。