高三第二次月考数学(理)试卷答案

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广东省汕头市峡晖中学2015届高三第二次月考数学(理)试题 Word版含答案

峡晖中学2014--2015年高三第二次月考试卷答案数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则∁U (A ∩B )＝( C )A ．(－∞，3)∪(5，＋∞)B ．(－∞，3]∪[5，＋∞)C ．(－∞，3)∪[5，＋∞)D ．(－∞，3]∪(5，＋∞)解析：选C x 2－7x ＋10<0⇔(x －2)·(x －5)<0⇒2<x <5，A ∩B ＝{x |3≤x <5}，故∁U (A ∩B )＝(－∞，3)∪[5，＋∞)．2. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ( A )A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i3．已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( A )A ．3B ．6C ．12D.32解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α ＝2＋2tan α＝3.4．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2,3，…)”是“{a n }为递增数列”的( A )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵a n ＋1>|a n |，∴a n ＋1>a n ，∴数列{a n }为递增数列，但是{a n }为递增数列不一定能得到a n ＋1>|a n |，如数列为－4，－2，－1，….虽然为递增数列，但是不满足a n ＋1>|a n |.故选A. 答案 A5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( D ) A ．1 B ．2 C.32D. 3解析：选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cos π3＝3⇒a ＝ 3.6.如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为( D )A.3 B ．2 3 C ．43 D ．4解析：选D 依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为8×⎝⎛⎭⎫12×1×1＝4.7．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 ( B )． A.115B.35C.815D.1415解析从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 答案 B8、将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时, 数表的所有可能的“特征值”最大值为( D )． A ．3 B ．43C ．2D ．32二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分．(一)必做题(9～13题)9．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________.解析：a ·b ＝2×3×32＝3.答案：310．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为－sin x11．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是 207解析 (1－x 3)(1＋x )10＝(1＋x )10－x 3(1＋x )10＝(C 510－C 210)x 5＋…＝207x 5＋….12．执行如图所示的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝________.解析依次执行S ＝12<0.8，n ＝2；S ＝12＋122<0.8，n ＝3；S ＝12＋122＋123>0.8，n ＝4，故输出4. 答案 413．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 960种(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程选做题）已知C 的参数方程为3cos 3sin x ty t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，C 在点（0，3）处的切线为l ，则l 的方程为 y=3 .15.（几何证明选讲选做题）如图4，在ABC ∆中，AB =BC ，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ， BD =4，72=CD ，则AC 的长等于273 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3，所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.17．(本题满分12分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如22⨯列联表随机变量))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=. )(2k K P ≥与k 对应值表：已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是15. (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关?(Ⅱ)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X 的分布列和数学期望. 【答案】【解析】(Ⅰ)由已知数据得:2230(10866) 1.158 3.84116141614χ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关 (Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2.282144(0),13C C P X === 116821448(1),91C C C P X ===2621415(2),91C C P X ===所以XX 的数学期望为:012.1391917EX =⨯+⨯+⨯=18．(本题满分14分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．解：(1)证明：因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC .所以ED ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 所以DE ⊥A 1C . 又因为A 1C ⊥CD . 所以A 1C ⊥平面BCDE .(2)如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ，则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1, 3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 n ·1A B ＝0，n ·BE =0.又1A B (3,0－＝ (－1,2，0)，所以⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝ 3. 所以n ＝(2,1，3)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.因为CM ＝所以sin θ＝|cos 〈n , CM 〉|＝|n ·CM |n ||CM ||＝48×4＝22.所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.(3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]．设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则 m ·1A D ＝0，m ·DP ＝0. 又1A D ＝(0，2，－23),DP ＝(p ，－2,0)，所以⎩⎨⎧2y －2 3z ＝0，px －2y ＝0.令x ＝2，则y ＝p ，z ＝p 3. 所以m ＝(2，p ，p 3)．平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直． 19．(本题满分14分)设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≥b n ＋1；②b n ≤M (n ∈N *，M 是常数)的无穷数列{b n }叫“嘉文”数列．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝aa －1(a n－1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n a n ＋1，若数列{b n }为等比数列，求a 的值，并证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．解：(1)因为S 1＝aa －1(a 1－1)＝a 1，所以a 1＝a .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a a －1(a n －a n －1)，整理得a na n －1＝a ，即数列{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．所以a n ＝a · a n －1＝a n .(2)由(1)知，b n ＝2×aa －1(a n －1)a n ＋1＝(3a －1)a n －2a(a －1)a n ，(*)由数列{b n }是等比数列，则b 22＝b 1·b 3，故⎝⎛⎭⎫3a ＋2a 2＝3·3a 2＋2a ＋2a 2，解得a ＝13，再将a ＝13代入(*)式得b n ＝3n ，故数列{b n }为等比数列，所以a ＝13.由于1b n ＋1b n ＋22＝13n ＋13n ＋22>2 13n ·13n ＋22＝13n 1＝1b n ＋1，满足条件①；由于1b n ＝13n ≤13，故存在M ≥13满足条件②.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．20．(本题满分14分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得|AC |＝|BC |？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k2k 2＋1.∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1， ∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m . ∴当0≤m ＜12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ；当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l . 21．(本题满分14分)设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R. (1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求p 的取值范围．解：(1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)．所以f ′(x )＝1x－1.由f ′(x )＝1x－1>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)＝x ln x ＋p (x 2－1)(x >0)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px . 由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0，即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意； ②当－12<p <0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫1，－12p ，则ln x >0，1＋2px >0，从而g ′(x )＝ln x ＋1＋2px >0，即函数g (x )在⎝⎛⎫1，－12p 上单调递增，从而存在x 0∈⎝⎛⎭⎫1，－12p 使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意；③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意．综上所述，实数p 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12.。

湖南省长沙市2025届高三上学期第二次月考数学试卷含答案

湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。

天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试卷

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答案第31 页，共22 页
【详解】设{an
-
n}
的公比为
q
，则
q
=
a2 a1
-2 -1
=
11- 2 4 -1
=
3
，
所以 an - n = (a1 -1) × qn-1 = (4 -1) ×3n-1 = 3n ，则 an = n + 3n ，
所以 a4 = 4 + 34 = 85 ，
所以落在区间[4,85] 内的偶数共有 41 个，故t (a4 ) = 41 .
11．在
æ çè
3x2
-
2 x
ö5 ÷ø
的展开式中，
x
的系数是
．
三、双空题
12．已知直线 l : y = kx - 2(k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 相切，且被圆 x2 + ( y + a)2 = 4(a > 0) 截
得的弦长为 2 3 ，则 k = ； a = ．
四、填空题
13．锐角a
(2)求数列{anbn} 的前 n 项和 Sn ；
å (3)若数列{dn} 满足 d1 = 1 ， dn + dn+1 = bn ，记Tn =
n
dk
m ．是否存在整数，使得对
b k =1 2k
任意的 n Î N * 都有1 £
mTn
-
dn b2n
<
m 2 成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
故选：C. 9．B
【分析】根据三角函数的变换规则求出 g ( x) 的解析式，再根据正弦函数的性质判断
A、C、D，利用诱导公式判断 B.

2020-2021学年湖南省雅礼中学高三(下)第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。

2019-2020学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科)(含答案)

2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。

2021-2022年高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案

2021-2022年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}，则A∩（）=（）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y= (D)y=lg|x|3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知函数则f(f())的值是( ) (A)9(B)(C)-9(D)-5.若a=log 20.9,则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b(D)b<c<a6.若函数y=-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) (A)a>1(B)a ≤2 (C)1<a ≤2(D)a ≤1或a>28.函数f(x)=的大致图象为( )9．设函数f （x ）=x 2+xsinx ，对任意x 1，x 2∈（﹣π，π），若f （x 1）＞f （x 2），则下列式子成立的是（） A ．x 1＞x 2B ．C ．x 1＞|x 2|D ．|x 1|＜|x 2|10函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( ) (A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，，则M∩N=_____ 12．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是 [﹣1，0]，则a+b= ．13.已知p:≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .14．若f （x ）=是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为． 15.若方程有正数解，则实数的取值范围是_______三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知p ：∀x ∈R ，2x ＞m （x 2+1），q ：∃x 0∈R ， x+2x 0﹣m ﹣1=0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．17、（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．19．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （13分）已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.21、 (14分)已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值；（Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=x 2﹣2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得 f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围．高三数学第一次检测题答案解析1. C ．2.C.3.D.4.B.5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣xsin （﹣x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∴f （﹣x ）=f （|x|）；∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．10.选A.由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）的零点，即求f（x）＝g（x）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.11、解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．12、解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：13.q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.由于p是﹁q的充分不必要条件,故a111a2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a≤.答案:[0,]14、解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）15.16、解：不等式2x＞m（x2+1），等价为mx2﹣2x+m＜0，若m=0，则﹣2x＜0，即x＞0，不满足条件．若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m＜﹣1．即p：m＜﹣1．———————————————————————4分若∃x0∈R，x+2x﹣m﹣1=0，则△=4+4（m+1）≥0，解得m≥﹣2，即q：m≥﹣2．———————————————————————8分若p∧q为真，则p与q同时为真，则，即﹣2≤m＜﹣1————12分17、解：（1）⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；————————————4分（2）∵，∴f（x）是奇函数；————————————————————————————6分（3）设0＜x1＜x2＜1，则∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减——————————————————12分另解：∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，1）内是减函数．—————————————————12分18、解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴且f′（1）=﹣2a≥0∴a≤0———4分（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴∴∴a=4——6分∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；∴x=3时，函数取得最小值﹣18∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．————————————————12分19、解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v （x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．——————4分（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．—————————————————————————10分答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．——————————————————————————12分20.(1)∵f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2,∴f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,∴f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f′(1)=e得：f(x)=e x-x+x2.—————————4分设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,∴y=g(x)在R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，∴f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2且单调递增区间为（0，+∞),单调递减区间为（-∞,0).————————————-4分(2)由f(x)≥x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增.x→-∞时，h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.——————————6分②当a+1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a+1),由h′(x)<0得x<ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8分得当x=ln(a+1)时，h(x)min（a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0).令F(x)=x2-x2ln x(x>0)，则F′(x)=x（1-2ln x),——————10分由F′(x)>0得0<x<,由F′(x)<0得x>,当x=时，F（x)=,∴当a=-1,b=时，（a+1)b的最大值为.—————————max—————————————13分21、解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．————————————4分（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．————————————8分（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．——————————————————12分②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．————————————————14分21072 5250 剐31873 7C81 粁31426 7AC2 竂z33043 8113 脓e35722 8B8A 變 39463 9A27 騧K34467 86A3 蚣38124 94EC 铬=40272 9D50 鵐。

数学丨天津市实验中学205届高三10月第二次月考数学试卷及答案

2025届⾼三年级第⼆次质量调查数学学科试卷命题⼈：⾼三数学备课组审核⼈：⾼三数学备课组⼀、单选题：本题共9⼩题，每⼩题5分，共45分。

在每⼩题给出的选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

1.设集合，，则()A. B. C. D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.3.设点不共线，则“与的夹⻆是锐⻆”是“”的()A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数的部分图象⼤致是()A. B. C. D.5.若，则的⼤⼩关系是()A.B.C.D.6.已知，，则()A. B. C. D.7.设等差数列满⾜，且，为其前n项和，则数列的最⼤项为()A. B. C. D.8.已知数列的前项和为，⾸项，且满⾜，则的值为）A. B. C. D.9．已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．⼆、填空题：本题共6⼩题，每⼩题5分，共30分。

10.复数满⾜，则________.11.在的展开式中，的系数是______．12.函数（其中，，）的图象如图所示，则在点处的切线⽅程为．13.设⽀枪中有⽀未经试射校正，⽀已校正．⼀射⼿⽤校正过的枪射击，中靶率为，⽤未校正过的枪射击，中靶率为.该射⼿任取⼀⽀枪射击，中靶的概率是__________，若任取⼀⽀枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率__________.14.已知函数在上的值域为，则的取值范围为__________.15.在中，，，若为其重⼼，试⽤，表示为__________；若为其外⼼，满⾜，且，则的最⼤值为__________.三、解答题：本题共5⼩题，共75分。

解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本⼩题满分14分）在中，内⻆所对的边分别为，且.（1）求⻆的⼤⼩；（2）若，.（i）求的值；（ii）求的值.17.（本⼩题满分15分）已知数列的前n项和为，且对任意的有（1）证明：数列为等⽐数列;（2）求数列的前n项和18.（本⼩题满分15分）已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）求在闭区间上的最⼤值和最⼩值；（3）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上所有零点之和.19.（本⼩题满分15分）设是等差数列，其前项和为（），为等⽐数列，公⽐⼤于1．已知，，，．（1）求和的通项公式；（2）设，求的前项和；（3）设，求证：．20.（本⼩题满分16分）已知函数，．（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若在，上存在⼀点，使得成⽴，求的取值范围．2025届高三年级第二次质量调查数学学科试卷命题人：高三数学备课组审核人：高三数学备课组参考答案一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

高三第二次月考数学试卷(附答案)

高三第二次月考数学试卷（卷面150分,考试时间120分钟）卷Ⅰ一. 选择题:(共12小题,每小题5分共60分,每小题只有一个正确选项)1. 定义{}A B x x A x B -=∈∉且,若{}1,2,3,4,5M =,{}2,3,6N =,则N M -等于 A. M B. N C. {}1,4,5 D.{}62. 非空数集{}1,2,3,4,5S ⊆ ,且S 还满足条件:若,a S ∈则 6a S -∈ ,则符合上述条件的S 集合的个数为A. 4B. 5C. 6D. 73. 设集合{}22,A x x x R =-≤∈,{}2,12B y y x x ==--≤≤, 则()R C A B ⋂等于 A. R B. {}0x x R x ∈≠且 C. {}0 D. ∅4. 已知函数()2f x x bx c =++ 对任意实数x 都有()()1f x f x +=- ,则下面不等式成立的是 A. ()()()202f f f - B. ()()()220f f f - C. ()()()022f f f - D. ()()()202f f f -5. 函数()3,f x x x x R =+∈,当02πθ≤≤时,()()sin 10f m f m θ+-恒成立,则实数m 的取值范围是A. ()0,1B. (),0-∞C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. (),1-∞6. 数列{}n a 为等差数列,n S 为其n 前项的和,147a a a ++=21 ,3699a a a ++=,则9S 等于A. 15B. 40C. 45D. 50 7. 在等比数列{}n a 中,7114146,5a a a a ⋅=+=,则2010a a = A.2332或 B. 23 C. 32 D. 131或-2 8. 化简()11111121231234123n N n*+++++∈+++++++++的结果是 A. 1n n + B.21n n + C. 221n n + D. 21nn +9.已知[)1sin cos ,,tan 5αααπα+=∈且0,则的值为A. 43-B. 34-C. 34D. 4310. 函数()()sin 0y x ωω=在区间[]0,1上存在对称轴,则ω的最小值为A.4π B. 2πC. πD. 2π 11. 如果4x π≤ , ,那么函数()2cos sinf x x x =+的最小值是A.12 B. 12- C. 1- D. 12. 函数()f x 在R 上是增函数, ()0,2A ,()4,2B 是其图象上的两个点,则不等式()22f x +的解集是A. ()(),22,-∞-⋃+∞B.()2,2-C. ()(),04,-∞+∞D.()0,4二.填空题:(共4小题,每小题5分,共20分,请将答案直接填在题中的横线上)13.若y = 的定义域为R ，则a 的取值范围 . 14.已知()()l o g 2a fx a x =-在[]0,1上是减函数,则a 的取值范围是 .15. 设数列{}n a 的通项为()27n a n n N *=-∈,则1215a a a +++=16. 在ABC ∆3中，已知sinB=5,5cos 13A =,则cos C = .三.解答题:(共6小题,共70分,解答应写出文字说明,推导过程或演算步骤)17.(本题满分10分)已知向量()()sin ,0,cos ,1a x b x →→==，其中203xπ，求12a →的取值范围。

广东省深圳外国语学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题(含答案)

深圳外国语学校2024-2025学年度高三第一学期第二次月考数学试题试卷共4页，卷面满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知命题，则命题的否定为（）A. B.C. D.3.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C.D.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.5.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（）A.1B.2C.3D.46.已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为{{},21x A xy B y y ====+∣∣A B ⋂=(]1,2(]0,1[]1,2[]0,2:1,1p x x ∀>>p 1,1x x ∀><1,1x x ∀≤>1,1x x ∃>≤1,1x x ∃≤≤()()3x x a f x -=30,2⎛⎫⎪⎝⎭a (),1∞--[)3,0-(]0,1[)3,∞+()1cos ex x xf x -=a b c ､､2240a ab b c -+-=c ab 236a b c+-()f x (),e xy f x =+R ()3e xy f x =-()ln3f（）A.B.3C.D.7.已知三倍角公式，则的值所在的区间是（）A. B. C. D.8.已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）A.B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若函数定义域为，则函数的定义域为B.若定义域为的函数值域为，则函数的值域为C.函数与的图象关于直线对称D.成立的一个必要条件是10.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（）A.的图象关于点对称B.是以8为周期的周期函数C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.731031133sin33sin 4sin ααα=-sin10 11,43⎛⎫⎪⎝⎭11,54⎛⎫ ⎪⎝⎭11,65⎛⎫ ⎪⎝⎭11,76⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=(),x f x ()g x m ()0,2()0,8[)2,8(),0∞-()f x []1,3()21f x +[]0,1R ()f x []1,5()21f x +[]0,215xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭5log y x =-y x =a b >1a b ->log 1a b >a b <1ab a b+>+11a b a b ->-11a b a b+<+R ()f x ()g x ()()21f x g x ++-=()f x ()2,1()f x ()()8g x g x +=20241(42)2025k f k =-=∑12.已知函数，则__________.13.已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是__________.14.若，则的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求c 的取值范围.16.（本小题满分15分）记的角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若点是边上一点，且，求的值.17.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.（1）若，求证：平面；（2）若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；()cos2f x x =066lim x f x f xππ∆→⎛⎫⎛⎫+∆-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∆()223,2(06log ,2a x x x f x a x x ⎧-++≤=>⎨+>⎩1)a ≠()f x (],4∞-a ()e 1xa xb ≥++()1a b +()32.f x x ax bx c =+++().y f x =()()0,0f 4a b ==()f x ABC V ,,A B C ,,a b c sin sin sin A B Cb c a b-=++A D BC ,2AB AD CD BD ⊥=sin ADB ∠P ABCD -ABCD π3ABC ∠=E AD P H EC M PC 2CM MP =PE ∥MBD ,PB EM PC EC ⊥=M B EM C --()()()2ln 1cos 2g x x x =--+--()f x ()g x 1x =-()f x（2）在定义域内恒成立，求a 的值；（3）求证：，.19.（本小题满分17分）设集合，其中.若集合的任意两个不同的非空子集，都满足集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等，则称集合具有性质.（1）试分别判断在集合与是否具有性质P ，不必说明理由；（2）已知集合具有性质P .①记，求证：对于任意正整数，都有；②令，，求证：；（3）在（2）的条件下，求的最大值.()1f x ax -≤2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑*n ∈N {}()12,,,3n S a a a n =≥ *,1,2,,i a i n ∈=N S A B ､A B S P {}11,2,3,4S ={}21,2,4,8S ={}12,,,n S a a a = 121kik i aa a a ==+++∑L k n ≤121kk i i a =≥-∑12i i i d a -=-1kk ii D d==∑0k D ≥12111na a a +++深圳外国语学校2025届高三第二次月考数学答案一､选择题：题号1234567891011答案ACDADDCBACBDABC二､填空题12. 13.14.三､解答题15.解：（1）由，得.因为，，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，，所以.令，得，解得或.与在区间上的情况如下：所以，当且时，⎫⎪⎪⎭e2()32f x x ax bx c =+++()232f x x ax b =++'()0f c =()0f b '=()y f x =()()0,0f y bx c =+4a b ==()3244f x x x x c =+++()2384f x x x =++'()0f x '=23840x x ++=2x =-23x =-()f x ()f x '(),-∞+∞x(),2-∞-2-22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭23-2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x Zc]3227c -Z0c >32027c -<存在，，，使得.由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点.16.（1）由及正弦定理得，整理得，所以由余弦定理得：因为，所以.（2），记，则.在中，.①在中，由正弦定理得.②由①②及得，解得.由，解得.17.（1）设，因为底面是边长为2的菱形，所以，对角线BD 平分，又为棱的中点，所以，在中，根据角平分线性质定理得，又，所以，所以，，平面，且平面平面.()14,2x ∈--222,3x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()1230f x f x f x ===()f x 320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()3244f x x x x c =+++sin sin sin A B C b c a b -=++a b cb c a b-=++222a b c bc =++2221cos ,22b c a A bc +-==-()0,πA ∈2π3A =π6DAC BAC BAD ∠=∠-∠=ADB α∠=π6C DAC αα∠=-∠=-Rt ABD V cos AD BD α=ADC V ππsinsin 66AD CDα=⎛⎫- ⎪⎝⎭2CD BD =cos 2ππsin sin 66αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭4=tan α=22πtan cos 1,0,2αααα⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭sin α=sin ADB ∠=BD CE N ⋂=ABCD CD AB =ADC ∠E AD 2CD AB DE ==ADC V 2CN CDNE DE==2CM MP =2CM MP =2CN CMNE MP==MN ∴∥PE PE ⊄MBD MN ⊂,MBD PE ∴∥MBD（2）平面，且平面，，因为，所以，在中，，，所以是等边三角形，又为棱的中点，所以，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面ABCD ，平面，又平面，，又，平面，平面，且平面，.因为P 在底面的投影H 为线段的中点，所以，又所以为等边三角形，故为中点，所以在底面上的投影为的中点.在中，，，以为原点，分别以为轴，以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，所以，，设是平面的一个法向量，则，令，则，即，平面，是平面的一个法向量，PH ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PHBC ∴⊥π3ABC∠=2π3BCD ∠=ACD V CD AB =π3ABC ∠=ACD V E AD BC CE ⊥PH ⊥ ABCD PH⊂PCE PCE ⊥ABCD PCE ⋂ABCD =CE BC ⊂BC ∴⊥PEC EM ⊂PEC BC EM ∴⊥PB EM ⊥ ,,PB BC B PB BC ⋂=⊂PBC EM ∴⊥PBC PC ⊂PBC EM PC ∴⊥EC PC PE =PC CE =PCE V MPC M ABCD CH CDE V CE ===3,2CEAD PH ⊥== C ,CB CE ,x y C ABCD z ()()()30,0,0,2,0,0,,4C B E M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()32,,4EB ME ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭(),,n x y z = EBM 0203004n EB x n ME y z ⎧⋅=⇒=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 2y =x z ==2,n =BC ⊥ PEC ()2,0,0CB ∴=PEC因为二面角是一个锐角，所以二面角18.（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，则其关于对称的点在图像上，则，则，故，；（2）令，，则在在恒成立，又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，，，下证当时，在恒成立，令，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，.（3）由（2）可知：，则，即，则，又由（2）可知：在上恒成立，则在上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，cos ,n CB n CB n CB⋅∴===⋅B EMC --B EM C --()f x ()00,x y 1x =-()002,x y --()g x 000()(2)y f x g x ==--0000()(2)2ln(1)cos f x g x x x =--=++0(1)x >-()()2ln 1cos f x x x =++()1x >-()()()12ln 1cos 1h x f x ax x x ax =--=++--()1x >-()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()00h =()h x (1,)x ∈-+∞0x =()h x 2()sin 1h x x a x '=--+(0)202h a a '=-=⇒=2a =()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()ln(1)x x x ϕ=+-1()111x x x x ϕ'=-=-++()1,0x ∈-()0x ϕ'>()x ϕ()1,0-(0,)x ∈+∞()0x ϕ'<()x ϕ()0,∞+()()00x ϕϕ≤=()ln 1x x ≤+(1,)-+∞cos 1x ≤2a =()()()()12ln 1cos 10h x f x ax x x x ⎡⎤=--=+-+-⎦≤⎣2a =()12f x x -≤11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122f k k⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭211111122122nk n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ()ln 1x x ≤+()1,-+∞ln 1x x ≤-()0,∞+1x =(0,1)1nx n =∈+*N n ∈1ln1111n n n n n -<-=+++即，则，综上，，即证19.（1）对于集合，因为，故集合的元素和相等，故不具有性质.对于，其共有15个非空子集：，，各集合的和分别为：，，它们彼此相异，故具有性质.（2）①因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，否则有两个非空子集，它们的元素和相等，而也是的子集，故不具有性质，矛盾.注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，且子集的和最大为，最小为，故.②因为，故，由①可得，故.（3）不妨设，设，则，由（2）可得，且.而11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n+++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=21112ln 2ln 42nk n f k =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑{}11,2,3,4S =1423+=+{}{}1,4,2,31S P {}21,2,4,8S ={}{}{}{}{}{}{}{}{}{}8,,,,,,1,2481,21,41,82,42,,,84,{}{}{}{}{}1,2,41,2,81,4,82,4,81,2,4,8,,,,59610121,2,4,8,3,,,,,7,11,13,14,152S P {}12,,,n a a a P k {}12,,,k a a a P {}12,,,k a a a ,A B ,A B {}12,,,n a a a {}12,,,n a a a P {}12,,,k a a a 21k -12k a a a +++ 1a 1221kk a a a +++≥- 12i i i d a -=-()112122k k k D a a a -=+++-+++ ()1221k k a aa =+++-- ()12210kk a a a +++--> 0k D ≥12n a a a <<< 1121112122111112112222n n n n n n a a a a a a a a a ---⎛⎫+++-+++=+++ ⎪--⎝⎭- 112i i ic a -=10i i c c +->12i i i d a -=-10kk ii D d==≥∑112112211222122n n n n n n a a a c d c d c d a a a ---+++=+++-- ()()()112213321n n n c D c D D c D D c D D -=+-+-++-，故，当且仅当时等号成立，即此时任意的正整数，即故此时时等号成立，故的最大值为.()()()121232110n n n n n c c D c c D c c D c D --=-+-++-+≥ 111211*********n n n a a a --+++≤+++=- 120n D D D ==== k 1221kk a a a ++=-1111,222kk k k a a --==-=12k k a -=12111n a a a +++ 1122n --。

福建省龙岩第一中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题(解析版)

2023届福建省龙岩第一中学高三上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知{}1,0,1,3,5A =-，{}230B x x =-<，则R A B =ð（） A ．{}0,1 B ．{}1,1,3-C ．{}1,0,1-D ．{}3,5【答案】D【分析】由题意求出B ，R B ð，由交集的定义即可得出答案.【详解】因为{}230B x x =-<32x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，所以R B =ð32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，所以A R B =ð{}3,5.故选：D. 2．若5:11xp x -≤+，则p 成立的一个充分不必要条件是（） A ．21x -<≤- B ．12x -≤≤ C ．15x ≤≤ D ．25x <<【答案】D【分析】先求出分式不等式的解集，进而结合选项根据充分不必要条件的概念即可求出结果. 【详解】因为511xx -≤+，即51011x x x x -+-≤++，因此4201x x -≤+等价于()()42+10+10x x x -≤≠⎧⎨⎩，解得2x ≥或1x <-，结合选项可知p 成立的一个充分不必要条件是25x <<，故选：D.3．已知函数()()2ln 16f x x x =++-，则下列区间中含()f x 零点的是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【分析】分别求出()0f 、()1f 、()3f 、()4f 的值，即可判断其正负号，利用零点存在定理则可选出答案.【详解】由题意知：()0ln1660f =-=-<，()231ln2+16ln3+462ln 32ln0e f f =-<-==-=<（）， ()ln3+96ln3303f =-=+>，()ln4+166ln 40041f =-=+>. 由零点存在定理可知()f x 在区间()2,3一定有零点. 故选：C.4．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】通过弧长比可以得到OA 与OB 的比，接着再利用扇形面积公式即可求解【详解】解：设AOD θ∠=，则12,l OA l OB θθ=⋅=⋅，所以122l OAl OB==，即2OA OB =，所以12221222111222231122OA l OB l OB l OB l S S OB l OB l ⋅-⋅⋅-⋅===⋅⋅，故选：C5．已知22sin sin ,cos cos 33αβαβ-=--=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ta n()αβ-的值为（）AB．CD．【答案】B【分析】将条件的两个式子平方相加可得()8922cos αβ--=，然后可得()5os 9c αβ-=，再由2sin sin 03αβ-=-<，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()π,02αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而可求出()in s αβ-=，由商式关系可求得()an t αβ-=【详解】由2sin sin 3αβ-=-，得22sin 2sin sin sin 49ααββ-+=，由2cos cos 3αβ-=，得22cos 2cos cos cos 49ααββ-+=，两式相加得，()8922cos αβ--=，所以可得()5os 9c αβ-=，因为2sin sin 03αβ-=-<，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()π,02αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()in s αβ-=()an t αβ-=故选：B6．已知()()2222cos 1ln 4f x x x =-⋅，则函数()f x 的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用二倍角余弦公式化简()2f x 的表达式，令()20t x t =≠，可得()f x 的解析式，再判断函数()f x 的奇偶性，可排除选项C 、D ，最后根据0x +→时，()0f x <即可求解.【详解】解：()()()()22222cos 1ln 4cos 2ln 2f x x x x x =-⋅=⋅，令()20t x t =≠，则()2cos ln f t t t =⋅()0t ≠，所以()2cos ln f x x x =⋅()0x ≠，定义域关于原点对称，因为()()()()22cos ln cos ln f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项C 、D ；又0x +→时，因为2cos 0,ln 0x x ><，所以()2cos ln 0f x x x =⋅<，所以排除选项B ，选项A 正确；故选：A.7．已知()22231,0log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()()g x f x b =+有四个不同的零点1234,,,x x x x ，且满足：1234x x x x <<<.则下列结论中不正确的是（） A ．10b -<< B ．341x x =C ．3112x ≤< D ．1232x x +=-【答案】A【分析】作出()f x 图象，利用函数有四个不同的交点求出10b -≤<，A 错误；根据二次函数的对称轴求出1232x x +=-可判断D ；数形结合结合对数运算得到341x x =可判断B ；数形结合求出231log 0x -≤<，解得3112x ≤<，可判断C. 【详解】如图，作出()f x 图象，若y ＝－b 与()y f x =有四个交点，需01b <-≤，则10b -≤<，故A 错误；这四个交点的横坐标依次为1234,,,x x x x ，因为抛物线2231y x x =++的对称轴为34x =-，所以1232x x +=-，故D 正确；因为2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，故B 正确；()(]323log 0,1f x x =-∈，即231log 0x -≤<，所以3112x ≤<，故C 正确.故选：A.8．已知13sin 2,ln 2,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】D【分析】判断sin2和2πsin3的大小，比较a 与34、b 与34、c 与34的大小可判断a 与b 大小关系及b 与c 大小关系，判断aca 与c 大小关系，从而可判断a 、b 、c 大小关系．【详解】2π3sin2sin34a =>=>， 4333344443e e 2e 2lne ln24⎛⎫=>⇒>⇒=> ⎪⎝⎭，即b 34<，∴a >b ；∵3131322264-⎛⎫== ⎪⎝⎭，3327464⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴13324->，c b ∴>；∵62764=⎝⎭，6131162464-⎛⎫== ⎪⎝⎭，132->，a c ∴>； a cb ∴>>．故选：D ．【点睛】本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以34两个值作为中间值，比较a 、b 、c 与中间值的大小即可判断a 、b 、c 的大小．二、多选题9）A ．2252cos cos 1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1tan151tan15+︒-︒C．cos15︒︒ D ．16sin10cos20cos30cos40︒︒︒︒【答案】ABD【分析】对于A ，采用降幂公式，结合特殊角三角函数，可得答案；对于B ，根据特殊角三角函数，结合正切的和角公式，可得答案；对于C ，根据辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案；对于D ，根据积化和差公式，结合特殊角三角函数，可得答案.【详解】对于A ，2251cos 1cos 55662cos cos 2cos cos12122266ππππππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭=，故A 正确；对于B ，()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--，故B 正确；对于C ，13cos153sin152cos15sin1522⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭()()()2sin30cos15cos30sin152sin 30152sin152sin 4530=-=-==-()212sin 45cos30cos 45sin 302222⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭C 错误；对于D ，16sin10cos 20cos30cos 40 ()116sin 30sin 10cos30cos 402⎡⎤=⨯+-⎣⎦ 8sin30cos30cos 408sin10cos30cos 40=-()18408sin 40sin 20cos 402⎡⎤=-⨯+-⎣⎦404sin 40cos 404sin 20cos 40=-+()1402sin804sin 60sin 202⎡⎤=-+⨯+-⎣⎦402sin8032sin 20=-+-404sin50cos303=-+ )cos 40sin 503=-+)cos 40cos 403=-+=D 正确；故选：ABD.10．已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是（） A ．4ab ≤ B ．111a b+≥ C ．2216a b +≥ D ．228a b +≤【答案】AB【分析】根据基本不等式进行逐一判断即可.【详解】A ：因为0a >，0b >，所以4a b ab +≥≤，当且仅当2a b ==时取等号，故本选项正确；B ：因为0a >，0b >，所以有11111()(2)(21444a b b a a b a b a b b a ++=+=++≥+=+，当且仅当2a b ==时取等号，故本选项正确；C ：因为228a b +≥=，当且仅当2a b ==时取等号，所以本选项不正确；D ：因为0a >，0b >，所以有22282a b a b +≤≤+≥，当且仅当2a b ==时取等号，所以本选项不正确，故选：AB11．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π【答案】AC【分析】根据题意得6πϕ=-，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数的图像性质依次分析各选项即可得答案.【详解】解：因为函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，所以，2,Z 32k k ππϕπ⨯+=+∈，解得,Z 6k k πϕπ=-+∈，因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-，即()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，对于A 选项，函数3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，是奇函数，故正确；对于B 选项，当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，25,626x πππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由于函数sin y x =在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故错误；对于C 选项，函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像对应的解析式为()3sin 226g x x a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()g x 图像关于6x π=对称，则22,Z 662a k k ππππ⨯--=+∈，解得,Z 62k a k ππ=-+∈，由于0a >，故a 的最小值是3π，故正确；对于D 选项，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，672,66x πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-∈，故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC12．已知1a b >>，则（） A ．ln ln a b b a > B ．11ea ba b-<C ．11e b a ->D ．若m b b n =+，则m a a n >+ 【答案】BC【分析】根据各个选项中的不等式，通过构造新函数，利用导数判断其单调性，再结合特例法进行判断即可.【详解】因为1a b >>，所以ln ln ln ln b aa b b a b a>⇔>，设函数ln ()(1)xf x x x=>，21ln ()x f x x -'=，当(1,e)x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以A 选项错误；因为1a b >>，所以由111111eln ln ln ln a ba ab a b b a b a b -<⇔-<-⇔->-，设函数1()ln g x x x =-，211()g x x x '=+，当,()0x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以B 选项正确；因为111eln 1ba a b->⇔>-，设函数1()ln 1h a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以21()a h a a -'=，当()1,a ∞∈+时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增，当()0,1a ∈时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，所以()(1)0h a h >=，即11ln 10ln 1a a a a ⎛⎫-->⇒>- ⎪⎝⎭，因为1a b >>，所以111111a b a b <⇒->-，因此11ln 11a a b>->-，所以C 选项正确. 令2,0b m ==，则有1n =-，又令3a =，所以01,2m a a a n ==+=，显然不成立，所以D 选项错误，故选：BC【点睛】方法点睛：不等式是否成立可以通过构造函数利用导数的性质来进行判断.三、填空题13．已知角θ的终边经过点(2,1)P -，则22cos 2sin cos 2θθθ-=___________.【答案】23【分析】利用三角函数定义求出tan θ，再利用二倍角公式化简，结合齐次式法计算作答.【详解】因角θ的终边经过点(2,1)P -，则1tan 2θ=-，所以2222222222112()cos 2sin cos 2sin 12tan 221cos 2cos sin 1tan 31()2θθθθθθθθθ-⨯----====----. 故答案为：2314．函数()xe f x x =的单调递减区间是__________.【答案】和（或写成和）【详解】试题分析：由题意得22(1)()x x x xe e e x f x x x-='-=，令()0f x '<，解得0x <或01x <<，所以函数的递减区间为和．【解析】利用导数求解函数的单调区间．15．已知函数(1)y f x =+的图象关于直线3x =-对称，且对R x ∀∈都有()()2f x f x +-=，当2(]0,x ∈时，()2f x x =+.则(2022)f =___________. 【答案】2-【分析】根据给定条件，推理论证出函数()f x 的周期，再利用周期性计算作答. 【详解】因函数(1)y f x =+的图象关于直线3x =-对称，而函数(1)y f x =+的图象右移1个单位得()y f x =的图象，则函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称，即(4)()f x f x --=，而对R x ∀∈都有()()2f x f x +-=，则(4)()2f x f x --+-=，即R x ∀∈，(4)()2f x f x +=-+，有(8)(4)2f x f x +=-++[()2]2()f x f x =--++=，因此函数()y f x =是周期函数，周期为8，又当2(]0,x ∈时，()2f x x =+，所以(2022)(25382)(2)2(2)242f f f f =⨯-=-=-=-=-. 故答案为：2-16．已知函数()sin cos (0,0)f x x a x a ωωω=+>>图像的两条相邻对称轴之间的距离小于,3f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，则ω的最小值为___________. 【答案】13【分析】先由对称轴间的距离确定了1ω>，再利用()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得到2,Z 62k k πωπϕπ+=+∈，依次利用诱导公式与基本关系式求得tan 6πω⎛⎫⎪⎝⎭、cos 6πω⎛⎫ ⎪⎝⎭、sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的a 关于表达式，求出a 的值，进而得到121,Z k k ω=+∈，即可得到结果. 【详解】()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+，tan a ϕ=，因为两条相邻对称轴之间的距离小于π，即2T π<，故22T ππω=<，所以1ω>，因为()f x 在6x π=处取得最大值，所以2,Z 62k k πωπϕπ+=+∈，即2,Z 26k k ππωϕπ=+-∈，所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以1tan 6a πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭3πωϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23a =，又0a >，所以a =1sin 62πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，又tan 06πω⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以2,Z 66k k πωππ=+∈，解得121,Z k k ω=+∈，又1ω>，所以ω的最小值为13.故答案为：13.四、解答题17．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足2225,sin 2sin 8b c a bc C B +-==．（1）求cos A ；（2）若ABC 的周长为6ABC 的面积．【答案】（1）516；（2【解析】（1）由余弦定理可求得cos A ；（2）根据正弦定理可得2c b =，再由已知和余弦定理可求得2b =，根据三角形的面积可求得答案.【详解】解：（1）因为22258b c a bc +-=，所以2225cos 216b c a A bc +-==；（2）因为sin 2sin C B =，所以2c b =．由余弦定理得2222152cos 4a b c bc A b =+-=，则a =，因为ABC 的周长为636b =2b =，所以ABC 的面积为122b b ⨯⨯【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.18．已知函数()2ππ2sin sin cos cos 44f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的对称中心，并求当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 的值域；(2)若函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称，求()g x 在区间()0,π上的单调递增区间.【答案】(1)对称中心：π1π,622k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，值域：12⎛⎤- ⎥⎝⎦(2)5π11π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据三角恒等变换，化简函数()f x ，再结合正弦型函数的对称中心公式，即可得到对称中心，结合正弦函数的图像即可求得其值域.（2）由（1）中()f x 的解析式，根据对称变换即可得到函数()g x 的解析式，再结合正弦型函数的单调区间即可求得结果.【详解】(1)因为函数()2ππ2sin sin cos cos 44f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos x x x x x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221cos 2cos sin 22xx x x +=-+π1232x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭令π2π,3x k k +=∈Z ，解得ππ62k x =-+，即对称中心π1π,622k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则ππ4π2,333x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像可得()12f x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦所以，函数对称中心：π1π,622k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，值域：12⎛⎤- ⎥⎝⎦.(2)因为函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称，则()()π1232g x f x x ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π232k x k +≤-+≤+，k ∈Z ，解得7ππππ,1212k x k k -+≤≤-+∈Z 当1k =时，即为5π11π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当()0,πx ∈时，()g x 的单调递增区间：5π11π,1212⎛⎫⎪⎝⎭.19．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)ay b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元 (3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围．【详解】(1)由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠，()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)ay b a x=+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．(2)把()2,102，()6,78，()20,120分别代入2y ax bx c =++，得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得12a =，10b =-，120c = ∴()221110120107022y x x x =-+=-+，,()0x ∈+∞． ∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元． (3)令()()()1701010210f xg x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+，因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立，则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增，∴ 当10x =+()g x 取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥20．己知函数21()2ln (21)(0)2f x x ax a x a =-+->．(1)若曲线(=)y f x 在点(1,(1))f 处的切线经过原点，求a 的值；(2)设2()2g x x x =-，若对任意(0,2]s ∈，均存在(0,2]t ∈，使得()()f s g t <，求a 的取值范围．【答案】(1)=4a ； (2)(0,1ln 2)-.【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程（含参数a ），由切线过原点求出a 的值；（2）利用导数研究()f x 的单调性并求出(0,2]上的最大值，由二次函数性质求()g x 在(0,2]上的最大值，根据已知不等式恒（能）成立求参数a 的范围.【详解】(1)由21()2ln (21)(0)2f x x ax a x a =-+->，可得2()21f x ax a x '=-+-．因为(1)2211f a a a '=-+-=+，13(1)21122f a a a =-+-=-，所以切点坐标为3(1,1)2a -，切线方程为：()311(1)2a y a x ⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭，因为切线经过(0,0)，所以3112aa -=+，解得=4a ． (2)由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，21()[(21)2]f x ax a x x'=----，令()f x '=2(21)20ax a x ---=，解得1x a=-或=2x ，因为0,a >所以10a-<，所以12a-<，令()0f x '>，即2(21)20ax a x ---<，解得：12x a-<<，令()0f x '<，即2(21)20ax a x --->，解得：1x a<-或2x >，所以()f x 增区间为(0,2)，减区间为(2,)+∞．因为()22()211g t t t t =-=--，所以函数()g t 在区间(0,2]的最大值为0，函数()f s 在(0,2)上单调递增，故在区间(0,2]上max ()(2)2ln 222f s f a ==+-，所以2ln 2220a +-<，即ln 210a +-<，故1ln 2a <-，所以a 的取值范围是(0,1ln 2)-.21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1112,,AB AC AA AB AC A AB A AC ===⊥∠=∠，D 是棱11B C 的中点.(1)证明：1AA BC ⊥；(2)若三棱锥11B A BD -1A BD 与平面11CBB C 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，由三线合一证明线线垂直，进而证明线面垂直，得到BC ⊥平面1AAO ，从而证明1AA BC ⊥；（2）作出辅助线，由三棱锥的体积求出1A H =用空间向量求解二面角；方法二：作出辅助线，找到二面角的平面角，再求解余弦值. 【详解】(1)取BC 中点O ，连接AO ，1AO ,1AC,因为AB AC =,所以AO BC ⊥,因为11A AB A AC ∠=∠，11,AB AC AA AA ==，所以11A AB A AC ≅，所以11A B AC =，所以1AO BC ⊥，因为1AOAO O =，1,AO AO ⊂平面1AAO ，所以BC ⊥平面1AAO ，因为1AA ⊂平面1AAO ，所以1AA BC ⊥；(2)连接OD ，则平面1AAO 即为平面1AA DO ，由（1）知BC ⊥平面1AA DO ，因为BC ⊂平面ABC ，且BC ⊂平面11BCC B ，故平面1AA DO ⊥平面ABC ，平面1AA DO ⊥平面11BCC B ，过O 作1OM A D ⊥于M ，则OM ⊥平面ABC ，过1A 作1A H OD ⊥于H ，则1A H ⊥平面11BCC B ，因为11DO BB AA ∥∥知DO BC ⊥，在ABC中：2,AB AC BC ===所以1112BDB S DB DO =⋅△所以111111113B A BD A BDB BDB A A V V S h --==⋅==△，所以11A A H h = 法一：设MOD α∠=，则1DA H α∠=，在1Rt A HD △中11cos A H A D α===所以sin cos DM DO OM OD αα=⋅==⋅=又1A D M 为线段1A D 的中点，以O 为原点，分别以,,OA OB OM 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，1(0,A B C A ⎝⎭，1,2222B D ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，设面1A BD 的法向量为()1111,,x n y z =，则有111111*********n BA xn BD x⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，两式相减得：10x =，所以110=，令12z =，可得：1y = 所以1(0,7,2)n =，设面11CBB C 的法向量为()2222,,n x y z =，则有221122220202n CB n CB ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得：20y =，令21z =，解得：2x =所以2(7,0,1)n=，设锐二面角为θ，则有1212cos 4n n n n θ⋅===+⋅. 法二：过H 做HE BD ⊥，连接1A E ，1A H ⊥面11BCC B，1A H DB ∴⊥，则DB ⊥面1AHE ，1A E BD ∴⊥，则1A EH ∠即为所求二面角.在1Rt A DH △中，11A H A D =12DH =，在Rt DOB 中，2,DO OB DB == 由RtRt DEHDOB 可得：HE DHOB DB=，HE ∴=，则1A E =11cos HE A EH A E ∴∠===22．己知函数()e sin 1(0)x f x a x a =-->在区间(0,)π内有唯一极值点1x ． (1)求实数a 的取值范围；(2)证明：()f x 在区间(0,)π内有唯一零点2x ，且212x x <．【答案】(1)(1,)∈+∞a (2)证明见解析【分析】（1）根据极值点的定义，求导，进而求导函数的零点，研究零点左右与零大小关系，可得答案；（2）由（1）明确函数的单调区间，分别在两个单调区间上，利用零点存在性定理，证明零点唯一存在，根据单调性证明不等式成立. 【详解】(1)()e cos x f x a x '=-，①当01a <≤时，因为()0,x π∈，所以cos 1a x <，1e e x π<<，()0f x '>，()f x 在()0,π上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；②当1a >时，令()=()g x f x '，则()e sin x g x a x '=+，因为()0,x π∈，所以()0g x '>，所以()f x '在()0,π上递增，又因为(0)10f a '=-<，2e 02f ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,π上有唯一零点1x ，且10,2x π⎛⎫⎪⎝⎭∈，所以()10,x x ∈，()0f x '<；1,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>，所以()f x 在()0,π上有唯一极值点，符合题意. 综上，(1,)∈+∞a .(2)由（1）知1a >，所以,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()e cos 0x f x a x '=->，所以()10,x x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；()1,x x π∈，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()10,x x ∈时，()(0)0f x f <=，则()10f x <，又因为()e 10f ππ=->，所以()f x 在()1,πx 上有唯一零点2x ，即()f x 在(0,)π上有唯一零点2x .因为()112211112e sin 21e 2sin cos 1x xf x a x a x x =--=--，由（1）知()10f x '=，所以11e cos x a x =，则()112112e 2e sin 1x x f x x =--，构造2()e 2e sin 1,0,2t tp t t t π⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，所以()2()2e 2e (sin cos )2e e sin cos t t t tp t t t t t '=-+=--，记()e sin cos ,0,2tt t t t πϕ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则()e c o s s i n t t t t ϕ'=-+，显然()t ϕ'在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0t ϕϕ''>=，所以()t ϕ在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0t ϕϕ>=，所以()0p t '>，所以()p t 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0p t p >=，所以()()1220f x f x >=，由前面讨论可知：112x x π<<，12x x π<<，且()f x 在()1,x x π∈单调递增，所以122x x >.【点睛】在利用导数证明不等式成立时，一定明确单调区间，在同一单调区间上，由函数值的大小关系，可得自变量的大小关系，探究函数的单调性，可通过研究导数过着导数中部分代数式所构成函数的单调性，求其最值，可得函数的单调性.。

高三数学上学期第二次月考试卷理(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞04．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣26．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．278．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．49．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．2011．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=__________．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是__________．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=__________．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；集合思想；定义法；集合．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x） }∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用命题的否定判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；充要条件判断C 的正误；命题的真假判断D的正误；【解答】解：对于A，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠x0，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于B，命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5，不满足否命题的形式，所以不正确；对于C，若ω=1是函数f（x）=cosx在区间[0，π]上单调递减的，而函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的，ω≤1，所以ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件，正确．对于D，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则命题：a≥0，∀x∈R，x2+a≥0是真命题；所以，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0，不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．4．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标，进而求得和，则•的值可求得．【解答】解：根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．这时，F1（﹣，0），F2（，0），P（0，1），∴=（﹣，﹣1），=（，﹣1），∴•=﹣2．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力．6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值X围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．4【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ，再化简代值计算即可．【解答】解：点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴tanθ=log216=4，∴====，故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式，函数值的求法，以及对数的运算性质，属于基础题．9．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的性质可知，f（x）=（）x﹣log3x在（0，+∞）上是减函数，且可得f（x0）=0，由0＜x0＜x1，可得f（x1）＜f（x0）=0，即可判断【解答】解：∵实数x0是方程f（x）=0的解，∴f（x0）=0．∵函数y（）x，y=log3x在（0，+∞）上分别具有单调递减、单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．又∵0＜x0＜x1，∴f（x1）＜f（x0）=0．∴f（x1）的值恒为负．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用，解题的关键是准确判断函数f（x）的单调性并能灵活应用．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．20【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，进一步求出数列的通项公式，然后根据通项公式求出各项的值，最后确定结果．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2则：∴a n=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选：B【点评】本题考查的知识点：根据点的斜率求出数列的通项公式，由通项公式求数列的项．11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．【点评】本题考查了对数和幂的运算性质，关键是掌握性质，属于基础题．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是﹣8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将z=x﹣3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小．画出直线y=x，x+2y=2，x=﹣2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（﹣2，2），从而z min=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】数形结合．【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断．②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断；③利用对勾函数的单调性判断；④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：①函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵=2，∴f（x）=lg≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正确，②∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；③当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，故③错误；④∵函数f（x）是偶函数，由③知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴在（﹣1，0）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上得到递减，故④正确，故答案为：①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值X围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值X围．【解答】解：（1）∵g（x）=x+≥2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，则m≥2e；故m的取值X围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；故m＞2e﹣e2+1．【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q （﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f （x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值X围是（﹣∞，0]【点评】本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M （a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a﹣x，2b﹣y）在函数y=g（x）的图象上．（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）m≤h（x）恒成立，max则m≤h（x）min20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，（2）由（1）的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利．（3）算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．【解答】解：（1）y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．（2）由﹣2x2+40x﹣98＞0解得，，且x∈N*，所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．（3）由，当且仅当x=7时“=”号成立，所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114（万元）．由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102≤102，所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题．属应用题中盈利最大化的问题．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx 恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值X围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x 2g′（x）0 ﹣0 +g（x）﹣递减极小值递增 13由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，所以a≥1，故实数a的取值X围是[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值X围，属于中档题．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】参数的意义；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点的坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标；（2）画出图象，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．【解答】解：（1）由（θ为参数），消去参数得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（2，）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=2+4，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=×（2+4）×=2+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4，2]内的值域，结合|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，求得a的X围．【解答】解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得 x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．。

数学高三月考试卷答案

一、选择题1. 答案：D解析：根据三角函数的定义，sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3，cot60° = √3/3。

所以，选项D正确。

2. 答案：A解析：函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴为x = -b/2a = -(-4)/(22) = 1，顶点坐标为(1, f(1))。

将x = 1代入函数，得f(1) = 21^2 - 41 + 3 = 1。

所以，选项A正确。

3. 答案：B解析：根据指数函数的性质，若a > 1，则y = a^x在R上单调递增；若0 < a < 1，则y = a^x在R上单调递减。

由于题目中给出的函数为y = 1/(2^x)，因此a = 1/2，属于0 < a < 1，故函数在R上单调递减。

所以，选项B正确。

4. 答案：C解析：复数z = a + bi的模长为|z| = √(a^2 + b^2)。

题目中给出的复数z = 3 + 4i，所以|z| = √(3^2 + 4^2) = 5。

所以，选项C正确。

5. 答案：A解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n 为项数。

题目中给出的数列为3, 6, 9, 12, ...，首项a1 = 3，公差d = 6 - 3= 3。

求第10项a10，代入公式得a10 = 3 + (10 - 1)3 = 3 + 27 = 30。

所以，选项A正确。

二、填空题6. 答案：-3解析：根据二次方程的求根公式，x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

题目中给出的二次方程为x^2 - 4x + 3 = 0，a = 1，b = -4，c = 3。

代入公式得x = (4 ± √(16 - 12)) / 2 = (4 ± 2) / 2，解得x1 = 3，x2 = 1。

天津市南开大学附属中学2021届高三上学期第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析

天津市南开高校附属中学2021届高三上学期其次次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．54．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．105．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不行能是（）A．B．πC．2πD ．6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥m则n∥αB．若α⊥β，β⊥γ则α∥βC．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设a n=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD 是正三角形，则•的值为（）A．﹣2 B．2C．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）为了解某校高中同学的近视眼发病率，在该校同学中进行分层抽样调查，已知该校2022-2021学年高一、2022-2021学年高二、2021届高三分别有同学800名、600名、500名．若2021届高三同学共抽取25名，则2022-2021学年高一同学共抽取名．10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．11．（5分）已知=（3，﹣2）.=（1，0），向量λ与﹣2垂直，则实数λ的值为．12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的全部实数a构成集合A，使不等式|x ﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成集合B，则A∩∁R B=．13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为．14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b 的等比中项，则的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x ）在区间上的值域．16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD 上一点，PE=2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．18．（16分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．19．（16分）已知数列{a n}，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=4（）2，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=2n （﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．天津市南开高校附属中学2021届高三上学期其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：依据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．解答：解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：依据指数函数和对数函数的图象和性质，求出两个命题的等价命题，进而依据充要条件的定义可得答案．解答：解：“a3＞b3”⇔“a＞b”，“log3a＞log3b”⇔“a＞b＞0”，故“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故选：B点评：推断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤推断命题p与命题q所表示的范围，再依据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，推断命题p与命题q的关系．3．（3分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的学问，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．4．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．10考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列与等比数列的性质可求得a=﹣5，b=﹣3，从而可得答案．解答：解：∵﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，∴2a=﹣1﹣9=﹣10，b2=9，∴a=﹣5，b=﹣3（b为第三项，b＜0），∴ab=15．故选：A．点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，b=﹣3的确定是易错点，属于中档题．5．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不行能是（）A．B．πC．2πD ．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：结合三角函数R上的值域[﹣2，2]，当定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，可知[a，b]小于一个周期，从而可得．解答：解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2函数的周期T=2π值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期b﹣a＜2π故选C点评：本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是生疏三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥m则n∥αB．若α⊥β，β⊥γ则α∥βC．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对选项逐一分析，依据空间线面关系，找出正确选项．解答：解：对于A，直线n有可能在平面α内；故A 错误；对于B，α，γ还有可能相交，故B 错误；对于C，依据线面垂直的性质以及线线平行的判定，可得直线m，n平行；对于D，α，β有可能相交．故选C．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象力量、运算力量和推理论证力量，属于基础题．7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设a n=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列考点：等比关系的确定．专题：计算题．分析：依据g（n）的通项公式可求得g（1），g（2），g（3）直至g（n），进而可求a1，a2，a3，┉，a n进而发觉数列{a n}是等比数列解答：解：已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，则g（1）=b+1，g（2）=b2+b+1，g（3）=b3+b2+b+1，┉，g（n）=b n+┉+b2+b+1．a1=b，a2=b2，a3=b3，┉，a n=b n故数列{a n}是等比数列点评：本题主要考查等比关系的确定．属基础题．8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD 是正三角形，则•的值为（）A．﹣2 B．2C．D ．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．取AC的中点E，连接DE，BE．由A（0，3），C（4，0），可得．由于，可得=0．利用•==即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．取AC的中点E，连接DE，BE．∵A（0，3），C（4，0），∴．∵，∴=0．∴•====8﹣=．故选：C．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、向量的三角形法则，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）为了解某校高中同学的近视眼发病率，在该校同学中进行分层抽样调查，已知该校2022-2021学年高一、2022-2021学年高二、2021届高三分别有同学800名、600名、500名．若2021届高三同学共抽取25名，则2022-2021学年高一同学共抽取40名．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：依据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．解答：解：依据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴2022-2021学年高一应抽取的同学数为800×=40．故答案为：40．点评：本题考查了分层抽样的定义，娴熟把握分层抽样的特征是关键．10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．代入长方体的体积公式和球的体积公式，即可得到答案．解答：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以长方体的体积为2×2×1=4，半球的体积为，所以该几何体的体积为．故答案为：．点评：本题考查的学问点是由三视图求体积，其中依据已知中的三视图推断出几何体的外形是解题的关键．11．（5分）已知=（3，﹣2）.=（1，0），向量λ与﹣2垂直，则实数λ的值为．考点：数量积推断两个平面对量的垂直关系．专题：计算题．分析：由题意得（λ）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）﹣2=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ值，即为所求．解答：解：由题意得（λ）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）﹣2=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ=﹣，故答案为﹣．点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，是解题的关键．12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的全部实数a构成集合A，使不等式|x ﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成集合B，则A∩∁R B=（1，2]．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：分a﹣2为0与不为0两种状况求出（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立a的范围，确定出A ，求出访不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a的集合确定出B，求出B补集与A的交集即可．解答：解：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，当a﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0，满足题意；当a﹣2≠0，即a≠2时，依据题意得到二次函数开口向下，且与x轴没有交点，即a﹣2＜0，△=4（a﹣2）2+16（a﹣2）＜0，解得：a＜2，﹣2＜a＜2，综上，a的范围为﹣2＜a≤2，即A=（﹣2，2]，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成的B=（﹣∞，1），∴∁R B=[1，+∞），则A∩∁R B=（1，2]．故答案为：（1，2]点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，娴熟把握各自的定义是解本题的关键．13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC 为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．解答：解：连接OC，BE，如下图所示：则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4故答案为：4点评：本题考查的学问点是切线的性质，圆周角定理，其中依据切线的性质，圆周角定理，推断出△ABE 是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则的最大值为．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：由a是1+2b与1﹣2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得的最大值．解答：解：a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则a2=1﹣4b2⇒a2+4b2=1≥4|ab|．∴．∵a2+4b2=（|a|+2|b|）2﹣4|ab|=1．∴≤=∵∴≥4，∴的最大值为=．故答案为：．点评：本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x ）在区间上的值域．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先依据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）开放再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，依据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程．（2）先依据x的范围求出2x ﹣的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域．解答：解：（1）∵=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===∴周期T=由∴函数图象的对称轴方程为（2）∵，∴，由于在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又∵，当时，f（x ）取最小值，所以函数f（x ）在区间上的值域为．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小正周期、对称性、和单调性．考查对基础学问的把握状况．16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．考点：余弦定理；平面对量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用平面对量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联马上可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面对量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，娴熟把握定理是解本题的关键．17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD 上一点，PE=2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（I）依据勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD为斜边的直角三角形，从而有PA⊥AD，再结合PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，可得PA⊥平面ABCD；（II）过E作EG∥PA 交AD于G，连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．利用三垂线定理结合正方形ABCD的对角线相互垂直，可证出∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．分别在△PAB中和△AOD中，求出EH=，GH=，在Rt△EHG中利用三角函数的定义，得到tan∠EHG==．最终由同角三角函数的关系，计算得cos∠EHG=．（III）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．分别给出点A、B、C、P、E的坐标，从而得出=（1，1，0），=（0，，），利用向量数量积为零的方法，列方程组可算出平面AEC的一个法向量为=（﹣1，1，﹣2 ）．假设侧棱PC上存在一点F，使得BF∥平面AEC ，则=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），且有⋅=0．所以⋅=λ+1﹣λ﹣2λ=0，解之得λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．解答：解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=，∴PA2+AD2=PD2，可得△PAD是以PD为斜边的直角三角形∴PA⊥AD﹣﹣﹣（2分）又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，∴PA⊥平面ABCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）过E作EG∥PA 交AD于G，∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，∵△PAB中，PE=2ED∴AG=2GD，EG=PA=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．∵OD⊥AC，GH∥OD∴GH⊥AC∵EG⊥平面ABCD，HG是斜线EH在平面ABCD内的射影，∴EH⊥AC，可得∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴Rt△EGH中，HG=OD=BD=，可得tan∠EHG==．由同角三角函数的关系，得cos∠EHG==．∴二面角D﹣AC﹣E 的平面角的余弦值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，，），=（1，1，0），=（0，，）﹣﹣﹣（9分）设平面AEC 的法向量=（x，y，z），依据数量积为零，可得，即：，令y=1，得=（﹣1，1，﹣2 ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）假设侧棱PC上存在一点F ，且=λ，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC ，则⋅=0．又∵=+=（0，1，0）+（﹣λ，﹣λ，λ）=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴⋅=λ+1﹣λ﹣2λ=0，∴λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题给出一个特殊的棱锥，通过证明线面垂直和求二面角的大小，着重考查了用空间向量求平面间的夹角、直线与平面平行的判定与性质和直线与平面垂直的判定与性质等学问点，属于中档题．18．（16分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）依据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后求出﹣S n﹣（﹣2S n），即可求得的前n项和S n．解答：解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n∴b n ==﹣n•2n∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般实行错位相减的方法．19．（16分）已知数列{a n}，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=4（）2，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=2n （﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）对已知等式整理成数列递推式，然后用叠乘法，求得S n，最终利用a n=S n﹣S n﹣1求得答案．（Ⅱ）依据（Ⅰ）中a n，求得b n，设出C n，分n为偶数和奇数时的T n．（Ⅲ）依据数列为递减数列，只需满足C n+1﹣C n＜0，求得﹣的最大值，即可求得λ的范围．解答：解：（Ⅰ）由已知=，且S1=a1=1，当n≥2时，S n=S1••…•=1•••…•=，S1也适合，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，且a1也适合，∴a n =．（Ⅱ）b n=4（）2=（n+1）2，设C n=（﹣1）n（n+1）2，当n为偶数时，∵C n﹣1+C n=（﹣1）n﹣1•n2+（﹣1）n•（n+1）2=2n+1，T n=（C1+C2）+（C3+C4）+…（C n﹣1+C n）=5+9+…+（2n﹣1）==，当n为奇数时，T n=T n﹣1+C n =﹣（n+1）2=﹣，且T1=C1=﹣4也适合．综上得T n =（Ⅲ）∵C n=2n （﹣λ），使数列{C n}是单调递减数列，则C n+1﹣C n=2n （﹣﹣λ）＜0，对n∈N*都成立，则（﹣）max＜λ，∵﹣==，当n=1或2时，（﹣）max =，∴λ＞．点评：本题主要考查了数列的求和问题，求数列通项公式问题．对于利用a n=S n﹣S n﹣1肯定要a1对进行验证．20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：压轴题．分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后依据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（Ⅱ）运用函数的微小值进行证明，（Ⅲ）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．解答：（Ⅰ）解：由于f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x，由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0，（Ⅱ）证：由于函数f（x）在（﹣∞，0）∪（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得微小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（Ⅲ）证：由于，∴，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x ﹣，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并争辩解的个数，由于g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数争辩函数单调性的方法及推理和运算力量．。

2025届赤峰市红山区高三数学上学期10月第二次月考试卷附答案解析

赤峰二中 2022级高三上学期第二次月考数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知全集U =R ，集合{}50,2x A x B x x x ⎧⎫-=<=>⎨⎬⎩⎭，则图中阴影部分表示的集合为（）A. {}25x x << B. {}25x x ≤<C. {}02x x << D. {}02x x <≤【答案】D 【解析】【分析】确定集合A ，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解．【详解】由题意5{|0}{|05}x A x x x x-=<=<<，{|2}U B x x =≤ð阴影部分为{|02}U A B x x =<≤ ð.故选：D ．2. 命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是（）A. 3(,0),0x x x ∀∈-∞+< B. 3(,0),0x x x ∀∈-∞+≥C. [)30,,0x x x ∞∃∈++< D. 3[0,0x x x ∃∈+∞+≥),【答案】C 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定判断即可.【详解】命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30,,0x x x ∞∃∈++<.故选：C3. 已知0a b c >>>，则下列不等式正确的是（）A 2a c b+> B. 2b ac> C. ()()110a b --> D. ()()a c a b c b->-【答案】D 【解析】【分析】运用特殊值判断A,B,C,运用不等式性质推断D.【详解】取4a =，3b =，1c =，则2a c b +<，故A 错误；取5a =，2b =，1c =，则2b ac <，故B 错误；取2a =，12b =，则()()110a b --<，故C 错误；因为0a b c >>>，所以a c b c ->-，所以()()a c a b c b ->-，故D 正确．故选：D4. 设0.13592,lg ,log 210a b c ===，则（）．A. b c a >> B. b a c>> C. a c b>> D. a b c>>【答案】D 【解析】【分析】依题意可得1a >，01b <<，0c <，进而可得结果.【详解】因为0.10221a =>=，50lg lg1012b <=<=，339log log 1010c =<=，所以a b c >>.故选：D.5. 数列{}n a 满足11a =，且对于任意的n *∈N 都满足 131nn n a a a +=+，则数列{}1n n a a +的前n 项和为（）A.131n + B.31+n n C.132n - D.32n n -【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列{}n a 的通项，再利用裂项相消法求和即可.【详解】依题意，由131n n n a a a +=+，得1113n n a a +=+，故数列1{}na 是首项为1，公差为3的等差数列，所以113(1)32n n n a =+-=-，则111111((32)(31)33231n n a a n n n n +==--+-+，.所以数列{}1n n a a +的前n 项和为11111111111[((()((1)31447710323133131n n n n n -+-+-++-=-=-+++ .故选：B6. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温25C 下，某种绿茶用85C 的水泡制，经过min x 后茶水的温度为C y ，且()0.9227250,R xy k x k =⋅+≥∈.当茶水温度降至60C 时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（）（参考数据：ln20.69,ln3 1.10,ln7 1.95,ln0.92270.08≈≈≈≈-）A. 6min B. 7minC. 8minD. 9min【答案】B 【解析】【分析】根据初始条件求得参数k ，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间x ．【详解】由题意可知，当0x =时，85y =，则8525k =+，解得60k =，所以600.922725x y =⨯+，当60y =时，60600.922725x =⨯+，即70.922712x=，则0.92277ln7ln 7ln1212log 12ln 0.9227ln 0.9227x -===ln 72ln 2ln 3 1.9520.69 1.107ln 0.92270.08---⨯-=≈≈-，所以茶水泡制时间大的为7 min.故选：B.7.函数||()1x f x e =--的大致图象为A.B.C. D.【答案】C 【解析】分析】先研究函数的奇偶性，得到()f x 是偶函数，研究当0x ≥时函数的单调性，又(0)0f =，即得解.【详解】||||()2||12||1()x x f x e x e x f x --=---=--= 故()f x 是偶函数，当0x ≥时，()21x f x e x =--，()2x f x e '=-，令()0f x '>，解得ln 2x >；令()0f x '<，解得ln 2x <即()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，又(0)0f =，故选：C【点睛】本题考查了通过函数的奇偶性，单调性研究函数的图像和性质，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.8. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()4()2f x x f f ++=，()21f x +是奇函数，11()22f =则（）A.17111(22k f k =-=-∑B. 1711()02k f k =-=∑C. 171117()22k kf k =-=-∑ D.171117()22k kf k =-=∑【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的周期，及(1)(1)0f x f x -+++=和(2)()0f x f x ++=，再逐项计算判断得解.【详解】由()4(()2)f f f x x ++=，得()4((24))f x x f f +++=，则(4)()f x f x +=，即函数()f x 的周期为4，【由(21)f x +是R 上的奇函数，得(21)(21)f x f x -+=-+，即(1)(1)0f x f x -+++=，于是13()()022f f +=，5751()()(()02222f f f f +=+-=，即1357(()()()02222f f f f +++=，因此17113571()()(2()](1622222111()4[()22k f k f f f f f f =-==++++=+∑，AB 错误；由()4((24))f x x f f +++=，取0x =，得(2)0f =，则(4)(0)(2)0f f f ==-=，因此(2)()0f x f x ++=，取32x =，得37((022f f +=，于是1357135737(2(3()4()[(()]3[()()](()022********f f f f f f f f f f +++=+++++=，则17113571()2(3()4(17(162222117()4[222k k f f f f f f k =++=+-=++∑，C 错误，D 正确.故选：D【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题求的，全部选对的得6分，有选错的得0分)9. 已知p ：260x x +-=；q ：10ax +=.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的值可以是（）A. ﹣2B. 12-C.13D. 13-【答案】BC 【解析】【分析】根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由题意得{: 3 2}p A =-，，当0a =时，q B =∅：，当0a ≠时，1q B a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭：，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以0a =时满足题意，当13a -=-或12a -=时，也满足题意，解得13a =或12a =-，故选：BC【点睛】本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题.10. 已知0,0a b >>且2a b +=，则下列不等式恒成立的是（）.A. ²²a b +的最小值为2B. 12a b+的最小值为3+C. ab 的最大值为 1D.的最大值为2【答案】ACD 【解析】【分析】配方后使用基本不等式可判断A ；利用常数代换可判断B ；直接使用基本不等式可判断C ；先利用基本不等式求2的最大值，然后可判断D .【详解】对A ，()22²²24222a b a b a b ab +⎛⎫+=+-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，A 正确；对B ，()(1211212133222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当21b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,2a b =-=-时等号成立，B 错误；对C ，212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，C 正确；对D，()224a b a b =++≤+=，当且仅当1a b ==时等号成立，2≤，D 正确故选：ACD11. 设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项正确的是（）A. 4945S S q S =+B. 若20252020T T =，则20231a =C. 若194a a =，则当2246a a +取得最小值时，1a =D. 若21()n n n a T +>，则11a <【答案】AB 【解析】【分析】由前n 项和的定义以及等比数列性质分析判断A ；由题意结合等比数列性质分析判断B ；根据题意.结合基本不等式知：当且仅当462a a ==时，2246a a +取得最小值，进而可得结果判断C ；举反例说明即可D.【详解】由数列{}n a 为正项等比数列，得10,0,0n a q T >>>，对于A ，9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+，即4945S S q S =+，A 正确；对于B ，由20252020T T =，得5202520212022202320242025202320201T a a a a a a T =⋅⋅⋅⋅==，则20231a =，B 正确；对于C ，由19464a a a a ==，得22446628a a a a +≥=，当且仅当462a a ==时取等号，若2246a a+取得最小值，则462a a ==，即34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩，解得121a q =⎧⎨=⎩，C 错误；对于D ，例如11,2a q ==，则12n n a -=，()101112121222222n n n n n nT a a a --++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==，得22(1)2221()(2)2,[2]2n n n n nn nnn naT --+====，而*n ∈N ，22n n n >-，则2222n n n->，即21()n n n a T +>，符合题意，但11a =，D 错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题判断选项D 的真假，构造符合条件的数列，计算判断是关键.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)12. 若曲线e x y =在点(0,1)处的切线也是曲线()ln 1y x a =++的切线，则a =_________.【答案】1【解析】【分析】先求出曲线e x y =在(0,1)的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为0(x ,0ln(1))x a ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x 表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解【详解】由e x y =，得e x y '=，001|e x y ==='，故曲线e x y =在(0,1)处的切线方程为1y x =+；由()ln 1y x a =++，得11y x '=+，设切线与曲线ln(1)y x a =++相切的切点为0(x ,0ln(1))x a ++，由两曲线有公切线得0111y x '==+，解得00x =，则切点为(0,)a ，切线方程为y x a =+，根据两切线重合，解得1a =．故答案为：1．13. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[3]3=.若1111222x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则x 的取值范围是_________.【答案】[)1,3【解析】【分析】依题意可得则112x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦且11022x ⎡+⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，从而得到不等式组，解得即可.【详解】解：依题意，因为1111222x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若102x +⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，则11022x ⎡+⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，不符题意；若122x +⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦，则11122x ⎡+⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，不符题意；若112x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11022x ⎡+⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，满足条件，则1122x +≤<.解得13x ≤<，即[)1,3x ∈.故答案为：[)1,3.【点睛】本题考查新定义运算，不等式的解法，属于中档题.14. 已知实数()()1,0ln 1,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若关于x 的方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，则t 的取值范围为___________.【答案】[)0,1【解析】【分析】画出f(x)的图象，根据图象特点，要想方程()()2340fx f x t -+=有四个不同的实数根，需要令()f x m =，这样2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，才会有四个交点.【详解】当0x ≤时，()()ln 1f x x =-，单调递减，当0x >时，()1x e f x x -=，()()121x e x f x x --'=，当1x >时，()0f x ¢>，()1x ef x x-=单调递增，当01x <<时，()0f x ¢<，()1x ef x x-=单调递减，在1x =时，f(x)取得最小值，()11f =画出f(x)的图象如图所示：令()f x m =，则方程为2340m m t -+=，要想方程()()2340fx f x t -+=有四个不同的实数根，结合f(x)的图象可知需要满足：2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，令()234g m m m t =-+，则()()161201000t g g ∆=->⎧⎪<⎨⎪≥⎩ ，解得：01t ≤<t 的取值范围[)0,1故答案为：[)0,1【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知()sin cos 0,πθθθ+=∈.（1）求sin cos θθ-的值；（2）求()()cos 22025πtan 2025πθθ+++的值.【答案】（1）sin cos θθ-=（2）115-【解析】【分析】（1）已知式平方后，结合平方关系确定sin ,cos θθ的符号后，再利用平方关系求得sin cos θθ-；（2）（1）小题结论与已知联立方程组解得sin ,cos θθ，由商数关系得tan θ，再利用诱导公式、二倍角公式化简变形后求值．【小问1详解】因为sin cos θθ+=22(sin cos )5θθ+=，所以212sin cos 5θθ+=，即32sin cos 05θθ=-<.因为()0,πθ∈，则sin 0θ>，所以cos 0,sin cos 0θθθ<->，因为28(sin cos )12sin cos 5θθθθ-=-=，所以sin cos θθ-=【小问2详解】由sin cos sin cos θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得sin θθ==，所以sin tan 3cos θθθ==-；所以()()229111cos 22025πtan 2025πcos2tan sincos tan 310105θθθθθθθ+++=-+=-+=--=-.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，其中11a =，且112n n a S -=.（1）求{}n a 的通项公式.（2）设n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21,113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ （2）132(2)(2n n T n -=+-⋅【解析】【分析】（1）根据题意，得到2n ≥时，132n n a a +=，再由211122a S ==，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）得到21,113,222n n nb n n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，结合乘公比错位法求和，即可求解.【小问1详解】由112n n a S -=，可得12n n a S -=，则12n n a S +=，两式相减，可得122n n n a a a +-=，即123n n a a +=，又由211111222a S a ===，易知0n a ≠，所以当2n ≥时，132n n a a +=，所以数列{}n a 的通项公式为21,113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】因为n n b na =，可得21,113,222n n n b n n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则01221313131312(3(4(()22222222n n T n -=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ ，所以123133131313132(3(4((2222222222n n T n -=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ ，两式相减得12321111333313[()()()()]()222222222n n n T n ---=+++++-⋅⋅212133[1()]11131331322([1()](322222222212n n n n n n -----=+⨯-⋅⋅=-⋅--⋅⋅-，所以21133313[()1]()2(2)(222n n n n T n n ---=--⋅-+⋅=+-⋅.17. 已知函数31()3x x f x a+=+为奇函数．（1）解不等式()2f x >；（2）设函数33()log log 39x x g x m =⋅+，若对任意的1[3,27]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得12()()g x f x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(0,1)；（2）94m ≥.【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义直接可得参数值，化简不等式，结合指数函数性质解不等式.（2）由（1）可得2()f x 的值域A ，再利用换元法设3log t x =，可得1()g x 的值域B ，根据B A ⊆，列不等式可得解.【小问1详解】函数31()3x x f x a+=+中，30x a +≠，由()f x 是奇函数，得()()0f x f x +-=，即3131033x x x x a a--+++=++，整理得(1)(332)0x x a -+++=，解得1a =-，函数312()13131x x x f x +==+--定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，由()2f x >，得21231x +>-，即2131x >-，整理得0312x <-<，解得01x <<，所以不等式()2f x >的解集为(0,1).【小问2详解】因为函数31x y =-在(]0,1上单调递增，故当01x <≤时，0312x <-≤，由（1）得31()31+=-x x f x 在(0,1]x ∈的值域[2,)A =+∞，又3333g 39()log log (log 1)(lo 2)x x g x m x x m =⋅+=--+，[3,27]x ∈设3log t x =，则[]1,3t ∈，2(1)(2)32y t t m t t m =--+=-++，当32t =时，min 14y m =-+，当3x =时，max 2y m =+，因此函数()g x 在[3,27]x ∈上的值域1[,2]4B m m =-++，由对任意的1[3,27]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得12()()g x f x =成立，得B A ⊆，于是124m -+≥，解得94m ≥，所以实数m 的取值范围是94m ≥.18. 已知函数()2ln f x x mx =-，()212g x mx x =+，R m ∈，令()()()F x f x g x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）2【解析】【分析】（1）求导，分0m ≤与0m >分类讨论，然后利用导函数的正负来确定单调性即可；（2）构造函数()()()()211ln 112G x F x mx x mx m x =--=-+-+，利用导数求函数()G x 的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题即可；【小问1详解】因为()()2ln 0f x x mx x =->，所以()21122mx f x mx x x -='=-，当0m ≤时，()0f x '>，所以()f x 在区间(0,+∞)上单调递增；当0m >时，令()0f x '>，即2120mx ->，又0x >，解得0x <<令()0f x '<，即2120mx -<，又0x >，解得x >，综上，当0m ≤时，()f x 的增区间为(0,+∞)，无减区间；当0m >时，()f x的增区间为⎛⎝，减区间为∞⎫+⎪⎪⎭【小问2详解】令()()()()211ln 112G x F x mx x mx m x =--=-+-+，所以()()()21111mx m x G x mx m x x-+-+=-+-='．当0m ≤时，因为x >0，所以()0G x '>．所以()G x 在()0,∞+上是单调递增函数，又因为()()2131ln11112022G m m m =-⨯+-+=-+>，所以关于x 不等式()0G x ≤不能恒成立，即关于x 的不等式()1F x mx ≤-不能恒成立．当m >0时，()()()21111m x x mx m x m G x x x ⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭=='．令()0G x '=，得1x m =，所以当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '>；当1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0G x '<．因此函数()G x 在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是增函数，在1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭是减函数．故函数()G x 的最大值为()2111111ln 11ln 22G m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令()1ln 2h m m m =-，()2112h m m m=-'-，当()0,m ∞∈+时，()0h m '<所以()h m 在()0,m ∞∈+上是减函数，又因为()1102h =>，()12ln204h =-<，所以当2m ≥时，()0h m <，所以()0G x <恒成立，即()1F x mx ≤-恒成立所以整数m 的最小值为2．的【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键是分0m ≤与0m >进行分类讨论，第（2）的关键是通过移项构造函数()()21=ln 112G x x mx m x -+-+，把恒成立问题转化为求函数()G x 的最值问题.19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为n a ；若n 为奇数，则对31n +不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为n a .若1n a =，则称正整数n 为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知9m a m =-.求m 的值；（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()*7N 3n S n <∈.【答案】（1）2和5为两个质数“理想数”（2）m 的值为12或18（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道9m a m =-必为奇数，则m 必为偶数，结合整除知识得解；（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19，212=，故21a =，所以2为“理想数”；33110⨯+=，而1052=，故3不是“理想数”；35116⨯+=，而41612=，故5是“理想数”；37122⨯+=，而22112=，故7不是“理想数”；311134⨯+=，而34172=，故11不是“理想数”；313140⨯+=，而4058=，故13不是“理想数”；317152⨯+=，而52134=，故17不是“理想数”；319158⨯+=，而58292=，故19不是“理想数”；2∴和5为两个质数“理想数”；【小问2详解】由题设可知9m a m =-必为奇数，m ∴必为偶数，∴存在正整数p ，使得92p m m =-，即9921p m =+-：921p ∈-Z ，且211p -≥，211p ∴-=，或213p -=，或219p -=，解得1p =，或2p =，1991821m ∴=+=-，或2991221m =+=-，即m 的值为12或18．【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如()*2k k ∈N 的整数，下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：((((022*******,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦ ，若奇数1m >，不妨设(2222,2k k m -⎤∈⎦，若m 为"理想数"，则(*3112s m s +=∈N ，且)2s >，即(*213s m s -=∈N ，且)2s >，①当(*2s t t =∈N ，且)1t >时，41(31)133t t m -+-==∈Z ；②当()*21s t t =+∈N 时，2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==∉Z ；(*413t m t -∴=∈N ，且)1t >，又22241223t k k --<<，即1344134k t k -⨯<-≤⨯，易知t k =为上述不等式的唯一整数解，区间(2222,2k k -]存在唯一的奇数"理想数"(*413k m k -=∈N ，且)1k >，显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为()*413k m k -=∈N ，∴所有的奇数"理想数"的倒数为()*341k k ∈-N ，1133134144441k k k ++<=⨯--- 1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯= ⎪⎝⎭-- ，即()*73n S n <∈N ．【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。

2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考试卷(二)数学试卷及答案

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学得分：___________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若12z i =+，则()1z z +⋅=（）A. 24i-- B. 24i-+ C. 62i- D. 62i+2. 全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A. {2,3,5,7,9}B. {2,3,4,5,6,7,8,9}C. {4,6,8}D. {5}3. 函数()2log 22x x xx f x -=+部分图象大致是（）A. B.C. D.4. 在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（）A. 3B. 3- C. 4- D. 45. 某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A. 3045.6gB. 1565.1gC. 972.9gD. 296.1g6. 已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为( )A.4πB. 2πC.34π D.54π8. 已知函数()f x 定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（）A. ()()2,04,∞-⋃+B. ()(),15,∞∞--⋃+C. ()(),24,-∞-+∞ D. ()()1,05,∞-⋃+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（）A. 若a b >，则2a ba b +>> B. 若0a b >>，则a b>>C. 若11a b>，则0a >，0b < D. 若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+10. 已知函数()2sin cos f x x x x =+，则下列说法正确的是（）A ()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的.B. 函数()f x 的最小正周期为πC. 函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D. 函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到11. 设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A. 若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B. 若数列{}n S 有最小项，则0d >C. 若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D. 若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列12. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A. 四面体11A D MN 的体积为定值B. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C. 直线MN 与平面ABCDD. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分的AOC ∠，34,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．15. 已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．16. 已知菱形ABCD中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c)sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABCABC 的周长.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C O = ，12BC BB ==，1AO =，160B BC ∠=︒，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．20. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF交椭圆于B 点，且满足||2||AF FB =，||AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．21. 如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．22. 混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()Nf X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．的大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学得分：___________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若12z i =+，则()1z z +⋅=（）A. 24i --B. 24i-+ C. 62i- D. 62i+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.【详解】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2. 全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A. {2,3,5,7,9}B. {2,3,4,5,6,7,8,9}C. {4,6,8}D. {5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3. 函数()2log 22x xxx f x -=+的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22x xxx f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222x x x xx x x f x x f x-----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4. 在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（）A. 3 B. 3- C. 4- D. 4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到AC ，DE，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =--，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-=.故选：A.5. 某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A. 3045.6gB. 1565.1gC. 972.9gD. 296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C6. 已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n nn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A7. 若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为( )A.4πB. 2πC.34π D.54π【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式得到，要求y ＝sin x 和y ＝cos x 图象不在y ＝a的同一侧，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．【详解】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，【的当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a ，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a 的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（）A. ()()2,04,∞-⋃+B. ()(),15,∞∞--⋃+C. ()(),24,-∞-+∞D. ()()1,05,∞-⋃+【答案】D 【解析】【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（）A. 若a b >，则2a ba b +>> B. 若0a b >>，则a b>>C. 若11a b>，则0a >，0b < D. 若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+【答案】ABD 【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >，1=>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =1b>，不满足0a >，0b <，故C 错误；对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，故D 正确．故选：ABD ．10. 已知函数()2sin cos f x x x x =+，则下列说法正确的是（）A. ()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 函数()f x 的最小正周期为πC. 函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D. 函数()f x 图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】AB的【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.【详解】()211cos 21πsin cos sin 2sin 22sin 22223x f x x x x x x x x +⎛⎫=-+==-=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以B 正确；对于C ，由ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，得5ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5ππ122k x =+，Z k ∈，所以C 不正确；对于D ，sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度，得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，所以D 不正确．故选：AB ．11. 设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A. 若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B. 若数列{}n S 有最小项，则0d >C. 若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D. 若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】BD 【解析】【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD12. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A. 四面体11A D MN 的体积为定值B. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C. 直线MN 与平面ABCDD. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD 【解析】【分析】求出四面体的体积判断A ；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B ；作出线面角，并求出其正切表达式判断C ；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，所以四面体11A D MN 的体积11114222323N A MD V -=⨯⨯⨯⨯=恒为定值，A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是1111,,A A A B A D ，及分别与它们平行的棱，又1111,,A A A B A D 不与平面1A MN 平行，则在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；正方体棱长为2，如图1，过M 作1MM BC ⊥于1M ，则有1MM ⊥平面ABCD ，于是MN 与平面ABCD 所成角即为1MNM ∠，于是11112tan MM MNM M N M N∠==，又1M N长度的最大值为MN 与平面ABCD，C 正确；如图2，取BC 中点M '，连接,AM MM ''，有11////MM BB AA '，且11MM BB AA '==，则四边形1AA MM '是平行四边形，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，则1//EN A M ，即EN 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面ABCD 的交线，连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，同证1//AM A M '的方法得11//A E B F ，在棱1CC 上取点G ，使113CG CC =，连接MG 并延长交直线BC 于H ，则112CH C M CF ==，即11FH C M B M ==，而1//FH B M ，于是四边形1FHMB 是平行四边形，有11////MG B F A E ，则MG 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面11BCC B 的交线，连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A ，M ，N 三点的截面，D 正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．【答案】2-【解析】【分析】求导，利用()13f '=求解即可.【详解】解：因为()ln f x x a x =-，所以()1a f x x'=-，又函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则()1131af '=-=，所以2a =-．故答案为：2-14. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分AOC ∠，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．【答案】2425⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可知圆O 1=，设AOB BOC α∠=∠=，由题意可知4sin 5α=，3cos 5α=，则点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=-，点C 的纵坐标为241sin 22sin cos 25ααα⨯==．故答案为：724,2525⎛⎫-⎪⎝⎭．15. 已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得()e 2e xxf x -=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()ee xx f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e 3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3ex xf x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故答案为：16. 已知菱形ABCD 中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.【答案】28π【解析】【分析】将ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，得到120AEC ∠=︒，在AEC △中由余弦定理求出AE 的长，进一步求出AB 的长,分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，证明Rt OGE △与Rt OFE 全等，求出OE ，再推出BD OE ⊥，连接OB ，由勾股定理求出OB ，即可得出外接球的表面积.【详解】将ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；设AE a =，则AE CE a ==,在AEC △中2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒，即2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得3a =，即3AE =，所以AB ==所以ABD △与BCD △是边长为.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则113EG AE ==，113EF CE ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以2cos 60EFOE ==︒；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB ，则外接球半径为OB ===，所以外接球表面积为2428S ππ=⨯=.故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明.【小问1详解】依题意可得，当1n =时，2111122S a a a ==+，0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，故可得11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】证明：由（1）可知n a n =，所以()42222n b n n n n ==-++，()44441324352n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+22222222222222132435462112n n n n n n =-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-+---++2221312n n =+--<++，所以3n T <成立18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c)sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABCABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）18.【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A的值，结合角A的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出182b c bc++=，结合余弦定理可求得b c+的值，即可求得ABC的周长.【小问1详解】)sina C C=-，)sin sinB AC C=-，①因为πA B C++=，所以()sin sin sin cos cos sinB AC A C A C=+=+，sin sin sinA C A C=-，又因为A、()0,πC∈，sin0C≠sin0A A=-<，所以tan A=，又因为()0,πA∈，解得2π3A=.【小问2详解】解：由（1）知，2π3A=，因为ABC所以()1sin2ABCS a b c A=++=⋅△，即()8b c++=，所以，182b c bc++=②，由余弦定理2222π2cos3a b c bc=+-⋅得2264b c bc++=，所以()264b c bc+-=③，联立②③，得()()22864b c b c+-++=，解得10b c+=，所以ABC的周长为18a b c++=.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C-中，11BC B C O=，12BC BB==，1AO=，160B BC∠=︒，且AO⊥平面11BB C C．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得1B C ⊥平面1ABC ，从而即可证明1AB B C ⊥；（2）建立以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥，因为1BC BB =，四边形11BB C C 是平行四边形，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥．又因为1AO BC O ⋂=，AO ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为AB ⊂平面1ABC ，所以1AB B C ⊥．【小问2详解】解：以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则)B，()10,1,0B ，()0,0,1A，()1C ，所以()10,1,1AB =-，)11C B =，)110,1A B AB ==-，为设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，则11111111100n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =，可得1y =1z =，所以(11,n =u r，设平面111B C A 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，则211221112200n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21x =，可得2y =2z =，所以(21,n = ，设二面角111A B C A --的大小为θ，因为1212121cos ,7n n n n n n ⋅〈〉===⋅ ，所以sin θ==，所以二面角111A B C A --．20. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B 点，且满足||2||AF FB =， ||AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y +=；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得b =，由||2||AF FB =且||AB =，知||AF a ==，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）直线AF0y +=，与椭圆联立求出3(,2B ，求出点,A B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d =，2d =，联立直线y kx =与椭圆方程结合弦长公式求出CD ，求出四边形ACBD 的面积121()2S CD d d =+，整理化简利用二次函数求出最值.【详解】（1）A Q 为椭圆C上一点，b ∴=又 ||2||AF FB =，||AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF0y +-=，联立221320x y y ⎧+=⎪⎨+-= ，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,2B设点A，3(,2B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d = 直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==4CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S，则121()2S CD d d =+=(0)k =>.设)t k =+∞，则k t =S ∴====≤当1t =，即t k ===k =ACBD面积有最大值【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -的体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）取OB 的中点N ，连接MN ，证明出//NP OC ，可得出3ONP π∠=，OPN θ∠=，然后在ONP △中利用正弦定理可求得sin θ的值；（2）计算得出四边形OCPB的面积364S πθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，结合20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得θ的取值范围，设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V，计算得出2361123V V πθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【小问1详解】解：取OB 的中点N ，连接MN ，M 为AB 的中点，则//MN OA ，MN ⊄ 平面AOC ，AO ⊂平面AOC ，则//MN 平面AOC ，由题设，当//MP 平面AOC 时，因为MP MN M ⋂=，所以，平面//MNP 平面AOC ，NP ⊂ 平面MNP ，则//NP 平面AOC ，因为NP ⊂平面OBPC ，平面OBPC 平面AOC OC =，则//NP OC ，所以，3ONP BOC ππ∠=-∠=，OPN COP θ∠=∠=，在OPN 中，由正弦定理可得sin sin 3ON OP πθ=，故sin 3sin ON OP πθ==.【小问2详解】解：四棱锥M OCPB -的体积1111323V OA S S =⋅⋅=，其中S 表示四边形OCPB 的面积，则112111sin sin sin sin 223222S OP OC OP OB πθθθθθ⎫⎛⎫=⋅+⋅-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭3sin 46πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，111364V S πθ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，可得sin 6πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭203πθ<< ，则5666πππθ<+<，故2363πππθ<+<，解得,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，由于M 是AB 的中点，则231112sin 2623V V OA S OB OC π⎛⎫==⋅-⋅ ⎪⎝⎭136πθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.22. 混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()N f X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【小问1详解】由题意可得X 满足二项分布(),X B N p ，由()()E aX b aE X b +=+知，()()N NE f X K X E pN N K K K =+=+⋅≥⎡⎤⎣⋅⎦，当且仅当1Kp K=时取等号；【小问2详解】记P P =（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），i P P =（混管中恰有i 例阳性）=()C 1K i ii K p p --，0,1,,i K = ，令()e 1xh x x =--，33210210x ---⨯<<⨯，则()e 1xh x '=-，当()3021,0x -⨯∈-时，()0h x '<，()h x 为单调递减，当()300,21x -∈⨯时，()0h x '>，()h x 为单调递增，所以()()00h x h ≥=，且()()332103210e 21010h ---⨯--⨯=--⨯-≈，()()332103210e 21010h --⨯-⨯=-⨯-≈，所以当33210210x ---⨯<<⨯，e 10x x --≈即e 1x x ≈+，两边取自然对数可得()ln 1x x ≈+，所以当4010p -<<，1020K ≤≤时，所以()()ln 11e e K K p Kp p Kp ---=≈≈-，则()()()()110111111111K K Kp K p Kp p P P K p P Kp p ---⎡⎤-⎣⎦==≈=--≈---．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.。

2025届江门市高三数学上学期第二次月考试卷及答案解析

2024--2025学年新会华侨中学高三第一学期第二次月考数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{}2,4U M =ð，则（）A. 1M ÍB. 4MÍ C. 5MÎ D. 3MÏ【答案】C 【解析】【分析】由补集运算得出集合M ，再由元素与集合的关系判断．【详解】因为全集{}{}1,2,3,4,5,2,4U U M ==ð，所以{1,3,5}M =，根据元素与集合的关系可知，ABD 错误，C 正确．故选：C ．2 已知()()10()sin π0x x f x x x -ì-<ï=í³ïî，则()()3f f -=（）A. B. 0 C.12D.【答案】D 【解析】【分析】先求()133f -=，再求()()1π3sin 33f f f æö-==ç÷èø，即可求解.【详解】根据已知()()11333f --=--=，所以()()1π3sin 33ff f æö-===ç÷èø故选：D .3. 若“x a >”是“1x >”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为（）A. (),1-¥ B. (],1-¥ C. ()1,+¥ D. [)1,+¥【答案】A 【解析】【分析】由题意可得{}1x x >⫋{}x x a >，再根据集合的包含关系求参即可..【详解】因为“x a >”是“1x >”的必要不充分条件，所有{}1x x >⫋{}x x a >，所以1a <，即实数a 的取值范围为(),1-¥．故选：A ．4. 已知πcos 4a æö+=ç÷èøsin 2a =（）A. 56- B. 23-C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解.【详解】由条件可知，22ππ2cos 22cos 121243a a æöæö+=+-=´-=-ç÷ç÷èøèø，而π2sin 2cos 223a a æö=-+=ç÷èø.故选：C5. 若1nx æöç÷èø的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中51x 的系数为（）A. 8 B. 28 C. 70 D. 252【答案】D 【解析】【分析】先确定n 值，再由二项展开式的通项求解5x -项的系数即可.【详解】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项，即二项式系数01C ,C ,,C nn n n L 中第5个即4C n 最大，所以由二项式系数的性质可知，展开式中共9项，8n =，又811213nx x x -æöæö-=-ç÷ç÷èøèø，则81123x x -æö-ç÷èø二项展开式的通项公式()81831822188C 3C (1)3rrr r r r rr T x x x ----+æö=-=-ç÷èø，0,1,2,,r n =L .令835,62r r -=-=，所以51x 的系数为62288C 39C 252×==．故选：D ．6. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）A. yB. y =C. y =D. y =【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可.【详解】A 选项：1|1x y ==>，故A 错误；B 选项：记()f x =()()f x f x -=-=-，故()f x 为奇函数，不符合题意，故B 错误；C 选项：记()h x =()()h x h x -=，故y =当0x ³时，y ==，此函数在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，且()()()00,11,20h h h ===，故C 正确；D 选项：记()g x =()()g x g x -=¹-，故()g x 既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D 错误.故选：C.7. 已知函数221(2)()15(2)24x ax x x f x x ì+->ï=íæö-£ïç÷èøî是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A. (,1]-¥-B. 1,2æù-¥-çúèûC. (,0]-¥D. (,1]-¥【答案】A 【解析】【分析】首先由题意有(2)1f =-，若()f x 是R 上的减函数，故只需当2x >时，()221f x ax x =+-单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可.【详解】当2x £时，15()24xf x æö=-ç÷èø单调递减，a ÎR ，且()f x 最小值(2)1f =-，当2x >时，当0a =时，()21f x x =-单调递增，不符题意，又注意到()f x 是R 上的减函数，故只能抛物线()221f x ax x =+-的开口向下即0a <，其对称轴为1x a=-，则由题意有201222211a a a <ìïï-£íï´+´-£-ïî，解得1a £-．故选：A.8. 已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->éùëû恒成立，设1ln 2a f æö=ç÷èø，()2log 3b f =，32c f æö=ç÷èø，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. c a b >> B. c b a>> C. a c b>> D. b a c>>【答案】C 【解析】为【分析】先结合条件判断函数()f x 的对称性质和单调性，再分别界定三个自变量的值或者范围，利用函数对称性和单调性即得.【详解】依题可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且在区间(,1)-¥上单调递增,则在区间(1,)+¥上单调递减.因2ln 213=<<，则131ln 22<<，23log 322<<，故213()()(log 3)2ln 2f f f >>，即a c b >>.故选：C.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于，得知了函数在(1,+)¥上的单调性之后，如何判断三个自变量的大小范围，考虑到三个都是大于1的，且有一个是32，故对于2log 3和1ln 2，就必然先考虑它们与32的大小，而这需要利用对数函数的单调性得到.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布(100,100)N ，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（）附:随机变量x 服从正态分布2~(,)N m s ，则()0.6826P m s x m s -<<+=，(22)0.9544P m s x m s -<<+=，(33)0.9974P m s x m s -<<+=.A. 该市学生数学成绩的标准差为100B. 该市学生数学成绩的期望为100C. 该市学生数学成绩的及格率超过0.8D. 该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布网线的对称性，正态分布的概念判断．【详解】X 服从正态分布(100,100)N ，则标准差为10，期望为100，A 错，B 正确，100,10m s ==，11(90)()(1())(10.6826)0.158722P X P X P X m s m s m s £=£-=--<<+=´-=，(90)1(90)10.15870.84130.8P X P X ³=-<=-=>，C 正确；及格线m s -，而优秀线是2m s +，1(120)(2)(10.9544)0.02282P X P X m s ³=>+=´-=，这优秀率，优秀率与及格率相差很大，人数相差也很大，D 错．故选：BC ．10. 下列命题正确的是（）A. 命题“1x ">，20x x ->”的否定是“01x $£，2000x x -£”；B. 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的必要不充分条件C. 函数()21f x ax x =++的图象恒在()2g x x ax =+的图象上方，则a 的范围是()1,5D. 已知111222,,,,,a b c a b c 均不为零，不等式不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ，则“111222a b c a b c ==”是“M N =”成立的既不充分也不必要条件【答案】BD 【解析】【分析】借助全称命题的否定的定义可得A ；借助充分条件与必要条件的关系推导可得 B ；借助作差法结合二次函数的性质计算可得C ；结合充分条件与必要条件的定义，举出相应反例可得D.【详解】对A ：命题“1x ">，20x x ->”的否定是“01x $>，2000x x -£”，故A 错误；对B ：由A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，可得A 是C 的必要不充分条件，由D 是C 的充分不必要条件，则A 是D 的必要不充分条件，故B 正确；对C ：由题意可得()()2201f g x x x x a a x x ---++>=恒成立，即()()20111a x a x -++>-恒成立，则当1a =时，有10>恒成立，符合要求，当1a >时，()()()()2141150a a a a D =---=--<，解得()1,5a Î，当1a <时，()()20111a x a x -++>-不恒成立，故舍去，综上所述，a 的范围是[)1,5，故C 错误；对D ：若“1112220a b c a b c ==<”，则“M N =”不成立，是若“M N ==Æ”，则“111222a b c a b c ==”不恒成立，故“111222a b c a b c ==”是“M N =”成立的既不充分也不必要条件，故D 正确.故选：BD .11. 已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于π3x =对称，下列结论中正确的是（）A. π6f x æö-ç÷èø是奇函数B. π4f æö=ç÷èøC. 若()f x 在[,]m m -上单调递增，则π03m <£D. ()f x 的图象与直线π23y x =+有三个交点【答案】AC 【解析】【分析】先函数对称性求解a ，得到()f x 的解析式.A 项，化简π2sin 6f x x æö-=ç÷èø可知为奇函数；B 项，代入解析式求值即可；C 项，利用整体角求()f x 的单调递增区间，由2ππ33m m -£-<£可得m 范围；D 项，利用导数可知直线恰为曲线在π,06æö-ç÷èø处的切线，进而可得公共点个数.【详解】因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以2π(0)3f f æö=ç÷èø112-=，解得a =所以π()cos 2sin 6f x x x x æö=+=+ç÷èø，验证：当π3x =时，π23f æö=ç÷èø，()f x 取最大值，故()f x 的图象关于直线π3x =对称，满足题意；A 项，π2sin 6f x x æö-=ç÷èø，x ∈R ，由2sin()2sin x x -=-，则π6f x æö-ç÷èø是奇函数，故A 正确；B 项，由)πππcos 1444f æö=+=+=ç÷èøB 错误；C 项，π()2sin 6f x x æö=+ç÷èø，由πππ2π2π,262k x k k -+£+£+ÎZ ，解得2ππ2π2π,33k x k k -+££+ÎZ ，当0k =时，32π3π-££x ，由()f x 在[,]m m -上单调递增，则2ππ33m m -£-<£，解得π03m <£，故C 正确；D 项，π()2sin 6f x x æö=+ç÷èø的图象与直线π23y x =+均过点π,06æö-ç÷èø，由π()2cos 6f x x æö=+ç÷èø¢，则π2cos 026f æö-==ç÷èø¢，故直线π26y x æö=+ç÷èø即π23y x =+与曲线π()2sin 6f x x æö=+ç÷èø相切，如图可知()f x 的图象与直线π23y x =+有且仅有一个公共点，故D 错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知x ，y 之间的一组数据：若y ˆˆy a =+，则此曲线必过点_____________.x 14916y12.98 5.017.01【答案】(6.25,4)【解析】【分析】设t =ˆˆˆybt a =+，根据回归方程性质可得回归直线所过定点.【详解】由已知ˆˆya =，设t =ˆˆˆybt a =+，由回归直线性质可得(),t y 在直线ˆˆˆybt a =+上，又1234 2.54t +++==，1 2.98 5.017.0144y +++==，所以点()2.5,4在直线ˆˆˆybt a =+上，故点(6.25,4)在曲线ˆˆy a =上.故答案为：(6.25,4).13. 诗词是中国的传统文化遗产之一，是中华文化的重要组成部分．某校为了弘扬我国优秀的诗词文化，举办了校园诗词大赛，大赛以抢答形式进行．若某题被甲、乙两队回答正确的概率分别为11,43，且甲、乙两队抢到该题的可能性相等，则该题被答对的概率为___________．【答案】724【解析】【分析】分甲抢到题且答对和乙抢到题且答对两种情况计算即可．【详解】解：由题意，甲、乙两队抢到该题的概率均为12，该题被答对的概率为11117242324´+´=．故答案：724．14. 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=L __________．【答案】3【解析】【分析】首先由函数的奇偶性和对称性，分析函数的周期性，再求值.【详解】()(2)f x f x =-Q ，(2)()f x f x \+=-，又()f x 奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x \+=-=-+=-+=()f x \是周期为4的周期函数，为为()f x Q 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f \=\==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===-=-=-(1)(2)(3)(4)0f f f f \+++=，()()()()()12...50012123f f f f f \+++=´++=.故答案为：3．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，属于中档题型，本题关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数2111222f x x x æö-=--ç÷èø.（1）求函数()f x 的解析式；（2）对任意的实数1,22x éùÎêúëû，都有()113222f x x ax ³+-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) ()()2471f x x x x R =++Î;(2) (],7a Î-¥.【解析】【详解】试题分析：()1用换元法令112t x =-来求函数()f x 的解析式（2）由（1）得()f x 的解析式代入，分离含参量123a x x æö£++ç÷èø，求出实数a 的取值范围解析：（1）令11222t x x t =-Þ=+∴()()()21222222f t t t =+-+- 2471t t =++即：∴()()2471f x x x x R =++Î.（2）由()11312222f x x ax ³+-Þ ()21347122x x x ax ++³+-即：2232ax x x £++又因为：1,22x éùÎêúëû，∴123a x x æö£++ç÷èø令()123g x x x æö=++ç÷èø，则：()min a g x £又()g x 在1,12x éùÎêúëû为减函数，在[]1,2x Î为增函数.∴()()min 17g x g ==∴7a £，即：(],7a Î-¥.点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以运用分离含参量的方法，求解不等式，注意分类讨论其符号，最后求解结果．16. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)()()sin sin sin a A b c B C -=+-．（1）求角C ；（2）若ABC V 外接圆的半径为2，求ABC V 面积的最大值．【答案】（1）π6C =（2）2+【解析】【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合外接圆的半径可以求出2c =，根据三角形面积公式、利用重要不等式进行求解即可.【小问1详解】由已知及正弦定理可得)()()a a b c b c -=+-，整理得222a b c +-=，222cos 2a b c C ab +-\==，()π0,π,6C C Î\=Q ．【小问2详解】ABC QV 外接圆的半径为2，4sin cC\=，得222,4c a b =\+=，又(222,42a b ab ab +³\£，当且仅当a b ==时，等号成立，(111sin 422222ABC S ab C \=£´+´=+V ，V面积的最大值为2+．即ABC17. 为响应国家使用新能源的号召，促进“碳达峰碳中和”的目标实现，某汽车生产企业在积极上市四款新能源汽车后，对它们进行了市场调研.该企业研发部门从购买这四款车的车主中随机抽取了50人，让车主对所购汽车的性能进行评分，每款车的性能都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分及相应人数的统计结果如下表.汽车款式合计汽车性能基础版豪华版一般优秀合计性能评分12345汽车款式基础版122310基础版基础版244531豪华版113541豪华版豪华版200353（1）求所抽车主对这四款车性能评分的平均数和第90百分位数；（2）当评分不小于4时，认为该款车性能优秀，否则认为性能一般.根据上述样本数据，完成上面列联a=的独立性检验，能否认为汽车的性能与款式有关？表，并依据0.05（3）为提高这四款新车的性能，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，记X 为其中基础版1车主的人数，求X的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dc-=++++.a0.100.050.010.005xa2.7063.841 6.6357.879【答案】（1）3，4.5（2）列联表见解析，依据0.05a=的独立性检验，能认为汽车的性能与款式有关；（3）分布列见解析，1【解析】【分析】（1）根据平均数公式求平均数，根据百分位数定义求第90百分位数；（2）由条件数据填写列联表，提出零假设，计算2c，比较2c与临界值的大小，确定结论；（3）由条件可得X服从超几何分布，确定其取值，求取各值的概率，可得分布列，再由期望公式求期望.【小问1详解】由题意得这四款车性能评分的平均数为1 (172931641355)350´+´+´+´+´´=；509045´%=，所以第90百分位数为50数从小到大排列的45和第46个数的平均数，由已知50数从小到大排列后的第45个数为4，第46个数为5，故第90百分位数为454.5 2+=；【小问2详解】由题意得汽车款式汽车性能基础版豪华版合计一般201232优秀51318合计252550零假设为0H ：汽车性能与款式无关，根据列联表中的数据，经计算得到220.0550(2013125)505.556 3.841321825259x c ´´-´==»>=´´´.根据小概率值0.05a =的独立性检验，推断0H 不成立，即认为汽车性能与款式有关，此推断犯错误的概率不超过0.05；【小问3详解】由题意可得X 服从超几何分布，且12N =，4M =，3n =，由题意知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，则38312C 14(0)C 55P X ===，1482123C C (1)C 2855P X ===，824312112C C (2)C 55P X ===，34312C 1(3)C 55P X === 所以X 的分布列为X123P1455285512551551428121()0123155555555E X =´+´+´+´=.18. 已知锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a c c B -=．（1）证明：2B C =；（2）若2a =，求cos 1C b c+的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）33,42æöç÷èø【解析】【分析】（1）由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得sin()sin B C C -=，进一步即可证明；（2）由题意首先求得cos C 的取值范围，进一步将目标式子cos 1C b c+转换为只含有cos C 的式子即可求解．【小问1详解】因为2cos a c c B -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A C C B -=，所以sin cos sin cos sin 2sin cos B C C B C C B +-=，所以()sin cos sin cos sin sin sin B C C B C B C C -=Û-=，而0π,0C πB <<<<，则B C C -=或πB C C -+=，即2B C =或B π=（舍去），故2B C =．【小问2详解】因为ABC V 是锐角三角形，所以π02π022π0π32C C C ì<<ïïï<<íïï<-<ïî，解得ππ64C <<，所以cos Ccos C <<，由正弦定理可得：sin sin b B c C =，则sin sin 22cos sin sin B C b c c C c C C=×=×=×，所以cos 12C b c =，所以cos 132C b c c+=，因为2cos a c c B -=，所以22cos 2c c C -=，所以22cos 21c C =+，所以()()234cos 132cos 21cos 13342442cos 21C C C b c c C -++====+，因为cos CÎ，所以24cos 1C -Î()1,2，所以()234cos 1cos 14C C b c -+=的取值范围是33,42æöç÷èø．19. 已知()x x a b f x a b+=-（0a >且1a ¹）是R 上的奇函数，且()325f =.设()()()2f x F x f x =.（1）求a ，b 的值，并求()F x 的值域；（2）把区间()0,2等分成2n 份，记等分点的横坐标依次为i x ，1,2,3,,21i n =-L ，设()142321x g x -=-+，记()()()()()()*12321g g g g n H n x x x x n -=++++ÎN L ，是否存在正整数n ，使不等式()()F x H n ≥有解?若存在，求出所有n 的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）存在，n =1，2或3【解析】【分析】（1）由()f x 是R 上的奇函数，且()325f =求出,a b 可得()f x 及()F x ，利用分离常量求出()F x 的值域；（2）()()113g x f x =-+得出()g x 的图象关于11,3æöç÷èø对称，所以()()223i i g x g x +-=，利用对称性求出()H n 可得答案.【小问1详解】因为()x x a bf x a b+=-（0a >且1a ¹）是R 上的奇函数，且()325f =，所以()()002200325a bf a b a b f a b ì+==ïï-í+ï==ï-î，解得21a b =ìí=-î，则()2121x x f x -=+，因为定义域为R ，()()21212121x x x x f x f x -----==-=-++，所以()f x 是R 上的奇函数，故2,1a b ==-，()()()2222221212221212121x x x x x x x f x F x f x -++×+==´=+-+()22212221012122x x xx x x ++×==+¹++，因为20x >，所以()221121222x xF x =+£+=+，当且仅当122xx=，即x =0时等号成立，所以()2F x <又x R Î时，()211122xxF x =+>+，所以()12F x <<，即()F x 的值域为()1,2；【小问2详解】把区间()0,2等分成2n 份，则等分点的横坐标为i ix n=，1,2,3,,21i n =-L ，()()1142211113212133x x g x f x --=-=-+=-+++，()f x 为奇函数，所以()g x 的图象关于11,3æöç÷èø对称，所以()()223i i g x g x +-=，1,2,3,,21i n =-L ，所以()122221g g g g n n H n n n n n --æöæöæöæö=++++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL 12122211n n n n n g g g g g g g n n n n n n n éùéùéù---+æöæöæöæöæöæöæö=+++++++ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷êúêúêúèøèøèøèøèøèøèøëûëûëûL 122212133333n n --=++++=L 1442443项所以()2123n H n -=<，即72n <.故存在正整数1,2n =或3，使不等式()()f x H n ³有解.【点睛】关键点点睛：第二问的解题的关键点是判断出()()113g x f x =-+，()g x 的图象关于11,3æöç÷èø对称，所以()()223i i g x g x +-=.。

2021-2022学年安徽省六安市裕安区新安中学普通班高三(上)第二次月考数学试卷(理科)(解析版)

2021-2022学年安徽省六安市裕安区新安中学普通班高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣1））的值为（）A．﹣1B．0C．1D．24．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A．f（x）＝x3+x B．f（x）＝x3﹣1C．D．f（x）＝log3|x| 5．函数y＝的一段大致图象是（）A．B．C．D．6．已知f（x）＝sin x﹣cos x，则＝（）A．0B．C．D．17．已知a＝（），b＝log23，c＝log47，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b8．函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1]D．（0，+∞）9．函数f（x）＝lnx+ax存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）C．（2，+∞）D．（0，+∞）10．如果幂函数y＝（m2﹣3m+3）的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝111．函数y＝ax3﹣x在（﹣∞，+∞）上的减区间是[﹣1，1]，则（）A．a＝B．a＝1C．a＝2D．a≤012．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（1，2）二、填空题（每题5分，合计20分）13．计算求值：+lg5+lg2+e ln2lg0.01＝．14．已知函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1＝0，则f（1）+2f′（1）的值是．15．若关于x的不等式ax2+ax+2≥0的解集为R，则a的取值范围为．16．已知函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围为．三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．已知关于x的不等式（a﹣x）（x+1）≥0的解集为A，不等式|x﹣1|＜1的解集为B．（1）若a＝3，求A；（2）若A∪B＝A，求正数a的取值范围．18．已知函数f（x）＝a x+log a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为6+log a2．（1）求实数a的值；（2）对于任意的x∈[2，+∞），不等式kf（x）﹣1≥0恒成立，求实数k的取值范围．19．函数f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+x﹣3．（1）求f（﹣1）的值和函数f（x）的表达式；（2）求方程f（x）＝0在R上的零点个数．20．已知函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝．（1）求函数的解析式；（2）判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t的不等式：f（t+）+f（t﹣）＜0．21．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y ＝﹣4x+1，y＝f（x）在x＝3处有极值．（1）求f（x）的解析式．（2）求y＝f（x）在[0，4]上的最小值．22．已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y＝x+2垂直，求函数y＝f （x）的单调区间；（2）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．参考答案一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}【分析】直接利用交集运算得答案．解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜4}∩{2，3，4，5}＝{2，3}．故选：B．2．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x3＞8得到|x|＞2，由|x|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案．解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，则x3＜﹣8或x3＞8．即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选：A．3．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣1））的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】利用分段函数的性质先求f（﹣1）的值，再求f（f（﹣1））的值．解：∵函数f（x）＝，∴f（﹣1）＝3﹣（﹣1）＝4，f（f（﹣1））＝f（4）＝＝2．故选：D．4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A．f（x）＝x3+x B．f（x）＝x3﹣1C．D．f（x）＝log3|x|【分析】由常见函数的奇偶性和单调性，可得结论．解：f（x）＝x3+x，由f（﹣x）＝﹣x3﹣x＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数，且f（x）在R上递增，故A符合题意；而f（x）＝x3﹣1不为奇函数；f（x）＝﹣是奇函数，但在定义域内不单调；f（x）＝log3|x|为偶函数．故BCD不符题意．故选：A．5．函数y＝的一段大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和特殊值即可判断．解：f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），∴y＝f（x）为奇函数，∴图象关于原点对称，∴当x＝π时，y＝﹣＜0，故选：A．6．已知f（x）＝sin x﹣cos x，则＝（）A．0B．C．D．1【分析】根据题意，求出函数的导数，将x＝代入计算可得答案．解：f（x）＝sin x﹣cos x，则f′（x）＝cos x+sin x，则f′（）＝cos+sin＝，故选：C．7．已知a＝（），b＝log23，c＝log47，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．解：∵，∴0＜a＝（）＜（）0＝1，b＝log23＝log49＞c＝log47＞log44＝1，∴a，b，c的大小关系为a＜c＜b．故选：D．8．函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1]D．（0，+∞）【分析】化简函数的解析式，可得它的单调性．解：∵函数＝，故它的单调递增区间为[1，+∞），故选：B．9．函数f（x）＝lnx+ax存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）C．（2，+∞）D．（0，+∞）【分析】问题等价于f′（x）＝2在（0，+∞）上有解，分离出参数a，转化为求函数值域问题即可．解：函数f（x）＝lnx+ax存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，即f′（x）＝2在（0，+∞）上有解，而f′（x）＝+a，即k＝2在（0，+∞）上有解，a＝2﹣，因为x＞0，所以2﹣＜2，所以a＜2．所以a的取值范围是（﹣∞，2）．当直线2x﹣y＝0就是f（x）＝lnx+ax的切线时，设切点坐标（m，lnm+am），可得，解得m＝e，a＝2﹣．所以实数a的取值范围是：（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．故选：B．10．如果幂函数y＝（m2﹣3m+3）的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝1【分析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解之即可．解：幂函数的图象不过原点，所以解得m＝1或2，符合题意．故选：B．11．函数y＝ax3﹣x在（﹣∞，+∞）上的减区间是[﹣1，1]，则（）A．a＝B．a＝1C．a＝2D．a≤0【分析】由f（x）＝ax3+x的减区间为[﹣1，1]，得f′（x）＝3ax2﹣1＝0的两个根为﹣1，1，解出a即可．解：f′（x）＝3ax2﹣1由题意得3ax2﹣1＝0的根为﹣1，1则3a﹣1＝0，所以a＝．故选：A．12．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（1，2）【分析】根据条件构造函数g（x）＝xf（x），求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．解：设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+x•f'（x），∵f（x）+x•f'（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）为增函数，则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）等价为（x﹣1）（x+1）f（x2﹣1）＜（x+1）f（x+1），即（x2﹣1）f（x2﹣1）＜（x+1）f（x+1），即g（x2﹣1）＜g（x+1），∵g（x）在（0，+∞）为增函数，∴，即，即1＜x＜2，故不等式的解集为（1，2），故选：D．二、填空题（每题5分，合计20分）13．计算求值：+lg5+lg2+e ln2lg0.01＝3．【分析】由指数与对数的运算性质求解即可．解：+lg5+lg2+e ln2lg0.01＝+lg5×2+2+lg10﹣2＝2﹣1+lg10+2+×（﹣2）＝+3﹣＝3．故答案为：3．14．已知函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1＝0，则f（1）+2f′（1）的值是2．【分析】因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出f（1）的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出f′（1）的值，把f（1）和f′（1）代入f（1）+2f'（1）即可．解：∵点（1，f（1））是切点，∴在切线上，∴1﹣2f（1）+1＝0，f（1）＝1∵函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1＝0，∴切线斜率是即f′（1）＝∴f（1）+2f'（1）＝1+2×＝2故答案为215．若关于x的不等式ax2+ax+2≥0的解集为R，则a的取值范围为[0，8]．【分析】分a＝0和a≠0两种情况，并结合二次函数的图象与性质，即可得解．解：当a＝0时，不等式为2≥0，满足题意；当a≠0时，要使不等式的解集为R，则，解得0＜a≤8，综上所述，a的取值范围为[0，8]．故答案为：[0，8]．16．已知函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围为（，）．【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，函数的恒成立问题，求得实数a的取值范围．解：函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，即当a＞1时，2x﹣a＞1，或当0＜a＜1时，0＜2x﹣a＜1．∴①，或②．由①求得a∈∅，由②求得＜a＜．综合可得实数a的取值范围为（，），故答案为：（，）．三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．已知关于x的不等式（a﹣x）（x+1）≥0的解集为A，不等式|x﹣1|＜1的解集为B．（1）若a＝3，求A；（2）若A∪B＝A，求正数a的取值范围．【分析】（1）当a＝3时，可得不等式（3﹣x）（x+1）≥0，解不等式即可得到集合A；（2）由A∪B＝A，得B⊆A，所以a＞0，此时A＝{x|﹣1≤x≤a}．由B是A的子集，得a≥2．解：（1）a＝3，由（3﹣x）（x+1）≥0，得（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，所以A＝{x|﹣1≤x≤3}．（2）B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}．由A∪B＝A，得B⊆A，所以a＞0，此时A＝{x|﹣1≤x≤a}，所以a≥2，即a的取值范围为[2，+∞）．18．已知函数f（x）＝a x+log a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为6+log a2．（1）求实数a的值；（2）对于任意的x∈[2，+∞），不等式kf（x）﹣1≥0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由函数f（x）在[1，2]上是单调函数，从而可得f（x）在[1，2]上的最大值与最小值之和为a+a2+log a2＝6+log a2，计算即可求解a的值；（2）将已知不等式转化为对于任意的x∈[2，+∞），k≥恒成立，求出的最大值，即可求解k的取值范围．解：（1）因为函数y＝a x，y＝log a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的单调性相同，所以函数f（x）＝a x+log a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上是单调函数，所以函数f（x）在[1，2]上的最大值与最小值之和为a+a2+log a2＝6+log a2，所以a2+a﹣6＝0，解得a＝2或a＝﹣3（舍），所以实数a的值为2．（2）由（1）可知f（x）＝2x+log2x，因为对于任意的x∈[2，+∞），不等式kf（x）﹣1≥0恒成立，所以对于任意的x∈[2，+∞），k≥恒成立，当x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x+log2x为单调递增函数，所以f（x）≥f（2）＝5，所以≤，即k≥，所以实数k的取值范围是[，+∞）．19．函数f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+x﹣3．（1）求f（﹣1）的值和函数f（x）的表达式；（2）求方程f（x）＝0在R上的零点个数．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式求出f（1）的值，结合函数的奇偶性可得f（﹣1）的值，设x＜0，则﹣x＞0，结合函数的解析式和奇偶性分析可得f（x）的表达式，又由f（0）＝0，综合3种情况即可得函数的解析式；（2）根据题意，由函数的解析式分段分析：当x＞0时，易得f（x）为增函数，由解析式可得f（1）＜0，f（3）＞0，由函数零点判定定理可得f（x）在（0，+∞）上有唯一的零点，结合函数的奇偶性可得f（x）在（﹣∞，0）上也有唯一的零点以及f（0）＝0，综合即可得答案．解：（1）由题知，当x＞0时，f（x）＝log2x+x﹣3，则f（1）＝log21+1﹣3＝﹣2，又由函数f（x）是实数集R上的奇函数，则有f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（﹣2）＝2；设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）＝log2（﹣x）+（﹣x）﹣3＝log2（﹣x）﹣x﹣3，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x）+x+3，又由f（0）＝0，则f（x）＝；（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝；当x＞0时，f（x）＝log2x+x﹣3，易得f（x）为增函数，又由f（1）＝﹣2＜0，f（3）＝log23＞0，则f（x）在（0，+∞）上有唯一的零点，又由函数f（x）为奇函数，则f（x）在（﹣∞，0）上也有唯一的零点，又由f（0）＝0，综合可得：方程f（x）＝0在R上有3个零点．20．已知函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝．（1）求函数的解析式；（2）判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t的不等式：f（t+）+f（t﹣）＜0．【分析】（1）由奇函数的性质可知，f（0）＝0，代入可求b，然后根据，代入可求a；（2）任取﹣1＜x1＜x2＜1，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（3）结合（2）的单调性即可求解不等式．解：（1）由奇函数的性质可知，f（0）＝0，∴b＝0，f（x）＝，∵＝．∴a＝1，f（x）＝；（2）函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数．证明：任取﹣1＜x1＜x2＜1，则，所以函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）由，∴．故不等式的解集为（﹣，0）．21．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y ＝﹣4x+1，y＝f（x）在x＝3处有极值．（1）求f（x）的解析式．（2）求y＝f（x）在[0，4]上的最小值．【分析】（1）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；（2）结合（1）中求得的函数解析式研究函数的极值和函数在端点处的函数值确定函数的最小值即可．解：（1）f′（x）＝3x2+2ax+b，f′（1）＝3+2a+b．∴k＝f′（1）＝3+2a+b＝﹣4 ①曲线y＝f（x）在点P处的切线方程为y﹣f（1）＝﹣4（x﹣1），即y＝﹣4x+4+f（1）＝﹣4x+1∴f（1）＝﹣3＝1+a+b+c②∵y＝f（x）在x＝3处有极值，所以f′（3）＝0，∴27+6a+b＝0 ③由①②③得，a＝﹣5，b＝3，c＝﹣2所以f（x）＝x3﹣5x2+3x﹣2…（2）由（1）知f′（x）＝3x2﹣10x+3＝（3x﹣1）（x﹣3）．令f′（x）＝0，得x1＝3，x2＝．当x∈[0，）时，f′（x）＞0；当x∈时，f′（x）＜0；当x∈[3，4]时，f′（x）＞0，∴f（x）极小值＝f（3）＝﹣11．又因f（0）＝﹣2，所以f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣11．22．已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y＝x+2垂直，求函数y＝f （x）的单调区间；（2）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．【分析】（I）先求出函数f（x）的定义域和导函数f′（x），再由f′（1）＝﹣1求出a的值，代入f′（x），由f′（x）＞0和f′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间；（II）由（I）和题意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b的范围．解：（I）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝，∴f′（1）＝﹣2+a，∵直线y＝x+2的斜率为1，∴﹣2+a＝﹣1，解得a＝1，所以f（x）＝，∴f′（x）＝，由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）（II）依题得g（x）＝，则＝．由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1．∴函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又∵函数g（x）在区间[，e]上有两个零点，∴，解得1＜b≤，∴b的取值范围是（1，]．。

天津市耀华中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题(解析版)

由，可得点的坐标为，
所以直线的斜率为．
因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以，
所以，整理得，方程无解．
所以，不存在满足题意的点．
19.已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，， .
（1）求数列和通项公式；
（2）令，求数列的最大项并说明理由.
（3）令设数列的前项和为，求 .
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求 .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理，运用代入法进行求解即可；（2）根据正弦定理进行求解即可；（3）由（2）利用二倍角公式计算出，然后利用两角差的正弦公式展开计算即可.
【小问1详解】
由余弦定理，得
，
所以
【小问2详解】
在中，因为，
【详解】令，两边平方后得，
令，定义域为，恒过点，
联立，解得：，，
所以 ,画出函数的图象，
在上，在上，，，
联立，解得：，
联立，得，解得：，，
，，
，解得：，因为，
所以 .
故答案为：
三、解答题（共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.在中，内角所对的边分别是，， .已知，， .
【答案】（1）
（2）时，数列有最大项，且为，理由见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）设公差为，公比为，结合，解出，即可求解和通项公式；
（2）根据（1）将代入中，设为最大项，列出不等式组
解出，分析即可
（3）由的表达式，对分类求出的通项公式，然后求出

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PA BC银川一中2009届高三第二次月考试题解答数学（理） 2008.9.28一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，13.21. 14.z x y >>. 15.①②④. 16. 两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分12分）解：（1）当2a =时，22()f x x x =+，22(1)(1)1f x x x -=-+-，………2分由 2222(1)1x x x x +----＞21x -， ………3分得221x x --＞0，(1)x x -＜0 ，0＜x ＜1 ………5分∴原不等式的解为 0＜x ＜1； ………………6分（2）()f x 的定义域为(0)(0-∞⋃∞，，+)， ………………7分当0a =时，2()f x x =，22()()()f x x x f x -=-==，所以()f x 是偶函数. ………………9分当0a ≠时，2()()20(0)f x f x x x +-=≠≠， 2()()0af x f x x--=≠ 所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数. ………………12分18．（本小题满分12分）证明：由多面体PABCD 的三视图知，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 是等腰三角形，2==PD PA ，且平面⊥PAD 平面ABCD .……2分（1）连结AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，PA EF //，………4分且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ………6分 (2) 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面AD ABCD =，又CD ⊥AD ，所以，CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA …………8分又2==PD PA ，2=AD ,所以△PAD 是等腰直角三角形，且2PAD π∠=，即PD PA ⊥………………10分又D PD CD = ， ∴ ⊥PA 平面PDC ，又PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PDC ………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）投资为x 万元，A 项目的利润为)(x f 万元，B 项目的利润为)(x g 万元。

由题设.)(,)(21x k x g x k x f ==由图知.41,41)1(1==k f 故……………………2分又,25)4(=g .452=∴k …………………………4分从而)0(45)(),0(41)(≥=≥=x x x g x x x f ………………6分（2）)100(104541)10()()(≤≤-+=-+=x x x x g x f x h 令t t y x t 45410,102+-=-=则 ).100(1665)25(412≤≤+--=t t ……………………10分当75.3,1665)(,25max ===x x h t 此时时……………………11分答：当A 项目投入3.75万元，B 项目投入6.25万元时，最大利润为1665万元. ………………12分20．（本小题满分12分）解：(1)3)1(003-=----=AB K ,33=∴BC K , ……2分直线BC 的方程是x y 333=+,当,0=y 得3=x ,即点)0,3(C ,………………3分所以,ABC ∆的外接圆M 的圆心)0,1(M ,半径2=r .圆M 的方程是4)1(22=+-y x ……………………6分（2）直线l 的方程可化为m m x m m y 1122+++=，令mm k 12+=，则l 的方程为)1(+=x k y ,则直线l 恒过圆M 上的定点)0,1(-A ,且斜率存在, 则直线l 与圆一定相交. ……………………7分因为21(1)2m m +≤，所以2||1||2≥+=m m k ，当且仅当1m =时等号成立．圆心)0,1(M 到直线l 的距离21||2kk d +=． ········································································ 9分由2||≥k ，541121||222≥+=+=kk k d ，即2r d >．从而圆M 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．……………………11分所以l 不能将圆M 分割成弧长的比值为12的两段弧． ······················································ 12分21．（本小题满分12分）解：（I ）因为二次函数c x c a ax x f ++-=)(23)(2的图象的对称轴aca x 3+=, 由条件0>>c a ，得,2c a a +>故,132323<=<+a a a c a …………………2分即二次函数)(x f 的对称轴在区间),1[+∞的左边,且抛物线的开口向上, 故)(x f 在),1[+∞是增函数. …………………4分若a c c x f +->2)(2，对),1[+∞∈x 恒成立，则a c c f x f +->=2)1()(2min ，即,22a c c c a +->-得.10,02<<∴<-c c c …………………6分（II ）①若0)()1()0(<-⋅=⋅c a c f f ，即,0<c 或c a <，二次函数)(x f 在)1,0(只有一个零点. …………………8分②0)1(,0)0(>-=>=c a f c f ,即,0>>c a 因为二次函数c x c a ax x f ++-=)(23)(2图象的对称轴是aca x 3+=. 而,03)3(22<-+-=+aacc a a c a f …………………10分所以函数)(x f 在区间)3,0(a c a +和)1,3(aca +内分别有一零点. 故函数)(x f 在区间(0,1)内有两个零点. …………………12分22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲. 解: （1）∵AB 是⊙O 的一条切线，∴AE AD AB ⋅=2．又∵AB AC =,∴AE AD AC ⋅=2…………………5分（2）∵AE AD AC ⋅=2,∴ACAEAD AC =,又∵CAE DAC ∠=∠,∴EAD CAD ∆∆~.∴AEC ACD ∠=∠. 又∵四边形DEGF 是⊙O 的内接四边形, ∴AEC CFG ∠=∠. ∴CFG ACD ∠=∠,∴AC FG //.…………………10分23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程.解（1）直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．………………5分（2）把直线12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x ，得2221(1)(1)4,1)202t t t +++=+-=，122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2．……………………10分24．（本小题满分10分）选修45-；不等式选讲. 解.（Ⅰ）令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩，，，，，．≤≥．．．．．．．．．．．．．．．3分作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫ ⎪⎝⎭，．所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，．…………………5分（Ⅱ）由函数214y x x =+--的图像可知，当12x =-时，214y x x =+--取得最小值92-．…………………10分。