10 矩阵位移法

3.矩阵位移法是以结构位移为基本未知量， 3.矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，借助 矩阵位移法是以结构位移为基本未知量 矩阵进行分析， 矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受 变形等计算的方法。 力、变形等计算的方法。
理论基础：位移法 理论基础： 分析工具： 分析工具：矩阵 计算手段： 计算手段：计算机
Am× p Bl×n = Cm×n
a11 AB = a21
当p=l时才能相乘
a12 b11 a22 b21
共形
b11 a11 BA = b21 a21
a12 a22
非共形
（2）不具有交换律，即 AB ≠ BA 不具有交换律，
正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵， 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 A 1 = AT
§10.1 概述
1 基本思路
简单概括为： 先分再合，拆了再搭” 简单概括为：“先分再合，拆了再搭” 将结构离散成有限的单元，进行单元分析——建立杆 将结构离散成有限的单元，进行单元分析 单元分析 建立杆 端力与杆端位移之间的关系（单元刚度方程）。 端力与杆端位移之间的关系（单元刚度方程）。
根据位移条件和平衡条件将离散的单元组合成原结构， 根据位移条件和平衡条件将离散的单元组合成原结构， 进行整体分析 整体分析——建立结点力与结点位移之间的关系（结 建立结点力与结点位移之间的关系（ 进行整体分析 建立结点力与结点位移之间的关系 构刚度方程） 构刚度方程） 。 解算刚度方程，完成结构计算。 解算刚度方程，完成结构计算。
2.任意单元的杆端力和杆端位移的表示 2.任意单元的杆端力和杆端位移的表示
一.结构的离散化
把结构假想地划分成有限个单元，单元之 间由结点连接，结点的位移是描述整个结构状态的 基本参数，也就是矩阵位移法的基本未知量。 1.单元－－每个杆件看作一个单元 2.结点－－支座点、杆件转折点、杆件的汇交点、 力的作用点、截面突变点。 3.结点荷载－－矩阵位移法中荷载必须作用于结 点上，作用在结点上的荷载称为结点荷载。
4.矩阵位移法的基本要点： 4.矩阵位移法的基本要点：一分一合 矩阵位移法的基本要点
•化整为零 ------ 结构离散化 化整为零
5
6 3
2
6
将结构拆成杆件,杆件称作单元. 将结构拆成杆件,杆件称作单元. 单元 2 单元的连接点称作结点. 单元的连接点称作结点. 结点 3 对单元和结点编码. 基本未知量: 对单元和结点编码 基本未知量:结点位移 1 1 •单元分析：建立单刚方程 单元分析： 单元分析 单元杆端力 ⇔ 单元杆端位移 •集零为整 ------ 整体分析：建立整刚方程 集零为整 整体分析： 结点外力 结点外力 结点外力 单元杆端力 ⇔ 单元杆端位移 ⇔ e
前处理法中由单刚对号入座形成总纲。 前处理法中由单刚对号入座形成总纲。 一般荷载如何正确的转化成等效结点荷载。 一般荷载如何正确的转化成等效结点荷载。
矩阵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数复习
一组元素按行、 1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩 若矩阵的元素排列为m 行和n列 称为m× 阵。若矩阵的元素排列为 行和 列，称为 ×n 阶 a11 a12 ⋯ a1n 矩阵。 矩阵。 a21 a22 ⋯ a2 n A= ⋮ ⋱ ⋮ am1 am2 ⋯ amn 2、方阵 一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n时，称n阶方阵 一个具有相同的行数和列数的矩阵， m=n时 3、行矩阵和列矩阵 一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵， 一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：
1 0 I = 0 0 0 1 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 1
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵， 任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、 10、逆矩阵
在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
把杆系结构按结点 1.杆系结构的单元划分—把杆系结构按结点分成若干单元 杆系结构的单元划分 把杆系结构按结点分成若干单元
结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。 结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也 取荷载作用点。图中1 取荷载作用点。图中1、2、3、4点均为结点 点均为结点 单元：两结点间的等直杆段。 图中1-3、2-4、3-4均为单元。 单元：两结点间的等直杆段。 图中1 均为单元 单元。 编码：兰的结点编号称整体码。 编码：兰的结点编号称整体码。 整体码 红的1 局限于单元， 红的1、2局限于单元，称 x 局部码。 局部码。 ① y 坐标（右手法则确定） 坐标（右手法则确定） 1 1 兰的坐标称整体坐标 整体坐标。 兰的坐标称整体坐标。 红的x、 局限于单元 局限于单元， 红的 、y局限于单元，称局 部坐标 y 1 3 ② 2 24 2 ③ 1 2 右手系 x
T
当连乘矩阵的乘积被转置时， 当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序 的各矩阵的转置矩阵之乘积。 的各矩阵的转置矩阵之乘积。若
A=B C D
AB=0
则
AT = DT C T B T
元素全部为零的矩阵称为零矩阵， 表示。 7、零矩阵 元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。 不一定A=0 若 AB=0 不一定A=0 或 B=0
结构的离散化 *单元划分举例 单元划分举例 杆系结构 实体结构
P 4
3 4 5
5
6
6
3 2 P 2 1 1 q
7
7
8
*单元划分的原则 单元划分的原则 计算精度 计算机容量
l q
l/2
二.结点位移和结点力
1.结点位移－－结构在结点荷载作用下发生变形，结构的各结 点产生位移，称为结点位移也就是杆端位移，包括线位移（ui、 vi）和角位移(θi)。 平面桁架杆单元的每个结点有两个位移分量（ui、vi） 平面刚架杆单元的每个结点有三个位移分量（ui、vi 、 θi ）
结构矩阵分析有时也称为杆件结构的有限元法
2.结构矩阵计算方法的类型： 结构矩阵计算方法的类型：
力法——矩阵力法 力法 矩阵力法…… 矩阵力法 位移法——矩阵位移法 矩阵位移法…… 位移法 矩阵位移法
矩阵力法（柔度法）： 矩阵力法（柔度法）：
结点力
P F
（物理条件） 物理条件）
∆ δ
结点位移
（几何条件） 几何条件）
{P} = [k ]{∆}
任务 单元 分析 整体 分析
建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程， 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵 由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程， 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵
意义
用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程
用矩阵形式表示位 移法基本方程
整体分析的几个环节 1、将单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵 、 2、将单元结点荷载集合成整个结构的结点荷载 、 3、引入结构的位移边界条件 、 4、确定整个结构的平衡方程： 4、确定整个结构的平衡方程： {P } = [k ]{ } Δ 5、求解杆端力： 、求解杆端力： 结点位移 杆端位移 杆端力
结点力
P F
（物理条件） 物理条件）
∆ δ
结点位移
（几何条件） 几何条件）
（平衡条件） 平衡条件）
杆端力
杆端位移
r11 z1 + r12 z 2 + ⋯ + r1i z i + R1p = 0 r21 z1 + r22 z 2 + ⋯ + r2i z i + R2p = 0 r31 z1 + r32 z 2 + ⋯ + r3i z i + R3p = 0
重点: 重点:
单元划分， 单元划分，结点总码和局部码的编写方法 及对应关系。 及对应关系。 常见单元的单刚矩阵； 常见单元的单刚矩阵 前处理法的基本思想； 前处理法的基本思想；由单刚形成总纲的方 定位向量的确定 法，定位向量的确定 等效结点荷载的简单确定方法。 等效结点荷载的简单确定方法。
难点： 难点：
将一个阶矩阵的行和列依次互换， 6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩 阵称之为原矩阵的转置矩阵， 阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
a11 a12 A= a21 a22 a31 a32
a11 a21 a31 其转置矩阵为 A = a12 a22 a32
5
4
4
(杆端位移 结点位移 杆端位移=结点位移 杆端位移 结点位移)
⇔结点位移
单元分析 *杆件结构 杆件结构 杆端力与杆端位移之间的关系
o `
`
x y
{F }( e ) = [k ]( e ) {δ }( e )
整体分析 *杆件结构 杆件结构 杆件结构结点力与结点位移之间的关系（ 杆件结构结点力与结点位移之间的关系（图）
（平衡条件） 平衡条件）
杆端力
杆端位移
δ11 x1 + δ12 x 2 + ⋯ + δ1i x i + ∆1p = 0 δ21 x1 + δ22 x 2 + ⋯ + δ2i x i + ∆2p = 0 δ31 x1 + δ32 x 2 + ⋯ + δ3i x i + ∆2p = 0
矩阵位移法（刚度法）： 矩阵位移法（刚度法）：
8、 角 阵 对 矩 是 主 角 素 ， 余 素 为 的 阵 如 角 阵 除 对 元 外 其 元 全 零 方 ， ： 对 矩
a11 0 D= 0 0 0 a22 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 amm
9、 位 阵 单 矩
I 示 如 单 矩 是 个 角 阵 它 非 元 全 位 阵 一 对 矩 ， 的 零 素 为1 用I 表 ，