2018届二轮 不等式选讲 专题卷(全国通用)

第28练 不等式选讲1.已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2≥4，无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}.(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.2.(2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围. 解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1， 解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54，当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，54. 3.(2016·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解； 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).4.已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式|g (x )|＜5；(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5， 所以－7＜|x －1|＜3，可得不等式的解集为(－2，4). (2)因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立， 所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}.又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2， 所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞).5.已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]. (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.(1)解 因为f (x ＋2)＝m －|x |，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }. 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1. (2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式，得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.当且仅当a ＝2b ＝3c 时，等号成立. 所以a ＋2b ＋3c ≥9.6.(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.7.已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.(1)解 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明 由(1)知p ＋q ＋r ＝3， 又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9， 即p 2＋q 2＋r 2≥3，当且仅当p ＝q ＝r ＝1时取等号. 8.已知a ＞b ＞0，且m ＝a ＋1(a －b )b.(1)试利用基本不等式求m 的最小值t ；(2)若实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＋z 2＝t ，求证：|x ＋2y ＋z |≤3. (1)解 由三个数的基本不等式，得 m ＝(a －b )＋b ＋1(a －b )b≥33(a －b )b ·1(a －b )b＝3(当且仅当a －b ＝b ＝1a －b ，即b ＝1，a ＝2时取“＝”号)，故有t ＝3.(2)证明 ∵x 2＋4y 2＋z 2＝3，∴由柯西不等式，得 [x 2＋(2y )2＋z 2](12＋12＋12)≥(x ＋2y ＋z )2，当且仅当x 1＝2y 1＝z 1＝1，即x ＝z ＝1，y ＝12时取“＝”号.整理得(x ＋2y ＋z )2≤9， 即|x ＋2y ＋z |≤3.9.已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|，不等式t ≤f (x )在R 上恒成立. (1)求t 的取值范围；(2)记t 的最大值为T ，若正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝T ，求a ＋2b ＋c 的最大值. 解 (1)因为f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 所以f (x )min ＝3.因为不等式t ≤f (x )在R 上恒成立，所以t ≤f (x )min ＝3，t 的取值范围为(－∞，3]. (2)由(1)得T ＝t max ＝3，由柯西不等式，得(a ＋2b ＋c )2≤(12＋22＋12)(a 2＋b 2＋c 2)＝18， 所以a ＋2b ＋c ≤3 2.当且仅当a 1＝b 2＝c 1，即a ＝22，b ＝2，c ＝22时，a ＋2b ＋c 的最大值为3 2.10.已知a 2＋2b 2＋3c 2＝6，若存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立，求实数x 的取值范围.解 由柯西不等式知，[12＋(2)2＋(3)2][a 2＋(2b )2＋(3c )2]≥(1·a ＋2·2b ＋3·3c )2， 即6×(a 2＋2b 2＋3c 2)≥ (a ＋2b ＋3c )2. 又∵a 2＋2b 2＋3c 2＝6， ∴6×6≥(a ＋2b ＋3c )2， ∴－6≤a ＋2b ＋3c ≤6.∵存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立， ∴|x ＋1|<6，∴－7<x <5. ∴x 的取值范围是{x |－7<x <5}. 11.已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )＞1；(2)当x ＞0时，函数g (x )＝ax 2－x ＋1x (a ＞0)的最小值大于函数f (x )，试求实数a 的取值范围.解 (1)当x ＞2时，原不等式可化为x －2－x －1＞1，此时不成立； 当－1≤x ≤2时，原不等式可化为2－x －x －1＞1，解得－1≤x ＜0； 当x ＜－1时，原不等式可化为2－x ＋x ＋1＞1，解得x ＜－1. 综上，原不等式的解集是{x |x ＜0}.(2)因为g (x )＝ax ＋1x －1≥2a －1，当且仅当x ＝aa时等号成立，所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫a a ＝2a －1. 当x ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，0＜x ≤2，－3，x ＞2，所以f (x )∈[－3，1). 所以2a －1≥1，解得a ≥1. 所以实数a 的取值范围为[1，＋∞). 12.已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).例 (10分)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )＜4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a ＞0)对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 审题路线图(1)整理得绝对值不等式―→零点分段法求解(2)|x －a |－f (x )≤1m ＋1n 恒成立⇒|x －a |－f (x )≤⎝⎛⎭⎫1m ＋1n min ―――→利用基本不等式 |x －a |－f (x )≤4恒成立―→求g (x )＝|x －a |－f (x )的最大值 规范解答·评分标准解 (1)不等式f (x )＜4－|x －1|， 即|3x ＋2|＋|x －1|＜4，当x ＜－23时，不等式可化为－3x －2－x ＋1＜4，解得－54＜x ＜－23；………………………………………………………………………1分当－23≤x ≤1时，不等式可化为3x ＋2－x ＋1＜4，解得－23≤x ＜12；…………………………………………………………………………2分当x ＞1时，不等式可化为3x ＋2＋x －1＜4，无解……………………………………………………………………………………………3分 综上所述，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－54，12.…………………………………………………4分 (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋mn≥4， 当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立.………………………………………………………5分令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a ，∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a .……………………………………………………………8分要使不等式|x －a |－f (x )≤1m ＋1n 对任意的x ∈R 恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0＜a ≤103.……………………………………………………………………………10分构建答题模板 [第一步] 解不等式.[第二步] 转化：将恒成立问题或有解问题转化成最值问题. [第三步] 求解：利用求得的最值求解取值范围.1.设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值. 解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2， 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}. (2)由f (x )≤0，得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.2.(2016·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2，得－2x <2，解得x >－1，所以－1<x ≤－12；当－12<x <12时，由f (x )<2，得－12＜x ＜12；当x ≥12时，由f (x )<2，得2x <2，解得x <1，所以12≤x <1.综上知，f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2， 因此|a ＋b |<|1＋ab |.3.已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1的解集为[0，4]. (1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正整数，且a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值. 解 (1)不等式m －|x －2|≥1可化为|x －2|≤m －1， ∴1－m ≤x －2≤m －1，即3－m ≤x ≤m ＋1. ∵其解集为[0，4]，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＝0，m ＋1＝4.解得m ＝3. (2)由(1)知a ＋b ＝3. 方法一 (利用基本不等式)∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2)， ∴a 2＋b 2≥92，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a 2＋b 2的最小值为92.方法二 (利用柯西不等式)∵(a 2＋b 2)·(12＋12)≥(a ×1＋b ×1)2＝(a ＋b )2＝9. ∴a 2＋b 2≥92，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a 2＋b 2的最小值为92.4.已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －a |，g (x )＝3x －2. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )＞g (x )的解集；(2)设a ＜－12，存在x ∈⎣⎡⎦⎤a ，－12使f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，不等式f (x )＞g (x )可化为|2x ＋1|－|x －2|－3x ＋2＞0， 设y ＝|2x ＋1|－|x －2|－3x ＋2， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －1，x ＜－12，1，－12≤x ≤2，－2x ＋5，x ＞2，由y ＞0，解得x ＜52，所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，52.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤a ，－12时，f (x )＝－2x －1－x ＋a ＝－3x －1＋a ，不等式f (x )≥g (x )可化为a ≥6x －1. 设h (x )＝6x －1⎝⎛⎭⎫a ≤x ≤－12， 则h (x )min ＝h (a )＝6a －1，由题知a ≥h (x )min ＝6a －1，解得a ≤15.又a ＜－12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12. 5.设实数a ，b 均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|＋2＞|x ＋2|，|x －1|＜|x ＋2|.(1)证明：⎪⎪⎪⎪14a ＋34b ＜12；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由. (1)证明 解不等式|x －1|＋2＞|x ＋2|，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋1＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜x ＜1，3－x ＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，3－x ＞－x －2， 解得x ＜12.解不等式|x －1|＜|x ＋2|，得(x －1)2＜(x ＋2)2， 解得x ＞－12.所以原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫－12，12. 则a ，b ∈⎝⎛⎭⎫－12，12，|a |＜12，|b |＜12， 所以⎪⎪⎪⎪14a ＋34b ≤14|a |＋34|b |＜14×12＋34×12＝12， 即⎪⎪⎪⎪14a ＋34b ＜12. (2)解 |1－4ab |＞2|a －b |，理由如下：由(1)得a 2＜14，b 2＜14，则4a 2－1＜0，4b 2－1＜0.因为|1－4ab |2－(2|a －b |)2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝1＋16a 2b 2－4a 2－4b 2＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， 所以|1－4ab |2＞(2|a －b |)2，即|1－4ab |＞2|a －b |.。