动力学第十三章

动力学第十三章达朗伯原理达朗伯原理是一种解决非自由质点和质点系动力学问题的普遍方法。

这种方法是用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，因此又称为动静法。

本章介绍达朗伯原理和定轴转动刚体的轴承动反力，以及静平衡和动平衡的概念。

第一节达朗伯原理一、质点惯性力的概念当质点受到其他物体作用而使运动状态发生变化时，由于质点本身的惯性，对施力物体产生反作用力，这种反作用力称为质点的惯性力。

惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，但作用于施力物体上。

若用F I表示惯性力，则。

例如，工人沿光滑的水平直线轨道推动质量为m的小车，作用力为F，小车在力的方向上产生加速度a，有。

根据作用反作用定律，此时工人手上必受到小车的反作用力F I，此力是由于小车具有惯性，力图保持其原来的运动状态，对手进行反抗而产生的，即小车的惯性力，有。

二、质点的达朗伯原理设质量为m的质点M，受主动力F和约束反力F N的作用，沿曲线运动，产生加速度a，如图13-1所示。

根据牛顿第二定律，有此时质点由于运动状态发生改变，它的惯性力为将以上两式相加，得(13-1)上式表明：任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和虚加在质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。

这就是质点的达朗伯原理。

图13-1必须指出：由于质点的惯性力并不作用于质点本身，而是假想地虚加在质点上的，质点实际上也并不平衡。

式(13-1)反映了力与运动的关系，实质上仍然是动力学问题，但它提供了将动力学问题转化为静力学平衡问题的研究方法。

这种方法对求解质点的动力学问题并未带来明显的方便，但在研究方法上显然是个新的突破，而且，它对求解非自由质点系的动力学问题是十分有益的。

三、质点系的达朗伯原理设有n个质点组成的非自由质点系，取其中任意一质量为m i的质点M i，在该质点上作用有主动力F i，约束反力F Ni，其加速度为a i。

根据质点的达朗伯原理，如在质点M i上假想地加上惯性力，则F i、F Ni和F Ii构成一平衡力系，有对质点系的每个质点都作这样的处理，则作用于整个质点系的主动力系、约束力系和惯性力系组成一空间力系，此时力系的主矢和力系向任一点O简化的主矩都等于零，即(13-2)上式表明：任一瞬时，作用于质点系上的主动力系、约束力系和虚加在质点系上惯性力系在形式上构成一平衡力系。

这就是质点系的达朗伯原理。

如果将力系按外力系和内力系划分，用和分别表示质点系外力系主矢和内力系主矢；和分别表示质点系外力系和内力系对任一点O的主矩，由于质点系内力系的主矢和主矩均等于零，故式(13-2)可以改写为（13-3）上式表明：任一瞬时，作用于质点系上的外力系和虚加在质点系上的惯性力系在形式上构成一平衡力系。

第二节刚体惯性力系的简化应用达朗伯原理解决质点系的动力学问题时，从理论上讲，在每个质点上虚加上惯性力是可行的。

但质点系中质点很多时计算非常困难，对于由无穷多质点组成的刚体更是不可能。

因此，对于刚体动力学问题，一般先用力系简化理论将刚体上的惯性力系加以简化，然后将惯性力系的简化结果直接虚加在刚体上。

下面仅就刚体作平动、定轴转动和平面运动三种情况，来研究惯性力系的简化。

一、刚体作平动刚体平动时，刚体上各点的加速度都相同，惯性力系构成一个同向空间平行力系。

如图13-4所示，将此惯性力系向刚体的质心C简化，得惯性力系的主矢为即(13-4)图13-4惯性力系对质心C的主矩为式中r i为质点Mi相对于质心C的矢径，由质心矢径表达式(3-25)知式中r c为质心的矢径，由于质心C为简化中心，r c=0 ，于是有上述结果表明：刚体作平动时，惯性力系简化的结果为一个通过质心的合力F IR，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。

二、刚体作定轴转动仅讨论工程中常见的比较简单的情况。

设刚体具有质量对称平面，且转轴垂直于质量对称平面。

先将惯性力系简化为在质量对称平面内的平面力系，再将它向平面与转轴的交点O简化，如图13-5所示。

图13-5先研究惯性力系的主矢。

设刚体内任一质点M i的质量为m i，加速度为a i，刚体的总质量为m，质心的加速度为a C，则惯性力系的主矢为由质心公式对时间求两阶导数，可得故有(13-5)再研究惯性力系对坐标原点O的主矩。

由于刚体转动时任一质点M i的惯性力F Ii可以分解为切向惯性力F Iiτ和法向惯性力F Ii n，如图13-5所示。

故惯性力系对O点的主矩为即(13-6)式中Jz为刚体对通过点O的转轴z的转动惯量，α为刚体转动的角加速度，负号表示主矩与a转向相反。

上述结果表明：刚体绕垂直于质量对称平面的转轴转动时，惯性力系向转轴与对称面的交点O简化的结果为一个主矢和主矩。

主矢的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反；主矩的大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。

下面讨论几种特殊情况：1．刚体转轴不通过质心，作匀速转动如图13-6a所示，由于角加速度α=0，故，因而惯性力系简化为一通过O 点的法向惯性力，大小等于，方向与质心法向加速度方向相反，其作用线通过质心C。

2．刚体绕质心轴转动，角加速度α≠０如图13-6b所示，由于质心加速度a C=0，此时，惯性力系仅简化为一个力偶，其力偶矩。

图13-63. 刚体绕质心轴匀速转动如图13-6c所示，由于a C=0，α=0，惯性力系向O点简化的主矢和主矩都等于零。

三、刚体作平面运动仅讨论刚体具有质量对称平面，且刚体平行于对称平面作平面运动的情况。

此时，刚体惯性力系可简化为在对称平面内的平面力系。

刚体的平面运动可分解为随质心的平动和绕质心的转动，将惯性力系向质心C简化，如图13-7所示，可得惯性主矢和主矩分别为(13-7)图13-7上式表明：具有质量对称平面且平行于此平面作平面运动的刚体，惯性力系向质心C简化的结果为一个主矢和一个主矩。

主矢过质心C，大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反；主矩的大小等于刚体对质心轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。

第三节达朗伯原理的应用应用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，首先应根据题意选取研究对象，分析其所受的外力，画出受力图；然后再根据刚体的运动方式在受力图上虚加惯性力及惯性力偶；最后根据达朗伯原理列平衡方程求解未知量。

下面通过举例来说明达朗伯原理的应用。

第四节定轴转动刚体的轴承动反力在高速转动的机械中，由于转子质量的不均匀性以及制造或安装时的误差，转子对于转轴常常产生偏心或偏角，转动时就会引起轴的振动和轴承动反力。

这种动反力的极值有时会达到静反力的十倍以上。

因此，如何消除轴承动反力的问题就成为高速转动机械的重要问题。

下面将着重研究轴承动反力的计算和如何消除轴承动反力。

一、一般情况下转动刚体惯性力系的简化现在研究一般情况下定轴转动刚体的惯性力系的简化问题。

如图13-11所示，设刚体绕定轴z转动，在某瞬时的角速度为ω，角加速度为α。

在质点M i上虚加惯性力图13-11则惯性力系向O点简化的主矢为(13-8)惯性力系向O点简化的主矩可用在x、y、z三坐标轴上的投影M IOx、M IOy、M IOz来表示。

根据合力矩定理，有质点惯性力可以分解为切向惯性力和法向惯性力，它们的方向如图所示，大小分别为则由图13-11可知于是得(13-9)式中和取决于刚体质量对于坐标轴分布的情况，并具有转动惯量的量纲，分别称为刚体对通过O点的轴x、z和轴y、z的惯性积，也称为离心转动惯量。

惯性积可正、可负，也可为零。

同理可得惯性力系对于y轴的矩为(13-10)因为各质点的法向惯性力通过轴线，有，于是有(13-11)式中负号表示力矩转向与角加速度转向相反。

二、一般情况下轴承的动反力设刚体绕AB轴转动，如图13-12所示，某瞬时的角速度为ω，角加速度为α。

作用于刚体的主动力系和虚加于刚体的惯性力系向转轴上任一点O简化，分别得力和，力偶矩矢M O和M IO。

轴承A、B的约束反力如图所示。

图13-12为求轴承反力，取O点为直角坐标系的原点，z轴为转轴。

根据达朗伯原理，可列出下列六个平衡方程由前五个方程解得轴承反力(13-12)由式(13-12)可知，由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内，止推轴承沿z轴的反力F Bz 与惯性力无关；与z轴垂直的轴承反力F Ax、F Ay、F Bx、F By由两部分组成：（1）由主动力引起的静反力；（2）由惯性力引起的动反力。

要使动反力等于零，必须有即轴承动反力等于零的条件是：惯性力系的主矢等于零，惯性力系对于x轴和y轴之矩等于零。

由式(13-8)、式(13-9)和式(13-10)知由此可见，要使惯性力系主矢等于零，必须有a c=0，即转轴必须通过质心；要使惯性力系对于x轴和y轴之矩等于零，必须有，即刚体对于转轴的惯性积等于零。

如果刚体对于通过O点的z轴的惯性积J xz和J yz等于零，则此z轴称为该点的惯性主轴，通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。

因此，避免出现轴承动反力的条件是：刚体的转轴应为刚体的中心惯性主轴。

三、定轴转动刚体的静平衡和动平衡的概念设刚体的转轴通过质心，且刚体除受到重力作用外，没有受到其它主动力的作用，则刚体在任何位置均能保持静止不动，这种现象称为静平衡。

当刚体绕定轴转动时，不出现轴承动反力的现象称为动平衡。

在工程中，为了消除轴承动反力，对转速较高的物体如汽轮机转子、电动机转子等，要求转轴是中心惯性主轴，所以一般将它们设计成具有对称轴或有对称面，并且转轴是对称轴或通过质心并垂直于对称面。

然而在实际上，由于在制造或安装中难免出现误差，以及材料的不均匀性等，转子的质心和转轴的方位仍然会产生一定的偏离，需要在一定的试验设备上进行静平衡或动平衡试验加以校正。

第十三章思考题·13-1 设质点在空中运动时，只受到重力作用，问在下列三种情况下，质点惯性力的大小和方向：(1)质点作自由落体运动；(2)质点被垂直上抛；(3)质点沿抛物线运动。

·13-2 一列火车在启动过程中，哪一节车厢的挂钩受力最大，为什么？·13-3 均质薄圆盘半径为R，质量为m，以角速度ω和角加速度α绕O轴转动，圆盘的偏心矩OC=e，如图13-14所示。

试证明按平面运动情况对圆盘惯性力系进行简化的结果与按定轴转动情况对圆盘的惯性力系进行简化的结果是一致的。

图13-14·13-4 滑轮对O轴的转动惯量为J O，绳两端物重W1=W2，如图13-15所示，问在下述两种情况下滑轮两端绳的拉力是否相等？(1)物块B作匀速运动；(2)在物块B上加力使物块作匀加速运动。

图13-15第十三章习题·13-1 如图13-16所示，一飞机以匀加速度a沿与水平线成仰角β的方向作直线运动。