刚体运动方程
刚体运动方程与平衡方程
刚体运动与平衡的实例分析
实例一
一个静止在地面上的杠铃，受到重力和地面的支持力作用，处于平衡状态。当有人推这 个杠铃时，推力大于杠铃的重力，杠铃开始加速向上运动，此时杠铃的运动状态发生了
改变。
实例二
一辆匀速直线行驶的汽车，受到牵引力和阻力的作用，处于平衡状态。当牵引力大于阻 力时，汽车会加速行驶；当牵引力小于阻力时，汽车会减速行驶，此时汽车的运动状态
刚体运动与平衡的转化关系
转化条件
当刚体受到的合外力为零时，即处于平衡状态，此时刚体的运动状态不会改变；反之，当刚体运动状态改变时， 其受到的合外力不为零，即不处于平衡状态。
转化关系
在一定条件下，刚体的运动状态与平衡状态可以相互转化，如静止的刚体受到外力作用后会开始运动，而匀速直 线运动的刚体受到合外力为零时会保持该运动状态。
实验结果与分析
根据实验数据，绘制刚体的位 移、速度和加速度随时间变化
的曲线图。
分析实验结果，验证刚体运动 方程与平衡方程的正确性。
探讨影响刚体运动和平衡的因 素，如质量、转动惯量、力矩 等。
比较实验结果与理论值的差异 ，分析误差来源，并提出改进 措施。
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平衡力
使物体处于平衡状态的力。
平衡力学
研究物体平衡状态的力学分支。
刚体动力学与平衡力学的联系与区别
联系
平衡力学是刚体动力学的一个特例，当 刚体处于静止状态时，其运动方程退化 为平衡方程。
VS
区别
刚体动力学研究刚体的运动规律，包括加 速、减速和匀速运动等；而平衡力学主要 关注静止或匀速直线运动状态的物体，研 究其平衡条件和稳定性。
刚体运动方程与平衡方程
• 刚体运动方程 • 平衡方程 • 刚体运动与平衡的关系 • 刚体动力学与平衡力学的关系 • 刚体运动与平衡的实验验证
力学中的刚体运动
力学中的刚体运动刚体运动是力学中的基础概念之一，涉及物体在空间中的平移和旋转运动。
刚体指的是一个具有无穷多个质点的物体，其内部任意两点之间的相对位置保持不变。
本文将介绍刚体运动的基本原理、刚体运动的类型以及刚体运动的相关公式。
一、刚体运动的基本原理刚体运动的基本原理是“刚体上的任一质点在任意时刻的平面运动状态都完全相同”。
这意味着无论刚体如何运动，刚体上的各个质点之间的相对位置都保持不变。
这种相对位置的不变性使得刚体的运动可以用一个简化的模型来描述。
二、刚体运动的类型刚体运动可以分为平面运动和空间运动两种类型。
1. 平面运动平面运动指的是刚体在一个平面内的运动。
在平面运动中，刚体的质心沿直线或曲线轨迹运动，同时围绕质心进行旋转。
平面运动可以进一步分为平行轴定理和垂直轴定理两种类型。
- 平行轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个平行于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是质心绕着某个轴的转动。
- 垂直轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个垂直于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是绕着该轴的转动。
2. 空间运动空间运动指的是刚体在三维空间中的运动。
在空间运动中，刚体的质心和各个质点都可以沿直线或曲线轨迹进行平移和旋转。
空间运动需要考虑刚体在三个方向上的运动和转动，其描述较为复杂，常用欧拉角和四元数等方法进行分析和计算。
三、刚体运动的相关公式刚体运动的描述离不开相关的公式和定理。
以下是一些常用的刚体运动公式：1. 质心运动的描述：- 质心速度公式：v = ds/dt，其中v为质心速度，s为质心位移，t为时间。
2. 刚体的平面运动：- 转动惯量公式：I = ∑mi ri²，其中I为转动惯量，mi为每个质点的质量，ri为质点到旋转轴的距离。
- 角动量公式：L = Iω，其中L为角动量，ω为刚体的角速度。
- 动能定理：∑(1/2mi vi²) = (1/2)Iω²，其中vi为每个质点的速度。
第一章-4 飞行动力学-飞机方程
可得
dV 1v iu jv kw dt
又有
i V p u
j q v
k r w
展开：
V i wq vr j ur wp k (vp uq )
Hale Waihona Puke F 按各轴分解，表示为：
各轴分量：
F iX jY kZ
飞机的力方程
I xy I zy 0
二、动力学方程(锁定舵面)
飞行器动力学方程可由牛顿第二定律导出
i
d 力方程： F dt (mV )
式中：F — 外力，m —飞行器质量 V —飞行器质心速度， M — 外力矩 H — 动量矩， i — 对惯性空间 依据假设1，m=常数； 依据假设2，地面为惯性系，去掉 i 得 dV
zg
-sin cos sin cos cos
表中，oxayaza为气流轴系点， oxgygzg为地轴系点 xg 设方向余弦表为矩阵Mag xa y M y 速度坐标与地轴坐标可以互相转换 ag g a T z za M ag1 M ag Mag是复共轭矩阵，满足： g 地速与空速： x V cos cos
表中，oxayaza为气流轴系点， oxyz为机体轴系点 满足关系：
xa x y M y ab a za z
T M ab1 M ab
四、飞机运动方程的线性化及分组
飞机动力学的力与力矩方程是联立的非线性方程，气动力、 气动力矩等都是运动参数的非线性函数，分析与求解方法 复杂。
x0 ,u0
理论力学周衍柏第三章
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
第四章 刚体的平面运动
vB = vA cot ϕ
vA vBA = sin ϕ
vBA vA ωAB = = l l sin ϕ
例2 如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为 ω=5rad/s。 求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
解：1 、 BD作平面运动
2 2 vC = vB − vCB ≈1.299m s
方向沿BD杆向右
2、速度投影定理
由
r r r vB = vA + vBA
沿AB连线方向上投影
r r ( vB ) AB = ( vA ) AB
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上 的投影相等。
例5 如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm， 以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖 动轮E沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置 时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求：此瞬时点E的速度。
由速度投影定理得
vB sin β = vC cos β
vC = vB tan β = rω0 tan β
圆轮瞬心在E 圆轮瞬心在E点
vA = vB = rω0
vC rω0 ωC = = tan β R R
§4-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
A ：基点
Ax ' y '
：平移坐标系
r r rt rn aB = ae + ar + ar r r rt rn aB = aA + aBA + aBA
va= vB
ve= vA
vr= vAB
r r r v =v +v
B A
BA
刚体力学刚体动力学举例
2
2
1 M zdt 1 M zd
T
1 2
x
y
z
I xx
I yx
I
zx
I xy I yy Izy
I xz x I yz y I zz z
T
1 2
I z
2
刚体的动能定理可表示为：A
Jo
1 4
mR2( 2k
21k')
(六) 动能定理
五、 刚体动力学—动能定理
对于刚体来说，由于内力功的代数和为零，故动能
定理可表为： W e T T2 T1
①刚体动能的一般表示 — 柯尼希定理
T
i
1 2
mi ri
ri
1 2
mrc
rc
2 1
M zd
1 2
I
2
z2
1 2
I
2
z1
机械能守恒:
1 2
I zz 2
V
E
(5) 刚体的重力势能
刚体的定轴转动
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重
力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和
即：
质心高度为：
hc
mihi
m
Ep mghc
若只有保守力做功
E
mghc
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
(4) 定轴转动的动能定理
对定轴转动的情况，假设 k ，则：
W e
2 2 F dr F vdt
刚体的运动方程
(欧勒运动学方程)
若：已知 ω 1 , ω 2 , ω 3
& & & 则：计算 ϕ , ψ , θ
讨论：对于对称陀螺，两个主轴可在平面 x1 x 2 上任意 选取，则：取 ox1 沿oN方向 ⇒
& ψ =0& 于是有： ω Nhomakorabea = θ
& & & ω 2 = φ sin θ ω 3 = φ sin θ + ψ
又
rc
∑m r = ∑m
a a a
a a
=0
⇒ 则
∑m r
a
a a
=0
d & 0 + ∑ (ra × ma ra ) = ∑ ra × Fa 外 dt a a
⇒
d & ∑ (ra × mara ) = ∑ ra × Fa 外 dt a a
令
& L( o ) = ∑ ra × ma ra
a
M ( o ) = ∑ ra × Fae
ϕ ：刚体绕固定轴oz转过的角度——进动角； & ϕ ：进动角速度——沿oz方向
& ψ
ψ ：刚体绕 ox3 转过的角度——自转角；
：自转角速度——沿 ox3 方向。
ox θ ： 3 和oz间的夹角——章动角； θ& ：章动角速度——沿oN方向。
1． & 在 x1 x 2平面， 在 θ 由图：
x1 , x 2 , x3 的分量 θ&1 , θ&2 , θ&3 。
dω d ' ω d 'ω = + ω×ω = [ ] dt dt dt
⇒
dv 0 & = w + a + 2ω × v + ω × r + ω × (ω × r ) dt
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刚体运动方程
1 初识刚体运动方程
刚体运动方程是描述刚体运动的重要概念之一。
刚体是指物体在运动过程中，不受外力干扰的物体，因此其形状、大小和体积等属性都保持不变。
刚体运动方程则是以数学公式的形式，描述刚体在不同运动状态下的运动规律。
2 刚体的基本概念
在研究刚体运动方程之前，我们需要了解刚体的基本概念。
刚体是相对于质点而言，其形状和大小都不变的具有保持形态稳定性的物体。
刚体的运动分为平移运动和旋转运动。
平移运动是指刚体作直线运动，向着特定的方向移动。
旋转运动则是指刚体以某一个固定点为轴线，绕轴线进行旋转。
3 刚体的运动学描述
刚体运动学描述了刚体在运动状态下，其位置、速度和加速度等变量规律。
在运动学中，我们需要用到位移、速度和加速度等数量来描述刚体的运动状态。
例如，当刚体沿直线运动时，我们用位移、速度和加速度来描述从初始位置到终止位置所用的时间、初始速度、最后速度、平均速度和平均加速度等变量。
4 刚体的动力学描述
刚体的动力学描述了刚体在受到力的作用下所发生的运动规律。
动力学中，我们需要用到牛顿第二定律来描述刚体所受的力和产生的
动量、角动量和作用力矩等变量。
例如，在刚体绕着某一个轴线进行
旋转时，我们可以通过作用力矩来计算刚体所受的扭矩和旋转角速度
等变量。
5 刚体运动方程的计算
刚体运动方程是以不同的数学公式来描述刚体在不同运动状态下
的运动规律。
例如，利用刚体的位移、初速度、末速度、加速度等变量，我们可以得到一般的平移运动方程：s = v0t + 1/2at^2。
再例如，利用刚体的角位移、初始角速度、末速度、加速度等变量，我们可以
得到一般的旋转运动方程：θ = ω0t + 1/2αt^2。
根据不同的运动
状态，我们可以应用不同的刚体运动方程来求解刚体的运动规律。
6 总结
刚体运动方程是描述刚体运动的数学工具，是物理学和工程学等
领域中的基础概念。
在研究刚体运动方程时，我们需要了解刚体的基
本概念、运动学和动力学的描述、以及不同运动状态下的方程。
通过
运用刚体运动方程，我们可以更加深入地了解刚体的运动规律，实现
在旋转运动、平移运动和复合运动等领域中的应用。