刚体转动动力学基础
刚体的平衡与转动定律的应用
刚体的平衡与转动定律的应用在物理学中，刚体是指其形状和大小在外力作用下不发生变化的物体。
刚体的平衡和转动定律是刚体力学中的重要概念，它们被广泛应用于各种实际工程问题的分析和解决。
一、刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受到外力作用时，保持静止或以一定的速度进行匀速直线运动的状态。
刚体的平衡有两种类型：平稳平衡和不平衡。
1. 平稳平衡当刚体处于平稳平衡状态时，它的重心和支持点重合，不会发生任何转动。
这意味着刚体所受到的合力和合力矩都为零。
根据平衡条件，我们可以得出：∑F = 0 （合力为零）∑M = 0 （合力矩为零）其中，∑F表示合力矢量的矢量和，∑M表示合力矩矢量的矢量和。
平稳平衡的一个典型例子是悬挂在弹簧上的质点。
当质点受到向下的重力和向上的弹簧力之和为零时，质点处于平稳平衡状态。
2. 不平衡当刚体处于不平衡状态时，它的重心和支持点不重合，会发生转动。
此时，刚体所受的合力和合力矩都不为零。
根据不平衡条件，我们可以得出：∑F ≠ 0 （合力不为零）∑M ≠ 0 （合力矩不为零）不平衡的一个典型例子是一个倾斜的物体，当物体所受到的重力分量不平衡时，物体将发生转动。
二、转动定律的应用转动定律是描述刚体转动的物理定律，通过转动定律，我们可以对刚体的转动进行详细的分析。
1. 动量定理动量定理是刚体转动定律的基础，它描述了刚体转动的动力学关系。
根据动量定理，刚体所受的合外力矩等于刚体动量的变化率。
即：∑M = dL/dt其中，∑M表示合外力矩的矢量和，L表示刚体的角动量，t表示时间。
通过动量定理，我们可以计算刚体受到的合力矩以及刚体角动量的变化情况。
2. 角动量守恒定律角动量守恒定律是转动定律中十分重要的一个定律。
它描述了刚体在没有外力矩作用下的转动规律。
根据角动量守恒定律，如果刚体在某一时刻的合外力矩为零，则刚体的角动量将保持不变。
即：∑M = 0 时，L = 常数通过角动量守恒定律，我们可以解决一些与刚体转动相关的问题，如旋转飞盘的角速度变化、自行车的倾斜和转弯等。
刚体旋转知识点归纳总结
刚体旋转知识点归纳总结1. 刚体旋转的基本概念刚体是指在一定时间内，其内部各点的相对位置不改变的物体。
刚体旋转是指刚体围绕固定点或固定轴发生的旋转运动。
在刚体旋转中，需要引入一些基本概念：1.1 刚体的转动刚体的旋转可以是定点转动，也可以是定轴转动。
在定点转动中，刚体绕固定点旋转，而在定轴转动中，刚体绕固定轴旋转。
定点转动和定轴转动都是刚体旋转运动的两种基本形式。
1.2 刚体的转动角度和角速度刚体的转动角度是刚体在单位时间内所转过的角度，通常用θ表示。
刚体的角速度是指刚体单位时间内转过的角度，通常用ω表示。
在刚体定点转动中，角速度是刚体绕定点旋转的角度速度；在刚体定轴转动中，角速度是刚体绕定轴旋转的角度速度。
1.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是衡量刚体抵抗旋转的惯性大小，通常用I表示。
刚体转动惯量的大小取决于刚体形状、质量分布以及旋转轴的位置。
对于质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对质点的质量进行积分得到。
1.4 刚体的角动量刚体的角动量是刚体旋转运动的物理量，通常用L表示。
角动量的大小和方向分别由角速度和转动惯量决定。
在定点转动中，如果刚体的角速度和转动惯量都不变，那么刚体的角动量也保持不变；在定轴转动中，如果刚体绕固定轴旋转，那么刚体的角动量也保持不变。
2. 刚体的转动力学刚体的转动力学研究刚体在旋转运动中所受的力和力矩，包括转动定律、角动量定理、动能定理等内容。
2.1 刚体的平衡刚体旋转平衡需要满足一定的条件，包括力矩平衡条件和动量平衡条件。
刚体力矩平衡条件是指刚体所受的合外力矩为零；刚体动量平衡条件是指刚体所受的合外力矩关于某一点的力矩为零。
2.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理描述了刚体在受到外力矩作用下，其角动量的变化规律。
根据角动量定理，刚体所受外力矩产生的角动量变化率等于刚体所受外力矩的矢量和。
2.3 刚体的动能定理刚体的动能定理描述了刚体在旋转运动中，其动能的变化规律。
根据动能定理，刚体所受外力矩产生的功率等于刚体动能的变化率。
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。
在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。
一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。
在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。
角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。
二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。
力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。
力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：τ = F × r其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。
三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。
转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。
角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：L = I × ω其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。
如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。
这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。
五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。
高等数学1 惯量张量
高等数学1 惯量张量惯量张量（moment of inertia tensor）也被称为惯性张量或转动惯量张量，是描述刚体对转动的惯性特性的重要工具。
在高等数学中，学习惯量张量是研究刚体平衡和旋转动力学的基础。
本文将讨论惯量张量的定义、性质和应用。
1.定义：惯量张量是一个二阶张量，它既包含了刚体对于轴线转动的惯性分布信息，也体现了角动量和角速度之间的关系。
假设一个刚体绕坐标原点的轴线转动，那么惯量张量是由转动惯量乘以坐标轴的归一化因子构成的对称矩阵。
2.惯量张量的性质：（1）对称性：惯量张量是对称矩阵，这意味着任意两个轴之间的转动惯量是相等的。
对称性也意味着惯量张量的特征向量是垂直的，与对应的特征值相对应。
（2）变换性质：惯量张量在不同坐标系之间具有变换性质。
如果我们从某个坐标系切换到另一个坐标系，惯量张量的分量会按照坐标变换的规则进行变换。
（3）刚体的主轴：刚体的主轴是指与惯量张量的特征向量对应的轴线。
在主轴上，刚体的转动惯量最大；而在垂直于主轴的方向上，转动惯量最小。
刚体的主轴对于刻画刚体的稳定性和转动特性非常重要。
3.应用：（1）平衡和稳定性：惯量张量在平衡和稳定性问题中具有重要作用。
通过计算刚体的主轴和对应的转动惯量，我们可以判断刚体在不同轴线上的稳定性和平衡性。
（2）刚体的旋转运动：惯量张量也用于计算刚体的角动量和角速度之间的关系。
角动量是刚体在某一轴线上的转动惯量乘以角速度。
通过计算刚体的惯量张量，我们可以确定刚体的旋转周期、能量以及角速度的大小和方向。
（3）弹性力学：在弹性力学中，惯量张量的概念也被广泛应用。
它可以描述材料在应力作用下的抗扭性能，通过计算惯量张量的特征值和特征向量，可以得到材料的旋转刚度和扭转参数。
综上所述，惯量张量在高等数学中是研究刚体平衡和旋转动力学的重要工具。
它通过对刚体的转动惯量进行描述，帮助我们理解刚体的平衡性、稳定性以及角动量和角速度之间的关系。
同时，惯量张量也在弹性力学中发挥着重要的作用。
刚体力学基础
非专业训练，请勿模仿
例 解 由转动定律得
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
角加速度与质量无关，与长 度成反比，竹竿越长越安全。
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刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
-------------------------------------------------------------------------------
二、刚体绕定轴转动定律
F外力 F内力 mi ai
ai ：质元绕轴作圆运动
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二、定轴转动的角动量守恒定律
质点角动量（相对O点）
定轴转动刚体
L r p r mv
-------------------------------------------------------------------------------
解：
M 1l gdl cos M mgL cos 2 m g1 l cos dl cos mgl M 2 3g cos L 1 22 J 2l M ml L g 3 cos L 2 3g cos d d d d 1 2 l dt cos d d mgL dt 2
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零 外力 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
刚体定轴转动(公式)
旋转木马通常配备安全带、护栏等安全措施，以确保乘客安全。
儿童游乐设施
旋转木马是儿童游乐场常见的设施之一，为儿童提供娱乐和刺激。
电风扇的转动
电风扇的工作原理
电风扇通过电机驱动叶片 旋转，产生风流，实现送 风效果。
风力调节
电风扇通常配备调速器， 可调节电机转速，从而调 节风力大小。
维护保养
定期清洗电风扇叶片和外 壳，检查电线和开关是否 正常，以确保安全和正常 使用。
04
刚体定轴转动的实例分析
匀速转动的飞轮
01
02
03
飞轮的转动
飞轮在匀速转动时，其角 速度保持恒定，不受外力 矩作用。
动能与势能转换
飞轮在转动过程中，动能 和势能之间相互转换，但 总能量保持不变。
平衡状态
在匀速转动状态下，飞轮 的合力矩为零，处于平衡 状态。
旋转木马的转动
旋转木马的转动原理
旋转木马通过电机驱动，使木马旋转，当木马旋转时，离心力作 用使木马保持稳定。
力矩平衡方程
合力矩=0，即所有作用在刚体上的力对旋转轴产生的力矩之和为零。
注意事项
在应用力矩平衡方程时，需要明确各个力的作用点和方向，并计算其对旋转轴产生的力矩。同时，需要注意力的 方向和力臂的长度对力矩的影响。
如何应用动量矩守恒定律？
动量矩守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，刚体的动量矩是守恒的。
05
刚体定轴转动的常见问题与解决方案
如何计算转动惯量？
转动惯量计算公式
I=mr^2，其中m是刚体的质量，r是质心到旋转轴的距离。
注意事项
在计算转动惯量时，需要明确旋转轴的位置，并计算质心到旋转轴的距离。同时 ，需要考虑刚体的质量分布情况，因为不同位置的质量对转动惯量的贡献不同。
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒转动力学是力学研究的一个重要分支，它主要研究刚体的旋转运动。
刚体的旋转运动受到力矩和角加速度的作用，其中转动平衡和角动量守恒是转动力学的基本原理。
一、转动平衡刚体的转动平衡是指刚体处于稳定的旋转状态，不受到外力的扰动，既不会产生角加速度，也不会改变角速度。
要实现转动平衡，必须满足以下条件：1. 力矩平衡条件力矩平衡条件是指刚体上作用的力矩的代数和为零。
对于一个刚体绕固定轴的旋转运动，力矩平衡条件可以表示为：∑M = ∑(r × F) = 0其中，∑表示对刚体上所有力矩求和，r表示作用力的杠杆臂，F表示作用力。
根据力矩平衡条件，可以求解出刚体的转动平衡状态。
2. 重心位置与支撑点位置的关系对于一个转动平衡的刚体，重心必须位于支撑点上方以保持稳定。
当重心位于支撑点下方时，刚体会不稳定，并发生滚动现象。
3. 稳定、不稳定和中立平衡刚体的转动平衡可以分为稳定、不稳定和中立平衡三种情况。
当刚体偏离平衡位置时，稳定平衡会使刚体回复原位置，而不稳定平衡会使刚体继续偏离平衡位置。
中立平衡则是指刚体在偏离平衡位置后，不会有任何变化。
二、角动量守恒角动量守恒是指一个刚体在没有外力矩作用下，角动量的大小和方向保持不变。
对于一个旋转的刚体，角动量可以表示为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
根据角动量守恒定律，在没有外部力矩作用下，刚体的角动量将保持不变。
三、应用举例下面通过一个实际例子来说明转动平衡和角动量守恒的应用。
假设有一个均匀的圆盘，圆盘质量为M，半径为R。
将圆盘以转轴垂直于盘面且通过重心的方式固定，使其处于转动平衡状态。
此时，圆盘的转动平衡可以通过力矩平衡条件来解释。
由于圆盘的重心位于转轴上，且没有施加外力矩，所以∑M=0，根据这个条件可以得到圆盘上各点产生的力矩之和为零。
进一步分析可以发现，圆盘上受重力的作用产生的力矩沿转轴方向相互抵消，所以圆盘能够保持转动平衡。
绕定轴转动刚体的动能__动能定理
第1章-刚体转动动力学基础
cos cos n Cb sin sin cos cos sin -cos sin cos sin sin
cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos
-sin cos cos cos
2013-7-17 10
§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法
四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述 选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。 依次的三次转动，转动轴的选取产生两类欧拉角。
两类欧拉角的差别在于：在第三次转动时，是用第 一次转动用过的轴还是用前两次都未用过的轴。
2013-7-17 11
cos( zb , xn ) c32 cos( zb , yn ) c33 cos( zb , zn )
yb c21 cos( yb , xn ) c22 cos( yb , yn ) c23 cos( yb , zn )
zb c
2013-7-17
31
确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个3×3 的矩阵），可以确定刚体的角位置。
20
§1.2 常用参考坐标系
三 地理坐标系 1. 地固地理坐标系
坐标系的原点选在地球上任一点，三根轴与地球固 结，东北天指向。
(ie ) xn 0 n n ωin ωie (ie ) yn ie cos (ie ) zn ie sin
2013-7-17
V ωe cos sin K Re ωe cos cos K V sin K ωe sin tg K Re
x 2 0 0 0 C 2 C1 0 C 2 0 1 n 1 y2 z 2 0
转动惯量高数
转动惯量高数转动惯量是刚体力学中的一个重要概念，用来描述刚体绕轴旋转时的惯性特性。
它与刚体的质量分布和旋转轴的位置有关，是刚体运动学和动力学分析的基础。
转动惯量的定义是刚体绕轴旋转时，对于单位角度的转动所需的转动力矩的量度。
简单来说，它描述了刚体旋转时对外力的抵抗程度。
转动惯量的大小取决于刚体质量的分布和旋转轴的位置。
在刚体绕固定轴旋转的过程中，不同部位的质量对转动的贡献是不同的。
如果质量分布集中在旋转轴附近，转动惯量就较小；反之，如果质量分布较离散，则转动惯量较大。
这是因为质量分布离散时，对于单位角度的转动需要克服更大的惯性力矩。
以一个简单的例子来说明转动惯量的概念。
想象一个细长的铁棒，它的质量分布在铁棒的两端。
当我们用力旋转铁棒时，我们会发现，棒子的两端越远离旋转轴，旋转的越困难。
这是因为远离旋转轴的质量部分需要克服更大的惯性力矩，所以转动惯量较大。
在物理学中，转动惯量的计算公式为I=∫r^2dm，其中I表示转动惯量，r表示质点到旋转轴的距离，dm表示质点的质量微元。
这个公式告诉我们，转动惯量与质量分布和旋转轴位置有关。
质量分布越离散，转动轴离质点越远，转动惯量就越大。
在实际应用中，转动惯量在许多领域都有重要的作用。
例如，工程中的机械设计需要考虑转动惯量，以确定旋转部件的运动稳定性和能量转换效率。
在物理学中，转动惯量是描述刚体旋转运动的基本物理量，用于分析刚体的旋转动力学性质。
转动惯量是刚体绕轴旋转时惯性特性的量度，描述了刚体对外力的抵抗程度。
它与刚体的质量分布和旋转轴的位置密切相关，是刚体运动学和动力学分析的基础。
转动惯量的计算公式是基于质量分布和旋转轴位置的积分形式，其大小取决于质量分布的离散程度和旋转轴的位置。
转动惯量在工程和物理学中有广泛的应用，对于研究刚体旋转运动和设计旋转部件具有重要意义。
刚体动力学欧拉公式证明
刚体动力学欧拉公式证明刚体动力学欧拉公式是描述刚体运动的重要公式之一，它通过欧拉角来表示刚体在空间中的姿态变化。
下面我将以人类的视角来描述这一公式的推导过程。
在刚体动力学中，我们经常需要描述刚体在空间中的姿态变化。
为了方便起见，我们引入了欧拉角来描述刚体的转动。
欧拉角由三个角度组成，分别是绕Z轴的滚动角（roll angle）、绕新的Y轴的俯仰角（pitch angle）和绕新的X轴的偏航角（yaw angle）。
我们假设刚体的初始姿态是以某个坐标系为基准的。
为了描述刚体的姿态变化，我们引入了一个固连于刚体的坐标系，称为刚体坐标系。
刚体坐标系相对于基准坐标系的变化可以用欧拉角来表示。
假设刚体坐标系相对于基准坐标系的转动顺序是先绕Z轴、再绕新的Y轴、最后绕新的X轴。
我们可以得到刚体坐标系在基准坐标系中的方向余弦矩阵，即一个3×3的矩阵，用来描述两个坐标系之间的转换关系。
根据刚体动力学的基本原理，我们可以得到刚体坐标系在基准坐标系中的角速度。
角速度是描述刚体转动状态的物理量，它与刚体坐标系相对于基准坐标系的转动角度和时间的变化率有关。
我们可以将角速度用欧拉角的导数来表示。
根据欧拉角的定义，我们可以得到刚体坐标系在基准坐标系中的角速度与欧拉角的关系。
通过求解欧拉角的导数，我们可以得到刚体坐标系在基准坐标系中的角速度与刚体坐标系相对于基准坐标系的转动角度和时间的关系。
最终，我们可以得到刚体坐标系相对于基准坐标系的角速度与刚体坐标系相对于基准坐标系的转动角度和时间的关系，即刚体动力学欧拉公式。
刚体动力学欧拉公式的推导过程相对复杂，需要运用刚体动力学的基本原理和欧拉角的定义，同时还需要涉及向量运算和矩阵计算。
但是，通过推导刚体动力学欧拉公式，我们可以更深入地理解刚体在空间中的姿态变化，并能够在实际应用中更准确地描述和计算刚体的运动状态。
刚体动力学欧拉公式是描述刚体运动的重要公式，它通过欧拉角来表示刚体在空间中的姿态变化。
刚体动力学的基本概念
刚体动力学的基本概念第二篇动力学第五章刚体动力学的基本概念一、目的要求 1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等重要概念。
2．静力学公理（或力的基本性质）是静力学的理论基础，要求深入理解。
3. 能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解。
4. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。
5．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确力偶的性质和力偶的等效条件。
6．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。
7．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。
二、基本内容 1．重要概念 1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。
在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。
2）刚体：在力作用下不变形的物体。
刚体是静力学中的理想化力学模型。
3）约束：1/ 11对非自由体的运动所加的限制条件。
在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。
约束对非自由体施加的力称为约束反力。
约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。
4）力：物体之间的相互机械作用。
其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。
前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究力的外效应。
力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。
5）力的分类：集中力、分布力；主动力、约束反力 6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。
按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。
7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。
8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。
9）力的合成与分解：若力系与一个力FR等效，则力FR称为力系的合力，而力系中的各力称为合力FR的分力。
第3章 刚体力学基础
刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
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§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
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➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
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§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 ， 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2
大学物理03-刚体力学基础
J
r
m
2
dm
• 刚体的形状（质量分布）
16
J
注 意
r
m
2
dm
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
例3-2 一均匀细棒，质量为 m ，长为 l 。求该棒对下列转轴 的转动惯量：（1）通过棒中心且与棒垂直的轴；（2）通过 棒的一端且与棒垂直的轴。 解：取如图坐标，在棒上任取质元，到转轴的垂直距离为x， 长度为 d x，该质元的质量为 dm = (m/l )dx (质量为线分布)。 A L/2 C
S
O
Mz r d
P
F
M r F
O r
F
P
F
F //
大小： M rF sin Fd 方向： 由右手螺旋法则确定
转动平面
F 应该理解为外力在转动平面内的 分力F//
转动平面
在定轴转动中，M 的方向只有两种可能指向。若先选 定了转轴的正方向，则 M 与转轴方向一致时取正 值，反之为负值
11
(3) 如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等 于各个力矩的代数和
M
i i i
ri Fi
12
2
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体可视为由许多质点组成的，而每一个质点都遵从质点力学 的规律。刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出。
Fi f i mi ai mi ri
一、力对转轴的力矩
力是引起质点运动状态变化的原因，而力 矩是引起转动物体运动状态变化的原因
(2) 外力F 不在转动平面内（任意力） 可将 F 分解为转动平面内的分力 F// 和垂直于转动平面的分力F F不能引起刚体转动状态的变化 力矩：
利用恒力矩转动法验证刚体转动惯量正交轴定理
利用恒力矩转动法验证刚体转动惯量正交轴定理标题：利用恒力矩转动法验证刚体转动惯量正交轴定理导语：刚体转动惯量正交轴定理是经典力学中重要的理论之一，它描述了刚体绕其重心转动的转动惯量的性质。
在本文中，我们将通过利用恒力矩转动法来验证刚体转动惯量正交轴定理。
通过本实验探索和验证该定理，我们将更深入地理解刚体转动惯量的概念以及它在物理世界中的应用。
第一部分：刚体转动惯量正交轴定理的基本原理1.1 刚体的转动惯量刚体的转动惯量，简称惯量，是描述刚体绕某一轴旋转时对惯性的度量。
它与刚体的几何形状和质量分布有关，也是刚体旋转动力学问题中的重要性质。
1.2 正交轴定理的表述正交轴定理指出，对于任何一个刚体，它的转动惯量可以通过各个坐标轴上的转动惯量的和来表示，即：I = Ix + Iy + Iz其中，Ix、Iy和Iz分别表示刚体绕x轴、y轴和z轴方向的转动惯量。
第二部分：实验装置和操作步骤2.1 实验装置本实验所需的装置包括一个可旋转的刚体支架、一根垂直放置的测力传感器、一根悬挂刚体的细绳以及一组质量砝码。
2.2 实验操作步骤1) 将刚体挂在细绳上，并将该细绳绕过可旋转的刚体支架。
2) 在细绳另一端的垂直测力传感器处加上一组适当的质量砝码，以使刚体保持平衡。
3) 通过旋转刚体支架，使刚体绕某一轴旋转，并记录测力传感器示数。
第三部分：分析和结果3.1 实验数据处理根据测力传感器的示数，利用牛顿第二定律和力矩原理，可以得到刚体所受到的恒力矩大小。
根据该恒力矩的大小、旋转角度和力臂长度，可以计算出刚体绕该轴的转动惯量。
3.2 实验结果将实验得到的转动惯量与刚体在x、y、z三个方向上的转动惯量进行比较。
根据正交轴定理，将三个方向上的转动惯量相加，得到的结果应该与实验测量结果十分接近。
第四部分：讨论和总结4.1 对实验结果的讨论通过实验我们发现，利用恒力矩转动法可以较准确地测量刚体绕某一轴的转动惯量。
实验结果显示，实测转动惯量与三个方向上的转动惯量之和非常接近，验证了刚体转动惯量正交轴定理的准确性。
刚体力学基础知识点总结
刚体力学基础知识点总结一、刚体的定义与特性刚体是指物体在力的作用下，无论受到多大的力或力矩，形状和体积都不发生变化的物体。
刚体具有以下特性：1. 刚体的质点间距不变：刚体上的质点在受力作用下，相对位置保持不变。
2. 刚体不发生形变：刚体的内部结构在受力作用下不发生变化，保持原有的形状和体积。
二、刚体的平衡条件刚体的平衡条件是指刚体处于平衡状态时，满足的力学条件。
刚体平衡有两个条件：1. 力的平衡条件：刚体平衡时，合外力和合内力矩均为零。
2. 力矩的平衡条件：刚体平衡时，对于刚体上的任意一点，合外力和合内力矩的代数和为零。
三、刚体的转动刚体的转动是指刚体围绕某个轴线或转动点进行旋转的运动。
刚体的转动有以下特点：1. 轴线：刚体转动的轴线是指固定刚体上任意两质点连线的延长线的交点。
2. 转动角速度：刚体绕轴线旋转时，每个质点的角速度相等。
3. 转动惯量：刚体绕轴线旋转时，转动惯量是刚体抵抗转动的物理量，与刚体的质量分布有关。
4. 转动定律：刚体绕轴线旋转时，转动定律描述了刚体的转动状态和转动惯量之间的关系。
四、刚体的平动与转动刚体的平动是指刚体作为一个整体沿直线运动的运动形式，而刚体的转动是指刚体围绕某个轴线旋转的运动形式。
刚体的平动与转动有以下关系：1. 平动转动定理：刚体的平动和转动可以相互转化，平动转动定理描述了平动和转动之间的转化关系。
2. 转动轴与平动方向垂直：刚体的转动轴与刚体的平动方向垂直。
五、刚体静力学刚体静力学是研究刚体在不动力学平衡状态下的力学性质和相互作用的学科。
刚体静力学包括以下内容：1. 刚体的受力分析：通过力的平衡条件和力矩的平衡条件，分析刚体所受到的各个力和力矩的大小和方向。
2. 支持反力：刚体在平衡状态下，受到支持反力的作用，支持反力可以分为支持力和摩擦力。
3. 杠杆原理：杠杆原理描述了杠杆平衡的条件，即杠杆两边所受的力矩相等。
六、刚体的碰撞刚体的碰撞是指两个或多个刚体之间发生的相互作用过程。
刚体力学中的受力平衡与转动条件
刚体力学中的受力平衡与转动条件在刚体力学中，受力平衡和转动条件是解决和分析物体静止或平衡的基础。
无论是在日常生活中还是在科学研究中，我们都会遇到各种需要解决物体平衡问题的情况。
了解和应用受力平衡和转动条件的原理，可以帮助我们更好地理解物体在静止或平衡状态下的行为规律。
首先，我们来了解什么是受力平衡。
受力平衡指的是物体所受到的所有外力的合力为零的状态。
也就是说，物体在受到外力作用时，并不会发生整体运动或者改变自身的平衡状态。
这种平衡状态可以是物体静止不动，也可以是物体以恒定速度做匀速直线运动。
当物体处于受力平衡状态时，我们可以根据平衡条件来解决问题。
其次，转动条件是在受力平衡的基础上，针对刚体绕某一轴线进行转动时的特殊条件。
根据转动条件，物体绕某一轴线的转动平衡与该轴线上的合力矩和合力的静摩擦力矩有关。
当物体绕某一轴线转动时，如果合力矩和合力的静摩擦力矩为零，那么物体就处于转动平衡状态。
受力平衡和转动条件在实际问题中的应用非常广泛。
例如，我们在安装一个门时需要考虑门是否会自动关闭，这时我们就需要根据受力平衡和转动条件来调整门的重心和铰链的位置。
又例如，建筑物的设计中需要考虑承重板材的平衡和转动，以确保建筑物的稳定性和安全性。
受力平衡和转动条件的应用还可以扩展到力学研究的其他领域。
例如，我们可以利用受力平衡和转动条件来分析机械系统中的各种连杆和齿轮的力学特性，从而优化机械设计。
另外，受力平衡和转动条件也是物体静力学和动力学中的基础概念，对于解决力学问题具有重要的意义。
总的来说，受力平衡和转动条件在刚体力学中起着重要的作用，可以解决物体静止或平衡的问题，并帮助我们更好地理解物体的行为规律。
无论是在日常生活中还是在科学研究中，了解和应用受力平衡和转动条件的原理都能够提升我们的解决问题的能力和见识。
因此，我们应该深入学习和掌握这些概念，并将其应用到实际生活和科学研究中。
只有这样，我们才能更好地探索和理解物体的运动与平衡规律，为人类的生活和科学进步做出更大的贡献。
动力学的基础与原理研究
动力学的基础与原理研究动力学是物理学中重要的一个分支，涉及到运动的物理特性和力学规律。
其研究对象包括质点、刚体等物体在运动过程中的性质和规律。
动力学不仅能够用于解释宏观世界中的运动和变化，也可以应用于微观领域的分子动力学模拟等研究。
本文将从动力学的基础和原理两个方面入手，深入探讨动力学研究的意义以及其应用领域。
一、动力学的基础动力学的基础主要建立在我们对物体运动的观察和实验基础之上。
在运动过程中，物体的运动可以通过其速度、加速度等相关参数进行描述。
同时，我们通过实验也可以观察运动物体之间的相互作用和影响，如牛顿第三定律所描述的相互作用力的平衡等。
动力学在这些基础上，通过分析和理论推导，建立了一系列数学模型和公式，可以用于预测和计算物体的运动轨迹和运动参数。
动力学的基础还包括能量守恒和动量守恒定律。
能量守恒定律表明，在物体间的相互作用和运动过程中，能量总量保持不变。
这意味着能量可以从一种形态转化为另一种形态，但总量不会发生改变。
动量守恒定律则表明，物体间的相互作用和运动过程中，动量总量也保持不变。
这两个定律为我们理解物体运动的过程和规律提供了重要的理论依据。
二、动力学的原理动力学的基础为我们提供了理论框架，而其原理则深入探讨了物体间的相互作用和影响。
对于单个物体的运动，我们可以应用牛顿定律进行描述。
这包括质点在均匀直线运动和匀变速直线运动中的情况，以及自由落体运动等。
对于多个物体之间的相互作用，我们需要应用牛顿定律中的相互作用力和相互作用加速度进行分析和计算。
动力学的原理还包括牛顿引力定律和万有引力定律。
前者是指两个物体之间存在的万有引力，其大小与两个物体间的距离和质量有关。
后者则是指物体间引力的普遍性规律，涉及到所有物体间的万有引力相互作用。
这两个定律为我们理解宏观天体和星系间的相互作用和运动，提供了重要的理论依据。
三、动力学研究的意义和应用动力学的研究对于我们理解物体运动的过程和规律具有重要的意义。
大学物理-力矩-转动定律-转动惯量
F
p
18
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
J 0.5
mg T ma
(2) Tr J
a r
两者区别?
rO
F T
T
J
mgr mr 2
98 0.2 0.5 10 0.22
i
J r2dm
9
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四. J 的计算
质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：
在圆规迹切线方向
mk ak mk rk Fk fk
两边乘以rk，并对整个刚体求和
第二章 动力学基础
z
o
vk
mk
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
k
k
k
5
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
17
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四、转动定律的应用举例
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘， 在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。
rO
求: (1) 飞轮的角加速度。
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。