2.1.2数列的概念及表示(二)

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高中数学必修5课件：第2章2-1-2数列的性质和递推关系

n 3n＋1
为递
增数列．
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第二章数列
方法二：∵n∈N*，∴an>0，
n＋1
∵
an＋1 an
＝
3n＋4 n
＝
n＋13n＋1 3n＋4n
＝
3n2＋4n＋1 3n2＋4n
＝1＋
1 3n2＋4n
3n＋1
>1，∴an＋1>an，∴数列3nn＋1为递增数列．
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第二章数列
方法三：令f(x)＝3x＋x 1(x≥1)，则 f(x)＝133x3＋x＋1－1 1＝131－3x＋1 1， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列3nn＋1是递增数列．
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第二章数列
(2)∵bn＝aan＋n 1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58. 故b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
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第二章数列
数列的单调性问题
已知数列{an}的通项公式为an＝
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝
an an＋1
构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}
的前4项．
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第二章数列
解析： (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
4分 6分 8分
10分
12分
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第二章数列

数列的概念数列的极限收敛数列的性质

例8 证对于任意给定的正数 (不妨设0< <1)，由于
三、收敛数列的性质
数列收敛于a的几何意义如下：
当我们把看成是数轴上的点列时，数列收敛于a，就是对点a 的任何一
个邻域
，都存在一个序号N，使得点列
的第N个点以后的
所有点
都在这个邻域之内，即点列中最多除去前N个点外，都聚集在点a
的这个邻域之内，或者说至多有N个点
落在区间
之外.
当我们把数列看成是n的整标函数，即
其图形是在平面直角坐标系中的二维点列：
数列收敛于a，就是对于任意给定的正数 (无论其多么
小)，总存在正整数N，当n>N时，二维点都在直线
与直线
形成的带状域之内，一般来说，越小( 带宽小)，N越大.
定理2.1(极限的唯一性) 若数列收敛，则其极限唯一.
例1、例5中的数列是单调增加的，例2中的数列是单调减少的. 对于数列，若存在正数M，使得对于一切的n都有
成立，则称数列是有界的，否则称是无界的. 容易验证例2，例3和例4中的数列是有界的；而例1和例5中的数列是无界的.
在几何上，通常用数轴上的点列
来表示数列 .
这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列
是自左
向右依次排列的点列.表示有界数列的点列全部落在某一区间[－M，M]之内，表示无
界数列的点列，无论区间[－M，M]多么长，总有落在该区间之外的点.
二、数列的极限
我国古代著名的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论断，就是数列极限思想的体现.
数列的变化趋势，也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.
以
为例来讨论数列极限的含义.
前面已经看到：

2.1数列的概念与简单表示法(二)

§2.1数列的概念与简单表示法(二)学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).预习教材P30－31完成下列问题：知识点一数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{a n}中，若a n＋1>a n，则{a n}是递增数列；若a n＋1<a n，则{a n}为递减数列；＝a n，则{a n}为常数列.若a n＋1【预习评价】1.从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？提示还可以用列表法，图象法.2.数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？提示联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调.反之不正确，例如f(x)＝(x－52，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增.4)区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1，x2不能用有限个数值来代替.数列单调性的定义：只需比较相邻的a n与a n＋1的大小来确定单调性.知识点二数列的表示方法1.数列的递推公式：如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.2.数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.【预习评价】1.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________.解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1， ∴a 8＝29－1＝511.答案 63 a n ＝2n ＋1－1 5112.数列的通项公式与递推公式有什么区别？提示不同点相同点通项公式要根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项题型一数列的函数特性【例1】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝（9－n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.规律方法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n }这一条件.2.可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.【训练】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534，a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9]. ∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ，即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n }的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.方向1 由递推公式写出数列的项【例2－1】已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由递推公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项. 解 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13. 方向2 由数列的递推公式求通项公式【例2－2】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式. 解 ∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，∴a 2＝a 1＋12×1＝1＋12＝32，a 3＝a 2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a 3＋14×3＝53＋112＝74，a 5＝a 4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95.由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n . 方向3 构造数列法求通项公式【例2－3】设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ， ∴数列{na n }是常数列， ∴na n ＝1·a 1＝1， ∴a n ＝1n . 答案 1n规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤 (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式. (3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式.将原来的递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1). (2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式.将原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a na n －1＝ f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1).课堂达标1.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4解析只有③正确.①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ， a 1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n ＝n ＋1n ＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列. 答案 A2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 答案 C3.数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 017等于( )A.－1B.－12 C.12 D.1解析 ∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1， ∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 017＝x 1＝1. 答案 D4.已知数列{a n }，对于任意的p ，q ∈N *，都有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析由已知得a 1＋a 1＝a 1＋1＝a 2，∴a 2＝29，同理a 4＝49，a 8＝89，∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝89＋19＝1， ∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4. 答案 45.求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项. 解由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818.由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108， ∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.课堂小结1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式.而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系.2.数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法； ④递推公式法.3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .基础过关1.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n 等于( ) A.n 2＋1 B.n ＋1 C.1－nD.3－n解析 a n ＋1－a n ＝－1，利用累加法可以求得a n ＝3－n .选D. 答案 D2.已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，此数列的第3项是( ) A.1 B.12 C.34D.58解析 a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.答案 C3.数列{a n }中，a n ＝n － 2 011n － 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A.a 1，a 50 B.a 1，a 44 C.a 45，a 44D.a 45，a 50解析 a n ＝n － 2 011n － 2 012＝1＋2 012－ 2 011n － 2 012.∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减，当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减，结合函数f (x )＝2 012－ 2 011x － 2 012的图象，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44. 答案 C4.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项.解析 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 答案 55.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________.解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a na n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024. 答案 1 0246.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.7.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)； (3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *). 解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n (n ∈N *).能力提升8.已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，设S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n ，则下列结论正确的是( )A.x 100＝－a ，S 100＝2b －aB.x 100＝－b ，S 100＝2b －aC.x 100＝－b ，S 100＝b －aD.x 100＝－a ，S 100＝b －a解析 x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ，x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2，∴{x n }是周期数列，周期为6，∴x 100＝x 4＝－a ，∵x 1＋x 2＋…＋x 6＝0，∴S 100＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a .答案 A9.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( ) A.16B.20C.33D.120解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴前6项之和为33.答案 C10.已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 010＝________，a 2 015＝________.解析依题意，得a 2 010＝a 2×1 005＝a 1 005＝a 4×252－3＝1，a 2 015＝a 4×504－1＝0.答案 1 011.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ∈N *)，试归纳出这个数列的通项公式a n ＝________.解析由a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，…，所以可归纳出a n ＝1n . 答案 1n12.已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式.解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1. ∴故n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.a 1＝12也适合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *). 13.(选做题)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，对数列f (n )(n ∈N *)，若f (1)＝lg 32，f (2)＝lg 15，求f (2 016).解 f (3)＝f (2)－f (1)＝lg 15－lg 32＝lg 10＝1，f (4)＝f (3)－f (2)＝1－lg 15＝lg 23，f (5)＝f (4)－f (3)＝lg 23－1＝lg 115，f (6)＝f (5)－f (4)＝lg 115－lg 23＝lg 110＝－1，f (7)＝f (6)－f (5)＝－1－lg 115＝－1＋lg 15＝lg 32＝f (1)，f (8)＝f (7)－f (6)＝lg 32＋1＝lg 15＝f (2).∴f (n )是周期为6的周期数列.∴f (2 016)＝f (336×6)＝f (6)＝－1.。

高中数学课件：第二章 2.1 数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式

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[研一题] [例 1] 项公式： 4 1 4 2 (1)5，2，11，7，…； 1 9 25 (2)2，2，2，8， 2 ，…； (3)7,77,777，…；根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通
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(4)0,3,8,15,24，…； 1 3 7 15 31 (5)2，4，8，16，32，…； 2 10 17 26 37 (6)3，－1， 7 ，－ 9 ， 11，－13，….
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[悟一法] 1．根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律．解决这类问题一定要注意观察项与序号的关系和相邻项间的关系．具体地可参考以下几个思路
(1)统一项的结构，如都化成分数、根式等．
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(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如例1.(1) 中可把分子、分母分别处理． (3)对于符号交替出现的情况，可观察其绝对值，再以 (－1)n(n∈N*)处理符号，如例1.(6)．
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[巧思] 求出数列{an}的通项公式是解决本题的关键．由
a1·2·3·…·an＝n2可得a1·2·3·…·an－1＝(n－1)2，故可求an. a a a a
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[妙解]
∵a1·2·3· an＝n2(n∈N*)，① a a …·
∴当 n≥2 时，a1·2·3· an－1＝(n－1)2.② a a …· ① n2 由，得 an＝ 2(n≥2) ② n－1 n2 9 25 61 (1)∵an＝ (n≥2)，∴a3＋a5＝4＋16＝16. n－12
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(4)数列 2,4,6,8，…的通项公式是 an＝2n； (5)数列 1,2,4,8，…的通项公式是 an＝2n 1； (6)数列 1,4,9,16，…的通项公式是 an＝n2； 1 1 1 1 1 (7)数列1，2，3，4，…的通项公式是 an＝n.

数学数列知识点归纳总结

数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。

例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。

1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。

- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。

- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。

- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。

1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。

- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。

- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。

- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。

如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。

1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。

- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。

- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。

- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。

二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。

例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。

数列知识点总结及例题讲解

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。

是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。

与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

2.1.2数列的递推关系

2.1.2数列的递推关系一、内容和内容解析数列是除数、形、三角、函数外又一个重要的数学概念，是数学发展的又一个重要主题.在第一节课的学习中学生已初步接触数列，了解了数列的基本概念，可以发现，数列的简单表示呼应数列是一种特殊函数，类比给出了三种不同的表示法：通项公式、列表法、图象法，而递推公式也是数列的一种表示方法.上一节课学生已经学习了用通项公式来表示数列，这一节课的重点是让学生进一步了解数列的另一种表示方法，即数列的递推关系.递推关系是数列所特有的表示方法，它表示的是数列的某一项和它的前一项或前若干项之间的关系，它紧密的联系着数列的通项，体现着数列项与项之间的某种关系.数列的递推关系同其通项公式的特点类似，即有些数列的递推关系是不唯一的，可以有不同形式.同函数一样，我们还可以根据数列的递推关系研究数列的性质，包括单调性、周期性等等.通过对数列递推关系的进一步研究，可以更好的体会到所有的事物虽在不断变化着，但在这纷繁的变幻中，许多现象的变化是有规律可循的，我们可以用递推的思想去研究这些变化.二、学生认知基础分析1．学生已有的经验和基础．(1)学生已经学习了函数的知识以及数列的基本概念及其简单表示，为这节课的学习奠定了一定的基础.而且学生在小学时就有了对数列知识的启蒙，比如根据前几项找一列数的规律，通过一列数写出某一项等等，这都蕴含着数列概念及表示法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素以及用代表性元素表示两者或多者之间关系的经验．(3)学生具有学习用递推关系表示一列数的心理需求.2．学生可能遇到的问题与困难．(1)对一列具有复杂规律的数难以直接寻求它们之间的关系.(2)对数列递推关系的理解只停留在表面，难以通过抽象的概念应用到实际问题中.(3)不善于把所有的数学知识形成一个自我的体系，不擅长联系旧知来学习新知，对数学概念的理解停留在表面.(4)由于数学思想的形成需要经历萌芽期、明朗期、成熟期，因此学生难以在一节课或几节课内深刻理解数列的精神实质.三、目标和目标解析结合教学指导意见和教学实际，制定教学目标如下：1.知识与技能：经历通过递推关系写通项公式、通过数列前几项写递推关系以及根据数列递推关系寻找数列的性质，掌握数列递推关系的基础知识和基本技能.2.数学思考：数学是一个融会贯通的整体，学会从函数的角度认识数列，学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.3.问题解决：通过例题解析，初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，了解并掌握数列简单表示方法的概念以及数列递推关系的应用.4.情感态度：通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想，强化数学应用意识.四、教学重点、难点重点：数列递推公式的认识与递推公式的应用难点：通过数列递推公式写数列通项公式及研究数列性质五、教学过程设计（一）复习引入，提出课题上一节课我们学习了数列的基本概念，我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，记为{}n a.把表示{}n a的第n项与序号n之间的关系式称为数列的通项公式.（1）在上图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.1a类比于函数，我们把这种数列的表示方法称为解析式法.=n3-n同样，除了解析式法，还可以用列表法、图象法来表示数列.列表法问题：写数列通项公式时，你最先发现这个数列的规律是？后一项是前一项的3倍，即)2(31≥=-n a a n n .我们把这种项与项之间的等式关系称为数列递推关系，它也是数列的一种表示方法.[设计意图] 通过具体例题回顾上一节的知识，从函数的角度类比数列的几种简单表示方法，引出新课内容.（二）分组练习，交流分享分组：分成四个小组，各自完成一道习题，相互交流讨论并选出一名发言人汇报讨论结果.巡视、点拨：了解学生的答题情况，对讨论过程中个别疑难处进行指导.1.根据数列的递推关系，写出数列的前五项并猜想这个数列的通项公式.（1）已知;2,111+==+n n a a a（2）已知;21,211n n a a a ==+ （3）已知);2(1,111≥+==-n a n n a a n n （4）已知.23,5,31221n n n a a a a a -===++[设计意图] 通过练习1让学生进一步体会根据数列的递推关系可以把数列的每一项都表示出来，利用分组练习充分发挥学生合作交流的能力，让学生“动n a 13-k起来”，让课堂“活起来”.2.（1）下面四个图形中的点数依次构成数列的前四项，请写出它的一个递推关系.（2）下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，请写出它的一个递推关系.（3）已知数列的前四项分别为：1,2,6,15，请写出它的一个递推关系.[设计意图] 以图形的形式展现数列的前几项，寻找图形之间的关系从而写出数列的递推关系.以丰富的形式提高学生学习探究的兴趣，激发学生的求知欲.（三）例题解析，思维提升例1.已知正项数列{}n a 满足22,111+==+n n n a a a a . ①求;,,432a a a ②能否判断{}n a 的单调性？可否求证？[设计意图] 数列的递推关系的应用，先尝试通过递推关系写出前几项猜想数列的单调性，再根据数列的递推关系引导学生利用作差法、作商法求证猜想.通过这个例子培养学生大胆猜想，严谨求证的数学能力.例2.已知数列{}n a 满足,11,211n n a a a -==+则)(2016=a .2.A 21.B2.-C 1.-D [设计意图] 数列的递推关系的应用，让学生先通过递推关系写出数列的前几项发现规律，然后猜想第2016项，体会由数列的递推关系判断数列的周期性.找规律找周期性这类问题是学生从小学就开始接触的，这种熟悉的问题更易让学生动手尝试，从而达到知识拓展、思维提升的目的.归纳小结：数列递推关系的应用：①写出数列的通项公式；②判断数列的单调性；③周期性.（板书）[设计意图] 通过教师适当的点拨和小结，让学生站在更高层次去理解数学本质.（四）联系自然，课外拓展1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…提问：你能发现这个数列的规律吗？如果用n a 表示第n 个月的兔子的总对数，可以看出，)3(21≥+=--n a a a n n n这是一个由递推关系给出的数列，我们把这个数列称为斐波那契数列.拓展1：带小花的大向日葵的管状小花排列成两组交错的螺旋，通常顺时针的螺旋有34条，逆时针的螺旋有55条，恰为斐波那契数列的相邻两项，这样的螺旋被称为“斐波那契螺旋”，蒲公英和松塔就是以“斐波那契螺旋”的形式排列种子或鳞片的.拓展2：把相邻两项的比值看做一个新的数列，即⋯⋯+,,,2113,138,85,53,32,21,111n n a a当n 趋向于无穷大时，其比值趋向于618.0215≈-，即黄金比值. 故斐波那契螺旋又称为黄金螺旋.拓展3：神奇的是，飓风的卫星云图和银河的形状都与黄金螺旋有着惊人的相似之处.包括在建筑上，美术上甚至在音乐上都体现了它的美妙之处.[设计意图] 数学来源于生活，数学是有用的，数学的美妙也体现在生活中的方方面面.让学生从更多角度认识数列的递推关系.（五）归纳总结，作业布置提问：通过今天这节课你收获了什么？[设计意图]通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力．分层布置作业必做题：书P34，第4,5,6题.选做题（探究提升）：阅读了解斐波那契数列相关内容，体会数列的递推关系的应用.。

数列公式汇总

数列公式汇总-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2．1 数列的概念与简单表示法2．2 等差数列2．3 等差数列的前n 项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….⒊数列的一般形式：,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

数列的概念与简单表示法教案

数列的概念与简单表示法教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。

举例说明数列的组成，如自然数数列、等差数列等。

1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。

强调数列项的顺序和重复性质。

1.3 数列的通项公式引导学生了解通项公式的概念，即用公式表示数列中任意一项的方法。

举例讲解如何写出简单数列的通项公式。

第二章：数列的表示法2.1 列举法讲解如何用列举法表示数列，即直接写出数列的所有项。

练习写出几个给定数列的列举表示。

2.2 公式法解释公式法表示数列的方法，即用公式来表示数列的任意一项。

举例说明如何用公式法表示等差数列和等比数列。

2.3 图像法介绍图像法表示数列的方法，即用图形来表示数列的项。

引导学生通过观察图形来理解数列的特点。

第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的数量。

举例说明如何确定一个数列的项数。

3.2 数列的单调性引导学生理解数列的单调性，即数列项的增减规律。

举例说明如何判断一个数列的单调性。

3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中项按照一定规律重复出现。

举例说明如何判断一个数列的周期性。

第四章：数列的通项公式4.1 等差数列的通项公式讲解等差数列的定义和性质。

推导等差数列的通项公式。

4.2 等比数列的通项公式讲解等比数列的定义和性质。

推导等比数列的通项公式。

4.3 其他类型数列的通项公式引导学生了解其他类型数列的通项公式。

举例讲解如何求解其他类型数列的通项公式。

第五章：数列的前n项和5.1 等差数列的前n项和讲解等差数列的前n项和的定义和性质。

推导等差数列的前n项和的公式。

5.2 等比数列的前n项和讲解等比数列的前n项和的定义和性质。

推导等比数列的前n项和的公式。

5.3 其他类型数列的前n项和引导学生了解其他类型数列的前n项和的求法。

举例讲解如何求解其他类型数列的前n项和。

第六章：数列的求和公式6.1 数列求和的定义解释数列求和是指将数列中的所有项相加得到一个数值。

2.数列的概念及表示

第6层钢管数为9:即 9＝6+3
第7层钢管数为10:即 10＝7+3 若用表示钢管数， n 表示层数，则可得出每一层的钢 an 管数为一数列 .且 an = n + 3(1 ＃n 7)
请同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？
模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即:
由递推公式求通项公式
例1：已知数列 {an } 满足：a1=5,an=an－1+3（n≥2）（1）写出这个数列{an } 的前五项为（2）这个数列 {an } 的通项公式是。。
2．已知数列{an } 满足：a1=2,an=2an－1（n≥2）
（1）写出数列{an }的前五项为（2）这个数列{an }的通项公式是。。
1 例 3 已知数列 {an}满足 a1 ＝ 1， an ＝ an － 1 ＋ n(n－1) (n≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．
总结已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要
掌握由 a1 和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想 an 的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2 an an－1 a2 －a1)＋a1；累乘：an＝ · · …· · a1 等方法． a 1 an－1 an－2
数列的概念及表示（2）
递推数列
苍溪中学
文晋
1, 2, 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , … , 263
思考：此问题中相邻两项an1与an的关系如何？
an 2an1
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4:即 4＝1+3

《数列的概念与简单表示法》教案

《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的定义1.1 学习目标：理解数列的定义，能够识别数列的基本特征。

1.2 教学内容：1.2.1 数列的定义：按照一定的顺序排列的一列数。

1.2.2 数列的项：数列中的每一个数称为项。

1.2.3 数列的顺序：数列中项的排列顺序称为数列的顺序。

1.3 教学活动：1.3.1 引入数列的概念，让学生通过观察实际例子来理解数列的定义。

1.3.2 引导学生分析数列的基本特征，如顺序、项等。

1.3.3 进行数列的实例练习，让学生能够识别和描述不同的数列。

第二章：数列的表示法2.1 学习目标：掌握数列的常见表示法，能够正确写出数列的前几项。

2.2 教学内容：2.2.1 列举法：将数列的每一项按顺序写出来。

2.2.2 描述法：用数学公式或文字描述数列的规律。

2.2.3 数列的通项公式：用公式表示数列中任意一项的值。

2.3 教学活动：2.3.1 介绍列举法和描述法，让学生通过实际例子学会用不同的方式表示数列。

2.3.2 引导学生理解数列的通项公式，并能够根据规律写出数列的前几项。

2.3.3 进行数列表示法的练习，让学生能够灵活运用不同的表示法。

第三章：数列的性质3.1 学习目标：理解数列的性质，能够运用数列的性质进行问题的解决。

3.2 教学内容：3.2.1 数列的项数：数列中项的个数称为数列的项数。

3.2.2 数列的项的公共性质：数列中所有项都具有的性质称为数列的项的公共性质。

3.2.3 数列的性质：数列的项的公共性质称为数列的性质。

3.3 教学活动：3.3.1 引导学生通过观察和分析数列的实例，发现数列的性质。

3.3.2 让学生通过实际的例题，学会运用数列的性质进行问题的解决。

3.3.3 进行数列性质的练习，让学生能够熟练运用数列的性质。

第四章：数列的分类4.1 学习目标：了解数列的分类，能够识别不同类型的数列。

4.2 教学内容：4.2.1 数列的分类：按照数列的性质和规律，将数列分为不同的类型。

人教课标版高中数学必修5《第二章数列》知识概述

1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。

教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。

作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。

等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。

与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。

最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。

2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。

教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。

随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。

通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是型，借助数列的相关知识解决问题的思想。

三、编写中考虑的几个问题1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。

教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。

通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。

教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数数列概念数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例等差数列概念等差数列通项公式等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题等比数列前n项和公式等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。

数列的概念及简单表示2

(3) 3,3, 15, 21,3 3.
(4)1,1,2,3,5,8,_1_3_,21,34,55,_89_, …
如果已{知 an}的数1第项列（n 或项前），且 an与任它的前a一 n（ 1 项或 n项前）间的关个系公可式以来用那么这个公个式数就列叫的做递这推公式
1.课本P38习题2.1 A组第4, B组第3题;
2.完成第一课堂2.1节第2课时题目(其中第7,8,13题不做).
一.复习回顾:
1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数称为数列.
2.数列的写法与简记符号： a1,a2,a3, …,an, …,简记为﹛an﹜
3.数列的分类：有穷数列,无穷数列与递增数列,递减数列,常数列,摆动数列.
4.数列的实质：数列是一种特殊的函数.
5.数列的通项公式：
数列﹛an﹜ 的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
例3.已知正项a数 n中列， a1 1,
（n1）an12nan2anan1 0, 求数{列 an}的通项公式
三.数列性质的应用:
例 4.已知数 an列 (m22m)(n32n)是递减 , 数
求实 m的数取值 . 范围
例5.已知数a列 n 9n1(n0n 1),问数列中有没有?最
如有求出最;如大没项有请说明 . 理由
注意：①一些数列的通项公式不是唯一的;
②不是每一个数列都能写出它的通项公式.
6.掌握两种题型的解法： (1) 会由通项公式求数列的任一项； (2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式。
Байду номын сангаас
练习:写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

2.1.2 数列的性质和递推公式

第2课时数列的性质和递推公式一、数列与函数的关系数列可以看作是以正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．二、数列的递推公式如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．1.数列的函数性质例1.已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的增减性．变式2.判断下列数列的单调性：(1)在数列{a n }中，a n ＝－2n ＋3；(2)在数列{a n }中，a n ＝n 2＋2n －5.2.数列的递推公式例2.设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1，n ∈N *).写出这个数列的前5项．变式2.在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．3.由数列的递推公式求数列的通项公式例3.(1)已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），n ∈N *，求通项公式a n ； (2)设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求通项a n .变式3.已知数列{a n }满足a 1＝12，n n n n a a a a -=--11，求数列{a n }的通项公式．课堂练习：1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥22．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．课时作业一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.583．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于() A.259 B.2516 C.6116 D.31154．已知a 1＝1，a n ＝a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，则数列的通项公式为( )A ．a n ＝3n ＋1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2D ．a n ＝3(n －1)5．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116B.117C.110D.1256．已知数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列中最大项的值是( )A ．107B ．108C ．10818D ．109二、填空题7．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，0≤a n <12，2a n －1，12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 017＝________.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 3n ＋1，n 为正奇数，4n －1，n 为正偶数，则它的前4项依次为________．9．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．10．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n 个图中有________个点．三、解答题11．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.12．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)； (3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)．。

2.1数列的概念与简单表示法

第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法【学习目标】1. 理解数列概念，了解数列的分类；理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；2. 理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；提高观察、抽象的能力．【知识梳理】1．数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为叫做数列(sequence of number).【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别_________________________________________________________________2．数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3．数列的分类：按项数分类：_______________ _______________按项与项间的大小关系 4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term ）.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：① 求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项5. 数列的图像都是一群孤立的点.从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列． 7．数列的表示形式：_________ __________ __________ 8.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1 ，S n －S n －1， n ≥2 .【典例精析】：【例1】下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）0，1，2，3，…。

数列：第1讲数列的概念及表示

数列的概念及表示1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有、、、 . 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为、 . (2)按项的增减规律分为、、和．递增数列⇔a n ＋1 a n ；递减数列⇔a n ＋1 a n ；常数列⇔a n ＋1 a n .递增数列与递减数列统称为． 3．数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎨⎧≥=）.2（），1（n n4．常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为a n ＝____________； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为a n ＝____________； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为a n ＝____________； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为a n ＝____________； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n ＝____________；(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为a n ＝____________； (7)a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式为a n ＝____________； (8)9，99，999，…的一个通项公式为a n ＝ .注：据此，很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为19(10n－1)，29(10n －1)，…，89(10n －1)．【答案】1．(1)项首项 a 1，a 2，a 3，…，a n ，… (2)第n 项 n (3)函数值 (4)a n a n －1(5)通项公式(解析法) 列表法图象法递推公式 2．(1)有穷数列无穷数列 (2)递增数列递减数列摆动数列常数列＞＜＝单调数列 3．S 1 S n －S n －14．(1)n (2)2n (3)2n ＋1 (4)2n (5)(－1)n (6)1＋（－1）n －12(7)（a ＋b ）＋（－1）n －1（a －b ）2(8)10n －1 【基础自测】1 数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)nn （n ＋1）2n －1B ．a n ＝(－1)nn 22n －1C ．a n ＝(－1)nn 22n ＋1D ．a n ＝(－1)n n3－2n2n －1解：－1＝－11，数列1，4，9，16，…对应通项n 2，数列1，3，5，7，…对应通项2n －1，数列－1，1，－1，1，…对应通项(－1)n .故选B . 2 下列有四个命题：①数列是自变量为正整数的一类函数；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：易知①③正确，②④不正确．故选B .3 若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( )A.110B ．－110C.190D.1990解：a 5－a 4＝⎝⎛⎭⎫16＋17＋…＋110－(15＋16＋17＋18)＝19＋110－15＝190，故选C . 4 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为____________．5 数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________. 解法一：由a 1a 2a 3＝22a 3＝32，得a 3＝94，由a 1a 2a 3a 4a 5＝42a 5＝52，得a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.解法二：当n ≥1时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2. 当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2. 两式相除得a n ＝⎝⎛⎭⎫nn －12，n ≥2.∴a 3＝94，a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝6116.故填6116.【典例】类型一数列的通项公式例一已知数列：45，910，1617，2526，….(1)试写出该数列的一个通项公式；(2)利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项．【评析】①一个数列只知道前n 项，其通项公式是不能确定的，即使完全知道该数列，其通项公式的形式也不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成a n ＝1＋（－1）n ＋12或a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2甚至分段形式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 是奇数，0，n 是偶数等．②对于此类归纳猜想求通项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如{n }，{2n }，{(－1)n }，{2n }，{n 2}，{2n －1}等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等．③由于数列是特殊的函数，因此判断某数是否为数列中的项，即是知a n 判断方程a n ＝f (n )是否有正整数解．变式写出下列数列的一个通项公式： (1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…； (3)3，33，333，3333，…； (4)23，－1，107，－179，2611，…. 解：(1)a n ＝(－1)n ·1n ；(2)a n ＝2n ＋1； (3)a n ＝13(10n －1)；(4)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n ＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n 2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n ＋1}，故a n ＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1. 类型二由前n 项和公式求通项公式例二 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________． (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝______________．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11.当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1)＝2n －2n－1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n≥2）.【评析】任何一个数列，它的前n 项和S n 与通项a n 都存在关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）. 若a 1适合S n －S n －1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S 0是否为0来判断：若S 0＝0，则a 1＝S n －S n －1，否则不符合，这在解小题时比较有用．变式已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2＋3n; (2)S n ＝3n ＋1.类型三由递推公式求通项公式例三写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝2n ·a n (n ≥1)； (2)a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)．解法二：a n ＋1＝2n ·a n ＝2n ·2n －1a n －1＝…＝2n ·2n －1·…·22·21a 1＝21＋2＋…＋n －1＋na 1＝2n （n ＋1）2.∴a n ＝2n （n －1）2.(2)由递推关系a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，有a n －a n －1＝1n －1－1n(n ≥2)．于是有a 2－a 1＝11－12，a 3－a 2＝12－13，…，a n －a n －1＝1n －1－1n .将上述n －1个式子累加，得a n ＝2－1n.当n ＝1时，a 1＝1也满足，故a n ＝2－1n(n ∈N *)．【评析】已知a 1和数列递推关系求通项时，可先计算出前若干项，通过分析这些项与序号的关系，归纳猜想出数列的通项公式，但这种不完全归纳得到的结论往往需要进行验证；但对于“a na n －1＝f (n )”型递推关系常用“累乘法”求通项；对于“a n －a n －1＝f (n )”型递推关系常用累加法求通项；以上两种情形皆可用迭代法求通项．还须注意检验n ＝1时，是否适合所求．变式写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1；(2)a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2n a n.解：(1)由a 1＝1，a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，得a 1＝1，a 2－a 1＝31，a 3－a 2＝32，…， a n －1－a n －2＝3n －2，a n －a n －1＝3n －1，以上等式两边分别相加得a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12，n ＝1时，a 1＝1也适合，∴a n ＝3n －12.也可直接利用递推公式，逐项代替等式右边出现的a n －1，直至a 1：由a n ＝3n －1＋a n －1＝3n －1＋3n －2＋a n －2＝…＝3n －1＋3n －2＋…＋32＋31＋a 1＝3n －12.当n ＝1时，a 1＝1也适合，∴a n ＝3n －12.(2)由递推关系a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2n a n ，有a n ＋1a n ＝n ＋2n ，于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝n n －2，a na n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n （n ＋1）2，即当n ≥2时，a n ＝n （n ＋1）2a 1＝2n (n ＋1)，当n ＝1时，a 1＝4也满足．所以a n ＝2n (n ＋1)．类型四数列通项的性质例四在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．解：因a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n是积幂形式的式子且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小． (1)证明：令a n a n －1≥1(n ≥2)，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n n ·⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10.令a na n ＋1≥1，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n（n ＋2）⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1，整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减． (2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大．【评析】要证明数列{a n }是单调的，可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1，数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明．注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法．变式设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0＜x ＜1)，数列{a n }满足()na f 2＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性．【名师点睛】1．已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），务必注意a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下，还需注意验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式． 3．已知递推关系求通项这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得：a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )． (2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，则a n 最小．针对训练1．数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式是( ) A ．1＋⎝⎛⎭⎫110nB ．－1＋⎝⎛⎭⎫110nC ．1－⎝⎛⎭⎫110nD ．1－⎝⎛⎭⎫110n ＋12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 4等于( )A.5512B.133C ．4D ．5解：令n ＝3，4，即可求得a 4＝133.故选B .3．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)，则由|a n |≥a n ，知a n ＋1＞a n ，即{a n }为递增数列，充分性成立．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2，0，1，…，则a 2＞|a 1|不成立，即a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)不一定成立，亦即必要性不成立．故选B .4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n －40)，则下列判断中正确的是( ) A ．a 19>0，a 21<0 B ．a 20>0，a 21<0 C ．a 19<0，a 21>0D ．a 19<0，a 20>05．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg n B ．2＋(n －1)lg n C ．2＋n lg nD ．1＋n lg n解法一：∵a n ＋1－a n ＝lg n ＋1n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lgn n －1＋lg n －1n －2＋…＋lg 21＋2＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·21＋2＝lg n ＋2.解法二：a n ＋1＝a n ＋lg(n ＋1)－lg n ，a n ＋1－lg(n ＋1)＝a n －lg n ，所以数列{a n －lg n }是常数列，a n －lg n ＝a 1－lg1＝2，a n ＝2＋lg n .故选A . 6．对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n }满足x 1＝2，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2012＋x 2013的值为( ) A ．9394 B ．9380 C ．9396D ．94007．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________．解：a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.故填15.8．根据下面的图形及相应的点数，在空格和括号中分别填上适当的图形和点数，并写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.解：五个方向上点的个数每次多一个，因此第四项和第五项图形和点数为：由此得a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，a 4＝16＝5×4－4，…，故a n ＝5n －4，n ∈N *.故填5n －4，n ∈N *.9．根据数列{a n } 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式．(1)7，77，777，7777，…；(2)4，－52，2，－74，85，…； (3)3，5，3，5，…；(4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)将各项改写如下79(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，79(104－1)，… 易知a n ＝79(10n －1)． (2)将各项绝对值改写如下41，52，63，74，85，… 综合考查分子、分母，以及各项符号可知a n ＝(－1)n－1n ＋3n. (3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n 为奇数），5（n 为偶数），或 a n ＝（3＋5）＋（－1）n －1（3－5）2＝4＋(－1)n . (4)观察数列{a n }可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a n＝⎩⎨⎧n ＋12（n 为奇数），2n 2（n 为偶数）. 10．数列{a n }中，a n ＝n －n 2＋2，求数列{a n }的最大项和最小项．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝S n 2n ，当n ≥3时，求证：T n ＞T n ＋1. 解：(1)∵na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)(n ∈N *)，当n ＝1时，a 2＝S 1＋2＝a 1＋2＝4；当n ≥2时，(n －1)a n ＝S n －1＋(n －1)n . ∴na n ＋1－(n －1)a n ＝S n －S n －1＋2n . ∴n (a n ＋1－a n )＝2n .∴a n ＋1＝a n ＋2(n ≥2)．又∵a 2－a 1＝2，a 1＝2，∴a n ＋1＝a n ＋2＝a n －1＋2×2＝…＝a 1＋2n ＝2(n ＋1)．从而有a n ＝2n .(2)证明：由(1)可求得S n ＝n （2＋2n ）2＝n 2＋n . ∴T n ＝n 2＋n 2n . ∴T n －T n ＋1＝n 2＋n 2n －（n ＋1）2＋（n ＋1）2n ＋1＝2n 2＋2n －n 2－2n －1－n －12n ＋1＝n 2－n －22n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1. ∴当n ≥3时，有T n －T n ＋1＞0，即T n >T n ＋1.12 已知数列{a n }的通项a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，求{a n }的最大项及最小项．解：设a n ＝f (n )＝n －98n －99，则a n ＝1＋99－98n －99. 如图(方便起见，画成连续曲线进行研究)．当1≤n ≤9时，a n ＜1，且此时{a n }递减，即a 1＞a 2＞…＞a 9；当n ≥10时，a n ＞1，并且此时{a n }仍递减，即有a 10＞a 11＞…＞a n ＞….综上有(a n )max ＝a 10＝10－9810－99， (a n )min ＝a 9＝9－989－99.。

数列的概念和应用

数列的概念和应用一、数列的概念1.数列的定义：数列是由按照一定顺序排列的一列数组成的。

2.数列的表示方法：用大括号“{}”括起来，例如：{a1, a2, a3, …, an}。

3.数列的项：数列中的每一个数称为数列的项，简称项。

4.数列的项的编号：数列中每个项都有一个编号，通常表示为n，n为正整数。

5.数列的通项公式：用来表示数列中第n项与n之间关系的公式称为数列的通项公式，例如：an = n^2。

6.数列的类型：(1)等差数列：数列中任意两个相邻项的差都相等，记为d（d为常数）。

(2)等比数列：数列中任意两个相邻项的比都相等，记为q（q为常数，q≠0）。

(3)斐波那契数列：数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

二、数列的应用1.等差数列的应用：(1)等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)。

(2)等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

(3)等差数列的第n项公式：an = a1 + (n-1)d。

2.等比数列的应用：(1)等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。

(2)等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。

(3)等比数列的第n项公式：an = a1 * q^(n-1)。

3.斐波那契数列的应用：(1)斐波那契数列的性质：斐波那契数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

(2)斐波那契数列的通项公式：Fn = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]。

4.数列在实际生活中的应用：(1)计数：数列可以用来表示一些有序的集合，如自然数集、整数集等。

(2)计时：数列可以用来表示时间序列数据，如一天内的每小时气温变化。

(3)排队：数列可以用来表示排队时的人数，以及每个人的位置。

(4)数据分析：数列可以用来表示一组数据的分布情况，如成绩分布、经济发展水平等。

高中数学必修五第二章数列

设等差数列
的前n项和为sn,已知a3=12,s12>0,s13<0,
（1）求公差d的取值范围
（2）指出s1,s2,s3……,s12中哪一个的值最大，并说明理由
2.4等比数列
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同意常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+……+【an-(n-1)d】两式相加得 2sn=n(a1+an) 由此可得 sn=n(a1+an)/2 带入通项公式得 sn=na1+n(n-1)d/2
例题一
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》。
某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
（1）求AB，BC，CD的长
（2）已AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第十项为边长的正方形面积为多少？
AB C
D
2.3等差数列的前n项和
定义：一般的，我们称a1+a2+a3+……+an 为数列表示，即sn=a1+a2+……+an
的前n项和，用Sn
推理过程：因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……+【a1+(n-1)d】

数列的概念及表示方法

数列的概念及表示方法【知识点分析】1、数列的概念按照一定顺序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数为这个数列的第一项，也叫做首项．排在第n位的数称作这个数列的第n项，记作a n.数列的一般形式为a1，a2，a3，…，a n…，简记为{a n}．注意：①数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．②项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位置．③{a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n项．④数列的简记符号{an }，不可能理解为集合{an}，数列的概念与集合概念的1、以项数来分类：（1）有穷数列：项数有限的数列（2）无穷数列：项数无限的数列2、以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0)，即从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列（2）递减数列：对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0)，即从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列（3）常数列：各项相等的数列（4）摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列【例题】例1、判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)数列是按一定顺序排列的有规律的一列数. ( ) (2)数列中的项不可能相等. ( ) (3)数列是可以用图象表示的. ( )(4)数列可以用一群孤立的点表示. ( ) (5)数列可以看成一种特殊的函数. ( )(6)如果一数列满足1a 1>+nn a ,那么该数列为递增数列. ( ) 例2、下列说法正确的是( )A ．数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列{n ＋1n }的第k 项是1＋1kD ．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n }例3、下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．sinπ7，sin 2π7，sin 3π7，… C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，21 例4、已知数列{2n3n ＋1}，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列D ．常数列例5、下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7,7,7，…； (4)13，19，127，181，…；(5)0,0,0,0,0,0； (6)0，－1,2，－3，….3、数列的表示数列的表示方法 1、列表法 2、图像法 3、解析式法 ①通项公式 ②递推公式4、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与项数n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的通项公式．注意：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集为定义域的函数表达式，即a n ＝f (n )．(2)已知数列的通项公式，依次用1,2,3，…去替代公式中的n ，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第几项．(3)同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如2精确到1,0.1,0.01，…的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示．(4)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的．如摆动数列：－1,1，－1,1，－1,1，…，通项公式可以写成a n ＝(－1)n，也可以写成a n ＝⎩⎨⎧－1，n 为奇数1，n 为偶数【例题】例1、数列－1，85，－157，249，…的通项公式可以是( )A ．a n ＝(－1)nn 2＋n 2n ＋1 B ．a n ＝(－1)n n n ＋32n ＋1C ．a n ＝(－1)nn 2＋2n 2n －1 D ．a n ＝(－1)n n n ＋22n ＋1. 例2、数列1,1,2,2,3,3,4,4,…的一个通项公式是( )A .a n =n+1+(-1)n+122 B .a n ={n,n 为奇数,n 2,n 为偶数C .a n ={n+12,n 为奇数,n -12,n 为偶数D .a n ={n -12,n 为奇数,n 2,n 为偶数例3、已知数列{a n }的通项公式a n =log (n+1)(n+2),则它的前30项之积是( ) A .51 B .5 C .6 D .log 23+log 31325 例4、已知在数列{a n }中,a n =n 2-kn(n ∈N+),且{a n }单调递增,则k 的取值范围A.(-∞,2]B.(-∞,3)C.(-∞,2)D.(-∞,3]例5、写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项满足下列各数．(1)112，223，334，445，…；(2)11,102,1003,10004，…；(3)9,99,999,9999，…；(4)12，2，92，8，252.例6、已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．例7、已知数列{an}的通项公式是a n=(n+1)·n1110⎪⎭⎫⎝⎛,试问该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.1.根据数列的前几项写对应的通项公式的一般思路是: (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等;(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式;(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再以(-1)k 处理符号; (4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.2.常见数列的通项公式如下:(1)数列-1,1,-1,1,…的通项公式是a n =(-1)n; (2)数列1,2,3,4,…的通项公式是a n =n; (3)数列1,3,5,7,…的通项公式是a n =2n-1; (4)数列2,4,6,8,…的通项公式是a n =2n; (5)数列1,2,4,8,…的通项公式是a n =2n-1; (6)数列1,4,9,16,…的通项公式是a n =n 2;(7)数列41312111，，，,…的通项公式是a n =n1;(8)数列1,3,6,10,…的通项公式是a n =()21n -n . 5、数列的递推公式如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【例题】例1、判断对错1.根据通项公式可以求出数列的任意一项.( )2.有些数列可能不存在最大项.( )3.递推公式是表示数列的一种方法.( )4.所有的数列都有递推公式.( )例2、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝na n －1(n ≥2)，则a 5＝________. 例3、已知数列{a n }的前4项依次是：13，31，49，67，试猜想a n ＋1与a n的关系.例4、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，求a 2 018.例5、根据递推公式求通项公式(1)对于任意数列{a n}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝a n(n ≥2，n∈N＋)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n}满足：a1＝1，a n ＋1－a n＝2，求通项a n；(2)若数列{a n}中各项均不为零，则有a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝a n(n≥2，n∈N＋)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n}满足：a1＝1，anan－1＝n－1n(n≥2，n∈N＋)，求通项a n.。

数列的概念及表示方法

数列的概念与简单表示法一：数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }． [点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，…. 二：数列的分类【例1】下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，13，132，133，…B ．sin π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，…C ．－1，－12，－13，－14，… D ．1,2,3,4，…，30[解析] 数列1，13，132，133，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin π13，sin2π13，sin 3π13，sin 4π13，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－12，－13，－14，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列． [答案] C跟踪训练给出以下数列：①1，－1,1，－1，…； ②2,4,6,8，…，1 000；③8,8,8,8，…； ④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．(填序号)解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.答案：②④ ①③ ② ④ ① ③ 三：数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．【例2】 (1)数列35，12，511，37，…的一个通项公式是________．(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． ①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，….[解析] (1)数列可写为：35，48，511，614，…，分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，故通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2.[答案] a n ＝n ＋23n ＋2(2)解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2， ∴a n ＝1(n ＋1)(n ＋3).②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，∴a n ＝(－1)n (2n ＋1－1)．③为摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 是奇数，6，n 是偶数.跟踪训练写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为n n ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1.(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1).【例3】已知数列{a n }的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍． (1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ [解] (1)由题设条件，知a n ＝n ＋2n . ∴a 4＝4＋2×4＝10，a 25＝25＋2×25＝55.(2)假设253是这个数列中的项，则253＝n ＋2n ，解得n ＝121.∴253是这个数列的第121项．假设153是这个数列中的项，则153＝n ＋2n ，解得n ＝7214，这与n 是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．跟踪训练数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则89是该数列的( )A ．第127项B ．第128项C ．第129项D ．第130项解析：选B 把该数列的第一项1写成11，再将该数列分组，第一组一项：11；第二组两项：12，21；第三组三项：13，22，31；第四组四项：14，23，32，41；…容易发现：每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子从1开始逐一增加，因此89应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得89是该数列的第128项．四：数列的递推公式定义：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项 a n 与它的前一项 a n －1(或前几项)(n ≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．[点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．【例4】数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n，求{a n }的前5项．[解] 由a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n ，得a n ＋2＝a 2n ＋1－(－1)n a n ，又∵a 1＝1，a 2＝3，∴a 3＝a 22－(－1)1a 1＝32＋11＝10，a 4＝a 23－(－1)2a 2＝102－13＝33，a 5＝a 24－(－1)3a 3＝332＋110＝109.∴数列{a n }的前5项为1,3,10,33,109.跟踪训练已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n<12，2a n－1，12≤a n<1，若a 1＝67，则a 2 018＝________.解析：计算得a 2＝2a 1－1＝57，a 3＝2a 2－1＝37，a 4＝2a 3＝67.故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又因为2 018＝672×3＋2，所以a 2 018＝a 2＝57.答案：57【例5】已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，求数列的通项公式a n .解：∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)，∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；…a n －a n －1＝1(n －1)n ；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1－1n .∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n (n ≥2)．又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式，∴a n ＝－1n.跟踪训练．设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求数列的通项公式a n .解：∵a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎫1－1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n ，a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1 ＝n －1n ×n －2n －1×n －3n －2×…×23×12×1＝1n .又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n.【例6】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝()n ＋1·⎝⎛⎭⎫1011n ，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． [解] 法一：a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝(9－n )⎝⎛⎭⎫1011n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .则a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×91110⎪⎭⎫⎝⎛法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，(n >1)即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，(n >1)解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }最大项，第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×91110⎪⎭⎫⎝⎛跟踪训练数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析：选B a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，当n ＝143时，a n 最小，又n ∈N *，故n ＝5时，a n ＝3n 2－28n 最小．课后练习1．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( )A ．2B ．3C ．9D ．32 解析：选B 因为a n ＝3n －1，所以a 2＝32－1＝3. 2．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n －2nB ．a n ＝ n －1n C ．a n ＝ n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2解析：选C 已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n ＝ n －1n ＋1. 3．已知数列12，23，34，…，nn ＋1，则0.96是该数列的( )A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项解析：选C 由nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.4．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.58解析：选B 由a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋12＝1，依此类推a 4＝12.5．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 解析：选C 由题意a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于( )A.n n ＋2B.nn ＋3 C.n ＋1n ＋2 D.n ＋1n ＋3 解析：选B a n ·a n ＋1·a n ＋2＝n n ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝nn ＋3.故选B. 7．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．8．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，6) 解析：选D 依题意，a n ＋1－a n ＝－2(2n ＋1)＋λ<0，即λ<2(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立．注意到当n ∈N *时，2(2n ＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)． 9．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1a n ，得a n ＝________.解析：由条件知a n ＋1a n ＝n n ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，n －1，代入上式得n －1个等式，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ⇒a n a 1＝1n .又∵a 1＝23，∴a n ＝23n . 答案：23n10．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________．解析：a n ＝n 2－6n ＝(n －3)2－9，∴当n ＝3时，a n 取得最小值－9. 答案：－911．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于________.解析： a n ·a n ＋1·a n ＋2＝n n ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝nn ＋3. 12．已知数列{a n }，a n ＝b n ＋m (b <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝b ＋m ，4＝b 2＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，m ＝3.∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2. 答案：2数列的概念与简单表示法一：数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }． [点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，…. 二：数列的分类【例1】下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，13，132，133，…B ．sin π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，…C ．－1，－12，－13，－14，… D ．1,2,3,4，…，30跟踪训练给出以下数列：①1，－1,1，－1，…； ②2,4,6,8，…，1 000；③8,8,8,8，…； ④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．(填序号)三：数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．【例2】(1)数列35，12，511，37，…的一个通项公式是________．(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． ①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，….跟踪训练写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….【例3】已知数列{a n }的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍． (1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？跟踪训练数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则89是该数列的( )A ．第127项B ．第128项C ．第129项D ．第130项四：数列的递推公式定义：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项 a n 与它的前一项 a n －1(或前几项)(n ≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．[点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．【例4】数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n，求{a n }的前5项跟踪训练已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n<12，2a n－1，12≤a n<1，若a 1＝67，则a 2 018＝________.【例5】已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，求数列的通项公式a n .跟踪训练设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎪⎭⎫⎝⎛n 1-1a n －1(n ≥2)，求数列的通项公式a n .【例6】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝()n ＋1·n⎪⎭⎫⎝⎛1110，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．跟踪训练数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项课后练习1．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( )A ．2B ．3C ．9D ．322．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝ n －2nB ．a n ＝ n －1nC ．a n ＝ n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2 3．已知数列12，23，34，…，n n ＋1，则0.96是该数列的( ) A ．第20项 B ．第22项 C ．第24项 D ．第26项4．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.585．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31156．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n n ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于( ) A.n n ＋2 B.n n ＋3 C.n ＋1n ＋2 D.n ＋1n ＋37．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列8．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )9．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1a n，得a n ＝________. 10．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________．11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n n ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于________. 12．已知数列{a n }，a n ＝b n ＋m (b <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.。

2.1.2数列的概念及表示(二)

高中数学必修5课件：第2章2-1-2数列的性质和递推关系

数列的概念数列的极限收敛数列的性质

2.1数列的概念与简单表示法(二)

高中数学课件：第二章 2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与通项公式

数学数列知识点归纳总结

数列知识点总结及例题讲解

2.1.2数列的递推关系

数列公式汇总

数列的概念与简单表示法教案

2.数列的概念及表示

《数列的概念与简单表示法》教案

人教课标版高中数学必修5《第二章数列》知识概述

数列的概念及简单表示2

2.1.2 数列的性质和递推公式

2.1数列的概念与简单表示法

数列：第1讲数列的概念及表示

数列的概念和应用

高中数学必修五第二章数列

数列的概念及表示方法

数列的概念及表示方法

高中数学课件：第二章 2.1 数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式