1.4命题的形式及等价关系(2)
1.4 命题的形式及等价关系(答案)
1.4 命题的形式及等价关系【基础训练】1. 下列语句是命题的个数为（D）（1）请起立！（2）a2+1>0 （3）明天天晴。
（4）91是质数。
（5）中国是世界上人口最多的国家。
（6）这道数学题有趣吗？-=-则x -y =a -b 。
（8）任何无限小数都是无理数。
（7）若x y a bA、3个B、4个C、5个D、6个2.原命题：“菱形的对角线必互相垂直”，则该命题的（B）A、逆命题与否命题正确B、逆否命题正确C、逆命题与逆否命题正确D、逆命题正确3. 命题“对任意的x ∈R，x3 +x2 +1 ≤ 0”的否定是(C)A.不存在x ∈R，x2 +x+1≤ 0B存在x ∈R，x2 +x+1≤ 0C.存在x ∈R，x2 +x+1> 0 D 对任意的x∈R，x2 +x+1>04. 设原命题是“若ab ≤0,则a ≤ 0或b ≤ 0", 写出它的逆命题、否命题与逆否命题；并分别判断他们的真假.答案：逆命题：若a ≤ 0或b ≤ 0, 则ab ≤ 0 逆命题是假否命题：若ab > 0 则a > 0且b >0",否命题是假逆否命题：若a >0,b> 0", 则ab > 0, 逆否命题是真5. 写出命题：“若两个实数的积是有理数，则这两个数都是有理数”的逆命题、否命逆否命题，并判断其真假.答案：逆命题：若两个数都是有理数，则两个实数的积是有理数(真)否命题：若两个实数的积是无理数，则这两个数不都是有理数(真)逆否命题：若两个数不都是有理数，则这两个实数的积是无理数(假)2=6. 设原命题是“当c>0 时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．答案：逆命题：当c>0 时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：当c>0 时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c>0 时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题．【拓展提高】7. 设非空集合S ={x m ≤x ≤n}满足：当x∈S 时，有x2 ∈S ，给出如下三个命题：①若m =1, 则S ={1}；②若m =-12, 则14≤n ≤1；③若n =12, 则≤m ≤0 ．其中正确的命题的个数为（D）A. 0个B.1个C.2个D.3个8. 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a,b∈P ，都有a +b 、a -b、ab 、ab∈P（除数b ≠ 0 ）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 就是数域，有下列命题：①数域必含有0,1这两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；④数域必为无限集；则其中正确命题的序号是①④.（把你认为正确的命题的序号都填上）9. 判断命题“两个奇数的平方差是8的倍数”的真假，并给出证明。
1.4 (2)命题的形式及等价关系
1.4 (2)命题的形式及等价关系（导学案）组卷： 姜汉明 审卷：周海英上课日期：________年____月____日； 班级_______学号____姓名__________学习目标：（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解等价命题的概念和四种命题形式之间存在的等价关系． 学习重点及难点：理解四种命题的关系；理解等价命题的概念。
学习过程： 一、 知识回顾（1）_________________语句叫做命题， _________________叫做真命题。
_________________假命题。
（2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？（ ） （3）命题 “内接于圆的四边形对角互补”的条件是_________________ 结论是_________________ 二、新知导学：1、把原来命题“内接于圆的四边形对角互补”中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题为________________________________这个命题叫做原来命题的逆命题。
并且它们互为逆命题。
把原来命题“内接于圆的四边形对角互补”中条件和结论都换成它们的否定形式，得到的新命题为________________________________这个命题叫做原来命题的否命题。
并且新命题与原来的命题互为否命题。
把原来命题“内接于圆的四边形对角互补”中条件和结论互换并同时否定而得到的新命题为________________________________这个命题叫做原来命题的否命题。
并且新命题与原来的命题互为否命题。
2、四个命题的一般形式： 原命题： 如果α，那么β 逆命题：如果___，那么___ 否命题：如果___，那么___ 逆否命题：如果___，那么___ 并在四种命题之间的相互关系如下： 3、举例例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假。
1.4命题的形式及等价关系Ⅰ、Ⅱ
否命题： 如果 ，那么
互逆
逆否命题： 如果 ，那么
例2． 写 出 命 题 ： “ 两 个 等 全三角 形 的 面积 相 等 的 逆 命 题 、 否 命 题 、否 逆命 题 ， 并 判 断 真 假 ．
ex.写出命题 “若 : x 3 x 4 0，则x 4或x 1”
2
的其它三种命题形式并 判断真假．
互逆否
互否
否命题： 如果两个数不都是整数 那么这两个数的和不为整数
互逆
逆否命题： 如果两个数的和不为整数 那么这两个数不都是整数
四种命题的相互关系
— 原命题的条件 — 原命题的结论
原命题： 如果，那么 互否 互逆
— 的否定 — 的否定
逆命题： 如果 ，那么 互否
互逆否
“正难则反”
小Hale Waihona Puke 结1、会判断命题的真假并证明： (1)真命题——推理证明 (2)假命题——举反例 2、四种命题形式及相互关系 3、等价命题
(1)互为逆否的两个命题等价命题，它们同真同假． (2)“正难则反” 4、几种否定形式
“且”
“是”
“都是”
“或”
“不是”
“不都是”
三、等价命题
一般地,原命题和它的逆否命题同真同假； 逆命题和否命题同真同假． 互为逆否的两个命题同真同假．
A B B A 1、若 Ａ、Ｂ 两个命 即：A B 题， 2、若两个命题互为逆否命题，则这两个命题是等价命题． ， ， ex1、命题：“若 a M , 则b则 M”的等价命题是 _______ A、B ex2、判断命题“若 ab 叫做等 0, 则a 0且b 0”的真假． 价命题
若 且 ，则记作 叫做α 与β 等价．
命题的形式及等价关系
根据命题正确与否，我们将命题分为真命题和假命题
一. 命题的概念 1. 命题是表示判断的语句.
基本形式：A是B，或A不是B；
通常用陈述句表示.
注意：“是”和“不是”不一定出现在
句中 2.
命题可以由条件和结论两部分组成
可以表示成：如果……，那么…… 若…… ，则……
反证法的证明思路： 证明命题p是真命题 要证明命题p成立，即证明非p不成立 理论依据
反证法的证明过程： 先假设非p成立，依据已经学过的公理、定理进行推理，推 出与已知或公理矛盾，这样就说明假设不成立，即p成立
反证法的证明过程：
先假设非p成立，依据已经学过的公理、定理进行推理，推 出与已知或公理矛盾，这样就说明假设不成立，即p成立
判断下列命题的真假并说明理由：
1.如果一元二次方程 ax2 bx c 0a 0满足 ac 0 ，
那么这个方程有实数根。
由ac 0 ac 0 4ac 0 b2 4ac 0 这个方程有实数根 所以该命题是真命题
2.如果一元二次方程 ax2 bx c 0a 0有实根，
§1.4 命题的形式及等价关系
一. 命题的概念 命题是表示判断的语句.
基本形式：A是B，或A不是B； 通常用陈述句表示.
注意：“是”和“不是”不一定出现在 句中
判断下列语句哪些是命题，哪些不是命题
（1）个位数为5的自然数能被5整除； （2）凡直角三角形都相似； （3）上课请不要讲话； （4）互为补角的两个角不相等； （5）你是高一学生吗？ （6）奇数和奇数相加是偶数
1. 命题是表示判断的语句.
2. 命题可以由条件和结论两部分组成 3. 命题的分类 4. 推出关系
命题与推出关系
真命题
已知a、b、c、d为实数， 如果a+c≠b+d，那么a≠b或c≠d。
三、等价命题
6
§1.5充分条件与必要条件
逆否命题：如果两个数的和不是偶数，那么这两个实数不都是偶数； 真命题
（2）若a是有理数，则a一定是分数。 原命题：如果a是有理数，那么a一定是分数。
真命题
逆命题：如果a是分数，那么a一定是有理数。
真命题
否命题：如果a不是有理数，那么a一定不是分数。
真命题
逆否命题：如果a不是分数，那么a一定不是有理数。
原命题：如果两个实数的积不是有理数，那么这两个数都不是有理数； 假命题
逆命题：如果两个实数都不是有理数，那么这两个数的积不是有理数； 假命题
否命题：如果两个实数的积是有理数，那么这两个数至少有一个有理数；
假命题
逆否命题：如果两个实数至少有一个有理数，那么这两个数的积是有理数；
假命题
真命题
假命题 假命题
真命题
真命题
假命题
假命题
真命题
（4）若ab=0，则a=0或b=0； 原命题：如果ab=0，那么a=0或b=0；
真命题
逆命题：如果a=0或b=0，那么ab=0；
真命题
否命题：如果ab≠0，那么a=0且b=0；
真命题
逆否命题：如果a=0且b=0，那么ab≠0；
真命题
（5）若两个实数的积不是有理数，则这两个数都不是有理数；
§1.4命题的形式 与等价关系
一、命题与推出关系：Fra bibliotek二、四种命题形式： 例1：写出命题“两个有理数 的和是有理数”的逆命题、否 命题、逆否命题，并判断这些 命题的真假。
（1）若两个实数都是偶数，则这两个数的和是偶数；
§1.4 (2)命题的形式及等价关系
说明：本系列教案,学案，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。
为了一个课件，我们仔细研磨；为了一个习题，我们精挑细选；为了一点进步，我们竭尽全力；没有最好，只有更好！制作水平有限，错误难免，请多指教：28275061@【教学内容的课时安排】本章总共15课时，其中教案 §1.4 (2)命题的形式及等价关系一、教学目标设计（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；（4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想方法.二、教学重点及难点理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据.三、教学过程设计 （一）．复习提问：什么是命题？什么是真命题 ？什么是假命题？（二）．讲授新课： 1、概念引入在命题“若1=x ，则12=x ”中，条件是“1=x ”，结论是“12=x ”. 如果我们把以上命题作以下变化：（1）如果把命题中的结论“12=x ”作为条件，把命题中的条件“1=x ”作为结论，则得到了新命题“若12=x ”，则1=x ”.我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题.并且它们互为逆命题.（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“1≠x ”，结论是“12≠x ”，那么就可得到一个新命题：“若1≠x ，则12≠x ”.像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题.并且新命题与原来的命题互为否命题.（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“12≠x ”，结论是“1≠x ”，那么就可得到一个新命题：“若12≠x ，则1≠x ”.像这种将命题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题.并且新命题与原来的命题互为否命题.2、概念形成由以上例子归纳出四个命题的一般形式： 原命题： βα，那么如果 逆命题： αβ，那么如果 否命题： βα，那么如果 逆否命题：αβ，那么如果并在四种命题之间的相互关系如下：3、概念运用例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.命题A ：如果两个三角形全等，那么它们面积相等；命题B ：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等.[说明] 我们从以上的实例中发现：原命题与逆否命题是同真同假的；逆命题与否命题是同真同假的.我们可以用证明一个命题的逆否命题来证明原命题.互逆互逆逆 逆否 否例2：写出命题：若0432=-+x x ，则4-=x 或1=x 的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假.说明：常见的否定词 （1）是，不是； （2）等于，不等于； （3）属于，不属于； （4）大于，小于或等于； （5）或，且； （6）都是，不都是；（7）至少有一个，一个也没有； …… [说明]1、原命题为真，它的逆命题不一定为真.2、原命题为真，它的否命题不一定为真.3、原命题为真，它的逆否命题一定为真.并可由此引入等价命题.5、等价命题如果A ,B 是两个命题，A B B A ⇒⇒,，那么A ,B 叫做等价命题.三、课堂小结：1、四种命题的概念及形式2、四种命题之间的关系及同真同假性.导学案§1.4 (2)命题的形式及等价关系学习目标：（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解等价命题的概念和四种命题形式之间存在的等价关系． 学习重点及难点：理解四种命题的关系；理解等价命题的概念. 学习过程： 一、 知识回顾______________语句叫做命题， _____________叫做真命题______________假命题； 二、新知导学： 1、概念引入在命题“若1=x ，则12=x ”中，条件是“1=x ”，结论是“12=x ”. 如果我们把以上命题作以下变化：（1）如果把命题中的结论“12=x ”作为条件，把命题中的条件“1=x ”作为结论，则得到了新命题“若12=x ”，则1=x ”.我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的 .并且它们互为 .（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“1≠x ”，结论是“12≠x ”，那么就可得到一个新命题：“若1≠x ，则12≠x ”.像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的 ..并且新命题与原来的命题互为 .（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“12≠x ”，结论是“1≠x ”，那么就可得到一个新命题：“若12≠x ，则1≠x ”.像这种将命题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的 ..并且新命题与原来的命题互为 ..互逆互逆逆 逆否 否2、四个命题的一般形式： 原命题： 如果α，那么β逆命题：如果 ，那么 ； 否命题：如果 ，那么 ； 逆否命题：如果 ，那么 ； 并在四种命题之间的相互关系如下：3、举例例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假. 命题1：如果两个三角形全等，那么它们面积相等； 逆命题:_______________________ __； 否命题:_______________________ ； 逆否命题:_________________________ ；命题2：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等. 逆命题:_______________________ __； 否命题:_______________________ ； 逆否命题:_________________________ ；命题3：若0432=-+x x ，则4-=x 或1=x 逆命题:_______________________ __； 否命题:_______________________ ； 逆否命题:_________________________ ；说明：常见的否定词 （1）是，不是； （2）等于，不等于； （3）属于，不属于； （4）大于，小于或等于； （5）或，且； （6）都是，不都是；（7）至少有一个，一个也没有； ……找规律：原命题与逆否命题是__________________；逆命题与否命题是__________________.我们可以用证明一个命题的_________来证明原命题.归纳：（1）、原命题为真，它的逆命题不一定为真. （2）、原命题为真，它的否命题不一定为真. （3）、原命题为真，它的逆否命题一定为真.4.概念： 如果A ,B 是两个命题，__________________，那么A ,B 叫做等价命题. 例2．若M a ∈，则M b ∉的等价命题是 .例3.”的真假．且则判断命题“若00,0≠≠≠b a ab三、学习小结：1. 给出下列语句的否定形式（1）“都是”的否定形式是 ； （2）“大于或等于”的否定形式是 ； （3）“且”的否定形式是 ；2. 命题“若3x ≠且2x ≠，则2560x x -+≠”的等价命题是____________________．3. 写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，判断它们的真假. （1）两条对角线不相等的平行四边形不是矩形；逆命题:_____________________ _ __， ； 否命题: _____________________ _ __， ； 逆否命题: _____________________ _ __， ；（2）若10≥x ，则2012>+x ；逆命题:_____________________ _ __， ； 否命题: _____________________ _ __， ； 逆否命题: _____________________ _ __， ； （3）若1>ba，则b a >； 逆命题:_____________________ _ __， ； 否命题: _____________________ _ __， ； 逆否命题: _____________________ _ __， ；（4）若抛物线c bx ax y ++=2的图像经过原点，则0=c逆命题:_____________________ _ __， ； 否命题: _____________________ _ __， ； 逆否命题: _____________________ _ __， ；。
沪教版高一上册数学高一上册教案命题的形式及等价关系
1.4 (2)命题的形式及等价关系一、教学内容分析教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。
本小节由命题条件的改变、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。
接着，通过具体的例题练习讲述四种命题的关系，最后，给出等价命题的定义，提供了一种证明的方法，并通过具体的例题给出反证法。
二、教学目标设计（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；（4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想方法。
三、教学重点及难点理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。
四、教学用具准备多媒体教室五、教学流程设计六、教学过程设计一．复习提问：（1）什么是命题？什么是真命题 ？什么是假命题？（2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？（3）命题 “内接于圆的四边形对角互补”的条件与结论各是什么？二．讲授新课：关于四种命题1、概念引入在命题“内接于圆的四边形对角互补”中，条件是“内接于圆的四边形”，结论是“四边形的对角互补”。
如果我们把以上命题作以下变化：（1）如果把命题中的结论“四边形的对角互补”作为条件，把命题中的条件“内接于圆的四边形” 作为结论，则得到了新命题“对角互补的四边形内接于圆”。
我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题。
并且它们互为逆命题。
（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“四边形不内接于圆”，结论是“四边形对角不互补”，那么就可得到一个新命题：“不内接于圆四边形对角不互补”。
像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。
并且新命题与原来的命题互为否命题。
（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“四边形对角不互补”，结论是“四边形不内接于圆”，那么就可得到一个新命题：“对角不互补的四边形不内接于圆”。
浦东新王牌暑假班高一数学暑假班晋s老师命题的形式及等价关系
1.4命题的形式及等价关系 教学目的：：1.理解四种命题之间的互相关系，能由原命题写出其他三种形式；2.知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；3.掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。
4.理解充分、必要条件的概念；5.掌握充分、必要条件的判断方法。
6.掌握集合的包含关系和推出关系、充分必要条件之间的联络。
教学内容：1、命题：可以判断对错的语句。
真命题：判断为正确的命题。
假命题：判断为错误的命题。
通常可以化简为：,αβ若则的形式。
2、推出关系：一般地，假设α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β〞。
换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。
3、传递性：α⇒β，β⇒γ，那么α⇒γ4、命题的四种形式：假设把命题：,αβ若则称为原命题；那么我们把命题：,βα若则，称为原命题的逆命题，简称逆命题。
命题：,αβ若则称为原命题的否命题，简称否命题。
命题：,βα若则成为原命题的逆否命题，简称逆否命题。
其中αβ和分别是αβ和的否认形式。
5、充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，假设α成立，可以推出β也成立，即α⇒β，那么α叫做β的充分条件。
[说明]：①可以解释为：为了使β成立，具备条件α就足够了；②可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行；③结合实例解释为：x = 0 是xy = 0 的充分条件，xy = 0不一定要 x = 0.6、必要条件：假设β⇒α，那么α叫做β的必要条件。
[说明]：①可以解释为假设β⇒α，那么α叫做β的必要条件，β是α的充分条件；②无它不行，有它也不一定行；③结合实例解释为：如 xy = 0是x = 0的必要条件，假设xy ≠0，那么一定有 x ≠0；假设xy = 0也不一定有 x = 0。
注：根据子集的定义，我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的集合记为B ，假设A B ⊆，那么αβ⇒,即αβ是的充分条件；反之，假设αβ⇒，那么A B ⊆，也即αβ若是的充分条件，那么由满足条件α的元素组成的集合是由满足条件β的元素组成的集合的子集。
1.4.3 命题的形式及等价关系
如果 x A或 x B ，那么 x A B . 假
例3.若 x 3xy 2 y 3x 4 y 2 0, 求证： x y 1 0 2 2 证：x 3xy 2 y 3x 4 y 2 0
2 2
( x y 1)( x 2 y 2) 0 ( x y 1) 0 且 ( x 2 y 2) 0 x y 1 0 证毕
第一章 集合和命题
1.4.2 命题的形式及等价关系
1.4.3 命题的形式及等价关系
等价命题与命题的证明
一、等价命题 如果 A, B 是两个命题，且满足 A B 和 B A
那么 A, B 叫做等价命题，记作 A B .
例 A ：“正三角形是三边等长的三角形”
B ：“正三角形是三内角都为 60 的三角形”
证法二：试证原命题的逆否命题 x y 1 0 y x 1 代入原表达式中
x 3x( x 1) 2( x 1) 3x 4( x 1) 2 2 2 2 ( x 3x 2x ) (3x 4x 3x 4x) (2 4 2) 0 因此原命题也成立. 证毕
因此假设不成立，即
1 a, b, c 中至少有一个不小于 . 证毕 3
例4.(2)求证： 2 是无理数.
(2)证：假设 2 是有理数，那么 2 可以用两个整 数的商表示，且这两个整数不可再约分. m 设 2 ，其中 m, n 互质. n 平方得 m2 2n 2 ，
m2 2n2 m 是偶数 m2 能被4整除 2 2 m 2n 2 n 是偶数 n 是偶数 与所设矛盾
2 2
二、反证法 反证法是一种间接证明的方法，一般步骤如下： (1)假设要证的结论不成立，即结论的否定成立； (2)经过正确的推导发现推出的结论与已知条件、 定理、公理等矛盾； (3) 假设不成立，即结论的否定不成立，故原结论 成立. 例 求证： 3 2 证：假设 3 2 ， 3 2 ( 3)2 22 3 4 与已知矛盾 因此假设不成立，即 3 2 证毕
1.4 命题的形式及等价关系
1.4 命题的形式及等价关系考点诠释1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。
2.四种命题（1）四种命题：原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ； 否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p 。
（2）四种命题之间的相互关系若 则否命题原命题若 则若 则逆否命题互 逆互 逆互 为互为逆 否逆否互 否互 否q p 若 则逆命题q p q p q p这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题。
3.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）。
例题精析例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若1≤q ，则方程022=++q x x 有实根； （2）若y x ,都是奇数，则y x +是偶数； （3）若0=xy ，则00==y x 或思维引领本题考查四种命题及其真假判断。
.精辟分析（1）原命题是真命题；逆命题：若方程022=++q x x 有实根，则1≤q 是真命题； 否命题：若1>q ，则方程022=++q x x 无实根，是真命题； 逆否命题：若方程022=++q x x 无实根，则1>q 是真命题； （2）原命题是真命题；逆命题：若y x +是偶数，则y x ,都是奇数，是假命题； 否命题：若y x ,不都是奇数，则y x +不是偶数，是假命题； 逆否命题：若y x +不是偶数，则y x ,不都是奇数，是真命题； （3）原命题为真命题；逆命题：若00==y x 或，则0=xy ，是真命题； 否命题：若0≠xy ，则00≠≠y x 且，是真命题； 逆否命题：若00≠≠y x 且，则0≠xy ，是真命题；方法规律总结（1）“原命题”与“逆否命题”同真同假．．．．，“逆命题”与“否命题”同真同假．．．．，但“互逆”或“互否”的命题真假性未必相同。
1.4命题的形式及等价关系
3.四种命题形式
原命题：若，则； 逆命题：若，则；
否命题：若 ，则 ； 逆否命题：若 ，则 ．
例 2.写出命题：“一组对边平行 且两对角线相等的四边形是平 行四边形”的逆命题、否命题 和逆否命题．
例 3.下列词语的否定形式是什么？ 大于，一定是，且，都是， 都不是，至少有一个， 至多有一个．
1.4 命题的形式及等价关系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1.命题
可以判断真假的语句叫做命 题，命题通常用陈述句表述．正确 的命题叫做真命题，错误的命题叫 做假命题．
1.命题
一般地，命题是由题设(条件) 和结论两部分组成的，常写成“如
果 ，那么 ”的形式． 是题设， 是已知事项； 是结论，是由已知
事项推出的事项．
例如： “对顶角相等”．请把这个命
4.等价命题
一般地，原命题与它的逆否命题是同
真或同假的，即如果，那么 ；
如果 ，那么 ．
对于命题 A 与 B 来说，如果有 AB， 且 BA，那么，命题 A、B 叫做等价命 题．原命题与其逆否命题就是等价命题．
4.等价命题
例 5.判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)若实数 a、b 满足 a+b≠3，
则 a≠1 且 b≠2； (2)若实数 a 与 b 的积不是有理数，
则 a，b 至少有一个不是有理数．
例 6.写出命题：“若 a b 4， 则 a 1且 b 2 ”的逆命题、
否命题和逆否命题，并判断它
们的真假．
例 7.请写出 A B 的等价命题.
小结
1、命题； 2、推出关系； 3、四种命题形式； 4、等价命题.
xy
3.四种命题形式 一个命题由条件和结论两部分组成，
命题的形式及其等价关系
教学资源信息表命题的形式及等价关系上市高桥中学一、教学内容分析：根据命题的形式及等价关系的内容，教科书上分为三个课时.第一课时学习的内容是命题与推出关系；第二课时学习的内容是命题的四种形式；第三课时学习的内容是等价命题。
根据师训时黄老师提出的要求及考虑到本校学生的实际情况，我将这节课的内容分为了两课时，第一课时学习的内容是命题与推出关系及命题的四种形式，理解推出关系及命题证明的意义，会写出命题的四种形式.第二课时学习的内容先着重强调否命题的否定形式（既是新课，又是复习，同时也作为第二课时的引入部分），让学生发现命题的四种形式之间的相互关系，掌握等价命题的概念，能利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的证明。
命题的概念在初中已经出现，所以命题概念的教学不应是第一节课的重点，只须强调命题是一个可以判断真假的陈述句。
本节的教学重点是真命题与假命题证明的思想方法。
真命题的证明方法：可以从已知条件出发，根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系，得出所要证明的结论。
也可应用间接证法，如反证法等证明方法。
假命题的证明方法：只需举反例，即举出一个满足命题的条件而不满足命题结论的例子。
在写命题的四种形式时。
学生有很难分清一个命题的条件与结论，此时可将给定的命题写成“如果…，那么…”的形式。
一个命题的否命题是将原命题的条件和结论都写成否定形式，这在教学中是一个难点，可多举一些例子进行说明。
“是”与“不是”是互相排斥的，用集合的观点看，两者的“并”是全集，两者的“交”是空集。
在第二课时中，注重学生通过实例发现互为逆否命题的两个命题是同真同假的。
学会在证明原命题困难的情况下，转而证明它的逆否命题。
如遇到“如果不…，那么不…”常可转化为证明它的逆否命题。
等价命题在数学上应用广泛，要知道两个互为逆否命题必等价，但等价命题不一定是互为逆否命题。
二、教学目标设计：能判断什么样的语句是命题，理解推出关系及命题证明的意义，掌握真命题与假命题证明的思想方法,理解命题的四种形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题，掌握等价命题的概念,通过利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的的证明。
高中数学 同步教学 四种命题 四种命题间的相互关系
逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等
高.
(4)逆命题:若x2-3x+2<0,则1<x<2.
否命题:若x≤1或x≥2,
则x2-3x+2≥0.
逆否命题:若x2-3x+2≥0,则x≤1或x≥2.
(5)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0.
两个命题之间的关系,具有双向性,而逆否命题指的是一个命题,具
有单向性.
首页
π
3
1
2
【做一做 1】 已知命题 p:若 x= ,则 cos x= ,则命题 p 的逆命题
为
p 的逆否命题为
;命题 p 的否命题为
;命题
.
1
2
π
3
答案:若 cos x= ,则 x=
π
3
1
2
若 x≠ ,则 cos x≠
1
2
π
3
(填
命题.(填
,其真
首页
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)有的命题没有逆命题. (
)
(2)在四种命题中,只有原命题与否命题具有互否关系. (
)
(3)互逆命题的真假性一定相反. (
)
(4)在原命题及其逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数一
定是偶数. (
x,y互为相反数”的否命题是真命题.
(2)法一:“对顶角相等”的逆命题是“若两个角相等,则它们是对顶
角”,是假命题.
法二:“对顶角相等”的否命题是“若两个角不是对顶角,则它们不
相等”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的逆
命题的形式及等价关系
1.4 命题的形式及等价关系基础热身：(1)命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） .A 若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1-.B 若11x -<<，则21x < .C 若1x >或1x <-，则21x > .D 若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥1(2)命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在定义域内是减函数,则log 20a <”的逆否命题是（ ）A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数知识梳理：1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。
说明:(1)命题通常用陈述句表述。
数学中的定义、公理、定理等, 都是数学命题。
在数学中，一般只研究数学命题。
(2)命题一般地由条件、结论两部分组成。
命题常写成“如果α，那么β”的形式。
对于这样的命题，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。
注意:α、β也都是命题，可能是简单命题，也可能是复合命题。
简单命题：不含逻辑联结词的命题。
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
如：(1)3是12的约数.(2)3是12的约数且3是15的约数.2．判断命题的真假：正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
（1） 确定一个命题是真命题必须作出证明；①直接证明；②间接证明（同一法、反证法）直接法：即从已知条件出发，依据所学过的公理，定理，公式进行逐步推理，从而得出结论。
1.4 命题的形式及等价关系
1.4 命题的形式及等价关系1.命题与推出关系在初中，我们已经知道，可以判断真假的语句叫做命题，命题常用陈述句表述.正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.【例题】判断下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（1）个位数是5的自然数都能被5整除；（2）凡直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话；（4）互为补角的两个角不相等；（5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；（6）你是高一学生吗？在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成.要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题条件，而不满足命题结论的例子就可以了，这在数学中称为举反例.如果命题α成立可以退出命题β也成立，那么就说由α可以退出β，并用记号α⟹β表示，读作“α推出β”.换言之，α⟹β表示以α为条件、β为结论的命题是真命题.如果α成立不能推出β成立，可记作α⇏β.换言之，α⇏β表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题.如果α⟹β，并且β⟹α，那么记作α⟺β，叫做α与β等价.推出关系具有传递性【例题】用符号⇒、⇐、⟺表示下列事件的推出关系；（1）α：△ABC是等边三角形，β：△ABC是轴对称图形，αβ；（2）α：一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、三象限，β：一次函数y=kx+b中，k>0，b>0,αβ；（3）α：实数x适合x2=1，β：x=1，αβ.2. 四种命题形式逆命题：“如果α，那么β”把结论与条件互换，就得到一个新命题“如果β，那么α”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题.例如：平行四边形的对角线互相平分→对角线互相平分的四边形是平行四边形否命题：把原命题的条件和结论都换成它们的否定形式，那么另一个命题就叫做原命题的否命题.例如：平行四边形的对角线互相平分→如果四边形不是平行四边形，那么它的对角线不互相平分【例题】请写出下列命题的逆命题和否命题，并判断其真假.命题A：如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；命题B：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等.逆否命题：如果把原命题“如果α，那么β”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可得到原命题的逆否命题.例如：平行四边形的对角线互相平分→如果一个四边形的对角线不互相平分，那么这个四边形不是平行四边形.3.等价命题逆命题与否命题互为逆否命题互为逆否命题的两个命题是同真同假的【例题】原命题、逆命题、否命题、逆否命题，这四种命题中真命题的个数可能是【例题】证明：若a2−4b2−2a+1≠0，则a≠2b+1..【例题】已知a，b，c∈R，证明：若a+b+c<1，则a，b，c中至少有一个小于13当我们证明某个命题有困难时，就可尝试用证明它的逆否命题来代替证明原命题.1.5 充分条件，必要条件“三角形有两个内角相等”“三角形是等腰三角形”“某个整数能够被4整除”“某个整数是偶数”一般地，用α、β分别表示两个命题，如果命题α成立，可以推出命题β也成立，即α⟹β，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件.对于α、β两件事而言，α与β之间不一定有充分条件或者必要条件的关系，例如a+b>0与ab>0，是非充分非必要条件【例题】已知四边形ABCD是凸四边形，那么“AC=BD”是“四边形ABCD是矩形”的什么条件？为什么？如果α⟹β，那么α是β的充分条件；如果β⟹α，那么α是β的必要条件.如果既有α⟹β，又有β⟹α，即α⟺β，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件.这时我们就说α是β的充分必要条件，简称充要条件.“三角形两个内角相等”“三角形是等腰三角形”思考：x,y不都为0x,y都不为0的充分条件1.6 子集与推出关系设A、B是非空集合，A={a|a具有性质α}，B={b|b具有性质β}，则A⊆B与α⟹β等价。
高中数学高一第一学期1.4命题的形式及等价关系-导学案-沪教版(2019)
命题的形式及等价关系【学习目标】1．知道命题、真命题、假命题，理解命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性；2．在探究命题推出关系的过程中，体会举反例判断假命题的要领，初步会用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的方法；3．能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系【学习重难点】重点：理解命题的推出关系。
难点：会判断四种命题的真假【学习过程】 一、知识梳理1．命题的定义用语言、符号或式子表达的，可以 叫做命题.注意：（1）命题定义的要点：一、能判断真假 二、陈述句（2）科学测想也是命题，因为随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它的真假.例如“在2012年前，将有人类登上火星”等2．命题的推出关系：一般地说，如果命题α成立可以推出命题β成立，那么就说由α可以推出β，并用记号“βα⇒”，读作“α推出β”。
也就是说，βα⇒表示以α为______、β为______的命题是______命题。
如果α成立不能推出β成立，记为“βα⇒/”，读作“α推不出β”。
换言之，βα⇒/表示以α为条件、β为结论的命题是______命题。
3．命题的真假判断为真的语句叫做 ，判断为假的语句叫做 .注意：（1）一个命题要么是真命题，要么是假命题。
（2）要判断一个命题是真命题，需进行论证，而要判断一个命题是假命题，只需 即可4．命题的结构命题的一般形式为“若p则q”,也可写成“如果p那么q”，“只要p就有q”等形式。
P 叫做，q叫。
注意（1）命题的一般形式为“若p则q”,但也有命题不是这种标准形式，我们可以通过分析命题的条件和结论，将命题改写为“若p则q”的形式。
（2）改写命题前后的真假性不发生变化。
（3）在将有大前提的命题改写为“若p则q”的形式时，大前提应保持不变，改后仍作为大前提，不要写在条件p中。
5．四种命题及其关系（1）四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：；否命题：；逆否命题：。
命题的四种形式及关系
命题的四种形式及关系1. 什么是命题？在逻辑学中，命题是一个陈述句，它可以被判断为真或假。
命题是逻辑推理的基本单位，通过对命题的分析和组合，我们可以进行有效的推理和论证。
2. 命题的四种形式2.1 简单命题简单命题是最基本的命题形式，它不能再被分解为更小的命题。
简单命题通常用一个字母或一个词来表示，例如：P、Q、R等。
简单命题可以是真（True）或假（False）。
例如，“太阳从东方升起”这个陈述就是一个简单命题，它可以被判断为真。
2.2 复合命题复合命题由多个简单命题通过逻辑运算符连接而成。
常见的逻辑运算符有：•否定（Negation）：表示取反关系，用符号”¬“表示。
•合取（Conjunction）：表示与关系，用符号”∧“表示。
•析取（Disjunction）：表示或关系，用符号”∨“表示。
•条件（Implication）：表示蕴含关系，用符号”→“表示。
•双条件（Biconditional）：表示等价关系，用符号”↔“表示。
例如，命题”P并且Q”可以表示为P∧Q，命题”P或者Q”可以表示为P∨Q。
2.3 合取范式合取范式是一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的合取构成。
合取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∨Q)并且(¬R)“就是一个合取范式。
在合取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
2.4 析取范式析取范式是另一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的析取构成。
析取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∧¬Q)或者R”就是一个析取范式。
在析取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
3. 命题的关系3.1 等价关系两个命题被称为等价关系，如果它们具有相同的真值表。
换句话说，两个等价的命题在所有情况下都具有相同的真假值。
等价关系可以用双条件符号”↔“来表示。
例如，命题”P并且Q”和命题”Q并且P”是等价命题，可以表示为P∧Q ↔ Q∧P。
2019-2020年高一数学上册必修11.4《命题的形式及等价关系》教案4篇
2019-2020年高一数学上册必修11.4《命题的形式及等价关系》教案4篇教学过程设计逆命题：若 x = 0或 y = 0 则 xy = 0否命题：若 xy0 则 x0且 y 0逆否命题：若 x0且 y 0 则xy0.常见词的否定词语是都是大于所有的任一个至少一个至多一个 P或q P且q词语的否定不是至少有一个（不都是不大于某些某一个一个也没有至少两个 P 且q P或 q若⌝p 则q逆否命题若⌝q 则⌝p4、四种命题及其形式原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题若┑p则┑q；逆否命题若┑q则┑p.5、若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件★当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若┑则┑”成立，6、反证法：步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
命题一、选择：1、≥（ A ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件2、给出如下的命题：①对角线互相垂直且相等的平面四边形是正方形；②00=1；③如果x+y是整数，那么x,y都是整数；④<3或>3.其中真命题的个数是……( D )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 .3、已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件．那么是成立的：（ A ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4、一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ C ）（A）（B）（C）（D）二、填空：5、写出“a,b均不为零”的（1）充分非必要条件是（2）必要非充分条件是：＿＿（3）充要条件是（4）非充分非必要条件是 06、在以下空格内填入“充分非必要条件”，“必要非充分条件”，“充要条件”，“非充分非必要条件”（1）“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件（2）“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的充分非必要条件（3）的_______必要非充分________条件7、的一个充分不必要条件是_______________8、指出下列各题中甲是乙的什么条件？（1）甲：a、b、c成等比数列；乙：b2=ac______充分非必要条件_________________.（2）甲：______必要非充分________（3）甲：直线l1∥l2，乙：直线l1与l2的斜率相等______非必要非充分_____三、解答9、已知命题P：方程x2＋mx＋1=0有两个不相等的负根；Q：方程4x2＋4(m－2)x＋1=0无实根.若P或Q为真，P且Q为假，求m的取值范围.答案：10、试写出一元二次方程，①有两个正根②两个小于的根③一个正根一个负根的一个充要条件。
1.4命题的形式及等价关系
什么是命题？ 一、什么是命题？ 命题是可以判断真假的语句。 命题是可以判断真假的语句。 下列哪些语句是命题，哪些不是命题？ 例1、下列哪些语句是命题，哪些不是命题？如果是 命题，请判断它们的真假。 命题，请判断它们的真假。 个位数是5的自然数都能被5整除； （1）个位数是5的自然数都能被5整除； 上课请不要讲话； 直角三角形都相似； （2）直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话； 互为补角的两个角相等； （4）互为补角的两个角相等； 如果两个三角形的三条边对应相等， （5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么两个 三角形全等； 三角形全等； 你是一个高中生吗？ （6）你是一个高中生吗？
原命题： 原命题：
如果两个三角形都是正三角形， 如果两个三角形都是正三角形，那么这两个三角形相似 都是正三角形
真 假
逆命题： 逆命题：
如果两个三角形相似，那么这两个三角形都是正三角形 如果两个三角形相似，那么这两个三角形都是正三角形 都是
否命题： 否命题：
如果两个三角形不都是正三角形，那么这两个三角形不相似 如果两个三角形不都是正三角形， 不都是正三角形
1.4.2 四种命题形式
什么是原命题的逆命题？ 1、什么是原命题的逆命题？ 原命题：如果α 那么β 原命题：如果α，那么β。 将结论与条件交换，就得到原命题的逆命题： 原命题的逆命题 将结论与条件交换，就得到原命题的逆命题： 如果β 那么α 如果β，那么α。 命题(1):平行四边形的对角线互相平分。 命题(1):平行四边形的对角线互相平分。 (1):平行四边形的对角线互相平分 命题(2):对角线互相平分的四边形是平行四边形。 命题(2):对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (2):对角线互相平分的四边形是平行四边形 命题(1)与对命题(2)互为逆命题。 命题(1)与对命题(2)互为逆命题。 (1)与对命题(2)互为逆命题
沪教版(上海)数学高一上册-1.4 命题的形式及等价关系 课件
一、复习回顾
• 命题 • 真命题 • 假命题
二、讲授新课——命题
例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是 命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？
(1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)互为补角的两个角不相等； (5)如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两
满足ac<0，那么这ax个2 方 b程x 有 c实根0；a 0
（4）如果一元二次方程
（）
有实数根，那么ac<0；
（5）如A果x>B0，那,且么Bx C0，；则A C
（6）若
。
四、课堂小结
• 真假命题的判断方法 • 命题的推出关系
五、作业
• 练习册：P5/（A）组
• 换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结 论的命题是真命题。
二、讲授新课——推出关系
• 例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示 为“两个角相等”，问推出关系成立吗？ 反过来行吗？
解：α⇒β关系成立，但反过来不行。 • α这件事成立，不能推出β这件事成立，可
记作α⇏β。 • 换言之，α⇏β表)你是高一学生吗？
二、讲授新课——命题
• 结论：
①命题必定由条件与结论两部分组成
②假命题的确定：
举反例（举出一个满足条件，不满足结 论的例子，一个即可）
③真命题的确定：作出证明
方法
直接证明 间接证明同反一证法法
二、讲授新课——推出关系
• 一般地，如果α这件事成立可以推出β这 件事也成立，那么就说由α可以推出β， 并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”。
命题是一个假命题
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练习2写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 逆命题、 练习2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题
并判断其真假
原命题：两个三角形全等,则它们的面积相等. 原命题：两个三角形全等,则它们的面积相等.真 逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等. 逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等. 假 否命题:两个三角形不全等,则它们的面积不 假 否命题:两个三角形不全等, 相等. 相等. 逆否命题:两个三角形的面积不相等, 逆否命题:两个三角形的面积不相等,则它们 真 不全等. 不全等.
• 把原命题的条件和结论都换成它们的否定 • 把原命题的结论的否定作条件，把条件的 把原命题的结论的否定作条件，
否定作结论， 否定作结论 ， 所得到的命题是原命题的 逆否命题。 __________
否命题。 形式，所得到的命题是原命题的________ 形式，所得到的命题是原命题的________
原命题,逆命题,否命题, 原命题,逆命题,否命题,逆否命题的一般形式
四种命题的真假之间的关系如下： 四种命题的真假之间的关系如下：
两个命题互为逆否命题，它们同真（ 两个命题互为逆否命题，它们同真（假）
即：原命题与逆否命题同真同假 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假
练习3 写出否命题 练习3 写出否命题 若实数a,b满足a+b<4，则a=1且b=2； 若实数a,b满足 满足a+b≥4，则a≠1或b≠2； 若实数 满足 ， 或 ；
例3.已知:BD、CE分别是△ABC的∠B、 3.已知 已知:BD、CE分别是 ABC的 分别是△ 的角平分线， ∠C的角平分线，BD≠CE . A 求证：AB≠AC. 求证：AB≠AC.
E B D C
分析：逆否命题是如果AB=AC,那么 那么BD=CE 分析：逆否命题是如果 那么
例2.判断下列命题的真假,并说明理由: 2.判断下列命题的真假 并说明理由: 判断下列命题的真假, (1)若实数a、b满足a+b≠3,则a≠1且b≠2； (1)若实数 若实数a 满足a ≠3,则 ≠1且 ≠2； 其逆否命题是：若实数a=1 b=2 其逆否命题是：若实数a=1或b=2，则 假 a+b=3 . b=3 (2)若实数a与b的积不是有理数，则a，b至 (2)若实数 若实数a 的积不是有理数， 少有一个不是有理数． 少有一个不是有理数． 其逆否命题是：若实数a 都是有理数， 其逆否命题是：若实数a，b都是有理数， 的积是有理数． 则a与b的积是有理数． 真
原命题： 若α, 则β 逆命题： 若β, 则α 否命题: 逆否命题: 若β , 则 α
四种命题之间的相互关系
原命题
若α, 则β
互
逆
逆命题
若β, 则α
互 否
互 否
否命题
若
α,则 β
互
逆
逆否命题 若β 则 α
练习1、填空 口答 口答)： 练习 、填空(口答 ： 的整数， （1）命题“末位是 的整数，可以被 整 ）命题“末位是0的整数 可以被5整 的逆命题是_________ 除”的逆命题是 若一个整数可以被5整除 则它的末位是0。 整除， 若一个整数可以被 整除，则它的末位是 。 （2）命题“线段的垂直平分线上的点与这 ）命题“ 条线段两端点的距离相等”的否命题是___ 条线段两端点的距离相等”的否命题是___ 若一个点不在线段的垂直平分线上， 若一个点不在线段的垂直平分线上，则 它到这条线段两端点的距离不相等。 它到这条线段两端点的距离不相等。 （3）命题“对顶角相等”的逆否命题是_____ ）命题“对顶角相等” 若两个角不相等，则它们不是对顶角。 若两个角不相等，则它们不是对顶角。
练习2写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 逆命题、 练习2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题
逆命题:角的平分线上的点, 逆命题:角的平分线上的点,到这个角的 两边距离相等. 两边距离相等. 否命题:到一个角的两边距离不相等的点 否命题 到一个角的两边距离不相等的点, 到一个角的两边距离不相等的点 都不在这个角的平分线上. 都不在这个角的平分线上 逆否命题:不在这个角的平分线上的点 到 逆否命题 不在这个角的平分线上的点,到 不在这个角的平分线上的点 这个角的两边距离不相等. 这个角的两边距离不相等
1.4 命题的形式及等价关系(2) 命题的形式及等价关系(2)
——四种命题形式 ——四种命题形式
复习回顾
●
命题与推出关系
• 原命题 •逆命题
交换原命题的条件和结论，所得的命题叫做 原命题的逆命题。 原命题的逆命题。 逆命题
• 把原命题的条件和结论交换，所得到的命 把原命题的条件和结论交换，
逆命题。 逆命题 题叫做原命题的________ 题叫做原命题的________
等价命题: 价命题: 是两个命题， 那么A 若A、B是两个命题，A⇒B，B⇒ A，那么A、B叫做 等价命题 . 性质： 性质： 如果两个命题互为逆否命题， 如果两个命题互为逆否命题，那么这两个命题 是等价命题． 是等价命题． 说明： 说明： (1)原命题和它的逆否命题同真同假 原命题和它的逆否命题同真同假． (1)原命题和它的逆否命题同真同假． (2)逆命题和它的否命题同真同假． (2)逆命题和它的否命题同真同假． (3)当判断某个命题真假有困难时，可转化为判断它 (3)当判断某个命题真假有困难时，可转化为判断它 当判断某个命题真假有困难时 逆否命题的真假 真假． 的逆否命题的真假．
1、
两个关注点
1、要写出一个命题的另外三个命题 关键是分清 要写出一个命题的另外三个命题,关键是 关键是分清
命题的题设和结论,即把原命题写成 命题的题设和结论 即把原命题写成 “若α, 则β”的形式 的形式
注：三种命题中最难写 的是否命题。 的是否命题。 2、
的否定为“ （1）“或”的否定为“且”， ） 的否定为“ （2）“且”的否定为“或”， ） 的否定为“不都” （3）“都”的否定为“不都”。 ）