等比数列学案

等比数列学案第3课时等比数列的前n项和知能目标解读1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况.3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导1.等比数列的前n项和公式（1）设等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为na1(q=1)Sn= .(q≠1)也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论.（2）等比数列{an}中，当已知a1,q(q≠1)，n时，用公式Sn= ，当已知a1,q(q≠1)，an 时，用公式Sn= .2.等比数列前n项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.(1)合比定理法由等比数列的定义知：= =…= =q.当q≠1时，=q,即=q.故Sn= = .当q=1时，Sn=na1.(2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(S n-an)当q≠1时，Sn= = .当q=1时，Sn=na1.(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n≥2)∵当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1∴Sn=a1+q(Sn-an)即(1-q)Sn=a1(1-qn)当q≠1时，有Sn= ,当q=1时，Sn=na1.注意：(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{an•bn}的前n项和.3.等比数列前n项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1的讨论.4.等比数列前n项和公式与函数的关系(1)当公比q≠1时，令A= ，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.(2)当q≠1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点. 知能自主梳理1.等比数列前n项和公式（1）等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn= = ;当q=1时，Sn= . (2)推导等比数列前n项和公式的方法是 .2.公式特点（1）若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q≠0,q≠1，则数列{an}为. （2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求 . ［答案］ 1.（1）na1(2)错位相减法2.（1）等比数列（2）三二思路方法技巧命题方向等比数列前n项和公式的应用［例1］设数列｛an｝是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q. ［分析］应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.［解析］当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；当q≠1时，=3a1q2,因为a1≠0,所以1－q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0,解得q=- .综上所述，公比q的值是1或－ .［说明］（1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.（2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论.（3）等比数列前n项和公式中，当q≠1时，若已知a1,q,n利用Sn= 来求；若已知a1,an,q,利用Sn= 来求.变式应用1在等比数列{an}中,已知S3= ,S6= ,求an.［解析］∵S6= ,S3= ,∴S6≠2S3，∴q≠1.= ①∴= ②②÷①得1+q3=9,∴q=2.将q=2代入①，得a1= ,∴an=a1qn-1=2n-2.命题方向等比数列前n项的性质［例2］在等比数列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.［分析］利用等比数列前n项的性质求解.［解析］∵{an}为等比数列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，∴(S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n)∴S3n= +S2n= +60=63.［说明］等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.变式应用2等比数列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.［解析］解法一：∵{an}为等比数列，∴S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)>0,∴S4=28.解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.=7 ①∴=91 ②得q4+q2-12=0,∴q2=3,∴q=± .当q= 时，a1= ,∴S4= =28.当q=- 时，a1=- ,∴S4= =28.探索延拓创新命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用［例3］某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg2≈0.3)［解析］(1)第一年年底本利和为a+a•25%=1.25a,第二年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.(2)第n年年底本利和为bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.(3)依题意，有395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,∴x== .①设1.2520=t,∴lgt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.∴t=100,代入①解得x=96.变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10％，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？［解析］第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x,第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行［20000(1+10%)-x］(1+10%)-x=20000×1.12-1.1x-x,…第10次还款x元后，还欠银行20000×1.110－1.19x-1.18x- (x)依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,解得x= ≈3255(元).名师辨误做答［例4］求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n项和.［误解］所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+…+a= .［辨析］所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论.［正解］由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,…中依次取出1项，2项，3项，4项，……的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前（1+2+…+n）项.所以Sn=1+a+a2+…+a .①当a=0时，Sn=1.②当a=1时，Sn= .③当a≠0且a≠1时，Sn= .课堂巩固训练一、选择题1.等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）A.2B.4C.D.［答案］ C［解析］由题意得= = .故选C.2.等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）A.-2B.1C.-2或1D.2或-1［答案］ C［解析］由题意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.3.等比数列{2n}的前n项和Sn=（）A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2［答案］D［解析］等比数列｛2n｝的首项为2，公比为2.∴Sn= = =2n+1-2,故选D.二、填空题4.若数列{an}满足：a1=1,an+1=2an（n∈N+），则a5= ;前8项的和S8= .（用数字作答）［答案］16255［解析］考查等比数列的通项公式和前n项和公式.q= =2,a5=a1•q4=16,S8= =28-1=255.5.在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q= .［答案］3［解析］∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减，得a3-a4=-2a3,∴a4=3a3,∴q=3.三、解答题6.在等比数列{an}中，已知a6-a4=24，a3•a5=64，求数列{an}的前8项和.［解析］解法一：设数列{an}的公比为q，根据通项公式an=a1qn-1，由已知条件得a6-a4=a1q3(q2-1)=24, ①a3•a5=(a1q3) 2=64,②∴a1q3=±8.将a1q3=-8代入①式，得q2=-2,没有实数q满足此式，故舍去.将a1q3=8代入①式，得q2=4,∴q=±2.当q=2时，得a1=1,所以S8= =255;当q=-2时，得a1=-1，所以S8= =85.解法二：因为{an}是等比数列，所以依题意得a24=a3•a5=64,∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.因为{an}是实数列，所以＞0,故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，从而a5=± =±16.公比q的值为q= =±2,当q=2时，a1=1,a9=a6q3=256,∴S8= =255;当q=-2时，a1=-1，a9=a6q3=-256,∴S8= =85.课后强化作业一、选择题1.等比数列{an}中，a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为（）A.81B.120C.168D.192［答案］ B［解析］公式q3= = =27,q=3,a1= =3,S4= =120.2.已知等比数列的前n项和Sn=4n+a，则a=（）A.-4B.-1C.0D.1［答案］ B［解析］设等比数列为｛an｝，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,a3=S3-S2=48,∴a22=a1•a3,即144=(4+a)×48，∴a=-1.3.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于（）A.31B.33C.35D.37［答案］ B［解析］解法一：S5＝= =1∴a1=∴S10= = =33,故选B.解法二：∵a1+a2+a3+a4+a5=1∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)•q5=1×25＝32∴S10＝a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.4.已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为（）A.514B.513C.512D.510［答案］ Da1+a1q3=18［解析］由已知得，a1q+a1q2=12解得q=2或 .∵q为整数，∴q=2.∴a1=2.∴S8= =29-2=510.5.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1,S3=7，则S5=（）A. B. C. D.［答案］ B［解析］设公比为q,则q>0,且a23=1,即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3= + +1=7,即6q2-q-1=0,∴q= 或q=- (舍去)，∴a1= =4.∴S5= =8（1- ）= .6.在等比数列｛an｝（n∈N+）中，若a1=1,a4= ,则该数列的前10项和为（）A.2－B.2－C.2－D.2－［答案］ B［解析］∵a1=1,a4= ,∴q3= = ,∴q= .∴S10= =2［1-（）10］=2- ,故选B.7.已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比q等于（）A.2B.-2C.D.-［答案］AS3= =3,①［解析］S6= =27,②得=9,解得q3=8.∴q=2,故选A.8.正项等比数列｛an｝满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列｛bn｝的前10项和是（）A.65B.-65C.25D.-25［答案］ D［解析］∵{an}为正项等比数列，a2a4=1,∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.又∵S3= =13,a3=a1q2,解得q= .∴an=a3qn-3=( )n-3=33-n,∴bn=log3an=3-n.∴b1=2,b10=-7.∴S10= = ＝－25.二、填空题9.等比数列，-1，3，…的前10项和为 .［答案］-［解析］S10= =- .10.（2011•北京文，12）在等比数列｛an｝中，若a1= ,a4=4,则公比q= ;a1+a2+…+an= .［答案］2,2n-1-［解析］本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n项和公式可解得.=q3= =8，所以q=2，所以a1+a2+……+an= =2n-1- .2n-1(n为正奇数)11.已知数列{an}中，an= ，则a9= .2n-1（n为正偶数）设数列{an}的前n项和为Sn，则S9= .［答案］256377［解析］a9=28=256，S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.12.在等比数列{an}中，已知对于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,则a21+a22+…+a2n= .［答案］×4n-［解析］∵a1+a2+…+an=2n-1,∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2),两式相减，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,∴a2n=(2n-1) 2=22n-2=4n-1,∴a21+a22+…+a2n= = ×4n- .三、解答题13.在等比数列{an}中，已知a3=1 ，S3=4 ，求a1与q.S3= =4［解析］（1）若q≠1,则，a3=a1q2=1从而解得q=1或q=- .q=-∵q≠1,∴ .a1=6S3=3a1=4 q=1（2）若q=1,则，∴ .a3=a1=1 a1=1q=- q=1综上所述得，或 .a1=6 a1=114.(2011•大纲文科，17)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.［分析］设出公比根据条件列出关于a1与q的方程.求得a1与q可求得数列的通项公式和前n项和公式.［解析］设{an}的公比为q，由已知有：a1q=6 a1=3 a1=2.解得或6a1+a1q2=30 q=2 q=3(1)当a1=3,q=2时，an=a1•qn-1=3×2n-1Sn= = =3×(2n-1)(2)当a1=2,q=3时，a n=a1•qn-1=2×3n-1Sn= = =3n-1.综上，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.15.已知实数列｛an｝是等比数列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)数列｛an｝的前n项和记为Sn,证明：Sn<128(n=1,2,3,…).［解析］(1)设等比数列｛an｝的公比为q(q∈R且q≠1),由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1,因为a4,a5+1,a6成等差数列,所以a4+a6=2(a5+1)即q-3+q-1=2(q-2+1),q-1 (q-2+1)=2(q-2+1).所以q= .故an=a1qn-1=q-6•qn-1=qn-7=（）n-7.(2)证明：Sn= ==128［1-（）n］<128.16.2011年暑期人才招聘会上，A、B两家公司分别开出了工资标准：A公司 B公司第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元．第一年月工资为２000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5％.大学生王明被A、B两家公司同时录取，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思考，他选择了A公司，你知道为什么吗？.［解析］A公司 B公司第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元．第一年月工资为２000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5％.王明的选择过程第n年月工资为an 第n年月工资为bn首项为1500，公差为230的等差数列首项为2000，公比为1＋5％的等比数列an=230n+1270 bn=2000(1+5%)n-1S10=12(a1+a2+…+a10) =12×［10×1500+ ×230］=304200 T10=12(b1+b2+…+b10)=12× ≈301869结论显然S10>T10,故王明选择了A公司。