九年级数学锐角三角函数正弦与余弦

合集下载

锐角三角函数(正弦、余弦和正切)

锐角三角函数(正弦、余弦和正切)

2.同一锐角三角函数的关系:
如图, 在 Rt△ ABC中,∠ C=90°, sin A
a ,cos A
b

c
c
则 sin2 A cos2 A
2
a
c
2
b
c
a2 b2 c2
c2 c2
1,即同一锐角的
正弦、余弦的平方和等于
1,或者说若
α
为锐角, 则
sinห้องสมุดไป่ตู้
2
2
α+cos α =1.
规律 学习锐角三角函数时,应明确三角函数值的两个变化规律: 1.特殊角的三角函数值的记忆规律:
Rt△ ABC中,∠ A+∠ B=90°,由
三角函数定义得
sin A
a ,cos(90
a
b
A) cosB ,cos A
sin B sin(90
A) ,
c
c
c
所以 sin A=cos(90° - A),cos A= sin (90° - A).即任意锐角的余弦值等于它的余角的正
弦值,任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.
锐角三角函数教案
概念
1.在直角三角形中,斜边大于直角边且各边均为正数,正弦、余弦都是直角边与斜边
的比值,正切是两直角边的比值,因此正弦值、余弦值都是小于
1 的正数,正切值是大于零
的数,并且都没有单位,即 0<sin A<1,0<cos A<1, tan A>0(∠ A为锐角).
2.每一个三角函数都是一个完整的符号, 如 sin A不能理解为 sin · A,sin A 中的“ A”
2.锐角三角函数值的增减性:锐角 α 的正弦 sin α 值随着∠ α 的增大而增大;锐角

初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结

初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结

初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 CA 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A6、正弦、余弦的增减性:当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性:当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,8、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。

依据:①边的关系:222c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。

(注意:尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例:(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示,即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan hi lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。

如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。

中考数学三角函数公式汇总与解析

中考数学三角函数公式汇总与解析

中考数学三角函数公式汇总与解析1.锐角三角函数锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(si n),余弦(c o s)和正切(t a n),余切(c o t)以及正割(se c),余割(c sc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(si n):对边比斜边,即si n A=a/c余弦(c o s):邻边比斜边,即c o sA=b/c正切(t a n):对边比邻边,即t a n A=a/b余切(c o t):邻边比对边,即c o t A=b/a正割(se c):斜边比邻边,即se c A=c/b余割(c sc):斜边比对边,即c s c A=c/a2.3.互余角的关系s i n(π-α)=c o sα,c o s(π-α)=si nα,t a n(π-α)=c o tα,c o t(π-α)=t a nα.4.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)5.积的关系s i nα=t a nα·c o sαc o sα=c o tα·si nαt a nα=si nα·se cαc o tα=c o sα·c s cαs e cα=t a nα·c scαc s cα=se cα·c o tα6.倒数关系t a nα·c o tα=1s i nα·c scα=1c o sα·se cα=17.诱导公式公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:s i n(2kπ+α)=si nαk∈zc o s(2kπ+α)=c o sαk∈zt a n(2kπ+α)=t a nαk∈zc o t(2kπ+α)=c o tαk∈z公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:s i n(π+α)=-si nαc o s(π+α)=-c o sαt a n(π+α)=t a nα8.两角和差公式(1)si n(A+B)=si n A c o sB+c o sA si n B(2)si n(A-B)=si n A c o s B-si n B c o sA(3)c o s(A+B)=c o sA c o sB-si n A si n B(4)c o s(A-B)=c o sA c o sB+si n A si n B(5)t a n(A+B)=(t a n A+t a n B)/(1-t a n A t a n B)(6)t a n(A-B)=(t a n A-t a n B)/(1+t a n A t a n B)(7)c o t(A+B)=(c o t A c o t B-1)/(c o t B+c o t A)(8)c o t(A-B)=(c o t A c o t B+1)/(c o t B-c o t A)除了以上常考的三角函数公式外,掌握下面半角公式,积化和差和万能公式有利于快速解决选择题,达到事半功倍的效果哦!1.半角公式注:正负由α/2所在的象限决定。

初中数学 什么是锐角三角函数

初中数学 什么是锐角三角函数

初中数学什么是锐角三角函数锐角三角函数是指在单位圆上所定义的三角函数,其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数在数学和几何中具有重要的应用和性质。

在本文中,我们将详细介绍锐角三角函数的定义、性质和应用。

1. 正弦函数(Sine Function):正弦函数是在单位圆上定义的一个周期函数。

在锐角三角函数中,正弦函数表示三角形中对边与斜边的比例关系。

正弦函数的定义如下:sin(θ) = 对边/斜边2. 余弦函数(Cosine Function):余弦函数也是在单位圆上定义的一个周期函数。

在锐角三角函数中,余弦函数表示三角形中邻边与斜边的比例关系。

余弦函数的定义如下:cos(θ) = 邻边/斜边3. 正切函数(Tangent Function):正切函数是正弦函数和余弦函数的比值,也是在单位圆上定义的一个周期函数。

在锐角三角函数中,正切函数表示三角形中对边与邻边的比例关系。

正切函数的定义如下:tan(θ) = 对边/邻边4. 锐角三角函数的性质:-周期性:锐角三角函数是周期函数,其周期为360度或2π弧度。

-奇偶性:正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,正切函数是奇函数。

-定义域和值域:正弦函数和余弦函数的定义域是实数集合R,值域是[-1, 1];正切函数的定义域是除了其奇点(kπ+π/2,其中k为整数)的实数集合R,值域是全体实数集合R。

5. 锐角三角函数的应用:锐角三角函数在数学和几何中有广泛的应用,特别是在三角学和解析几何中。

-三角恒等式:锐角三角函数满足许多重要的三角恒等式,如正弦函数和余弦函数的平方和恒等于1,正切函数与正弦函数和余弦函数的关系等。

-角度的计算:通过锐角三角函数,可以计算给定三角形的角度大小。

-三角函数图像:通过绘制锐角三角函数的图像,可以帮助我们直观地理解三角函数的性质和变化规律。

通过以上介绍,我们了解了锐角三角函数的定义、性质和应用。

熟练掌握锐角三角函数的概念和性质,对于理解和解决与三角函数相关的数学问题至关重要。

中考复习: 锐角三角函数

中考复习: 锐角三角函数

中考复习:锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数(正弦、余弦、正切)1、定义:在Rt △ABC 中,∠C =90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦(sinc ), 记作sin A ,即sin A aA c∠==的对边斜边。

把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine ),记作cos A ,即;把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切(tangent ),记作tan A ,即。

锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数(trigonometric function of acute angle )。

当锐角A 的大小确定时,∠A 的对边与斜边的比(正弦)、∠A 的邻边与斜边的比(余弦)、∠A 的对边与邻边的比(正切)分别是确定的。

2、增减性:在0°到90°之间,正弦值、正切值随着角度的增大而增大,余弦随着角度的增大而减小。

3、取值范围:当∠A 为锐角时,三角函数的取值范围是:0<sin A <1,0<cos A <1,tan A >0。

4、互余两角的函数关系:如果两角互余,则其中一有的正弦等于另一角的余弦,即:若α是一个锐角,则sin α=cos (90°-α),cos α=sin (90°-α)。

5、正、余弦的平方关系:sin 2α+ cos 2α=1。

二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表:三、解直角三角形bcos c A A ∠==的邻边斜边atan bA A A ∠=∠的对边=的邻边C ∠A 的邻边b∠A 的对边a在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。

1、在Rt△ABC 中,∠C=90°,设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c (以下字母同),则解直角三角形的主要依据是:(1)边角之间的关系: sinA =cosB =a c , cosA =sinB =bc,tanA =cotB =a b ,cotA =tanB =b a。

初中锐角三角函数

初中锐角三角函数

初中锐角三角函数锐角三角函数是数学中重要的概念之一、在初中阶段,我们学习了正弦、余弦和正切三种锐角三角函数。

通过学习锐角三角函数,我们可以计算三角形的边长和角度,解决实际问题,提高数学思维能力。

本文将详细介绍锐角三角函数的定义、性质和应用。

一、正弦函数正弦函数是锐角三角函数中最基本的函数之一、我们用sin表示正弦函数。

设一个锐角的一条直角边的长度为a,斜边的长度为c,则正弦函数的定义如下:sinA = a / c其中A为角的度数,sinA为正弦值。

正弦函数的性质:1. 在0°至90°(不包括90°)的锐角范围内,正弦值的大小从0逐渐增大,最大值为1、所以sin0° = 0,sin90° = 12. 在90°至180°(不包括180°)的锐角范围内,正弦值的大小从1逐渐减小,最小值为0。

所以sin180° = 0。

正弦函数的应用:正弦函数可以用来计算三角形的边长和角度。

通过正弦函数,我们可以解决各种实际问题,例如航海中的船舶位置计算、建筑中的高度计算等。

二、余弦函数余弦函数是锐角三角函数中的另一种函数。

我们用cos表示余弦函数。

设一个锐角的一条直角边的长度为b,斜边的长度为c,则余弦函数的定义如下:cosA = b / c其中A为角的度数,cosA为余弦值。

余弦函数的性质:1. 在0°至90°(不包括90°)的锐角范围内,余弦值的大小从1逐渐减小,最大值为0。

所以cos0° = 1,cos90° = 0。

2. 在90°至180°(不包括180°)的锐角范围内,余弦值的大小从0逐渐增大,最小值为-1、所以cos180° = -1余弦函数的应用:余弦函数可以用来计算三角形的边长和角度。

通过余弦函数,我们可以解决各种实际问题,例如建筑物的倾斜角度计算、物体的投影计算等。

九年级数学:三角函数定义及三角函数公式大全

九年级数学:三角函数定义及三角函数公式大全

三角函数定义及三角函数公式大全一:初中三角函数公式及其定理1、勾股定理:直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。

a 2b 2c 22、如下图,在 Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为( ∠A 可换成∠B):定义表达式取值范围关系正 sin AA 的对边 a 0 sin A 1sin AcosB弦斜边sin A( ∠A 为锐角)ccos A sin B余 cos AA 的邻边 b 0 cosA 1 sin 2A cos 2A1弦 斜边cos A( ∠A 为锐角)c正 tan AA 的对边 a tan A 0tan A cot B切A 的邻边tan A( ∠A 为锐角)cot Atan Bb 1tan A( 倒数)余 cot AA 的邻边 b cot A 0cot A切A 的对边cot A( ∠A 为锐角)tan A cot A1a3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

由 A B 90B对得 B90A斜边sin A cosBsin Acos(90A)c a 边cos Asin Bcos A sin(90A)AbC邻边4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

由 A B 90tan A cot B 得 B90Atan A cot(90A)cot A tan Bcot Atan(90A)5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值 ( 重要)三角函数0°30°45°60°90°sin 0 cos 1tancot-1 2 3 2223 2 1 222313331331-6、正弦、余弦的增减性:当 0°≤ ≤90°时,sin 随 的增大而增大,cos 随 的增大而减小。

28.1锐角三角函数--余弦、正切ppt

28.1锐角三角函数--余弦、正切ppt

AB 5
BC 3
例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,
AB=3,求∠A,∠B的正弦、余弦、正切值. B
解:在RtABC中,
3
2
AC AB2 BC2 32 22 5,
A
C
sin A BC 2,cos A AC 5 ,tan A BC 2 2 5 .
AB 3
AB 3
∴ AB = 19.608 080 89≈19.61m 即旗杆的高度是19.61m.
练习:
使用计算器求下列锐角的三角函数值.(精确到 0.01)
(1)sin20°,cos70°; sin35°,cos55°; sin15°32′,cos74°28′;
(2)tan3°8′,tan80°25′43″;
新知探索:60°角的三角函数值
B
2
3
60.0
A
C
1
sin60°= A的对边 3
斜边
2
cos60°= A的邻边 1 斜边 2
tan60°= A的对边 3 A的邻边
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切 值如下表:
锐角a 三角函数
30°
45°
60°
sin a
1
2
3
2
2
2
cos a
3
2
1
28.1锐角三角函数(2)
——正弦 正切
复习与探究:
在 RtABC中, C 90
B 1.锐角正弦的定义
c
A
b
a
∠A的正弦:
s
inA
A的对边 斜边
BC AB
a c
C
2、当锐角A确定时,∠A的对边与斜边的比就随之 确定。此时,其他边之间的比是否也随之确定?为 什么?

2022秋九年级数学上册第二章直角三角形的边角关系1锐角三角函数2正弦与余弦课件鲁教版五四制

2022秋九年级数学上册第二章直角三角形的边角关系1锐角三角函数2正弦与余弦课件鲁教版五四制

19.如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y=nx+ 2(n≠0)的图象与反比例函数 y=mx (m≠0)在第一象 限内的图象交于点 A,与 x 轴交于点 B,线段 OA =5,C 为 x 轴正半轴上一点,且 sin ∠AOC=45. (1)求一次函数和反比例函数的表达式;
解:过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D.∵sin ∠AOC=AODA=45,OA=5, ∴AD=4.则 DO= OA2-AD2=3. ∵点 A 在第一象限,∴点 A 坐标为(3,4).将 A(3,4)的坐标代入 y =mx ,解得 m=12,∴反比例函数的表达式为 y=1x2.将 A(3,4)的坐 标代入 y=nx+2,解得 n=23,∴一次函数的表达式为 y=23x+2.
cos A,所以 A 选项错误;因为 45°<∠A<90°,所
以∠B<45°,即∠A>∠B,所以 BC>AC,所以BACB
>AACB,即 sin A>cos A,所以 B 选项正确,D 选项
错误;tan A=ABCC>1,sin A<1,所以 C 选项错误.
12.已知x=cos α(α为锐角)满足方程2x2-5x+2=0,
13.【中考•潍坊】如图,点M是正方形ABCD边CD上 一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于 点F,连接BE.
(1)求证:AE=BF; 解:证明:∵∠BAF+∠DAE=90°,∠ADE+ ∠DAE=90°,∴∠BAF=∠ADE. 在△ DEA 和△ AFB 中,∠∠ADDEEA==∠∠BAAFFB,,
(2)求△ABC的三边长.
解:∵△ABC 是直角三角形,∴sin A=ac. 将其代入 9c=25asin A,得 9c=25a·ac,∴9c2=25a2.
∴3c=5a.∴c=53a.∴b= c2-a2= 53a2-a2=43a. 将 b=43a,c=53a 代入 a+b=c+4,解得 a=6. ∴b=43×6=8,c=53×6=10,即△ ABC 的三边长分别为 6,8,10.

第二十八章 锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)

第二十八章 锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)

第二十八章 锐角三角函数单元总结【知识要点】 知识点一 锐角三角形锐角三角函数:如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)【正弦和余弦注意事项】1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)。

2.sinA 、cosA 是一个比值(数值,无单位)。

3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关。

0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)正弦、余弦的增减性:当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。

正切的增减性:当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,对边邻边C知识点二 解直角三角形一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. 直角三角形五元素之间的关系: 1. 勾股定理()2. ∠A+∠B=90°3. sin A==4. cos A= =5.tan A= =【考查题型】考查题型一 正弦典例1.(2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中)如图,在54⨯的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin BAC ∠的值为( )A .43B .34C .35D .45【答案】D 【分析】过C 作CD AB ⊥于D ,首先根据勾股定理求出AC ,然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值.【详解】如图,过C 作CD AB ⊥于D ,则=90ADC ∠︒,∴AC =222234=+=+AC AD CD =5. ∴4sin 5CD BAC AC ∠==. 故选D . 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数,正确作出辅助线是解题的关键.变式1-1.(2018·西城区·北京四中九年级期中)如图,在Rt ABC ∆中,90C =∠,10AB =,8AC =,则sin A 等于( )A .35B .45C .34D .43【答案】A 【解析】分析:先根据勾股定理求得BC=6,再由正弦函数的定义求解可得. 详解:在Rt △ABC 中,∵AB=10、AC=8, ∴2222=108=6AB AC --,∴sinA=63105BC AB ==. 故选:A .点睛:本题主要考查锐角三角函数的定义,解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义.变式1-2.(2019·山东淄博市·九年级期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=45,AC=6cm,则BC的长度为()A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm 【答案】C【详解】已知sinA=45BCAB=,设BC=4x,AB=5x,又因AC2+BC2=AB2,即62+(4x)2=(5x)2,解得:x=2或x=﹣2(舍),所以BC=4x=8cm,故答案选C.考查题型二余弦典例2.(2020·福建省泉州市培元中学九年级期中)如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ABC等于()A 5B25C5D.23【答案】B【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2,4,222425+=∴cos∠25525=.故选B .变式2-1.(2016·辽宁铁岭市·九年级期末)在ABC 中,C 90∠=,AB 6=,1cosA 3=,则AC 等于( ) A .18 B .2C .12D .118【答案】B 【分析】根据三角函数的定义,在直角三角形ABC 中,cosA =ACAB,即可求得AC 的长. 【详解】解:∵在△ABC 中,∠C =90°,∴cosA =ACAB , ∵cosA =13,AB =6,∴AC =123AB =,故答案选:B . 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,解题的关键是要熟练掌握直角三角形中边角之间的关系.变式2-2.(2019·山东滨州市·九年级期末)如图,在平面直角坐标系中,点M 的坐标为M (5,2),那么cosα的值是( )A 5B .23C 25D 5【答案】D 【分析】如图,作MH⊥x轴于H.利用勾股定理求出OM,即可解决问题.【详解】解:如图,作MH⊥x轴于H.∵M(5,2),∴OH=5,MH=2,∴OM=22(5)2+=3,∴cosα=5 OHOM=,故选:D.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.考查题型三正切典例3.(2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中)如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为()A.12B.1 C3D3【答案】B【分析】连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长,利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形,即可求出所求. 【详解】 如图,连接BC ,由网格可得AB=BC=5,AC=10,即AB 2+BC 2=AC 2, ∴△ABC 为等腰直角三角形, ∴∠BAC=45°, 则tan ∠BAC=1, 故选B .【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义,解直角三角形,以及勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.变式3-1.(2018·江苏苏州市·九年级期末)如图,在等腰Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,D 是AC 上一点,若1tan 5DBA ∠=,则AD 的长为( ).A .2B .3C .2D .1【答案】A 【解析】分析:本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形.解题的关键是作辅助线,构造直角三角形,运用三角函数的定义建立关系式然后求解. 解析:如图,作DE ⊥AB 于E .∵tan ∠DBA==,∴BE=5DE .∵△ABC 为等腰直角三角形,∴∠A=45°,∴AE=DE .∴BE=5AE ,又∵AC=6,∴AB=6,∴AE+BE=AE+5AE=6,∴AE=,∴在等腰直角△ADE中,由勾股定理,得AD=,AE=2.故选A.变式3-2.(2020·河北唐山市·九年级期末)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若2tan5BAC∠=,则此斜坡的水平距离AC为()A.75m B.50m C.30m D.12m 【答案】A【分析】根据BC的长度和tan BAC∠的值计算出AC的长度即可解答.【详解】解:因为2tan5BCBACAC=∠=,又BC=30,所以,3025AC=,解得:AC=75m,所以,故选A.【点睛】本题考查了正切三角函数,熟练掌握是解题的关键.考查题型四特殊角的三角函数值典例4.(2018·南昌市期末)点M(-sin60°,cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )A.(32,12) B.(-32,-12)C.(312) D.(-123【答案】B 【详解】∵点(-sin60°,cos60°)即为点(312),∴点(-sin60°,cos60°)关于y 3,12).变式4-1.(2019·山东淄博市·九年级期中)下列式子错误的是()A.cos40°=sin50°B.tan15°•tan75°=1C.sin225°+cos225°=1 D.sin60°=2sin30°【答案】D【详解】试题分析:选项A,sin40°=sin(90°﹣50°)=cos50°,式子正确;选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1,式子正确;选项C,sin225°+cos225°=1正确;选项D,sin60°=3,sin30°=12,则sin60°=2sin30°错误.故答案选D.变式4-2.(2018·河北唐山市·九年级期末)如果△ABC中,sin A=cos B=22,则下列最确切的结论是()A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形【答案】C【解析】因为sin A=cos B 2,所以∠A=∠B=45°,所以△ABC是等腰直角三角形. 故选C.考查题型五同角的三角函数典例5.(2018·山东潍坊市·九年级期末)在Rt△ABC中,∠C =90°,sinA=45,则cosB的值等于( )A.35B.45C.34D5【答案】B 【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A+∠B=90°,则cos B=sin A=45.故选B.点睛:本题考查了互余两角三角函数的关系.在直角三角形中,互为余角的两角的互余函数变式5-1.(2018·浙江台州市·九年级期末)在Rt △ABC 中,cosA= 12,那么sinA 的值是( )A .2B .2C .3D .12【答案】B 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值即可. 【详解】:∵Rt △ABC 中,cosA=12 ,∴ =2, 故选B . 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键.变式5-2.(2018·湖南岳阳市·九年级期末)在Rt ABC 中,C 90∠=,如果4cosA 5=,那么tanA 的值是( ) A .35B .53C .34D .43【答案】C 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解. 【详解】解:∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,∴cosA=b c ,tanA=ab ,a 2+b 2=c 2. ∵cosA=45,设b=4x ,则c=5x ,a=3x .∴tanA=a b =3344x x =. 故选C.【点睛】利用锐角三角函数的定义,通过设参数的方法求三角函数值.考查题型六 解直角三角形典例6.(2020·东北师大附中明珠学校九年级期中)如图,两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A .tan tan αβB .sin sin βαC .sin sin αβD .cos cos βα【答案】B【分析】在两个直角三角形中,分别求出AB 、AD 即可解决问题;【详解】在Rt △ABC 中,AB=AC sin α, 在Rt △ACD 中,AD=AC sin β, ∴AB :AD=AC sin α:AC sin β=sin sin βα, 故选B .【点睛】 本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题. 变式6-1.(2020·山东枣庄市·九年级期末)如图,在ABC ∆中,144CA CB cosC ==,=,则sinB 的值为( )A .10B .15C .6D .10 【答案】D【分析】过点A 作AD BC ⊥,垂足为D ,在Rt ACD ∆中可求出AD ,CD 的长,在Rt ABD ∆中,利用勾股定理可求出AB 的长,再利用正弦的定义可求出sinB 的值.【详解】解:过点A 作AD BC ⊥,垂足为D ,如图所示.在Rt ACD ∆中,1CD CA cosC ⋅==,2215AD AD CD ∴=-=;在Rt ABD ∆中,315BD CB CD AD =﹣=,=,22BD AD 26AB ∴=+=,AD 10sin AB B ∴==. 故选:D .【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理,通过解直角三角形及勾股定理,求出AD ,AB 的长是解题的关键.变式6-2.(2019·辽宁沈阳市·九年级期末)如图,甲乙两楼相距30米,乙楼高度为36米,自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°,则甲楼高度为( )A.11米B.(36﹣153)米C.153米D.(36﹣103)米【答案】D【分析】分析题意可得:过点A作AE⊥BD,交BD于点E;可构造Rt△ABE,利用已知条件可求BE;而乙楼高AC=ED=BD﹣BE.【详解】解:过点A作AE⊥BD,交BD于点E,在Rt△ABE中,AE=30米,∠BAE=30°,∴BE=30×tan30°=103(米),∴AC=ED=BD﹣BE=(36﹣103)(米).∴甲楼高为(36﹣103)米.故选D.【点睛】此题主要考查三角函数的应用,解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7.(2019·河南许昌市·九年级期末)如图,某消防队在一居民楼前进行演习,消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后,又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°,点A 距地面2.5米,点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者,云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米?(结果保留整数.参考数据:tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4)【答案】云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ,AD BC ⊥于点D ,在Rt ABD ∆中,求得AD 的长;在Rt ACD ∆中,求得CD 的长,根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ,AD BC ⊥于点D ,∵CN EF ⊥ ,∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒,∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=(米),由题意可知,45BAD ∠=︒,65CAD ∠=︒,∵AD BC ⊥,∴90ADB ∠=︒,在Rt ABD ∆中,tan BD BAD AD ∠=, ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒(米). 在Rt ACD ∆中,tan CD CAD AD∠=, ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=(米).∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈(米).答:云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题,添加辅助线,构造直角三角形,建立直角三角形模型是解决问题的关键.变式7-1.(2018·江苏无锡市·九年级期末)如图,为了测量出楼房AC 的高度,从距离楼底C 处603米的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=1:3的斜坡DB 前进30米到达点B ,在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°,求楼房AC 的高度(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈43,计算结果用根号表示,不取近似值).【答案】153+【分析】如图作BN ⊥CD 于N ,BM ⊥AC 于M ,先在RT △BDN 中求出线段BN ,在RT △ABM 中求出AM ,再证明四边形CMBN 是矩形,得CM=BN 即可解决问题.【详解】如图作BN ⊥CD 于N ,BM ⊥AC 于M .在RT △BDN 中,BD=30,BN :ND=13,∴BN=15,DN=153,∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°,∴四边形CMBN是矩形,∴CM=BM=15,BM=CN=603153453-=,在RT△ABM中,tan∠ABM=43 AMBM=,∴AM=603,∴AC=AM+CM=15603+.【点睛】构造适当的直角三角形,并应用锐角的三角函数,正确理解坡比的概念.变式7-2.(2018·山西晋中市期末)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)【答案】高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm .【解析】分析:利用锐角三角函数,在Rt △ACE 和Rt △DBF 中,分别求出AE 、BF 的长.计算出EF .通过矩形CEFH 得到CH 的长.详解:在Rt △ACE 中,∵tan ∠CAE=CE AE, ∴AE=()15515521tan tan82.47.5CE cm CAE =≈≈∠︒ 在Rt △DBF 中,∵tan ∠DBF=DF BF, ∴BF=()23423440tan tan80.3 5.85DF cm DBF =≈=∠︒. ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151(cm )∵CE ⊥EF ,CH ⊥DF ,DF ⊥EF∴四边形CEFH 是矩形,∴CH=EF=151(cm ).答:高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm .点睛:本题考查了锐角三角函数解直角三角形.题目难度不大,注意精确度.。

九上数学解直角三角形知识点

九上数学解直角三角形知识点

九上数学解直角三角形知识点
九年级数学解直角三角形知识点主要包括:
1. 锐角三角函数:在直角三角形中,锐角的正弦、余弦和正切值可以通过三角函数的定义直接计算。

例如,在直角三角形ABC中,如果∠C=90°,那么sinA=BC/AB,cosA=AC/AB,tanA=BC/AC。

2. 余角三角函数关系:当两个角互为余角时,它们的三角函数值之间存在一定的关系。

例如,如果∠A+∠B=90°,那么sinA=cosB,cosA=sinB,tanA=cotB,cotA=tanB。

3. 同角三角函数关系:三角函数之间还存在着一些恒等式,例如
sin2A+cos2A=1,tanA·cotA=1。

4. 函数的增减性:在锐角的条件下,正弦和正切函数随着角度的增大而增大,而余弦和余切函数随着角度的增大而减小。

5. 特殊角的三角函数值:对于一些特殊角度(如0°、30°、45°、60°和90°),其三角函数值是已知的。

这些值需要熟练记忆。

6. 解直角三角形:在直角三角形中,已知一些边的长度或者角度,可以通过三角函数来求解其他未知的边或角度。

以上是九年级数学解直角三角形的主要知识点。

在学习时,除了理解每个知识点的含义和计算方法外,还需要通过大量的练习来加深理解和提高解题能力。

锐角三角函数(余弦、正切)

锐角三角函数(余弦、正切)

振动与波动
余弦函数在振动和波动的研究中有广泛 应用。例如,简谐振动的位移、速度和 加速度都可以表示为余弦函数的形式。
03
正切函数
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数是锐角三角函数的一种,定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比 值,记作tan(α),其中α为锐角。
正切函数的性质
正切函数具有连续性、周期性、奇偶性等性质。在区间(0,π/2)和(π/2,π)内,正 切函数是单调递增的,而在区间(-π/2,0)和(π/2,3π/2)内,正切函数是单调递减 的。
01
余弦函数和正切函数的定义
余弦函数和正切函数是锐角三角函数的重要组成部分,它们分别描述了
直角三角形中锐角对应的邻边和斜边的比值,以及锐角对应的对边和邻
边的比值。
02
基本性质和应用
余弦函数和正切函数具有周期性、奇偶性等基本性质,这些性质在解决
几何、物理和工程问题中有着广泛的应用。例如,在计算角度、长度、
工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械工程中,锐 角三角函数用于设计各种 结构,如桥梁、建筑和机 器部件。
控制系统
在控制工程中,锐角三角 函数用于设计和分析控制 系统,以确保系统的稳定 性和性能。
信号处理
在电子和通信工程中,锐 角三角函数用于信号处理, 如滤波、调制和解调等。
06
总结与展望
锐角三角函数的总结
正切函数的图像与周期性
正切函数的图像
正切函数的图像是一条周期函数,其周期为π,且在每一个周期 内,图像呈现出先增后减的趋势。
正切函数的周期性
由于正切函数的周期为π,因此对于任意整数k,tan(x+kπ) = tan(x),即正切函数在每个周期内具有相同的形状,但位置会随 着k的变化而变化。

数学九年级培优第25讲 《锐角三角函数》

数学九年级培优第25讲 《锐角三角函数》

第二十八章锐角三角函数第25讲锐角三角函数知识导航1.正弦、余弦、正切的概念及表示方法.2.特殊角的三角函数值.【板块一】求锐角三角函数值方法技巧1.结合图形,理解并牢记三角函数的定义.2.数形结合法熟记特殊角的三角函数值.3.求一个角的三角函数值,一般利用已有的或构造的直角三角形,也可以利用等角转化等,结合三角函数定义求解.题型一紧扣定义求三角函数值【例1】已知锐角α满足tanα=12,求sinα的值.【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=α,∵tanα=12BCAC=,∴设BC=x,AC=2x,∴AB,∴sinBCABα===【点评】由于三角函数的定义是基于直角三角形,所以要画出符合题意的直角三角形,结合勾股定理和三角函教的定义求解.【例2】如图,在正方形ABCD中,点M为AD的中点,点E为AB上一点,且BE=3AE,求cos∠ECM 的值.【解析】首先确定△EMC为直角三角形,设AE=x,则BE=3x,AM=MD=2x,CD=4x.∴AE MDAM CD=,又∠A=∠D=90°,∴△AEM∽△DMC,可得∠EMC=90°,由勾股定理可求CM=x,CE=5x,在Rt△CEM中,cos∠ECM=CMCE=.题型二等角转换求三角函数值【例3】如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),点B是y轴左侧⊙A优弧上一点,求tan∠OBC 的值.αA BCCBEA M D【解析】作直径CD,在Rt△OCD中.CD=6.OC=2.∴ODtan∠CDO=OCOD=,由圆周角定理得∠OBC=∠CDO,则tan∠OBC【点评】在圆中经常利用同弧或等弧所对的圆周角相等进行角的转换,用直径所对的圆周角去构造直角三角形.题型三构造直角求三角函数值【例4】如图,在Rt△BAD中,tan∠B=53,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连接AC,求tan∠CAD 的值.【解析】要求tan∠CAD,必须将∠CAD放在直角三角形中,考虑∠BAD=90°,故过点D作DE∥AB交AC于点E.则∠ADE=90°,且有△CDE∽△CBA可利用,由tan∠B=53ADAB=,设AD=5x,AB=3x,而13DE CDAB BC==,∴DE=x,∴tan∠CAD=155DE xAD x==.【点评】求一个角的三角函数值,必须将所求的角放在直角三角形中.题型四等比转化求三角函数值【例5】如图,等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,过BC的中点D作DE⊥AB,垂足为点E,连接CE,求tan∠ACE的值.CDBACDEBAA BDEC【解析】过点E 作EH ⊥AC 于点H ,易证AH =HE ,∴tan ∠ACE =HE AH AECH CH EB==,设BE =x ,则BD =CD,∴BC =x ,AB =4x ,∴AE =AB -BE =3x ,∴tan ∠ACE =AEEB=3.【例6】如图,AB 是⊙O 的直径,且AB =10,CD 是⊙O 的弦,AD 与BC 相交于点P ,若弦CD =6,试求cos ∠APC 的值.【解析】连接AC ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACP =90°,∴cos ∠APC =PCPA,又易证△PCD ∽△P AB ,∴63105PC CD PA AB ===,∴cos ∠APC =35. 【点评】在直角三角形中,锐角的三角函数值等于两边的比值,当这个比值无法直接求解时,可利用相似三角形对应线段成比例进行转化.题型五 利用特殊角求三角函数值【例7】利用45°角的正切,求tan 22.5°的值,方法如下:解:构造Rt △ABC ,其中∠C =90°,∠B =45°,如图,延长CB 到点D ,使BD =AB ,连接AD ,则∠D =12∠ABC =22.5°,设AC =a ,AB =BDa a ,∴CD =(1)a ,∴tan 22.5°=tan ∠D=AC CD =-1.A BE DHCAACA请你依照此法求tan 15°的值.【解析】构造如图所示的∠A =15°的直角三角形,∠C =90°,并过点B 作∠ABD =15°交AC 于点D ,则∠BDC =30°,设BC =x ,则BD =AD =2x ,CD,∴AC =(2x ,∴tan 15°=BC AC=2针对练习11.如图,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sin A =.2.在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =513,则tan B = 125 .3.如图,将边长为2的正方形ABCD 沿 EF 和ED 折叠,使得点B ,C 两点折叠后重合于点G ,则tan ∠FEG =12.4.如图,直线MN 与⊙O 相切于点M ,ME =EF ,EF ∥MN ,则cos ∠E =12. A D CBABCDG F DCBA E5.如图,在△ABC 中,∠C =90°,BC =1,AC =tan 2A的值.解:AB=7.延长CA 到点D ,使AD =AB =7,则CD =7+tan2A=tan ∠D=7- 6.如图,AC 为⊙O 的直径,△ABD 内接于⊙O ,BD 交AC 于点F ,过点B 的切线BE ∥AD 交AC 的延长线于点E ,若CF =2,AF =8,求sin ∠E 的值.解:连接OB ,CD ,∵CF =2,AF =8,∴AC =10.∴OB =5.易证CD ⊥AD ,OB ⊥AD ,∴OB ∥CD ,∴△BOF ∽△DCF .∴32OB OF CD CF ==.CD =103.sin ∠E =sin ∠CAD =CD AC =13. 7.将一副三角尺(Rt △ABC 与Rt △BDC )按如图所示摆放在一起,连接AD ,试求∠ADB 的正切值.解:过点A 作AM ⊥DB 交DB 的延长线于点M ,易证∠MBA =45°,∴设AM =BM =x,则AB x .∴BC,BD .∴tan ∠ADB =AMDM8.如图,在△ABC 中,BC =4,AC =6,AB =5,求tan12∠BAC ·tan 12∠CBA 的值.ABCDEAAEDCBABCDM解:过点C作CH⊥AB于点H,延长BA到点D,使AD=AC,延长AB到点E,使BE=BC,设AH=x,则BH=5-x,∴42-(5-x)2=62-x2,∴x=92.∴BH=12,CH∴tan12∠BAC=tan∠D=CHDH=2962+.tan12∠CBA=tan∠E=CHHE=2142+,∴tan12∠BAC·tan12∠CBA=13.方法技巧:深刻理解三角函数的定义,画出符合题意的示意图,充分运用数形结合的思想解题.▶题型一利用已知三角函数,求其他角的三角函数值【例1】同学们,在我们进入高中以后,将会学到三角函数公式:sin2α=2sinα·cosα,则当锐角a的正切值为12时,sin2a=.【解析】如图,在Rt△ABC中.∠C=90°,∠A=α,由tanα=BCAC=12,设BC=1,AC=2,则AB.sinα=BCAB,cosα=ACAB,由公式sin2α=2sinα·cosα=2=45.【点评】紧扣定义,运用公式解题.▶题型二利用已知三角函数,求线段长【例2】如图,点D是△ABC的边AC上一点,BD=8,sin∠CBD=34,AE⊥BC于点E,若CD=2AD,求AE的长.BACEDCBA HC BADBAO OFAB CDE【解析】过点D作DF⊥BC于点F,则DF=BD·sin∠CBD=8×2=6,由AE⊥B C.DF⊥BC,∴DF∥AE.∴△CDF∽△CAE.∴CDAC=DFAE=23.∴AE=32DF=9.【点评】因三角函数的本质是线段比,故与三角函数相关的计算常与相似三角形联系在一起.▶题型三利用已知三角函数,求线段比【例3】如图,在Rt△ABC中,CD,CE分别为斜边AB上的高和中线,BC=a,AC=b(b>a),若tan∠DCE=12,求ab的值.【解析】易证△BCD∽△BAC,∴BC2=BD·BA,又BA,∴BD2,同理CD=DE=BE-BD222,又∵谈∠DCE=DECD=222b aab-=12,∴a2+ab-b2=0,∴ab▶题型四利用已知三角函数,求面积【例4】如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,tan∠CAD=12,cos∠ACD,AC与BD交于点E,CDBE=2ED,求四边形ABCD的面积.【解析】过点D作DF⊥ACC于点F,则AB∥DF.∴△ABE∽△FDE.∴ABDF=AEEF=BEED=2,设EF=2a,AE=4a.∴AF=6a,在Rt△AFD中.tan∠F AD=FDAF=12,∴DF=3a,在Rt△CFD中,cos∠ACD =CFCD.∴CF=1,DF=3a=3,∴a=1,AC=7,AB=2DF=6,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△AC=12AB·AC+12AC·DF=12×6×7+12×7×3=632.针对练习21.在△ABC中,∠A为锐角,BC=12.tan A=34.∠B=30°,则AB2.如图,点E是正方形ABCD的边CB的延长线上的一点,且tan∠DEC=34,则tan∠AED的值为EDCBAABCDEFE DCBA913.3.已知△ABC中,AB=10,AC=B=30°,则△ABC4.如图,在四边形ABCD中,BD是对角线,∠ABC=90”,tan∠ABD=34,AB=20,BC=10,AD=13,求CD的长.解:分别过点A,C作AH⊥BD于点H,CG⊥BD于点G,∵tan∠ABD=AHBH=34,∴设AH=3x,BH=4x,(3x)2+(4x)2=202,∴x=4.∴AH=12,BH=16.∴HD=5,BD=21,易证∠BCG=∠ABD,..tan∠BCG=GBGC=34,又BC=10,∴BG=6,CG=8,∴DG=BD-BG=15,∴CD==17.5.如图,在△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=34.边BC的重直平分线与AB的交点为点D.求ADDB的值.解:过点D作DF⊥BC于点F,连接CD,则BD=CD,BF=CF=52,tan∠DBF=DFBF=34.∴DF =158,在Rt△BFD中,BD=258,∴AD=5-258=158,∴ADDB=35.6.如图,已知四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线相交于点E,∠ABC=120°,cos∠ADC=35,CD=5,AB=12,ACDE的面积为6,求四边形ABCD的面积.EDCBAAB CDGHDCBAAB CDF CBA解:过点C作CF⊥AD于点F,过点A作AG⊥EB于点G,在Rt△ACDF中,cos∠ADC=DF CD=3 5.又CD=5,DF=3,CF=4,∵S△CDE=12ED·CF=6,∴ED=3,∴EF=6,在Rt△BAG中,∠BAG=30°,AB=12,∴AG=EFC∽△EAG,得EFEG=CFAG,可求EG=BE=EG-BG=9 6.∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CED=126)×6=75-E DCBA ABCDE FG。

人教版九年级数学下册第28章 锐角三角函数:余弦函数和正切函数

人教版九年级数学下册第28章 锐角三角函数:余弦函数和正切函数
3 4. tan30°= 3 ,tan60°= 3.
5. sin70°,cos70°,tan70°的大小关系是 A. tan70°<cos70°<sin70° B. cos70°<tan70°<sin70° C. sin70°<cos70°<tan70° D. cos70°<sin70°<tan70°
∴ cos A AC = 4,tan B AC = 4 .
AB 5
BC 3
随堂即练
如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 8,
tanA= 3 , 求sinA,cosB 的值.
4
B
解:∵ tan A BC 3,
AC 4
∴ BC 3 AC 3 8 6, C
8
A
4
4
∴ AB AC 2BC2 82 62 10,
RJ九(下) 教学课件
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
学习目标
1. 认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函 数的概念. (重点)
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.(重点、难 点)
新课引入
如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,当锐角 A 确定 时,∠A的对边与斜边的比就随之确定.
随堂即练
( )D
解析:根据锐角三角函数的概念,知 sin70°< 1,cos70°<1,tan70°>1. 又∵cos70°=sin20°, 正弦值随着角的增大而增大,∴sin70°>cos70°= sin20°.
随堂即练
6. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,cosA = , 15 17
A
C
cos A AC = 8 = 4,tan A BC = 6 = 3 .

湘教版九年级数学 4.1 正弦和余弦(学习、上课课件)

湘教版九年级数学  4.1 正弦和余弦(学习、上课课件)

知1-练
sin 67°38′24′′; 解:sin 67°38′24′′≈ 0.924 8.
(2)用计算器求锐角α 的度数(精确到0.1 °):
sinα=0.516 8. α ≈ 31.1°.
解题秘方:紧扣使用计算器的操作步骤,正确 按键得出结果.
感悟新知
知1-练
3-1. [ 期末·莱阳 ] 若用我们数学课本上采用的科学计 算器计算 sin42 ° 16′,按键顺序正确的是 ( C )
解:原式=12+
2 2
2-13×
3 2
2=12+ 12-13×32-1. [ 期末·石家庄裕华区 ] 已知 α 为锐角,且sin(α-
10 ° ) =
3 2
,则
α
等于(
A
)
A. 70° B. 60°
C. 40° D. 30°
感悟新知
例3 (1)用计算器求正弦值(精确到0.000 1):
1. sin α是完整的数学符号,是一个整体,不能理解成
sin·α . 2. 正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文
字母或三个大写英文字母或数字表示的角,也可以跟度 数,如sin α,sin A,sin ∠ABC,sin ∠2,sin 70° .
感悟新知
知1-练
例1 在 Rt △ ABC 中,∠ C=90 °,如果AB=2, BC=1, 3
感悟新知
知2-练
例4 [母题 教材 P115 练习 T1 ]在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,请根据下列 条件分别求出∠A的正弦、余弦值: (1)a=6,b=8;(2)b=2,c= 10.
感悟新知
知2-练
解题秘方:紧扣正弦、余弦揭示了直角三角形的边 角之间的数量关系,先利用勾股定理求 出未知边的长度,然后根据定义求∠ A的 正弦、余弦值.

锐角三角函数锐角三角函数

锐角三角函数锐角三角函数

03
证明方法
利用正弦定理和余弦定理,将边的关 系转化为角的关系,再利用三角函数 的性质推导得出。
05
锐角三角函数的作图及演 示
利用计算器或计算机软件绘制锐角三角函数图像
总结词
通过使用计算器或计算机软件,我们可以 轻松地绘制出锐角三角函数的图像。
详细描述
首先,我们需要输入锐角的角度值,然后 在计算器或计算机软件中选择对应的三角 函数(正弦、余弦或正切)。这样,我们 就可以得到一个关于角度的函数值。将这 些值在坐标系中表示,就可以形成锐角三 角函数的图像。
证明方法
通过正弦定理将角的关系转化为 边的关系,再利用勾股定理推导 得出。
正切定理的公式及证明
01
02
总结词
详细描述
正切定理是指在一个三角形中,任意 两边长度的比值等于这两边所夹角的 正切值与第三边所对应角的正切值的 比值。
正切定理的公式为 tan(A)/tan(B) = c/b。其中,A、B、C 分别代表与三 边相对应的角度,a、b、c 分别代表 三角形的三边长。
求边长
已知直角三角形的一个锐角和对应的边长,可以应用锐角三 角函数来求解另一条边长。例如,在直角三角形ABC中,已 知角A为30度,对应边a为10单位长度,那么对应边b的长度 可以通过应用三角函数求解。
在实际问题中求解角度或边长
地球定位
在地球上定位一个点,需要知道该点与北极的夹角和该点到北极的距离。这些信息可以通过应用锐角 三角函数来求解。
余弦定理
对于任意三角形ABC,有cosA = (b² + c² - a²) / (2bc),其中a、b、c分别是三角形的三边长度。这表明一个 角的余弦值等于由该角两边长度和它们夹角所确定的三角形的另一边的平方与两邻边平方和的差与两邻边的积 之比。

人教版九年级数学课件《余弦、正切》

人教版九年级数学课件《余弦、正切》
针对练习
【点睛】在直角三角形中,如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值,即可求出其它的所有锐角三角函数值
典例解析
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,tanA= , 求sinA,cosB 的值.
针对练习
例3.如图,已知中,,,,边的垂直平分线分别交、于点、.求线段的长.
解:过A作,垂足为点H,如图所示:在中,,,∴,,在中,,∴,∴,∵垂直平分,∴,,
C
B
达标检测
3.如图,直径为10的☉A经过点C(0,5)和点0(0,0),B是y轴右侧☉A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为( )A. B. C. D.
C
达标检测
4.如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于( )A. B. C. D.
达标检测
对于锐角A的每一个确定的值,sinA有唯一确定的值与它对应,所以sinA是A的函数.同样地,cosA,tanA,也是A的函数.∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数.
小结梳理
达标检测
10.如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的圆的圆心O在格点上,则∠AED的正切值等于_______.11.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,AD∥BC,AD=2BC,AC与BD交于点E,AC⊥BD,则tan∠BAC的值等于______.
达标检测
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c,且b=8,c=17.求: sinA、 cosA、 tanA、 sinB、cosB、 tanB.
B
达标检测
5.如图,在△ABC中,CA=CB=4,cosC=,则sinB的值为( )A. B. C. D.

九年级人教版数学第二学期第28章锐角三角函数整章知识详解

九年级人教版数学第二学期第28章锐角三角函数整章知识详解

九年级数学第28章锐角三角函数
【例】求下列各式的值.
(1) cos260°+sin260°
(2) csoins4455

-tan45

【解析】(1)cos²60°+sin²60°
cos²60°表示 (cos60°)², 即cos60°的平方.
=( 12)²+(
3 2
)²
=1;
(2)cos 45 tan 45
九年级数学第28章锐角三角函数
2.(黄冈中考)在△ABC中,∠C=90°,sinA=
则tanB=( B )
A. 4
B. 3
C. 3
D. 4
3
4
5
5
3.(丹东中考)如图,小颖利用有一
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度, 30 已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为 °A
B 1.5m(即小颖的眼睛距地面的距离),那
九年级数学第28章锐角三角函数
【例】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,sinA= 3 ,
求cosA,tanB的值.
5
B
【解析】 sinA BC ,
AB
6
AB BC 6 5 10,
sinA 3
又 AC AB2 BC2 102 62 8,
A
C
cosA AC 4 , tanB AC 4 .
100
D.不能确定
3.如图 A
B
1
3
,则 sinA=___2___ .
30°
C
7
九年级数学第28章锐角三角函数
1.(温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°, AB=13,

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)知识点一:锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sin A =∠A 的对边斜边=ac余弦: cos A =∠A 的邻边斜边=bc正切: tan A =∠A 的对边∠A 的邻边=ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来 度数三角函数[来源:Z 。

xx 。

]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时,(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) (3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 变式练习1:如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为注意:根据定义求三角函数值时,一定根据题目图形来理解,严格按照三角函数的定义求解,有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4,3),那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图,过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,∵A (4,3),∴OB =4,AB =3,∴OA =32+42=5,∴cos α=OB OA =45.变式练习2:在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =3,BC =4,则sinA =________. 【解析】∵在Rt △ABC 中,由勾股定理得AC =22AB BC +=32+42=5,∴sin A =BC AC =45. 变式练习3:在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =35,BC =6,则AB =( D )A .4B .6C .8D .10变式练习4:如图,若点A 的坐标为(1,3),则sin ∠1=__32__. ,知识点二 :解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形. 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2;(2)锐角之间的关系:∠A +∠B =90°; (3)边角之间的关系:,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======(sinA==cosB=ac,c osA=sinB=bc,tanA=ab.)变式练习1:在Rt△ABC中,已知a=5,sinA=30°,则c=10,b=5.变式练习2:如图,Rt△ACB中,∠B=30°,∠ACB=90°,CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC,满足∠E=30°,∠DCE=90°,再用同样的方法作Rt△FGC,∠FCG=90°,继续用同样的方法作Rt△HIC,∠HCI =90°.若AC=a,求CI的长.解:在Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠A=60°,∵AC=a,∴CD=AC·sin60°=32a,依此类推CH=(32)3a=338a,在Rt△CHI中,∵∠CHI=60°,∴CI=CH·tan60°=338a×3=98a.变式练习3:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是( D )A.433B.4 C.8 3 D.4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜:已知斜边求直边,正弦、余弦很方便;已知直边求直边,理所当然用正切;已知两边求一边,勾股定理最方便;已知两边求一角,函数关系要记牢;已知锐角求锐角,互余关系不能少;已知直边求斜边,用除还需正余弦.变式练习4:如图,一山坡的坡度为i=1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了__100__米., ,变式练习5:一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,则该船行驶的速度为___40+4033___海里/小时.知识点三:解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角:视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角.(如图①)(2)坡度:坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比),用字母i表示.坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用α表示,则有i=tanα.(如图②)(3)方向角:平面上,通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向),则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角,叫做观测的方向角.(如图③)2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语,根据题意画出图形,建立数学模型;(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形问题;(3)选择合适的边角关系式,使运算简便、准确;(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,从而得到问题的解.注意:解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型:(1)叠合式(2)背靠式解题方法:这两种模型种都有一条公共的直角边,解题时,往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边,或通过公共边相等,列方程求解变式练习1:如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度,他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°,然后沿AD 方向前行10 m ,到达B 点,点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上).请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:2≈1.414,3≈ 1.732)解:如解图,由题意可知∠CAB =30°,∠CBD =60°,AB =10 m ,∵∠CBD =∠CAB +∠BCA ,∴∠BCA =∠CBD -∠CAB =60°-30°=30°=∠CAB , ∴BC =AB =10 m . 在Rt △BCD 中,∵sin ∠CBD =CDBC,∴CD =BC ·sin ∠CBD =10×sin60°=10×32=53≈5×1.732≈8.7 m . 答:这棵树CD 的高度大约是8.7 m .变式练习2:如图,小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α=34,在与山脚C 距离200米的D 处,测得山顶A 的仰角为26.6°,求小山岗的高AB (结果取整数;参考数据:sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50).解:设AB =x 米,在Rt △ABD 中,∠D =26.6°,∴BD =tan 26.6x≈2x ,在Rt △ABC 中,tan α=AB BC =34,∴BC =43x ,∵BD -BC =CD ,CD =200,∴2x-43x=200,解得x=300.答:小山岗的高AB约为300米.变式练习3:如图,小明所在教学楼的每层高度为3.5 m,为了测量旗杆MN的高度,他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°,他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°,已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m,求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)解:如解图,过点M的水平线交直线AB于点H,由题意,得∠AMH=∠MAH=45°,∠BMH=30°,AB=3.5 m,设MH=x m,则AH=x m,BH=x·tan30°=33x≈0.58x m,∴AB=AH-BH=x-0.58x=0.42x=3.5 m,解得x≈8.3,则MN=x+1=9.3 m.答:旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4:小明去爬山,如图,在山脚看山顶的角度为30°,小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米,此时小明看山顶的角度为60°,则山高为( )A. (600-2505)米B. (6003-250)米C. (350+3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图,∵BE∶AE=5∶12,∴设BE=5k,AE=12k,∴AB=2()5K+(12k)2=13k,∴BE∶AE∶AB=5∶12∶13,∵AB=1300米,∴AE=1200米,BE =500米,设EC=FB=x米,∵∠DBF=60°,∴DF=3x米,则DC=(3x+500)米,又∵∠DAC=30°,∴AC=3CD,即1200+x=3(3x+500),解得x=600-2503,∴DF=3x=(6003-750)米,∴CD=DF+CF=(6003-250)米,即山高CD为(6003-250)米.变式练习5:某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图,无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)解:如解图,过点A作AD⊥BC交BC于点D,过点B作BH⊥水平线交水平线于点H,由题意∠ACH=75°,∠BCH=30°,AB∥CH,∴∠ABC=30°,∠ACB=45°,∵AB=4×8=32米,∴CD=AD=AB·sin30°=16米,BD=AB·cos30°=32×32=163米,∴BC=CD+BD=(16+163)米,∴BH=BC·sin30°=(16+163)×12=(8+83)米.答:这架无人飞机的飞行高度为(8+83)米.变式练习6:如图,我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上,随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上,求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位,其中3≈1.732) 解:∵CD∥BE,∴∠EBC+∠DCB=180°.∵∠ABE=60°,∠DCB=30°,∴∠ABC=90°.…………(4分)由题知,BC=80×12=40(海里),∠ACB=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·tan60°=403≈40×1.732≈69.3(海里).答:此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里.。

锐角三角函数sin cos tan

锐角三角函数sin cos tan

锐角三角函数sin cos tan
我们要讨论锐角三角函数,包括正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)。

首先,我们需要理解这些函数的基本定义和性质。

锐角三角函数是定义在锐角上的函数,这些函数与三角形的边和角有关。

1. 正弦(sin): 正弦函数是定义为直角三角形中锐角的对边与斜边的比值。

2. 余弦(cos): 余弦函数是定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值。

3. 正切(tan): 正切函数是定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比值。

这些函数有一些重要的性质,例如:
1. 它们的值都在-1到1之间,这是因为在一个锐角三角形中,对边和邻边
的长度永远不会超过斜边的长度。

2. 正弦、余弦和正切函数在锐角范围内是单调的,这意味着随着角度的增加,它们的值也会增加。

3. 正弦和余弦函数在45度时相等(sin(45°) = cos(45°)),这是因为在一
个等腰直角三角形中,对边和邻边的长度是相等的。

4. 正切函数是无界的,这意味着随着角度的增加,正切函数的值可以无限增加或无限减少。

这些性质对于理解锐角三角函数非常重要,它们可以帮助我们解决各种与三角学相关的问题。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
余切的定义:正切的倒数叫做∠A的余切,即 斜边
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与对 边的比叫做∠A的余切,记作 A cotA,即 cotA= A的邻边 A的对边
∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C
想一想P1 2
本领大不大
悟心来当家
驶向胜利 的彼岸
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻 边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗? 结论: 在Rt△ABC中,如果锐角A确定 时,那么∠ A的对边与斜边的比, 邻边与斜边的比也随之确定.
传言就三块四五百万年到壹千万年间寒晶孕育出来.""原来如此."根汉点了点头沉声"那神木可能在什么位置不神木才孕育出这片寒湖根基吗?"老族长解释:"孕育冰川东西只寒晶而开辟出这片寒湖则因为这株神木.""因为神木至阳之气可以释放出来融化冰川这才形成了这片寒湖." 老族长环顾四周指了指北面"们先从那里往冰层中查看壹下当初那壹截还魂木就先祖在那壹带发现.""好..."两人不不急立即开始在这寒湖附近查探由老族长带路根汉开两人合作寻找神木....时间转眼便过去了三天根汉和老族长将这寒湖附近壹千里地盘都给查遍了除了厚厚冰川大 陆还魂木影子都看到."根汉要不们就算了或许根本就还魂树在..."老族长些愧疚"这回都浪费时间了...""老族长这哪里您肯帮忙根汉感激不尽..."根汉也些无奈"既然寻不到也缘分不能强求.""恩根汉年纪轻轻就能如此修为想必与心态也关系这么平和对待壹件事情前途不可限量 呀."老族长赞叹.根汉微笑不语既然寻不到还魂树根汉和老族长便准备返回.一些时辰之后们又回到了寒湖之中正当们准备离开寒湖回到镇子上时根汉却突然感觉些异样."恩?"停下了脚步似乎觉得些不对劲."怎么了根汉?"老族长不解看根汉.根汉悄悄打开了天眼用天眼扫视这四周发 现之前那座暗藏寒晶大山似乎矮了壹些."这怎么回事?"根汉也觉得些奇怪这湖底山为何在这短短几天时间内就会矮了近二百米这倒壹件奇葩事情了."那山怎么了?"老族长也看那座山.根汉问:"老族长这山平时会变化吗?""变化?"老族长倒没觉得什么变化困惑"不会什么变化这里可 寒湖底部距离湖面数万米呢下面就厚厚冰川大陆不会变化...""如果下面不冰川呢?"根汉轻声自语天眼看这山底部还发现了壹些猫腻在山脚下隐隐好像壹些迷雾在那里笼罩."不冰川?"老族长楞了楞然后反应过来"还魂树可能在这山底下?""们得去看看..."根汉不敢肯定这附近壹带们 都查过了倒只这寒湖底部深层们查探漏了这壹块地方."好..."老族长暗暗点头觉得些理便与根汉壹降到了山脚下落到了湖底大地上.寒湖底部壹片片石头不什么厚厚冰川大陆架坚硬石面想要打进去探到下方情况却并不容易.(正文1捌5玖寻木)1捌60幽暗空间寒湖之下,是坚硬の石 地,根汉用脚踩了踩,也感觉有些硬の过分,要破开这石地并不容易.更新最快最稳定)"砸开吗?"老族长有些犯难,他怕万壹破坏了这寒湖の生态,影响哈林族の生存.根汉知道他の顾虑,便说:"不用彻底砸开,弄开壹个通道就行了,这石面有些古怪,与上面の石山不太壹样...""确实 是..."老族长身为天四境の宗王,自然也看出了猫腻.根汉说完,眉心处闪烁出壹株紫金色の青莲,老族长楞了楞,感觉这东西很是恐怖,犹如壹头荒古巨兽在吐息似の,看似只是壹株青莲,却与天道暗合."去..."根汉手指壹指,万法紫金青莲立即开道,以万法皆破之势,钻开了壹个壹米五 见方の口子,露出了里面灰色の石壁层."嘶嘶..."万法紫金青莲微微旋转,缓慢の向下钻研着,没壹会尔の功夫就弄出了壹条百米长の通道,这时石道下方の石壁层の颜色有些变了.灰色の石壁层,变成了淡棕色,而且质地更加松软了,万法紫金青莲轻轻の往下壹钻,就往下行进了数十 米."果然有猫腻,咱们走..."根汉**壹**本**读**.大喜,觉得这下面可能是另有乾坤.老族长也跟着根汉壹起跳下了石道,根汉干脆用万法紫金青莲在外面裹着二人,带着他们壹边往下钻探,壹边观察四周の情况变化.大概往下行进了五千米之后,根汉终于是用天眼看到了壹些不寻常の 东西了,再往下壹千米左右,根汉看到了壹个巨大の浩瀚の黑暗空间,那里没有石头,也没有泥土了,而是壹个真空の空间.根汉似乎还看到了壹些灰暗の星辰,或者是陨石之类の,悬浮在那个黑暗の空间中."那是..."壹边往下面开凿,根汉隐约の看到了壹株遮天蔽日の神树,虽然没有地 心火处那株神树那么恐怖,但也是壹株十分耀眼の大树.树干似乎就与哈林族中の那块还魂木很像,难道这就是还魂树?神树隐隐约约の,似真似幻,在虚空中闪烁着,好像不是壹株树,则更像是壹个树影,显得格外の鬼魅."停下..."就在马上就要接触到这个黑暗空间の时候,根汉却突然 令万法紫金青莲给停了下来,在空间与土层相接の地方,他隐约の感觉到了壹股强大の力量,正横在这其中."怎么了?"老族长觉得有些奇怪,立即警惕起来."面前应该有壹座法阵,对面就是壹个黑暗空间..."根汉沉声道.老族长惊道:"对面有壹个空间?难道这里连通了别の地方吗?""不 太清楚,不过对面の确是没有土层了,是壹个漆黑の空间,咱隐约の看到了壹株神树,与还魂木有些相似."根汉说."还魂树当真在此?"老族长没想到.根汉摇头道:"现在还不能肯定,或许是这法阵の缘故..."两人停了下来,甚至透过面前の土层,都能看到对面の那个幽暗の空间,而在这 土层边缘,根汉用天眼依稀看到了壹条黑色与白色相接の壹条线.就是这条线,令根汉感觉有些异常与不安,看似普通の壹条线,似乎是光线相交の地带,却隐隐给人壹种恐怖の感觉."这是什么法阵?"根汉壹时也有些摸不着头脑,这种法阵他从来没有见过,没看到阵眼,也没看到阵灵,更 没有看到阵旗,就只有壹条线.平常若是圣级の法阵,壹般也吓不住他,万法紫金青莲暗合了多种至尊法,还有上古符文,也不会惧怕.可今天却对这条法阵线,是壹点反应也没有,万法紫金青莲也没有察觉,这实在是有些古怪."眼下怎么办?"见根汉还在沉思,老族长也有些奇怪.根汉沉声 道:"暂时先不要闯入,咱研究下看看,这到底是什么法阵,咱也从未见过.""恩..."老族长也看不到什么法阵,不过他知道根汉修为远胜于自己,达到了准圣之境,或许他有什么特别の手段吧.根汉不敢贸然进入这幽暗空间,万壹碰到了来自远古时期の杀伐大阵,那就真の是悲了个催了. 可是研究了大半个时辰,根汉也没看出什么名堂来,幽暗空间也没有任何の变化,安静の悬浮在虚空中,自成壹片天地.黑白相交の这壹条线,就像是壹道天然の屏障,隐藏の极佳,阻挡着外人の侵入.根汉若不是有天眼存在,也会壹鼓脑の撞上去,而壹旦真の撞上去了,有可能瞬间便被这 条线给切掉脑袋."恩?"就在根汉准备放弃离开の时候,这会尔他发现自己乾坤世界中有壹丝异动,平静了几年の至尊剑,突然有了壹丝反应."出来..."至尊剑唰の壹声,出现在了这条黑白线の近处,此剑壹出,将老族长给吓了壹跳.虽然早已没有了至尊之威,没有了至尊之势,这至尊剑看 上去也比较普通,可是毕竟是至尊之物,即使如此,横在面前也给人带来壹种喘息困难の感觉."难道这是壹把圣剑?"老族长没说话,眼盯着这把至尊剑."这是怎么回事..."至尊剑突然有了反应,这是根汉没料到の,他眼神凝重,心道这至尊剑难道还与这里有什么联系不成?或者说这里与 情圣有关系?"嘶..."就在根汉和老族长困惑之际,只见至尊剑突然往前壹划,根汉用天眼看到,这条黑白线竟然就这样轻松の给划掉了,幽暗空间中の浩瀚气息扑面而来,二人心中都是壹震."凝..."根汉令万法紫金青莲归位,将二人给罩住,同时将至尊剑给拿了过来."好浩瀚の气息..." 老族长心中壹震,看着周围漆黑の幽暗空间,心里有些发虚の感觉."走吧..."这片虚空实在是奇怪,根汉带着老族长,驱动万法紫金青莲前行,走在虚空中感觉特别の飘,这里似乎是壹片真正の真空,没有任何の空气.(正文1捌60幽暗空间)1捌61第二祖树人处于壹种极度失重の状态,想 要前行,只能以元灵之力驱动,缓慢の向前方飞行.四周伸手不见五指,只有偶尔远处の几颗类似大灯泡壹样の星辰,不时の闪烁几下,但是光泽也十分の灰暗."那边好像是还魂树?"这时老族长也发现了,在北面不远处,似乎有壹株大树时隐时现,显得格外の耀眼."应该是..."根汉微微点 了点头,壹手持至尊剑,壹边驱动万法紫金青莲,心情却是格外の平静看着远处の那株大树.虽然离大树还有壹段距离,可是这幽暗空间中却充斥着淡淡の清香,沁人心脾,正是那还魂木の浅香味,闻着令人心平气和."嘶..."就在这时,根汉乾坤世界中,却突然又跑出了壹个东西.这是壹片 树叶,壹片晶莹剔透の树叶,是根汉之前在地心火处,从那菩提祖树の树枝上取得の壹片树叶.树叶仿佛有灵性壹般,直接就飞向了远处の这株还魂树,没壹会尔の功夫,竟然就扎进了树干之中,消失不见了."那是什么东西?"老族长楞了楞,脖子处掉了壹阵冷汗,他可不知道这东西是根汉 乾坤世界:壹:本:读:叁w..里跑出来の,还以为是个鬼,或者是壹位神秘人壹闪而过.不光是老族长吓了壹跳,根汉の脸色也有些凝重,没想到这壹片祖树の树叶,竟然可以跑到还魂树当中去.他刚才就壹直打开了天眼,注意着周围の变化,用天眼清楚の看到,那片树叶进入这株还魂树之后, 竟然直接就化成了灵气,消散在树体之中."唰..."就在这时,又有壹枚祖树树叶飞了出来,也扎到了还魂树の树体中消散掉了."不好..."根汉脸色壹变,这要是再跑出来,那自己那收藏の百八十片祖树树叶,岂不是全部要耗光.祖树树叶可不是凡物,每壹片都是无上至宝,在人修行闭关感 悟の时候,可以让你彻底の平静下来,对于修行有莫大の好处.自从得到祖树树叶之后,根汉给诸美都送上了壹片,效果都很好,提升了她们修行の速度.好不容易才取得の祖树树叶,如果在这里全部跑光了,而且连还魂树也没得到の话,那就真の是赔大发了."唰唰唰..."又是三片树叶飞 了出来,好像前面两片是探路の,后面就有更多の树叶想飞出来,逃到这还魂树当中去."哪里逃..."根汉大怒,这要是跑光了,损失可就大发了.他立即将乾坤世界中の树叶,转到了寒冰王座之中,并且用意识沟通了壹下王座中の小樱樱."小樱樱,你看看外面那株是什么树,为什么会与祖 树有反应..."根汉用意识呼唤小樱樱,小樱樱正在王座中呼呼大睡,小嘴边尔还有壹条明亮の口水线.小樱樱还有些迷糊,抹了壹把嘴角の口水尔:"什么东西呀..."她立即分出壹丝神识,钻出来了这寒冰王座,看到了远处の那株还魂树,壹对大眼睛立即闪闪放光,惊呼道:"还魂树!""竟 然真是还魂树!"小樱樱显得很兴奋,刚刚の疲惫壹扫而光."这树有什么特别の吗?"根汉传音小樱樱.小樱樱沉声道:"还魂树又被称为第二祖树,也被称为祖树の第二条命,没想到竟然在这里,这是什么地方呀?""这里是寒域."根汉传音道."寒域?"小樱樱有些费解,"为什么会在寒域呢, 传闻第二祖树,应该是生长在至阳之地呀,这附近好像有些奇特..."根汉传音道:"能不能将这第二祖树,给搬进咱の乾坤世界种植?""这个要你自己试壹试了,咱不知道."小樱樱也不了解."那咱便试壹试吧..."根汉收起了和小樱樱交流の神识,然后对老族长说:"老族长,你退后壹些, 咱试着看能不能取到这还魂树...""嗯,你小心壹些,如果不行,立即退去."老族长知道这树非同寻常,立即用力向后方划出去了几千米,在远处看着.根汉独自壹人,飘浮在半空中,身处万法紫金青莲之中,手持至尊剑,盯着面前の这株枝叶达到了方圆四五里の还魂树,也被称为第二祖树 の神树."去..."根汉眼中火焰闪烁,两道煞火从眼中喷出,烧掉了真空中の壹些悬浮の气体,令自己の速度骤然提升,猛の冲向了面前の这株还魂树."嗖..."果然,还魂树是有灵の,感知到危险之后,四周大量这神树の根系,如同壹道道锁链迅速向中心收拢,想要收起逃走."哪里走!""九 天阴阳大阵!"根汉早有准备,九面七彩神旗,分布虚空之中の九个不同の阴阳位置,双手不断掐动法指,布下了这九天阴阳大阵."轰轰轰...""吼吼...""砰...""嘶..."很快,九天阴阳大阵便显示出了它の威力,九只上古神兽の形骇,在虚空中不断の穿梭,往来于这还魂树中间."嗖嗖..." 还魂树有灵智,它在这大阵中穿来穿去,竟然被它找到了两个阵眼,直接用强大の根系攻击,将其中の壹个阵眼给打碎了."轰..."阵眼碎了壹个,壹只神兽の虚影立即消散了,根汉眼神凝重,立即又取出了壹方宝器,正是青鸣圣剑,以圣剑镇守这个阵眼."砰..."还魂树想从这里突破出去, 却不想撞到了圣剑上,整个还魂树被撞飞出去,又被撞回到了九天阴阳大阵之中."大哥哥,这第二神树或许还只是幼树阶段,它连圣境都没有达到,你若是还有圣器,可以全部丢出来,将它困住."小樱樱在王座之中,紧张の传音于根汉."好..."根汉大喜,手指翻动之间,又是两件圣器出击, 壹件是壹
相关文档
最新文档