信号与系统—离散时间信号与系统的Z域分析

ri
i1 1 pi z 1
各部分分式的系数为
ri (1 pi z 1)F (z) z pi
2. 有理真分式，分母多项式在z=u处有l阶重极点
nl
F(z)
i1
1
ri pi z 1
l i1
qi (1 uz1)i
qi
1 (u)li (l
d l i i)! d(z 1)li
(1 uz1)l F(z)
B (1 2z1)2 F(z) z2 1
A
1 (2)
d dz 1
[
F
(
z
)(1
2
z
1
)
2
z2
2
f [k] [2 2k (k 1)2k 4 4k ]u[k]
复根时部分分式展开, 可以直接利用
sin(0
k
)u[k
]
Z
1
2
sin 0z1 z1 cos0
z
2
sin(0 (k
1))u[k]Z
N 1
F(z)
k 0
z k
1 zN 1 z 1
z 0
二、收敛域（ROC)
右边序列
F(z) f [k]zk k N1
ROC
例：f [k] aku[k]
F(z)
k 0
ak zk
1 1 az1
z Rf
Im(z)
ROC : z a
Rf
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{[k]} 1, z 0
z2F (z) z1 f [1] f [2]
例：F(z)=1/(za) |z| a 求f [k]。
解：
F(z)
z 1
1
1 az 1
由因果序列的位移特性
f [k] Z 1{F (z)} ak1u[k 1]
3.指数加权特性
ak f [k]Z F (z / a)
z aRf
s
in(0k
)u[k
由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应
解：令k=k2, 则差分方程可改写为
2y[k] 3y[k 1] y[k 2] f [k] f [k 1] f [k 2] 对差分方程两边做z变换
2Y (z) 3(z1Y (z) y[1]) (z2Y (z) y[1]z1 y[2]) (1 z1 z2 )F (z)
n
f1[n]Z{ f2[k n]}
n
F2 (z) f1[n]zn F1(z)F2 (z)
n
k
例：Z{ f [n]}
n0
F(z) Z{ f [k]u[k]} 1 z 1
6. 初值与终值定理
f [0] lim F(z)
z
f [] lim(z 1)F(z)
z1
应用终值定理时，只有序列终值存在，终值定理才 适用。
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性 • 离散时间系统的模拟
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
k 1
Z[ f [k 2]u[k]} Z{ f [(k 1) 1]u[k]} z(Z{ f [n 1]} f [1]) z 2 F (z) z 2 f [0] zf [1]}
Z[ f [k 1]u[k]} z1F (z) f [1] Z{ f [k 2]u[k]} z1Z{ f [k 1]u[k]} f [2]
(k 1)aku[k]Z
1 (z) (1)(a)(1)z 2
1 az 1
(1 az 1 )2
1 k] f 2[k] F1 (z)F2 (z) |z|>max(Rf1, Rf2)
证：Z{ f1[k] f2[k]} Z{ f1[n] f2[k n]}
3y[1] y[1]z1 y[2] 1 z1 z2
Y(z)
2 3z 1 z 2
2 3z1 z2 F (z)
零输入响应为
Yx
(
z)
3
y[1] y[1]z1 2 3z 1 z 2
y[2]
2
5 3z
2z 1 1 z 2
3 1 z1
1
0.5 0.5z 1
yx[k] Z 1{Yx (z)} [3(1)k1 (0.5)k1]u[k]
3
3sin( / 3) 3sin( / 3)
离散时间信号Z域分析小结
• (1) Z变换与拉普拉斯变换的关系 • (2) 单边Z变换的定义与收敛域 • (3) Z变换的性质 • 注意：因果序列和非因果序列的位移特性 • (4) 部分分式法进行Z反变换
离散时间系统响应的Z域分析
解微分方程
时域差分方程
因果序列的位移 f [k n] znF(z) 非因果序列的位移
f [k] f [k 1]
ROC = Rf
f [k 2]
0
k
0
k
0
k
证：
Z{ f [k 1]u[k]} z(F(z) f [0])
Z{ f [k 1]u[k]} f [k 1]zk f [k]z(k1)
k 0
k 1
z f [k]zk z(F(z) f [0])
系统函数H(z)与系统特性
• 系统函数
系统函数的定义 H(z)与h[k]的关系 Z域求零状态响应 求H(z)的方法
• 零极点与时域特性 • 离散系统的稳定性
一、系统函数
(1)定义：系统在零状态条件下，输出的z变换式 与输入的z变换式之比，记为H(z)。
H (z) Z{y f [k]} Yf (z) Z{ f [k]} F (z)
f [k] (3)k u[k]z F (z) 1 1 3z 1
零状态响应为
Yf
(z)
1 (1 2z 1)2 (1 3z 1)
1.6 (1 2z 1 )2
1
0.96 2z 1
1
1.44 3z 1
yf[k]=[3.2k(2)k1+2.56(2)k+1.44(3)k]u[k]
[例2]已知一LTI离散系统满足差分方程 2y[k 2] 3y[k 1] y[k] f [k 2] f [k 1] f [k] k 0 y[1] 2, y[2] 1, f [k] u[k]
时域响应y[k]
Z Z
变 换
反 变 换
Z域代数方程
Z域响应Y(z)
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用
Z{y[k 1]u[k]} z1Y (z) y[1] Z{y[k 2]u[k]} z2Y (z) y[1]z1 y[2] Y (z) a1z 1Y (z) a1 y[1] a2 z 2Y (z) a2 y[2] a2 y[1]z 1
zu ,
i 1,l
3. 假分式
F ( z)
mn
i1
ki z i
B1(z 1) A(z 1)
多项式
有理真分式
例:
F
(z)
(1
1 2z1)2 (1
4 z 1 )
z 4, 求f [k]
解:
F(z)
A 1 2z 1
B (1 2z 1 )2
C 1 4z 1
C (1 4z1)F(z) z4 4
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
k
k
Fs (s) L[ fs (t)] f (kT)eksT k
令esT z, 有
L{ fs (t)} f [k]zk F(z) k
S域到Z域的映射关系： z esT
双边Z变换定义
双边Z变换 Z反变换：
五、反Z变换
f [k] 1 F (z)zk1dz
2j c
C为F(z) 的ROC中的一闭合曲线。
Re s{F (z)z k1}zzi zi为F(z)zk1在C中的极点
i
计算方法： •幂级数展开和长除法 •部分分式展开 •留数计算法
部分分式法进行Z反变换
1. 有理真分式，分母多项式无重根
n
F(z)
1
sin 0 2z 1 cos 0
z 2
例：F (z)
z2 z2 a2
,
z
a,
求f [k]
解:
F
(z)
1
1 (z /
a)
2
F1
(
z)
1
1 z
2
f1[k] sin( 2 (k 1))u[k]
由指数加权性质
f [k] ak cos( k)u[k]
2
例：F (z)
1 (1 2z 1)(1
z 1
1
Yf (z)
b0F b1z1 1 a1z1 a2 z2
F(z)
y[k] Z 1 Yx (z) Yf (z)
[例1]：y[k]4y[k1]+4y[k2]=4(3)ku[k] y[1]=0 ，y[2]=2，求yx [k]、yf [k]、y[k]。
解: Y(z)4{z1Y(z)y[1]}+4{z2Y(z)+z1y[1]+y[2]}=4F(z)
]
1
2
sin 0 z1 z1 cos0
z
2
z 1
k
sin(0k
)u[k
]
1
2(
z