任意角和弧度制及任意角的三角函数课件
任意角和弧度制PPT课件
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
一轮复习三角函数PPT课件
[自主解答] (1)∵在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角 是π3，∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为
α|α＝π3＋kπ，k∈Z. (2)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)， ∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π⇒－37≤k＜178，k∈Z.
[备考方向要明了]
考什么 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进
行弧度与角度的互化． 3.理解任意角三角函数(正
弦、余弦、正切)的定 义．
1.三角函怎数么的定考义与三 角恒等变换等相结 合，考查三角函数
求 值问 题，如2008
年 高考T15等.
[归纳
1．角的有关概念
知识整合]
角的特点
三角函数线
有向线段 ____ 有向线段____ 有向线段____
MP
OM
AT
为正弦线
为余弦线
为正切线
[探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么 意义？
提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝 对值，方向表示三角函数值的正负．
[自测 牛刀小试] 1．(教材习题改编)下列与94π的终边相同的角 α 的集合为___．
解析：∵94π＝94×180°＝360°＋45° ∴与94π 终边相同的角可表示为 k·360°＋45°(k∈Z)
答案：{α|α＝k·360°＋ 45°(k∈Z)}
2．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0， 则角θ的终边一定落在第________象限． 解析：由sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第 四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ＜0， 可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的
2．弧度的概念与公式
任意角弧度制及任意角的三角函数文科一轮复习课件
•答 •思维升华 案
•题型分类·深度剖析
• 题型一
•角及其表示
•思维启迪 •解 析
•答 •思维升华 案
•题型分类·深度剖析
• 题型一
•角及其表示
•思维启迪 •解 析
•答 •思维升华 案
•题型分类·深度剖析
• 题型一
•角及其表示
•思维启迪 •解 析
•答 •思维升华 案
•第一、二 •象限或y轴的非负半轴上
•3 •4 •5 •6 •7 •8
•9 •10
•练出高分
•1
•B组 专项能力提升
•2
•3
•4
•5
•练出高分
•1
•B组 专项能力提升
•2
•3
•4
•5
•练出高分
•1
•B组 专项能力提升
•2
•3
•4
•5
•B
•练出高分
•1
•B组 专项能力提升
•2
•3
•4
•5
•B
•练出高分
•1
•B组 专项能力提升
•2
•练出高分
•1 •2
•A组 专项基础训练
•3 •4 •5 •6 •7 •8
•9 •10
•练出高分
•1 •2
•A组 专项基础训练
•3 •4 •5 •6 •7 •8
•9 •10
•练出高分
•1 •2
•A组 专项基础训练
•3 •4 •5 •6高分
•1 •2
•A组 专项基础训练
•扇形的弧长、面积公式的应用
•思维启迪
•解析
•思维升华
•题型分类·深度剖析
•1 cm
•2 •1 cm2
《任意角和弧度制》三角函数PPT教学课件(第一课时任意角)
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．( × ) (2)终边相同的角一定相等．( × ) (3)锐角都是第一象限角．( √ ) (4)第二象限角是钝角．( × )
栏目 导引
第五章 三角函数
3．终边在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S＝________． 解析：由题意可知，终边在直线 y＝－x 上的角有两种情况： ①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}． 综合①②可得，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝ 135°＋k·180°，k∈Z}． 答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
栏目 导引
第五章 三角函数
2.如图，α，β 分别是终边落在 OA，OB 位置上的两 个角，且 α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角 γ 的集 合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在 0°～360°范围内 的角的集合． 解：(1)因为与角 β 终边相同的一个角可以表示为－45°，所以 阴 影 部 分 (不 包 括 边 界 )所 表 示 的 角 的 集 合 为 {γ|k·360 ° － 45 ° <γ<k·360°＋60°，k∈Z}． (2){θ|0°≤θ<60°或 315°<θ<360°}．
别是( )
第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
第1讲任意角和弧度制、三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.任意角(1)任意角包括正角、负角和零角.(2)象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在□1第几象限，就说这个角是第几□2象限角；如果角的终边在□3坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝□4{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于□5半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是一个□6正数，负角的弧度数是一个□7负数，零角的弧度数是□80.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝□9(180π)°弧长公式弧长l＝□10|α|r扇形面积公式S＝□1112lr＝□1212|α|r2扇形的弧长公式、面积公式中角的单位要用弧度，在同一式子中，采用的度量制必须一致.3.任意角的三角函数(1)概念：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝□13y，cosα＝□14x，tan α＝□15y x(x ≠0).(2)概念推广：三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝□16y r ，cos α＝□17x r ，tan α＝□18y x(x ≠0).常用结论1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.象限角与不属于任何象限的角(1)(2)(3)3.重要不等关系：若α∈(0，π2)，则sin α<α<tan α.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.()(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2.回源教材(1)67°30′化为弧度是()A.3π8B.38C.673π1800D.6731800解析：A 67°30′＝67.5×π180＝38π.(2)已知α是第一象限角，那么α2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角解析：D 易知2k π＜α＜π2＋2k π，k ∈Z ，故k π＜α2＜π4＋k π，所以α2是第一或第三象限角.(3)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝.解析：由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝5（－12）2＋52＋－12（－12）2＋52＝513－1213＝－713.答案：－713任意角及其表示例1(1)(多选)若α是第二象限角，则()A.－α是第一象限角B.α2是第一或第三象限角C.3π2＋α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上解析：BD因为α是第二象限角，所以可得π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z .对于A ，－π－2k π<－α<－π2－2k π，k ∈Z ，则－α是第三象限角，所以A 错误.对于B ，可得π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，所以B 正确.对于C ，2π＋2k π<3π2＋α<5π2＋2k π，k ∈Z ，即2(k ＋1)π<3π2＋α<π2＋2(k ＋1)π，k ∈Z ，所以3π2＋α是第一象限角，所以C 错误.对于D ，π＋4k π<2α<2π＋4k π，k ∈Z ，所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，所以D 正确.故选BD.(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：C当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样.故选C.反思感悟1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°.(3)最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合.2.象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角.训练1(1)把－380°表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，则θ的值可以是()A.π9B.－π9C.8π9D.－8π9解析：B∵－380°＝－20°－360°，∴－380°＝(－π9－2π)rad ，故选B.(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为.解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个，即π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个，即－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为{－5π3，－2π3，π3，4π3}.答案：{－5π3，－2π3，π3，4π3}弧度制及其应用例2已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝π3，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.解：(1)因为α＝π3，R＝10cm，所以l＝|α|R＝π3×10＝10π3(cm).(2)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5cm时，S取得最大值，此时l＝10cm，α＝2.(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝2π3cm，所以S弓形＝12×2π3×2－12×22×sinπ3＝(2π3－3)(cm2).反思感悟应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，或用基本不等式解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.训练2如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮涌”，整个会徽象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设弧AD 的长度是l 1，弧BC 的长度是l 2，几何图形ABCD 的面积为S 1，扇形BOC 的面积为S 2，若l 1l 2＝2，则S1S 2＝()图1图2A.1B.2C.3D.4解析：C 设∠BOC ＝α，由l 1l 2＝2，得OA ·αOB ·α＝OA OB ＝2，即OA ＝2OB ，∴S1S 2＝12α·OA 2－12α·OB 212α·OB 2＝OA 2－OB 2OB 2＝4OB 2－OB 2OB 2＝3.故选C.三角函数的定义及其应用三角函数的定义例3(1)(2024·哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为()A.－65 B.1C.2D.3解析：A由（－3）2＋42＝5，得sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43，代入原式得45－（－35）－11＋（－43）＝－65.(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是()A.(1，3)B.(－1，3)C.(－3，1)D.(－3，－1)解析：B由三角函数定义知，cos 23π＝x P |OP |＝－12，sin 23π＝y P |OP |＝32，所以x P ＝－1，y P ＝3，即P 的坐标是(－1，3).三角函数值的符号例4(1)点P (sin 100°，cos 100°)落在()A.第一象限内B.第二象限内C.第三象限内D.第四象限内解析：D因为sin 100°＝sin(90°＋10°)＝cos 10°＞0，cos 100°＝cos(90°＋10°)＝－sin 10°＜0，所以点P (sin 100°，cos 100°)落在第四象限内.(2)已知sin θ＜0，tan θ＜0，则角θ的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D 由sin θ＜0，tan θ＜0，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，可得角θ的终边位于第四象限.反思感悟1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练3(1)(多选)已知角α的终边与单位圆交于点P (35，m5)，则sin α的值可能是()A.45B.35C.－45 D.－35解析：AC由题意可得sin α＝m 5（35）2＋（m 5）2＝m 32＋m 2＝m5，解得m ＝±4.当m ＝4时，sin α＝45；当m ＝－4时，sin α＝－45.故A ，C 正确，B ，D 错误.(2)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－3)，且θ与α的终边关于x 轴对称，则()A.sin θ＝－217B.α为钝角C.cos α＝－277D.点(tan θ，tan α)在第四象限解析：ACD因为角θ的终边经过点(－2，－3)，所以sin θ＝－37＝－217，故A 正确.因为θ与α的终边关于x 轴对称，所以α的终边经过点(－2，3)，则α为第二象限角，不一定为钝角，且cos α＝－27＝－277，故B 错误，C 正确.因为tanθ＝32>0，tan α＝－32<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D 正确.故选ACD.限时规范训练(二十四)A级基础落实练1.与－2023°终边相同的最小正角是()A.137°B.133°C.57°D.43°解析：A因为－2023°＝－360°×6＋137°，所以与－2023°终边相同的最小正角是137°.2.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋9π4(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)解析：C对于A，B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋9π4(k∈Z)中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为9π4＝2π＋π4与－315°是终边相同的角，故与角9π4的终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)，C正确；对于D，kπ＋5π4(k∈Z)，不妨取k＝0，则表示的角5π4与9π4终边不相同，D错误.3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－31010，则y＝()A.3B.－3C.1D.－1解析：B因为sinθ＝－31010＜0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y＜0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010，解得y＝－3(正值舍去).4.(2024·鹰潭期中)点A(sin1240°，cos1240°)在直角坐标平面上位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D1240°＝3×360°＋160°，160°是第二象限角，所以sin1240°＞0，cos1240°＜0，P点在第四象限.5.(2023·河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为()A.4B.22C.2D.1解析：C设扇形的半径为R(R＞0)，圆心角为α，则12αR2＝4，所以α＝8R2，则扇形的周长为2R＋αR＝2R＋8R≥22R·8R＝8，当且仅当2R＝8 R，即R＝2时，取等号，此时α＝2，所以周长最小时半径的值为2.6.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的序号是()A.②④⑤B.③⑤C.③D.①③⑤解析：C①由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故第二象限角大于第一象限角不正确，即①不正确；②直角不属于任何一个象限，故三角形的内角是第一象限角或第二象限角错误，即②不正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，即③正确；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，即④不正确；⑤若cosθ＜0，则θ是第二象限角或第三象限角或θ的终边落在x轴的负半轴上，即⑤不正确.其中正确命题的序号是③，故选C.7.(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(1，2sinα)，且|α|＜π2，则角α的可能取值为()A.－π3B.0C.π6D.π3解析：ABD因为角α的终边上有一点P(1，2sinα)，所以tanα＝2sinα，所以sinαcosα＝2sinα，①若α＝0，则sinαcosα＝2sinα成立；②若α≠0，则cosα＝12，因为|α|＜π2，所以α＝π3或α＝－π3.8.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为.解析：因为r＝64m2＋9，所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，所以4m264m2＋9＝125，因为m＞0，解得m＝12.答案：1 29.α为第二象限角，且|cosα2|＝－cosα2，则α2在象限.解析：∵α为第二象限角，∴α2为第一或第三象限角，又|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2＜0，∴α2在第三象限.答案：第三10.若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝.解析：∵角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，∴α为第二象限角，且tan α＝－512，即sin α＝－512cos α.∴sin 2α＋cos 2α＝(－512cos α)2＋cos 2α＝1，解得cos α＝－1213.∴sin α＝－512cos α＝－512×(－1213)＝513.∴2cos α＋sin α＝2×(－1213)＋513＝－1913.答案：－191311.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(含边界)的角θ的集合是.解析：由题图，终边OB 对应角为2k π－π6且k ∈Z ，终边OA 对应角为2k π＋3π4且k ∈Z ，所以阴影部分角θ的集合是[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z .答案：[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z12.已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的周长为.解析：设扇形的半径为R，利用扇形面积计算公式S＝12×23πR2＝3π，可得R＝3，所以该扇形的弧长为l＝23π×3＝2π，所以周长为l＋2R＝6＋2π.答案：6＋2πB级能力提升练13.(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m＞0)，则下列各式的值一定为负的是()A.sinα＋cosαB.sinα－cosαC.sinαcosαD.sinαtanα解析：CD因为角α终边经过点P(－1，m)(m＞0)，所以α在第二象限，所以sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，如果α＝23π，所以sinα＋cosα＝32－12＞0，所以选项A不满足题意；sinα－cosα＞0；sinαcosα＜0；sinαtanα＜0，故CD正确.14.(2023·长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强相互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段AB，AC和圆的优弧BC围成，其中AB，AC恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点A到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为()A.3＋2π3 B.23＋2π3C.23＋π3D.3＋π3解析：A 如图，设圆弧所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，依题意得OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，且OB ＝OC ＝1，OA ＝2，则AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝π3，所以∠BOC ＝2π3，所以该封闭图形的面积为2×12×3×1＋12×(2π－2π3)×12＝3＋2π3.15.(2024·牡丹江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (35，45)，将线段OA绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 的横坐标为.解析：易知A (35，45)在单位圆上，记终边在射线OA 上的角为α，如图所示，根据三角函数定义可知，cos α＝35，sin α＝45；OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则终边在射线OB 上的角为α－π3，所以点B 的横坐标为cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝3＋4310.答案：3＋431016.若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是.解析：由题意可得α－cos α＞0，α＞0，∈[0，2π），α＞0，∈[0，2π），可得α∈(0，π2)或α∈(π，3π2)，当α∈(0，π2)，即α为第一象限角，则sin α＞0，cos α＞0，∵sin α－cos α＞0，则tan α＞1，∴α∈(π4，π2)；当α∈(π，3π2)，即α为第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，∵sin α－cos α＞0，则0＜tan α＜1，∴α∈(π，5π4)；综上所述，α∈(π4，π2∪(π，5π4).答案：(π4，π2)∪(π，5π4)。
高三数学第三章第1课时优质课件
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π 4π (2)在 0～2π 范围内，终边在直线 y＝ 3x 上的角有两个： ， . 3 3 π 因此，终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为{α|α＝ ＋2kπ，k∈Z} 3 4π π ∪{α|α＝ ＋2kπ，k∈Z}＝{α|α＝ ＋kπ，k∈Z}． 3 3 (3)∵θ＝168° 360° ＋k· (k∈Z)， θ ∴ ＝56° 120° ＋k· (k∈Z)． 3 ∵0° <56° 120° ＋k· <360° ， θ 故在 0° ～360° 范围内终边与 角的终边相同的角是 56° 176° 296° ， ， . 3
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(1)∵角 α 是第三象限角， 3π ∴π＋2kπ<α< ＋2kπ(k∈Z)， 2 3π ∴－ －2kπ<－α<－π－2kπ(k∈Z)．① 2 ∴－α 终边在第二象限． π 又由①各边都加上 π，得－ －2kπ<π－α<－2kπ(k∈Z)． 2 ∴π－α 的终边落在第四象限． 同理可知，π＋α 的终边落在第一象限． 【解】
k ∈ Z. ∴ 当 角 α 的 终 边 在 坐 标 轴 上 时 ， 可 表 示 为 k· 90° ，
k∈Z.故选C.
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4．已知sin θ<0，tan θ>0，那么θ是第________象限角．
解析：∵sin θ<0，
∴θ在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上， 又tan θ>0，∴θ在第一或第三象限，∴θ在第三象限． 答案：三
象限角 轴线角 ②按终边位置不同分为__________和__________.
(2)终边相同的角 终 边 与 角 α 相 同 的 角 可 写 成 α ＋ k· 360°(k ∈ Z) 或 α ＋ k· 2π(k∈Z)．
高中数学精品课件：任意角三角函数
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (3)角 α 终边上点 P 的坐标为(－12， 23)，那么 sin α＝ 23，cos α＝－12； 同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0，y0)，那么 sin α＝y0，cos α＝x0.( × ) (4)α∈(0，π2)，则 tan α>α>sin α.( √ ) (5)α 为第一象限角，则 sin α＋cos α>1.( √ )
B.k·360°＋94π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋54π(k∈Z) 解析 与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z) ，
但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.
1 2 3 4 5 解析答案
3. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长
解析答案
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角：
解
2R＋Rα＝10 由题意得12α·R2＝4
⇒Rα＝＝81，
R＝4， (舍去)，α＝12.
故扇形圆心角为12.
解析答案
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？ 解 由已知得，l＋2R＝20. 所以 S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10，α＝2.
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第十六讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
当且仅当
4
, 即 2( 2舍去)时, 扇形面积有最大值.
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[解] (1)由α是第三象限角得 3 π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z) 2 3 -2kπ<-α<-π-2kπ(k∈Z).
2
即
+2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z). 2
∴-α的终边在第二象限; 3 由π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z) 2 得2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z). ∴角2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.
cos(α＋k·2π)＝cosα (其中k∈Z)
tan(α＋k·2π)＝tanα
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12．三角函数线 图中有向线段 MP ， OM ， AT 分别表示正弦线、余弦线和正
切线．
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注意：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成 一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边
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5．弧度制 (1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1弧度的பைடு நூலகம்．以弧
度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符
号是rad，读作弧度． (2)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个 负数，零角的弧度数是0.
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2025年高考数学一轮复习-4.1-任意角和弧度制、三角函数的概念【课件】
（2）当这个扇形的面积取得最大值时，求圆心角的大小和弦 的长.
【解】 因为 ,所以 ,当且仅当 ，即 ， 时，等号成立.故扇形面积的最大值为1，此时 ， .
扇形的弧长、面积问题的解题策略
（1）明确弧度制下弧长公式 ,扇形的面积公式是 （其中 是扇形的弧长， 是扇形的圆心角）.
（2）求扇形面积的关键是已知扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.[注意] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度.
【对点训练】
1.(2022·高考全国卷甲)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图， 是以 为圆心， 为半径的圆弧， 是 的中点， 在 上， .“会圆术”给出 的弧长的近
A. B. C. D.
解析：选C. ，所以 角与 角的终边相同，所以与 角终边相同的角可写作 , .
√
3.若 且 ，则角 所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：选D.若 ,则角 在第三或第四象限，若 ，则角 在第二或第四象限，所以当 且 时，角 在第四象限.故选D.
解析：由题知点 到原点的距离 ，则 ， , .
2. 角是第____象限角.
三
解析：因为 ， ，所以 角是第三象限角.
核心考点 师生共研
02
考点一 任意角与终边相同的角（自主练透）
1.（多选）下列命题中正确的有( )
A. 是第二象限角 B. 是第三象限角C. 角是第四象限角 D. 角是第一象限角
第四章 三角函数
4.1-任意角和弧度制、三角函数的概念
课标要求
考情分析
1.了解任意角、弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
任意角和弧度制、三角函数的概念 高中数学课件 4-1
第四章 三角函数与解三角形§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念考试要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为、 、______按终边位置不同分为和轴线角.(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为 .(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝ .端点正角负角零角象限角－α{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }2.弧度制的定义和公式半径长(1)定义：把长度等于的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示.知识梳理(2)公式角α的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式弧长l ＝____扇形面积公式S ＝ ＝______|α|r3.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.常用结论1.象限角2.轴线角判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)×√×(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角.( )√1.－660°等于√2.某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了－4π______弧度.某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了－720°，即－4π.3.已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝_____.第二部分例1 (1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则A.－α是第一象限角√D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确.延伸探究 若α是第一象限角，则是第几象限角？因为α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，－675°和－315°(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________________.所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)，当k＝－1时，β＝45°－360°＝－315°，当k＝－2时，β＝45°－2×360°＝－675°.思维升华跟踪训练1 (1)“α是第四象限角”是“ 是第二或第四象限角”的√A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件对称，写出一个符合题意的θ＝____________________________.关于y轴对称，例2 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长；(2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角.方法一 由题意知2r＋l＝16，∴l＝16－2r(0<r<8)，∴S的最大值是16 cm2，此时扇形的半径是4 cm，圆心角α＝2 rad.当且仅当l＝2r，即r＝4(cm)时，S的最大值是16 cm2.此时扇形的圆心角α＝2 rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.跟踪训练2 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的).已知OA ＝10，OB ＝x (0<x <10)，线段BA ，CD 与 ， 的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x的函数表达式；BC AD 根据题意，可算得 ＝θx ， ＝10θ.因为AB ＋CD ＋＋ ＝30，所以2(10－x )＋θx ＋10θ＝30， BC AD BC AD(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.√√√所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确.√(3)若sin αtan α<0，且 >0，则角α是√A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角由sin αtan α<0，知α是第二象限或第三象限角，所以角α是第二象限角.思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标. (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.跟踪训练3 (1)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cos α的值是√若α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，(2)sin 2cos 3tan 4的值√A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在∴sin 2cos 3tan 4<0.第三部分1.与－2 023°终边相同的最小正角是√A.137°B.133°C.57°D.43°因为－2 023°＝－360°×6＋137°，所以与－2 023°终边相同的最小正角是137°.√√4.(2023·惠州模拟)如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为√A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限∵点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，∴角θ所在的象限是第二象限.5.(2023·南昌模拟)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400 千米，已知月球半径约为1 738 千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)A.1 069千米B.1 119千米√C.2 138千米D.2 238千米嫦娥五号绕月飞行半径为400＋1 738＝2 138(千米)，6.(2023·丽江模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6 m，内环弧长为1.2 m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2 m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为A.2.58 m2B.2.68 m2√C.2.78 m2D.2.88 m2设扇形的圆心角为α，内环半径为r m，外环半径为R m，则R－r＝1.2(m)，由题意可知，α·r＝1.2，α·R＝3.6，所以α(R＋r)＝4.8，。
三角函数 通用精品课件
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角函数
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第三章
三角函数
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第三章
三角函数
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1．角的有关概念
(1)按旋转方向不同分为 正角、负角、零角 ．
(2)按终边位置不同分为 象限角和轴线角 ． (3)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成 α＋k·360°(k∈Z) ．
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第三章
三角函数
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【思考探究】 (1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？ (2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐 角吗？ 提示： (1)终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍． (2)第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角， 但它们不是锐角．
和角公式Βιβλιοθήκη 倍角公式和半 角公式、积化 和差与和差化 积
正弦定理和余 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量 弦定理 问题．
正弦定理、余 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量 弦定理的应用 和几何计算有关的实际问题. 举例
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三角函数
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第1课时 任意角和弧度制及任意角的三
知识点
考纲下载 1.会用向量知识或三角函数线推导出两角差的余弦公式． 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公 式． 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正 切公式，了解它们的内在联系． 1.能利用两角和的正弦、余弦和正切公式导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、 和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
；
第三章
三角函数
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1．终边与坐标轴重合的角α的集合为( A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°，k∈Z} C．{α|α＝k·90°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
)
解析： 当角α的终边在x轴上时，可表示为k·180°，k∈Z.
当角α的终边在y轴上时，可表示为k·180°＋90°，k∈Z.
答案： D
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第三章
三角函数
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4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为____，面积为______．
3 解析： 弧长l＝3π，圆心角α＝ π， 4 l 3π 由弧长公式l＝α· r得r＝ ＝ ＝4， α 3 π 4 1 面积S＝ lr＝6π. 2
答案： 4 6π
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三角函数
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1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函 函数 y＝ 数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ 对 Asin(ωx＋φ)的 函数图象变化的影响． 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数 图象 模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．
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三角函数
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答案： B
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第三章
三角函数
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2 3．若点P在角 π的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为( 3 A．(1， 3) C．(－1，－ 3) B．( 3，－1) D．(－1， 3)
)
1 2 解析： 根据三角函数的定义，x＝|OP|cos π＝2× －2 ＝－1.y＝ 3
2 3 |OP|sin π＝2× ＝ 3. 3 2 ∴P点的坐标为(－1， 3)．
5．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α为第________象限角． 解析： 当k＝2n时，α＝n·360°＋45°， 当k＝(2n＋1)时，α＝n·360°＋225°， ∴α为第一或第三象限角． 答案： 一或三
工具
第三章
三角函数
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三角函数
∴当角α的终边在坐标轴上时，可表示为k·90°，k∈Z.
答案： C
工具
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2．已知角α的终边经过点( 3，－1)，则角α的最小正值是( A. C. 2π 3 11π B. 6 D. 3π 4
)
5π 6
－1 1 解析： ∵sin α＝ ＝－ ，且α的终边在第四象限， 2 2 11 ∴α＝ π. 6
180 π rad；②1 rad＝ π ° . 180
工具
第三章
三角函数
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(4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，又l＝rα，则扇 形的面积为S＝ 1 1 lr ＝ r2α . 2 2
3．任意角的三角函数 (1)定义：设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝ y ，cos α y ＝ x ，tan α＝ . x
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线
的起点都在
x轴 上，余弦线的起点都是 原点 ，正切线的起点都是 (1,0)．
(3)终边相同角的三角函数值(k∈Z) 公式一：sin(α＋k·2π)＝ sin α ；cos(α＋k·2π)＝ tan(α＋k·2π)＝tan α.
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cos α
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知识点
考纲下载 1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质 (如单调性、 最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，
π π 理解正切函数在区间－2，2内的单调性．
三角函数的图 象与性质
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知识点 任意角的概念与
考纲下载 1.了解任意角的概念．
弧度制、任意角的 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义． 三角函数 1.理解同角三角函数的基本关系式： 2 x＋cos2 x sin 同角三角函数的 基本关系式与诱 导公式 sin x ＝1， ＝tan x． cos x π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α，π±α 2 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
小于90°的角也不一定是锐角，如0°，－30°，都不是锐角．
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第三章
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2．弧度与角度的互化
(1)1弧度的角 在单位圆中， 单位长度的弧 所对的圆心角叫1弧度的角．它
的单位符号是rad，读作弧度．
(2)角α的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝 l 对值是|α|＝ . r (3)角度与弧度的换算 ①1° ＝