高二数学《等差数列》PPT课件
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等差数列(优秀课件)
全国统一鞋号中成年男鞋的各种尺码
（表示鞋底长，单位:cm）分别是：
ห้องสมุดไป่ตู้
23
1 2
，24，24
1 2
，25，25
1 2
，26，26
1 2
，27，27
1 2
，28，28
1 2
，29，29
1 2
，30．
某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.
交流
这三个数列有何共同特征 从第2项起，每一项与其前一项之差等 于同一个常数。
故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.
1.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7， 求数列{an}的公差
2.
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10=
.
3.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ )
A. 1
B. -1
由此得到an a1 (n 1)d (n 2)
当n 1时，上面等式两边均为a1，即等式也成立
等差数列的通项公式为an a1 (n 1)d
2、等差数列的通项公式
思考：已知等差数列{an }的首项为a1，公差为d，求an .
} a2 a1 d，
a3 a2 d，
结论
1、已知等差数列的首项与公差，可求得 其任何一项；
2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n， an四个量中知三求一.
3．等差中项
如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的 等差中项 .
由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
人教版高中数学必修5《等差数列》PPT课件
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式中包含四个量： an、a1、n、d
这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 解：（1）依题意得
a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
解：a8=a1+7d=-1+7×4=27
（2）已知a1=15，an=3，d= -3，求n； 解：∵3=15-3(n-1) ∴n=5
（3）已知a1=8，a6=23，求d； 解：∵a6=a1+5d，即23=8+5d ∴ d=3
（4）已知d=2，a7=9，求a1； 解：∵a7=a1+6d 即9=a1+6×2 ∴a1=-3
拓展：在等差数列{an}中， 若a5=10，a12=31，求a25 。 解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有
d a12 a5 3110 3 12 5 7
∴ a25=a5+20d = 10+20×3=70
练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成 一个等差数列，（1）-1，5； （2）-12，0.
观察并发现：下面数列有什么共同特点？
(1)0,5，10，15，20，25，…
（2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有： 22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，… （3）21，19，17，15，…… （4）3，3，3，3，……
(1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 (2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0.5 (3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2 (4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0
等差数列的通项公式中包含四个量： an、a1、n、d
这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 解：（1）依题意得
a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
解：a8=a1+7d=-1+7×4=27
（2）已知a1=15，an=3，d= -3，求n； 解：∵3=15-3(n-1) ∴n=5
（3）已知a1=8，a6=23，求d； 解：∵a6=a1+5d，即23=8+5d ∴ d=3
（4）已知d=2，a7=9，求a1； 解：∵a7=a1+6d 即9=a1+6×2 ∴a1=-3
拓展：在等差数列{an}中， 若a5=10，a12=31，求a25 。 解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有
d a12 a5 3110 3 12 5 7
∴ a25=a5+20d = 10+20×3=70
练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成 一个等差数列，（1）-1，5； （2）-12，0.
观察并发现：下面数列有什么共同特点？
(1)0,5，10，15，20，25，…
（2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有： 22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，… （3）21，19，17，15，…… （4）3，3，3，3，……
(1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 (2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0.5 (3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2 (4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0
高中数学等差数列教学课件共22张PPT
an - an-1 是不是同一个常数？
（2）9，6，3，0，-3… 是 a1 = 9, d = -3 （3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 a1 = -8, d = 2 （4）3，3，3，3，…
3, d = 0 是 a1=公差可以是正数，负数，也
可以为0 .
（5）15，12，10，8，6，… 不是
代入得：
d =7
a +b A= 2
观察引例中的三组等差数列：
①1，8，15，22 ，29; ②38，40，42，44，46，…; ③25，24.5，24，23.5，23，…;
a +b A= 2
等差数列的性质： 从第二项起每一项都是它的前一项和它的后一项的等 差中项.
（二） 等差数列的通项公式
学生活动： 数列①②③的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ (小组分析讨论)
a20 8 (20 1) (3) 49
an a1 (n 1)d
（2）-401是不是等差数列 -5，-9，-13，…的项？如果是， 是第几项？
- - 5） = -4，得这个数列的通项公式是 解：由 a1 = -5, d = -9 （
an = -5 - （ 4 n -1 ） = -4n -1
1, 8, 15, 22, 29
22 23 24
初七 初八 初九
25
初十
26 27 28
十一 十二 十三
29 30
十四 十五
一个剧场设置了20排座位，这 个剧场从第一排起各排的座位 数组成数列：
38,40,42,44,46,...
全国统一鞋号中，成年女鞋的 各种尺码，由大到小可排列为：
25,24.5,24,23.5,23,...
等差数列(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)
讲授新课
(2020·北京卷)在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记 Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，则数列
{Tn}( )
A.有最大项，有最小项
B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项
D.无最大项，无最小项
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为 d，∵a1＝－9，a5＝－1，
2
讲授新课
知识点二 等差数列的判定与证明
【例 2】若数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝1. 2
1 (1)求证： Sn 成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 当 n≥2 时，由 an＋2SnSn－1＝0，得 Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以S1n－Sn1－1＝2，
石板数为 S3n＝S27＝27×9＋27×26×9＝3 402(块). 2
当堂检测
【方法总结】
1.项的性质：在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap ＋aq. 2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，则 (1) S2n＝n(a1＋a2 n)＝…＝n(an ＋an＋1)； (2)S2n－1＝(2n－1)an. (3)依次 k 项和成等差数列，即 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列. 3.求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负 转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的 等差数列的前 n 项和 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的 性质求最值.
【答案】B
【详解】记 bn
高二数学等差数列的概念及通项公式【公开课教学PPT课件】
等差数列概念及通项公
人教版高二数学
1.全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋底长， 单位是cm）分别是
21，22，23，24，25。
2.某剧场前10排的座位数分别是： 38，40，42，44，46，48，50，52，54，56。
3．某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是： 7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500。
共同特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于 同一个常数。
若等差数列{an }的首项是 ,公差是d, 则据其定 义可得： a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d ……
猜想: a40 = a1 +39d 进而归纳出等差数列的 通项公式： an=a1+(n-1)d 此时指出： 这种求通项 公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法 不够严密.
在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办 法------迭加法： a2 – a1 =d a3 – a2 =d a4 – a3 =d …… an – an-1=d 将这（n-1）个等式左右两边分别an= a1+(n-1) d 当n=1时，（1） 也成立， 所以对一切n∈N＊，上面的公式都成立 因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。 。
人教版高二数学
1.全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋底长， 单位是cm）分别是
21，22，23，24，25。
2.某剧场前10排的座位数分别是： 38，40，42，44，46，48，50，52，54，56。
3．某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是： 7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500。
共同特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于 同一个常数。
若等差数列{an }的首项是 ,公差是d, 则据其定 义可得： a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d ……
猜想: a40 = a1 +39d 进而归纳出等差数列的 通项公式： an=a1+(n-1)d 此时指出： 这种求通项 公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法 不够严密.
在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办 法------迭加法： a2 – a1 =d a3 – a2 =d a4 – a3 =d …… an – an-1=d 将这（n-1）个等式左右两边分别an= a1+(n-1) d 当n=1时，（1） 也成立， 所以对一切n∈N＊，上面的公式都成立 因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。 。
等差数列ppt课件
的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+
d,
2
(−1)
则 =a1+
d= n+a1- ,
2
2
2
因此
反之,乙:
为等差数列,即甲是乙的充分条件;
为等差数列,
+1
即
- =D, =S1+(n-1)D,
+1
即Sn=nS1+n(n-1)D,
Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,
基础诊断·自测
类型
辨析
易错
高考
题号
1
3
2,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差
数列.( × )
提示:(1)第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( √ )
2
a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a4=11,且S3,S5,a22成等差数列,则S10=(
A.145
B.150
C.155
)
D.160
3(1 +3 )
【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,因为a4=11,所以S3=
当n≥2时,两式相减得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,
当n=1时,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,
d,
2
(−1)
则 =a1+
d= n+a1- ,
2
2
2
因此
反之,乙:
为等差数列,即甲是乙的充分条件;
为等差数列,
+1
即
- =D, =S1+(n-1)D,
+1
即Sn=nS1+n(n-1)D,
Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,
基础诊断·自测
类型
辨析
易错
高考
题号
1
3
2,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差
数列.( × )
提示:(1)第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( √ )
2
a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a4=11,且S3,S5,a22成等差数列,则S10=(
A.145
B.150
C.155
)
D.160
3(1 +3 )
【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,因为a4=11,所以S3=
当n≥2时,两式相减得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,
当n=1时,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,
等差数列ppt课件
4．等差中项
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，即A＝
.
注意：在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是
它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1；实际上，等差数列中的 某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m、n∈N*， m<n)．
(1)“从第2项起”也就是说等差数列中至少含有三项． (2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差”． (3)“同一个常数d”，d是等差数列的公差，即d＝an－an－1，d可以为零，当
d ＝0时，等差数列为常数列，也就是说，常数列是特殊的等差数列．
(4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即an＋1 －an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
思考：(1)它们构成数列吗？ (2)算一算从第2项起每项与它的前一项的差，你发现了什么？ (3) 从这些数列中任取一项，如果它既有前项又有后项，算一算它与前后项 之间具有什么关系？ (4)你能用一个递推关系式来表示它们吗？
2．等差数列的定义是怎样的？对于等差数列定义的理解应注意什么？ 定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的 差 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差 数列的公差，公差通常用字母d表示．若公差d＝0，则这个数列为常数列．
3．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d .你会推导吗？
提示：∵数列{an}是等差数列， ∴an－an－1＝d，an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，…，a2－a1＝d. 以上各式的左、右两边分别相加，得an－a1＝(n－1)d， ∴an＝a1＋(n－1)d.
高二数学《等差数列》PPT课件
练习1
判断下列数列是否是等差数列? 如果是等差
数列，说出公差是多少?
（1）1，2，4，6，8
（不是）
（2）2，4，6，8
（是）
（3）1，-1，1，-1
（不是）
（4）0, 0, 0, 0,… （5）1，1/2，1/3，1/4
（是） （不是）
（6）-5，-4，-3
（是）
（7）1, 2, 3, 4,Fra bibliotek..小结：
1、等差数列的概念：
或
2、等差数列的通项公式：
an , a1 , n ,d 这四个变量 ， 知道其中三 个量就可以求余下的一个 量.
课后思考： 课后思考
1. 如果一个数列是等差数列，那么该数 列的通项公式能否写成 （p,q是常数）的形式？
2 .如果一个数列的通项公式能写成 （p,q 是常数）的形式，
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
解：因为 an 是等差数列，它的公差为d.所以有
a2 a1 d
a3 a2 d = (a1 d ) d a1 2d
等差数列的概念PPT优秀课件
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
高中数学等差数列ppt课件
人教版·数学·必修5·第二章《数列》
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
等差数列ppt课件
等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项 ，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项 的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础 概念，对于理解数列、函 数等其他数学概念有着重 要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数 学运算中有着广泛的应用 ，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一 些复杂的数学问题，例如 求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项 和为40，前8项和为64，求这个 等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式 ，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$， 前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个 方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求 和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算 存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02
4.2.1等差数列的概念 课件(共13张PPT)(2024)高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
a, A, b 成等差数列
等差数列填空：
12，
，
，
，
0
探究新知
三.等差数列的通项公式
如果一个数列a1, a2, … , an, …是等差数列,它的公差是d, 那么
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
不
累
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
完
a4-a3=d
加
…
…
全
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
[练习1]等差数列{an }中, 若a1 5, 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a11 a1 10 d 5 10 3 35
[变式]等差数列{an }中, 若a4 14 , 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a4 a1 3d a1 9 14, a1 5.
不是
（6）, , , , …
不是
公差可为正、可为负也可为0
说明：判断数列是不是等差数列,
运用定义：看+ − 是否为
同一个常数.
探究新知
二.等差中项的定义
在如下的两个数之间, 插入一个数使这三个数成为一个等差数列:
(1) 2, ( 3 ), 4
(2) -1, ( 2 ), 5
新课导入
【情景2】 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装
对应的尺码分别是： 34，36，38，40，42，44，46，48
新课导入
【情景3】 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得
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定义：如果一个数列从第 2项 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 项起 第 项起， 项 等差数列。 一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列 一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。 一个常数 同一个常数 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 通常用字母d 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 常数叫做等差数列 表示。 表示。
练习1
d =2
=0
d =12,3,源自4,...（不是） 不是） 不是） （不是）
（8） 1， 2，4，7，11
练习2
填上适当的数， 填上适当的数，组成等差数列
-1 （1） 1，0 , —— ） ， （2）____，2，4 ） 0 ， ， 7 （3）_____,3 ,5 ,____ ） 1 1 (4) –1 ,_____, 3
课后思考： 课后思考： 课后思考
1. 如果一个数列是等差数列，那么该数
列的通项公式能否写成 （p,q是常数）的形式？
an = pn + q
2 .如果一个数列的通项公式能写成 an = pn + q（p,q 是常数）的形式， 那么这个数列是不是等差 数列呢？
等差数列的作业
祝同学们 快乐 自信 成功
3、在等差数列 {an } 中，已知 a4 、
练习４
= 0，
a7 = −6 , 求： 1）a1 = 6 （ ）
（2）an ）
=
−2n + 8
d = -2 ，
；
；
是不是这个数列中的项？ （3）10是不是这个数列中的项？ ） 是不是这个数列中的项 如果是，是第几项？ 如果是，是第几项？如果不是说明 理由。 理由。
等差数列的通项公式 +(nan = a1+(n-1)d 中 ， an , a1 , n ,d 这四个变 量 ， 知道其中三个量 就可以求余下的一个 量.
例题2
在等差数列
{a }
n
a 中， 5 = 10, a12 = 31 ,
求 首项 a1 与公差
解：
d
.
{
a5 = a1 + 4d = 10 a12 = a1 + 11d = 31
解： a1 ∵
因此， 因此，
= −5, d = −9 − (−5) = −4, an = −401 ,
− 401 = −5 + (n − 1) × (−4)
n = 100
an = a1 + (n − 1)d
解得
项是-401. 答：这个数列的第100项是 这个数列的第 项是
例后思考： 例后思考： 例后思考
1、等差数列的概念： 、
an − an−1 = d(n ≥ 2, n ∈ N ）
或
∗
an + 1 − an = d n ∈ N ） （
∗
2、等差数列的通项公式： 、等差数列的通项公式：
an = a1 + (n −1 d )
an , a1 , n ,d 这四个变量 ， 知道其中三 个量就可以求余下的一个 量.
两边都等于a1 ，
a4 = a3 + d = (a1 + 2d ) + d = 当 + 3d1时，等式 a1 n =
a5 = a4 + d = (a1 + 3d ) + d = a1 + 4d
由此可知 an = a1 + (n − 1)d
⋯ ⋯
⋯ ⋯ 公式成立。
∴n ∈ N
等差数列的通项公式
an = a1 + (n −1)d
等差数列
复习
次序 1 .数列： 按一定的次序排成的一列数叫 做数列。 2. 2.写出下列数列的通项公式：
（1） 2，4，6，8… ） （2）1，4，9，16，25，36 … ）
an = 2n
1 1 1 1 − （3）− ，， ， ⋯ ） 2 4 8 16
an = n
2
n
(−1) an = n 2
观察与思考 ：下面的几个数列相邻两项有什么共同点： (1) (2) (3)
练习５
4、等差数列1，-1，-3，-5 ，…，-89，它的 、等差数列 它的 项数是 46
5、在等差数列 {an } 中, 在等差数列 则 a1
= -8
a2 = −5, a6 = a4 + 6,
练习６
a 6、等差数列{an }中， 4 、
则
= 3a1 , ak = 9a1
k = 13
小结： 小结：
2
5，5，5，5，5，5，… ， ， ， ， ， ， 4，5，6，7，8，9，10. ， ， ， ， ， ， 2，0，-2，-4，-6，… ， ， ， ， ，
1 3 2 4 3 n
公差 d=0 公差 d=1 公差 d= -2
n−1 n+1 n
a −a = a −a = a −a =...= a −a = a −a =d
判断下列数列是否是等差数列? 如果是等差 数列，说出公差是多少?
（1）1，2，4，6，8 （2）2，4，6，8 （3）1，-1，1，-1 （4）0, 0, 0, 0,… … （5）1，1/2，1/3，1/4 （6）-5，-4，-3 （7） 1, （不是） 不是） （ 是 ） （不是） 不是） （ 是 ）d 不是） （不是） （ 是 ）
例题1
的第20项 （1）求等差数列 ，5，2，…的第 项。 ）求等差数列8， ， ， 的第
∵ 解： a 1 = 8 , d = 5 − 8 = − 3 , n = 20 ,
∴ a 20 = 8 + ( 20 − 1 ) × ( − 3 ) = − 49
an = a1 + (n − 1)d
例题1
是不是等差数列 ， ， ， （2） –401是不是等差数列 -5，-9，-13，… ） 是不是 的项？如果是，是第几项？ 的项？如果是，是第几项？
通项公式的推导
已知等差数列{ 已知等差数列 an } 的首项是 a1 ,公差是 d . 公差是 a 并试着推导出 写出 a2 、 3 ,并试着推导出 an .
解： 因为
{an } 是等差数列，它的公差为d.所以有
= ( a1 + d ) + d
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d
= a1 + 2d
解得
{d = 3
a1 = −2
练习3
1. 求等差数列 ，9，16，…的第 项； 求等差数列2， ， ， 的第 的第10项
a10 = 2 + (10 −1) ×7 = 65
2. 求等差数列0，-7/2，-7…的第 项； 的第n项 求等差数列 ， ， 的第
7 7 7 an = 0 + ( n −1) × − = − n + 2 2 2
练习1
d =2
=0
d =12,3,源自4,...（不是） 不是） 不是） （不是）
（8） 1， 2，4，7，11
练习2
填上适当的数， 填上适当的数，组成等差数列
-1 （1） 1，0 , —— ） ， （2）____，2，4 ） 0 ， ， 7 （3）_____,3 ,5 ,____ ） 1 1 (4) –1 ,_____, 3
课后思考： 课后思考： 课后思考
1. 如果一个数列是等差数列，那么该数
列的通项公式能否写成 （p,q是常数）的形式？
an = pn + q
2 .如果一个数列的通项公式能写成 an = pn + q（p,q 是常数）的形式， 那么这个数列是不是等差 数列呢？
等差数列的作业
祝同学们 快乐 自信 成功
3、在等差数列 {an } 中，已知 a4 、
练习４
= 0，
a7 = −6 , 求： 1）a1 = 6 （ ）
（2）an ）
=
−2n + 8
d = -2 ，
；
；
是不是这个数列中的项？ （3）10是不是这个数列中的项？ ） 是不是这个数列中的项 如果是，是第几项？ 如果是，是第几项？如果不是说明 理由。 理由。
等差数列的通项公式 +(nan = a1+(n-1)d 中 ， an , a1 , n ,d 这四个变 量 ， 知道其中三个量 就可以求余下的一个 量.
例题2
在等差数列
{a }
n
a 中， 5 = 10, a12 = 31 ,
求 首项 a1 与公差
解：
d
.
{
a5 = a1 + 4d = 10 a12 = a1 + 11d = 31
解： a1 ∵
因此， 因此，
= −5, d = −9 − (−5) = −4, an = −401 ,
− 401 = −5 + (n − 1) × (−4)
n = 100
an = a1 + (n − 1)d
解得
项是-401. 答：这个数列的第100项是 这个数列的第 项是
例后思考： 例后思考： 例后思考
1、等差数列的概念： 、
an − an−1 = d(n ≥ 2, n ∈ N ）
或
∗
an + 1 − an = d n ∈ N ） （
∗
2、等差数列的通项公式： 、等差数列的通项公式：
an = a1 + (n −1 d )
an , a1 , n ,d 这四个变量 ， 知道其中三 个量就可以求余下的一个 量.
两边都等于a1 ，
a4 = a3 + d = (a1 + 2d ) + d = 当 + 3d1时，等式 a1 n =
a5 = a4 + d = (a1 + 3d ) + d = a1 + 4d
由此可知 an = a1 + (n − 1)d
⋯ ⋯
⋯ ⋯ 公式成立。
∴n ∈ N
等差数列的通项公式
an = a1 + (n −1)d
等差数列
复习
次序 1 .数列： 按一定的次序排成的一列数叫 做数列。 2. 2.写出下列数列的通项公式：
（1） 2，4，6，8… ） （2）1，4，9，16，25，36 … ）
an = 2n
1 1 1 1 − （3）− ，， ， ⋯ ） 2 4 8 16
an = n
2
n
(−1) an = n 2
观察与思考 ：下面的几个数列相邻两项有什么共同点： (1) (2) (3)
练习５
4、等差数列1，-1，-3，-5 ，…，-89，它的 、等差数列 它的 项数是 46
5、在等差数列 {an } 中, 在等差数列 则 a1
= -8
a2 = −5, a6 = a4 + 6,
练习６
a 6、等差数列{an }中， 4 、
则
= 3a1 , ak = 9a1
k = 13
小结： 小结：
2
5，5，5，5，5，5，… ， ， ， ， ， ， 4，5，6，7，8，9，10. ， ， ， ， ， ， 2，0，-2，-4，-6，… ， ， ， ， ，
1 3 2 4 3 n
公差 d=0 公差 d=1 公差 d= -2
n−1 n+1 n
a −a = a −a = a −a =...= a −a = a −a =d
判断下列数列是否是等差数列? 如果是等差 数列，说出公差是多少?
（1）1，2，4，6，8 （2）2，4，6，8 （3）1，-1，1，-1 （4）0, 0, 0, 0,… … （5）1，1/2，1/3，1/4 （6）-5，-4，-3 （7） 1, （不是） 不是） （ 是 ） （不是） 不是） （ 是 ）d 不是） （不是） （ 是 ）
例题1
的第20项 （1）求等差数列 ，5，2，…的第 项。 ）求等差数列8， ， ， 的第
∵ 解： a 1 = 8 , d = 5 − 8 = − 3 , n = 20 ,
∴ a 20 = 8 + ( 20 − 1 ) × ( − 3 ) = − 49
an = a1 + (n − 1)d
例题1
是不是等差数列 ， ， ， （2） –401是不是等差数列 -5，-9，-13，… ） 是不是 的项？如果是，是第几项？ 的项？如果是，是第几项？
通项公式的推导
已知等差数列{ 已知等差数列 an } 的首项是 a1 ,公差是 d . 公差是 a 并试着推导出 写出 a2 、 3 ,并试着推导出 an .
解： 因为
{an } 是等差数列，它的公差为d.所以有
= ( a1 + d ) + d
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d
= a1 + 2d
解得
{d = 3
a1 = −2
练习3
1. 求等差数列 ，9，16，…的第 项； 求等差数列2， ， ， 的第 的第10项
a10 = 2 + (10 −1) ×7 = 65
2. 求等差数列0，-7/2，-7…的第 项； 的第n项 求等差数列 ， ， 的第
7 7 7 an = 0 + ( n −1) × − = − n + 2 2 2