2017年春季学期苏教版高中数学必修5学案：第4课等差数列的概念和通项公式
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》
等差数列复习目标：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；高考要求：C 级一、知识梳理1.等差数列的概念：(1)如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d 表示。
(2)若b A a ,,成等差数列，则A 叫做b a ,的等差中项，且A =2.等差数列的通项公式及其前n 项和：(1)若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为n a =通项公式的推广：n a =m a + ),(+∈N n m(2) 等差数列的前n 项和： =n S = （其中+∈N n ，1a 是首项，d 是公差，n a 为第n 项）3.等差数列的有关性质已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有(2)数列m m m m m S S S S S 232,,--…也是等差数列.(3)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也是等差数列. 二、基础自测1.(P39练习2改编)已知等差数列5,2,1,--，则该数列的第2021 ．2.(P39练习3改编)若等差数列{}n a 中，12a =-，公差2d =，则该数列的通项公式为n a = ．3.(P39例题3改编)若1a ，32,a a …1,+n n a a …, n a 2是公差为d 的等差数列,则数列{}n a 2的公差为 .4.（P39练习3改编)已知等差数列2,1,13--+，则该等差数列的项数为 ．5．（P44练习5改编)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5a A =（常数），则9S = ．6．（P48习题11改编)在数列{}n a 中，118a =-，13n n a a +=+（*n N ∈），则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值为 ． 三、典例精讲考点1 基本量的计算例1 在等差数列{}n a 中，已知1a =1，33-=a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前k 项和35-=k S ，求k 的值。
等差数列概念及通项公式经典教案
等差数列的概念及通项公式【学习目标】 1.准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解决等差数列的相关问题 2.通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力3•激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”一、知识温故1•数列有几种表示方法？ 2•数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读1•一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。
2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。
这时 A 叫做a 与b 的等差数列即3.如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2a 1a 5 a 14.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗?,a 3 a 1a 4a 11. 等差数列a 2d , a ,a 2d•'A . a n a(n 1)dB. C . a n a 2(n 2)dD. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A .2B.3C.23. 已知a 1b -1•的通项公式是（a (n 3)d a 2nd2n ，则它的公差为（D. 3，则a 与b 的等差中项为【预习自测】a na n4.在等差数列｛a n ｝中，已知a 3 10, a 9 28,则 【我的疑惑】1:等差数列概念的理解 如何用数学符号来描述等差数列？ 若把等差数列概念中的“同一个”去掉，则这个数列 设d 为等差数列｛a n ｝的公差，则当d > 0时，｛a n ｝为 当d <0时，｛a n ｝为 ________________________ 数列；当d=0时，｛a n ｝为探究二：如何推导等差数列｛a n ｝的通项公式?探究三：等差中项的理解在等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的 _________________ ;反之, 如果一个数列从第 2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即 2a n+1= ，那么这个数列是 ______ .【规律方法总结】判断数列｛a n ｝是等差数列的方法:、经典范例I .质疑探究一一质疑解惑、合作探究探究点一：等差数列的概念和通项公式 问题 (1) (2) (3)等差数列.(填“是”或“不是”) _数列； 数列.【归纳总结】1. ________________________ 等差数列的概念是2. 推导通项公式时不要忘记检验3. 通项公式的说明：(1) 在 a n =a i + (n-1)d 中，已知(2) 求通项公式时要学会运用“基本量法”，即 ___________ 探究点1:等差数列的判断方法(重点) 【例1】 判断数列｛an ｝是否为等差数列：(1) a n = 2n-1;(2) a n = (-1)n ; ( 3) a n =an+b (a,b 为常数).________________ 的主要依据. 的情况(特别是叠加法).，就可以求出(方程思想)(1) 定义法：_________________(n>2,n€ N*)；(2) 等差中项：______________(3) ______________________探究点2:求解通项公式（重难点）【例2】在等差数列｛a n｝中，已知a5=10,a i2=31，求：（1）首项a i与公差d；（2）通项公式a n.【规律方法总结】在应用等差数列的通项公式________________ _________________________ 量就可以求余下的解题时,对__ 量.这四个量,知道其中【拓展提升】已知等差数列｛ a n｝的公差不为零，a1，a2是方程x2-a3x+a4=0的根，求数列｛a n｝的通项公式.探究点3 :等差数列实际应用（重难点）【例3】梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度.【规律方法总结】（1）在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可通过 _数均匀地递增或递减，则可通过_______________________ 解决.（2）用数列解决实际问题时，一定要分清_________________ 等关键词..解决；若这组n •我的知识网络图■等差数列概念1.等差数列｛a n ｝ :— 3,— 7,— 11, ……:的通项公式为（B. a n4n 7 C. a n 4n 1 D. a n 4n 76.等差数列｛a n ｝中，a 1 60 , a n 1 a n 3。
高中数学必修5 第2章 数列 教师版 第4课等差数列的概念和通项公式
听课随笔 第4课时等差数列的概念和通项公式 【学习导航】知识网络学习要求1、 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念； 2、 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；【自学评价】1．等差数列的通项公式：①普通式：1(1)n a a n d =+-； ②推广式：()n m a a n m d =+-； ③变式：1(1)n a a n d =--；11n a a d n -=-；n ma a d n m-=-； 注：等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项数n 的次数不高于一次的多项式函数即a n =An +B (若{a n }为常数列时,A =0). 2．等差数列的单调性：由等差数列的定义知a n +1－a n =d ,当d ＞0时a n +1＞a n 即{a n }为递增数列； 当d =0时，a n +1=a n 即{a n }为常数列； 当d ＜0时，a n +1＜a n 即{a n }为递减数列. 注：等差数列不会是摆动数列.【精典范例】【例1】第一届现代奥运会于1986年在希腊雅典举行，此后每４年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算． （１）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； （２）2019年北京奥运会是第几届？2019年举行奥运会吗？【解】 （１）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以１８９６为首项，４为公差的等差数列．这个数列的通项公式为 a ｎ＝１８９６＋４（ｎ－１）＝１８９２＋４ｎ （ｎ∈Ｎ）． （２）假设a ｎ＝２００８，由２００８＝１８９２＋４ｎ，得ｎ＝２９．假设a ｎ＝２０５０，２０５０＝１８９２＋４ｎ无正整数解．答 所求通项公式为a ｎ＝１８９２＋４ｎ （ｎ∈Ｎ），2019年北京奥运会是第29届奥运会，2019年不举行奥运会． 【例2】在等差数列｛ａｎ｝中， 已知a ３＝１０，a ９＝２８，求a １２． 【解】a １２＝４＋（１２－１）×３＝３７【例3】某滑轮组由直径成等差数列的６个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为１５ｃｍ和２５ｃｍ，求中间四个滑轮的直径． 【解】用｛ａｎ｝表示滑轮的直径所构成的等差数列，且ａ１＝１５，ａ６＝２５．由等差数列的通项公式，得ａ６＝ａ１＋（６－１）ｄ，即２５＝１５＋５ｄ，解得ｄ＝２． 由此得ａ２＝１７，ａ３＝１９，ａ４＝２１，ａ５＝２３．答 中间四个滑轮的直径顺次为１７ｃｍ，１９ｃｍ，２１ｃｍ，２３ｃｍ．【追踪训练一】：1．已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=（ ） A.36 B.30 C.24 D.182.等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = 23n -.３．诺沃尔（Ｋｎｏｗａｌｌ）在１７４０年发现了一颗彗星，并推算出在１８２３年、１９０６年、１９８９年……人们都可以看到这颗彗星，即彗星每隔８３年出现一次． （１）从发现那次算起，彗星第８次出现是在哪一年？ （２）你认为这颗彗星在２５００年会出现吗？为什么？【答案】（1）彗星第８次出现是在2321年 （2）不会４．全国统一鞋号中，成年男鞋有１４种尺码，其中最小的尺码是２３．５ｃｍ，各相邻两个尺码都相差０．５ｃｍ，其中最大的尺码是多少？听课随笔【答案】30cm ５．一个等差数列的第４０项等于第２０项与第３０项的和，且公差是－１０，试求首项和第１０项．【答案】0,90101==a a【选修延伸】【例4】等差数列｛a n ｝中，a 1=23，公差d为整数，若a 6>0,a 7<0.（1）求公差d 的值; （2）求通项a n . 【解】（1）d=-4;（2）a n =-4n+27【例5】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 请您根据提供的信息说明： ⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； ⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；⑶哪一年的规模最大？请说明理由．【解】【答案】(1) 第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只(2) 到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了 (3) 第2年的规模最大 【追踪训练二】：1.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ D ） A.d ＞38 B.d ＜3 C. 38≤d ＜3 D.38＜d ≤32.在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，则a 2+a 8等于（ C ）A.45B.75C.180D.3003.如果等差数列{a n }的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第__8_项.4.已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为a n ＝－3n ＋53_.5.已知数列{a n }满足a n +12=a n 2+4，且a 1=1,a n ＞0，求a n . 【解】 由a n +12=a 2n +4即a n +12－a n 2=4∴数列{a n 2}构成等差数列.a n 2=a 12+(n －1)d =12+(n －1)·4=4n －3又a n ＞0∴a n =34-n8.若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，求2412b b a a --的值.【解】 设两个等差数列的公差分别为d 1、d 2，即求21d d ，由已知得⎩⎨⎧+=+=2154d x y d x y即,5421⎩⎨⎧-=-=xy d x y d 解得4521=d d ， 即453412=--b b a a学生质疑教师释疑。
苏教版学高中数学必修五数列等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的概念及通项公式讲义
学习目标核心素养１．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．（重点）２．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．（重点）３．等差数列的证明及其应用．（难点）１．通过等差数列的通项公式的应用，提升数学运算素养．２．借助等差数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.１．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．思考１：等差数列定义中，为什么要注明“从第二项起”？[提示] 第１项前面没有项，无法与前一项作差．思考２：等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？[提示] 不可以．如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列．２．等差数列的通项公式对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a１＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.思考３：已知等差数列{a n}的首项a１和公差d能表示出通项公式a n＝a１＋（n—１）d，如果已知第m项a m和公差d，又如何表示通项公式a n？[提示] 设等差数列的首项为a１，则a m＝a１＋（m—１）d，变形得a１＝a m—（m—１）d，则a n＝a１＋（n—１）d＝a m—（m—１）d＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.１．已知等差数列{a n}的首项a１＝４，公差d＝—２，则通项公式a n＝（）Ａ．４—２nＢ．２n—４Ｃ．6—２nＤ．２n—6C[a n＝a１＋（n—１）d＝４＋（n—１）×（—２）＝４—２n＋２＝6—２n.]２．等差数列—6，—３,0,３，…的公差d＝________.３[（—３）—（—6）＝３，故d＝３．]３．下列数列：１0,0,0,0；２0,１,２,３,４；３１,３,５,7,9；４0,１,２,３，….其中一定是等差数列的有________个．３[１２３是等差数列，４只能说明前４项成等差数列．]４．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．60°[因为三内角A、B、C成等差数列，所以２B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝１80°，所以３B＝１80°，所以B＝60°.]等差数列的判定与证明【例１】（１）在数列{a n}中，a n＝３n＋２；（２）在数列{a n}中，a n＝n２＋n.思路探究：错误!―→错误!―→错误![解] （１）a n＋１—a n＝３（n＋１）＋２—（３n＋２）＝３（n∈N*）．由n的任意性知，这个数列为等差数列．（２）a n＋１—a n＝（n＋１）２＋（n＋１）—（n２＋n）＝２n＋２，不是常数，所以这个数列不是等差数列．１．定义法是判定（或证明）数列{a n}是等差数列的基本方法，其步骤为：（１）作差a n＋１—a n；（２）对差式进行变形；（３）当a n＋１—a n是一个与n无关的常数时，数列{a n}是等差数列；当a n＋１—a n不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n}不是等差数列．２．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．提醒：当n≥２时，a n＋１—a n＝d（d为常数），无法说明数列{a n}是等差数列，因为a２—a１不一定等于d.１．已知函数f（x）＝错误!，数列{x n}的通项由x n＝f（x n—１）（n≥２且x∈N*）确定．（１）求证：数列错误!是等差数列；（２）当x１＝错误!时，求x２0１9.[解] （１）因为f（x）＝错误!，数列{x n}的通项x n＝f（x n—１），所以x n＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!，所以错误!—错误!＝错误!，所以错误!是等差数列．（２）x１＝错误!时，错误!＝２，所以错误!＝２＋错误!（n—１）＝错误!，所以x n＝错误!，所以x２0１9＝错误!.等差数列的通项公式【例２】已知数列{a n}是等差数列，且a５＝１0，a１２＝３１．（１）求{a n}的通项公式；（２）若a n＝１３，求n的值．思路探究：建立首项a１和d的方程组求a n；由a n＝１３解方程得n.[解] （１）设{a n}的首项为a１，公差为d，则由题意可知错误!解得错误!∴a n＝—２＋（n—１）×３＝３n—５．（２）由a n＝１３，得３n—５＝１３，解得n＝6．１．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n＝a１＋（n—１）d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．２．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n＝a m＋（n—m）d.２．已知递减等差数列{a n}前三项的和为１8，前三项的积为66．求该数列的通项公式，并判断—３４是该数列的项吗？[解] 依题意得错误!∴错误!解得错误!或错误!∵数列{a n}是递减等差数列，∴d<0．故取a１＝１１，d＝—５．∴a n＝１１＋（n—１）·（—５）＝—５n＋１6，即等差数列{a n}的通项公式为a n＝—５n＋１6．令a n＝—３４，即—５n＋１6＝—３４，得n＝１0．∴—３４是数列{a n}的第１0项．等差数列的应用[探究问题]１．若数列{a n}满足错误!＝错误!＋１且a１＝１，则a５如何求解？[提示] 由错误!＝错误!＋１可知错误!—错误!＝１．∴{错误!}是首项错误!＝１，公差d＝１的等差数列．∴错误!＝１＋（n—１）×１＝n，∴a n＝n２，∴a５＝５２＝２５．２．某剧场有２0排座位，第一排有２0个座位，从第２排起，后一排都比前一排多２个座位，则第１５排有多少个座位？[提示] 设第n排有a n个座位，由题意可知a n—a n—１＝２（n≥２）．又a１＝２0，∴a n＝２0＋（n—１）×２＝２n＋１8．∴a１５＝２×１５＋１8＝４8．即第１５排有４8个座位．【例３】某公司经销一种数码产品，第１年可获利２00万元．从第２年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少２0万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？思路探究：分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．[解] 由题设可知第１年获利２00万元，第２年获利１80万元，第３年获利１60万元，…，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第１年起，第n年的利润为a n，则a n—a n—１＝—２0，n≥２，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a１＝２00，公差d＝—２0．所以a n＝a１＋（n—１）d＝２２0—２0n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝２２0—２0n<0，得n>１１，即从第起，该公司经销此产品将亏损．１．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．２．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．３．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t（s）１２３...？ (60)距离s（cm）9．8１9．6２9．４…４9…？（２）利用建立的模型计算，甲虫１min能爬多远？它爬行４9 cm需要多长时间？[解] （１）由题目表中数据可知，该数列从第２项起，每一项与前一项的差都是常数9．8，所以是一个等差数列模型．因为a１＝9．8，d＝9．8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9．8t.（２）当t＝１min＝60 s时，s＝9．8t＝9．8×60＝５88 cm.当s＝４9 cm时，t＝错误!＝错误!＝５s.１．判断一个数列是否为等差数列的常用方法（１）a n＋１—a n＝d（d为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（２）２a n＋１＝a n＋a n＋２（n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（３）a n＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．２．由等差数列的通项公式a n＝a１＋（n—１）d可以看出，只要知道首项a１和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a１，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．１．判断正误（１）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（）（２）等差数列{a n}的单调性与公差d有关．（）（３）若三个数a，b，c满足２b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．（）[答案] （１）×（２）√（３）√[提示] （１）错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．（２）正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．（３）正确．若a，b，c满足２b＝a＋c，即b—a＝c—b，故a，b，c为等差数列．２．在等差数列{a n}中，若a１＝8４，a２＝80，则使a n≥0，且a n＋１<0的n为（）Ａ．２１Ｂ．２２Ｃ．２３Ｄ．２４B[公差d＝a２—a１＝—４，∴a n＝a１＋（n—１）d＝8４＋（n—１）（—４）＝88—４n，令错误!即错误!⇒２１<n≤２２．又∵n∈N*，∴n＝２２．]３．若数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝a n＋２，则a n＝________.２n—１[由a n＋１＝a n＋２，得a n＋１—a n＝２，∴{a n}是首项a１＝１，d＝２的等差数列，∴a n＝１＋（n—１）×２＝２n—１．]４．已知数列{a n}，a１＝a２＝１，a n＝a n—１＋２（n≥３），判断数列{a n}是否为等差数列？说明理由．[解] 因为a n＝a n—１＋２（n≥３），所以a n—a n—１＝２（常数）．又n≥３，所以从第３项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数２，而a２—a１＝0≠a３—a２，所以数列{a n}不是等差数列．。
苏教版数学高二苏教版必修5学案 等差数列的概念
2．2.1 等差数列的概念明目标、知重点 1.理解等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列.2.能利用等差数列的定义求等差数列中的某一项.3.理解等差中项的概念，并能利用等差中项的概念判断一个数列是否为等差数列．1．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 2．等差中项的概念如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b 2.我们把A ＝a ＋b2叫做a 与b 的等差中项．在等差数列{a n }中，a n ＝a n ＋1＋a n －12(n ≥2，n ∈N *)；反之，对于任意一个数列{a n }，若a n ＝a n ＋1＋a n －12(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列{a n }一定是等差数列． 3．等差数列的单调性等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列．[情境导学]第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？本节我们就来一起研究这个问题． 探究点一 等差数列的概念思考1 下面我们来看这样的一些数列： (1)0,5,10,15,20，…. (2)48,53,58,63. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.(4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360.以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论．答共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．思考2具有思考1中这些数列特点的数列，我们把它叫做等差数列，那么，如何给等差数列下个定义？答如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．思考3如何用数学语言来描述等差数列的定义？答数学语言：a n－a n－1＝d(n≥2)或a n＋1－a n＝d(n≥1)．思考4思考1中的四个等差数列的公差分别是什么？答公差分别是5,5，－2.5,72.小结对于一个数列，当a n－a n－1＝d(n≥2)中的d为常数时，该数列为等差数列，否则不是等差数列．当d>0时，a n>a n－1，该数列为递增数列；当d＝0时，a n＝a n－1，该数列为常数列；当d<0时，a n<a n－1，该数列为递减数列．例1判断下列数列是否为等差数列：(1)1,1,1,1,1；(2)4,7,10,13,16；(3)－3，－2，－1,1,2,3.解(1)所给数列是首项为1，公差为0的等差数列．(2)所给数列是首项为4，公差为3的等差数列．(3)因为(－1)－(－2)≠1－(－1)，所以这个数列不是等差数列．反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断a n＋1－a n(n≥1)是不是一个与n无关的常数．跟踪训练1判断下列数列是不是等差数列：(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，…，a，….解由等差数列的定义，得(1)，(2)，(5)是等差数列，(3)，(4)不是等差数列．例2求出下列等差数列中的未知项：(1)3，a,5；(2)3，b，c，－9.解(1)根据题意，得a－3＝5－a，解得a ＝4.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －3＝c －b ，c －b ＝－9－c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－5.反思与感悟 应用方程的思想能求等差数列中未知的项，列方程的依据是等差数列的定义． 跟踪训练2 已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数： (1)( )，5,10； (2)1，2，( )； (3)31，( )，( )，10.解 (1)设所填的数为a ，由等差数列的定义， 得5－a ＝10－5，所以a ＝0.(2)设所填的数为b ，由等差数列的定义， 得2－1＝b －2，所以b ＝22－1. (3)设所填的数为x ，y ，由等差数列的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －31＝y －x ，y －x ＝10－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝17.探究点二 等差中项的应用思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0. 答 插入的数分别为3,2,0.思考2 如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，如何用a ，b 表示A?答 由a ，A ，b 组成等差数列，所以A －a ＝b －A ，∴2A ＝a ＋b ，∴A ＝a ＋b 2.小结 如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b 2.我们把A ＝a ＋b2叫做a 与b 的等差中项．例3 (1)在等差数列{a n }中，是否有a n ＝a n －1＋a n ＋12(n ≥2)?(2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)，都有a n ＝a n －1＋a n ＋12，那么数列{a n }一定是等差数列吗？解 (1)因为{a n }是等差数列，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n －1＋a n ＋12.(2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)都有a n ＝a n －1＋a n ＋12，那么a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)．这表明，这个数列从第2项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，所以数列{a n }是等差数列．反思与感悟 判断一个数列是否为等差数列，除了利用定义外，还可以利用2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N*)来判定．跟踪训练3 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.1．已知等差数列{a n }前5项为7,12,17,22,27，则公差d 为________． 答案 5解析 由等差数列的定义，得d ＝12－7＝17－12＝22－17＝27－22＝5. 2.2－1与2＋1的等差中项是________． 答案2解析 设等差中项为a ，则有2a ＝(2－1)＋(2＋1)＝22，所以a ＝ 2.3．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab＝________.答案 13解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13.4．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．解 ∵a 2＋a 5＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝4，∴d ＝23.∴a n ＝13＋(n －1)×23＝23n －13.由a n ＝23n －13＝33，解得n ＝50.[呈重点、现规律]1．如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列．2．一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同．当这些常数不同时，此数列不是等差数列．3．d ＝a n －a n －1(n ≥2)或d ＝a n ＋1－a n 是证明或判断一个数列是等差数列的依据(d 是常数)．切记不可通过计算a 2－a 1，a 3－a 2等有限的几个式子的值后，发现它是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．一、基础过关1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是________．答案 b －a 3解析 由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.2．等差数列14,11,11,8，…中第一个负数项是第______项． 答案 7解析 由等差数列的前4项14,11,11,8知，公差为－3，所以第5项为8－3＝5，第6项为5－3＝2，第7项为2－3＝－1＜0.3．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 39解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26.∴x ＋y ＋z ＝39.4．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a 、b 的等差中项是________．答案3解析 由于a ＝13＋2＝3－2，b ＝13－2＝3＋2，所以a ＋b 2＝ 3.5．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B ＝________. 答案 60°解析 因为A 、B 、C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°， 从而B ＝60°.6．下列数列为等差数列的是________． ①4,7,10,13,16，…； ②31,25,19,13,7，…； ③0,0,0,0,0，…；④a ，a －b ，a －2b ，…； ⑤1,2,5,8,11，…. 答案 ①②③④解析 通过观察可知①②③④是等差数列，⑤不是等差数列，因为a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 2－a 1≠a 3－a 2.7．在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5℃，5 km 高度的气温是－17.5℃，求2 km,4 km,8 km 高度的气温． 解 用{a n }表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a 1＝8.5，a 5＝－17.5，由a 5＝a 1＋4d ＝8.5＋4d ＝－17.5，解得d ＝－6.5，∴a n ＝15－6.5n .∴a 2＝2，a 4＝－11，a 8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃. 二、能力提升8．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．答案 43解析 n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43. 9．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________. 答案 15解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，∴⎩⎨⎧a 1＝－174d ＝74.∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15.10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0，解不等式得：83<d ≤3.11．已知a ，b ，c 成等差数列，那么a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )是否能构成等差数列？证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . ∴a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b )＝a 2b ＋a 2c ＋c 2a ＋c 2b ＝(a 2b ＋c 2b )＋(a 2c ＋c 2a ) ＝b (a 2＋c 2)＋ac (a ＋c )＝b (a 2＋c 2)＋2abc ＝b (a 2＋c 2＋2ac )＝b (a ＋c )2＝b ·(a ＋c )·(a ＋c ) ＝2·b 2(a ＋c )．∴a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )能构成等差数列．12(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ (2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？解 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t . (2)当t ＝1 min ＝60 s 时， s ＝9.8t ＝9.8×60＝588 cm.当s ＝49 cm 时，t ＝s 9.8＝499.8＝5 s.三、探究与拓展13．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差数列．证明 ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ，即2ac ＝b (a ＋c )． ∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝c (b ＋c )＋a (a ＋b )ac＝c 2＋a 2＋b (a ＋c )ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac＝2(a ＋c )2b (a ＋c )＝2(a ＋c )b .∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc成等差数列．。
高中数学2.2.1等差数列的概念教案苏教版必修5
等差数列的概念和通项公式 第 11课时一、学习目标 1.明确等差数列的定义，初步掌握等差数列的通项公式。
2.会解决知道a n ,a 1,d ,n 中的三个，求另外一个的问题.3.培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识.二．学法指导1.深刻理解等差数列中“等差”的含义.2.理解用“叠加法”证明等差数列通项公式的方法.三、课前预习1．等差数列的概念定义：一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做___________，这个常数叫做等差数列的__________，通常用字母______表示.2. .等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则通项公式为_________________注：由此可知：（1）一个等差数列总可以由首项和公差来唯一确定。
（2）在a n ,a 1,d ,n 中“知三求一”。
四、课堂探究探究1.什么叫等差数列？等差数列相邻两项的关系？探究2.设{}n a 是一个首项为1a ,公差为d 的等差数列,那它的通项公式是什么呢?五.数学应用例1判断下列数列是否是等差数列（1）1，1，1，1，1，（2）4，7，10，13，16（3）-3，-2，-1，1，2，3例2求出下列等差数列的未知项（1）3，a ，5 （2）3，b ，c ，—9例3.（1）在等差数列{}n a 中，是否有)2(211≥+=+-n a a a n n n ？ （2）在数列{}n a 中，如果对于任意的正整数)2(≥n n ，都有211+-+=n n n a a a ，那么数列{}n a 一定是等差数列吗？例4. (1)求等差数列8，5，2…的第20项.(2) －401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?六、巩固训练（一）当堂练习1.在数列{}n a 中，若,122,211=--=+n n a a a 则_________51=a 2. 等差数列{a n }的前三项分别是a-1, a+1, a+3,则它的通项公式是_____________.3.在1和100之间插入8个数，使它们与这两个数组成等差数列，则这个数列的公差是______________.(二)课后作业练习册第二课时六．反思总结。
苏教版必修5第二学生版教案第4课时等差数列的概念和通项公式
莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
听课随笔第2课时【学习导航】知识网络学习要求1、体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；2、掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；【自学评价】1．等差数列的通项公式：①普通式：1(1)na a n d=+-；②推广式：________________；③变式：1(1)na a n d=--；11na adn-=-；n ma adn m-=-；注：等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项数n的次数不高于一次的多项式函数即a n=An+B(若{a n}为常数列时,A=0).2．等差数列的单调性：由等差数列的定义知a n+1－a n=d,当d＞0时，a n+1____a n即{a n}为递增数列；当d=0时，a n+1_____a n即{a n}为常数列；当d＜0时，a n+1____a n即{a n}为递减数列.注：等差数列不会是摆动数列.【精典范例】【例1】第一届现代奥运会于1986年在希腊雅典举行，此后每４年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．（１）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；（２）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？【解】【例2】在等差数列｛aｎ｝中，已知a３＝１０，a９＝２８，求a１２．【解】【例3】某滑轮组由直径成等差数列的６个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为１５ｃｍ和２５ｃｍ，求中间四个滑轮的直径．【解】【追踪训练一】：1．已知｛a n｝是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=（）A.36B.30C.24D.182.等差数列{}n a中，26a a与的等差中项为5，37a a与的等差中项为7，则na=______.３．诺沃尔（Ｋｎｏｗａｌｌ）在１７４０年发现了一颗彗星，并推算出在１８２３年、１９０６年、１９８９年……人们都可以看到这颗彗星，即彗星每隔８３年出现一次．（１）从发现那次算起，彗星第８次出现是在哪一年？（２）你认为这颗彗星在２５００年会出现吗？为什么？【解】４．全国统一鞋号中，成年男鞋有１４种尺码，其中最小的尺码是２３．５ｃｍ，各相邻两个尺码都相差０．５ｃｍ，其中最大的尺码是多少？莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
苏教版高中数学必修五“四步教学法”教案等差数列通项公式
能力题：
1.等差数列 中，当 时，是否一定有 ？
2.等差数列 中， ，求 .
课堂
小结
课后
作业
教材P109—4（1）（6）、5、6
板
书
设
计
3.1.2 两角和与差的正弦
1．公式 3．例题 练习区域
例1
2．公式推导例2
分析区域
∴d=
②累加法
∵ 是等差数列，∴当 时，有
，
，
……
，
将上面 个等式的两边分别相加，得：
∴ ，当 时，上面的等式也成立.
说明：
2.利用叠加法推导或证明等差数列的通项公式时，需要验证对a1同样成立。同时，这样
推到思想在今后的数列求和问题中也有重要的应用;
(2) 等差数列的通项公式中， 可以利用方程思想知三求一.
教
学
过
程
及
方
法
环节四 当堂检测
二次备课
基础题：
1.在等差数列 中，
(1) ； (2) ；(3) .
2.求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
3.在等差数列 中，若 ， ，求 ．
4.在 与 中间插入三个数 ， ， ，使得这 个数成等差数列，求 ， ， ．
5.100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
例3
例4
课后
反思
睢宁县菁华高级中学“四步教学法”课时教学设计
年级
组别
高一组
审阅
（备课组长）
审阅
（学科校长）
主备人
使用人
授课时间
苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件
aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
苏教版高中数学必修五第课时等差数列的概念和通项公式(2)
听课随笔第5课时等差数列的概念和通项公式 【学习导航】知识网络学习要求1． 体会等差数列与一次函数的关系；2．初步通过数列的下标研究数列。
【自学评价】1．}{n a 是等差数列⇔)1(211≥+=+-n a a a n n n 2．已知}{n a 是等差数列，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+ 【精典范例】【例1】已知等差数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１，求首项ａ１和公差ｄ，并画出图像。
【解】【答案】2,11==d a 等差数列的通项公式ａｎ＝２ｎ－１是关于ｎ的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点（ｎ，ａｎ）均在直线ｙ＝２ｘ－１上。
【例2】（１）在等差数列｛ａｎ｝中，是否有211+-+=n n n a a a （ｎ≥２）？（２）在数列｛ａｎ｝中，如果对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有211+-+=n n n a a a ，那么数列｛ａｎ｝一定是等差数列吗？ 【解】【例3】如图，三个正方形的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长组成等差数列，且ＡＤ＝２１ｃｍ，这三个正方形的面积之和是１７９ｃｍ２．（１）求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长；（２）以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长为等差数列的前三项，以第１０项为边长的正方形的面积是多少？【解】 （１）设公差为ｄ（ｄ＞０），ＢＣ＝x ，则ＡＢ＝x －ｄ，ＣＤ＝x ＋ｄ．由题意得⎩⎨⎧=+++-=+++-179)()(21)()(222d x x d x d x x d x 解得⎩⎨⎧==47d x 或⎩⎨⎧-==47d x （舍去）ＡＢ＝３（ｃｍ），ＢＣ＝７（ｃｍ），ＣＤ＝１１（ｃｍ）（２）正方形的边长组成首项是３，公差是４的等差数列｛ａｎ｝，所以ａ１０＝３＋（１０－１）×４＝３９． ａ２１０＝３９２＝１５２１（ｃｍ２）．所求正方形的面积为１５２１ｃｍ２．【追踪训练一】：1．已知等差数列的通项公式为n a n 211-=，求它的首项和公差，并画出它的图象．【答案】略 2. 已知ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，ａｎ＋１，…，ａ２ｎ是公差为ｄ的等差数列．（１）ａｎ，ａｎ－１，…，ａ２，ａ１也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（２）ａ２，ａ４，ａ６，…，ａ２ｎ也成等差数列吗？如果是，公差是多少？【答案】（1）d - （2）d 2３．已知等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ．（１）将数列｛ａｎ｝中的每一项都乘以常数ａ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？（２）由数列｛ａｎ｝中的所有奇数项按原来的顺序组成新数列｛ｃｎ｝是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？【答案】（1）是等差数列，公差是ad听课随笔（2）是等差数列，首项是1a ，公差是d 2４．一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比．【答案】三边长的比为5:4:3５．某货运公司的一种计费标准是：１ｋｍ以内收费５元，以后每１ｋｍ收２.５元．如果运输某批物资８０ｋｍ，那么需支付多少元运费？【答案】需支付运费202.5元【选修延伸】【例4】在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａｐ＝ｑ，ａｑ＝ｐ（ｐ≠ｑ），求ａｐ＋ｑ 【解】【答案】ａｐ＋ｑ=0【例5】如图（１）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成４个三角形（如图（２）），再分别连结图（２）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成７个三角形（如图（３））．依此类推，第ｎ个图中原三角形被剖分为ａｎ个三角形．（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）第１００个图中原三角形被剖分为多少个三角形？【解】【答案】（1）23-=n a n （2）298个三角形 【追踪训练二】：1. 若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x -5=0的两根，则a 5+a 8= 3 . 2. 若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b += （ D ） A. 38 B. 1124 C. 1324 D.31723. 若三个数a-4,a+2,26-2a ，适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列. 【解】a=6，相应的数列为：2，8，14 a=9，相应的数列为：5，8，11 a=12，相应的数列为：2，8，144. 已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a【解】123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---L学生质疑教师释疑。
苏教版高中数学必修五2.2等差数列的概念及通项公式.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.2等差数列的概念及通项公式【基础练习】1.写出数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数(1).1，3，5，7(2).2，4，6，8(3).4，7，10，13 (4).101，51，103，52 2.如果12+=n a n ，则____12=-a a ，____23=-a a ，____1=-+n n a a .根据其特点，你得出的结论是_____________.3.某货运公司的一种计费标准是：1公里以内收费5元，以后每1公里收2.5元，如果运输某批货物80公里，那么需支付_______元运费.4.已知数列{}n a 满足11=a ，11+=+n n a a ，求=n a _______.5. .已知数列{}n a 满足11=a ，1111=-+n n a a ，求n a .【巩固练习】1.已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 ( )A ．15B ．30C ．31D ．64 2.{}n a 使首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （ ）A ．667B ．668C ．669D ．670 3.如果数列}{n a 是等差数列，则（ ） A.5481a a a a +<+ B.5481a a a a +=+ C.5481a a a a +>+ D.5481a a a a =4.在首项为81，公差为－7的等差数列{a n }中，最接近零的是第 （ ）A ．11项B ．12项C ．13项D ．14项5.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 176.等差数列{}n a 中，p a q =，q a p =（p q ≠），那么p q a +=7.在等差数列{}n a 中，已知公差21=d ，且6099531=++++a a a a , 则 =+++100321a a a a ______ .8.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为________.9.数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈ 求数列{}n a 的通项公式10. 已知数列{}n a 满足115a =，且当1n >,*n N ∈时，有n n n n a a a a 211211-+=--， （1）求证：数列1{}na 为等差数列； （2）试问12a a ⋅是否是数列{}n a 中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由.2.2等差数列的概念及通项公式参考答案【基础练习】1.(1).12-=n a n (2). n a n 2=(3). 13+=n a n (4).10n a n =2. 2,2,2 该数列从第二项起每一项与前一项的差都为23.202.54.n a n =5. n a n 1=【巩固练习】1.A2.C3.B4.C5.C6.07.1458.32-=n a n9.n a n 210-=10.（1）略证由nn n n a a a a 211211-+=--可得112112n n n n a a a a --+-= 即11122n n a a -+=- 所以1114(2)n n n a a --=≥，因此该数列是等差数列 (2) 第11项。
2017--高二数学必修5-数列通项公式求法学案
新学案-------------------------------求通项公式的方法汇总1、{a n}等差数列，a n=________________①、已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=-10 ，求数列{a n}的通项公式；②、已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根，求{a n}的通项公式；③、已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2，求{a n}的通项公式；2、{a n}等比数列，a n=________________①设{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2 ,a3=a2+4，。
求{a n}的通项公式②等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1,a3=9a2a6,求数列{a n}的通项公式；一般地，对于型如a n+1=a n+f(n)类的通项公式，且f(1)+f(2)+...+f(n)的和比较好求，我们可以采用此方法来求an。
1{a n}的首项a1＝3，a n－a n－1＝2(n>1)，求它的通项公式．【讲】、数列{a n}中，a1=1,a n－a n-1=2n－1(n=2,3,4…)，求数列{a n}的通项公式.讲解记录：【练】：在数列{a n}中，a1=1,a n+1－a n=2n(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式.解答：当f(n)为常数，即：1a nna+= m（其中q是不为0的常数），此数列为等比且na=1am⋅1{a n}的首项a1＝3，1nnaa-＝2(n>1)，求它的通项公式【讲】：已知数列{a n}满足：a1＝3，1a nna+＝1nn+，求数列{a n}的通项公式.讲解记录：【练】：在数列{a n}中a1＝1，1nnaa-＝11nn-+(n≥2)，求数列的通项公式。
解题过程：若已知数列的前n 项和Sn 或Sn 与a n 的关系的表达式，求数列{a n }的通项a n 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n求解。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》0
《等差数列的概念》教学设计一、教学目标1理解等差数列、公差、等差中项的概念。
2在学习等差数列的过程中,提高分析、归纳能力。
3培养数学研究的方法与态度。
二、学情分析学生在现实生活中已接触到很多等差数列的模型,而现阶段是从理论上、系统地学习。
对于我们学校的学生,在同年龄孩子中,各种能力属于中上等水平。
而且我们已经从高一开始在数学课堂内着手于研究性学习,因此我们的学生已初步具备了研究性学习的能力。
三、重点、难点重点:能利用定义判定等差数列难点:利用等差数列解决简单的实际问题四、教学过程（一）复习回顾1、什么叫数列？数列的项？2、什么叫数列的通项公式？（二）问题情境1．为庆祝国庆，要用花盆摆放一个花坛，第一排摆8盆花，往后每一排都比前一排多两盆，若要摆八排，试写出从第一排到第八排的花盆数构成的数列？2我们做一个排积木的游戏，如图所示，用正方形积木（棱长为3cm）堆台阶模型：第一层用6块积木，第二层用5块积木，…第六层用1块积木。
试写出从下到上每级台阶距地面的高度所构成的数列。
3建国后，我国在1984年第一次参加了第23届奥运会，从第23届奥运会起奥运会举行的年份依次为哪些年？请同学们仔细观察刚才的几个数列：数列1: 8，10，12，14，16，18，20212数列2: 3，6，9，12，15，18数列3: 1984，1988，1992，1996，2021，2021，2021，2021思考：这些数列的共同特点是什么？（三）建构数学1如果一个数列从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为问题：等差数列的例子在生活中有很多，你能再举出一些生活中关于等差数列的例子吗？（四）数学应用例1判断下列数列是否为等差数列，如果是，求出其公差：（1）4，7，10，13，16（2）6，4，2，0，-2，-4（3）1，1，1，1，1，1（4）-3，-2，-1，1，2，3 练习1：已知数列 的通项公式，判断它是否为等差数列，如果是，公差为多少？是每一项与它前一项的差，不能颠倒，而且公差可以为正数，可以为负数，也可以为0 公差d>0的等差数列为递增数列公差d<0的等差数列为递减数列公差d=0的等差数列叫常数列)2(11≥=-=--+n d a a d a a n n n n 或{}n a 131+=n a n ）（n a n 24)2(-=2)3(n a n =0)4(=n a例2求出下列等差数列中的未知项：（1）3，a ，5（2）3，b ，c ，-9（3）3，d ，e ，f ，11合作探究如果我们在a 和b 中间插入一个数A ，使a, A,b 成等差数列，那么数A 应该满足什么条件呢？2等差中项：若a,A,b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项例3（1）在等差数列{a n }中，是否有)2(211≥+=+-n a a a n n n（2）在数列{a n }中，如果对于任意的正整数nn2，都有 211+-+=n n n a a a那么数列{a n }一定是等差数列吗？教师总结：{a n }为等差数列即在一个等差数列中，从第二项起每一项都是它的前一项与后一项的等差中项练习2：1已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求这三个数。
高三数学必修五教案等差数列优秀4篇
高三数学必修五教案等差数列优秀4篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如主题班会、教案大全、教学反思、教学设计、工作计划、文案策划、文秘资料、活动方案、演讲稿、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!And, our store provides various types of practical materials for everyone, such as theme class meetings, lesson plans, teaching reflections, teaching designs, work plans, copywriting planning, secretarial materials, activity plans, speeches, other materials, etc. If you want to learn about different data formats and writing methods, please stay tuned!高三数学必修五教案等差数列优秀4篇等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么你对等差数列了解多少呢？这次为您整理了高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇，希望能够给予您一些参考与帮助。
高三数学复习等差数列的概念及通项公式(教案)
高三数学复习：等差数列的概念及通项公式(教案)一、教学目标：1.知识目标： 理解等差数列的定义和通项公式的推导方法；掌握公式的运用。
2.能力目标：利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法运用等差数列的通项公式，培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；通过从函数观点和数形结合去认识等差数列，培养学生分析问题，解决问题的能力。
3.情感目标：（数学文化价值）：公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶；通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。
二、课前预习：1.等差数列的概念：（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
一次函数（2）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；推倒方法：(n －1)个等式⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝d a 3－a 2＝da 4－a 3＝d …a n －a n －1＝d说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
（3）等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=或A -a =b- A 归纳与拓展一：１．理解等差数列的定义及通项公式要抓住关键词和关键量；２．运用递推关系推导等差数列的通项公式的方法是累加法，等比数列是累乘法；累加法和累乘法是讨论递推关系的基本方法；３．数列中的三项问题，注意中项的运用．三、例题精析：1．（课本P38习题4改编）（1）在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.（2）试问154是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由. 思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a 1和d ，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a 25.解法一：设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则根据题意可得：⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10a 1＋14d ＝25这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1＝4，d ＝32 .∴这个数列的通项公式为：a n ＝4＋32 ×(n －1)，即：a n ＝32 n ＋52 .∴a 25＝32 ×25＋52＝40.思路二：若注意到已知项为a 5与a 15，所求项为a 25，则可直接利用关系式a n ＝a m ＋(n －m )d .这样可简化运算.解法二：由题意可知：a 15＝a 5＋10d ，即25＝10＋10d , ∴10d ＝15.又∵a 25＝a 15＋10d ，∴a 25＝25＋15＝40.思路三：若注意到在等差数列{a n }中，a 5，a 15，a 25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a 25的值.解法三：在等差数列{a n }中，a 5，a 15，a 25成等差数列 ∴2a 15＝a 5＋a 25，即a 25＝2a 15－a 5, ∴a 25＝2×25－10＝40.解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点 由于P （15，33），Q （45，153），R （n ，217）在同一条直线上.故有153－3345－15 ＝217－153n －45 ，解得n ＝61.评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.归纳与拓展二： １．“知三求一”方法：数列角度：（１）数列通项基本量代入 （２）数列性质 （３）等差中项 函数观点：一次函数 数形结合：（１）直线方程 （２）斜率公式 （３）向量共线推广：类似方法可讨论等差和等比数列中“知三求二”问题２．在熟练应用基本公式的同时,还要会用变通的公式,如在等差数列中：（１）()n m a a n m d =+-（２）若,,,m n p q N +∈，且m n p q +=+则m n p q a a a a +=+ .2. 梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，中间两级的宽度分别为 ， 。
苏教版高中数学必修五等差数列教案(4)
等差数列(二)教学目标：明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾等差数列定义：a n －a n －1＝d (n ≥2)，等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1)，推导公式：a n ＝a m ＋(n －m )dⅡ.讲授新课首先，请同学们来思考这样一个问题.问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？ 由等差数列定义及a 、A 、b 成等差数列可得：A －a ＝b －A ，即：a ＝a ＋b 2 . 反之，若A ＝a ＋b 2 ，则2A ＝a ＋b ，A －a ＝b －A ，即a 、A 、b 成等差数列. 总之，A ＝a ＋b 2 a ，A ，b 成等差数列.如果a 、A 、b 成等差数列，那么a 叫做a 与b 的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝3＋72，同时还满足5＝1＋92. 再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7＝5＋92 ＝3＋112 ＝1＋132. 看来，a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝2a 3，a 4＋a 6＝a 3＋a 7＝2a 5依此类推，可得在一等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .下面，我们来看一个实际问题.［例1］梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.解：用{a n }表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a 1＝33，a 12＝110，n ＝12. 由通项公式，得a 12＝a 1＋(12－1)d ，即：110＝33＋11d ，解得：d ＝7.因此，a 2＝33＋7＝40，a 3＝40＋7＝47，a 4＝54，a 5＝61，a 6＝68，a 7＝75，a 8＝82，a 9＝89，a 10＝96，a 11＝103.答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm ，47 cm ，54 cm ，61 cm ，68 cm ，75 cm ，82 cm ，89 cm ，96 cm ，103 cm.评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.［例2］已知数列的通项公式为a n ＝pn ＋q ，其中p 、q 是常数，且p ≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要看a n －a n －1(n ≥2)是不是一个与n 无关的常数就行了.解：取数列{a n }中的任意相邻两项a n －1与a n (n ≥2)，a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ]＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列，且公差是p .在通项公式令n ＝1，得a 1＝p ＋q ，所以这个等差数列的首项是p ＋q ，公差是p .看来，等差数列的通项公式可以表示为：a n ＝pn ＋q （其中p 、q 是常数）当p ＝0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y ＝q 的图象上.当p ≠0时，它是关于n 的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点均在一次函数y ＝px ＋q 的图象上.例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为：a n ＝2n －1，相应的图象是直线y ＝2x －1上的均匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：［例3］已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.解：设此三数分别为x －d 、x 、x ＋d则⎩⎨⎧（x －d ）＋x ＋（x ＋d ）＝15（x －d ）2＋x 2＋（x ＋d ）2＝83解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.评述：三个数成等差数列时注意其设法.［例4］已知数列{a n }为等差数列，a 1＝2，a 2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径.解：原数列的第一项是新数列的第1项，原数列的第二项是新数列的第2＋3＝5项，原数列的第三项是新数列的第3＋2×3＝9项.……原数列的第n 项是新数列的第n ＋(n －1)×3＝4n －3项.（1）当n ＝12时，4n －3＝4×12－3＝45，故原数列的第12项是新数列的第45项.（2）令4n －3＝29，解得n ＝8，故新数列的第29项是原数列的第8项.评述：一般地，在公差为d 的等差数列每相邻两项之间插入m 个数，构成一个新的等差数列，则新数列的公差为dm ＋1 ，原数列的第n 项是新数列的第n ＋(n －1)m ＝(m ＋1)n －m 项.［例5］在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求{a n }的通项公式.分析一：利用等差数列的通项公式求解.解法一：设所求的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d则⎩⎨⎧（a 1＋2d ）＋（a 1＋7d ）＋（a 1＋12d ）＝12（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28即⎩⎨⎧ a 1＋7d ＝4 ①（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28 ②①代入②得（a 1＋2d ）(a 1＋12d )＝7③ ∵a 1＝4－7d ，代入③，∴（4－5d ）(4＋5d )＝8即16－25d 2＝7，解得d ＝±35. 当d ＝35 时，a 1＝－15 ，a n ＝－15 ＋(n －1)·35 ＝35 n －45当d ＝－35 时，a 1＝415 ，a n ＝415 ＋(n －1)·（－35 ）＝－35 n ＋445. 分析二：视a 3，a 8，a 13作为一个整体，再利用性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 解题. 解法二：∵a 3＋a 13＝a 8＋a 8＝2a 8，又a 3＋a 8＋a 13＝12，故知a 8＝4代入已知得⎩⎨⎧a 3＋a 13＝8a 3·a 13＝7 解得⎩⎨⎧a 3＝1a 13＝7 或⎩⎨⎧a 3＝7a 13＝1由a 3＝1，a 13＝7得d ＝a 13－a 313－3 ＝7－110 ＝35. ∴a n ＝a 3＋(n －3)·35 ＝35 n －45. 由a 3＝7，a 13＝1，仿上可得：a n ＝－35 n ＋445. 评述：在解答本题时，首先应注意到{a n }是等差数列这个大前提，否则，仅有a 3＋a 8＋a 18＝12及a 3a 8a 13＝28就无法求出a 3，a 8，a 13的具体值；其次，应注意到a 3，a 8，a 13中脚码3，8，13间的关系：3＋13＝8＋8，从而得到a 3＋a 13＝a 8＋a 8＝2a 8.Ⅲ.课堂练习课本P 36练习已知一个无穷等差数列的首项为a 1，公差为d :(1)将数列中的前m 项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：设一无穷等差数列为：a 1，a 2，…，a m ，a m +1，…，a n ，…若去掉前m 项，则新数列为：a m +1，…，a n ，…，即首项为a m +1，公差为d 的等差数列.（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：若设一无穷等差数列为：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，a n ，…，则取出数列中的所有奇数项，组成的新数列为：a 1，a 3，a 5，…，a 2m －1，…即，首项为a 1，公差为2d 的等差数列.（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？设一无穷等差数列为：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，则新数列为：a 7，a 14，a 21，…，a 7m ，…，即首项为a 7，公差为7d 的等差数列.Ⅳ.课时小结通过本节学习，首先，需掌握等差中项概念，及A ＝a ＋b 2 与a ，A ，b 成等差数列的关系，另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活应用.Ⅴ.课后作业课本P 39习题 4，5，6，7。
苏教版必修5《等差数列的概念》评课稿
苏教版必修5《等差数列的概念》评课稿I. 课程背景《等差数列的概念》是苏教版必修5中的一节课，主要介绍等差数列及其概念。
本课程是高中数学教材中的重点内容之一，在学生数学学习中起到重要作用。
本文将针对该课程进行评课，从内容设计、教学方法和学生学习效果等方面进行分析和评价。
II. 课程内容设计1. 教学目标本节课的教学目标是引导学生了解等差数列的概念，理解等差数列的特点和性质，掌握等差数列的求和公式，并能应用所学知识解决实际问题。
2. 课程结构本节课主要包括以下内容：•等差数列的概念介绍•等差数列的特点和性质•等差数列的求和公式•等差数列在实际问题中的应用3. 内容讲解等差数列的概念介绍通过引入具体的实例，如小明每天增加2公斤体重的情况，引导学生思考等差数列的定义。
等差数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数都与前一个数之差相等的数列。
通过多个例子，学生可以逐渐理解等差数列的概念。
等差数列的特点和性质讲解等差数列的特点，如公差的概念、首项和通项公式的推导，并引导学生通过实例掌握这些性质。
通过练习题，巩固学生对等差数列特点和性质的理解和应用能力。
等差数列的求和公式介绍等差数列的求和公式，即等差数列前n项和的计算方法。
通过推导过程，引导学生理解公式的由来和运用。
并通过例题的讲解，帮助学生熟练掌握求和公式的使用。
等差数列在实际问题中的应用通过具体实际问题的引入，如跳水运动员的跳台练习次数等，引导学生将等差数列的概念与实际问题联系起来。
帮助学生理解等差数列的应用场景，并培养学生的问题解决能力。
III. 教学方法1. 激发学生兴趣在课堂中采用启发式的引导方式，引入生活中的实际例子，如购物花费增加的情况，激发学生对等差数列的兴趣。
通过情境化教学，培养学生对数学的好奇心和学习兴趣。
2. 让学生参与鼓励学生积极参与课堂讨论和问题解决，提问学生关于等差数列的问题，引导学生思考和交流。
通过互动的方式，激发学生的学习动力和思维能力。
高中数学第2章数列第04课时等差数列的通项公式教学案(无答案)苏教版必修5
等差数列（二）教学目标：1.理解等差中项的概念，会求两个数的等差中项；2.掌握等差数列的特殊性质及应用．重点难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用引入新课一、学前准备：自学课本1.复习等差数列的定义，通项公式．2.等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则公差为 ．3.在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a = ．4.在等差数列{}n a 中，已知103=a ，289=a ，求12a ．5.等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值．二、等差中项：如果b A a ,,这三个数成等差数列，那么=A ，A 叫做b a ,的等差中项．若c a b +=2，则c b a ,,成等差数列．（1）12741=++a a a ，则=4a ____（2）48242332=+++a a a a ，则=13a _____3．等差数列的有关性质：（1）若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+；（2）下标为等差数列的项()Λ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；（3）数{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；（4）{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n b a ±也为等差数列；（5）{}n a 的公差为d ，则：①⇔>0d {}n a 为递增数列；②⇔<0d {}n a 为递减数列；③⇔=0d {}n a 为常数列； 例题剖析例1. （1）三个数成等差数列，和为15，首末两项积是9，求三个数（2）成等差数列的四个数之和是26，中间两个数的积是40，求这四个数例2．在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N l k n m ,,,且l k n m +=+求证：①d m n a a m n )(-+=； ②l k n m a a a a +=+．变：1、14812152,a a a a a ---+=则313__________a a +=2、已知等差数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x －1=0的两实数根，则7891011___________.a a a a a +++++=3、已知2583579,21,a a a a a a ++=••=-，则数列的通项公式________n a =4、已知等差数列{a n }中，39741=++a a a ，33852=++a a a ，则=++963a a a ____5、已知{}n a ，{}n b 均为等差数列，且31=a ，71=b ，482020=+b a ，则数列{}n n b a + 的第30项为___________________________例3．已知正数列{}n a 和{}n b 对任意n N *∈，1,,n n n a b a +成等差数列，且 11n n n a b b ++=•判断数列{}nb 是否为等差数列。
苏教版高中数学必修五“四步教学法”教案等差数列的概念
（2）将数列 中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列 是等差数列吗？若是，公差是多少？
课
堂
小
结
课后
作业
书本第37页练习第4、5题；第40页习题第2题。
板
书
设
计
课题：等差数列概念
1.等差数列概念
2.常数列 例1 例2 练习
教学
方法
小组合作讨论，讲练结合
教学程序设计
教
学
过
程
及
方
法
环节一 明标自学
过程设计
二次备课
知识回顾:
1.数列定义:___________________________________________
2.{an}与 an 的区别____________________________________
3.函数与数列的联系____________________________________
3.等差中项
课
后
反
思
能不能用数学语言表示？
练习一
抢答：下列数列是否为等差数列？若是,首项和公差分别为多少?
1，2，4，6，8，10，12，…；
0，1，2，3，4，5，6，…；
3，3，3，3，3，3，3，…；
2，4，7，11，16，…；
－8，－6，－4，0，2，4，…；
3，0，－3，－6，－9，…．
注意：求公差d一定要用后项减前项，而不能用前项减后项．
等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．
教
学
过
程
及
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
听课随笔
第2课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1、 体会等差数列是用来刻画一类离散现象
的重要数学模型，理解等差数列的概念； 2、 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的
方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；
【自学评价】
1．等差数列的通项公式：
①普通式：1(1)n a a n d =+-； ②推广式：________________； ③变式：1(1)n a a n d =--；
11n a a d n -=
-；n m
a a d n m
-=-； 注：等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项数n 的次数不高于一次的多项式函数即a n =An +B (若{a n }为常数列时,A =0).
2．等差数列的单调性：由等差数列的定义知a n +1－a n =d ,
当d ＞0时，a n +1____a n 即{a n }为递增数列； 当d =0时，a n +1_____a n 即{a n }为常数列； 当d ＜0时，a n +1____a n 即{a n }为递减数列. 注：等差数列不会是摆动数列.
【精典范例】
【例1】第一届现代奥运会于1986年在希腊雅典举行，此后每４年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算． （１）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
（２）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？ 【解】
【例2】在等差数列｛a ｎ｝中，
已知a ３＝１０，a ９＝２８，求a １２． 【解】
【例3】某滑轮组由直径成等差数列的６个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为１５ｃｍ和２５ｃｍ，求中间四个滑轮的直径． 【解】
【追踪训练一】：
1．已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=（ ） A.36 B.30 C.24 D.18 2.等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为
5，37a a 与的等差中项为7，则n a =______.
３．诺沃尔（Ｋｎｏｗａｌｌ）在１７４０年发现了一颗彗星，并推算出在１８２３年、１９０６年、１９８９年……人们都可以看到这颗彗星，即彗星每隔８３年出现一次．
（１）从发现那次算起，彗星第８次出现是在哪一年？ （２）你认为这颗彗星在２５００年会出现吗？为什么？ 【解】
４．全国统一鞋号中，成年男鞋有１４种尺码，其中最小的尺码是２３．５ｃｍ，各相邻两个尺码都相差０．５ｃｍ，其中最大的尺码是多少？
听课随笔
５．一个等差数列的第４０项等于第２０项与第３０项的和，且公差是－１０，试求首项和第１０项．
【选修延伸】
【例4】等差数列｛a n ｝中，a 1=23，公差d 为整数，若a 6>0,a 7<0.
（1）求公差d 的值; （2）求通项a n . 【解】
【例5】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 请您根据提供的信息说明：
⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是
缩小了？请说明理由；
⑶哪一年的规模最大？请说明理由． 【解】
【追踪训练二】：
1.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 （ ） A.d ＞
38 B.d ＜3 C. 38≤d ＜3 D.3
8
＜d ≤3 2.在等差数列{a n }中，若
a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，则a 2+a 8等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.300
3.如果等差数列{a n }的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第________项.
4.已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为___________.
5.已知数列{a n }满足a n +12=a n 2+4，且a 1=1,a n ＞0，求a n .
6.若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，求2
412b b a a --的值.。