概率论复习资料第一章5节-1
概率论与数理统计数学第一章复习
概率论与数理统计数学第一章复习第一章概率论的基本概念一、随机试验概率论中将满足下列三个特点的实验称为随机试验，通常用E或E1，E2…来表示，这三个特点是：1.试验可在相同的条件下重复进行；2.每次试验的可能结果不止一个，但所有的结果是明确可知的；3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
二、样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记做S。
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。
三、随机事件1.试验E的样本空间S的子集，即试验满足某些条件的可能结果称为E的随机事件。
在每次试验中，当且仅当事件中的一个样本点出现时，称这个事件发生。
2.由一个样本点组成的单点集称为基本事件，由多于一个样本点组成的集合称复合事件。
3.E和空集?都是E的子集，它们分别称为必然事件和不可能事件。
四、事件间的关系1.若BA?，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B 发生。
若BB?，即A=B，则称事件A与事件B相等。
A?且A2.事件BA ={x | x∈A或x∈B}称为事件A与事件B的和事件。
当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件BA 发生。
3.事件BA ={x | x∈A且x∈B}称为事件A与事件B的积事件。
当且仅当A，B同时发生时，事件BA 也记作AB。
A 发生。
B4.事件A—B=={x | x∈A且x?B}称为事件A与事件B的差事件。
当且仅当A发生，B不发生时事件A—B发生。
5.若BA =?，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的。
这指的是事件A与事件B不能同时发生。
基本事件是两两互不相容的。
6.若BA =?，则称事件A与事件B互为逆事件。
又称事件A与事件B互为A =S且B对立事件。
这指的是对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生。
A 的对立事件记作A，A=S-A。
五、事件的运算1.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A2.结合律：(A∪B)∪C =A∪(B∪C)，(A∩B)∩C =A∩(B∩C)=ABC3.分配律：A(B∪C)=AB∪AC, A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)4.德摩根律：A B=A B, AB=A∪B5.吸收律：A∩(A∪B)=A, A∪(A∩B)=A6.双重否定律：A=A7.排中律：A∪A=Ω，A∩A=?8.差积转换律：A-B=A B六、频率1．在相同的条件下进行的n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nA /n称为事件A 发生的频率，并记成fn（A）。
概率论与数理统计总结
第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中ω表示基本结果，又称为样本点。
3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。
5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。
(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。
(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。
用交并补可以表示为。
（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.对立事件的性质：。
8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。
具体说,事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。
概率论与数理统计第一章复习课
解：A: 收到信息为 1；B：发出信息为 1
196 P( AB) P( B ) P( A B ) P( B A ) P( A ) P(B) P( A B) P(B) P( A B) 197
例 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为 p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则 第二次及格的概率为p/2．若已知他第二次已经及格，求他第一次 及格的概率．
解： A, B, C 分别表示甲，乙，丙三人击中目标
0.2( P ( A BC ) P ( A BC ) P ( ABC ))
0.6( P ( ABC ) P ( A BC ) P ( ABC )) P ( ABC )
0.2(0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7) 0.6(0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.7) 0.4 0.5 0.7
P( A1 | A2 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) 2p . P( A2 ) 1 p
练习 袋中装有m只正品硬币、n只次品硬币（次 品两面均印有国徽），在袋中任取一只， 将它投掷r次，已知每次都得到国徽，问这 只硬币是正品的概率是多少？
第一章复习课
本章基础知识
1. 样本空间、随机事件的概念.
2.事件的运算：和、差、积 ;互斥事件、对立事件 .
非负性 3.概率的概念和性质: 规范性 可列可加性
4.等可能概型.
P ( AB ) 5.条件概率： P ( B A) P ( A)
6.全概率公式和贝叶斯公式
n P ( A) P ( Bi ) P ( A Bi ) i 1 P(B j )P( A B j ) P ( B j A) n P ( Bi ) P ( A Bi ) 0.21) 0.6(0.06 0.14 0.21) 0.14
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论知识点总结「篇一」概率，现实生活中存在着大量的随机事件，而概率正是研究随机事件的一门学科，教学中，首先以一个学生喜闻乐见的摸球游戏为背景，通过试验与分析，使学生体验有些事件的发生是必然的、有些是不确定的、有些是不可能的，引出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件，然后，通过对不同事件的分析判断，让学生进一步理解必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点，结合具体问题情境，引领学生设计提出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件，具有相当的开放度，鼓励学生的逆向思维与创新思维，在一定程度上满足了不同层次学生的学习需要。
其次，做游戏是学习数学最好的方法之一，根据课的内容的特点，教师设计了转盘游戏，力求引领学生在游戏中形成新认识，学习新概念，获得新知识，充分调动了学生学习数学的积极性，体现了学生学习的自主性，在游戏中参与数学活动，在游戏中分析、归纳、合作、思考，领悟数学道理，在快乐轻松的学习氛围中，显性目标和隐性目标自然达成,在一定程度上,开创了一个崭新的数学课堂教学模式。
再次，我们教师在上课的时候要理解频率和概率的关系，教材中概率的概念是通过频率建立的，即频率的稳定值及概率，也就是用频率值估计概率的大小。
通过实验，让学生经历“猜测结果一进行实验一分析实验结果”的过程，建立概率的含义。
要建立学生正确的概率含义，必须让他们亲自经历对随机现象的探索过程，引导他们亲自动手实验收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较，真正树立正确的概率含义。
第四，我们努力让学生在具体情景中体会概率的意义。
由于初中学生的知识水平和理解能力，初中阶段概率教学的基本原则是：从学生熟悉的生活实例出发，创设情境，贴近生活现实的问题情境，不仅易于激发学生的求知欲与探索热情，而且会促进他们面对要解决的问题大胆猜想，主动试验，收集数据，分析结果，为寻求问题解决主动与他人交流合作，在知识的主动建构过程中，促进了教学目标的有效达成，更重要的是，主动参与数学活动的经历会使他们终身受益，在具体情境中体验概率的意义。
最新大学概率与统计总复习第一章
在实际应用中，常把事件 B 看作结果，而 A1, A2, , An , 为对结果 B 有影响的所有原因（一个不能少），则求 结果 B 发生的概率可用全概率公式. 即: 有原因的概 率问题可用全概率公式来求. 运用全概率公式可以解 决一些较难但却有趣的概率问题
设 A1, A2,, An 为完备事件组P(B) 0, 由乘法公式有
P Ai B P(Ai)P(B | Ai) (i 1, 2,, n)
由全概率公式有 n P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
P( Ai
|
B)
件或对立事件，记作 A 。显然 A 不发生的充要条件为 A 发生。
7．事件的差：称事件 A 发生而事件 B 不发生的事件为事件 A 与
事件 B 的差，记作 A B 。
显然 A B AB ，
A A, A1 A2 An A1 A2 An , A1A2 An A1 A2 An
同集合的运算规律
Bk
k 1
k 1 Bk
人物介绍
德·摩根
例 2. 若用 Ai 表示事件“笫 i 次打开房门”, 则事件”
笫一次没打开房门” 可表示为 A1
事件” 第三次才打开房门” 可表示为
A1 A2 A3
事件” 开门不超过三次而打开房门” 可表示为
Ai A1A2 A1 A2 A3
例 3. 设 A, B, C 三人同时破译一个密码, 令 A=” A 译出密码”, B=”B 译出密码”, C=”C 译出 密码”
事件并：称事件 A,，B 中至少有一个发生的事件为事件
A，,B 的并（事件），记作 A B 。 称 n 个事件 A1, A2 , An 中至少有一个发生的事件为事件
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论整理
第一章概率论的基本概念 第一节随机试验一、随机试验E1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的可能结果不止一个，并且能事先 明确试验的所有可能结果；3．进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。
说明：随机试验简称为试验,随机试验通常用E 来表示.实例：“抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况”.分析：1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;2) 试验的所有可能结果:正面、反面;3) 进行一次试验之前不能确定哪个结果会出现故为随机试验同理可知下列试验都为随机试验：掷骰子观察点数；一批产品任选三件其正品与次品数；某地平均气温等第二节随样本空间、随机事件一、 样本空间 样本空间Ω随机试验的所有可能结果组成的集合． 样本空间Ω 中的元素，即E 的每个结果，称为样本点．样本点一般用ω表示，可记为Ω = { ω } 例：说明1. 同一试验, 若试验目的不同,则对应的样 本空间也不同.例如对于同一试验: “将一枚硬币抛掷2次”. 若观察正面H 、反面T 出现的情况,则样本空间为S = {HH , HT , TH , TT }.若观察正面出现的次数, 则样本空间为S={0,1,2,3}2. 建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型. 因此, 一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间S = {H ,T }它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.例：1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. S = {3, 4, 5,……, 18}.2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数S = {10 , 11 , 12 ,……}. 二、 随机事件随机试验E 的样本空间Ω的子集称为E 的随机事件，简称事件。
例如，随机试验“抛骰子观察点数”的样本空间是S={1,2,3,4,5,6}对于“骰子的点数是偶数点”，它是一个事件，即{2,4,6}，显然，它是样本空间的一个子集。
1-5 条件概率
(二)乘法定理
(二)乘法定理 对于两个事件A,B，若P(A)>0，则 若P(B)>0，则 P(AB)=P(A)P(B|A) P(AB)=P(B)P(A|B)
对于三个事件A,B,C，若P(AB)>0，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 注意：由于ABA，故P(A)P(AB)，从而必有 P(A)>0 对于n个事件A1,A2,„,An (n≥2)，且P(A1A2„An-1) > 0，则 P(A1A2„An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)„P(AnA1A2„A
例题2
法一： 由条件概率定义
6 12 9 12 2 3
P(B|A)
P ( AB ) P ( A)
法二： 在缩减的样本空间SA=A中，直接得
P(B|A)=6/9=2/3
法三： 第一次抽取的样本空间为：S1={1,2,3,4} 当A发生，即第一次抽取一只一等品后，其样本空 间S2只剩下3个元素，而其中只有两个元素是一等品， 因此 P(B|A)=2/3。
P (Bi A) P(A)
B1 B2
Bn A
P ( A Bi )P (Bi )
P ( A B j )P (B j )
j1
n
i 1,2 , , n
P(Bi)>0(i=1,2,„,n)
全概率公式和贝叶斯公式的应用
在很多实际问题中，P(A)不易直接求得，但却容易找到样本
空间S的一个划分B1,B2,„,Bn，且P(Bi)和P(A|Bi)或为已知，或易
随机地取一只元件，求它是次品的概率； 3 0.03 0.05 (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此 次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。 试求这些概率。 设事件A表示“取到的是一只次品”，事件Bi(i=1,2,3)表示 解： “所取到的产品是由第i家工厂提供的”，则B1,B2,B3是样本空 间S的一个划分。由题意 P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)=0.05 P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.03
概率论知识点总结
概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ⊇或B A ⊆。
相等关系：若A B ⊇且B A ⊆，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。
事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。
记为 A∪B 。
事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。
事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。
用交并补可以表示为B A BA =-。
互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。
互斥时B A ⋃可记为A ＋B 。
对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。
对立事件的性质：Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,。
事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ⋂=⋃ B A B A ⋃=⋂ 第二节 事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时 概率的性质： （1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B) （3）)(1)(A P A P -= （4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB) 第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)( 2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可. 第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B). 乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组，则P(B)=∑P(i A )P(B|i A ) 贝叶斯公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则 第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立. 三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立独立的性质：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
概率统计每章知识点总结
概率统计每章知识点总结第一章：基本概念1.1 概率的概念1.2 随机变量及其分布1.3 大数定律和中心极限定理第一章主要介绍了概率统计的基本概念，包括概率的定义、随机变量的概念以及大数定律和中心极限定律。
概率是描述事物发生可能性的数学工具，是对随机事件发生规律的度量和描述。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以用来描述随机现象的特征和规律。
大数定律和中心极限定律则是概率统计中重要的两个定律，它们描述了大量独立随机变量的和的分布规律。
第二章：随机事件的概率计算2.1 古典概型2.2 几何概型2.3 等可能概型2.4 条件概率2.5 独立性第二章主要介绍了随机事件的概率计算方法，包括古典概型、几何概型、等可能概型、条件概率和独立性。
古典概型是指实验的样本空间是有限的且每个样本点的概率相等的情形，可以直接计算出随机事件的概率。
几何概型是指随机事件的概率与其所在的几何形状有关，需要通过几何方法来计算。
等可能概型是指实验的样本空间是有限的，但不同样本点的概率不一定相等，需要通过计算总体概率来计算随机事件的概率。
第三章：随机变量及其分布3.1 随机变量及其分布3.2 数学期望3.3 方差3.4 常用离散型随机变量的分布3.5 常用连续型随机变量的分布第三章主要介绍了随机变量及其分布的知识，包括随机变量的概念、数学期望、方差以及常用的离散型和连续型随机变量的分布。
随机变量是描述随机现象的数学模型，可以是离散型的也可以是连续性的。
数学期望和方差是描述随机变量分布特征的重要指标，它们能够描述随机变量的集中程度和离散程度。
离散型随机变量常用的分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布；连续型随机变量常用的分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
第四章：多维随机变量及其分布4.1 二维随机变量4.2 多维随机变量4.3 边际分布4.4 条件分布4.5 独立性第四章主要介绍了多维随机变量及其分布的知识，包括二维随机变量、多维随机变量、边际分布、条件分布和独立性。
概率论第一章知识点总结
概率论第一章知识点总结
概率论第一章主要介绍了以下几个知识点：
1. 随机试验：指具有以下三个特征的试验：可以进行多次独立重复；每次试验只有两个可能结果中的一个发生；每次试验发生的概率相同。
2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用S表示。
3. 事件：样本空间的任意子集称为事件，通常用A、B等大写字母表示。
4. 概率：事件A发生的概率定义为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中元素的个数，n(S)表示样本空间中元素的个数。
5. 概率的性质：对于任意事件A和B，有以下性质：
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(S) = 1
(3) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
(4) 若A和B互不相容（即A∩B=），则P(A∪B) = P(A) + P(B) 6. 条件概率：事件B在事件A发生的条件下发生的概率称为条件概率，记为P(B|A)，计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
7. 乘法公式：对于任意事件A1，A2，…，An，有P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)…P(An|A1∩A2∩…∩An-1)。
8. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式和贝叶斯公式是基于条件概率的重要公式，用于计算复杂事件的概率。
其中全概率公式为：
P(B) = Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)，贝叶斯公式为：P(Aj|B) = P(Aj)P(B|Aj)/Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)。
概率论复习资料大全
P(X k)Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
称r.v X服从参数为n和p的二项分布，记作 X ~ b(n,p)
9
4.泊松分布
定义：设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P( X k) e k , k0,1,2,,
称的钟形曲线.
特点是“两头小，中间大，左右对称”.
正态分布表
15
9.连续型随机变量函数的分布
定理 设 r.v X具有概率密度 f(x), x , 又设g(x)处处可导，且恒有g(x) 0(或 g(x) 0) 则Y=g(X)是连续型r.v，其概率密度为
fY
(
y)
计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2
26
6.方差的性质
1. 设C是常数,则D(C)=0; 2. 若C是常数X是随机变量,则D(CX)=C2 D(X);
3. 设X与Y 是两个随机变量，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y) + 2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}. 特别，若X与Y 相互独立，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y)
p
B(n,p)
π()
P( X k) Cnk pk (1 p)nk k 0,1,2,,n
np
P( X k) ke
k!
k 0,1,2,
23
分布
概率密度
期望
区间(a,b)上的 均匀分布
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其它
概率论复习提纲
二、方差
1. 方差的定义及计算 X的方差：
D( X ) Var( X ) E{[ X E( X )]2 }. 方差的计算：
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2.
二、方差
2. 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 D(C ) 0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有
一、随机变量的定义
设随机试验的样本空间S={e}. X=X(e)是定义在样 本空间S上的实值函数，称X=X(e)为随机变量.
随机变量的2个特征: 1) 它的取值随试验结果而定 2) 它的取值有一定的概率
二、离散型随机变量
1.离散型随机变量的定义
其全部可能取到的值是有限多个或无限可列多个. 2.分布律
2.概率的性质：
(4) 对于任一事件 A, P( A) 1. (5) 设 A 是 A的对立事件, 则 P( A) 1 P( A).
(6) (加法公式) 对于任意两事件 A, B 有
P( A B) P( A) P(B) P( AB).
n 个事件和的情况
n
P( A1 A2 An ) P( Ai )
已知分布函数求概率 P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
P39 例1；P55 第2(1)题，P57 第17(2)题
三、连续型随机变量
1. 连续型随机变量的分布函数
x
F ( x ) P{ X x } f ( t )dt , x .
基本要求：
已知概率密度求分布函数
X ,Y 可能取的值是 xi , y j , i, j 1,2, ,
考研数学(三)概率论与数理统计第一章复习重点总结
2018考研数学（三）：概率论与数理统计第一章复习重点总结一、第一章随机事件与概率1.重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式。
2.难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算。
3.常考题型事件、概率与独立性是本章给出的概率论中最基本、最重要的三个概念。
事件关系及其运算是本章的重点和难点，概率计算是本章的重点。
注意事件与概率之间的关系。
本章主要考查随机事件的关系和运算，概率的性质、条件概率和五大公式，注意事件的独立性。
近几年单独考查本章的试题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基本知识点来考查。
相当一部分考生对本章中的古典概型感到困难。
大纲只要求对古典概率和几何概率会计算一般难度的题型就可以。
考生不必可以去做这方面的难题，因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点。
应该将本章重点中的有关基本概念、基本理论和基本方法彻底理解和熟练掌握。
【评注】本题是典型的根据全概率公式及条件概率的解题的题型，这类题型一直都是考查的重点。
三、注意事项与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。
但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。
一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。
概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。
在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。
《概率论与数理统计》复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则（1）BAAB A B B A =⋃=⋃ （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃（4）BA AB B A B A ⋃==⋃ 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）（4）0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤（7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P =若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式：∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4）Bayes 公式：∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性：B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布),1(p B p X P ==)1(，pq X P -===1)0(p pq 二项式分布),(p n B n k q p C k X P kn k k n ,2,1,0,)(===-，npnpqPoisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλλλ几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P k p 12p q 均匀分布),(b a U b x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2b a +12)(2a b -指数分布)(λE 0,)(≥=-x e x f x λλλ121λ正态分布),(2σμN 222)(21)(σμσπ--=x ex f μ2σ4．分布函数)()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5．正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==>6．随机变量的函数)(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
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1 (1) P(A ) =
6 (2) P(A|B）= 1
3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
问题：条件概率P(A|B)与P(A)为何不同？
这是因为样本空间缩小了。
P(B )>0，称 P( A B) P( AB) P(B)
为在事件B 发生的条件下,事件A发生的条件概率.
前面对概率所证明的一切性质，也都适用于 条件概率。
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2.条件概率的计算方法
(1)在原样本空间中,先求事件 P(B)和P(AB), 再按定义计算 P( A B) P( AB) P(B)
显然，P(A1)=1/5， P( A1)＝4/5， 第1个人抽到球票的概率是1/5。
P( A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 | A1 )
若第2个人抽到球票 时，第1个人肯定
41 1 54 5
没抽到。
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第3个人要抽到“球票”，必须第1、第2个人 都没有抽到。因此，
条件概率？？ 事件乘积概率？？
【课后练习】袋中有5个球，其中3个红球2个白球， 从袋中不放回地连取两球，试求
(1) 第一次取到白球后第二次取到白球的概率? (2) 两次都取到白球的概率?
两者有何 差别？
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三、小结
条件概率 P( A | B) P( AB)
P(B)
适用：先发生的事件B 对后发生的事件A的影响程度。 乘法公式 P(AB)= P(A|B) P(B)
继续下去就会发现, 每个人抽到“球票” 的 概率都是1/5。
有关抽签顺序问题的正确解答——
抽签不必争先恐后。 12/18
第1个人说:
不公平，P(第2个人抽到票)
=
1 4
P( A2 A1 )
第2个人说:不公平，P(自己抽到票)= 0
P( A2 A1 )
第3个人说: 公平！ P(每人抽到票) =
1 5
方法二：P( A | B) 3 1 62
在B 发生后的
缩减样本空间 中计算
应用定义
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二.乘法公式
由条件概率的定义： P( A | B) P( AB) P(B)
若P(B)>0, 则 P(AB) = P(B)P(A|B) (1)
将A、B的位置对调，有
P(A)>0， 则 P(AB) = P(A)P(B|A) (2)
适用：两个事件同时发生的可能性。 思考：P(A|B) = P(A) 会成立吗，二者何时相等？
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P( A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 )P( A3 | A1 A2 )
431 P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) 5 4 3
1 5
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( An | A1 A2 An1 )
§1.5 条件概率
一、条件概率 二、乘法公式 三、小 结
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温故而知新
古典概型满足下述两个条件： (1) 样本空间只有有限个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.
A包含的样本点个数 P(A)＝k/n＝
S中的样本点总数
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引例
例：掷一颗均匀骰子， A ={掷出2点}， B ={掷出偶数点}，
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【例2】 一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷只 搞到一张票，但大家都想去。只好用抽签的方法 来确定球票的归属。
球票
让5个人依次抽取
第1个人说:
不公平，P(第2个人抽到票)
=
1 4
ห้องสมุดไป่ตู้
第2个人说:不公平，P(自己抽到票)= 0
第3个人说: 公平！ P(每人抽到票) =
1 5
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用Ai表示“第i个人抽到球票”， i＝1,2,3,4,5。
(2) 当B发生后，在缩减的样本空间中，利用 古典概型计算公式求事件A的概率.
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【例1】掷两颗均匀骰子，已知第一颗掷出6点，问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少？
解: 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
方法一：P( A | B) P( AB) 3 36 1 P(B) 6 36 2
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一、条件概率
令 n(B)表示事件B所包含的样本点个数 n(AB)表示事件AB 所包含的样本点个数
n( AB)
P( A B) n( AB)
n( B )
n( S ) n( B )
P( AB) P(B)
n( S )
B ABA
S 5/18
1.条件概率的定义
定义: 设A，B 是随机试验E 的两个随机事件，且
P( A1 A2 )
请想一想，如果5个球迷，有2张票，
依次抽签还是公平的吗？ 13/18
注意：P(A|B)与P(AB)的区别与联系
联系： 事件A，B都发生了;
区别： 样本空间不同; 在P(A|B)中，样本空间缩减为B； 在P(AB)中，样本空间仍为S。
因而有 P( A B) P( AB)
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