54-5 奈奎斯特稳定性判据分析
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S从j∞-j∞变化时，G(j)=G(-j)=0，在F(j)=1点上; S从-j∞-j0变化，F(s)|s=-j=F(-j)=1+G(-j)，它与F(j)共轭。
p184
例1：G( j)
K ( jT1 1)( jT2 1)( jT3 1)
Baidu Nhomakorabea
j∞ jω 0 -jω
F(s)的零点数 (闭环极点) 由辐角 原理确定 F(s)位于右半平 面极点数 (开环不稳极点)
包围整个右半平面的曲线映射在F(s)平面上形状如何？
顺时针包围整个右半平面曲线：S从0jj∞（正虚轴）， 然后顺时针转过 到 -j∞（负虚轴）-j0。
F(s) 1 G(s)
S从0jj∞变化，F(s)|s=j=F(j)=1+G(j)将奈氏曲线偏移一个单位；
F(s) U jV
S
Γ
s
j
F s1
Γ
F
Im
jω
F(s1)
σ
S2
F(s1)
σ
F(s2)
Re
S1代入F(S) 得F(S1)，S2代入F(S)得F(S2)；S沿Γs连续变化一周(不穿 过F(S)的极点)，则F(S)沿封闭曲线ΓF连续变化一周。
n n K ( S Z1 )( S Z 2 ) ( S Z n ) F ( s ) （S Z j） (S Pi） F (s) 1 G(s) H (s) (S P )( S P ) ( S P ) j 1 i 1 1 2 n
P183
曲线Γs包围一个F(s)的极点，当S1沿Γs顺时针连续变化一 周，因为Pi映射到F(s)上是在无穷远，因此ΓF逆时针绕F平面零
点一周，(S+Pi)的相角积累是-2π角度。
幅角原理：设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析
函数，若S平面上任选一条封闭曲线Cs以顺时针方向包围F(s)的 Z个零点和P个极点，且使它不通过F(s)的奇点，则其在F(s)平 面上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周，其中N=Z-P。 当N>0，表示曲线CF以顺时针方向旋转；
当N<0，表示曲线CF以逆时针方向旋转。
P182 例子
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
§5.5.2 奈奎斯特稳定判据
G( s) H ( s) ( S Z1 )( S Z 2 ) ( S Z m ) (S P 1 )( S P 2 ) ( S P n)
S
j S1
S1+zi
Im
F
zi
³ É Ó ä µ ½ Ô µ ã
σ
F(S1)
Re
zi
Γs包围一个F(s)的零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S1+Zi)的相角 积累2π,或者说，ΓF顺时针绕F平面零点一周； 不包围F(s)零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S1+Zi)不积累角度； Γs包围 Z个F(s)的零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S1+Zi) 的相 角积累Z*(2π)，或者说，ΓF顺时针绕F平面零点Z圈。
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《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
§5.5 频域稳定判据
系统稳定的充要条件 — 全部闭环极点均具有负的实部 代数稳定判据 — Routh判据 由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性 不能研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能
Nyquist 判据 频域稳定判据 — 对数稳定判据
类似P186
奈奎斯特稳定性判据：当从-∞到+∞变化时，闭环系统的稳定性通过
其开环频率响应G(j)H(j)曲线包围（-1，j0）点来判断。
若P=0（即系统开环稳定）时，则闭环系统稳定充要条件是 G(j)H(j)曲线不包围（-1，j0）点。 若P≠0（即系统开环不稳定），则闭环系统稳定充要条件是G(j)H(j) 曲线按逆时针方向包围（-1，j0）点旋转P圈。
《自动控制理论》
网址：Zdkz.cjlu.edu.cn
§5 频率响应法
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 频率特性的基本概念 对数频率特性（Bode图） 幅相频率特性（Nyquist图） 用频率法辨识系统的数学模型
§5.5
§5.6
频域稳定判据（奈奎斯特）
相对稳定性分析
§5.7
频率性能指标与时域性能指标的关系
S F(jω)
jω
G(jω)
G(-jω)
k
画出奈氏曲线如右图 由于F(s)=1+G(s),所以映射对其
-1 0
j∞ -j∞ G(jω)
原点的围绕等价于G(s)对G平面上的
（-1，j0）点的围绕，如图
-j∞
所以，该封闭曲线就是包围S右半平面的封闭曲线在F(s)平面上的映射， 另外，该封闭曲线“包围F(s)的原点”=“包围G(j)平面的（-1，j0）点”。 幅角原理修改为：奈氏曲线当从-∞0∞变化，按顺时针方向包 围（-1，j0）点的圈数等于F(s)的零点数目Z与极点数目P之差，即N=Z-P。 在G(j)图中，曲线没有包围（-1，j0）点，N=0，可知F(s)的零、极 点在右半面上的个数相等。
由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性 可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题
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1. 辐角原理
K (S +Z1 )(S +Z2 )(S Z n ) F (s) 1 G(s) H (s) (S +P 1 )( S +P 2 )( S +P n)
S j
可见F(s)的零点就是闭环极点，F(s)的极点就是开环极点。
N ZP
Z N P
p184 6/28
奈奎斯特稳定性判据思路: 根据系统闭环特征根的位置可以判定系统的稳定性：
如果根平面的右半面有闭环根，则系统闭环不稳定(Z>0)；
如果根平面的右半面没有闭环根，则系统闭环稳定(Z=0)。
Z N P
F ( s) 1 G( s) H ( s)
i
n
(S P i ) K (S Z j )
j
m
(S P 1 )( S P 2 ) ( S P n)
， ， ， ( S Z1 )( S Z 2 ) ( S Z n ) (S P 1 )( S P 2 ) ( S P n)
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例1：G( j)
K ( jT1 1)( jT2 1)( jT3 1)
Baidu Nhomakorabea
j∞ jω 0 -jω
F(s)的零点数 (闭环极点) 由辐角 原理确定 F(s)位于右半平 面极点数 (开环不稳极点)
包围整个右半平面的曲线映射在F(s)平面上形状如何？
顺时针包围整个右半平面曲线：S从0jj∞（正虚轴）， 然后顺时针转过 到 -j∞（负虚轴）-j0。
F(s) 1 G(s)
S从0jj∞变化，F(s)|s=j=F(j)=1+G(j)将奈氏曲线偏移一个单位；
F(s) U jV
S
Γ
s
j
F s1
Γ
F
Im
jω
F(s1)
σ
S2
F(s1)
σ
F(s2)
Re
S1代入F(S) 得F(S1)，S2代入F(S)得F(S2)；S沿Γs连续变化一周(不穿 过F(S)的极点)，则F(S)沿封闭曲线ΓF连续变化一周。
n n K ( S Z1 )( S Z 2 ) ( S Z n ) F ( s ) （S Z j） (S Pi） F (s) 1 G(s) H (s) (S P )( S P ) ( S P ) j 1 i 1 1 2 n
P183
曲线Γs包围一个F(s)的极点，当S1沿Γs顺时针连续变化一 周，因为Pi映射到F(s)上是在无穷远，因此ΓF逆时针绕F平面零
点一周，(S+Pi)的相角积累是-2π角度。
幅角原理：设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析
函数，若S平面上任选一条封闭曲线Cs以顺时针方向包围F(s)的 Z个零点和P个极点，且使它不通过F(s)的奇点，则其在F(s)平 面上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周，其中N=Z-P。 当N>0，表示曲线CF以顺时针方向旋转；
当N<0，表示曲线CF以逆时针方向旋转。
P182 例子
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§5.5.2 奈奎斯特稳定判据
G( s) H ( s) ( S Z1 )( S Z 2 ) ( S Z m ) (S P 1 )( S P 2 ) ( S P n)
S
j S1
S1+zi
Im
F
zi
³ É Ó ä µ ½ Ô µ ã
σ
F(S1)
Re
zi
Γs包围一个F(s)的零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S1+Zi)的相角 积累2π,或者说，ΓF顺时针绕F平面零点一周； 不包围F(s)零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S1+Zi)不积累角度； Γs包围 Z个F(s)的零点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，(S1+Zi) 的相 角积累Z*(2π)，或者说，ΓF顺时针绕F平面零点Z圈。
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《自动控制理论》
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§5.5 频域稳定判据
系统稳定的充要条件 — 全部闭环极点均具有负的实部 代数稳定判据 — Routh判据 由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性 不能研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能
Nyquist 判据 频域稳定判据 — 对数稳定判据
类似P186
奈奎斯特稳定性判据：当从-∞到+∞变化时，闭环系统的稳定性通过
其开环频率响应G(j)H(j)曲线包围（-1，j0）点来判断。
若P=0（即系统开环稳定）时，则闭环系统稳定充要条件是 G(j)H(j)曲线不包围（-1，j0）点。 若P≠0（即系统开环不稳定），则闭环系统稳定充要条件是G(j)H(j) 曲线按逆时针方向包围（-1，j0）点旋转P圈。
《自动控制理论》
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§5 频率响应法
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 频率特性的基本概念 对数频率特性（Bode图） 幅相频率特性（Nyquist图） 用频率法辨识系统的数学模型
§5.5
§5.6
频域稳定判据（奈奎斯特）
相对稳定性分析
§5.7
频率性能指标与时域性能指标的关系
S F(jω)
jω
G(jω)
G(-jω)
k
画出奈氏曲线如右图 由于F(s)=1+G(s),所以映射对其
-1 0
j∞ -j∞ G(jω)
原点的围绕等价于G(s)对G平面上的
（-1，j0）点的围绕，如图
-j∞
所以，该封闭曲线就是包围S右半平面的封闭曲线在F(s)平面上的映射， 另外，该封闭曲线“包围F(s)的原点”=“包围G(j)平面的（-1，j0）点”。 幅角原理修改为：奈氏曲线当从-∞0∞变化，按顺时针方向包 围（-1，j0）点的圈数等于F(s)的零点数目Z与极点数目P之差，即N=Z-P。 在G(j)图中，曲线没有包围（-1，j0）点，N=0，可知F(s)的零、极 点在右半面上的个数相等。
由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性 可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题
2/28
1. 辐角原理
K (S +Z1 )(S +Z2 )(S Z n ) F (s) 1 G(s) H (s) (S +P 1 )( S +P 2 )( S +P n)
S j
可见F(s)的零点就是闭环极点，F(s)的极点就是开环极点。
N ZP
Z N P
p184 6/28
奈奎斯特稳定性判据思路: 根据系统闭环特征根的位置可以判定系统的稳定性：
如果根平面的右半面有闭环根，则系统闭环不稳定(Z>0)；
如果根平面的右半面没有闭环根，则系统闭环稳定(Z=0)。
Z N P
F ( s) 1 G( s) H ( s)
i
n
(S P i ) K (S Z j )
j
m
(S P 1 )( S P 2 ) ( S P n)
， ， ， ( S Z1 )( S Z 2 ) ( S Z n ) (S P 1 )( S P 2 ) ( S P n)