高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换自主训练

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高中数学：第三章 3.2 简单的三角恒等变换

[课时作业] [A 组基础巩固]1．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ2＝( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：因为180°<θ<270°，所以90°<θ2<135°，所以tan θ2<0，所以tan θ2＝－ 1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. ★答案★：B2．已知α是锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π的值等于( )A.24 B ．－24 C.144D ．－144解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝34，得cos α＝34，又α为锐角．所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π＝－sin α2＝－1－cos α2＝－1－342＝－18＝－24.★答案★：B3．化简2＋cos 2－sin 21等于( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1D ．－3cos 1解析：原式＝2＋2cos 21－1－(1－cos 21)＝3cos 21＝3cos 1，故选C.4．函数f (x )＝2sin x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的最大值等于( )A.12 B.32 C ．1D ．2解析：f (x )＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos x 2－cos π3sin x 2 ＝32sin x －sin 2x 2＝32sin x －1－cos x 2＝32sin x ＋12cos x －12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－12，所以f (x )max ＝12. ★答案★：A5．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2等于( ) A ．－12 B.12 C ．2D ．－2解析：∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.6．求值：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.★答案★：－17．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3的值为________．解析：由1sin θ＋1cos θ＝cos θ＋sin θsin θ·cos θ ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ12·sin 2θ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin 2θ＝22，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝sin 2θ，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故θ＋π4＋2θ＝3π，得θ＝11π12， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 13π6＝12.★答案★：128．化简sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝________.解析：原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝tanx2.★答案★：tan x29．已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α与β均为锐角，求cos β2. 解析：因为0<α<π2，所以cos α＝1－sin 2α＝513. 又因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π. 若0<α＋β<π2，因为sin(α＋β)<sin α，所以α＋β<α不可能．故π2<α＋β<π.所以cos(α＋β)＝－35.所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－35×513＋45×1213＝3365，因为0<β<π2，所以0<β2<π4. 故cos β2＝1＋cos β2＝76565. 10．已知函数f (x )＝cos 2x －3sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若f (θ)＝56，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，求sin 2θ的值．解析：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－32sin 2x ＋1＝12cos 2x －32sin 2x ＋32 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32，令2k π＋π≤2x ＋π3≤2k π＋2π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z.(2)因为f (θ)＝56，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋32＝56，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝－23，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3⇒π<2θ＋π3<5π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝－53. 所以sin 2θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2θ＋π3)－π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3sin π3＝23－56.[B 组能力提升]1．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于( ) A ．±55 B ．±255 C ．－55D ．－255解析：由已知，得sin [(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45. 因为β在第三象限，所以cos β＝－35，β2为第二、四象限角，所以cos β2＝± 1＋cos β2＝± 15＝±55.★答案★：A2．若sin α2＝1＋sin α－1－sin α，0≤α≤π，则tan α的值是( ) A ．－43 B ．0 C ．－43或0D ．无法确定解析：1＋sin α－1－sin α ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2 ＝sin α2＋cos α2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2＝sin α2，所以2cos α2＝sin α2或sin α2＝0，所以tan α2＝2或sin α2＝0，当tan α2＝2时，tan α＝2tan α21－tan 2α2＝41－4＝－43，当sin α2＝0时，tan α＝0. 综上可知，tan α的值是－43或0. ★答案★：C3．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是________．解析：f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，56π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，故f (x )的最大值为32. ★答案★：324．如果a ＝(cos α＋sin α，2 008)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos 2α＋tan 2α＋1的值是________．解析：由a ∥b ，得cos α＋sin α＝2 008(cos α－sin α)， ∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008. 1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008.∴1cos 2α＋tan 2α＋1＝2 008＋1＝2 009. ★答案★：2 0095．点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过P 作圆的切线PT 且PT ＝1，∠P AB ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 面积最大？解析：如图所示， ∵AB 为直径，∴∠APB ＝90°，AB ＝1， P A ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切圆于P 点，∠TPB ＝∠P AB ＝α， ∴S 四边形ABTP ＝S △P AB ＋S △TPB ＝12P A ·PB ＋12PT ·PB ·sin α ＝12sin αcos α＋12sin 2 α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＋14. ∵0＜α＜π2，－π4＜2α－π4＜34π，∴当2α－π4＝π2，即α＝38π时，S 四边形ABTP 最大．6．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18)°＋cos 248°－sin(－18)°cos 48°； ⑤sin 2(－25)°＋cos 255°－sin(－25)°cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋ sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。

【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-2简单的三角恒等变换成长训练

【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-2简单的三角恒等变换成长训练主动成长夯基达标1.已知cos θ=53-,π＜θ＜2π,则sin 2θ等于( ) A.54 B.552 C.-552 D.±552 解析:∵π＜θ＜2π,∴2π＜2θ＜π. ∴sin 2θ＞0.∴sin2θ=55225312cos 1=+=-θ. 答案:B 2.在tan2x的定义域内,下列各式中恒成立的一个是( ) A.tan2x =x x cos 1cos 1+- B.tan 2x =-x x cos 1cos 1+- C.tan2x =x x sin cos 1- D.tan 2x =x x cos 1sin - 解析:2x ≠2π+k π,k∈Z ,∴x≠π+2k π. 答案:C 3.已知cos α=53-,且π＜α＜23π,则cos 2α的值等于( ) A.55 B.-55 C.552 D.-552解析:∵π＜α＜23π, ∴2π＜2α＜43π.∴cos 2α＜0.∴cos2α=.5525312cos 1-=--=+-α 答案:B4.已知2π＜θ＜4π,且sin θ=53-,cos θ＜0,则tan 2θ的值等于( ) A.-3 B.3 C.-31 D.31解析:由题意知θ为第三象限角,3π＜θ＜27π, ∴23π＜2θ＜47π.∴tan2θ＜0,cos θ=2591--=-54.∴tan 2θ=35159541541cos 1cos 1-=-=-+-=+--θθ. 答案:A5.已知sin α=135,且α是第二象限角,则tan 2α的值是( ) A.51 B.5 C.5或51 D.-5或51 解析:∵α是第二象限角,∴2α是第一,三象限角. ∴tan 2α＞0.cos α=1312169144169251-=-=--. ∴tan 2α=.513113251312113121cos 1cos 1==-+=+-αα 答案:B 6.若α+β=2π,则( )A.cos2α=-2sin 1β+ B.sin 2α=2sin 1β- C.tan2α=±ββsin 1sin 1+- D.tan 2α=±ββsin 1sin 1-+ 解析:因为α,β的象限不确定,所以根号前的符号不确定,排除A,B.tan 2α=±.sin 1sin 1)2cos(1)2cos(1cos 1cos 1βββπβπαα+-±=-+--±=+- 故选C. 答案:C7.已知2sin θ=1+cos θ,则tan 2θ的值为( ) A.2 B.21 C.21或0 D.2或0解析:若1+cos θ≠0,则tan 2θ=θθcos 1sin +=21.若1+cos θ=0,即cos θ=-1, ∴θ=2k π+π. ∴tan2θ=0. 答案:C 8.若tan α=2,则ααα2cos 12cos 2sin +-的值是( ) A.67 B.23 C.61 D.-61解析:原式=67244142tan tan 1tan 2cos 2sin sin cos cos sin 2222222=++-=++-=++-ααααααααα. 答案:A9.在△ABC 中,cos(4π+A)=135,那么cos2A=____________.解析:∵cos(4π+A)=135,∴sin(4π+A)=1312169251=-. ∴sin［2(4π+A)］=2sin(4π+A)·cos(4π+A)=2×1312×135=169120.∴cos2A=169120. 答案:16912010.若α是第三象限角,且sin(α+β)cos β-sin βcos(α+β)=-135,则tan2α=____________. 解析:原式化为(sin αcos β+cos αsin β)cos β-sin β(cos αcos β-sin αsin β)=-135, 即sin αcos 2β+cos αsin βcos β-sin βcos βcos α+sin αsin 2β=-135,sin α=-135.∵α是第三象限角,∴2α是第二,四象限角.cos α=1312169251-=--, ∴tan 2α=513113251312113121cos 1cos 1-=--+-=+--αα. 答案:-511.已知sin φ·cos φ=16960,且4π＜φ＜2π,求sin φ,cos φ的值. 解:方法一:∵sin φcos φ=16960,∴sin2φ=169120.又∵4π＜φ＜2π,2π＜2φ＜π,cos2φ＜0,∴cos2φ=169119169717)169120(1sin 122-=⨯-=--=2--ϕ,sin φ＞0,cos φ＞0. ∴sin φ=13122169119122cos 1=+=-ϕ, cos φ=1352169119122cos 1=-=+ϕ.方法二:(sin φ+cos φ)2=1+2sin φcos φ=1+169120=169289, ∵4π＜φ＜2π,sin φ＞0,cos φ＞0. ∴sin φ+cos φ=1317.①又(sin φ-cos φ)2=1-2sin φcos φ=1-169120=16949, ∵4π＜φ＜2π,则sin φ＞cos φ＞0, ∴sin φ-cos φ＞0,sin φ-cos φ=137.②解①②的方程组得sin φ=1312,cos φ=135.走近高考12.(2005江西高考,18)已知向量a =(2cos2x ,tan(2x +4π)),b =(2sin(2x +4π),tan(2x -4π)),令f(x)=a·b ,求函数f(x)的最大值、最小正周期,并写出f(x)在［0,π］上的单调区间. 解:f(x)=a·b=22cos2x sin(2x +4π)+tan(2x +4π)tan(2x -4π)=22cos 2x ·(22sin 2x+22cos 2x )+2tan 112tan 2tan 12tan1x xx x +-∙-+ =2sin 2x cos 2x +2cos 22x -1 =sinx+cosx =2sin(x+4π). 所以f(x)的最大值为2,最小正周期为2π,f(x)在［0, 4π］上单调递增,在［4π,π］上单调递减.13.(2005天津高考,17)已知sin(α-4π)=1027,cos2α=257,求sin α及tan(α+3π).解:方法一:由题设条件,应用两角差的正弦公式得1027=sin(α-4π)=22(sin α-cos α), 即sin α-cos α=57.① 由题设条件,应用二倍角余弦公式得257=cos2α=cos 2α-sin α =(cos α-sin α)(cos α+sin α)=-57(cos α+sin α), 故cos α+sin α=51-.②由①式和②式得sin α=53,cos α=-54. 因此,tan α=-43.由两角和的正切公式tan(α+3π)=11325483343344331433tan 313tan -=+-=+-=-+αα. 方法二:由题设条件,应用二倍角余弦公式得257=cos2α=1-2sin 2α. 解得sin 2α=259,即sin α=±53.由sin(α-4π)=1027可得sin α-cos α=57.由于sin α=57+cos α＞0,且cos α=sin α-57＜0, 故α在第二象限,于是sin α=53,从而cos α=sin α-57=-54.以下同方法一.14.(经典回放)已知sinx+cosx=137,0≤x＜π,则tanx 的值为( ) A.512- B.125- C.512 D.512-或125-解析:由sinx+cosx=137,两边平方得sin2x=-169120.① 由0≤x＜π知0≤2x＜2π.由①知π＜2x ＜2π⇒2π＜x ＜π. 又由已知sinx+cosx=137＞0知只能2π＜x ＜43π⇒π＜2x ＜23π.② 由①②得cos2x=169119-.∴tanx=5122sin 2cos 1-=-x x .答案:A15.求函数y=cot 2x sinx+xxtan 2sin 的最值. 解:y=x x sin cos 1+·sinx+x x sin cos ·2sinxcosx=2(cosx+41)2+87,∵sinx≠0,∴cosx≠±1.∴当cosx=-41时,y min =87,无最大值.。

高中数学第三章三角恒等变换第二节简单的三角恒等变换(第二课时)示范教案数学教案

第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时导入新课思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(π4＋α)－(π4－α)，π4＋α＝π2－(π4－α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开．思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，本节主要研究函数y ＝a sin x ＋b cos x 的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．推进新课新知探究提出问题①三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期，最大值和最小值是多少？ ②函数y ＝a sin x ＋b cos x 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是2π，函数y ＝sin2x 的周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．函数y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋b a 2＋b2cos x )，∵(a a 2＋b2)2＋(b a 2＋b2)2＝1，从而可令a a 2＋b2＝cos φ，b a 2＋b 2＝sin φ，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．因此，我们有如下结论：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．讨论结果：①y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.②～③(略)见活动．应用示例思路1例1如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α. 求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行： (1)找出S 与α之间的函数关系； (2)由得出的函数关系，求S 的最大值．解：在Rt△OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α，图1在Rt△OAD 中，DA OA＝tan60°＝3，所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36 ＝13(32sin2α＋12cos2α)－36＝13sin(2α＋π6)－36.由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36.因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36.点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－33x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.[0，π]上的单调递增区间．活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．解：y＝sin4x＋23sin x cos x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin2x＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x －π6)．故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；在[0，π]上单调增区间是[0，π3]，[5π6，π]．点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．活动：学生在解此题时，对f (x )是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f (x )的图象关于M (3π4，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题．一般地，定义在R 上的函数y ＝f (x )对定义域内任意x 满足条件：f (x ＋a )＝2b －f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称，反之亦然．教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立．又ω>0，所以，得cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，得f (3π4－x )＝－f (3π4＋x )．取x ＝0，得f (3π4)＝－f (3π4)，所以f (3π4)＝0.∵f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2)＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0.又ω>0，得3ωπ4＝π2＋k π，k ＝0,1,2，….∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．所以，综合得ω＝23或ω＝2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.变式训练已知如图2的Rt△ABC 中，∠A ＝90°，a 为斜边，∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n ，且a 2＝2mn .问：是否能在区间(π，2π]中找到角θ，恰使等式cos θ－sin θ＝4(cosB ＋C2－cosB －C2)成立？若能，找出这样的角θ；若不能，请说明理由．图2解：在Rt△BAD 中，AB m ＝cos B 2，在Rt△BAC 中，ABa＝sin C ，∴m cos B2＝a sin C .同理，n cos C2＝a sin B .∴mn cos B 2cos C2＝a 2sin B sin C .而a 2＝2mn ，∴cos B 2cos C 2＝2sin B sin C ＝8sin B 2·cos B 2cos C 2sin C 2.∴sin B 2sin C 2＝18.积化和差，得4(cosB ＋C2－cosB －C2)＝－1，若存在θ使等式cos θ－sin θ＝4(cos B ＋C2－cosB －C2)成立，则2cos(θ＋π4)＝－1，∴cos(θ＋π4)＝－22.而π<θ≤2π，∴5π4<θ＋π4≤9π4.∴这样的θ不存在．点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题．处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论. 例2已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12，∴tan2(α－β)＝2tan α－β1－tan 2α－β＝43.从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2α－β＋tan β1－tan2α－βtan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1.又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13<1.且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2.又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)，∴π2<β<π，－π<－β<－π2.∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α；若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．知能训练课本本节练习4.解答：4.(1)y ＝12sin4x .最小正周期为π2，递增区间为[－π8＋k π2，π8＋k π2](k ∈Z )，最大值为12；(2)y ＝cos x ＋2.最小正周期为2π，递增区间为[π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )，最大值为3；(3)y ＝2sin(4x ＋π3)．最小正周期为π2，递增区间为[－5π24＋k π2，π24＋k π2](k ∈Z )，最大值为2.课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．作业课本复习参考题A组11、12.设计感想1．本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如y＝a sin x＋b cos x 的函数转化为形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的．在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质．2．在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练．其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图．第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握．3．今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号．另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点．对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大．应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识．在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用．三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题．应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．二、备用习题 1.sin10°＋sin20°cos10°＋cos20°的值是( )A ．tan10°＋tan20° B.33C ．tan5°D ．2－ 3 答案：D2．若α－β＝π4，则sin αsin β的最大值是( )A.2－24 B.2＋24C.34 D ．1 答案：B3．若cos αsin x ＝12，则函数y ＝sin αcos x 的值域是( )A ．[－32，12]B ．[－12，12]C ．[－12，32] D ．[－1,1]答案：B4．log 2(1＋tan19°)＋log 2(1＋tan26°)＝________. 答案：15．已知函数f (x )＝cos2x cos(π3－2x )，求f (x )的单调递减区间、最小正周期及最大值．答案：解：f (x )＝12[cos π3＋cos(4x －π3)]＝12cos(4x －π3)＋14，由2k π≤4x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得原函数的单调递减区间是[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )，T ＝π2，最大值是34. 6．已知sin A ＝－35，cos B ＝－941，A ∈(3π2，2π)，B ∈(π，3π2)，求sin(2A －B2)的值，并判定2A －B2所在的象限．答案：解：cos A ＝45，sin2A ＝－2425，cos2A ＝1－2sin 2A ＝725， ∵B ∈(π，3π2)， ∴B 2∈(π2，3π4)． ∴sin B 2＝541，cos B 2＝－441. ∴sin(2A －B 2)＝sin2A cos B 2－cos2A sin B 2＝61411 025. 又cos(2A －B 2)＝cos2A cos B 2＋sin2A sin B 2<0， ∴2A －B 2是第二象限角． 7．已知f (0)＝a ，f (π2)＝b ，解函数方程：f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·cos y . 答案：解：分别取⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝t ，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2＋t ，y ＝π2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝π2＋t ，代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ f t ＋f －t ＝2f 0·cos t ， ①f π＋t ＋f t ＝0， ②f π＋t ＋f －t ＝－2f π2·sin t ， ③①＋②－③，得2f (t )＝2f (0)cos t ＋2f (π2)sin t . ∵f (0)＝a ，f (π2)＝b ， ∴f (x )＝a cos x ＋b sin x .。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换(一)aa高二数学

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(2)化简4cos 50°-tan 40°等于(děngyú)
.
解析:(2)4cos 50°-tan 40° =4sin 40°- sin 40
cos 40 = 4sin 40 cos 40 sin 40
cos 40 = 2sin 80 sin 40
cos 40 = 2cos10 sin 40
1.下列公式正确的是( B ) (A)sin 15°=± 1 cos30
2 (B)cos 15°= 1 cos30
2 (C)tan = 1 cos
2 sin (D)sin = 1 sin α对任意α∈R 都不成立
22
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2.已知 2sin θ=1+cos θ,则 tan 的值为( C )
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3.辅助角公式(gōngshì)的推导
asin x+bcos x= a2 b2 ( a sin x+ b cos x),
a2 b2
a2 b2
令 cos = a ,sin = b ,
a2 b2
a2 b2
则 asin x+bcos x= a2 b2 (sin xcos +cos xsin )= a2 b2 sin(x+ ),
52
2
2
2
解:因为|cos θ|= 3 , 5π <θ<3π,所以 cos θ=- 3 , 5π < < 3π .
52
5422
所以 sin
=-
1 cos =-
1
3 5
=-

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换成长训练

3.2 简单的三角恒等变换主动成长夯基达标1.已知cos θ=53-,π＜θ＜2π,则sin 2θ等于( ) A.54 B.552 C.-552 D.±552解析:∵π＜θ＜2π,∴2π＜2θ＜π. ∴sin 2θ＞0.∴sin2θ=55225312cos 1=+=-θ. 答案:B 2.在tan2x的定义域内,下列各式中恒成立的一个是( ) A.tan2x =x x cos 1cos 1+- B.tan 2x =-xx cos 1cos 1+- C.tan2x =x x sin cos 1- D.tan 2x =x x cos 1sin - 解析:2x ≠2π+k π,k∈Z ,∴x≠π+2k π. 答案:C 3.已知cos α=53-,且π＜α＜23π,则cos 2α的值等于( ) A.55 B.-55C.552D.-552解析:∵π＜α＜23π, ∴2π＜2α＜43π.∴cos 2α＜0.∴cos2α=.5525312cos 1-=--=+-α答案:B4.已知2π＜θ＜4π,且sin θ=53-,cos θ＜0,则tan 2θ的值等于( ) A.-3 B.3 C.-31 D.31解析:由题意知θ为第三象限角,3π＜θ＜27π, ∴23π＜2θ＜47π.∴tan2θ＜0,cos θ=2591--=-54. ∴tan 2θ=35159541541cos 1cos 1-=-=-+-=+--θθ. 答案:A5.已知sin α=135,且α是第二象限角,则tan 2α的值是( ) A.51 B.5 C.5或51 D.-5或51 解析:∵α是第二象限角,∴2α是第一,三象限角. ∴tan 2α＞0.cos α=1312169144169251-=-=--. ∴tan 2α=.513113251312113121cos 1cos 1==-+=+-αα 答案:B 6.若α+β=2π,则( ) A.cos2α=-2sin 1β+ B.sin 2α=2sin 1β-C.tan2α=±ββsin 1sin 1+- D.tan 2α=±ββsin 1sin 1-+解析:因为α,β的象限不确定,所以根号前的符号不确定,排除A,B.tan 2α=±.sin 1sin 1)2cos(1)2cos(1cos 1cos 1βββπβπαα+-±=-+--±=+- 故选C. 答案:C7.已知2sin θ=1+cos θ,则tan 2θ的值为( ) A.2 B.21 C.21或0 D.2或0解析:若1+cos θ≠0,则tan 2θ=θθcos 1sin +=21.若1+cos θ=0,即cos θ=-1, ∴θ=2k π+π. ∴tan2θ=0. 答案:C 8.若tan α=2,则ααα2cos 12cos 2sin +-的值是( )A.67 B.23 C.61 D.-61 解析:原式=67244142tan tan 1tan 2cos 2sin sin cos cos sin 2222222=++-=++-=++-ααααααααα. 答案:A9.在△ABC 中,cos(4π+A)=135,那么cos2A=____________.解析:∵cos(4π+A)=135,∴sin(4π+A)=1312169251=-. ∴sin［2(4π+A)］=2sin(4π+A)·cos(4π+A)=2×1312×135=169120.∴cos2A=169120.答案:16912010.若α是第三象限角,且sin(α+β)cos β-sin βcos(α+β)=-135,则tan2α=____________. 解析:原式化为(sin αcos β+cos αsin β)cos β-sin β(cos αcos β-sin αsin β)=-135, 即sin αcos 2β+cos αsin βcos β-sin βcos βcos α+sin αsin 2β=-135,sin α=-135.∵α是第三象限角,∴2α是第二,四象限角. cos α=1312169251-=--, ∴tan 2α=513113251312113121cos 1cos 1-=--+-=+--αα. 答案:-511.已知sin φ·cos φ=16960,且4π＜φ＜2π,求sin φ,cos φ的值. 解:方法一:∵sin φcos φ=16960,∴sin2φ=169120.又∵4π＜φ＜2π,2π＜2φ＜π,cos2φ＜0, ∴cos2φ=169119169717)169120(1sin 122-=⨯-=--=2--ϕ,sin φ＞0,cos φ＞0. ∴sin φ=13122169119122cos 1=+=-ϕ, cos φ=1352169119122cos 1=-=+ϕ. 方法二:(sin φ+cos φ)2=1+2sin φcos φ=1+169120=169289, ∵4π＜φ＜2π,sin φ＞0,cos φ＞0. ∴sin φ+cos φ=1317.①又(sin φ-cos φ)2=1-2sin φcos φ=1-169120=16949, ∵4π＜φ＜2π,则sin φ＞cos φ＞0, ∴sin φ-cos φ＞0,sin φ-cos φ=137.②解①②的方程组得sin φ=1312,cos φ=135.走近高考12.(2005江西高考,18)已知向量a =(2cos2x ,tan(2x +4π)),b =(2sin(2x +4π),tan(2x -4π)),令f(x)=a·b ,求函数f(x)的最大值、最小正周期,并写出f(x)在［0,π］上的单调区间. 解:f(x)=a·b=22cos2x sin(2x +4π)+tan(2x +4π)tan(2x -4π)=22cos 2x ·(22sin 2x +22cos 2x )+2tan 112tan 2tan 12tan1x x x x +-∙-+ =2sin 2x cos 2x +2cos 22x -1 =sinx+cosx =2sin(x+4π). 所以f(x)的最大值为2,最小正周期为2π,f(x)在［0, 4π］上单调递增,在［4π,π］上单调递减.13.(2005天津高考,17)已知sin(α-4π)=1027,cos2α=257,求sin α及tan(α+3π).解:方法一:由题设条件,应用两角差的正弦公式得1027=sin(α-4π)=22(sin α-cos α),即sin α-cos α=57.① 由题设条件,应用二倍角余弦公式得257=cos2α=cos 2α-sin α =(cos α-sin α)(cos α+sin α)=-57(cos α+sin α), 故cos α+sin α=51-.②。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换练习新人教A版必修4(2021年整理)

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3.2 简单的三角恒等变换题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分）1．函数y＝错误!的最小正周期等于( )A.错误! B．πC．2π D．3π2。

错误!＝（）A．1 B．2C. 2 D。

错误!3．函数y＝3sin 4x＋错误!cos 4x的最大值是( )A. 3 B．2 错误!C．3 D．64．函数f(x）＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为（）A．2π B.错误!C．π D.错误!5．函数y＝cos2错误!＋sin2错误!－1是（)A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数6．如果函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x的图像关于直线x＝－错误!对称，则实数a的值为（)A．2 B．－2C．1 D．－17．已知函数f(x)＝错误!sin ωx＋cos ωx(ω〉0)，y＝f(x)的图像与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )A.错误!，k∈ZB。

错误!，k∈ZC.错误!,k∈ZD。

错误!，k∈Z二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．函数f(x）＝sin x－cos x的单调递增区间是____________________．9．已知sin（α＋错误!)＋sin α＝－错误!，－错误!<α<0，则cos α＝________．10．函数y＝sin 2x3＋cos（错误!＋错误!）的图像中相邻的两条对称轴之间的距离是________．11．已知函数f（x）＝cos 2x－2 3sin xcos x，给出下列结论:①存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立；②f(x）在区间[－错误!，错误!］上单调递增;③函数f(x）的图像关于点(错误!，0)中心对称;④将函数f（x）的图像向左平移错误!个单位后所得图像与g（x）＝2sin 2x的图像重合．其中正确结论的序号为________．三、解答题（本大题共2小题，共25分)得分12．(12分）已知函数f（x）＝4cos xsin 错误!－1.(1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x)在区间错误!上的最大值和最小值．13。

高中数学第三章三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变

3.2 简单的三角恒等变换1.知识与技能(1)利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.(2)通过三角恒等变形将形如a sin x+b cos x的函数转化为y=A sin(x+φ)的函数.2.过程与方法经历半角公式、积化和差公式、和差化积公式的推导过程,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促进学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.3.情感、态度与价值观引导学生以已有的公式为依据,以推导半角公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力.三角函数的和积互化(1)三角函数的积化和差公式及推导sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)],cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)],cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)].下面对这组公式进行推导:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,(S(α+β))sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,(S(α-β))cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,(C(α+β))cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,(C(α-β))(S(α+β))+(S(α-β)),(S(α+β))-(S(α-β)),(C(α+β))+(C(α-β)),(C(α+β))-(C(α-β)),得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,sin(α+β)-sin(α-β)=2cos αsin β,cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β,cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β,即sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)],①cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)],②cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],③sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)],④公式①、②、③、④叫做积化和差公式.(2)三角函数的和差化积公式sin α+sin β=2sin·cos,sin α-sin β=2cos·sin,cos α+cos β=2cos·cos,cos α-cos β=-2sin·sin.下面给出这组公式的推导:在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差化积.为了用起来方便,在积化和差的公式中,如果令α+β=θ,α-β=φ,则α=,β=.把这些值代入积化和差的公式①中,就有sin·cos==(sin θ+sin φ).∴sin θ+sin φ=2sin·cos.同样可得:sin θ-sin φ=2cos·sin, cos θ+cos φ=2cos·cos,cos θ-cos φ=-2sin·sin.这四个公式叫做和差化积公式.。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换第1课时三角恒等变换aa高一数学

1＋cos2x
数学
(2)sin2x＝1－c2os2x，cos2x＝_____2_____，sinxcosx＝12_____s_in_2_x_____．
必
修
④
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人
教
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版
12/9/2021
第七页，共四十二页。
[知识点拨](1)半角公式的正弦、余弦公式是由二倍角公式变形得到的．
(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道 cosα
数学必
＝2sin(2x＋π4)．
修
④
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教
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版
12/9/2021
第二十九页，共四十二页。
『规律总结』将三角函数 y＝f(x)化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m 的步骤
(1)将 sinxcosx 运用二倍角公式化为12sin2x，对 sin2x，cos2x 运用降幂公式，
sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与差的公式展开．
数
[思路分析] 先将f(x)利用(lìyòng)三角恒等变换化为asinx＋bcosx的形式，再利用
学
必修
辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式
④
·
人
教
A
版
12/9/2021
第二十八页，共四十二页。
[解析]
(1)f(x)＝ 2
3
sin
x 2
cos
x 2
＋
2cos2
x 2
－
1
＝
3
sinx
数学必
sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
修
④

课时作业9：3.2 简单的三角恒等变换

3．2 简单的三角恒等变换一、基础达标1．若sin α2＝33，则cos α等于( )A ．－23 B ．－13 C.13 D.23答案 C解析 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是() A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ.当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x 为奇函数．3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6 B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0答案 D解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )，因为x ∈[－π，0]，所以令k ＝0得单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，0.4．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是( )A.π4 B.π2 C ．π D ．2π答案 B解析 f (x )＝sin 4x ＋1－sin 2x＝sin 4x －sin 2x ＋1＝－sin 2x (1－sin 2x )＋1＝1－sin 2x cos 2x ＝1－14sin 22x ＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78， ∴T ＝2π4＝π2. 5．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是．答案 π解析 f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 6．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合．解 (1)f (x )＝(cos 4x －sin 4x )－2sin x cos x＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin 2x＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴T ＝2π2＝π，∴f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4， ∴当2x ＋π4＝π，即x ＝3π8时，f (x )min ＝－2，f (x )取最小值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫3π8. 7．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0. 由已知|m ＋n |＝825，得|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4⎝⎛⎭⎫cos θcos π4－sin θsin π4＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝21＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝221＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π42＝－22cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝825，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45.二、能力提升8．若sin α2＝33，则cos α等于( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23答案 C解析 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.9．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2等于() A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.10．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝ . 答案 4780解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136.∴80sin(α＋β)＝47，∴sin(α＋β)＝4780. 11．已知cos(α－β2)＝－277，sin(α2－β)＝12，且α∈(π2，π)，β∈(0，π2)．求：(1)cos α＋β2； (2)tan(α＋β)．解 (1)∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2， ∴sin(α－β2)＝ 1－cos 2(α－β2)＝217， cos(α2－β)＝ 1－sin 2(α2－β)＝32， ∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－277×32＋217×12＝－2114. (2)∵π4<α＋β2<3π4， ∴sin α＋β2＝ 1－cos 2α＋β2＝5714， ∴tan α＋β2＝sin α＋β2cos α＋β2＝－533， ∴tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝5311.12．设向量a ＝()3sin x ，sin x ，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |.求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2 x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1，所以f (x )的最大值为32. 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。

高中数学第三章三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换(1)教案新人教A版必修4(2021年

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3。

2 简单的三角恒等变换（1）教学目标知识目标（学习目标）1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式2.体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想,提高学生的推理能力.能力目标理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用。

情感态度价值观如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。

高考链接（高考考点）半角公式是三角函数解题过程中必有的知识点，必须把握好教学重点1.半角公式的推导训练.2。

三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学重点认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力.教学方法与教学准备多媒体，讲练结合教学设计教学内容教学策略学生活动和效果预测复习引入:复习倍角公式2S 、先让学生默写三个倍学生口答公式2C α、2T α 表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？角公式，注意等号两边角的关系,特别注意2C α.既然能用单角教学内容教学策略学生活动和效果预测半角公式的推导及理解：例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解:因为2cos 12sin 2αα=-,可以得到21cos sin 22αα-=; 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．点评:⑴以上结果还可以表示为：1cos sin 221cos cos 22αααα-=±+=± 解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以代2，2α代）教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；（2）由左式的“二次学生模仿余弦的二倍角公式推导半角公式并称之为半角公式，符号由2α角的象限决定。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换(二)aa高二数学

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(2)求函数 f(x)在区间[- π , π ]上的值域. 63
解:(2)由(1)知 f(x)=2+2sin(2x+ π ),由于- π ≤x≤ π ,
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所以 2x+ π ∈[- π , 5π ],
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所以 sin (2x+ π )∈[- 1 ,1],
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5.函数 y=sin(x+ π )sin(x+ π )的最小正周期 T=
.
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解析:y=sin(x+ π )sin(x+ π )=sin(x+ π )cos x
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= 1 sin x·cos x+ 3 cos2x= 1 sin 2x+ 3 (1+cos 2x)
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第二十三页，共二十九页。
即时训练 3-1:某一扇形铁皮,半径长为 1,圆心角为 π ,今铁皮匠想从中剪下一 3
个矩形 ABCD,如图所示,设∠COP=α,求当角α取何值时,矩形 ABCD 的面积最大? 并求出这个最大面积.
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第二十四页，共二十九页。
解:在 Rt△OBC 中, OB=cos α,BC=sin α. 在 Rt△OAD 中,
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第十二页，共二十九页。
(2)若 f( )= 2 ,求 sin α的值.
22 解:(2)由(1)知,f(x)= 2 sin(2x- π ),
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又 f( )= 2 ,则 2 sin(α- π )= 2 ,sin(α- π )= 1 .

高中数学：第三章三角恒等变换第2节简单的三角恒等变换 Word版含答案

3.2 简单的三角恒等变换[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 139～P 142的内容，回答下列问题． (1)α与α2是什么关系？提示：倍角关系．(2)如何用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2和tan 2 α2？提示：sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2，tan 2α2＝1－cos α1＋cos α.2．归纳总结，核心必记 (1)半角公式(2)三角恒等变换的特点三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式．[问题思考](1)能用不含根号的形式用sin α，cos α表示tan α2吗？提示：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.(2)如何用tan α2表示sin α，cos α及tan α？提示：sin α＝2sin α2·cosα2＝2sinα2·cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2. cos α＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2.tan α＝sin αcos α＝2tanα21－tan2α2.[课前反思](1)半角公式的有理形式：；(2)半角公式的无理形式：.知识点1求值问题讲一讲1．已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[尝试解答] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－ 1＋cos α2＝－55，tan α2＝sin α2cos α2＝－2.类题·通法解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．练一练1．已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解：由题意得⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°，∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.知识点2三角函数式的化简讲一讲2．化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．[尝试解答] 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2 α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.类题·通法化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．练一练 2．化简：(1)1＋sin θ－1－sin θ⎝⎛⎭⎫3π2<θ<2π； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2， ∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π， ∴0<sin θ2<22，－1<cos θ2<－22，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0.∴原式＝－⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ2－⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2＝－2sin θ2. (2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)，∴原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x ·tan x 2＝tan x . [尝试解答] 法一：左边＝2sin x cos x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋sin x cos x ·1－cos x sin x ＝sin x ⎝⎛⎭⎫1＋1－cos x cos x ＝sin x cos x ＝tan x ＝右边．法二：左边＝sin 2x2cos x ·tan x －tan x2tan ⎝⎛⎭⎫x －x 2＝sin 2x 2cos x ·sin x cos x －sin x2cos x 2tan x 2＝sin 2x 2cos x ·sin x cos x 2－sin x 2cos x cos x cos x 2·tan x 2＝2sin x cos x2cos x ·sinx 2cos x cos x 2·tanx2＝sin xcos x＝tan x ＝右边．类题·通法三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．练一练3．求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明：左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2 x 2＝2sin x cos x 4sin 2 x 2⎝⎛⎭⎫cos 2 x 2－sin 2 x 2＝sin x2sin 2 x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x ＝右边．∴原等式成立．[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用． 2．要掌握三角恒等变换的三个应用 (1)求值问题，见讲1； (2)化简问题，见讲2； (3)三角恒等式的证明，见讲3. 3．对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin α2，cos α2，tan α2.(3)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin 2 α2＝1－cos α2，cos 2 α2＝1＋cos α2求解．课下能力提升(二十五)[学业水平达标练]题组1 求值问题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝( )A. 1＋a2B. 1－a2C ．－1＋a2D ．－ 1－a2解析：选D ∵θ4∈⎝⎛⎭⎫5π4，6π4， ∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－ 1－a2.2．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值是( ) A ．－433 B ．8 C ．4 3 D ．－4 3解析：选B f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－sin 2 x 2－cos 2x 212sin x＝2tan x ＋cos x 12sin x ＝2(tan x ＋1tan x )．又tan π12＝sin π61＋cosπ6＝13＋2，∴原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫13＋2＋3＋2＝8.3．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2.题组2 三角函数式的化简4．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1解析：选C 原式＝2＋1－2sin 21－sin 21＝3－3sin 21＝3(1－sin 21)＝3cos 21＝3cos 1.5．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( )A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos2π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.题组3 三角恒等式的证明6．求证：cos 4θ＝14＋12cos 2θ＋14cos 22θ.证明：法一：原式左边＝⎝⎛⎭⎫1＋cos 2θ22＝14＋12cos 2θ＋14cos 22θ＝右边，∴原式成立．法二：原式右边＝14(cos 22θ＋2cos 2θ＋1)＝14(cos 2θ＋1)2＝14(2cos 2θ－1＋1)2＝cos 4θ＝左边， ∴原式成立．7．求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －12(cos 4x ＋cos 2x )＝2(1＋cos 2x )．证明：左边＝2⎝⎛⎭⎫1－cos 2x 22＋34sin 22x ＋5⎝⎛⎭⎫1＋cos 2x 22－12(cos 4x ＋cos 2x )＝2×1－2cos 2x ＋cos 22x 4＋34sin 22x ＋5×1＋2cos 2x ＋cos 22x 4－12(2cos 22x －1＋cos 2x )＝2×14＋54＋12＋2×－2cos 2x 4＋5×2cos 2x 4－12cos 2x ＋2×cos 22x 4＋5×cos 22x 4－12×2cos 22x ＋34sin 22x ＝94＋cos 2x ＋34cos 22x ＋34sin 22x＝94＋cos 2x ＋34＝3＋cos 2x ＝3＋(2cos 2x －1)＝2(1＋cos 2x )＝右边． ∴原式成立．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数解析：选D 由cos 2x ＝2cos 2x －1，得f (x )＝cos 2x ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝12＋12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12－sin 2x 2，所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b .3．已知关于x 的方程x 2＋x cos A cos B －2sin 2 C 2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C 由一元二次方程根与系数的关系得－cos A cos B ＝12⎝⎛⎭⎫－2sin 2 C 2，即cos A cos B ＝sin 2 C 2＝sin 2π－(A ＋B )2＝cos 2A ＋B 2＝12[1＋cos(A ＋B )]．得cos(A －B )＝1.∴A ＝B .4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin π6＋α＝23.所以cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－α2＝1＋232＝56. ★答案★：565．已知sin αcos β＝12，则cos αsin β的取值范围是________．解析：法一：设x ＝cos α·sin β，则sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝12＋x ，sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β＝12－x . 因为－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，所以⎩⎨⎧ －1≤12＋x ≤1，－1≤12－x ≤1，所以⎩⎨⎧ －32≤x ≤12，－12≤x ≤32，所以－12≤x ≤12. 法二：设x ＝cos α·sin β，sin α·cos β·cos α·sin β＝12x ，即sin 2α·sin 2β＝2x .由|sin 2α·sin 2β|≤1，得|2x |≤1，所以－12≤x ≤12. ★答案★：⎣⎡⎦⎤－12，12 6．已知tan α2＝12，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值．解：∵tan α2＝12，∴sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋14＝45， cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－141＋14＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6＝45×32＋35×12＝3＋4310. 7．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ . 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1. 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。