第十三章 弯曲变形与静不定梁

例13-4 用叠加法求图示梁的 13M P A C
l/2
yC、θ A、θ B，EI=常量。
解 运用叠加法
5ql 4 Pl 3 ml 2 yC = − − − 384 EI 48EI 16 EI
q B
l/2
ql 3 Pl 2 ml θA = − − − 24 EI 16 EI 3EI
=
B
A
ql 3 Pl 2 ml θB = + + 24 EI 16 EI 3EI
教学重点
梁弯曲变形的基本概念； 梁弯曲变形的基本概念； 挠曲线的近似微分方程； 挠曲线的近似微分方程； 积分法和叠加法计算梁的变形； 积分法和叠加法计算梁的变形； 梁的刚度条件。 梁的刚度条件。
教学难点
挠曲线近似微分方程的推导过程； 挠曲线近似微分方程的推导过程； 积分法和叠加法计算梁的变形； 积分法和叠加法计算梁的变形； 变形比较法求解静不定梁。 变形比较法求解静不定梁。
A C
B x
2.挠度和转角 挠度和转角 它们是度量梁变形后横截面位移的两个基本量。 它们是度量梁变形后横截面位移的两个基本量。 挠度（ ） 即轴线上的点)在垂直于 挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点 在垂直于 x 轴方向 即轴线上的点 的线位移，称为该截面的挠度。 的线位移，称为该截面的挠度。 转角（ 转角（θ） ：横截面对其初始位置的所转过的角度 , 称为该截 面的转角。 面的转角。
三、提高梁弯曲刚度的措施 梁的变形不仅与梁的受力和支承情况有关， 梁的变形不仅与梁的受力和支承情况有关，而且还 梁的材料、截面形状与大小和梁的长度有关 有关。 与梁的材料、截面形状与大小和梁的长度有关。 提高梁刚度的措施为 1.增大梁的抗弯刚度 ； 增大梁的抗弯刚度EI； 增大梁的抗弯刚度 2.减小梁的跨度； 减小梁的跨度； 减小梁的跨度 3.改变加载方式。 改变加载方式。 改变加载方式
M
+
q B A
A
B
+
二、梁的刚度条件
y max ≤ [ y ] ,
θ
max
≤ [θ ]
常见梁结构的许用挠度和许用转角如下： 常见梁结构的许用挠度和许用转角如下： 普通传动轴 齿轮轴 吊车梁 楼盖梁
[ y ] = (0.0003 ~ 0.0005)l [θ ] = 0.001 ~ 0.005rad
[θ ] = 0.001rad
d2 y <0 2 dx
d2y M (x) 所以 = ± 2 dx EI
x
o
d 2 y M ( x) = 2 dx EI
上式就是挠曲线近似微分方程。 上式就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d y M ( x) = 2 dx EI
第二节
梁的挠曲线近似微分方程
M = ρ EI 1
一、挠曲线近似微分方程
y
1 M ( x) ⇒ = ρ ( x) EI
小变形
M>0
d2 y >0 2 dx
o
x
d2 y 1 dx 2 =± dy ρ ( x) [1 + ( ) 2 ]3 / 2 dx
1 d2 y ≈ =± 2 ρ ( x) dx
y
M<0
P
M B = Pl
O
B
l/2
A
l/2
(2）MB单独作用时，A、B两截面变形位移可以直接从表中查出。 ） 单独作用时， 、 两截面变形位移可以直接从表中查出 两截面变形位移可以直接从表中查出。
（3）P和MB共同作用时，应用叠加法可得知，A截面挠度为两种载 ） 和 共同作用时，应用叠加法可得知， 截面挠度为两种载 荷的代数和， 截面的转角也为两者的代数和 截面的转角也为两者的代数和。 荷的代数和，B截面的转角也为两者的代数和。
P
解 由刚度条件可得
ymax
O
B
Pl 3 l = ≤ [ y] = 48EI 500
48 EI P≤ 500l 2
l/2
A
l/2
解得
120a z
所以得 [ P ] = 7.11kN 由梁的最大弯曲应力为
σ max =
M max Pl = = 60MPa ≤ [σ ] Wz 4Wz
因此，满足强度条件。 因此，满足强度条件。
例13-3 用叠加法求如图所示梁的截面A的挠度和截面B的转 角。EI=常量。 单独作用时， 解 （1）P单独作用时，梁的左半 ） 单独作用时
段OA的变形如同悬臂梁在末端受 的变形如同悬臂梁在末端受 集中力作用时的变形；右半段AB 集中力作用时的变形；右半段 部分梁没有变形位移， 部分梁没有变形位移，但其有刚体 位移。刚体位移可以看作是随A截 位移。刚体位移可以看作是随 截 面的平动与绕A截面的转动 截面的转动。 面的平动与绕 截面的转动。所以 B截面的转角等于 截面的转角。 截面的转角等于A截面的转角。 截面的转角等于 截面的转角
2
第三节
用叠加法计算梁的变形 梁的刚度条件
一、用叠加法求梁的弯曲变形 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单 独作用于结构而引起的变形的代数和。 独作用于结构而引起的变形的代数和。
θ ( P P2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Pn ) = θ1 ( P ) + θ2 ( P2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +θn ( Pn ) 1 1
第一节
弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机） 轧钢机（或压延机）的弯曲变形
1.挠曲线 挠曲线 梁变形后的轴线称为挠曲线 。 挠曲线方程为
y = f (x)
为该点的挠度。 式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度。 为该点的挠度
y
转角θ 转角θ
C'
挠曲线
θ
y挠度 挠度
q θ = y' = (−l3 +6lx2 −4x3) 24EI qx y= (−l3 +2lx2 − x3) 24EI
在 x = 0 和 x = l 处转角的 绝对值相等且都是 最大值， 最大值，为
A
q
B
θB
θ
− =
θ
A
m ax
θ
B
ql =m 24EI
3
θA
θB
l
RA
RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值
[ y] = ( 1 1 ~ )l 750 400
[ y] = (
1 1 ~ )l 400 250
如图所示工字钢梁， 例13-5 如图所示工字钢梁，l=8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， ， [ y ]= l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确 ／ ， ， 。试根据梁的刚度条件， 定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。 ，并校核强度。
θ max = θ B
PL2 = 2 EI
（ ）
y max = y B
PL 3 = 3 EI
（ ）
的简支梁, 例13-2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁 在全梁上受集度为 13q 的均布载荷作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 的均布载荷作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程 并确定其最大挠度 ymax 和最大转角 θmax 。 q
二、用积分法求梁的弯曲变形 微分方程的积分
2
d2 y E I = M(x) 2 dx
dy EI = EI θ ( x ) = ∫ M ( x ) d x + C dx
EIy ( x ) =
∫ [∫ M ( x ) d x ]d x + Cx + D
式中C、 为积分常数 可根据梁的边界条件和连续性条件确定。 为积分常数， 式中 、D为积分常数，可根据梁的边界条件和连续性条件确定。
B A
l
q
B A
l
RA
由对称性可知， 解: 由对称性可知，梁的两个支反力为
RB
ql RA = RB = 2
梁的 弯矩方程 及 挠曲线微分方程 分别为
ql 1 2 q M(x) = x − qx = (lx − x2 ) 2 2 2
q 2 E '' = M(x) = (lx − x ) Iy 2
q EIy'' = M(x) = (lx − x2) 2
x
（3）确定积分常数 。 确定积分常数 当
x = 0 时，
P EIy′ = x 2 − PLx + C 2 P PL 2 EIy = x 3 − x + Cx + D 6 2
θ A = y′A = 0 ， y A = 0
求得
C =0; D = 0
y
L
P
B
θB
x
yB
（4）写出挠曲线近似方程并画出挠曲线的大致形 状。 Px 2 y(x) = (x − 3L) 6 EI （5）最大转角及最大挠度（绝对值最大）。 最大转角及最大挠度（绝对值最大）。
第十三章 弯曲变形与静不定梁
第一节 弯曲变形的基本概念 第二节 梁的挠曲线近似微分方程 第三节 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度条件 第四节 静不定梁
教学目的和要求
本章介绍了梁的弯曲变形的基本知识， 本章介绍了梁的弯曲变形的基本知识，主要包括挠 曲线及梁的刚度条件。 曲线及梁的刚度条件。学习时要掌握梁的弯曲变形 的基本概念，了解程， 掌握积分法和叠加法计算梁的变形， 掌握积分法和叠加法计算梁的变形，同时了解提高 梁刚度的方法。 梁刚度的方法。了解变形比较法求静不定梁的计算 过程。 过程。
（图b）
y A = 0,
yB = 0