2012年高二数学教案：第2章(第6课时)平面向量的基本定理及坐标表示(2)(人教A版必修4)

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高中数学第二章平面向量的基本定理及坐标表示(第2课时)平面向量的正交分解及坐标表示教案

第2课时平面向量的正交分解及坐标表示[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P94～P100的内容，回答下列问题．(1)在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量关于e1，e2的分解是唯一的吗？提示：唯一．(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量OA.根据平面向量基本定理，OA＝x i＋y j，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？提示：相同．(3)如果向量OA也用(x，y)表示，那么这种向量OA与实数对(x，y)之间是否一一对应？提示：一一对应．(4)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a＋b，a－b，λa的坐标？提示：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出AB的坐标吗？提示：能．AB＝(x2－x1，y2－y1)．2．归纳总结，核心必记(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝x i＋y j，则(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．(3)向量i，j，0的坐标表示i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．(4)平面向量的坐标运算，y 2)，其中(1)在平面直角坐标系中，若a ＝b ，那么a 与b 的坐标具有什么特点？为什么？提示：若a ＝b ，那么它们的坐标相同，根据平面向量基本定理，相等向量在平面直角坐标系中的分解是唯一的，所以相等向量的坐标相同． (2)与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)，与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )．(3)点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？提示：区别：①表示形式不同，向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号．②意义不同，点A (x ，y )的坐标表示点A 在平面直角坐标系中的位置，向量a ＝(x ，y )的坐标既表示大小，又表示方向；另外(x ，y )既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x ，y )或向量(x ，y )．联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点坐标相同． (4)两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的坐标条件能表示为x 1x 2＝y 1y 2吗？提示：不一定，为使分式有意义，需分母不为0，可知只有当x 2y 2≠0时才能这样表示． (5)如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示：将b 写成λa 的形式，根据λ的符号判断，如a ＝(－1,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－13＝－16(－1,2)＝－16a ，故a ，b 反向．[课前反思](1)平面向量的正交分解：；(2)平面向量的坐标表示：；(3)平面向量的坐标运算：；(4)平面向量共线的坐标表示：.知识点1讲一讲1．(1)已知向量a在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标原点O，又|a|＝2，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，则向量a的坐标为( )A．(1,1) B．(－1，－1)C．(2，2) D．(－2，－2)(2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴同向的单位向量，OA，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是______．(填序号)①向量a可以表示为a＝m i＋n j；②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)；③若a＝OA，则终点A的坐标就是向量a的坐标．[尝试解答] (1)由题意，a＝(2cos 45°)i＋(2sin 45°)j＝i＋j＝(1,1)．(2)由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n，使得a＝m i＋n j，所以①正确．当a＝OA时，均有a＝(x，y)，所以②错，③正确．答案：(1)A (2)①③类题·通法求点和向量坐标的常用方法(1)在求一个向量时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．练一练1．在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝222＝2，a 2＝|a |sin 45°＝222＝2， b 1＝|b |cos 120°＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝332＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝432＝23，c 2＝|c |sin(－30°)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)．知识点2讲一讲2．(1)已知向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a ＋b ，a －b,3a,2a ＋3b 的坐标； (2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM ＝3CA ，CN ＝2CB ，求M ，N 及MN 的坐标．[尝试解答] (1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)． (2)法一：由A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，可得CA ＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，CB ＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，所以CM ＝3CA ＝3(1,8)＝(3,24)，CN ＝2CB ＝2(6,3)＝(12,6)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则CM ＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3,24)，x 1＝0，y 1＝20；CN ＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12,6)，x 2＝9，y 2＝2，所以M (0,20)，N (9,2)，MN ＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．法二：设点O 为坐标原点，则由CM ＝3CA ，CN ＝2CB ，可得OM －OC ＝3(OA －OC )，ON －OC ＝2(OB －OC )，从而OM ＝3OA －2OC ，ON ＝2OB －OC ，所以OM ＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)，ON ＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)，即点M (0,20)，N (9,2)，故MN ＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．类题·通法(1)平面向量坐标运算的方法①若已知向量的坐标，则直接利用向量和、差及向量数乘运算的坐标运算法则求解． ②若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再利用向量的坐标运算法则求解． (2)坐标形式下向量相等的条件及其应用①条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．②应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值．练一练2．(1)已知3a －2b ＝(3，－2)，a ＝(x,2)，b ＝(0，y )，则x ，y 的值分别为( ) A ．－1,2 B ．1，－4C ．1,4 D ．－1,4(2)设点N 的坐标为(1,2)，点M 的坐标为(3,2)，则向量NM 的坐标为________．解析：(1)由3a －2b ＝3(x,2)－2(0，y )＝(3x,6)－(0,2y )＝(3x,6－2y )＝(3，－2)，可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝3，6－2y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.(2)NM ＝(3,2)－(1,2)＝(3－1,2－2)＝(2,0)．答案：(1)C (2)(2,0)知识点3讲一讲3．(1)下列各组向量是平行向量的有________．(填序号)①a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，b ＝(－2，－3)； ②a ＝(0.5,4)，b ＝(－8,64)； ③a ＝(2,3)，b ＝(3,4)；④a ＝(2,3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，2. (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)，判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？[尝试解答] (1)①12(－3)－34(－2)＝－32＋32＝0，∴a∥b .②0.564－4(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a ，b 不平行． ③24－33＝8－9＝－1≠0，∴a ，b 不平行．④22－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝4＋4＝8≠0，∴a ，b 不平行．(2)AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．法一：∵(－2)(－6)－34＝0，∴AB 与CD 共线，通过观察可知，AB 和CD 方向相反．法二：∵CD ＝－2AB ，∴AB 与CD 共线且方向相反．答案：(1)①类题·通法(1)向量共线的判定方法①利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b . ②利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解． (2)三点共线的实质与证明步骤①实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．②证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(ⅰ)证明向量平行；(ⅱ)证明两个向量有公共点．练一练3．(1)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 为何值时，(k a ＋b )∥(a －3b )？这两个向量的方向是相同还是相反？(2)已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )． ①求实数x 的值，使向量AB 与CD 共线；②当向量AB 与CD 共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，∴k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)．由题意得(k －3)(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∴当k ＝－13时，(k a ＋b )∥(a －3b )，并且它们的方向相反．(2)①AB ＝(x,1)，CD ＝(4，x )． ∵AB ∥CD ，∴x 2＝4，x ＝±2. ②由已知得BC ＝(2－2x ，x －1)，当x ＝2时，BC ＝(－2,1)，AB ＝(2,1)，∴AB 和BC 不平行，此时A ，B ，C ，D 不在一条直线上；当x ＝－2时，BC ＝(6，－3)，AB ＝(－2,1)， ∴AB ∥BC ，此时A ，B ，C 三点共线．又AB ∥CD ，∴A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．综上，当x ＝－2时，A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是平面向量的坐标表示及运算、平面向量共线的坐标表示． 2．本节课要重点掌握以下三个问题 (1)向量的坐标表示，见讲1； (2)向量的坐标运算，见讲2；(3)向量共线的坐标表示，见讲3. 3．要正确理解向量平行的条件(1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系． (2)a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．(3)a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)且b 1≠0，b 2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．课下能力提升(十八)[学业水平达标练]题组1 向量的坐标表示 1．给出下列几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3 D ．4解析：选C 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误． 2．已知向量OA ＝(1，－2)，OB ＝(－3,4)，则12AB 等于( )A ．(－2,3)B ．(2，－3)C ．(2,3)D ．(－2，－3)解析：选A AB ＝OB －OA ＝(－3,4)－(1，－2)＝(－4,6)， ∴12AB ＝12(－4,6)＝(－2,3)． 3．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB ＋2 BC ＝________.解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)， ∴AB ＝(2,3)，BC ＝(－3,3)．∴AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．答案：(－4,9)题组2 平面向量的坐标运算4．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1,7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,6)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)解析：选D 设D (x ，y )，由AD ＝BC ，得(x －5，y ＋1)＝(2，－5)， ∴x ＝7，y ＝－6，∴D (7，－6)．5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)解析：选B ∵AC ＝AB ＋AD ， ∴AD ＝AC －AB ＝(－1，－1)， ∴BD ＝AD －AB ＝(－3，－5)，故选B.6．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝－3.答案：－37．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ，求点C ，D 和CD 的坐标．解：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由题意可得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB ＝(3,6)，DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA ＝(－3，－6)． ∵AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)．则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此CD ＝(－2，－4)．题组3 向量共线的坐标表示8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2 解析：选B 由题意可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)．由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)4－32＝0，解得λ＝12.9．已知A ，B ，C 三点共线，BA ＝－38AC ，点A ，B 的纵坐标分别为2,5，则点C 的纵坐标为________．解析：设点C 的纵坐标为y .∵A ，B ，C 三点共线，BA ＝－38AC ，A ，B 的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－38(y －2)．∴y ＝10.答案：1010．已知A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)．因为AE ＝13AC ，所以AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23；因为BF ＝13BC ，所以BF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.所以EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又因为4⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83(－1)＝0，所以EF ∥AB .11．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89. (3)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0.∴k ＝－1613. [能力提升综合练]1．已知向量a ＝(m,1)，b ＝(m 2,2)．若存在λ∈R ，使得a ＋λb ＝0，则m ＝( )A ．0B ．2C ．0或2D ．0或－2解析：选C ∵a ＝(m,1)，b ＝(m 2,2)，a ＋λb ＝0，∴(m ＋λm 2,1＋2λ)＝(0,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋λm 2＝0，1＋2λ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－12，m ＝0或2，故选C.2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：选D ∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，∴d ＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．3．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D ∵a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1,1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然c 与d 不平行，排除A 、B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1,1)，d ＝a －b ＝－(－1,1)，即c ∥d 且c 与d 反向．4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 解析：选A 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12. 5．已知AB ＝(6,1)，BC ＝(x ，y )，CD ＝(－2，－3)，BC ∥DA ，则x ＋2y 的值为________．解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)＝(x ＋4，y －2)， ∴DA ＝－AD ＝－(x ＋4，y －2)＝(－x －4，－y ＋2)．∵BC ∥DA ，∴x (－y ＋2)－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0.答案：06．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线．∵AB ＝OB －OA ＝(3,1)，AC ＝OC －OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12，∴m ≠12. 答案：m ≠127．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP ＝OA ＋t AB ，试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t 值；若不可能，请说明理由．解：由题可知OA ＝(1,2)，AB ＝(3,3)， OP ＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )．(1)若P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，t ＝－23；若P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0，t ＝－13；若P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，解得－23＜t ＜－13.(2)PB ＝PO ＋OB ＝(－1－3t ，－2－3t )＋(4,5)＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 是平行四边形，则有OA ＝PB ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2，方程组显然无解．∴四边形OABP 不可能是平行四边形．8．已知向量u ＝(x ，y )和v ＝(y,2y －x )的对应关系可用v ＝f (u )表示．(1)若a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，试求向量f (a )及f (b )的坐标；(2)求使f (c )＝(4,5)的向量c 的坐标；(3)对于任意向量a ，b 及常数λ，μ，证明：f (λa ＋μb )＝λf (a )＋μf (b )恒成立．解：(1)由题意知，当a ＝(1,1)时，f (a )＝(1,21－1)＝(1,1)．当b ＝(1,0)时，f (b )＝(0,20－1)＝(0，－1)．(2)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(4,5)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4，2y －x ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4，∴c ＝(3,4)．(3)证明：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则λa ＋μb ＝(λx 1＋μx 2，λy 1＋μy 2)，∴f (λa ＋μb )＝(λy 1＋μy 2,2(λy 1＋μy 2)－(λx 1＋μx 2))．又∵f (a )＝(y 1,2y 1－x 1)，f (b )＝(y 2,2y 2－x 2)，∴λf (a )＋μf (b )＝λ(y 1,2y 1－x 1)＋μ(y 2,2y 2－x 2)＝(λy 1＋μy 2,2(λy 1＋μy 2)－(λx 1＋μx 2))＝f (λa ＋μb )．∴f (λa ＋μb )＝λf (a )＋μf (b )恒成立．。

平面向量的坐标表示备课教案

平面向量的坐标表示备课教案导言：平面向量是高中数学中的重要内容，通过坐标表示是一种常用的方法。

本教案将介绍平面向量的坐标表示的基本概念、性质以及相关的计算方法，以帮助学生深入理解和掌握平面向量的坐标表示。

一、平面向量的坐标表示的基本概念平面向量是具有大小和方向的有向线段，可以通过坐标表示来描述其几何特征。

平面向量的坐标表示通常用两个有序实数组成的有序数对表示，分别表示向量在水平和垂直方向上的投影长度。

二、平面向量的坐标表示的性质1. 平行向量的坐标表示关系：若两个向量 u 和 v 平行，则它们的坐标表示关系为 u = k · v，其中k 是一个实数。

2. 相等向量的坐标表示关系：若两个向量 u 和 v 相等，则它们的坐标表示关系为 u = (a, b) = v，其中 a 和 b 分别表示两个向量在水平和垂直方向上的投影长度。

3. 坐标表示法的加法规则：设向量 u = (a, b) 和 v = (c, d)，则它们的和向量 u + v 的坐标表示为(a + c, b + d)。

4. 坐标表示法的数乘规则：设向量 u = (a, b)，实数 k，则它们的数乘 ku 的坐标表示为 (ka, kb)。

三、平面向量的坐标表示的计算方法1. 计算向量的模：设向量 u = (a, b)，则向量 u 的模记为 |u|，计算公式为|u| = √(a^2 +b^2)。

2. 计算向量的夹角：设向量 u = (a, b) 和 v = (c, d)，则向量 u 和向量 v 的夹角记为θ，计算公式为cosθ = (u·v) / (|u|·|v|)，其中 u·v 表示向量 u 和向量 v 的数量积。

3. 计算向量的数量积：设向量 u = (a, b) 和 v = (c, d)，则向量 u 和向量 v 的数量积记为 u·v，计算公式为 u·v = ac + bd。

四、平面向量的坐标表示的应用实例通过以上的基本概念、性质和计算方法，我们可以应用平面向量的坐标表示来解决一些实际问题，比如平面几何中的线段长度、向量的投影等问题。

平面向量基本定理及坐标表示教案

2．3．4 平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量共线的坐标表示；（2）掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线．教学重点：平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式，教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一． λ1，λ2是被，，唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底．任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作),(y x a =其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=．2．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则),(2121y y x x ++=，),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标．向量的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是相同的。

3．练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP ，求P 点的坐标2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，则-2= ．3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，如何求证：四边形ABCD 是梯形．？二、讲解新课：1．思考：（1）两个向量共线的条件是什么？（2）如何用坐标表示两个共线向量？设=(x 1， y 1) ，=(x 2， y 2) 其中≠．由=λ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0∥ (≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵≠ ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2211x y x y = ？（不能。

平面向量的基本定理及坐标表示(教案)

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1．通过探究活动，理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．3．了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量的正交分解用于坐标表示，会用坐标表示向量．二、过程与方法1．首先通过“思考”，让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示．2．通过教师提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题．3．如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果．整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生经历的这种实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．三、情感、态度与价值观1．在探究过程中，让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，培养学生对“化归”、“数形结合”等数学思想的应用．2．在让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程中，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.教学重点、难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．教学难点：平面向量基本定理的理解与应用．教学关键：平面向量基本定理的理解.教学突破方法：通过问题设置，让学生充分练习，发现规律方法，体现学生的主体地位．教法与学法导航教学方法：启发诱导.学习方法：在老师问题的引导下，学生要充分作图，与小组成员合作探究，发现规律．教学准备.教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？二、主题探究，合作交流提出问题①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2．平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?②如上左图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．师生互动：如上右图，在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a．过点C 作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N．由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM=λ1e1，ON=λ2e2．由于OM+=，所以a=λ1e1+λ2e2．也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便．由此可得：平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．定理说明：（1）我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不唯一，关键是不共线;（3）由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;（4）基底给定时，分解形式唯一．提出问题:①平面内的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？②对平面内的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？师生互动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面内的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律．教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励．然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量a和b（如图），作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角．显然，当θ=0°时，a与b同向;当θ=180°时，a与b反向．因此，两非零向量的夹角在区间[0°，180°]内．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形．在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．提出问题①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢?②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？师生互动：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i +y j ①这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a =（x ，y ） ②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．显然，i =（1，0），j =（0，1），0=（0，0）．教师应引导学生特别注意以下几点：（1）向量a 与有序实数对（x ，y ）一一对应．（2）向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．如图所示，11B A 是表示a 的有向线段，A 1、B 1的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则向量a 的坐标为x =x 2-x 1，y =y 2-y 1，即a 的坐标为（x 2-x 1，y 2-y 1）．（3）为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了，即点A 的坐标就是向量a 的坐标，流程表示如下：三、拓展创新，应用提高例1 已知向量e 1、e 2（如右图），求作向量-2.5e 1+3e 2．作法：（1）如图，任取一点O ，作OA =-2．5e 1，OB =3e 2．（2）作OAC B ．故OC 就是求作的向量．例2 如下图，分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标．活动：本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ，其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合．一种方法是把a 正交分解，看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小．把向量a 用i 、j 表示出来，进而得到向量a 的坐标．另一种方法是把向量a 移到坐标原点，则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标．同样的方法，可以得到向量b 、c 、d的坐标．另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a 与b 关于y 轴对称，a 与c 关于坐标原点中心对称，a 与d 关于x 轴对称等．由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标．解：由图可知，a =1AA +2AA =2i +3j ，∴a =（2，3）．同理，b =-2i +3j =（-2，3）；c =-2i -3j =（-2，-3）；d =2i -3j =（2，-3）．点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标．四、小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合．五、课堂作业1．如图所示，已知AP =34AB ，AQ =31AB ，用OA 、OB 表示OP ，则OP 等于（） A ．31OA +34OB B ．31-OA +34OB C ．31-OA -34OB D ．31OA -34OB 2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|=m ，|e 2|=n ，若c =λ1e 1+λ2e 2（λ1，λ2∈R ），则|c |的最大值为（）A ．λ1m +λ2nB ．λ1n +λ2mC ．|λ1|m +|λ2|nD ．|λ1|n +|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且12A A =e 1，12B B =e 2，12C C =e 3，则12G G 等于（）A ．21（e 1+e 2+e 3） B ．31（e 1+e 2+e 3） C ．32（e 1+e 2+e 3） D ．31-（e 1+e 2+e 3） 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ)||||(AC AC AB AB +，λ∈［0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB =a +2b ，BC =-5a +6b ，CD =7a -2b ，则一定共线的三点是（）A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如右图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中与OA 与OB 的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23，若OC=λOA+μOB（λ，μ∈R），则λ+μ的值为________．参考答案：1．B 2．C 3．B 4．B 5．A 6．6第2课时教学目标一、知识与技能1．理解平面向量的坐标的概念；2．掌握平面向量的坐标运算；3．会根据向量的坐标，判断向量是否共线．二、过程与方法教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．三、情感、态度与价值观在解决问题过程中使学生形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．教学重点、难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．教学关键：平面向量坐标运算的探究.教学突破方法：结合向量坐标表示的定义及运算律，引导学生探究发现，最终得到结论．教法与学法导航教学方法：问题式教学，启发诱导学习方法：在熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律的基础上，在老师的引导下，通过与同学合作探究，得到结论．教学准备教师准备：多媒体、尺规．学生准备：练习本、尺规．教学过程一、创设情境，导入新课前一节课我们学习了向量的坐标表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？二、主题探究，合作交流提出问题：①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），你能得出a +b ，a -b ，λa 的坐标表示吗？②如图，已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为（x 2-x 1，y 2-y 1）的P 点吗？标出点P 后，你能总结出什么结论？师生互动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤．可得：a +b =（x 1i +y 1j ）+（x 2i +y 2j ）=（x 1+x 2）i +（y 1+y 2）j ，即a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2）．同理a -b =（x 1-x 2，y 1-y 2）．又 λa =λ（x 1i +y 1j ）=λx 1i +λy 1j ．∴ λa =（λx 1，λy 1）．教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量平移，使得点A 与坐标原点O 重合，则平移后的B 点位置就是P 点．向量的坐标与以原点为始点，点P 为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系．学生通过平移也可以发现：向量的模与向量的模是相等的．由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式：|AB |=||=221221)()(y y x x -+-．教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获．讨论结果：①能． ②=-=（x 2，y 2）-（x 1，y 1）=（x 2-x 1，y 2-y 1）．结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．提出问题①如何用坐标表示两个共线向量？②若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件？师生互动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系．此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠0．我们知道，a 、b 共线，当且仅当存在实数λ，使a =λb ．如果用坐标表示，可写为（x 1，y 1）=λ（x 2，y 2），即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0．这就是说，当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b （b ≠0）共线．我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的，但这与2211x y x y =是不等价的．因为当x 1=x 2=0时，x 1y 2-x 2y 1=0成立，但2211x y x y =均无意义．因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件．由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点．讨论结果：①x 1y 2-x 2y 1=0时，向量a 、b （b ≠0）共线．②充分不必要条件．提出问题：a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？师生互动：教师引导推证：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠a ，由a =λb ，（x 1，y 1）=λ（x 2，y 2）⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ，得x 1y 2-x 2y 1=0．讨论结果：a ∥b （b ≠0）的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0．教师应向学生特别提醒感悟：1. 消去λ时不能两式相除，∵y 1、y 2有可能为0，而b ≠0，∴x 2、y 2中至少有一个不为0．2. 充要条件不能写成2211x y x y =（∵x 1、x 2有可能为0）．3. 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b （b ≠0）{1221.a λb x y x y =⇔= 三、拓展创新，应用提高例1 已知a =（2，1），b =（-3，4），求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标．活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论．若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化．可由学生自己完成．解：a +b =（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a -b =（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a +4b =3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）．点评：本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式．例2 如图．已知ABC D 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标．活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：解法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系（主要是平行关系），数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如上图，设顶点D 的坐标为（x ，y ）．∵=（-1-（-2），3-1）=（1，2），=（3-x ，4-y ）．由=，得（1，2）=（3-x ，4-y ）．∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x ，⎩⎨⎧==.2,2y x ∴顶点D 的坐标为（2，2）．方法二：如上图，由向量加法的平行四边形法则，可知BC BA AD BA BD +=+= =（-2-（-1），1-3）+（3-（-1），4-3）=（3，-1），而OD =OB +BD =（-1，3）+（3，-1）=（2，2），∴顶点D 的坐标为（2，2）．点评：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．例3 已知a =（4，2），b =（6，y ），且a ∥b ，求y ．解：∵a ∥b ，∴4y -2×6=0．∴y =3．例4 已知A （-1，-1），B （1，3），C （2，5），试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系．活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．解：在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点，观察图形，我们猜想A 、B 、C 三点共线．下面给出证明．∵AB =（1-（-1），3-（-1））=（2，4），AC =（2-（-1），5-（-1））=（3，6），又2×6-3×4=0，∴AB ∥AC ，且直线AB 、直线AC 有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线．这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的．例5 设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是（x 1，y 1）、（x 2，y 2）．（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．活动：教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当21PP P P =λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由P P 1=λ2PP ，知（x -x 1，y -y 1）=λ（x 2-x ，y 2-y ），即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：（1）如图，由向量的线性运算可知OP =21 （OP 1+OP 2）=（.2,22121y y x x ++）．所以点P 的坐标是（.2,22121y y x x ++）（2）如图（1）、（2），当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即21PP P P =21或21PP P P =2．如果21PP P P =21，如图（1），那么 OP =1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31（2OP -1OP ）=321OP +312OP =（32,322121y y x x ++）．即点P 的坐标是（32,322121y y x x ++）．同理，如果21PP P P =2图（2），那么点P 的坐标是121222(,).33x x y y ++ 点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式．四、小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．五、课堂作业1．已知a =（3，-1），b =（-1，2），则-3a -2b 等于（）A ．（7，1）B ．（-7，-1）C ．（-7，1）D ．（7，-1）2．已知A （1，1），B （-1，0），C （0，1），D （x ，y ），若AB 和是相反向量，则D 点的坐标是（）A ．（-2，0）B ．（2，2）C ．（2，0）D ．（-2，-2）3．若点A （-1，-1），B （1，3），C （x ，5）共线，则使=λ的实数λ的值为（）A ．1B ．-2C ．0D ．24．设a =（23，sin α），b =（cos α，31），且a ∥b ，则α的值是（） A ．α=2k π+π4（k ∈Z ） B ．α=2k π-π4（k ∈Z ） C ．α=k π+π4（k ∈Z ） D ．α=k π-π4（k ∈Z ） 5．向量=（k ，12），=（4，5），=（10，k ），当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？参考答案：1．B 2．B 3．D 4．C5．∵=（k ，12）， =（4，5），=（10，k ）， ∴=-=（4-k ，-7）， =-=（6，k -5）． ∵∥，∴（4-k ）（k -5）+7×6=0．∴k 2-9k -22=0．解得k =11或k =-2．教案 B第1课时教学目标一、知识与技能1．理解平面向量基本定理，明确任何一个平面向量都可以用两个不共线的向量来表示，在具体问题中能够适当选取基底．2．了解向量的夹角与垂直的概念，以及向量正交分解的含义，理解用坐标表示向量的理论依据，知道向量的坐标的几何意义．二、过程与方法领会数形结合的数学思想，感受探索与创造的学习过程，培养逻辑推理能力，优化理性思维．三、情感、态度与价值观通过类比物理学中的相关问题，培养学生善于思考、勇于探索的科研精神，以及坚忍不拔的意志．教学重点平面向量基本定理和向量的坐标表示.教学难点平面向量的合成与分解.教学设想一、情境设置1．向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λa？（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0．3．平面向量共线定理是什么？非零向量a与向量b 共线存在唯一实数λ，使b＝λa．4．如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？5．在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论．二、新知探究探究（一）平面向量基本定理思考1．给定平面内任意两个向量e 1，e 2，如何求作向量3e 1＋2e 2和e 1-2e 2？2．如图，设OA 、OB 、OC 为三条共点射线，P 为OC 上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使四边形OMP N 为平行四边形？3．在下列两图中，向量OA 、OB 、OC 不共线，能否在直线OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OM +ON =？4．在上图中，设OA =e 1，OB = e 2，OC = a ，则向量OM 、ON 分别与e 1、e 2的关系如何？从而向量a 与e 1、e 2的关系如何？OM =λ1e 1，ON =λ2e 2，a ＝λ1e 1＋λ2e 2．5．若上述向量e 1、e 2、a 都为定向量，且e 1、e 2不共线，则实数λ1、λ2是否存在？是否唯一？6．若向量a 与e 1或e 2共线，a 还能用λ1e 1＋λ2e 2表示吗？7．根据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．8．上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a e 1 e 2OB CC的表示式是否相同？9．两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积．即：如果 a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），那么a ±b =（x 1±x 2，y 1±y 2），λa =（λx 1，λy 1） a ∥b 的充要条件是x 1y 2=x 2y 1（需要证明）10．任意给定平面中两个不平行的向量e 1、e 2，那么平面中所有向量a 都可以用这两个向量表示．即a =x e 1+y e 2．这里x 、y 是唯一确定的一对有序实数．｛e 1，e 2｝叫做这一平面内所有向量的一组基底；x e 1+y e 2叫做a 关于基底｛e 1，e 2｝的分解式．探究（二）平面向量的正交分解及坐标表示思考1．不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a 和b ，作=a ，= b ，如图．为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB 为向量a 与b 的夹角．你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？[0°，180°]2．如果向量a 与b 的夹角是90°，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ．互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 3．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，向量i 、j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |=4，以向量i 、j 为基底，向量a 如何表示？a＝＋2j 4．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ．我们把有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a ＝（x ，y ）．其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示．那么x 、y 的几何意义如何？ 5．相等向量的坐标必然相等，作向量=a ，则= （x ，y ），此时点A 的坐标baAP是什么？三、例题解析例1 已知直角坐标平面内的两个向量a ＝（1，3），b ＝（m ，2m -3），使平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是________．解：∵c 可唯一表示成c ＝λa ＋μb ，∴a 与b 不共线，即2m -3≠3m ，∴m ≠-3．例2 如图，M 是△ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN . 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0.∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ==∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴（λ+2）BN +（3+3μ）NM = 0.由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴{2,1.λμ=-=- ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .例 3 设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =（3λe 1+4λe 2）+（-2μe 1+5μe 2）=（3λ-2μ）e 1+（4λ+5μ）e 2. 又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理，知 325,45 1.u u λλ-=⎧⎨+=-⎩解之,得λ=1,μ=-1.四、小结1．平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点．2．向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°．3．向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义．将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标．第2课时教学目标一、知识与技能1．掌握平面向量的和、差和数乘向量的坐标运算，以及向量共线的坐标表示，会根据这些原理求向量的坐标．2．深化对向量概念的理解，提高对向量运算的认识，优化数形结合的思想意识，培养逻辑思维能力和思维素养．二、过程与方法1.通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；2.通过具体问题的分析解决，渗透数形结合的数学思想，提高学生的化归能力．三、情感与价值在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一．教学重点平面向量的坐标运算和向量共线的坐标表示．教学难点向量的坐标运算原理的构建．教学设想：一、情境设置1．平面向量的基本定理是什么？如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．2．用坐标表示向量的基本原理是什么？设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝x i＋y j，则a＝（x，y）．3．用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径．我们需要研究的问题是，向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等．二、新知探究。

平面向量基本定理及其坐标表示教案

平面向量基本定理及其坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标表示方法。

2. 培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 平面向量的基本定理（1）定理：设有两个向量a 和b，如果存在实数x 和y，使得a = xb + yb，则称向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示。

（2）推论：设有两个向量a 和b，如果向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示，存在唯一实数对(x, y)，使得a = xb + yb。

2. 平面向量的坐标表示（1）定义：在二维空间中，以原点O(0,0) 为起点，设向量a 的终点为点A(x, y)，则向量a 的坐标表示为(x, y)。

（2）性质：设向量a 的坐标表示为(x, y)，向量b 的坐标表示为(m, n)，则向量a + b 的坐标表示为(x+m, y+n)，向量a b 的坐标表示为(x-m, y-n)。

（3）运算规律：设向量a 和向量b 的坐标表示分别为(x1, y1) 和(x2, y2)，则向量a + b 的坐标表示为(x1+x2, y1+y2)，向量a b 的坐标表示为(x1-x2, y1-y2)。

三、教学方法1. 讲授法：讲解平面向量的基本定理及其坐标表示的定义、性质和运算规律。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。

3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。

四、教学步骤1. 导入新课：回顾平面向量的概念，引导学生思考如何表示平面向量。

2. 讲解基本定理：阐述平面向量的基本定理，并通过图形示例帮助学生理解。

3. 讲解坐标表示：介绍平面向量的坐标表示方法，讲解坐标表示的定义、性质和运算规律。

4. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。

5. 小组讨论：分组讨论，让学生运用所学知识分析问题，培养团队协作能力和逻辑思维能力。

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。

平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。

一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。

平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。

2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。

3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。

设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。

二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。

设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。

在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。

根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。

对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。

设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。

平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。

平面向量基本定理及其坐标表示教案

平面向量基本定理及其坐标表示教案教学目标：1. 理解平面向量的基本定理；2. 学会用坐标表示平面向量；3. 掌握平面向量的坐标运算。

教学重点：1. 平面向量的基本定理；2. 坐标表示平面向量；3. 平面向量的坐标运算。

教学难点：1. 平面向量的基本定理的理解；2. 坐标表示平面向量的推导；3. 平面向量的坐标运算的熟练运用。

教学准备：1. 教材或教案；2. 投影仪或黑板；3. 粉笔或教鞭。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾初中阶段学习的向量知识，如向量的定义、向量的加法、减法等；2. 提问：向量是否可以只有大小没有方向？为什么？二、平面向量的基本定理（15分钟）1. 介绍平面向量的基本定理：任意两个平面向量都可以唯一地分解为两个互垂直的向量的和；2. 用图形和实例来说明基本定理的意义；3. 引导学生理解基本定理的重要性。

三、坐标表示平面向量（15分钟）1. 介绍坐标系的概念，如直角坐标系、平面极坐标系等；2. 推导平面向量的坐标表示方法，即用坐标表示向量的位置；3. 举例说明如何用坐标表示平面向量。

四、平面向量的坐标运算（15分钟）1. 介绍平面向量的坐标运算，如坐标加法、减法、数乘等；2. 用公式和实例来说明坐标运算的规则；3. 引导学生熟练掌握坐标运算的方法。

五、巩固练习（10分钟）1. 给出一些关于平面向量的练习题，让学生独立完成；2. 针对学生的疑问进行解答和讲解；3. 强调平面向量基本定理及其坐标表示的重要性。

教学反思：在教学过程中，要注意通过实例和图形来帮助学生理解平面向量的基本定理及其坐标表示，以及坐标运算的规则。

要鼓励学生积极参与课堂讨论，提出疑问，以提高他们的学习兴趣和动力。

六、向量加法的平行四边形法则（15分钟）1. 介绍平行四边形法则，即以两个向量首尾相接所构成的平行四边形的对角线所代表的向量等于这两个向量的和；2. 用图形和实例来说明平行四边形法则的应用；3. 引导学生理解并掌握平行四边形法则。

平面向量基本定理及其坐标表示教案

平面向量基本定理及其坐标表示教案教学目标：1. 理解平面向量的基本定理；2. 学会将平面向量用坐标表示；3. 掌握平面向量的坐标运算。

教学内容：1. 平面向量的基本定理；2. 向量的坐标表示；3. 向量的坐标运算。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 通过复习预备知识，引导学生回顾向量的定义及基本性质。

2. 提问：我们已经学习了向量的哪些运算？这些运算有什么应用？二、平面向量的基本定理（10分钟）1. 介绍平面向量的基本定理的内容。

2. 通过示例，解释平面向量的基本定理的应用。

3. 引导学生通过图形直观地理解平面向量的基本定理。

三、向量的坐标表示（10分钟）1. 介绍向量的坐标表示方法。

2. 通过示例，解释如何用坐标表示一个向量。

3. 引导学生通过坐标系直观地理解向量的坐标表示。

四、向量的坐标运算（10分钟）1. 介绍向量的坐标运算规则。

2. 通过示例，解释如何进行向量的坐标运算。

3. 引导学生通过坐标系直观地理解向量的坐标运算。

五、巩固练习（10分钟）1. 提供一些有关平面向量的基本定理及其坐标表示的练习题。

2. 引导学生独立完成练习题，巩固所学知识。

3. 对学生的练习结果进行点评和指导。

教学评价：1. 通过课堂讲解和示例，评价学生对平面向量的基本定理及其坐标表示的理解程度；2. 通过练习题，评价学生对平面向量的坐标运算的掌握程度；3. 通过学生的提问和参与程度，评价学生的学习兴趣和积极性。

教学资源：1. 教学PPT或黑板；2. 练习题。

教学建议：1. 在讲解平面向量的基本定理时，可以通过图形和实际例子来说明定理的意义和应用；2. 在讲解向量的坐标表示时，可以借助坐标系，直观地展示向量的坐标表示方法；3. 在讲解向量的坐标运算时，可以通过示例和练习题，让学生熟练掌握运算规则；4. 在巩固练习环节，可以提供不同难度的练习题，以满足不同学生的学习需求；5. 在教学过程中，鼓励学生提问和参与讨论，以提高学生的学习兴趣和积极性。

平面向量的基本定理及坐标表示教案

平面向量的基本定理及坐标表示适用学科数学适用年级高三适用区域人教版课时时长（分钟）80 知识点1．了解平面向量的基本定理2．平面向量的坐标表示及运算3．平面向量共线的条件教学目标1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的坐标表示．3．掌握平面向量的运算．4．掌握平面向量共线的条件．教学重点平面向量的坐标运算及平面向量共线条件教学难点向量的坐标运算及共线条件教学过程一、复习预习1．平面向量的定义；2．平面向量的坐标表示；3．平面向量的坐标表示及其运算；二、知识讲解考点1 平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．考点2 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．考点3 平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．(2)设OA＝x i＋y j，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)考点4 向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．考点5 向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.考点6 平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b⇔x1y2=x2y1三、例题精析【例题1】【题干】如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD ＝a ，AB ＝b ，若AB ＝2DC ，则AO ＝________(用向量a 和b 表示)．【答案】23a ＋13b 【解析】∵AB ＝2DC ，∴△DOC ∽△BOA ，且OC OA ＝12，∴AO ＝23AC ＝23(AD ＋DC )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝23a ＋13b .【例题2】【题干】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA ＝c.①求3a＋b－3c；②求满足a＝m b＋n c的实数m，n.【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．②∵m b＋n c＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－1.【例题3】【题干】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12C ．1D ．2【答案】B【解析】可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝12.四、课堂运用【基础】1．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA ＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC等于()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7) D．(6，－21)解析：选B BC＝3PC＝3(2PQ－PA)＝6PQ－3PA＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．2.如图所示，向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，A，B，C 在一条直线上，且AC＝－3CB，则()A．c＝－12a＋32bB．c＝32a－12bC．c＝－a＋2bD．c＝a＋2b解析：选A∵AC＝－3CB，∴OC－OA＝－3(OB－OC)．∴OC ＝－12OA ＋32OB ，即c ＝－12a ＋32b .3．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ、μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选D 由题意知向量a ，b 不共线，故m ≠3m －22，解得m ≠2.4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝________.解析：a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x 2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8－2x )·(x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2·(16＋x )，整理得x 2＝16，又x >0，所以x ＝4.答案：45．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量AB，AC不共线．∵AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.答案：k≠1【巩固】1.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误．．的是()A．AC＝AB＋AD B．BD＝AD－ABC．AO＝12AB＋12AD D．AE＝53AB＋AD解析：选D由向量减法的三角形法则知，BD＝AD－AB，排除B；由向量加法的平行四边形法则知，AC＝AB＋AD，AO＝12AC＝12AB＋12AD，排除A、C.2．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若AC＝2AB，求点C的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴AB∥AC.∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵AC＝2AB，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．【拔高】1．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析：选D ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)．令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，故⎩⎨⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2.2.如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0，0)，B (4,1)，C (6,8)．(1)求顶点D 的坐标；(2)若DE ＝2EC ，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I的坐标．解：(1)设点D (x ，y )，因为AD ＝BC ，所以(x ，y )＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)，所以顶点D 的坐标为(2,7)．(2)设点I (x ，y )，则有F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72，由于 DE ＝2EC ，故(x E －2，y E －7)＝2(6－x E,8－y E )⇒E ⎝ ⎛⎭⎪⎫143，233，由于BF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，52， BI ＝(x －4，y －1)，BF ∥BI ⇒52(x －4)＝－3(y －1)，又AE ∥AI ⇒233x ＝143y ，联立方程组可得x ＝74，y ＝238，则点I 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，238.课程小结1.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小.课后作业【基础】1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝() A．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)解析：选C由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．2．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)．给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②AB＋BC＝CA；③OA＋OC＝OB；④AC ＝OB－2OA.其中正确的结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C∵OC＝(－2,1)，BA＝(2，－1)，∴OC∥BA，又A，B，C，O不共线，∴OC∥AB.①正确；∵AB＋BC＝AC，∴②错误；∵OA＋OC＝(0,2)＝OB，∴③正确；∵OB－2OA＝(－4,0)，AC＝(－4,0)，∴④正确．3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE 的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝()A.14a＋12b B.23a＋13bC.12a＋14b D.13a＋23b解析：选B由已知得DE＝13EB，又∵△DEF ∽△BEA ，∴DF ＝13AB .即DF ＝13DC .∴CF ＝23CD .∴CF ＝23CD ＝23(OD －OC )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －12a ＝13b －13a . ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .4．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{}(－13，－23)【巩固】1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝3CD ，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO ＝x AB ＋(1－x ) AC ，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0解析：选D 依题意，设BO ＝λBC ，其中1<λ<43，则有AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ) AB ＋λAC .又AO ＝x AB ＋(1－x ) AC ，且AB ，AC 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求：(1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为k a －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．【拔高】1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(sin α－m ，cos α)，且a ∥b ，则实数m 的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－3解析：选A ∵a ∥b ，∴3cos α－sin α＋m ＝0.∴m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3≥－2.2．已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB .(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．解：(1) OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)， AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ， ∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．3．已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a ，b 表示向量AP ，AD .个性化教案31 / 31解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP －b ，又3AP ＋4BP ＋5CP ＝0，∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP －b )＝0，化简，得AP ＝13a ＋512b . 设AD ＝t AP (t ∈R )，则AD ＝13t a ＋512t b ．①又设BD ＝k BC (k ∈R )，由BC ＝AC －AB ＝b －a ，得 BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ，∴AD ＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①，有AD ＝49a ＋59b .。

2019-2020年高二数学第2章(第6课时)平面向量的基本定理及坐标表示(2)教案新人教A版必修4

2019-2020年高二数学第2章（第6课时）平面向量的基本定理及坐标表示（2）教案新人教A 版必修4教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………○1 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…………○2 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐．．．．．．．．标也为．．．特别地，，，如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作，则点的位置由唯一确定设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示二、讲解新课：1.平面向量的坐标运算（1）若，，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为、，则1122()()x i y j x i y j =+++即，同理可得（2）若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 ==( x 2, y 2) (x 1,y 1)= (x 2 x 1, y 2 y 1)（3）若和实数，则实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为、，则，即2. 平面向量共线的坐标表示∥ ()的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中由=λ得， (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0，∵∴x2, y2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成∵x1, x2有可能为0(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥ ()三、讲解范例：例1已知三个力 =(3, 4), =(2, 5), =(x, y)的合力++=，求的坐标解：由题设++= 得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)即：∴∴=(5,1)例2若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x解：∵=(-1, x)与=(- x, 2) 共线∴(-1)×2- x•(-x)=0∴x =±∵与方向相同∴x =例3已知A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解：∵=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , =(2-1,7-5)=(1,2)又∵2×2-4×1=0 ∴∥又∵ =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) =(2, 4)2×4-2×60 ∴与不平行∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD四、课堂练习：五、小结1．向量的坐标概念 2．向量坐标的运算六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：2019-2020年高二数学第2章（第7课时）平面向量的数量积（1）教案新人教A版必修4教学目的：1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4掌握向量垂直的条件教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标运算若，，则，，若，，则2．∥ ()的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0二、讲解新课：1．力做的功：W = ||⋅||c os ，是与的夹角2．两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||c os 叫与的数量积，记作⋅，即有⋅ = ||||c os ，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由c os 的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，写成⋅；今后要学到两个向量的外积×，而⋅是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在实数中，若a 0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若，且⋅=0，不能推出=因为其中c os 有可能为0（4）已知实数a 、b 、c(b 0)，则ab =bc ⇒ a =c但是⋅ = ⋅ =如右图：⋅ = ||||c os = |||OA|，⋅= ||||c os = |||OA|C⇒⋅ =⋅但(5)在实数中，有(a⋅a)c = a(a⋅c)，但是(⋅) (⋅)显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线3．“投影”的概念：作图定义：||c os叫做向量在方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为||；当= 180时投影为||4．数量积的几何意义：数量积⋅等于的长度与在方向上投影||os的乘积5．探究：设、为两个非零向量1⋅ = 02当与同向时，⋅ = ||||；当与反向时，⋅ = ||||特别的⋅ = ||2或3|⋅| ≤||||6.平面向量数量积的运算律1．交换律：⋅= ⋅证：设，夹角为，则⋅= ||||cos，⋅= ||||cos∴⋅= ⋅2．数乘结合律：()⋅ =(⋅) = ⋅()证：若> 0，()⋅ =||||cos，(⋅) =||||cos，⋅() =||||cos，若< 0，()⋅ =||||cos() = ||||(cos) =||||cos，(⋅) =||||cos，⋅() =||||cos() = ||||(cos) =||||cos3．分配律：( + )⋅ = ⋅ + ⋅在平面内取一点O，作= , = ，=，∵+ （即）在方向上的投影等于、在方向上的投影和，即| + | cos= || cos1 + || cos2∴| | | + | cos=|| || cos1 + || || cos2∴⋅( + ) = ⋅ + ⋅即：( + )⋅= ⋅+ ⋅说明：（1）一般地，(·)≠（·）（2）·＝·，≠＝（3）有如下常用性质：２＝｜｜２，（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·(＋)２＝２＋２·＋２三、讲解范例：例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b.解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°=5×4×（-1/2）= -10例2已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，∴·＝｜｜·｜｜c os0°＝3×6×1＝18；若与反向，则它们的夹角θ＝180°，∴·＝｜｜｜｜c os180°＝3×6×（-1）＝－18；②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，∴·＝０；③当与的夹角是60°时，有·＝｜｜｜｜c os60°＝3×6×＝9例3 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解：如图：ABCD 中，，，=∴||2=222||2AB AD AB AD AB AD +=++⋅而=∴||2=222||2AB AD AB AD AB AD -=+-⋅∴||2 + ||2 = 2= 2222||||||||AB BC DC AD +++ 四、课堂练习：五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记。

《平面向量基本定理》教学设计（共五篇）

《平面向量基本定理》教学设计（共五篇）第一篇：《平面向量基本定理》教学设计《平面向量基本定理》教学设计一、内容和内容解析内容：平面向量基本定理。

内容解析：向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。

从问题中抽象出向量模型，再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果，是利用向量解决问题的基本特征。

（平面向量的概念、向量的运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量的主要内容。

）平面向量基本定理是向量进行坐标表示，进而将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达和研究事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合）的典型范例，对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着难以替代的重要作用。

二、目标和目标解析1．理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。

2．通过不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。

3．通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。

4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。

5．体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。

三、教学问题诊断分析1．如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是教学平面向量基本定理时的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”，体会高维空间向低维空间转化的重要机会与途径。

平面向量基本定理教案

平面向量基本定理教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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平面向量的基本定理及坐标表示

例3、已知 ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为(2,1)、 (1,3)、(3, 4)，求顶点D的坐标.
巩固练习：已知A(1,1)、B(3, 0)、C(2, 5)是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标.
四、向量平行的坐标表示
设a (x1, y1)，b (x2, y2 )，其中b 0，则a b的充要条件是
a b x1 x2且y1 y2
4、向量平行的坐标表示
a b x1y2 x2 y1 0
六、作业
➢习题5.4第3、4、 7、8题.
➢ 完成《三维设计》
谢谢同学们
再见
例1、如图，用基底i、j表示向量a、
b、c、d，并求出它们的坐标.A2 5 Nhomakorabea4
b
a
3
2
A
1 j -4 -3 -2 -1 o i 1 2 3
-1
-2
c
-3 d
-4
B
A1 4x
-5
三、平面向量的坐标运算
已知a (x1, y1)，b (x2, y2 )，则
a b __(x_1___x_2_, _y_1 __y_2_)_____;
一、复习引入
1、平面向量基本定理
已知e1、e2是同一平面内的两不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a，有且
只有一对实数1、2，使a 1e1 2 e2.
2、什么是平面向量的基底？
不共线向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一组基底.
二、平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，我们分别取与x轴、
a b _(_x_1___x_2_, _y_1 ___y_2 )_____; a ___(__x_1_, __x_2 )__________ .

新教材必修第二册6.3《平面向量基本定理及坐标表示》单元教学设计

6.3《平面向量基本定理及坐标表示》单元教学设计一、内容和内容解析1．内容平面向量基本定理，平面向量的正交分解与坐标表示，平面向量的加法、减法、数乘和数量积运算的坐标表示．本单元的知识框图如下：2．内容解析平面向量基本定理表明任何一个平面向量a都可以唯一地表示成两个不平行向量的线性组合，即．特殊地，当时，则为正交分解，进而可以借助直角坐标系，用坐标表示向量a．这是对平面向量的一个基础性、结构性的认识：给定一个点A，以及两个不平行的向量，则可以刻画平面上任意的点P，通过向量的运算，平面上的点P就可以成为“可操纵”的对象．这是用“数”的运算处理“形”的问题，体现了数形结合的思想方法．通过平面向量基本定理，用向量表示几何问题；结合向量运算；最后将向量问题翻译成几何问题，这是“向量法”解决问题的一般步骤与方法．“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础；向量的几何表示与运算是向量的坐标表示与运算的平行概念；而向量的概念、表示与运算则是平面向量基本定理的上位概念．以向量的线性运算为基础，学习平面向量基本定理，进而学习向量的坐标表示与运算．让学生感悟平面向量是体现“形”与“数”融合的重要载体，感受向量方法的力量．基于以上分析，可以确定本单元的教学重点：平面向量的基本定理；平面向量运算的坐标表示．二、目标和目标解析1．目标（1）理解平面向量基本定理及其几何意义．（2）掌握平面向量的正交分解及坐标表示．（3）掌握平面向量的加、减运算与数乘运算的坐标表示．（4）掌握平面向量的数量积的坐标表示．2．目标解析（1）类比力的合成与分解，将任意一个平面向量唯一地表示成两个不平行向量的线性组合，进而理解平面向量基本定理及其意义．（2）借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解及坐标表示．（3）知道用坐标表示的平面向量的加、减运算与数乘运算的运算法则，并能熟练进行运算．（4）知道坐标表示的平面向量的数量积的运算法则，并能熟练进行运算．（5）能用坐标表示两个平面向量的夹角；能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．三、教学问题诊断分析学生学习了向量的概念以及向量的运算，但在学习平面向量基本定理时仍然会遇到很大的困难，主要体现在三方面：其一，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示．类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？这是学习障碍之一，首先，这个问题的提出就不容易，其次，从一维数轴到二维坐标平面，是思维的一个跨越．解决这个问题，可以借助物理中力的分解与合成．其二，任何一个向量都可以唯一表示成，这涉及对“存在性和唯一性”的认识，对思维要求较高．解决这个问题，可以从两方面入手，一是借助信息技术，动态表示；另一方面需对唯一性给出严格的证明．其三，用向量方法解决几何问题时，先要用基底表示其他相关向量，进而通过向量运算解决问题，这是一个全新的方法．解决这个问题，需多加练习，做到熟能生巧．由此，可以确定本单元的教学难点是：平面向量基本定理，用平面向量基本定理解决有关问题．四、教学支持条件分析为更好地认识平面向量基本定理，特别是对定理的存在性与唯一性的认识，可以借助信息技术工具动态演算a=λ1e1+λ2e2，帮助学生深入理解概念．五、课时教学设计第一课时 6.3.1 平面向量基本定理（一）课时教学内容平面向量基本定理．（二）课时教学目标1．知道任何一个平面向量都可以唯一地表示成两个不平行向量的线性组合，即．2．了解基底{}的含义与特点．3．能根据实际问题，选择基底，将平面向量用所给基底表示．4．能利用平面向量基本定理，借助向量运算，解决有关几何问题．（三）教学重点与难点1．教学重点：平面向量基本定理．2．教学难点：平面向量基本定理．（四）教学过程设计1．复习引入问题1：已知向量（如图6.3-1所示），求作向量．师生活动：教师给出问题，学生自主解答，教师巡视并对学有困难的学生给予指导．设计意图：复习向量的运算及其几何意义，为学习平面向量基本定理作铺垫．2．探求新知问题2：我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力．类似地，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？师生活动：1．教师展示图6.3-2，并给出探究任务：将a按的方向分解；2．学生动手作图，将a按的方向分解；探究要领：三个向量移到同一起点，如图所示6.3-3，在平面内任取一点O，作,．3．展示学生作图结果，如图6.3-4．4．教师利用信息技术工具，动态地展示．5．得到结论：一般地，对给定不共线的向量，任意一个向量a都可以表示成的形式．6．追问1：当a是与共线的非零向量时，a也可以表示成的形式吗？教师引导学生思考，得出结论：可以，此时．追问2：当a是零向量时，a可以表示成的形式吗，为什么？教师引导学生思考，得出结论：可以，此时．设计意图：类比力的合成与分解，引出一个向量可以用两个向量线性表示．问题3：平面内任何一个向量a都可以表示成的形式，这种表示形式是唯一的吗？师生活动：1．教师提出问题，学生相互探讨；2．得到结论：平面内任何一个向量a都可以按的方向分解，表示成的形式，而且这种表示形式是唯一的．3．给出理由：4．得到平面向量基本定理：平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数使．如果不共线，我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（base）．设计意图：得出平面向量基本定理，并理解它的含义．3．典型例题例1如图6.3-5，．师生活动：1．分析题意：这是一个用两个向量表示另一个向量的问题，通过向量的加减法运算即解决问题．2．呈现解答：3．追问：观察，你有什么发现？师生探究后发现结论：若A，B，P三点共线，则系数和等于1，即(1－t)＋t=1．设计意图：让学生将一个向量用两个向量表示，加深对平面向量基本定理的理解．例2如图6.3-6（1），CD是△ABC的中线，，用向量方法证明△ABC是直角三角形．师生活动：1．分析题意：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示．本题中可取,从而证得△ABC是直角三角形．2．呈现解答：证明：如图6.3-6（2），设=a－b．设计意图：学会应用平面向量基本定理解决相关问题．3．追问：学习了两个例题后，你能完成下面的练习吗？练习1：如图6.3-7，在△ABC中，，点E，F分别是AC，BC的中点．设＝a，=b．（1）用a，b表示；（2）如果，AB=2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论．师生活动：1．学生自主解答，教师巡视指导．2．给出参考答案：设计意图：学会应用平面向量基本定理解决相关问题．4．小结提炼问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．师生活动：教师提出问题，学生相互讨论，最后让学生陈述其观点．设计意图：对本节课作小结提炼，进一步理解平面向量基本定理．5．布置作业教科书习题6.3第1，11题．（五）目标检测设计1．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，．检测目标：考查平面向量基本定理的应用．2．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，G是CD的三等分点．（1）用a，b表示；（2）能由（1）得出CE，BF的关系吗？检测目标：考查利用平面向量基本定理，借助向量运算，解决有关几何问题．第二课时 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示（一）课时教学内容正交分解，向量的坐标表示，向量的加、减运算的坐标表示．（二）课时教学目标1．类比重力在斜坡的分解，理解向量的正交分解．2．对给定的向量，能写出其坐标表示．3．知道向量的坐标表示与点的坐标的区别与联系．4．能进行向量坐标表示的加、减运算．（三）教学重点与难点教学重点：向量的坐标表示，向量的加、减运算．教学难点：向量的坐标表示．（四）教学过程设计1．复习引入问题1：回顾所学习过的平面向量基本定理，回答下列问题：（1）什么是平面向量基本定理？（2）已知向量（如下图所示），分别作出向量a在方向上的分解．师生活动：学生自主解答，教师巡视，并有针对性地指导．设计意图：回顾平面向量基本定理，为学习向量的坐标表示作铺垫．2．正交分解问题2：阅读教科书6.3.2节第一、第二段，回答问题：（1）什么是正交分解？（2）举一个正交分解的例子．师生活动：学生阅读，回答问题；教师小结如下：（1）不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形．（2）正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．（3）教师动画演示，如图6.3-8，重力G可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力．（重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．）设计意图：帮助学生理解正交分解的概念．3．坐标表示问题3：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？师生活动：1．教师提出问题，学生自主思考，并尝试解答．2．展示图6.3-9，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj．3．提炼概念：向量a的坐标表示平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y）．①其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a 的坐标表示．追问1：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？显然，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0)．设计意图：帮助学生掌握向量的坐标表示．问题4：向量的坐标与点的坐标之间有何区别与联系？师生活动：（3）若向量的起点不是原点，则终点A的坐标（x，y）就不是向量a的坐标．（4）追问2：实数对“（2，3）”如果不作说明，可以表示区间，点，也可以表示向量．设计意图：理解向量的坐标与点的坐标之间的联系．4．追问3：如图6.3-11，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，你能求出它们的坐标吗？师生活动：先师生共同分析题意，然后呈现解答．解：由图6.3-11可知，．所以a＝（2，3）．同理，b＝－2i+3j＝（－2，3），c＝－2i－3j＝（－2，－3），d＝2i－3j＝（－2，3）．设计意图：结合实例，加深对向量的坐标表示的理解．4．坐标运算问题5：已知，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？师生活动：1．教师提出问题，学生自主解答；2．展示学生的成果，3．作总结如下：（3）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．4．追问4：已知a＝（2，1），b＝（－3，4），你能求a＋b，a－b的坐标吗？解：a＋b＝（2，1）＋（－3，4）＝（－1，5）；a－b＝（2，1）－（－3，4）＝（5，－3）．设计意图：帮助学生掌握平面向量加、减运算的坐标表示．师生活动：1．教师提出问题，并展示图6.3-12．2．学生自主思考，并尝试解答．即：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．设计意图：帮助学生学习两点构成的向量的坐标表示．5．典型例题例1如图6.3-14，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是（－2，1），（－1，3），（3，4），求顶点D的坐标．师生活动：师生共同分析题意，得到两种解题思路，然后呈现解答．解法1：如图6.3-14，设顶点D的坐标为（x，y）．所以顶点D的坐标为（2，2）．追问5：你能比较一下两种解法在思想方法上的异同点吗？设计意图：结合实例，帮助学生掌握根据向量的坐标表示求点的坐标的方法．6．小结提炼问题7：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．师生活动：教师提出问题，学生相互讨论，总结要点如下：（1）学习的内容有：正交分解，平面向量的坐标表示，向量的加、减运算的坐标表示．（2）学习的思想方法：以数的运算处理形的思想方法．设计意图：对本节课小结提炼，进一步理解平面向量的坐标表示以及加、减运算．7．布置作业教科书习题6.3第2，3，4题．（五）目标检测设计1．在下列各小题中，已知向量a，b的坐标，分别求a＋b，a－b的坐标：（1）a＝（－2，4），b＝（5，2）；（2）a＝（4，3），b＝（－3，8）；（3）a＝（2，3），b＝（－2，－3）；（4）a＝（3，0），b＝（0，4）．检测目标：考查向量加、减运算的坐标表示．2. 在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求的坐标：（1）A（3，5），B（6，9）；（2）A（－3，4），B（6，3）；（3）A（0，3），B（0，5）；（4）A（3，0），B（8，0）．检测目标：考查由两点求向量的坐标表示．第三课时 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（一）课时教学内容用向量的坐标表示数乘运算、平面向量共线的条件．（二）课时教学目标1．会用坐标表示平面向量的数乘运算．2．能用坐标表示平面向量共线的条件．3．能利用向量共线求点的坐标．（三）教学重点与难点教学重点：向量数乘运算的坐标表示．教学难点：利用向量共线求点的坐标．（四）教学过程设计1．复习引入问题1：回顾所学过的内容，回答下列问题：（1）平面内给定向量a，b，满足（a＋k b）∥（2b－a），求实数k．（2）设向量a和b不共线，如果．求证：A，B，C三点共线．师生活动：教师呈现问题，学生思考，尝试作答．设计意图：复习向量平行的知识，为学习向量数乘的坐标表示作铺垫．2．探求新知问题2：已知a＝（x，y），你能得出λa的坐标吗？师生活动：1．教师呈现问题，学生思考，尝试作答：．2．得到结论（板书呈现）：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．3．练习1：已知a＝（2，1），b＝（－3，4），则3a＋4b的坐标是什么？解：3a＋4b＝3（2，1）＋4（－3，4）＝（－6，19）．设计意图：探求平面向量数乘运算的坐标表示．问题3：如何用坐标表示两个向量共线的条件？师生活动：1．教师呈现问题，学生思考，尝试作答：设计意图：探求用坐标表示两个向量共线的条件．3．典型例题例1 已知a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，求y．师生活动：师生共同分析题意，然后呈现解答．解：因为a∥b，所以4y－2×6＝0，解得y=3．设计意图：巩固用坐标表示两个向量共线这一学习目标．例2已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），判断A，B，C三点之间的位置关系．师生活动：师生共同分析题意，然后呈现解答．解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（图6.3-16）．观察图形，我们猜想A，B，C三点共线．下面来证明．又直线AB，直线AC有公共点A，所以A，B，C三点共线．追问：回顾问题1的第2题，你有什么发现？设计意图：帮助学生掌握坐标表示两个向量共线的应用，证明三点共线．师生活动：师生共同分析题意，然后呈现解答．设计意图：从特殊到一般，探求根据向量共线求点的坐标．4．小结提炼问题4：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．师生活动：教师提出问题，学生相互讨论、总结．设计意图：对本节课小结提炼，进一步理解平面向量的坐标表示的运算．5．布置作业教科书习题6.3第6，7，13题．（五）目标检测设计1．已知a＝（3，2），b＝（0，－1），求－2a＋4b，4a＋3b的坐标．检测目标：考查学生对向量加、减及数乘运算的坐标表示的掌握．2．已知点A（－2，－3），B（2，2），C（－1，3），D（7，－4），是否共线？检测目标：考查学生对向量共线条件的坐标表示的掌握．3．求线段AB的中点坐标：（1）A（2，1），B（4，3）；（2）A（－1，2），B（3，6）．检测目标：考查学生对线段的中点坐标公式的掌握．4．已知点O（0，0），向量，点P是线段AB的三等分点，求点P的坐标．检测目标：考查学生根据向量共线求点的坐标的能力．第四课时 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（一）课时教学内容1．用坐标表示平面向量的数量积．2．两个平面向量的夹角．3．用坐标表示平面向量垂直的条件．（二）课时教学目标1．能用坐标表示平面向量的数量积．2．会表示两个平面向量的夹角．3．能用坐标表示平面向量垂直的条件．4．掌握平面内两点间的距离公式．（三）教学重点与难点教学重点：用坐标表示平面向量的数量积．教学难点：平面向量数量积运算的坐标表示与应用．（四）教学过程设计1．复习引入问题1：回顾所学内容，回答下列问题：（1）已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，若a，b的夹角为60°，求a·b．（2）设i，j为正交单位向量，则i·i＝_______，j·j＝_______，i·j＝______．师生活动：教师提出问题，学生自主作答，教师巡视，并点拨学生．设计意图：为学习数量积的坐标表示进行铺垫．2．探求新知问题3：若a＝（x，y），如何计算向量的模|a|呢？师生活动:1．教师提出问题，学生探究，教师巡视，并点拨学生；设计意图：在向量数量积的坐标表示基础上，探索向量的模的坐标表示，以及两点间的距离公式．问题4：已知两个非零向量师生活动：1．教师提出问题，学生探究，教师巡视，并点拨学生；师生活动：1．教师提出问题，学生探究，教师巡视，并点拨学生；2．呈现结论（板书）3．典型例题例1 若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想．师生活动：师生共同分析题意，根据坐标画图，猜想，然后证明．解：如图6.3-20，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现△ABC 是直角三角形.证明如下.追问：如何判断两直线垂直？向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段（或直线）是否垂直的重要方法之一．设计意图：运用坐标表示向量垂直的充要条件解决问题．例2设a＝（5，－7），b＝（－6，－4），求a·b及a，b的夹角θ（精确到1°）．师生活动：师生共同分析题意，学生自主解答．设计意图：运用坐标表示求向量的数量积以及夹角．例3用向量方法证明两角差的余弦公式cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β．师生活动：根据题意，画出图6.3-20，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.然后呈现证明：证明：如图6.3-21，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B．则设计意图：应用夹角的坐标公式，揭示向量与三角函数的联系，体会向量运算的应用．4．小结提炼问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．师生活动：教师给出问题，学生思考回答，回答的要点如下：（1）平面向量数量积的坐标表示；（2）用坐标表示向量垂直的充要条件；（3）用坐标表示向量的长度和夹角．设计意图：使学生养成归纳总结的习惯，培养他们主动、独立思考问题的能力．5．布置作业教科书习题6.3第8，9，10，14题．（五）目标检测设计1．已知a＝（2，3），b＝（－2，4）．求a·b，(a+b)·(a-b)，|a|，|a+b|．检测目标：考查学生对向量数量积的坐标表示的掌握．2．已知a＝（3，2），b＝（3，－4），求a与b的夹角的余弦．检测目标：考查学生对两个平面向量的夹角的坐标表示的掌握.3．在△ABC中，，且△ABC的一个内角为直角，求实数k值．检测目标：考查用向量垂直的条件的坐标表示解决问题的能力．。

2012年高二数学教案：第2章(第6课时)平面向量的基本定理及坐标表示(2)(人教A版必修4)

课题： 2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+r r r…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =r…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与．a 相．等的向量的坐标也为．．．．．．．．．),(y x特别地，(1,0)i =r ，(0,1)j =r，0(0,0)=r如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a =u u u r r，则点A 的位置由a r唯一确定设OA xi yj =+u u u r r r ，则向量OA u u u r 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA u u u r的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示二、讲解新课：1.平面向量的坐标运算（1）若11(,)a x y =r ，),(22y x b =，则a b +rr ),(2121y y x x ++=，a b -rr ),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为i r 、j r ，则a b +rr 1122()()x i y j x i y j =+++r r r r 1212()()x x i y y j =+++r r即a b +r r ),(2121y y x x ++=，同理可得a b -rr ),(2121y y x x --=（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()2121,AB x x y y =--u u u r一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB u u u r =OB uuu r OA u u u r=( x 2, y 2)(x 1,y 1)= (x 2 x 1, y 2y 1)（3）若(,)a x y =r 和实数λ，则(,)a x y λλλ=r实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为i r 、j r，则a λr )(yj xi +=λyj xi λλ+=，即(,)a x y λλλ=r2. 平面向量共线的坐标表示a ρ∥b ρ (bρ0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a ρ=(x 1, y 1) ，b ρ=(x 2, y 2) 其中bρa ρ由a ρ=λb ρ得， (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0，∵bρ0r∴x 2, y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (bρ0r )12210a b x y x y λ⎧=⎪⇔⎨-=⎪⎩r r三、讲解范例：例1已知三个力1F u u r =(3, 4), 2F u u r=(2, 5), =3F u u r (x, y)的合力1F u u r +2F u u r +3F u u r =0r ，求3F u u r的坐标解：由题设1F r +2F u ur +3F u u r =0r 得：(3, 4)+ (2,5)+(x, y)=(0, 0) 即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F u u r =(5,1)例2若向量a ρ=(-1,x)与b ρ=(-x, 2)共线且方向相同，求x解：∵a ρ=(-1, x )与b ρ=(- x , 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x =±2 ∵a ρ与b ρ方向相同 ∴x =2例3 已知A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量AB u u u r 与CD uuur 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB u u u r=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , CD uuu r =(2-1,7-5)=(1,2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB u u u r ∥CD uuur又 ∵ AC u u u r =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) AB u u u r=(2, 4)2×4-2×60 ∴AC u u u r 与AB u u u r 不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD 四、课堂练习：五、小结 1．向量的坐标概念 2．向量坐标的运算六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

高中数学第二章平面向量第三节平面向量的基本定理及坐标表示(第二课时)示范教案新人教A版必修4

第二章第三节平面向量的基本定理及坐标表示第二课时整体设计教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a ＝λb ，那么a 与b 共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．三维目标1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．3．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．重点难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.向量具有代数特征，与平面直角坐标系紧密相联．那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的关系．关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量a ，过定点O 作向量OA →＝a ，则点A 的位置被向量a 的大小和方向所唯一确定．如果以定点O 为原点建立平面直角坐标系，那么点A 的位置可通过其坐标来反映，从而向量a 也可以用坐标来表示，这样我们就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？推进新课新知探究提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a ＝x 1，y 1，b ＝x 2，y 2，你能得出a ＋b ，a －b ，λa 的坐标表示吗？②如图1，已知A x 1，y 1，B x 2，y 2，怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为x 2－x 1，y 2－y 1的P 点吗？标出点P 后，你能总结出什么结论？活动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤．可得：图1a ＋b ＝(x 1i ＋y 1j )＋(x 2i ＋y 2j )＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，即a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．同理a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．又λa ＝λ(x 1i ＋y 1j )＝λx 1i ＋λy 1j .∴λa ＝(λx 1，λy 1)．教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量AB →平移，使得点A 与坐标原点O 重合，则平移后的B 点位置就是P 点．向量AB →的坐标与以原点为始点，点P 为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系．学生通过平移也可以发现：向量AB →的模与向量OP →的模是相等的．由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式： |AB →|＝|OP →|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获．讨论结果：①能． ②AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．提出问题①如何用坐标表示两个共线向量？②若a ＝x 1，y 1，b ＝x 2，y 2，那么11x y ＝22x y是向量a 、b 共线的什么条件？活动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系．此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.我们知道，a 、b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb .如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2.消去λ后得x 1y 2－x 2y 1＝0. 这就是说，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时向量a 、b (b ≠0)共线．又我们知道x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1y 2＝x 2y 1是等价的，但这与y 1x 1＝y 2x 2是不等价的．因为当x 1＝x 2＝0时，x 1y 2－x 2y 1＝0成立，但y 1x 1与y 2x 2均无意义．因此y 1x 1＝y 2x 2是向量a 、b 共线的充分不必要条件．由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点．讨论结果：①x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 、b (b ≠0)共线． ②充分不必要条件．提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a ＝λb ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠a ，由a ＝λb ，(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，得x 1y 2－x 2y 1＝0.讨论结果：a∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.教师应向学生特别提醒感悟：(1)消去λ时不能两式相除，∵y 1、y 2有可能为0，而b ≠0， ∴x 2、y 2中至少有一个不为0.(2)充要条件不能写成y 1x 1＝y 2x 2(∵x 1、x 2有可能为0)．(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b ≠0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λb ，x 1y 2－x 2y 1＝0.应用示例思路1例1已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标．活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论．若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化．可由学生自己完成．解：a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)； a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)；3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．，试求顶点D 的坐标．图2活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种方法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD →的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如图2，设顶点D 的坐标为(x ，y )． ∵AB →＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )．由AB →＝DC →，得(1,2)＝(3－x,4－y )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝3－x ，2＝4－y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴顶点D 的坐标为(2,2)．方法二：如图2，由向量加法的平行四边形法则，可知 BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋BC →＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，而OD →＝OB →＋BD →＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)， ∴顶点D 的坐标为(2,2)．图3时，仿例2得：D 1＝(2,2)时，仿例2得：D 2＝(4,6)时，仿例2得：D 3＝(－6,0).(1,3)，C (2,5)，试判断A 、活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．解：在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点，观察图形，我们猜想A 、B 、C 三点共线．下面给出证明．∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，AC →＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)，又2×6－3×4＝0， ∴AB →∥AC →，且直线AB 、直线AC 有公共点A ， ∴A 、B 、C 三点共线．点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向.例1设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．活动：教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当P 1PPP 2＝λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有的学生可能提出如下推理方法：设P (x ，y )，由P 1P →＝λPP 2→，知(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λx 2－x y －y 1＝λy 2－y⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ.这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：(1)如图4，由向量的线性运算可知图4OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，所以点P 的坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．(2)如图5，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即P 1P PP 2＝12或P 1PPP 2＝2. 如果P 1P PP 2＝12(图5(1))，那么图5OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→ ＝(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)，即点P 的坐标是(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．同理，如果P 1P PP 2＝2(图5(2))，那么点P 的坐标是(x 1＋2x 23，y 1＋2y 23)．点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.例2已知点A (1,2)，B (4,5)，O 为坐标原点，OP ＝OA ＋tAB .若点P 在第二象限，求实数t 的取值范围．活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解．教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上去板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励．教师要让学生明白“化归”思想的利用．不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集．解：由已知AB →＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)． ∴OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(3t ＋1,3t ＋2)．若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3t ＋1<03t ＋2>0⇒－23<t <－13.故t 的取值范围是(－23，－13)．点评：此题通过向量的坐标运算，将点P 的坐标用t 表示，由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组，这个不等式组的解集就是t 的取值范围．知能训练课本本节练习．解答：1．(1)a ＋b ＝(3,6)，a －b ＝(－7,2)；(2)a ＋b ＝(1,11)，a －b ＝(7，－5)； (3)a ＋b ＝(0,0)，a －b ＝(4,6)；(4)a ＋b ＝(3,4)，a －b ＝(3，－4)． 2．－2a ＋4b ＝(－6，－8)，4a ＋3b ＝(12,5)．3．(1)AB →＝(3,4)，BA →＝(－3，－4)；(2)AB →＝(9，－1)，BA →＝(－9,1)； (3)AB →＝(0,2)，BA →＝(0，－2)；(4)AB →＝(5,0)，BA →＝(－5,0)． 4．AB ∥CD .证明：AB →＝(1，－1)，CD →＝(1，－1)，所以AB →＝CD →.所以AB ∥CD .点评：本题有两个要求：一是判断，二是证明．通过作图发现规律，提出猜想，然后再证明结论是一个让学生经历数学化的过程．5．(1)(3,2)；(2)(1,4)；(3)(4，－5)．6．(103，1)或(143，－1)．7．解：设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|＝32|PB →|，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝3x －12，2y －6＝3y ＋9.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15)．点评：本题希望通过向量方法求解，培养学生应用向量的意识．课堂小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．作业课本习题2.3 A 组5、6.设计感想1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等．3．通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式．它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、求点P 分有向线段所成的比的几种求法(1)定义法：根据已知条件直接找到使P 1P →＝λPP 2→的实数λ的值．例1已知点A (－2，－3)，点B (4,1)，延长AB 到P ，使|AP →|＝3|PB →|，求点P 的坐标．解：因为点在AB 的延长线上，P 为AB →的外分点，所以AP →＝λPB →，λ<0，又根据|AP →|＝3|PB →|，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3)．(2)公式法：依据定比分点坐标公式． x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ，结合已知条件求解λ.例2已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，求点P (12，y )分P 1P 2→所成的比λ及y 的值．解：由线段的定比分点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧12＝3＋λ－1＋λ，y ＝2＋λ×31＋λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝517，y ＝4922.二、备用习题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，则－3a －2b 等于( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1) D ．(7，－1) 答案：B2．已知A (1,1)，B (－1,0)，C (0,1)，D (x ，y )，若AB →和CD →是相反向量，则D 点的坐标是( )A ．(－2,0)B ．(2,2)C ．(2,0)D ．(－2，－2) 答案：B3．若点A (－1，－1)，B (1,3)，C (x,5)共线，则使AB →＝λBC →的实数λ的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．0 D ．2 答案：D4．若A (2,3)，B (x,4)，C (3，y )，且AB →＝2AC →，则x ＝________，y ＝________.答案：4 725．已知ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)，则CO →的坐标(O 为对角线的交点)为________．答案：(－12，－4)6．向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？答案：解：∵OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )， ∴AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)． ∵AB →∥BC →，∴(4－k )(k －5)＋7×6＝0. ∴k 2－9k －22＝0. 解得k ＝11或k ＝－2.7．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试问：当λ为何值时，点P 在第一与第三象限的角平分线上？当λ在什么范围内取值时，点P 在第三象限内？答案：解：∵AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)， ∴AB →＋λAC →＝(3＋5λ，1＋7λ)，而AP →＝AB →＋λAC →(已知)， ∴OP →＝OA →＋AP →＝(2,3)＋(3＋5λ，1＋7λ)＝(5＋5λ，4＋7λ)．(1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ⇒λ＝12；(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<04＋7λ<0⇒λ∈(－∞，－1)．。

2012年高二数学教案：第2章(第6课时)平面向量的基本定理及坐标表示(2)(人教A版必修4)

高中数学第二章平面向量的基本定理及坐标表示(第2课时)平面向量的正交分解及坐标表示教案

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