湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题
2013年高三数学(理)考试试题5月份高考模拟试卷
2013年高三数学（理）试题5月份高考模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 设集合}2,1,0,1{-=A ，}13|{<≤-=x x B ，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1-C ．{}10x x -<<D ． {}10x x -≤≤2．抛物线241x y =的焦点坐标是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛0,161 B ．⎪⎭⎫⎝⎛161,0 C ．()1,0D ．()0,13． 已知31cos sin =-θθ ，则θ2sin 的值为A ． 32-B ．32C ．98-D ．984． 若函数()y f x =的图象与函数1log 2-=x y 的图象关于直线x y =对称，则(1)f x -=A ．x4 B ．14+x C ．x2D ．12+x5． 已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面，则α//β的一个充分条件是（ ） A ．m //α，m //β B ．α⊥γ，β⊥γC ．m ⊂α,n ⊂β， m ∥nD ． m 、n 是异面直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂β，n ∥α6．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且 包括边界），若目标函数 z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解 有无数个，则yx a-的最大值是A ．23B ．25C ．16D ．147．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f （x ）的图象恰好通过k （k ∈N *）个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数．下列函数：①()f x =sinx ； ② ()f x =π（x －1）2+3； ③ 1()()3x f x = ； ④ x x f 6.0log )(=． 其中是一阶格点函数的有A ．①②B ．①④C ．①②④D ．①②③④8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数,x y ∈R ，等式()()()f x f y f x y =+成立．若数列{}n a 满足1(0)a f =，且11()(2)n n f a f a +=--（n ∈N*），则2009a 的值为A ． 4016B ．4017C ．4018D ．4019第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析
2013年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖北）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2013•湖北）已知全集为R，集合，则A∩∁R B=（）A ．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}3．（5分）（2013•湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A ．（¬p）∨（¬q）B．p∨（¬q）C．（¬p ）∧（¬q）D．p∨q4．（5分）（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A ．B．C．D．5．（5分）（2013•湖北）已知，则双曲线的（）A ．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等6．（5分）（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D （3，4），则向量在方向上的投影为（）A B C D7．（5分）（2013•湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A ．1+25ln5B．8+25ln C．4+25ln5D．4+50ln28．（5分）（2013•湖北）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A ．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V49．（5分）（2013•湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X的均值E（X）=（）A ．B．C．D．10．（5分）（2013•湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx ﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A B C D二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）11．（5分）（2013•湖北）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）直方图中x的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为_________．12．（5分）（2013•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=_________．13．（5分）（2013•湖北）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=_________．14．（5分）（2013•湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=_________．15．（5分）（2013•湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为_________．16．（2013•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积，求sinBsinC的值．18．（12分）（2013•湖北）已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）（2013•湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F 分别是PA，PC的中点．（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．20．（12分）（2013•湖北）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．（Ⅰ）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？21．（13分）（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．22．（14分）（2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．（参考数据：．2013年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案．解答：解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选D．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）考点：其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C R B．解答：解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选C．点评：本题考查指数函数的性质与元二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题．3．（5分）考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．解答：解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．点评：本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4．（5分）考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专三角函数的图像与性质．分析：函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．解答：解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin （x+），∴图象向左平移m（m ＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（5分）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．解答：解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题．6．（5分）考平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．解答：解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．7．（5分）考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S=，解出即可．解答：解：令v（t）=7﹣3t+，化为3t2﹣4t ﹣32=0，又t＞0，解得t=4．∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5．故选C．点评：熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键．8．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．解答：解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记λ为V1==．V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选C．点评：本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键．9．（5分）考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：压轴题；概率与统计．分析：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8=36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．解答：解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P （X=2）=；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=．④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=．X0123P故X的分布列为因此E（X）==．故选B．点评：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键．10．（5分）考点：利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．解答：解：∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x ）单调递增；时，g′（x ）＜0，函数g（x ）单调递减．∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．∵，f′（x1）=lnx1+1﹣2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1﹣2ax2=0．且f（x1）=x1（lnx1﹣ax1）=x1（2ax1﹣1﹣ax 1）=x 1（ax1﹣1）=﹣＜0，f（x2）=x2（lnx2﹣ax2）=x2（ax 2﹣1）＞=﹣．（）．故选D．点评：熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）11．（5分）考点：频率分布直方图．专题：图表型．分析：（I）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．（II）由已知中的频率分布直方图，利用[100，250）之间各小组的纵坐标（矩形的高）乘以组距得到[100，250）的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数．解答：解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，解得x=0.0044．（II）样本数据落在[100，150）内的频率为0.0036×50=0.18，样本数据落在[150，200）内的频率为0.006×50=0.3．样本数据落在[200，250）内的频率为0.0044×50=0.22，故在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）×100=70．故答案为：0.0044；70．点根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点．对评：于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图．12．（5分）考点：程序框图．分析：框图首先给变量a和变量i赋值，然后对a是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a是否为奇数，是执行路径a=3a+1，否执行路径，再执行i=i+1，依次循环执行，当a等于4时跳出循环，输出i 的值．解答：解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4，i=1．判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行，i=1+1=2；判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3×5+1=16，i=2+1=3；判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行，i=3+1=4；判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行，i=4+1=5；判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5．故答案是5．点评：本题考查了程序框图，循环结构中含有条件结构，外面的循环结构为直到型，即不满足条件执行循环，直到条件满足跳出循环．是基础题．13．（5分）考点：一般形式的柯西不等式；进行简单的合情推理．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）2≤14（x2+y2+z2）=14，从而得到x+2y+3z恰好取到最大值，由不等式的等号成立的条件解出x=、y=且z=，由此即可得到x+y+z的值．解答：解：根据柯西不等式，得（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y 2+z 2）=14（x2+y2+z 2）当且仅当时，上式的等号成立∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，结合，可得x+2y+3z恰好取到最大值∴=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=++=故答案为：点评：本题给出x、y、z 的平方和等于1，在x+2y+3z恰好取到最大值的情况下求x+y+z的值．着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键．14．（5分）考点：归纳推理．专题：计算题．分析：观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得，把n=10，k=24代入可得答案．解答：解：原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100﹣100=1000故答案为：1000点评：本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题．15．（5分）考点：与圆有关的比例线段；直角三角形的射影定理．专题：压轴题；选作题．分析：设圆O的半径为3x，根据射影定理，可以求出OD2=OE•OC=x2，CD 2=CE•OC=8x2，进而得到的值．解解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，答：∵AB=3AD，∴AD=2x，BD=4x，OD=x又∵点C在直径AB上的射影为D，在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD•BD=8x2，在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，故==8故答案为：8点评：本题考查的知识点是直角三角形射影定理，射影定理在使用时一定要注意其使用范围…“双垂直”．16．（2013•湖北）考点：参数方程化成普通方程；椭圆的简单性质；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，从而得到c=b，又b2=a2﹣c2，消去b后得到关于a，c的等式，即可求出椭圆C的离心率．解答：解：直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程为x+y﹣m=0，它与x轴的交点坐标为（m，0），由题意知，（m ，0）为椭圆的焦点，故|m|=c，又直线l与圆O：ρ=b相切，∴，从而c=b，又b2=a2﹣c2，∴c2=2（a2﹣c2），∴3c2=2a2，∴=．则椭圆C的离心率为．故答案为：．点评：本题考查了椭圆的离心率，考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化，考查提高学生分析问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a 2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a ．又由正弦定理得即可得到即可得出．解答：解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．点评：熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．18．（12分）考点：数列的求和；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）设等比数列{a n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式（Ⅱ）结合（I）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q ，则由已知可得解得故．（Ⅱ）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而．若，则是首项为，公比为﹣1的等比数列，从而故．综上，对任何正整数m，总有．故不存在正整数m，使得成立．点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力19．（12分）考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）直线l∥平面PAC．连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC．由线面平行的性质定理可得EF∥l．再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC．（II）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BC．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：解：（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC．（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l ．而PC∩BC=C，所以l ⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．由，作DQ∥CP，且．连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC 内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．又BD⊥平面PBC ，有BD⊥BF，知∠BDF=α，于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，从而．（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且．连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD．以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有．于是，∴=，从而，又取平面ABC的一个法向量为，可得，设平面BEF 的一个法向量为，所以由可得．于是，从而．故，即sinθ=sinαsinβ．点评：本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力．20．（12分）考点：简单线性规划；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：（I）变量服从正态分布N（800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0．（II）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．解答：解：（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=（Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y．依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0．由（Ⅰ）知，p0=P（X≤900），故P（X≤360x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900．于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆，B型车12辆．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划．本题解题的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．21．（13分）考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；点到直线的距离公式．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面析：积比=λ列式求λ的值；（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M 和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．解答：解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，．其中a ＞m＞n ＞0，．（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得y A=m，y B=n ，y D=﹣m，于是．若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k ＞0），点M（﹣a ，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2．又，所以，即|BD|=λ|AB|．由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知x C =﹣x B，x D=﹣x A，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．因为k≠0，所以k 2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．点评：本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法．22．（14分）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；数列的求和；不等式的证明．专题：压轴题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）先求出函数f （x）的导函数f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为f（0）=0；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令代入并化简得，再令得，，即结论得到证明；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，令，n分别取值81，82，83，…，125，分别列出不等式，再将各式相加得，，再由参考数据和条件进行求解．解答：解；（Ⅰ）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）r﹣1]，令f'（x）=0，解得x=0．当﹣1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）内是减函数；当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f （0）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ），当x∈（﹣1，+∞）时，有f （x）≥f（0）=0，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，故当x＞﹣1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①在①中，令（这时x＞﹣1且x≠0），得．上式两边同乘n r+1，得（n+1）r+1＞n r+1+n r（r+1），即，②当n＞1时，在①中令（这时x＞﹣1且x≠0），类似可得，③且当n=1时，③也成立．综合②，③得，④（Ⅲ）在④中，令，n 分别取值81，82，83， (125)得，，，…，将以上各式相加，并整理得．代入数据计算，可得由[S]的定义，得[S]=211．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和求最值，以及学生的创新精神，是否会观察，会抽象概括，会用类比的方法得出其它结论，难度较大，注意利用上一问的结论．。
湖北省近五年(-)高考数学最新分类汇编5 数列 理
湖北省2013届高三最新理科数学（精选试题16套+2008-2012五年湖北高考理科试题）分类汇编5：数列一、选择题1 ．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（三）（word 版） ）设函数f(x)=(x-3)3+x-1,数列{a n }是公差不为0的等差数列,f(a 1)+f(a 2) + + f(a 7) =14,则 a 1 +a 2 ++a 7 = （ ） A ．0 B ．7 C ．14 D ．21 【答案】D 2 ．（湖北省黄冈市2013届高三数学（理科）综合训练题 ）在圆x y x 522=+内,过点)23,25(P 有n 条长度成等差数列的弦,最小弦长为数列的首项1a ,最大弦长为n a ,若公差⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈52,132d ,那么n 的取值集合内所有元素平方和为（ ）A ．126B ．86C ．77D ．50【答案】A3 ．（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=-(n 2) ,S （ ）A ． 20122011-B ．-20152014【答案】D4 ．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ,则++2221a a 2na +等于 （ ）A ．2)12(-n B ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n【答案】D5 ．（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（理）试题）等差数列{}n a 前n 项和为n S ,已知310061006(1)2013(1)1,a a -+-= 310081008(1)2013(1)1,a a -+-=-则（ ）A ．2013100810062013,S a a =>B ．2013100810062013,S a a =<C ．2013100810062013,S a a =->D ．2013100810062013,S a a =-<【答案】B6 ．（湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学理试题 ）在等差数列{}n a 中,0>n a ,且301021=+++a a a ,则65a a ⋅的最大值是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．36 【答案】C 7 ．（湖北省八市2013届高三3月联考数学（理）试题）《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和,则最小1份为 （ ）A ．56 B ．103C ．53D ．116【答案】C 8 ．（湖北省襄阳市2013届高三3月调研考试数学（理）试题）在等差数列{a n }中,若a 4+ a 6+ a 8 +a 10 + a 12 = 90,（ ）A ．12 :B ．14C ．16D ．18【答案】A 9 ．（2010年高考（湖北理））如图,在半径为r 的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去.设n S 为前n 个圆的面积之和,则lim n x S →∞=（ ）A ．22r πB ．283r πC ．24r πD ．26r π【答案】 【答案】C10．（湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（理）试题）在数列{}n a 中,已知1222,7,n a a a +==等于*1()n n a a n N +⋅∈的个位数字,则2013a 的值为 （ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C11．（湖北省浠水一中2013届高三理科数学模拟测试 ）已知数列{}n a 为等比数列,且5642a a a =⋅,设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ,若552b a =,则9S = （ ）A ．36B ．32C ．24D ．22【答案】（ ）A ．5252a a =,25=∴a ,36959==∴b S12．（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）已知a1,a2,,an∈(0,+∞),且=2013,则 的最小值是 （ ）A ．2013 /4B ．2013/2C ．2013D ．4026【答案】B 二、填空题 13．（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）如图,为美化环境,某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛,花坛分为两部分,中间小圆部分种植草坪,周围的圆环分为n(n≥3,n∈)部分;现将红、黄、蓝三种不同颜色的花种植在圆环中的各部分,要求三种花色齐全且相邻两部分花色不同.设圆环分为n 部分时,共有种种法;例如= 6,=18,则(1)=_________;(2)将用含有的式子表示为_____(n≥3,n∈).【答案】(1)30;(2)132n n n a a +=⨯-14．（湖北省八市2013届高三3月联考数学（理）试题）如图表中数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i 行第j 列的数为*(,)ij a i j N ∈,则(Ⅰ)99a =_______; (Ⅱ)表中数82共出现________次.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,如果全选,则按第15题作答结果计分.) 【答案】(Ⅰ) 82 (Ⅱ) 515．（2009高考(湖北理)）已知数列{}n a 满足:1a ＝m (m 为正整数),1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。
湖北省2013届高三最新理科数学(精选试题16套+2008-2012五年湖北高考理科试题)分类汇编8解析几何
湖北省2013届高三最新理科数学（精选试题16套+2008-2012五年湖北高考理科试题）分类汇编8：解析几何一、选择题1 ．（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b右支上的一点00(,)P x y 到左焦点距离与到右焦点的距离之差为,且到两条渐近线的距离之积为23,则双曲线的离心率为( ) （ ）A B C D 【答案】D2 ．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（二）（word 版） ）如图,F 1,F 2是双曲线C:)0(12222>>=+b a by a x l 的左、右焦点,过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A,B 两点.若 |AB|:|BF 2|:|AF 2|=3:4:5,则双曲线的离心率为（ ）A ．13B ．15C ．2D ．3【答案】A3 ．（湖北省八市2013届高三3月联考数学（理）试题）抛物线24y x =的焦点为F ,点,A B 在抛物线上,且2π3AFB ∠=,弦AB 中点M 在准线l 上的射影为||||,AB M M M ''则的最大值为（ ）AB C D【答案】B4 ．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆,近地点A 距地面为m 千米,远地点B 距地面为n 千米,地球半径为R 千米,则飞船运行轨道的短轴长为（ ） A ．))((2R n R m ++ B ．))((R n R m ++C．mnD ．2mn【答案】A5 ．（湖北省浠水一中2013届高三理科数学模拟测试 ）已知椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2.P 是椭圆上一点.∆PF 1F 2为以F 2P 为底边的等腰三角形,当60°<∠PF 1F 2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是 （ ） A ．(1,213-) B ．(21,213-) C ．(1,21) D ．(021,) 【答案】B ．解析:由c PF 21=,2sin22112F PF PF PF ∠=,a PF PF 221=+ 可得 c c a F PF 22sin 21-=∠,由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∠23,2121F PF 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∠23,212sin 21F PF 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈21,213a c 6 ．（2011年全国高考理科数学试题及答案-湖北）将两个顶点在抛物线22(0)ypx p =>上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则（ ）A ．n=0B ．n=1C ．n=2D ．n ≥3【答案】C7 ．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷）过点A(11,2)作圆22241640x y x y ++--=的弦,其中弦长为整数的共有（ ）A ．16条B ．17条C ．32条D ．34条【答案】C8 ．（湖北省黄冈市2013届高三数学（理科）综合训练题 ）抛物线28y x =的焦点为F ,O 为坐标原点,若抛物线上一点P满足||:||:2,PF PO POF =∆则的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C9 ．（湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（理）试题）如图,P 为椭圆221259x y +=上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A,上顶点B 分别作y 轴,x 轴的平行线,它们相交于点C,过P 引BC ．AC 的平行线交AC 于N,交BC 于M,交AB 于D ．E,记矩形PMCN 的面积为1S ,三角形PDE 的面积为2S ,则12:S S =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．与点P 的坐标有关【答案】A10．（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）如右下图,正三角形PA D 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直O 为正方形AB- CD 的中心,M 为正方形ABCD 内一点,且满足MP =MB ,则点M 的轨迹为【答案】B11．（湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学理试题 ）双曲线22221y x a b-=与抛物线218y x =有一个公共焦点F,双曲线上过点F 则双曲线的离心率等于 （ ）A ．2B C D【答案】B12．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（三）（word 版） ）过抛物线y 2= 4x 的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点,点O 是原点,若|AF| = 3,则 ΔAOB 的面积为 （ ）A ．22B ． 2C ． 223D ．22【答案】C13．（2010年高考（湖北理））若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点,则b 的取值范围是（ ）A ．]221,1[+-B ．]221,221[+-C ．[1-D ．]3,21[-【答案】C ．【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)x y y -+-=≤≤,即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆,依据数形结合,当直线y x b =+与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y=x+b 距离等于2,解得11b b =+=-,因为是下半圆故可得1b =+(舍),当直线过(0,3)时,解得b=3,故13,b -≤≤所以C 正确.14．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）若直线4x -3y -2=0与圆01242222=-++-+a y ax y x 有两个不同的公共点,则实数a 的取值范围是（ ）A ．-3<a <7B ．-6<a <4C ．-7<a <3D ．-21<a <19【答案】B15．（2009高考(湖北理)）已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点,则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是 （ ）A ．11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ B ．11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．K ⎡∈⎢⎣D ．2,,K ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎭【答案】A ．【解析】易得准线方程是2212a xb =±=±=±所以222241c a b b =-=-= 即23b =所以方程是22143x y += 联立 2 y kx =+可得22 3+(4k +16k)40x x +=由0∆≤可解得A16．（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（理）试题）定义:平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系.在平面斜坐标系xOy 中,若12OP xe ye =+(其中12,e e 分别是斜坐标系x 轴,y 轴正方向上的单位向量,,,x y R O ∈为坐标系原点),则有序数对(),x y 称为点P 的斜坐标.在平面斜坐标系xOy 中,若120,xOy ∠=点C 的斜坐标为()2,3,则以点C 为圆心,2为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程是 （ ）A ．096422=+--+y x y x B ．096422=++++y x y x C ．03422=+---+xy y x y xD ．034.22=+++++xy y x y x【答案】C17．（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）已知抛物线M:y 2=4X ,圆N(x-1)2+y 2=r 2(其中r 为常数,r>0).过点(1,0)的直 线l交圆N 于C,D 两点,交抛物线财于（ ） A ．B两点,若满足丨AC 丨=|BD 丨的直线l 有三 条,则（ ）A ．1,0(∈r 23,1(∈r 2,23(∈r ),0(+∞∈r【答案】D18．（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（理）试题）已知O 为坐标原点,双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点F,以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点（ ） A ．B,若()0AO AF OF +⋅=,则双曲线的离心率e 为 （ ）A ．2B ．3CD【答案】C19．（湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线的焦距为,焦点到一条渐,则双曲线的标准方程为（ ）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=或2212x y -=D ．2212x y -=或2212y x -=【答案】答案:C解析:由题易知2c b ==,故1a =,这样的双曲线标准方程有两个.20．（湖北省七市2013届高三4月联考数学（理）试题）已知直线l:y=ax+1-a(a∈R).若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|,则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出四条曲线方程:①y=-2 |x-1|;②y=2x ;③(x -1)2+(y-1)2=1;④x 2+3y 2=4;则其中直线l 的“绝对曲线”有 （ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】D21．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）直线1l :kx +(1-k )y -3=0和2l :(k -1)x +(2k +3)y -2=0互相垂直,则k =（ ）A ．-3或-1B ．3或1C ．-3或1D ．-1或3【答案】C22．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷）如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①a 1+c 1=a 2+c 2; ②a 1-c 1=a 2-c 2; ③c 1a 2>a 1c 2; ④11a c <22c a .其中正确式子的序号是 （ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B23．（湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（理）试题）已知直线x=2与双曲线14:22=-y y C 的渐近线交于E 1、E 2两点,记2211,e OE e OE ==,任取双曲线C 上的点P,若),(21R b a be ae OP ∈+=,则（ ）A ．1022<+<b a B ．21022<+<b a C ．122≥+b aD ．2122≥+b a 【答案】D24．（湖北省襄阳市2013届高三3月调研考试数学（理）试题）则该双曲线的离心率为（ ）A B ．2C 【答案】C 二、填空题25．（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）抛物线=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与抛物线交于A 、B 两点,抛物线的准线与x 轴交于点K,则(1)以AB 为直径的圆与抛物线准线的位置关系为____(填“相交”、“相切”或“相离”);(2)△KAB 的面积的最小值为_________.【答案】(1)相切;(2)2p .26．（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（理）试题）已知椭圆22221(0),(,),(,)x y a b P x y Q x y a b''+=>>是椭圆上两点,有下列三个不等式①222();a b x y +≥+②2221111();x y a b+≥+③221xx yy a b ''+≤.其中不等式恒成立的序号是______.(填所有正确命题的序号)【答案】①②③27．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）过双曲线2222x y a b-=1(a >0,b >0)的左焦点F,作圆2224a x y +=的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ,若E 为PF 的中点,则双曲线的离心率为________. .【答案】粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符28．（湖北省七市2013届高三4月联考数学（理）试题）已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x 1,y 1)和B(x 2,y 2)两点.则:(I) y 1 y 2=______;(Ⅱ)三角形ABF 面积的最小值是______.【答案】(Ⅰ)8-(Ⅱ)29．（2012年湖北高考试题（理数，word 解析版））如图,双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ,2A ,虚轴两端点为1B ,2B ,两焦点为1F ,2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分别为,,,A B C D . 则(Ⅰ)双曲线的离心率e =________;(Ⅱ)菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =________. (二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第15题作答结果计分.)【答案】(1);(2)【解析】(1)由图象可知,OB 即为点O 到直线12F B 的距离,且OB a =,又易知直线12F B 的方程为0bx cy bc -+=,a =,整理得()22222c a a c -=,得22c a ac -=.所以210e e --=,解得e =(负值舍去) (2)连结OB ,设BC 与x 轴的交点为G,则1BF =.在直角三角形1OBF 中,有11,OB BF BG OF ⊥⊥, 所以1111122OBF S OB BF FO BG ∆==,得11BF OB ab BG F O c ==. 所以2a OG c ==.所以32242||2||a bS OG GB c=⋅=.而112121||||22SF F B B bc ==, 所以33132122S c e S a ===【点评】本题考查双曲线的离心率,点到直线的距离,四边形的面积以及运算求解的能力.由直线与圆相切,得到圆心到该直线的距离等于半径,这是求解本题的突破口.来年需注意双曲线的标准方程,轨迹问题,特别是双曲线的定义的应用.三、解答题30．（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知椭圆1,C 抛物线2C 的焦点均在y 轴上,1C 的中心和2C 的顶点均为原点,O 从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:(1)求12,C C 的标准方程;(2)设斜率不为0的动直线l 与1C 有且只有一个公共点,P 且与2C 的准线相交于点,Q 试探究:在坐标平面内是否存在定点,M 使得以PQ 为直径的圆恒过点?M 若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】31．（湖北省浠水一中2013届高三理科数学模拟测试 ）如图所示,过点)1,(m M 作直线AB 交抛物线y x=2于B A ,两点,且MB AM =,过M 作x 轴的垂线交抛物线于点C .连接,,BC AC 记三角形ABC 的面积为∆S ,记直线AB 与抛物线所围成的阴影区域的面积为弓S . (1)求m 的取值范围; (2)是否存在常数λ,使得λ=∆弓S S ？若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由【答案】解:(1)易知直线AB 的斜率存在,设AB 直线方程为()1y k x m =-+代入抛物线方程2x y =得,210x kx mk -+-= (*)设1122(,),(,)A x y B x y 因为M 是AB 的中点,所以1222x x km +==,即2k m = 方程(*)即为:222210x mx m -+-=(**)由224840m m ∆=-+>得11m -<< 所以m 的取值范围是(1,1)-; ......4＇ (2)因为2(,1),(,),M m C m m MC x ⊥轴,所以|MC |=21m -, 由方程(**)得212122,21x x m x x m +==- 所以S ∆=ACM BCM S S +=121||||2x x MC -．||MC ．2(1)m -．=322(1)m -; ...8＇ 常数λ存在且34λ=不妨设12x x < 212=[()1]x x S k x m x dx -+-⎰弓2122=[212]x x mx m x dx +--⎰212231[(12)]|3x x mx m x x =+--222332121211()(12)()()3m x x m x x x x =-+---- 222212122111()[()(12)()]3x x m x x m x x x x =-++--++22212121211()[()(12)(())]3x x m x x m x x x x =-++--+-由方程(**)得212122,21x x m x x m +==-, 代入上式化简得322224(1)(1)33S m m =-=-弓． 由(2)知S ∆=322(1)m -所以322322(1)3=44(1)3S m S m ∆-=-弓 所以常数λ存在且34λ=. 13＇ 32．（2011年全国高考理科数学试题及答案-湖北）平面内与两定点1(,0)A a -,2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线.(Ⅰ)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值得关系;(Ⅱ)当1m =-时,对应的曲线为1C ;对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞,对应的曲线为2C ,设1F 、2F 是2C 的两个焦点.试问:在1C 撒谎个,是否存在点N ,使得△1F N 2F 的面积2||S m a =.若存在,求tan 1F N 2F 的值;若不存在,请说明理由.【答案】本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想.解:(I)设动点为M,其坐标为(,)x y ,当x a ≠±时,由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a⋅=⋅==-+- 即222()mx y ma x a -=≠±,又12(,0),(,0)A a A A -的坐标满足222,mx y ma -= 故依题意,曲线C 的方程为222.mx y ma -=当1,m <-时曲线C 的方程为22221,x y C a ma +=-是焦点在y 轴上的椭圆;当1m =-时,曲线C 的方程为222x y a +=,C 是圆心在原点的圆;当10m -<<时,曲线C 的方程为22221x y a ma +=-,C 是焦点在x 轴上的椭圆;当0m >时,曲线C 的方程为22221,x y a ma-=C 是焦点在x 轴上的双曲线. (II)由(I)知,当m=-1时,C 1的方程为222;x y a += 当(1,0)(0,)m ∈-+∞时,C 2的两个焦点分别为12((F F - 对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞,C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0,12|||.2x y a y y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩ 由①得00||,y a <≤由②得0||y =① ②当0,0,a m <≤≤<或0m <≤时, 存在点N,使S=|m|a 2;当,a >即或m >, 不存在满足条件的点N,当150,m ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎭⎝时, 由100200(1),(1,)NF a m x y NF a x y =-+--=+--, 可得22221200(1),NF NF x m a y ma ⋅=-++=- 令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=,则由22121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ⋅==-=-可得,从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-,于是由2||S m a =, 可得2212||tan ||,tan .2m ma m a mθθ-==-即 综上可得:当m ⎫∈⎪⎪⎭时,在C 1上,存在点N,使得212||,tan 2;S m a F NF ==且当m ⎛∈ ⎝时,在C 1上,存在点N,使得212||,tan 2;S m a F NF ==-且当15((,)m +-+∞时,在C 1上,不存在满足条件的点N. 33．（湖北省八市2013届高三3月联考数学（理）试题）已知△ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是(0,1),(0,1)-,且,AC BC 所在直线的斜率之积等于(0)m m ≠.(Ⅰ)求顶点C 的轨迹E 的方程,并判断轨迹E 为何种圆锥曲线;(Ⅱ)当12m =-时,过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点,设点N 关于x 轴的对称点为Q (M Q、不重合) 试问:直线MQ 与x 轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.【答案】.(Ⅰ)由题知:11y y m x x-+⋅= 化简得:221(0)mx y x -+=≠当1m <-时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,1)-两点;当1m =-时 轨迹E 表示以(0,0)为圆心半径是1的圆,且除去(0,1),(0,1)-两点; 当10m -<<时 轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,1)-两点; 当0m >时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线,且除去(0,1),(0,1)-两点;(Ⅱ)设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零,则可设l :1x ty =+,代入221(0)2x y x +=≠整理得22(2)210t y ty ++-=12222t y y t -+=+,12212y y t -=+, 又因为M Q 、不重合,则1212,x x y y ≠≠-Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =,得1211211211121212()()2112y x x ty y y ty y x x ty y y y y y y --=+=++=+=+++故直线MQ 过定点(2,0)解二:设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零,可设l :(1)y k x =-代入221(0)2x y x +=≠整理得:2222(12)4220k x k x k +-+-= 2122412k x x k +=+,21222212k x x k-=+, Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =,得121121121211121212()(1)()2()2(2)2y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+=+==++-+-∴直线MQ过定点(2,0)34．（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）的直线交椭圆于(I)求橢圆Γ的方程;(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P,Q且OP⊥若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.OQ【答案】35．（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）已知圆C:=8及点F(1,0),P为圆C 上一动点,在同一坐标平面内的动点M 满足:,││=││.(1)求动点M 的轨迹E 的方程;(2)过点F 作直线l 与(1)中轨迹E 交于不同两点R,S,设=λ,λ∈[-2,-1),求直线l 的纵截距的取值范围. 【答案】36．（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（理）试题 ）设双曲线C :12222=-by a x (a >0,b >0)的离心率为e ,若准线l 与两条渐近线相交于P 、Q 两点,F 为右焦点,△FPQ 为等边三角形.(1)求双曲线C 的离心率e 的值;(2)若双曲线C 被直线y =ax +b 截得的弦长为ae b 22求双曲线c 的方程.【答案】(2)由(1)得双曲线C 的方程为把132222=-ay a x .把a ax y 3+=代入得0632)3(2222=++-a x a x a .依题意 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆≠-0)3(2412032242,a a a a ∴ 62<a ,且32≠a .∴ 双曲线C 被直线y =ax +b 截得的弦长为]4))[(1())(1()()(2122122212221221x x x x a x x a y y x x l -++=-+=-+-=222242)3()1(2412)1(---+=a a a a a ∵ a a c b l 1222==.∴ 224222)3(1272)1(144--+=⋅a a a a a .整理得 010*******=+-a a .∴ 22=a 或13512=a . ∴ 双曲线C 的方程为:16222=-y x 或115313511322=-y x.(2)将b x y +=3代入862-=x y 得08)1(6922=++-+b x b x .由862-=x y 及22≤≤-y ,得234≤≤x .所以方程①在区间34[,2]有两个实根. 设8)1(69)(22++-+=b x b x x f ,则方程③在34[,2]上有两个不等实根的充要条件是:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-+=≥++-+=>+--=∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅．，，，292)1(634082)1(629)2(0834)1(6)34(9)34(0)8(94)]1(6[222222b b b f b b f b b 之得34-≤≤-b . ∵ 7232984)]1(32[4)(||222122121--=+--=-+=-⋅b b b x x x x x x ∴ 由弦长公式,得721032||1||212--=-+=⋅b x x k EF 又原点到直线l 的距离为10||b d =, ∴71)711(73202732072320||222++-=--=--=b b b b b d EF ∵ 34-≤≤-b ,∴ 41131-≤≤-b .∴ 当411-=b ,即4-=b 时,35||max =d EF . 37．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（三）（word 版） ）已知P(x 0,y 0)(a x ≠0)是双曲线E:)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点,M,N 分别是双曲线E 的左、右顶点,直线PM,PN 的斜率之积为51.(I )求双曲线的离心率;(II)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足OB OA OC +=λ,求λ的值.【答案】38．（湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（理）试题）设点A(3-,0),B(3,0),直线AM 、BM 相交于点M,且它们的斜率之积为32-. (1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)若直线l 过点F(1,0)且绕F 旋转,l 与圆5:22=+y x O 相交于P 、Q 两点,l 与轨迹C 相交于R 、S 两点,若|PQ|],19,4[∈求△F′RS 的面积的最大值和最小值(F′为轨迹C 的左焦点).【答案】(Ⅰ)设(,)M x y ,则2(3MA MBk k x ⋅==-≠化简22132x y += ∴轨迹C 的方程为221(32x y x +=≠(Ⅱ)设:1l x my =+,O l 到的距离d =||[4,19]PQ ∴=203m ∴≤≤,将1x my =+代入轨迹C 方程并整理得:22(23)440m y my ++-=设1122(,),(,)P x y Q x y ,则122423m y y m +=-+,122423y y m =-+12||y y ∴-==121||||2S y y FF ∆'∴=-⋅= 设21[1,4]m t +=∈,则1()4[1,4]f t t t =+在上递增,65()[5,]4f t ∴∈S ∆∴==min S ∴=,max S = 39．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（二）（word 版） ）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e=21,以右焦点F 2为圆心,长半轴为半径的圆与直线033=+-y x =O 相切. (I)求椭圆C 的标准方程;(II)过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,在x 轴上是否存在点 P(m,0)使PM = PN.若存在,求m 的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】40．（湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学理试题 ）已知点(1,0),(1,0),(,):||||M N P x y PM PN -+=动点满足(1)求P 的轨迹C 的方程;(2)是否存在过点(1,0)N 的直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,并且曲线C 存在点Q,使四边形OAQB 为平行四边形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)PM PN +=的轨迹是以MN 为焦点,长轴长为32的椭圆所以P 的轨迹C 的方程为22 1.32x y +=(2)设1122(,)(,)A x y B x y 、,由题意知l 的斜率一定不为0,故不妨设:1l x my =+,代入椭圆方程整理得22(23)440m y my ++-=, 显然0.∆> 则12122244,2323m y y y y m m +=-=-++①, 假设存在点Q ,使得四边形OAQB 为平行四边形,其充要条件为OQ OA OB =+,则点Q 的坐标为1212(,)x x y y ++.由点Q 在椭圆上,即221212()() 1.32x x y y +++= 整理得222211221212232346 6.x y x y x x y y +++++=又A B 、在椭圆上,即2222112223623 6.x y x y +=+=，故1212233x x y y +=-②将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++代入由①②解得m = 即直线l 的方程是:1x y =+,即220x ±-= 41．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷）如图,在以点O 为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB 中,OD⊥AB,P 是半圆弧上一点,∠POB=30°,曲线C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C 过点P.(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C 的方程;(Ⅱ)设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F. 若△OEF 的面积不小于．．．,求直线l 斜率的取值范围.【答案】本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.(Ⅰ)解法1:以O 为原点,AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则A (-2,0),B (2,0),D (0,2),P (1,3),依题意得||MA |-|MB ||=|PA |-|PB |=221321)32(2222＝）（+--++< |AB |=4.∴曲线C 是以原点为中心,A 、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ,虚半轴长为b ,半焦距为c , 则c =2,2a =22,∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为12222=-y x .解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得||MA |-|MB ||=|PA |-|PB |<|AB |=4.∴曲线C 是以原点为中心,A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为a by a x (12222=->0,b >0).则由 .4,11)3(222222=+=-b a ba 解得a 2=b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12222=-y x(Ⅱ)解法1:依题意,可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理得(1-K 2)x 2-4kx-6=0. ① ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F , ∴,0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔.33,1<<-±≠k k∴k ∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3). ② 设E (x 1,y 1),F (x 2, y 2),则由①式得x 1+x 2=k x x k k --=-16,14212,于是 |EF |=2212221221))(1()()(x x k y y x x -+=-+-=.132214)(1222212212kk k x x x x k --⋅+=-+⋅+而原点O 到直线l 的距离d =212k+,∴S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥,则有 解得.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③综合②、③知,直线l 的斜率的取值范围为[-2,-1]∪(-1,1) ∪(1, 2). 解法2:依题意,可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理, 得(1-K 2)x 2-4kx -6=0. ① ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F , ∴.0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔33,1<<-±≠k k .∴k ∈(-3,-1)∪(-1,1)∪(1,3). ② 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得|x 1-x 2|=.132214)(22221221kk kx x x x --=-∆=-+ ③当E 、F 在同一支上时(如图1所示),S △OEF =;21212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时(如图2所示).+=∆∆ODF OEF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF =,2121x x OD -⋅于是 由|OD |=2及③式,得S △OEF =.132222kk --若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆OEF S.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k 解得 ④综合②、④知,直线l 的斜率的取值范围为[-2,-1]∪(-1,1)∪(1,2).42．（湖北省黄冈市2013届高三数学（理科）综合训练题 ）如图,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为,以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T :222(2)(0)x y r r ++=>,设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程;(2)求TM TN ⋅的最小值,并求此时圆T 的方程;(3)设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点,且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ,O 为坐标原点,求证:OR OS ⋅为定值.T SRNMPyxO【答案】解:(1)依题意,得2a =,c e a ==1,322=-==∴c a b c ;故椭圆C 的方程为2214xy += .(2)方法一:点M 与点N 关于x 轴对称,设),(11y x M ,),(11y x N -, 不妨设01>y .由于点M 在椭圆C 上,所以412121xy -=. (*),由已知(2,0)T -,则),2(11y x TM +=,),2(11y x TN -+=,21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x51)58(4521-+=x .由于221<<-x ,故当581-=x 时,TM TN ⋅取得最小值为15-. 由(*)式,531=y ,故83(,)55M -,又点M 在圆T 上,代入圆的方程得到21325r =.故圆T 的方程为:2213(2)25x y ++=.方法二:点M 与点N 关于x 轴对称,故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-,不妨设sin 0θ>,由已知(2,0)T -,则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ.故当4cos 5θ=-时,TM TN ⋅取得最小值为15-,此时83(,)55M -,又点M 在圆T 上,代入圆的方程得到21325r =. 故圆T 的方程为:2213(2)25x y ++=.(3) 方法一:设),(00y x P ,则直线MP 的方程为:)(010100x x x x y y y y ---=-,令0y =,得101001y y y x y x x R --=, 同理:101001y y y x y x x S++=,故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ (**), 又点M 与点P 在椭圆上,故)1(42020y x -=,)1(42121y x -=,代入(**)式,得:4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R .所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值.方法二:设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-,不妨设sin 0θ>,)sin ,cos 2(ααP ,其中θαsin sin ±≠.则直线MP 的方程为:)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ,令0y =,得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ,同理:θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ,故4sin sin )sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x . 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值.43．（2010年高考（湖北理））已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(I)求曲线C 的方程;(II)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有?0<⋅FB FA 若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质等基础知识,同时考查推理运算的能力.解:(I)设P(x,y)是曲线C 上任意一点,那么点P(x,y)满足:).0(1)1(22>=-+-x x y x化简得).0(42>=x x y(II)设过点M(m,0))0(>m 的直线l 与曲线C 的交点为),(),,(2211y x B y x A设l 的方程为,0)(16,0444,222>+=∆=--⎩⎨⎧=+=+=m t m ty y xy mty x m ty x 得由 于是⎩⎨⎧-==+my y ty y 442121①又).,1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=01)()1)(1(021********<+++-=+--⇔<⋅y y x x x x y y x x FB FA ② 又,42y x =于是不等式②等价于01)44(442221212221<++-+⋅y y y y y y 01]2)[(4116)(2122121221<+-+-+⇔y y y y y y y y③由①式,不等式③等价于22416t m m <+-④对任意实数t,24t 的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于.223223,0162+<<-<+-m m m 即由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有0<⋅FB FA ,且m 的取值范围是).223,223(+-44．（湖北省七市2013届高三4月联考数学（理）试题）在矩形ABCD 中,|AB|=23,|AD|=2,E 、F 、G 、H 分别为矩形四条边的中点,以HF 、GE 所在直线分别为x ,y 轴建立直角坐标系(如图所示).若R 、R ′分别在线段0F 、CF 上,且|OF ||OR |=|OF ||CR'|=n1. (Ⅰ)求证:直线ER 与GR ′的交点P 在椭圆Ω:32x +2y =1上;(Ⅱ)若M 、N 为椭圆Ω上的两点,且直线GM 与直线GN 的斜率之积为32,求证:直线MN 过定点;并求△GMN面积的最大值.【答案】解:(Ⅰ)∵1OR CR OF CF n '==,∴R,1)n R n-'又(0,1)G 则直线GR '的方程为1y x =+ ① 又(0,1)E - 则直线ER的方程为1y x =- ②由①②得221)1n P n -+∵2222222214(1)()11(1)n n n n n -+-+==++ ∴直线ER 与GR '的交点P 在椭圆22:13x y Ω+=上(Ⅱ)①当直线MN 的斜率不存在时,设:(MN x t t =<<不妨取((,M t N t ∴31=⋅GN GM k k ,不合题意②当直线MN 的斜率存在时,设:MN y kx b =+ 1122(,),(,)M x y N x y联立方程2213y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 222(13)6330k x kbx b +++-=则2212(31)0k b ∆=-+>22212213133316kb x x k kb x x +-=⋅+-=+， 又()()()321111212212122211=-++-+=-⋅-=⋅x x b x x b k x x k x y x y k k GNGM即221212(32)3(1)()3(1)0k x x k b x x b -+-++-=将22212213133316kb x x k kb x x +-=⋅+-=+，代入上式得0322=-+b b 解得3-=b 或1=b (舍) ∴直线过定点(0,3)T -∴||1||212x x k MN -+=,点G 到直线MN 的距离为214kd +=∴2221221213183344)(2||2||21k k x x x x x x d MN S GMN+-⋅=-+=-=⋅=△ 由3-=b 及0>∆知:0832>-k,(0)t t => 即2238k t =+∴211996t t t t==≤++ 当且仅当3t =时,()332max=∆GMN S 45．（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（理）试题）已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆Ω的方程为22221(0),x y a b a b +=>>它的离心率为12,一个焦点是(-1,0),过直线4x =上一点引椭圆Ω的两条切线,切点分别是A 、B.(Ⅰ)求椭圆Ω的方程;(Ⅱ)若在椭圆Ω22221(0)x y a b a b +=>>上的点00(,)x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.求证:直线AB恒过定点C,并求出定点C 的坐标;(Ⅲ)是否存在实数λ使得||||||||AC BC AC BC λ+=⋅恒成立?(点C 为直线AB 恒过的定点)若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(I)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>的焦点是()1,0-,故1c =,又12c a =,所以2,a b ===,所以所求的椭圆Ω方程为22143x y +=(II)设切点坐标为()11,A x y ,()22,B x y ,直线l 上一点M 的坐标()4,t ,则切线方程分别为11143x x y y +=,22143x x y y +=,又两切线均过点M ,即11221,133t tx y x y +=+=,即点A,B 的坐标都适合方程13t x y +=,故直线AB 的方程是13tx y +=,显然直线13t x y +=恒过点(1,0),故直线AB 恒过定点()1,0C(III)将直线AB 的方程13t x y =-+,代入椭圆方程,得223141203t y y ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭,即2242903t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭, 所以121222627,1212t y y y y t t -+==++,不妨设120,0y y ><,1AC y ===,同理2BC y =,所以2112121111y y AC BC y y y y ⎛⎫-+=-== ⎪⎝⎭43===, 即43AC BC AC BC +=⋅,故存在实数43λ=,使得AC BC AC BC λ+=⋅46．（湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（理）试题）已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C 上任意一点M(x,y)满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++.(1) 求曲线C 的方程;(2)动点Q(x 0,y 0)(-2<x 0<2)在曲线C 上,曲线C 在点Q 处的切线为l 向:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l 与PA,PB 都不相交,交点分别为D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若存在,求t 的值.若不存在,说明理由.【答案】【解析】解:(1)依题意可得(2,1),(2,1)MA x y MB x y =---=--,22||(2)(22),()(,)(0,2)2MA MB x y OM OA OB x y y +=-+-⨯+=⨯=,22y =+,化简得曲线C 的方程: 24x y = (2)假设存在点P (0,t )(t <0)满足条件,则直线PA 的方程是12t y x t -=+,直线PB 的方程是12ty x t -=+,曲线C 在点Q 处的切线l 的方程为200,24x x y x =-它与y 轴的交点为20(0,)4x F -,由于022x -<<,因此0112x -<< ①当10t -<<时, 11122t --<<-,存在0(2,2)x ∈-,使得0122x t -=,即l 与直线PA 平行,故当10t -<<时不符合题意②当1t ≤-时,00111,12222x x t t --≤-<≥>,所以l 与直线PA ,PB 一定相交,分别联立方程组2200001122,2424t t y x t y x t x x x x y x y x --⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=-⎪⎪⎩⎩, 解得D ,E 的横坐标分别是22000044,2(1)2(1)D E x t x tx x x t x t ++==+-+- 则202204(1)(1)E D x t x x t x t +-=---,又2||4x FP t =--, 有220220(4)11||||28(1)PDE E D x t t SFP x x t x +-=⨯-=⨯--,又2200414(1)242QABx x S -=⨯⨯-= 于是2224222000022422000(4)[(1)][4(1)]4(1)441(4)1816QAB PDES x x t x t x t St x t t x tx t ----+-+-=⨯=⨯-+-++对任意0(2,2)x ∈-,要使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数,只需t 满足2224(1)84(1)16t tt t⎧---=⎪⎨-=⎪⎩,解得t =-1,此时△QAB 与△PDE 的面积之比为2,故存在t =-1,使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容.47．（2012年湖北高考试题（理数，word 解析版））设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限,它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ,使得对任意的0k >,都有PQ PH ⊥?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)如图1,设(,)M x y ,00(,)A x y ,则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且, 可得0x x =,0||||y m y =,所以0x x =,01||||y y m=. ① 因为A 点在单位圆上运动,所以22001x y +=. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为222 1 (0,1)y x m m m+=>≠且.因为(0,1)(1,)m ∈+∞,所以当01m <<时,曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(0),0); 当1m >时,曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为(0,-,(0,.(Ⅱ)解法1:如图2、3,0k ∀>,设11(,)P x kx ,22(,)H x y ,则11(,)Q x kx --,1(0,)N kx , 直线QN 的方程为12y kx kx =+,将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.依题意可知此方程的两根为1x -,2x ,于是由韦达定理可得 21122244k x x x m k -+=-+,即212224m x x m k =+.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学及答案(湖北卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学及答案(湖北卷)一、单项选择题，共10 题，每题5分1、在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限【答案】D;2、已知全集R，集合A={x|( )x≤1}，B={x|x2-6x+8≤0}，则=（）(A)(B)(C)(D)【答案】C;3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次。
设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）(A)(B)(C)(D)【答案】A;4、将函数y= cosx+sinx(x∈R)的图像向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（）(A) (B) (C) (D)【答案】B;5、已知0＜θ＜，则双曲线（）(A) 实轴长相等(B) 虚轴长相等(C) 焦距相等(D) 离心率相等【答案】D;6、已知点A（-1,1）、B（1,2）、C（-2,1）、D（3,4），则向量和方向上的投影为（）(A) (B) (C) (D)【答案】A;7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是（）(A) (B) (C) (D)【答案】C;8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为下面两个简单几何体均为多面体，则有（）(A)(B)(C)(D)【答案】C;9、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)= （）(A) (B) (C) (D)【答案】B;10、已知a为常数，函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（）(A)(B)(C)(D)【答案】D ;二、填空题，共 6 题，每题5分1、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示。
2013年高考数学湖北理(word版含答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）【选择题】【1】．在复平面内，复数2i1+i （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 （ ）．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【2】．已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680B x x x =-+≤，则R A C B =（ ）．A.{}0x x ≤ B.{}24x x ≤≤C.{02x x ≤<或}4x > D. {02x x <≤或}4x ≥【3】．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）． A.()()p q ⌝∨⌝ B.()p q ∨⌝ C.()()p q ⌝∧⌝ D.p q ∨ 【4】．将函数3cos sin (y x x x =+∈R ）的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m 的最小值是（ ）． A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π【5】．已知04πθ<< ，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）． A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 【6】．已知点()1,1A-，()1,2B ，()2,1C --，()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）． A ．322 B ．3152 C ．-322 D ．-3152【7】．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m /s ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ）． A ．1+25ln 5 B ．118+25ln3C ．4+25ln 5D ．4+50ln 2 【8】．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为1234V V V V ，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）． 1243.AV V V V <<< 1324.BV V V V <<< 2134.CV V V V <<< 2314.DV V V V <<<【9】．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()EX = （ ）． A ．126125 B ．65 C ．168125D ．75第9题图 【10】．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，2x ()12x x <，则（ ）． A ．121()0,()2f x f x >>-B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121()0,()2f x f x <>- 【填空题】必考题（11—14题）【11】．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.（1）直方图中x 的值为___________；（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为___________.第11题图 【12】．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =___________.第12题图 【13】．设,,x y z ∈R ，且满足：222++=12+3=14xy z x y z ，+，则+x y z +=___________. 【14】．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为2(+1)11=+222n n n n ，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)=+n 22N n n ， 正方形数 2(,4)=N n n ， 五边形数 23(,5)=2N n n -12n ， 六边形数 2(,6)=2-n N n n……可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________________。
湖北省武汉市2013届高三5月供题训练(二)理科综合试题
湖北省武汉市2013届高中毕业生五月供题训练（二）理科综合试题武汉市教育科学研究院编辑人：丁济亮本试卷全卷满分300分。
考试用时150分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答题标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
选择题共21小题，每小题6分，共126分。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 S 32 Fe 56一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于各种生物膜的说法，正确的是A．线粒体内膜是线粒体中生成A TP的主要场所B．突触后膜上的受体与神经递质发生特异性识别后，神经递质进入细胞内发挥作用C．细胞膜和细胞器膜在结构和功能上紧密联系，共同组成了细胞的生物膜系统D．叶绿体的类囊体上附着大量与光合作用有关的酶，是生成光合产物的主要场所2．下列关于染色体组、单倍体和多倍体的叙述中，正确的是A．生殖细胞中含有的全部染色体称为一个染色体组B．若生物体细胞中含有三个染色体组，则该生物为三倍体生物C．含一个染色体组的生物个体是单倍体，单倍体含有的染色体组数都是奇数D．人工诱导多倍体常用的方法是低温诱导染色体加倍或秋水仙素处理植株幼苗3．反义RNA是指与mRNA或其它RNA互补的小分子RNA，当其与特定基因的mRNA互补结合，可阻断该基因的表达。
湖北省2013届高三理科数学(精选试题16套2008-2012五年湖北高考理科试题)分类汇编5数列含答案(2013高考
在数列 an 中 , 已知
a1 2, a2 7, an 2 等于 an an 1(n N * ) 的个位数字 , 则 a2013 的值为
（）
A． 8 【答案】 C
B． 6
C． 4
D． 2
11 ．（湖北省浠水一中 2013 届高三理科数学模拟测试
） 已知数列 an 为等比数列 , 且
a4 a6 2 a5 , 设等差数列 bn 的前 n 项和为 Sn , 若 b5 2a5 , 则 S9 =
16
【答案】
29
22．（ 2011 年全国高考理科数学试题及答案 -湖北）《九章算术》“竹九节”问题 : 现有一根 9
节的竹子 , 自上而下各节的容积成等差数列
共 4 升 , 则第 5 节的容积为 ________升 .
67
【答案】
66
, 上面 4 节的容积共为 3 升 , 下面 3 节的容积
23．（湖北省武汉市 2013 届高三 5 月供题训练数学理试题（二） （ word 版） ）把正整数排列成
湖北省 2013 届高三最新理科数学 （精选试题 16 套+2008-2012 五年湖北高考 理科试题）分类汇编 5：数列
一、选择题
3
1 ．（ 湖北省武汉市 2013 届高三 5 月供题训练数学理试题 （三）（ word 版） ）设函数 f(x)=(x-3)
+x-1, 数列 {a n} 是公差不为 0 的等差数列 ,f(a 1)+f(a 2) + + f(a 7) =14, 则 a 1 +a 2 ++a 7 = （
f (x) 2x c o sx, g( x) 2 x s i nx,数列 { an } 是 公 差 为 的 等 差 数 列 , 若 8
湖北省武汉市2013届高三5月数学文训练(二)试题含答案
武汉市2013届髙中毕业生五月供题训练（二）文科数学本试卷共5页,共22题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.1. 在复平面内,复戣ii +310对应的点的坐标为 A. (1,3)B. (3,1)C. ( -1,3)D. (3,-1) 2.设R ∈ϕ，则ϕ=0”是“f(x) =cos(x+ϕ)(x R ∈）为偶函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 函数f(x)=2x +x 3-2在区间(0,1)内的零点个数是A.0B. 1C.2D.34. 已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1，a 3 =a 22 -4，则a 4 =A. 5B. 9C. 3D. 75. 设l 是直线，a ，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若a//a,l//β，则a//βB.若l//a ，l 丄β，则a 丄βC.若a 丄β,l 丄a,则l 丄βD.若a 丄y3，l//a ，则l 丄β 6. 函数f(x)= 24)1ln(1x x -++的定义域为 A. [ -2,0)U(0,2] B. ( -l,0)U(0,2]C. [ -2,2]D.(-l,2]7. 一艘海轮从4处出…发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后 到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在4处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察 灯塔，其方向是北偏东65°，则B 、C 两点间的距离是 A.102海里 B.103海里C.202海里D.203海里8. 已知双曲线1222=-y x ，点A( -1，0)，在双曲线上任取两点P ，Q 满足AP 丄Aρ，则直线 PQ 恒过点A. (3,0)B. (1,0)C.( -3,0) D. (4,0) 9. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB的 长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为 A. 61B. 31C. 32D. 54 10. 数列{a n }满足a n+1+(-l)n a n =2n-1,则{a n }的前60项和为A. 3 690B. 3 660C. 1 845D. 1 830二、填空题:本大题共7小题,每小题5分，共35分.请将答案填在ff 卞3^毕f 亨的位置 上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.集合A={x ∈R||x-2|≤5}中的最小整数为_______ 12.阅读下面的程序,当a=1,b =2时，输出的a 的值为_____13. 右图是根据部分城市某年6月份的平均气温 (单位:0C)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20. 5,26.5]，样本数 据的分组为[20.5,21. 5),[21. 5,22. 5)，[22.5,23. 5),[23.5,24. 5),[24. 5,25.5),[25. 5,26. 5].已知样本中平均气温低于22.50C 的城市个数为11,则样本中平均气温 不低于25.50C 的城市个数为______.14. 某几何体的三视图如图所示，它的体积 为______15. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥1020y x y x x ，并设满足该条件的点(x,y)所成的区域为Ω,则(I)z=2x +y 的最大值是_______;(II)包含Ω的最小圆的方程为_______.16. 若等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n 则数列}{nS n 为等差数列，公差为d/2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项积为T n ，则数列{n n T }为等比 数列，公比为______17. 设在同一平面内的两个非零向量a,b 满足|a+b|=||3b a -则a,b 的夹角的取值 范围为_______三、解答题:本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分） 函数)0(3sin 32cos 6)(2>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点，B,C 为图象与x 轴的交点,且ΔABC 为正三角形.(I)求ω的值及函数f(x)的值域；(II)若538)(0=x f ，且)32,310(0-=∈x ，求f(x 0+1)的值.为预防某种流感病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2 000个流感样本分成三组，测试结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0. 33.(I)求x的值；(II)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？(III)已知y≥465,z≥30，求不能通过测试的概率.20. (本小题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD， DAB =600，FC丄平面ABCD,AE丄BD,CB=CD = CF(I)求证:BD丄平面AED;(II)求二面角F-BD-C的余弦值.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e=21,以右焦点F 2为圆心，长半轴为半径的圆与直线033=+-y x =O 相切.(I)求椭圆C 的标准方程；(II)过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,在x 轴上是否存在点 P(m,0)使PM = PN.若存在,求m 的取值范围;若不存在,说明理由.22. (本小题满分14分）已知函数.f(x)= xe k x +ln （k 为常数，e =2. 71828…是自然对数的底数），曲线y =f(x)在点（1,f(l))处的切线与x 轴平行.(I)求k 的值；(II)求f(x)的单调区间；(III)设g(x)=x )(x f '，其中)(x f '为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x) < 1 + e -2.。
2013年高三数学理科5月月考试卷(附答案)
2013年高三数学理科5月月考试卷（附答案）秘密★启用前201３年重庆一中高2013级高三下期第三次月考数学试题卷（理科）2013.5数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集集合，则（）A.B.C.D.2.向量，且∥，则锐角的余弦值为（）A.B.C.D.3.的展开式中，常数项等于（）A.15B.10C.D.4.在等差数列中每一项均不为0，若，则（）A.2011B.2012C.2013D.20145.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间1，400]的人做问卷A，编号落入区间401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A.12B.13C.14D.156.在中，已知，那么一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.正三角形D.等腰直角三角形7.若定义在R上的函数的导函数是，则函数的单调递减区间是（）A.B.C.D.8右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值。
若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有()A.1个B.2个C.3个D.4个9已知正数满足则的最小值为（）A.B.4C.D.10过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线FE交该双曲线右支于点P，若，且则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共分)二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.在复平面内，复数对应的点位于虚轴上，则12.某四面体的三视图如下图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.13.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，3，，9的9个小正方形，使得任意相邻（由公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有种。
2013高考理科数学试卷及答案(湖北卷)
湖北省教育考试院 保留版权 数学（理工类） 第1页（共12页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ðA ．{0}x x ≤B ．{24}x x ≤≤C ．{024}x x x ≤<>或D ．{024}x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝ C ．()p ⌝∧()q ⌝ D ．p ∨q4．将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π65．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等6．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD方向上的投影为ABC． D．7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是A ．125ln 5+B ．11825ln 3+ C ．425ln 5+ D ．450ln 2+8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<第2页（共6页）9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅 拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X = A ．126125 B ．65C ．168125D ．7510．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图示.第11题图 第12题图第8题图第9题图第3页（共6页）（Ⅰ）直方图中x 的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________. 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________.13．设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++x y z ++=_________. 14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10， ，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出 了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n n n =-， ………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_________．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴 为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数） 与b ρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.OD E BA第15题图C第4页（共6页）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =. 记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . （Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?第19题图第5页（共6页）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别 为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．22．（本小题满分14分）设n 是正整数，r 为正有理数.（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++； （Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）第21题图第6页（共6页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题11．（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 12．5 1314．1000 15．8 16三、解答题 17．（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π3A =.（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =. 由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.18．（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-.（Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑.若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，第7页（共6页）从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn n a =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑.故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立.19．（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC .（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥.已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥. 而PC BC C = ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥.故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=.由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=. 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得第19题解答图1第19题解答图2第8页（共6页）sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CFBFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=. （Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD . 以点C 为原点，向量,,CA CB CP所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ,1(,0,),(0,0,)2E a cF c .于是1(,0,0)2FE a = ，(,,)QP a b c =-- ，(0,,)BF b c =- ，所以||cos ||||FE QP FE QP α⋅==⋅sin α=.又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m，可得||sin ||||QP QP θ⋅==⋅ m m设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n .于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m n，从而sin β==.故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=.20．（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=(700900)0.9544P X <≤=.由正态分布的对称性，可得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=.第20题解答图第9页（共6页）（Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +.依题意, , x y 还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥.由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥. 于是问题等价于求满足约束条件21, 7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.21．依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n+=. 其中0a m n >>>， 1.mn λ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.第21题解答图1第21题解答图2第10页（共6页）（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =，B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x == ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③ 令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.第11页（共6页）因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<. 从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=.22．（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =.当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x ++>++. ①在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n+++>+. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+ ②当1n >时，在①中令1x n=-（这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1r r rn n n r ++-->+ ③且当1n =时，③也成立.综合②，③得1111(1)(1).11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++ ④（Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得第12页（共6页）44443333338180(8281)44--（），44443333338281(8382)44--（），44443333338382(8483)44-<-（， ………4444333333125124(126125)44-<-（）. 将以上各式相加，并整理得444433333312580(126)44S -<<-（. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）. 由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥.。
2013年湖北卷数学试题及答案(理)
理科数学1． 在复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限1．D [解析] z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i(1－i)＝1＋i ，z ＝1－i ，z 对应的点在第四象限，选D.2． 已知全集为，集合A ＝，B ＝{x|x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩(∁B)＝( )A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x<2或x>4}D ．{x|0<x ≤2或x ≥4}2．C [解析] A ＝{x|x ≥0}，B ＝{x|2≤x ≤4}，∁B ＝{x|x<2或x>4}，可得答案为C. 3． 在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q3．A [解析] “至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.4． 将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π64．B [解析] 结合选项，将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B.5． 已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2 θ－y 2sin 2 θ＝1与C 2：y 2sin 2 θ－x 2sin 2 θtan 2 θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等5．D [解析] e ＝c a ＝1＋b 2a 2，C 1与C 2的b 2a2＝tan 2 θ，故e 1＝e 2，选D.6． 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.3 22B.3 152 C ．－3 22 D ．－3 1526．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22，选A.7． 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 27．C [解析] 令v(t)＝0，得3t 2－4t －32＝0，解得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，求定积分得行驶距离为s ＝⎠⎛04v(t)dt ＝⎠⎛04(7－3t ＋251＋t )dt ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t)]⎪⎪⎪ )40＝4＋25ln 5，选C. 8． 一个几何体的三视图如图1－1所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )图1－1A ．V 1<V 2<V 4<V 3B ．V 1<V 3<V 2<V 4C ．V 2<V 1<V 3<V 4D ．V 2<V 3<V 1<V 48．C [解析] 由图知组成该几何体的从上到下的简单几何体为圆台，圆柱，棱柱，棱台，其体积分别为V 1＝7π3，V 2＝2π，V 3＝8，V 4＝283，选C.9． 如图1－2所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )图1－2A.126125B.65C.168125D.759．B [解析] X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65，选B.10． 已知a 为常数，函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f(x 1)>0，f(x 2)>－12B ．f(x 1)<0，f(x 2)<－12C ．f(x 1)>0，f(x 2)<－12D ．f(x 1)<0，f(x 2)>－1210．D [解析] f′(x)＝ln x －(2ax －1)＝0ln x ＝2ax －1，函数y ＝ln x 与函数y ＝2ax －1的图像有两个交点，令y 1＝ln x ，y 2＝2ax －1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a ≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y ′1＝1x，故曲线y ＝ln x 上的点(x 0，ln x 0)处的切线方程是y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x 0＝－1，解得x 0＝1，故过点(0，－1)的曲线y ＝ln x 的切线斜率是1，故2a ＝1，即a ＝12，所以a 的取值范围是(0，12)．因为0<x 1<1<x 2，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x)>0，f(x)递增，f(1)＝－a ，f(x 1)<f(1)＝－a<0，f(x 2)>f(1)＝－a>－12，选D.11． 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图1－3所示．(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．图1－311．(1)0.004 4 (2)70 [解析] (1)(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x ＋0.006 0)×50＝1x ＝0.004 4.(2)[1－(0.001 2＋0.002 4×2)×50]×100＝70.12． 阅读如图1－4所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝________.图1－412．5 [解析] 逐次运算结果是a ＝5，i ＝2；a ＝16，i ＝3；a ＝8，i ＝4；a ＝4，i ＝5，满足条件，输出i ＝5.13． 设x ，y ，z ∈，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.13.3 147 [解析] 由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(1＋4＋9)＝14≥(x ＋2y ＋3z)2＝14，当x 1＝y 2＝z 3时取“＝”，故x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，则x ＋y ＋z ＝3 147. 14． 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N(n ，k)(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N(n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N(n ，4)＝n 2，五边形数 N(n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N(n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N(n ，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.14．1 000 [解析] 观察得k 每增加1，n 2项系数增加12，n 项系数减少12，N(n ，k)＝k －22n 2＋(4－k)n2，故N(10，24)＝1 000.图1－515． (选修4－1：几何证明选讲)如图1－5所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．15．8 [解析] 设AB ＝6k ，则AD ＝2k ，DO ＝k ，CO ＝3k ，设EO ＝x ，由射影定理：DO 2＝EO·CO ，k 2＝x·3k ，x ＝k 3，故CE EO ＝3k －k 3k3＝8.16． (选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m(m 为非零常数)与ρ＝b.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．16.63[解析] 直线l 的直角坐标方程为x ＋y －m ＝0，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线与圆相切得：m 2＝2b 2.又椭圆C 的一般方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线过椭圆焦点，故m ＝c ，所以c 2＝2b 2e ＝c a ＝63.17． 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sin Bsin C 的值．17．解： (1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0.即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，因为0<A<π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bcsin A ＝12bc ·32＝34bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理得sin Bsin C ＝b a sinA c a sin A ＝bc a 2sin 2 A ＝2021×34＝57.18． 已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．18．解： (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35(13)n －1，故{1a n }是首项为35，公比为13的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n＝35[1－（13）m ]1－13＝910[1－(13)m ]<910<1. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1（k ∈N ＋），0，m ＝2k （k ∈N ＋），故∑n ＝1m 1a n <1.综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n <1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．19．， 如图1－6所示，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足DQ →＝12CP →.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.图1－619．解： (1)直线l ∥平面PAC ，证明如下：联结EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC.又EF 平面ABC ，且AC 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.而EF 平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l.因为l 平面PAC ，EF 平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC.(2)方法一：(综合法)如图①，联结BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC. 因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BC ，于是l ⊥BC. 已知PC ⊥平面ABC ，而l 平面ABC ，所以PC ⊥l ， 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC.联结BE ，BF ，因为BF 平面PBC ，所以l ⊥BF ，故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角，即∠CBF ＝β.由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP.联结PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ，所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD.联结CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ.又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF 为锐角，故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CFBF，从而sin αsin β＝BF DF ·CF BF ＝CFDF＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.方法二：(向量法)如图②，由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP.联结PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD.以点C 为原点，向量CA →，CB →，CP →所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C(0，0，0)，A(a ，0，0)，B(0，b ，0)，P(0，0，2c)，Q(a ，b ，c)，E ⎝⎛⎭⎫12a ，0，c ，F(0，0，c)，于是FE →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，QP →＝(－a ，－b ，c)，BF →＝(0，－b ，c)，所以cos α＝|FE →·QP →||FE →||QP →|＝a a 2＋b 2＋c 2，从而sin α＝1－cos 2α＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2. 又取平面ABC 的一个法向量为＝(0，0，1)，可得sin θ＝|m ·QP →||m ||QP →|＝ca 2＋b 2＋c 2. 设平面BEF 的一个法向量为＝(x ，y ，z)，所以由⎩⎪⎨⎪⎧·FE →＝0，n ·BF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧12ax ＝0，－by ＋cz ＝0，取＝(0，c ，b)，于是|cos β|＝|m·n ||m||n |＝b b 2＋c 2，从而sin β＝1－cos 2β＝cb 2＋c2. 故sin αsin β＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2·c b 2＋c 2＝ca 2＋b 2＋c 2＝sin θ，即sin θ＝sin αsinβ.20．， 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P 0.(1)求P 0的值；(参考数据：若X ～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于P 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？20．解： (1)由于随机变量X 服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得P 0＝P(X ≤900)＝P(X ≤800)＋P(800<X ≤900) ＝12＋12P(700<X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y ，依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P(X ≤36x ＋60y)≥P 0.由(1)知，P 0＝P(X ≤900)，故P(X ≤36x ＋60y)≥P 0等价于36x ＋60y ≥900，于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y 值．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值，故应配备A 型车5辆，B 型车12辆．21．， 如图1－9，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n(m>n)，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.记λ＝mn，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．图1－921．解： 依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1，C 2：x 2a 2＋y 2n 2＝1，其中a>m>n>0，λ＝m n>1.(1)方法一：如图①，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|，所以S 1S 2＝|BD||AB|.在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是|BD||AB|＝|y B －y D ||y A －y B |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0.由λ>1，可解得λ＝2＋1，故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.方法二：如图①，若直线l 与y 轴重合，则|BD|＝|OB|＋|OD|＝m ＋n ，|AB|＝|OA|－|OB|＝m －n ；S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|.所以S 1S 2＝|BD||AB|＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1，若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝2＋1，故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.(2)方法一：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak1＋k 2，所以d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ，即|BD|＝λ|AB|.由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|，|AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，于是|AD||BC|＝λ＋1λ－1.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得x A ＝am a 2k 2＋m 2，x B ＝ana 2k 2＋n2. 根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是|AD||BC|＝1＋k 2|x A －x D |1＋k 2|x B －x C |＝2x A 2x B ＝m na 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2.② 从而由①和②式可得a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2＝λ＋1λ（λ－1）.③ 令t ＝（λ＋1）λ（λ－1），则由m>n ，可得t ≠1，于是由③可解得k 2＝n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）.因为k ≠0，所以k 2>0，于是③式关于k 有解，当且仅当n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）>0，等价于(t 2－1)(t 2－1λ2)<0，由λ>1可解得1λ<t<1， 即1λ<λ＋1λ（λ－1）<1，由λ>1，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.方法二：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，所以d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ. 因为|BD||AB|＝1＋k 2|x B －x D |1＋k 2|x A －x B|＝x A ＋x B x A －x B＝λ，所以x A x B ＝λ＋1λ－1. 由点A(x A ，kx A )，B(x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得x 2A a 2＋k 2x 2A m 2＝1，x 2B a 2＋k 2x 2B n 2＝1，两式相减可得x 2A －x 2B a 2＋k 2（x 2A －λ2x 2B ）m 2＝0，依题意x A >x B >0，所以x 2A >x 2B ，所以由上式解得k 2＝m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）. 因为k 2>0，所以由m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）>0，可解得1<x A x B <λ， 从而1<λ＋1λ－1<λ，解得λ>1＋2，所以 当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.22．， 设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f(x)＝(1＋x)r ＋1－(r ＋1)x －1(x>－1)的最小值；(2)证明：n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1； (3)设x ∈，记[x]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，[－32]＝－1.令S ＝381＋382＋383＋…＋3125，求[S]的值．(参数数据：8043≈344.7，8143≈350.5，12443≈618.3，12643≈631.7) 22．解： (1)因为f′(x)＝(r ＋1)(1＋x)r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x)r －1]，令f′(x)＝0，解得x ＝0.当－1<x<0时，f ′(x)<0，所以f(x)在(－1，0)内是减函数；当x>0时，f ′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，故函数f(x)在x ＝0处取得最小值f(0)＝0.(2)由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f(x)≥f(0)＝0，即(1＋x)r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立，故当x>－1且x ≠0时，有(1＋x)r ＋1>1＋(r ＋1)x.①在①中，令x ＝1n (这时x>－1且x ≠0)，得⎝⎛⎭⎫1＋1n r ＋1>1＋r ＋1n . 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1>n r ＋1＋n r (r ＋1)，即n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.② 当n>1时，在①中令x ＝－1n (这时x>－1且x ≠0)，类似可得n r >n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1，③ 且当n ＝1时，③也成立，综合②，③得n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.④ (3)在④中，令r ＝13，n 分别取值81，82，83，…，125，得 34(8143－8043)<381<34(8243－8143)， 34(8243－8143)<382<34(8343－8243)， 34(8343－8243)<383<34(8443－8343)， ……34(12543－12443)<3125<34(12643－12543)， 将以上各式相加，并整理得34(12543－8043)<S<34(12643－8143)， 代入数据计算，可得34(12543－8043)≈210.2，34(12643－ ≈210.9.由[S]的定义，得[S]＝211.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题湖北卷(理)
湖北卷(理)一、选择题1．在复平面内，复数z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 z ＝2i1＋i ＝i(1－i)＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 的共轭复数对应点在第四象限．2．已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4} 答案 C解析 A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4} ∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2} ＝{x |0≤x <2或x >4}．3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A ．(綈p )∨(綈q ) B. p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q答案 A解析 “至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(綈p )∨(綈q )．4．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.5．已知0＜θ<π4 ，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等答案 D解析 双曲线C 1：e ＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ， 双曲线C 2：e ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ， ∴C 1，C 2离心率相等．6．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C. －322D ．－3152答案 A解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影＝AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝7t －32t 2＋25ln(1＋t )|40 ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1、V 2、V 3、V 4，若上面两个几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )A. V 1 ＜V 2＜V 4 ＜V 3B. V 1 ＜V 3＜V 2＜V 4C. V 2＜V 1＜V 3＜V 4D. V 2＜V 3 ＜V 1＜V 4 答案 C解析 由三视图知自上而下的几何体分别为圆台、圆柱、棱柱、棱台 V 1＝13π(12＋1×2＋22)＝73π，V 2＝π×12×2＝2π， V 3＝4×2＝8，V 4＝13(4＋4×16＋16)×1＝283，∴V 2<V 1<V 3<V 4.9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125 B.65 C.168125D.75答案 B解析 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆， 54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65.10．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( ) A ．f (x 1)>0，f (x 2)>－12B ．f (x 1)<0，f (x 2)<－12C ．f (x 1)>0，f (x 2)<－12D ．f (x 1)<0，f (x 2)>－12答案 D解析 f ′(x )＝ln x ＋1－2ax (x >0)， 令f ′(x )＝0得2a ＝ln x ＋1x ，设φ(x )＝ln x ＋1x，知φ′(x )＝－ln xx 2，φ(x )草图如图，∴f (x )的两个极值点0<x 1<1，x 2>1， ∴f (x 1)<0，f (x 2)>－12.二、填空题11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为 __________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250]内的户数为________．答案 (1)0.004 4 (2)70解析 (1)(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x ＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1， ∴x ＝0.004 4.(2)(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50×100＝70.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝________.答案 5解析 第一次循环：a ＝5，i ＝2；第二次循环：a ＝16，i ＝3；第三次循环a ＝8，i ＝4；第四次循环：a ＝4，i ＝5，循环终止，输出i ＝5.13．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.答案3714 解析 设向量a ＝(x ，y ，z )，b ＝(1,2,3)， ∴a ·b ＝x ＋2y ＋3z ＝14， 又|a |＝1，|b |＝14，∴向量a ，b 方向相同，∴z ＝3x ，y ＝2x ， 代入已知得x ＝1414， ∴x ＋y ＋z ＝6x ＝3714.14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角型数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000解析 推测N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.15．(选修4－1：几何证明选讲)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CEEO 的值为________．答案 8解析 易知△CDO ∽△CED ， ∴CD CE ＝CO CD， 设圆O 半径为R ，则AD ＝23R ，OD ＝13R ，∴CD 2＝R 2－(13R )2＝89R 2，∴CE ＝CD 2CO ＝89R ，EO ＝19R ，故CEEO＝8. 16．(选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin (θ＋π4)＝22m (m 为非零数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________． 答案63解析 椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线l 的标准方程为x ＋y ＝m ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，由题意知⎩⎨⎧|m |2＝b a 2－b 2＝|m |，∴a 2－b 2＝2b 2，a 2＝3b 2，∴e ＝c 2a 2＝3b 2－b 23b 2＝23＝63. 三、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是 a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3，(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.18．已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35⎝⎛⎭⎫13n －1，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而∑n ＝1m 1a n ＝35⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1.若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，0，m ＝2k (k ∈N ＋).故∑n ＝1m1a n<1. 综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n<1. 故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥1成立．19．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．(1)若平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面P AC 的位置关系，并加以证明．(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足DQ →＝12CP →，记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的平面角的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β. (1)解 直线l ∥平面P AC ，证明如下： 连接EF ，因为E ，F 分别是P A ，PC 的中点， 所以EF ∥AC .又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ， 所以EF ∥l .因为l ⊄平面P AC ，EF ⊂平面P AC ， 所以直线l ∥平面P AC .(2)证明 方法一 综合法 如图，取点D ，连接BD .由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC .因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BC ，于是l ⊥BC . 已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC ⊥l . 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l ⊥BF . 故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角，即∠CBF ＝β. 由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP .连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ， 所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD . 连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ， 所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角， 即∠CDF ＝θ.又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF 为锐角． 故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得 sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CFBF .从而sin αsin β＝BF DF ·CF BF ＝CFDF ＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β. 方法二 向量法如图，由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP .连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ， 由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA →，CB →，CP →所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b .CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E ⎝⎛⎭⎫12a ，0，c ，F (0,0，c )． 于是FE →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，QP →＝(－a ，－b ，c )，BF →＝(0，－b ，c )， 所以cos α＝|FE →·QP →||FE →||QP →|＝a a 2＋b 2＋c2，从而sin α＝1－cos 2α＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c2，又取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)， 可得sin θ＝|m ·QP →||m ||QP →|＝c a 2＋b 2＋c2，设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 所以由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·FE →＝0，n ·BF →＝0.可得⎩⎪⎨⎪⎧12ax ＝0，－by ＋cz ＝0.取n ＝(0，c ，b )．于是|cos β|＝|m ·n ||m ||n |＝b b 2＋c2. 从而sin β＝1－cos 2β＝cb 2＋c2.故sin αsin β＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2·c b 2＋c2＝c a 2＋b 2＋c2＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.20．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0. (1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900) ＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y . 依题意，x ，y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0， 由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．21．如图，已知椭圆C 1与C 2 的中心坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m,2n (m >n )，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1, C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .记λ ＝mn，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2..(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λ S 2 ，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λ S 2？并说明理由． 解 依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为 C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1；C 2：x 2a 2＋y 2n 2＝1.其中a >m >n >0，λ＝m n>1.(1)方法一 如图，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0， 则S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |， 所以S 1S 2＝|BD ||AB |.在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0， 可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ， 于是|BD ||AB |＝|y B －y D ||y A －y B |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ， 化简得λ2－2λ－1＝0， 由λ>1，可解得λ＝2＋1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1. 方法二 如图，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ； S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |.所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ， 化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ>1，可解得λ＝2＋1，故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.(2)方法一 如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k >0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2， 因为d 1＝|－ak －0|1＋k2＝ak 1＋k2，d 2＝|ak －0|1＋k2＝ak 1＋k2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝λ，即|BD |＝λ|AB |.由对称性可知|AB |＝|CD |， 所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |， |AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |， 于是|AD ||BC |＝λ＋1λ－1.①将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得 x A ＝am a 2k 2＋m2，x B ＝an a 2k 2＋n2.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是 |AD ||BC |＝1＋k 2|x A －x D |1＋k 2|x B －x C |＝2x A 2x B ＝mn a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2②从而由①和②式可得a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2＝λ＋1λ(λ－1).③令t ＝λ＋1λ(λ－1)，则由m >n ，可得t ≠1，于是由③可解得k 2＝n 2(λ2t 2－1)a 2(1－t 2).因为k ≠0，所以k 2>0.于是③式关于k 有解，当且仅当n 2(λ2t 2－1)a 2(1－t 2)>0， 等价于(t 2－1)⎝⎛⎭⎫t 2－1λ2<0. 由λ>1，可解得1λ<t <1.即1λ<λ＋1λ(λ－1)<1，由λ>1，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2； 当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2. 方法二 如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2. 根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k >0)．点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1、d 2，则 因为d 1＝|－ak －0|1＋k2＝ak 1＋k2，d 2＝|ak －0|1＋k2＝ak 1＋k2，所以d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以S 1S 2＝|BD ||AB |＝λ.因为|BD ||AB |＝1＋k 2|x B －x D |1＋k 2|x A －x B |＝x A ＋x Bx A －x B＝λ，所以x A x B ＝λ＋1λ－1.由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上， 可得x 2A a 2＋k 2x 2A m 2＝1，x 2B a 2＋k 2x 2Bn2＝1，两式相减可得x 2A －x 2B a 2＋k 2(x 2A －λ2x 2B )m 2＝0，依题意x A >x B >0，所以x 2A >x 2B .所以由上式解得k 2＝m 2(x 2A －x 2B )a 2(λ2x 2B －x 2A). 因为k 2>0，所以由m 2(x 2A －x 2B )a 2(λ2x 2B －x 2A )>0，可解得1<x Ax B <λ. 从而1<λ＋1λ－1<λ，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2； 当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2. 22．设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f (x )＝(1＋x )r ＋1－(r ＋1)x －1(x >－1)的最小值；(2)证明：n r ＋1－(n －1)r ＋1r ＋1<n r <(n ＋1)r ＋1－n r ＋1r ＋1；(3)设x ∈R ，记[x ]为不小于x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，[－32]＝－1.令S ＝381＋382＋383＋…＋3125，求[S ]的值．(参考数据：8043≈344.7,8143≈350.5,12443≈618.3,12643 ≈631.7)解 (1)因为f ′(x )＝(r ＋1)(1＋x )r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x )r －1]， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0.当－1<x <0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,0)内是减函数； 当x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.(2)由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )≥f (0)＝0，即 (1＋x )r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立，故当x >－1且x ≠0时，有(1＋x )r ＋1>1＋(r ＋1)x ①在①中，令x ＝1n (这时x >－1且x ≠0)，得⎝⎛⎭⎫1＋1n r ＋1>1＋r ＋1n . 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1>n r ＋1＋n r (r ＋1)，即n r <(n ＋1)r ＋1－n r ＋1r ＋1②当n >1时，在①中令x ＝－1n (这时x >－1且x ≠0)，类似可得n r>n r ＋1－(n －1)r ＋1r ＋1③且当n ＝1时，③也成立．综合②，③得n r ＋1－(n －1)r ＋1r ＋1<n r <(n ＋1)r ＋1－n r ＋1r ＋1，④(3)在④中，令r ＝13，n 分别取值81,82,83，…，125，得34(8143－8043)<381<34(8243－8143)， 34(8243－8143)<382<34(8343－8243)， 34(8343－8243)<383<34(8443－8343)， …34(12543－12443)<3125<34(12643－12543)． 将以上各式相加，并整理得 34(12543－8043)<S <34(12643－8143)． 代入数据计算，可得 34(12543－8043)≈210.2， 34(12643－8143)≈210.9. 由[S ]的定义，得[S ]＝211.。
湖北省武汉市2013届高三5月供题(二)数学(理)试题
湖北省武汉市2013届高三5月供题训练（二）数学（理）试题本试卷共22题，其中第15、16题为选考题。
满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z 满足（z －i ）（2－i ）=5，则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若函数f （x ）=sin([0,2])3x ϕϕπ+∈是偶函数，则ϕ= A ．2πB ．23πC ．32πD ．53π 3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为l ，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C 则抽到的人中，做问卷B 的人数为A ．7B ．9C ．10D ．154．如图，在平面四边形ABCD 中，若AC =3，BD =2，则()AB DC +·()AC BD +=A ．-5B ．5C ．-13D ．135．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50o 方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20o ，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65o ，则B 、C 两点间的距离是A ．海里B ．海里C ．海里D ．海里6．运行右边的程序，输出的结果为A ．7B ．6C ．5D ．47．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是A ．B ．C ．D ．8．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为A ．16B ．13C ．23D ．459．如图，F 1，F 2是双曲线C ：2222x y a b- =l （a>0，b>0）的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB|：|BF 2|：|AF 2| =3：4：5，则双曲线的离心率为ABC ．2 D10．设定义在R 上的函数1,3|3|()1,3x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程f 2（x ）+af （x ）+b =0有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（-∞，-1）C ．（1,+ ∞）D ．（-∞，-2）（-2,-1）二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上。
高三数学月考试题及答案-武汉市武昌区2013届高三五月供题训练试题(理)
武昌区2013届高三年级五月供题训练理 科 数 学 试 卷★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数1i 2i-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列命题中错误的是A ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”B ．若R ∈y x ,，则“x y =”是“2)2(y x xy +≥”成立的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p q ∨为假命题，则命题p 和q 中必一真一假D ．对命题p ：R ∈∃x ，使得210x x -+<，则p ⌝：R ∈∀x ，则210x x -+≥3．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤2 2侧视图俯视图D ．6?n >5．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是 A ．613 B ． 365 C ．65 D ．36136．在OAB ∆中，120=∠AOB ，2=OA ，1=OB ，D 、C 分别是线段AB 和OB 的中点，则=⋅ A ．2- B ．23-C ．21- D ．437．如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三 棱锥的正视图可能为8．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 A ．169 B ．21 C ．167 D ．83 9．设点P 是双曲线22197x y -=右支上一动点，,M N 分别是圆()2241x y ++=和()2241x y -+=上的动点，则PM PN -的取值范围是A ．[]4,8B ．[]2,6C ．[]6,8D ．[]8,1210．()f x 是定义在()11-，上的函数，对于(),11x y ∀∈-，，有()()1(xyyx f y f x f --=-成立，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．给出下列命题：①()00f =； ②函数()f x 是偶函数；22 1 1 A ． 2 1 1 B ． 2 1 1 C ． 21 1 D ．1 1 123 1 6 11 6 1 24 50 35 10 1 ……………………………③函数()f x 只有一个零点； ④)41()31()21(f f f <+． 其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． (一)必考题（11—14题）11．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--=,1,,11,12x e x x x f x 则⎰-21d )(x x f =__________．12．若nxx )12(-的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则它的第4项系数是________．13．如图是斯特林数三角阵表，表中第r 行每一个数等于它左肩上的数加上右肩上的数的1r -倍，则此表中：（Ⅰ）第6行的第二个数是______________； （Ⅱ）第1n +行的第二个数是___________．（用n 表示）14．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不等式cb a 111++ cb a m++≥恒成立，则实数m 的最大值是___________．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑． 如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA =2，C 为 OA 的中点，连结BC 并延长交圆O 于点D ，则CD = ． 16．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ty t x 21,2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程 为2cossin ρθθ=．设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则⋅= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()x x x x f sin sin cos 2cos sin 22-+=ϕϕ（πϕ<<0）在π=x 处取最小值．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C ．18．（本小题满分12分）某车站每天上午安排A、B两种型号的客车运送旅客，A型车发车时刻可能是8：00，8：20，8：40；B型车发车时刻可能是9：00，9：20，9：40．两种型号的车发车时刻是相互独立的．下表是该车站最近100天发车时刻统计频率表：频数频率A型车8：00发车25 0．25A型车8：20发车m 0．50A型车8：40发车25 0．25B型车9：00发车25 0．25B型车9：20发车50 0．50B型车9：40发车25 n（Ⅰ）直接写出表中的m，n的值；（Ⅱ）某旅客8：10到达车站乘车，根据上表反映出的客车发车规律，（ⅰ）求该旅客能乘上A型客车的概率；（ⅱ）求该旅客候车时间 （单位：分钟）的分布列和数学期望．（注：将频率视为概率）19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，65=a ，且1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an n n b 2)1(4⋅--=λ(*n ∈N ），问:是否存在非零整数λ，使数列{}n b 为递增数列．20．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥A C ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上． （Ⅰ）证明：AM ⊥PN ；（Ⅱ）是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．21．（本小题满分13分）已知平面内一动点P 到椭圆15922=+y x 的右焦点F 的距离与到直线2-=x 的距离相等．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点)0,(m M （0>m ）作倾斜角为60的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，若点F 始终在以线段AB 为直径的圆内，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）过点)0,(m M （0>m ）作直线与曲线C 相交于A ，B 两点，问：是否存在一条垂直于x 轴的直线与以线段AB 为直径的圆始终相切？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由﹒22．（本小题满分14分）A B CN MPA 1B 1C 1设函数()ln f x x x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）设1212,0,,0,x x p p >>且121,p p +=证明：()())(22112211x p x p f x f p x f p +≥+；（Ⅲ）设0,,,21>n x x x ，0,,,21>n p p p ，且121=+++n p p p ，如果e 2211≥+++n n x p x p x p ，证明：e )()()(2211≥+++n n xf p x f p x f p ．理科数学参考答案及评分细则一、选择题：1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．C二、填空题：11．22e e π+- 12．160- 13．274；111!2n n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭14． 15．553 16． 0三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）f (x )＝2sin x ·1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)． ∵f (x )在x ＝π处取最小值，∴sin(π＋φ)＝－1，∴sin φ＝1，∵0＜φ＜π，∴φ＝π2． ………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x ．由f (A )＝32，得cos A ＝32． ∵角A 是△ABC 的内角，∴A ＝π6．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝2sin B ，∴sin B ＝22．∵b ＞a ，∴B ＝π4，或B ＝3π4．当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12；当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12．故C ＝7π12，或C ＝π12． ………………………………12分18．解：（Ⅰ）m =50，n =0．25． ………………………………2分（Ⅱ）（ⅰ）设某旅客8：20，8：40乘上车事件分别为A ，B ，则A ，B 互斥．∴()()()113244P A B P A P B +=+=+=． …………………………………5分 （ⅱ）可能取值为10,30,50,70,90ξ=，则()1102P ξ==，()1304P ξ==，()3115014416P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭， ()311701428P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，()3119014416P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭．ξ的分布列是ξ103050 70 90∴111111030507090302416816E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………12分19．解：（Ⅰ）设公差为d （d ≠0），由题意，知2371a a a =⋅，65=a ．于是⎩⎨⎧=++=+.64,)2()6(12111d a d a d a a解得1,21==d a ．1+=∴n a n ．………………………………………………………4分（Ⅱ）∵1n a n =+， ∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅．要使数列{}n b 为递增数列，则n n b b >+1(*n ∈N ）恒成立．∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使数列{}n b 为递增数列．…………20．解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则)1,0,0(1A ，)1,0,1(1b ，)21,1,0(M ，)0,21,21(N ．由题意，可设)1,0,(λP ． （Ⅰ）∵)21,1,0(=，)1,21,21(--=λPN ， 021210=-+=⋅∴PN AM ． ∴ AM ⊥PN ．………………………6分（Ⅱ）设),,(z y x =是平面PMN 的一个法向量，)21,21,21(-=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0n PN 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=++-,021)21(,0212121z y x z y x λ得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.322,321x z x y λλ令x =3，得y =1+2λ，z=2-2λ， ∴)22,21,3(λλ-+=．若存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º， 则|cos<,>|=23)22()21(9|22|22=-+++-λλλ．化简得0131042=++λλ．∵△＝100-4⨯4⨯13＝-108<0，方程无解．∴不存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º．……………12分21．解：（Ⅰ）易知椭圆的右焦点坐标为)0,2(F ．由抛物线的定义，知P 点的轨迹是以)0,2(F 为焦点，直线2-=x 为准线的抛物线． 所以，动点P 的轨迹C 的方程为x y 82=． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意知，直线AB 的方程为)(3m x y -=． 代入x y 82=，得03)86(322=++-m x m x ． 设),(),,(2211y x B y x A ，则22121,386m x x m x x =+=+． 因为点F 始终在以线段AB 为直径的圆内， AFB ∠∴为钝角．又),2(11y x FA -=，),2(22y x FB -=，0<⋅∴，0)2)(2(2121<+--y y x x ．即0])([34)(2221212121<++-+++-m x x m x x x x x x ，034))(32(422121<++++-∴m x x m x x ．因此043632<--m m ，321418321418+<<-∴m ． 综上，实数m 的取值范围是)321418,321418(+-． （Ⅲ）设过点M 的直线方程为m y x +=λ，代入x y 82=，得0882=--m y y λ．设),(),,(2211y x B y x A ，则λ821=+y y ，m y y 821-=．于是m m y y x x 282)(22121+=++=+λλ．AB ∴的中点坐标为)4,4(2λλm +又2212221221))(1()()(y y y y x x AB -+=-+-=λ]4))[(1(212212y y y y -++=λ)3264)(1(22m ++=λλ．设存在直线0x x =满足条件，则=-+|4|202x m λ)3264)(1(22m ++λλ．化简，得028)816(020220=+--++mx x m m x λ．所以，028)816(020220=+--++mx x m m x λ对任意的λ恒成立，所以⎩⎨⎧=+--=+.028,081602020m x x m m x 解得20-=x ，2=m ．所以，当2=m 时，存在直线2-=x 与以线段AB 为直径的圆始终相切．……13分22．解：（Ⅰ）()x x f ln 1+='．由()0>'x f ，得e 1>x ；由()0<'x f ，得e 10<<x ． ∴()f x 在)e 1,0(单调递减；()f x 在),e 1(+∞单调递增．()f x ∴在e 1=x 取最小值e1)e 1(-=f ．………………………………………………4分（Ⅱ）令()()()()112112g x p f x p f x f p x p x =+-+，不妨设12x x x ≤≤， 则()()()22112g x p f x p f p x p x '''=-+．0111211≤-=-+x p x p x x p x p ，x x p x p ≤+∴211．而()1ln f x x '=+是增函数，()()112f x f p x p x ''∴≥+．()()()221120g x p f x p f p x p x '''∴=-+≥，所以()g x 在[]12,x x 是增函数． ∴()()210g x g x ≥=，即()()()112211220p f x p f x f p x p x +-+≥． ∴()())(22112211x p x p f x f p x f p +≥+．………………………………8分（Ⅲ）先证明()()()()11221122n n n n p f x p f x p f x f p x p x p x +++≥+++．当2n =时，由（Ⅱ）知不等式成立． 假设当n k =时，不等式成立，即()()()()11221122k k k k p f x p f x p f x f p x p x p x +++≥+++．当1n k =+时，()112211k k k k f p x p x p x p x ++++++()1122111111k k k k k k p x p x p x f p p x p ++++⎛⎫+++=-+ ⎪-⎝⎭()()1122111111k kk k k k p x p x p x p f p f x p ++++⎛⎫+++≤-+ ⎪-⎝⎭()()()()()1121121111111111k k k k k k k k p p p p f x f x f x p f x p p p ++++++++⎡⎤≤-++++⎢⎥---⎣⎦()()()()11221111k k k k p f x p f x p f x p f x ++++=++++． 所以，当1n k =+时，不等式成立，()()()()11221122n n n n p f x p f x p f x f p x p x p x ∴+++≥+++．由（Ⅰ）()f x 在),e1(+∞上单调递增，因此()f x 在),e (+∞上也单调递增．e 2211≥+++n n x p x p x p ，e e)()(2211=≥+++∴f x p x p x p f n n ．∴e )()()(2211≥+++n n x f p x f p x f p ． ……………………………14分。
2013武汉市武昌区高三五月供题训练数学(理)试题及答案(Word)
2013届武昌区高三年级五月供题训练理 科 数 学 试 卷本试题卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数1i 2i-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列命题中错误的是A ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”B ．若R ∈y x ,，则“x y =”是“2)2(y x xy +≥”成立的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p q ∨为假命题，则命题p 和q 中必一真一假D ．对命题p ：R ∈∃x ，使得210x x -+<，则p ⌝：R ∈∀x ，则210x x -+≥3．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则2 2侧视图俯视图判断框中应填A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n >5．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数b ax z +=)0,(>b a的最大值是12，则22a b +的最小值是 A ．613 B ． 365 C ．65 D ．36136．在OAB ∆中，120=∠AOB ，2=OA ，1=OB ，D 、C 分别是线段AB 和OB 的中点，则=⋅AC ODA ．2-B ．23-C ．21- D ．437．如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三 棱锥的正视图可能为8．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 A ．169 B ．21 C ．167D ．839．设点P 是双曲线22197x y -=右支上一动点，,M N 分别是圆()2241x y ++=和()2241x y -+=上的动点，则PM PN -的取值范围是A ．[]4,8B ．[]2,6C ．[]6,8D ．[]8,12 10．()f x 是定义在()11-，上的函数，对于(),11x y ∀∈-，，有()())1(xyyx f y f x f --=-成立，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．给出下列命题：①()00f =； ②函数()f x 是偶函数；22 1 1 A ． 2 1 1 B ． 21 1 C ．21 1 D ．1 1 123 1 6 11 6 1 24 50 35 10 1 ……………………………③函数()f x 只有一个零点； ④)41()31()21(f f f <+． 其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． (一)必考题（11—14题）11．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--=,1,,11,12x e x x x f x 则⎰-21d )(x x f =__________．12．若nxx )12(-的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则它的第4项系数是________．13．如图是斯特林数三角阵表，表中第r 行每一个数等于它左肩上的数加上右肩上的数的1r -倍，则此表中：（Ⅰ）第6行的第二个数是______________； （Ⅱ）第1n +行的第二个数是___________．（用n 表示）14．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不等式cb a 111++ cb a m++≥恒成立，则实数m 的最大值是___________．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑． 如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA =2，C 为OA 的中点，连结BC 并延长交圆O 于点D ，则CD = ． 16．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y t x 21,2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则OB OA ⋅= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()x x x x f sin sin cos 2cos sin 22-+=ϕϕ（πϕ<<0）在π=x 处取最小值．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C．18．（本小题满分12分）某车站每天上午安排A 、B 两种型号的客车运送旅客，A 型车发车时刻可能是8：00，8：20，8：40；B 型车发车时刻可能是9：00，9：20， 9：40．两种型号的车发车时刻是相互独立的．下表是该车站最近100天发车时刻统计频率表： 频 数 频 率A 型车8：00发车 25 0．25 A 型车8：20发车 m 0．50 A 型车8：40发车 25 0．25B 型车9：00发车 25 0．25 B 型车9：20发车 50 0．50 B 型车9：40发车25 n （Ⅰ）直接写出表中的m ，n 的值； （Ⅱ）某旅客8：10到达车站乘车，根据上表反映出的客车发车规律，（ⅰ）求该旅客能乘上A 型客车的概率；（ⅱ）求该旅客候车时间ξ（单位：分钟）的分布列和数学期望．（注：将频率视为概率）19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，65=a ，且1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an n n b 2)1(4⋅--=λ(*n ∈N ），问:是否存在非零整数λ，使数列{}n b 为递增数列．20．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥A C ，M 、N 分别是CC 1，BC的中点，点P 在线段A 1B 1上． （Ⅰ）证明：AM ⊥PN ； （Ⅱ）是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．21．（本小题满分13分）已知平面内一动点P 到椭圆15922=+y x 的右焦点F 的距离与到直线2-=x 的距离相等． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点)0,(m M （0>m ）作倾斜角为60的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，若点F 始终在以线段AB 为直径的圆内，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）过点)0,(m M （0>m ）作直线与曲线C 相交于A ，B 两点，问：是否存在一条垂直于x 轴的直线与以线段AB 为直径的圆始终相切？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由﹒22．（本小题满分14分）设函数()ln f x x x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）设1212,0,,0,x x p p >>且121,p p +=证明：()())(22112211x p x p f x f p x f p +≥+；（Ⅲ）设0,,,21>n x x x ，0,,,21>n p p p ，且121=+++n p p p ，如果e 2211≥+++n n x p x p x p ，证明：e )()()(2211≥+++n n xf p x f p x f p ．AB CN MP A 1B 1C 1武昌区2013届高三年级五月供题训练理科数学参考答案及评分细则一、选择题：1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．C二、填空题：11．22e e π+- 12．160- 13．274；111!2n n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭14． 15．553 16． 0三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）f (x )＝2sin x ·1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)．∵f (x )在x ＝π处取最小值， ∴sin(π＋φ)＝－1，∴sin φ＝1， ∵0＜φ＜π，∴φ＝π2． ………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x ． 由f (A )＝32，得cos A ＝32． ∵角A 是△ABC 的内角，∴A ＝π6．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝2sin B ，∴sin B ＝22．∵b ＞a ，∴B ＝π4，或B ＝3π4．当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12； 当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12．故C ＝7π12，或C ＝π12． ………………………………12分18．解：（Ⅰ）m =50，n =0．25． ………………………………2分（Ⅱ）（ⅰ）设某旅客8：20，8：40乘上车事件分别为A ，B ，则A ，B 互斥．∴()()()113244P A B P A P B +=+=+=． …………………………………5分（ⅱ）可能取值为10,30,50,70,90ξ=，则()1102P ξ==，()1304P ξ==，()3115014416P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭， ()311701428P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，()3119014416P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭．ξ的分布列是ξ10 30 50 70 90P1214 116 18 116∴111111030507090302416816E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………12分19．解：（Ⅰ）设公差为d （d ≠0），由题意，知2371a a a =⋅，65=a ．于是⎩⎨⎧=++=+.64,)2()6(12111d a d a d a a解得1,21==d a ．1+=∴n a n ．………………………………………………………4分（Ⅱ）∵1n a n =+， ∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅．要使数列{}n b 为递增数列，则n n b b >+1(*n ∈N ）恒成立．∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使数列{}n b 为递增数列．…………………………………12分20．解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则)1,0,0(1A ，)1,0,1(1b ，)21,1,0(M ，)0,21,21(N ．由题意，可设)1,0,(λP ．（Ⅰ）∵)21,1,0(=，)1,21,21(--=λPN ，021210=-+=⋅∴AM ．∴ AM ⊥PN ．………………………6分（Ⅱ）设),,(z y x =是平面PMN 的一个法向量，)21,21,21(-=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=++-,021)21(,0212121z y x z y x λ得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.322,321x z x y λλ 令x =3，得y =1+2λ，z=2-2λ，∴)22,21,3(λλ-+=n ． 若存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º， 则|cos<,>|=23)22()21(9|22|22=-+++-λλλ．化简得0131042=++λλ．∵△＝100-4⨯4⨯13＝-108<0，方程无解． ∴不存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º．……………12分21．解：（Ⅰ）易知椭圆的右焦点坐标为)0,2(F ．由抛物线的定义，知P 点的轨迹是以)0,2(F 为焦点，直线2-=x 为准线的抛物线． 所以，动点P 的轨迹C 的方程为x y 82=． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意知，直线AB 的方程为)(3m x y -=． 代入x y 82=，得03)86(322=++-m x m x ． 设),(),,(2211y x B y x A ，则22121,386m x x m x x =+=+． 因为点F 始终在以线段AB 为直径的圆内， AFB ∠∴为钝角．又),2(11y x -=，),2(22y x -=，0<⋅∴，0)2)(2(2121<+--y y x x ．即0])([34)(2221212121<++-+++-m x x m x x x x x x ，034))(32(422121<++++-∴m x x m x x ．因此043632<--m m ，321418321418+<<-∴m ． 综上，实数m 的取值范围是)321418,321418(+-． （Ⅲ）设过点M 的直线方程为m y x +=λ，代入x y 82=，得0882=--m y y λ．设),(),,(2211y x B y x A ，则λ821=+y y ，m y y 821-=．于是m m y y x x 282)(22121+=++=+λλ．AB ∴的中点坐标为)4,4(2λλm +又2212221221))(1()()(y y y y x x AB -+=-+-=λ]4))[(1(212212y y y y -++=λ)3264)(1(22m ++=λλ．设存在直线0x x =满足条件，则=-+|4|202x m λ)3264)(1(22m ++λλ．化简，得028)816(020220=+--++mx x m m x λ．所以，028)816(020220=+--++mx x m m x λ对任意的λ恒成立，所以⎩⎨⎧=+--=+.028,081602020m x x m m x 解得20-=x ，2=m ． 所以，当2=m 时，存在直线2-=x 与以线段AB 为直径的圆始终相切．…………13分22．解：（Ⅰ）()x x f ln 1+='．由()0>'x f ，得e 1>x ；由()0<'x f ，得e 10<<x ． ∴()f x 在)e 1,0(单调递减；()f x 在),e 1(+∞单调递增．()f x ∴在e 1=x 取最小值e1)e 1(-=f ．………………………………………………4分（Ⅱ）令()()()()112112g x p f x p f x f p x p x =+-+，不妨设12x x x ≤≤，则()()()22112g x p f x p f p x p x '''=-+．0111211≤-=-+x p x p x x p x p ， x x p x p ≤+∴211．而()1ln f x x '=+是增函数，()()112f x f p x p x ''∴≥+．()()()221120g x p f x p f p x p x '''∴=-+≥，所以()g x 在[]12,x x 是增函数． ∴()()210g x g x ≥=，即()()()112211220p f x p f x f p x p x +-+≥． ∴()())(22112211x p x p f x f p x f p +≥+．………………………………8分（Ⅲ）先证明()()()()11221122n n n n p f x p f x p f x f p x p x p x +++≥+++ ． 当2n =时，由（Ⅱ）知不等式成立． 假设当n k =时，不等式成立，即()()()()11221122k k k k p f x p f x p f x f p x p x p x +++≥+++ ．当1n k =+时，()112211k k k k f p x p x p x p x ++++++()1122111111k k k k k k p x p x p x f p p x p ++++⎛⎫+++=-+ ⎪-⎝⎭()()1122111111k kk k k k p x p x p x p f p f x p ++++⎛⎫+++≤-+ ⎪-⎝⎭()()()()()1121121111111111k k k k k k k k p p p p f x f x f x p f x p p p ++++++++⎡⎤≤-++++⎢⎥---⎣⎦()()()()11221111k k k k p f x p f x p f x p f x ++++=++++ ．所以，当1n k =+时，不等式成立，()()()()11221122n n n n p f x p f x p f x f p x p x p x ∴+++≥+++ ．由（Ⅰ）()f x 在),e1(+∞上单调递增，因此()f x 在),e (+∞上也单调递增．e 2211≥+++n n x p x p x p ，e e)()(2211=≥+++∴f x p x p x p f n n ．∴e )()()(2211≥+++n n x f p x f p x f p ． ……………………………14分。
坐标系与参数方程7
坐标系与参数方程7一、填空题1 ．（湖北省浠水一中2013届高三理科数学模拟测试 ）(选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线1C的极坐标系方程为πsin ()42ρθ+=,曲线2C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数),则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为__________【答案】解析:1C :1=+y x ,2C :422=-yx 联立解得23,25-==y x2 ．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（二）（word 版） ）(选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线C 1: 1)sin cos 2(=+θθρ与曲线C 2: ρ=a(a >0)只有一个公共点, 则 a =_______.【答案】33 ．（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线⎩⎨⎧--=-=ty x 41253(t 为参数)与曲线2ρ(cos 2θ-sin 2θ)=16相交于A,B 两点,则|AB| =______4 ．（湖北省襄阳市2013届高三3月调研考试数学（理）试题）(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系,曲线(a 为参数)与曲线cos 22=-θρρ【答案】25 ．（湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）(极坐标与参数方程)已知抛物线C 的极坐标方程为2sin 8cos 0ρθθ-=,若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点,与圆()2224(0)x y r r -+=>相切,则r =________.【答案】答案解析:将2sin 8cos 0ρθθ-=化为普通方程即28y x =,得(2,0)F6 ．（湖北省八市2013届高三3月联考数学（理）试题）(选修4-4:坐标系与参数方程)设直线1l 的参数方程为13x t y a t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,另一直线2l 的方程为sin 3cos 40ρθρθ-+=,若直线1l 与2l则实数a 的值为__________.【答案】9或-117 ．（湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学理试题 ）(坐标系与参数方程选做题)已知在平面直角坐标系xoy 中,圆C的参数方程为3co s ,(13sin x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数),平面直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴为以极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为co s()06πρθ+=,则直线l 截圆C 所得的弦长为__________.【答案】8 ．（湖北省黄冈市2013届高三数学（理科）综合训练题 ）(选修4-5:坐标系与参数方程)在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为1222x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),若以直角坐标系xoy 的O 点为极点,o x 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线C 的极坐标方程为2co s()4πρθ=-.若直线l 与曲线C 交于,A B 两点,则A B =___________【答案】49 ．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（三）（word 版） ）(选修4- 4 :坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,已知曲线C 1: ⎩⎨⎧-=+=t y t x 211(t 为参数)与曲线C 2: ⎩⎨⎧==θθcos 3sin y a x (θ为参数,a>0)有一个公共点在x 轴上,则a=_____.【答案】3210．（2012年湖北高考试题（理数，word 解析版））(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)相交于A ,B 两点,则线段AB 的中点的直角坐标为__________.【答案】55,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】曲线()21,1x t y t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩化为直角坐标方程是()22y x =-,射线4πθ=化为直角坐标方程是()0y x x =≥.联立()()22,0,y x y x x ⎧=-⎪⎨=≥⎪⎩消去y 得2540x x -+=,解得121,4x x ==.所以121,4y y ==.故线段A B 的中点的直角坐标为1122,22x y x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭,即55,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点评】本题考查极坐标方程,参数方程与直角坐标方程的互化,中点坐标公式的应用问题.()()1122,,,A x y B x y 两点的中点坐标公式为1122,22x y x y ++⎛⎫⎪⎝⎭.来年需注意极坐标方程,参数方程与直角坐标方程的互化,直线与圆锥曲线的位置关系,交点个数等题型.11．（湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（理）试题）(选修4—4,坐标与参数方程)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==22,2t y t x (t 为参数),在以O 为极 点,以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2的方程为22)4sin(=+πθρ,则C 1与C 2的交点个数为________.【答案】212．（湖北省七市2013届高三4月联考数学（理）试题）(坐标系与参数方程)在直角坐标平面内,以坐标原点0为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点M 的极坐标为(42,π41),曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=ααsin 2cos 21y x (α为参数),则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为____.【答案】25-13．（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（理）试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,过圆 6co s ρ=θ的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为_______________.【答案】cos 3ρθ=14．（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）在极坐标系中，曲线ρ＝２ｓｉｎθ与ρｃｏｓθ＝－１（ρ＞０，０≤θ＜２π）的交点的极坐标为 ．【答案】3)4π15．（湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程)在直角坐标系xO y 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的参数方程为214x ty t =⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线C的极坐标方程为()4πρθ=+,则直线l 被曲线C 截得的弦长为__________________.【答案】516．（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（理）试题）(坐标系与参数方程)曲线C 1的极坐标方程为2cos sin ,ρθθ=曲线C 2的参数方程为31x t y t=-⎧⎨=-⎩,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点最近的距离为______.【答案】827。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
武汉市2013届高中毕业生五月供题训练（二）
理科数学
武汉市教育科学研究院命制 2013.5
本试卷共6页,共22题,其中第15、16题为选考题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置o
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试 题卷、草稿纸上无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
考 生应根据自己选做的题目准确填涂題号,不得多选。
答题答在答題卡上对应的答题区域 内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试題卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大煙共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.复数z 满足(x-i)(2 -i) =5，则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若函数f(x)=sin ])2,0[(3πϕϕ∈+x 是偶函数,则ϕ= A.
2
π
B.
3
2π C. 2
3π D. 3
5π
3.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调査，为此将他们随机编号为1，2，…， 960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号 落入区间[1,450]的人做问卷人编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问 卷C.则抽到的人中,做问卷B 的人数为
A. 7
B. 9
C. 10
D. 15
4.如图，在平面四边形ABCD 中，若4C = 3，BZ) =2，则
)).((BD AC DC AB ++
A. -5
B.5
C. -13
D.13
5.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后 到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在X 处观察灯塔,其方向是东偏南20°，在B 处观察 灯塔，其方向是北偏东65°，则B 、C 两点间的距离是
A.102海里
B.103海里
C.202海里
D.203海里 6. 运行右边的程序，输出的结果为 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125
8.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的 长，则该矩形面积小于32 cm 2
的概率为 A.
6
1B.
3
1C.
3
2D.
5
4
9.如图,F 1,F 2是双曲线C:
)0(1
2
22
2>>=+
b a b
y a
x l 的左、
右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若 |AB|：|BF 2|:|AF 2|=3：4：5，
则双曲线的离心率为 A. 13 B. 15 C. 2 D. 3
10. 设定义在R 上的函数⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=≠-=3,13,|3|1)(x x x x f ，若关于x 的方程f 2(x) +af(x) +b=O 有5个不同实数解,则实数a 的取值范围是 A.(0,1) B.(- ∞,-1)
C.(1，+ ∞)
D. ( -∞，—2) U ( —2，— 1)
二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分. (一)必考题(11—14題）
11. 计算定积分⎰-+1
12
)sin (dx x x =_______.
12. 若将函数f(x)=x 5 表示为f(x) =a 0 +a 1(1+x) +a 2(1+x)2 +…+a 5(1+x)5
,其中 a 0，a 1,a 2，…，a 5 为实数，则a 3=_____
13. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-≥1020
y x y x x ，并设满足该条件的点(x,y)所成的区域为Ω,则
(I)z=2x +y 的最大值是_______; (II)包含Ω的最小圆的方程为_______.
14. 把正整数排列成如图1三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数和第奇数行中的 所有偶数,可得到如图2的三角形数阵.现将图2中的正整数按从小到大的顺序排成 一列,得到一个数列{a n }.则 (I)a 23=_______;
(II)若a k =2013,则k=______
(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答題卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,則按第15題作答结果计分.) 15. (选修4-l:几何证明选讲）
如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF 丄DB ，垂足为 F,若AB=6,AE =1,则DF ·DB=_______ 16. (选修4-4:坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C 1: 1)sin cos 2(=+θθρ与曲线C 2: ρ=a(a >0)只有一个公共点， 则a =_______.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步嫌. 17. (本小题满分12分）
函数)0(3sin 32
cos
6)(2
>-+=ωωωx x
x f 在一个周期内的图
象如图所示,A 为图象的最高点，B,C 为图象与x 轴的交点,且ΔABC 为正三角形.
(I)求ω的值及函数f(x)的值域； (II)若5
3
3)(0
=
x f ，且)3
2,
3
10(0-
=∈x ，求f(x 0+1)的值.
18. (本小题满分12分）
某研究小组在电脑上进行人工降雨摸拟试验,准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：
假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响.
(I)求甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨的概率；
(II)考虑到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即能达到理想状态,乙地必须是大雨才能达到理想状态，丙地只要是小雨或中雨就能达到理想状态，求降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与数学期望.
19. (本小题满分12分）
已知数列{a n}的各项均为正数,记A(n) = a1+ a2+…+a n,B(n) = a2+ a3+…+ a n+1.C(n)=a3+a4 +…+a n+2，n=1,2,….
(I)若a1=1 ,a2 = 5 ,且对任意*
n∈,三个数A(n) ,B( n)，C( n)组成等差数列,求数列
N
{a n}的通项公式；
(II)证明:数列{a n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意*
N
n∈,三个数A(n) ,B(n) ,C(n)组成公比为q的等比数列.
20. (本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF 丄平面ABCD ，EF // AB,
BAF ∠=90°,AD= 2,AB=AF=2EF=l ，点P 在棱DF 上.
(I)若P 是DF 的中点，
(i)求证:BF//平面ACP;
(ii)求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值; (II)若二面角D-AP-C 的余弦值为3
6，求PF 的长度.
21. (本小题满分13分） 已知椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的离心率为e=
2
1,以右焦点F 2为圆心，长半轴为半径的圆
与直线0
33=+-
y x =O 相切.
(I)求椭圆C 的标准方程；
(II)过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,在x 轴上是否存在点 P(m,0)使PM = PN.若存在,求m 的取值范围;若不存在,说明理由.
22. (本小题满分14分）
设函数f(x)=xlnx+(a-x)ln(a-x)(a>0). (I)当a =1时,求函数f(x)的最小值；
(II)证明:对R x x ∈∀21,+,都有x 1lnx 1+x 2lnx 2≥(x 1+x 2)[ln(x 1+x 2)-ln2];
(III)若121
=∑=n
i i x ，证明：*),(2ln ln 121
N n i x x n
n
i i ∈-≥∑=.。