1.3 n阶行列式的定义
1-3 n 阶行列式的定义
第三节
n阶行列式的定义
一、概念的引入 二、n阶行列式的定义
一、概念的引入
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a11 a 21 a n1
0 a 22
0 0
a11 0 0
0
0 0
a 22 0
a11a22 ann .
a n 2 a nn
a nn
0 0 a n1
0 0 0 a 2Biblioteka , n 1 a1n 0 0
( 1)
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
这里
1 2 n
p1 p2 pn
t p p p 1 a1 p a2 p anp
1 2 n 1 2
n
表示对所有n级排列求和。 p p p
例5
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
（1）三阶行列式是由 3!项构成的代数和． （2）每一项都是位于不同行不同列的三个元素 的乘积．
（3）每一项的正负号是这样决定的： 当行指标按自 然顺序排好后，列指标排列的逆序数来决定符号， 若列指标排列是偶排列时，该项取正号； 若列指标排列是奇排列时，该项取负号． 例如 a13 a 21a 32 列标排列的逆序数为
它是n!项的代数和， 代数和的每一项取自(1)的 不同行不同列的n个元素的乘积
1.3 n阶行列式
a11 0 上三角（形行列式）： 0 … 0 a11 0 0 … 0
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对角形行列式：
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定理1.3
n阶行列式D=| ai j|的一般项可以记为
(1)
N ( i1i2 in ) N ( j1 j2 jn )
a i1 j1 a i2 j2 a in jn ， ，
称为n阶行列式， 它表示代数和 其中和式中的排列 j1 j2 jn要取遍所有n级排列。
(1)
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N ( j1 j2 jn )
a1 j1 a 2 j2 a njn ，
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铃
a11 a21 … an1
a12 a22 … an2
… … … …
a1n a2n … ann
解：（1）不是，因为行标中2重复了；
（2）是， 因列标的排列的逆序数 N (4312 ) = 5, 则该项 符号为负； （3）不是，因为列标中4重复了。
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例2.写出4阶行列式中含有因子 a11a23 的项。 (课本P23第3题) 解：
(1)
N (1324 )
a11a23a32 a44 = a11a23a32 a44 ;
= (1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a 2 j2 a njn 。
1）n阶行列式共有n!项，且冠以正号的项和冠以负号 的项各占一半； 2）行列式中的每一项均是来自不同行与不同列的 n 个元素的乘积； 3)每一项的符号（行标按自然序排列）由列标的逆序 数决定，即： (1)
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关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
线性代数1-3n阶行列式的定义
第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann 因此
D(1)N(123 n)a11a22a33 ann a11a22a33 ann
结论 下三角行列式 上三角行列式 对角行列式
定理13 （可选内容） n阶行列式D|aij|的一般项可以记为
(1)N (i1i2in)N( a a j1 j2 jn) i1 j1 i2 j2 ain jn 其中i1 i2 in与j1 j2 jn均为n级排列
这是因为 乘积项中的任意两个元素进行对换后 乘积项 的行标排列和列标排列的奇偶都发生变化 所以对换前后行 标排列与列标排列的逆序数的和的奇偶性不变 因此
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
(1)N( j1 j2 jn)a1 j1a2 j2 anjn
பைடு நூலகம்
提问
a11 a12 a13 a14
对于四阶行列式
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
问
a41 a42 a43 a44
四阶行列式表示的代数和有多少项? 有4!24项
(1)N(4312)a14a23a31a42是否为行列式中的一项? 是 (1)N(4314)a14a23a31a44是否为行列式中的一项? 不是
例1 计算n阶下三角形行列式
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 D a31 a32 a33 0 an1 an2 an3 ann 的值 其中aii0(i1 2 n) 解 我们要求出展开式中非零的乘积项
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
1.3n阶行列式的定义及性质
为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列 式的结构
观察与想考 三阶行列式存在什么规律? a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
❖三阶行列式的结构一： (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a a a 1p1 2 p2 3p3
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零 即
ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0 (ij)
或
a1i A1ja2i A2j ani Anj0 (ij)
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a
❖三阶行列式的结构二：
为了给出n阶行列式的第二种定义方式 我们再进一 步研究三阶行列式的结构
观察与想考 三阶行列式存在什么规律?
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则
6
AT 2
3
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
09级第1章行列式n阶行列式
证
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= (−1)τ (123) a11a22a33 +(−1)τ(132) a11a23a32
+(−1)
τ (213)
τ (312)
a12a21a33 +(−1)
τ (231)
τ (321)
a12a23a31
a13a22a31
+(−1)
τ(i1 i L in )+τ(j1 j L jn )
2 2
τ(i1i L in ) 奇->偶
2
τ(i1i L in ) 偶->奇
2
τ(j1 j L jn )
2
奇->偶 偶->奇
偶->偶 奇->奇
奇->奇 偶->偶
τ(j1 j L jn )
2
则 τ(i1 i 2 L in )+τ(j1 j 2 L jn )的奇偶性不改变，于是
= ( −1 )
τ ( 12Ln )
1 ⋅ 2L ⋅ n
= n!
例2
计算行列式 (1) 计算行列式
6
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1 2 3 4 D=
解
0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D= 0 0 5 6 0 0 0 8
= ( −1 )
τ ( 1234 )
1 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 160.
22
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*证 证
由定理二
τ ( i1i2 Lin ) +τ ( j1 j2L jn )
D = ∑ ( −1 )
线代第一章讲义
线性代数与几何（Ａ）主讲教师殷洪友E-mail: hyyin@第一章n 阶行列式1.1二阶和三阶行列式1.2排列1.3n阶行列式的概念1.4行列式的性质1.5行列式的展开定理1.6Cramer法则求解如下二元线性方程组)1.1(,,22221211212111⎩⎨⎧=+=+b x a x a b x a x a 1.1 二阶和三阶行列式其中a 11, a 12, a 21, a 22 称为方程组（1.1）的系数，b 1, b 2 称为常数项．方程组（1.1）的系数按所在的位置排成了一个两行两列的数表，称为（1.1）的系数矩阵.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22211211a a a a;212221*********b a a b x a a a a −=−）（根据消元法，可得.211211*********a b b a x a a a a −=−）（时，当021122211≠−a a a a 方程组(1.1)有唯一解：，211222112122211a a a a b a a b x −−=.211222112112112a a a a a b b a x −−=由系数矩阵确定．⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22211211a aa a设是一个两行两列的数表，则表达式称为该数表所确定的二阶行列式，记作⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22211211a a a a 21122211a a a a −.2112221122211211a a a a a a a a −=其中称为行列式的元素，下标i j 表示该元素位于第i 行，第j 列．ij a11a 12a 22a 21a 主对角线副对角线2211a a =.2112a a −注意二阶行列式的计算满足对角线法则根据二阶行列式的定义，有.,211211221111212221222121a b b a b a b a b a a b a b a b −=−=若记,22211211a a a a D =对于二元线性方程组（1.1），,2221211a b a b D =.2211112b a b a D =则当系数行列式D ≠0时，方程组有唯一解：,2221121122212111a a a a a b a b D D x ==.2221121122111122a a a a b a b a D D x ==,333213232212312111⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛a a a a a a a a a 记,312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a −−−++=333231232221131211a a a a a a a a a 则称其为该数表所确定的三阶行列式.类似地，设有9 个数排成的三行三列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 332211a a a =.322311a a a −计算三阶行列式的对角线法则注意 1. 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号;2. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．322113a a a +312312a a a +312213a a a −332112a a a −如果三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111,,bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的系数行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =,0≠利用三阶行列式求解三元线性方程组若记,3332323222131211a a b a a b a a b D =,3333123221131112a b a a b a a b a D =,3323122221112113b a a b a a b a a D =2-43-122-4-21D =计算三阶行列式例1.1则三元线性方程组有唯一解:,11DD x =,22DD x =.33DD x =.094321112=xx 求解方程例1.2例1.3 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=−+−=+−.0,132,22321321321x x x x x x x x x 解方程组的系数行列式111312121−−−−=D 5−=,0≠所以方程组有唯一解.因为113111221−−−−=D ,5−=113121212−−−−=D ,10−=0111122213−−−=D ,5−=故方程组的唯一解为:,111==DD x ,222==DD x .133==DD x思考题使得求一个二次多项式),(x f ()()().283,32,01=−==f f f定义1.1由自然数组成的一个有序数组称为一个n 阶排列．通常用表示n 阶排列．n ,,2,1"n j j j "21 定义1.2在一个排列中，如果一个较大数排在一个较小数之前，就称这两个数构成一个逆序．一个排列的逆序总个数称为这个排列的逆序数．排列具有自然顺序，即逆序数为0，称之为自然排列．n "3 2 1 1.2排列排列的逆序数记为).(21n j j j t " n j j j "21如果一个排列的逆序数为偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列．计算排列的逆序数有两种方法：向前记数法和向后记数法．()2179863541()()()321212"−−n n n ()()()()()()kk k k k k 11322212123+−−−"例1.４计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.定理1.1对换改变排列的奇偶性．在一个排列中，把其中两个数的位置互换，而保持其余数的位置不动，这种变换称为一个对换．定理1.2在全部n 阶排列中，奇偶排列各占一半．()2≥n 定理1.3任意一个n 阶排列可经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换次数的奇偶数与这个排列的奇偶性相同．1.3n 阶行列式的概念考察三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =332112322311312213aa a a a a a a a −−−（1）三阶行列式的展开式共有３！＝６项；（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，并且每个这样的乘积都出现在展开式中；322113312312332211a a a a a a a a a ++=不难发现以下特征：.)1(321321321321)(333231232221131211∑−=j j j j j j j j j t a a a a a a a a a a a a （4）如果以表示对所有３阶排列求和，则有∑321j j j （3）每项的行指标按自然顺序排列，其正负号取决于列指标构成的排列的奇偶性；其中表示对所有n 阶排列求和．∑nj j j "21定义1.3由数表所确定的n 阶行列式定义为：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a """""""212222111211()(),121212121212222111211n n nnj j j j j j t j j j nnn n n n a a a a a a a a a a a a """"""""""∑−=n 阶行列式的展开式主对角线副对角线几点说明：（1）行列式是一种特定的算式，它是为求解线性方程组而定义的;（2）n 阶行列式是项的代数和;!n （3）n 阶行列式的每项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积;（5）一阶行列式不要与绝对值记号相混淆；a a =（4）一般项前面所带符号为n nj j j a a a "2121();1)(21nj j j t "−（6）定义中的n 阶行列式可以简记为.n ij a D =例1.5证明上三角行列式nnnna a a a a a D """""""0022211211=.2211nn a a a "=同理可证下三角行列式和对角行列式nnn n a a a a a a """""""21222111000.2211nn a a a "=nna a a """""""0000002211=例1.6试证0000000052514241323125242322211514131211==a a a a a a a a a a a a a a a a D思考题已知()1211123111211xx x xx f −=.3的系数求x注意n 阶行列式的展开式也可表为：()()ni i i i i i t i i i nnn n n nn n n a a a a a a a a a a a a """"""""212122221112112121211∑−==′D ,nna a a %2211"#n n a a a 2112#""2121n n a a a 1.４行列式的性质行列式D'称为行列式D 的转置行列式．记#""n na a a 2112"#2121n n a a a =D nna a a %2211性质1.1行列式与它的转置行列式相等．注意性质1.1表明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立．性质1.2互换行列式的两行（列）的位置,行列式反号，即推论1.1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于０．.111111111111nnn pn p qn q n nn n qn q pn p n a a a a a a a a a a a a a a a a "##"##"##""##"##"##"−=性质1.3用数k 乘行列式的某一行（列），等于用数k 乘此行列式，即nnn n pn p p na a a ka ka ka a a a """""""""""""""""212111211推论1.2如果行列式的某一行（列）元素全为０，则此行列式等于０．.212111211nnn n pn p p na a a a a a a a a k """""""""""""""""=推论1.3如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式等于０.性质1.4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即nn n n pnpn p p p p na a a a a a a a a a a a """""""""""21221111211′+′+′+.212111211212111211nnn n pn p p nnnn n pn p p na a a a a a a a a a a a a a a a a a """"""""""""""""""""""′′′+=nn n qn q pn p n a a a a a a a a "##"##"##"111111.1111111nnn qnq qnpn q p n a a a a ka a ka a a a "##"##"##"++=×k 性质1.5 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上去，行列式的值不变，即例1.7计算四阶行列式2421164214112111−−−−−=D 例1.8试证3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++例1.9计算n 阶行列式abbbba b b bbabb b b a D """""""""=具有如下形式的行列式称为反对称行列式,0000321323132231211312"""""""""nnnn n n a a a a a a a a a a a a D −−−−−−=证明：奇数阶反对称行列式等于0.例1.101.5行列式的展开定理312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a −−−++=333231232221131211a a a a a a a a a 注意到三阶行列式可以改写为：()3223332211a a a a a −=()3123332112a a a a a −−()3122322113a a a a a −+323122211333312321123332232211a a a a a a a a a a a a a a a +−=()ij ji ij M A +−=1叫做元素a ij 的代数余子式．例如44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =44424134323114121123a a a a a a a a a M =()2332231M A +−=.23M −=行第j 列，由余下的元素按原来的排法构成的n -1 阶行列式叫做元素的余子式，记作ij a .M ij 定义1.4在n 阶行列式中，划去元素所在的第i ij a,44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =,33323123222113121144a a a a a a a a a M =().144444444M M A =−=+注意 1.行列式的每个元素都对应一个余子式和一个代数余子式；2.每个元素的余子式和代数余子式只与这个元素的位置有关，而与这个元素的大小无关．n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a D """""""212222111211=等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ni A a A a A a D in in i i i i ,,2,1,2211""=+++=),,2,1,(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j ""=+++=定理1.4中任一行（列）的所有元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于０，即n 阶行列式nnn jn j in i n a a a a a a a a D "##"##"##"111111=.j i ,A a A a A a jn in j i j i ≠=+++02211").,0(2211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++"定理1.5关于代数余子式的重要性质⎩⎨⎧≠===∑=.,0,,1j i j i D D A a ij nk kj ki 当当δ⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij nk jk ik 当当δ则当当如果记⎩⎨⎧≠===,,0,,1,j i j i a D ij nij δ例1.11计算n 阶行列式xyy x y x y x D n 000000000000""#####""=例1.12证明范德蒙德(Vandermonde)行列式.2,)(1111112112222121≥−==∏≤<≤−−−n x xxxxxx xx x x D ni j j in nn n nn n "###"""例1.13计算三对角行列式βααβαββααββα+++=11%%%%%%%n D例1.14,000111111111111nnn n nkn k kk k k b b b b c c c c a a a a D "##""##""##""##"=设,11111kkk ka a a a D "##"=,11112nnn nb b b b D "##"=.21D D D =证明:例1.14中的行列式D 称为准下三角行列式..00011111111111111111111nnn nkk k k nnn nknk nkk k k b b b b a a a a b b b b c c c c a a a a "##""##""##""##""##""##"⋅=同理可以证明准上三角行列式思考题阶行列式设n )1(10001030012321"#%###"""n nD n −−−=求第一行各元素的代数余子式之和.11211n A A A +++"（2）设计一个n 阶行列式D n ，使得并计算这个行列式.,12+++=n n n D D D1.6Cramer法则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,,,22112222212111212111n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a """""""""""""""设线性方程组,,,,21不全为零若常数项n b b b "则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.,,,,21全为零若常数项n b b b "如果线性方程组)2.1(22112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a """""""""""""""的系数行列式,0212222111211≠=nnn n nna a a a a a a a a D """"""""""定理1.7则该线性方程组有唯一解：)3.1(.,,,2211D D x D D x DD x n n ===".,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a D nnj n nj n n nj j nj j j """"""""""""""==+−+−+−其中推论２推论１)4.1(000221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a """""""""""""""的系数行列式,0≠D 如果齐次线性方程组则其只有零解;若(1.4)有非零解，.0=D 则必有如果线性方程组(1.2)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.。
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
1_3n阶行列式
(1324)(1342)1123324411233442(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(1234)(1243)1122334411223443(1)(1)N N a a a a a a a a =−+−(1423)(1432)1124324311243342(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(2134)(2143)1221334412213443(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(2314)(2341)1223314412233441(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(2413)(2431)1224314312243341(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(3124)(3142)1321324413213442(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(3214)(3241)1322314413223441(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(3412)(3421)1324314213243241(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(4123)(4132)1421324314213342(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(4213)(4231)1422314314223341(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(4312)(4321)1423314214233241(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排列则取负号. 因此, n 阶行列式所表示的代数和中的一般项可以写为:1212()12(1)n n j j j j j nj a a a τ−L L (1.3)其中j 1j 2…j n 构成一个n 级排列, 当取遍所有n 级排列时, 则得到n 阶行列式表示的代数和中所有的项.一阶行列式|a|就是a.行列式有时简记为|a|ij由定理可知: n阶行列式共有n!项, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的负号)各占一半.说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的，要注意它的行数等于列数；2、n阶行列式是n!项的代数和;3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;4、一阶行列式|a|=a不要与绝对值记号相混淆;5、a1j1a2j2…anj n的符号为(-1)τ(j1j2…j n).上(下)三角形行列式及对角形行列式的值, 均等于主对角线上元素的乘积.这一结论在以后行列式计算中可直接应用.这些结论应该记住，记忆是非常重要的。
线性代数1-3n阶行列式的定义
行列式的值具有可消性，即 行或列中某些元素为0时，其 对应的因子也为0。
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线性代数1-3n阶行列式的定义
• 1阶行列式 • 2阶行列式 • 3阶行列式 • n阶行列式
01
1阶行列式
定义
1阶行列式表示为|a|，其中a是一个数。
它表示数a的绝对值。
计算方法
计算方法很简单，直接取绝对值即可 。
如果a是正数，则|a|=a；如果a是负数， 则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
计算方法
01
按照定义，三阶行列式是由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
计算三阶行列式时，需要按照定义展开，即按照行优先的顺序展开。
03
具体计算方法为：将第一行的元素与第二行对应元素的代数余子式相乘，加上 第一行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘，最后加上第二行的元素与 第三行对应元素的代数余子式相乘。
03
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元 素之积。
计算方法
01
计算二阶行列式，需要先计算出矩阵中各元素的代数余子式。
02
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素
之积。
如果行列式中存在0元素，则可以简化计算过程。
03
性质
01
行列式的值与矩阵的转置无关 。
02
行列式的值与矩阵的行变换或 列变换无关。
03
行列式的值是非负的，且等于0 当且仅当矩阵是奇异的（即行列 式中至少有一个元素为0）。
03
3阶行列式
式的扩展，由三个行组成的矩阵，每 个行有3个元素。
02
三阶行列式通常表示为3|a b c|，其中a、b、c分别表示三个 行中的元素。
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
1-3 n阶行列式的定义
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
1.3阶行列式的定义
无 43 32 32,42 42,43 43,42,32 21 21,43 21,31 21.31,41 21,41,43 21,43,41,31
逆序数 0 1 1
奇偶性
2 2 3 1 2 2 3 3 4
偶排列 奇排列 奇排列 偶排列 偶排列 奇排列 奇排列 偶排列 偶排列 奇排列 奇排列 偶排列
10
总的来看：都是元素之积的和或者差. 第一步：确定是那些乘积项, 都是不同行，不同列的元素的乘积， 分别为2!和3!项 第二步：确定这些乘积项的正负号, 行标自然排列后，列标偶排列为正，奇排列为负
2
即二阶和三阶行列式可以写为
a11 a12 ( 1) (12 ) a11a22 ( 1) ( 21) a12 a21 a21 a22
3
定义：用n2个元素aij (i,j=1,2,…,n)组成的记号
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
a1n a2 n ann
记n阶行列式, 其中横排称为行, 纵排称为列. 它表 示所有可能取自不同的行不同的列的n个元素乘积的 代数和。 各项符号是当这一项中元素的行标按自然 数顺序排列, 对应列标构成的排列是偶排列则取正 号, 是奇排列则取负号， 故代数和中的一般项可以写为:
( 1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
4
其中j1j2…jn构成一个n阶排列, 当取遍所有n阶排列时, 则得到n阶行列式表示的代数和：
j1 j2 jn 为n阶排列
( 1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
即：
a11 a12 a21 a22 an1 an 2 a1n a2 n ann
1-3n阶行列式的定义
不 全 为 〇
解
展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 anpn 。
由于当i>j时，aij=0，所以一般项不为零的条件是 各元素的下标满足 pi ≥ i ，即 p1 ≥ 1 ， p2 ≥ 2 ，…
pn ≥ n 。 因此，有p1=1，p2=2…pn=n。
所以不为零的项只有a11a22…ann。
a11 a21b D2 = a n 1b n − 1 =
19
a1nb1− n a2 n b 2− n ann a1 p1 a2 p2 anpn b(
1+ 2++ n ) − ( p1 + p2 ++ pn )
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p1 p2 pn
∑
( −1 )
t ( p1 p2 pn )
排列的逆序数
3.每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个 元素的下标排列。
例如
a13a21a32 列标排列的逆序数
t ( 312 ) = 1 + 1 = 2 t ( 132 ) = 1 + 0 = 1
偶排列， +正号 奇排列，－负号
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a11a23a32 列标排列的逆序数
3
n阶行列式的定义
a1 p1 a2 p2 anpn = D1
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小结
1. n阶行列式共有n!项，每项都是位于不同 行、不同列 的n个元素的乘积，正负号由下标排 列的逆序数决定。 2.会使用行列式的定义求解特殊行列式，掌 握几种特殊行列式的计算方法，如上下三角行列 式，对角行列式等。
21
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线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
线性代数课件-1.3n 阶行列式的定义
anpn
p1 p2 pn
an1 an2
ann
简记作det(aij) ，
1. n 阶行列式共有 n! 项；
其中aij 为行列式D的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积；
3. 每一项可以写成 a a 1 p1 2 p2 anpn（正负号除外），其中p1p2…pn
是1, 2, …, n 的某个排列；
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和。 p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律，下面将行列式推广到一般 的情形。
二、n 阶行列式的定义
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
a pnn
( 1) t ( i1i2
i1i2 in j1 j2 jn
in )t ( j1 j2
a a jn ) i1 j1 i2 j2
ain jn
思考题：|-1|=-1成立吗？
答：符号|-1|可以有两种理解： ✓若理解成绝对值，则|-1|=+1 ； ✓若理解成一阶行列式，则|-1|=-1。
第一章行列式
课 题第一章行列式 §1.1二阶与三阶行列式-§1.3 n 阶行列式的定义教学内容二阶与三阶行列式，全排列与逆序数，n 阶行列式的定义教学目标 理解n 阶行列式的定义；掌握几个特殊行列式的求法。
教学重点 n 阶行列式的定义教学难点 n 阶行列式的定义双语教学内容、安排 行列式：determinant ；对角线法则：diagonal rule ；全排列：total permutation教学手段、措施行列式是研究方程组解的问题的重要工具之一。
本次课主要介绍行列式的定义。
教学过程及教学设计备注 第一章 行列式（determinant ）§1.1二阶与三阶行列式一、 二阶行列式（determinants of order two ） 引例 解二元线性方程组1112121222(1)(2)a x a yb a x a y b +=⎧⎨+=⎩解：利用消元法解得122122*********b a a b x a a a a -=-，112211211221221a b a b x a a a a -=-于是得定义：规定11222112a a a a -为二阶行列式，并记为22211211a a a a 。
注意：①元素ij a )2,1;2,1(==j i ，i 称行标，j 称列标。
（对教学内容及欲达目的、讲授方法加以说明）本节要求掌握二、三阶行列式定义，及对角线法则。
②对角线法则求2112221122211211a a a a a a a a -=。
③D a a a a a a a a =-=2112221122211211，1222121212221D a b a b b a a b ==-，2221111211211D b a b a a b b a ==- 。
例1 解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=-1212232121x x x x 解：由于2412123,1411212,07122321-===-=≠=-=D D D 故3,22211-====DDx D D x 。
1.3 n 阶行列式的逆序法定义
问该行列式的展开式是几次多项式，并求最高次 幂的系数．
解
由行列式的定义，知
D4 (1) a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4 ,
t
例2
a1 a2 an a1 a2 an
对角行列式
a1a2 an
副对角行列式
(1)
n ( n1) 2
a1a2 an
例 3 三角形行列式 下三角形行列式
上三角形行列式
a11 a21 an1 a22 an 2 ann 或
a1nn
j1j2 · · ·jn ----自然数1，2，· · · ，n 的一个排列
t ( j1 j 2 jn ) ----排列的逆序数
例1 用行列式的逆序法定义计算
1 0 (1) 0 0 1 0 思考： 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 ? 0 1 0 0 ? 0 1 1 0 1 0
其中
a12 a22 a32
a23 （1 ） j1 j2 j3 a33
a13
（ t j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
j1 j2 j3 ——表示1 ， 2，的一个 3 3 阶排列
t（j1 j2 j3 )
——表示排列j1 j2 j3的逆序数
j1 j2 j3 t（j1 j2 j3 ) （ 1 ） a1 j1 a2 j2 a3 j3 求和
——表示当j1 j2 j3取遍全部3 阶排列时对所有的项
n 阶行列式的定义
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
行列式
4
a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4
若 p1 ≠ 4 ⇒ a1 p1 = 0, 所以 p1只能等于 4 ,
同理可得 p2 = 3, p3 = 2, p4 = 1 从而这个项不为零， 即行列式中不为零的项为 ( −1)τ ( 4321) a14a23a32a41
例5 计算次上三角行列式
= a11a22Lann.
a11 a21 M
a12 a22 M
L a1,n−1 a1n L a 2 , n −1 N
an−1,1 an−1, 2 a n1
解 分析 展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 Lanpn . pn = 1, pn−1 = 2, L, p1 = n 所以不为零的项只有
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
对 角 行 列 式 次 对 角 行 列 式
λ2 λn
N
= ( − 1)
n ( n −1 ) 2
λ1λ2 Lλn .
行列式
定理1.2
n 阶行列式的定义也可以写成
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n = ∑ ( −1)τ ( q1 q2Lqn ) aq1 1aq2 2 Laqnn ( q1 q2Lqn ) LLLLLLL an1 an2 L ann
a1na2,n−1 Lan1
a11 a21 M
a12 a22 M
L a1,n−1 a1n L a 2 , n −1 N
an−1,1 an−1, 2 a n1
= ( − 1)
τ ( n ( n−1)L2 1)
a1na2,n−1 Lan1
= ( − 1)
1.3 n 阶行列式的定义
1
2
a1n a2,n1
n
an1
1 tnn1 21a1na2,n1 an1
nn1
1 2 12 n .
证毕
10
例３
计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2n
0 0 ann 解 分析 根据行列式的定义，
5、 a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 (1)t( p1 p2 pn )
6
例题
例1 计算对角行列式 0001
0020
0300
4000
解 分析 在 n阶行列式的定义中，行列式的元素
记作 aij ，记号 aij 不仅代表一个数，还表明这个
数在行列式中的位置．本例中是具体数，不能显示 它们在行列式中的位置．因此，需要把数在行列式 中的位置标示出来．
所以不为零的项只有 a11a22 ann .
11
a11 a12 a1n
0 a22
a2n
1
a a t 12 n 11 22
ann
0 0 ann a11a22 ann .
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
新的排列，设为 q1q2 qn ，其逆序数为 s ，则
17
(1)t a1 p1 aipi a jpj anpn
(1)s1 t1 a1 p1 a jpj aipi anpn (1)s aq1 a1 q2 2 aqnn
定理2 n阶行列式也可定义为
第二种定义式
an1 an2 ann
1 t p1 p2 pn a1 p1a2 p2 anpn
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对1,2,3的所有排列 p1 p2 p3求和
类似地，可以把三阶行列式的这一定义推广 到一般的情形，得到 n 阶行列式的定义．
4
二、n 阶行列式的定义
定义1
a11 D a 21 a n1
a12 a 22
a1 n a2n
t ( p1 p2 pn )
a n 2 a nn
p1 p2 pn
p1 p2 p3的逆序数
D a 21
) a 23 (1)t ( p1 p2 p3a 1 p1 a2 p2 a3 p3 a 31 a 32 a 33 p1 p2 p3 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11
a12
a13
a 22
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a11 a12 (1)t ( p1 p2 ) a1 p1 a2 p2 D a21 a22 p1 p2
注意： 四阶及以上阶的行列式不能用对角线法则计算.
6
三、几个特殊的行列式
1.对角行列式
1 2
12 n
n 1 2
(1)
n( n 1) 2
12 n
7
n
2.上(下) 三角行列式
a11 0 0
a12 a1n a22 a2 n 0 ann
10
思考题
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
11
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
1
t (1234)
a11a22 a33 a44 1 t 1243 a11a22 a34 a43
§1.3 n 阶行列式
一、三阶行列式的特点 二、n阶行列式的定义 三、几个特殊的行列式 四、小结
1
一、三阶行列式的特点
a11 D a 21 a12 a 22 a13 a 23
a 31 a 32 a 33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
(1)
a1 p1 a2 p2 anpn .
称之为n阶行列式． 注意： 1. n阶行列式是 n! 项的代数和;是一种特定的 算式，它的最终值是一个具体的数.
与绝对值符号的意义不同. 2. 一阶行列式 a11 a11，
5
例如, 四阶行列式 a11 a12 11 12
a21 D a3 1 31 a41 41
12
1
t (1234)
a11a22a 33a 44 x ,
3
1
t 1243
a11a22 a34 a43 2 x 3
故 x 的系数为 1.
3
13
作业：
P21 习题一 3.
14
每一项都是三个元素的乘积； 每一项的三个元素都位于不同的行和列；
行列式的6项的列标恰好对应123的6种排列； 各项的正负号与对应的列标的排列的奇偶性有关.
2
a11 D a 21
a12 a 22
a13 a 23
a 31 a 32 a 33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a2 2 22 a32 a42
a1 3 13 a2 23 3 a33 33 a43
a14 a24 a3 34 4 a44 44
所表示的代数和中有4!=24项. 没有 a11a22a31a44
a11a22a33a44 前面带 正 号 a12a23a34a41 前面带 负 号 a31a22a13a44 前面带 负 号 a13a22a31a44
a11a22 ann .
a11 a21 a n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 a22 an 2
0 0 a11a22 ann . ann
8
例1 计算行列式
0 0 D 0 d
解
0 0 c 0
4 3 2
0 b 0 0
a 0 0 0
D ( 1)
abcd
abcd .
9
四、小结
行列式是一种特定的算式. 阶行列式共有 n ! 项，每项都是位于不同行、 不同列的n个元素的乘积,正负号由下标排列的 逆序数决定.
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
各项的正负号与对应的列标的排列的奇偶性有关. 各项的正负号与列标的排列对照
带正号的三项列标排列：123 , 231 , 312 (偶排列) 带负号的三项列标排列：321 , 132 , 213 (奇排列) 故三阶行列式可以写成
3