新课标人教版必修1同步学案第一章复习诊疗

第一章 集合与函数概念与性质诊疗一．集合1. 精要总结集合的有关概念是解决集合问题的基础，也是学习其他数学知识的语言工具，试题多以选择题或填空题的形式出现，主要应用集合的基本概念和元素的特征进行分析和检验.集合中元素的“三性”是指集合中元素的确定性、元素的互异性和元素的无序性，抓住的集合中元素这三个特性就等于抓住了集合的本质特征，也就抓住了解决问题的理论依据确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此要予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的。

因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.当集合为有限集时，一般有列举法，当集合为无限集时，不宜采用列举法，这时，宜用描述法或图示法.对于同一集合，有时既可用列举法又可用描述法，这时应择优选用.集合中的参数问题，是指集合{|p p 适合的条件}中“p 适合的条件”里面含有参数的问题，解答这类问题类似于其他含有参数的问题，灵活性强，难度也较大.因此，解决此为问题要注意思维的严谨性.2. 错例辨析例1:已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-，若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.误解：∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，得21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩,得33m -≤≤. 分析：忽视了空集的特性.A A ∅= .正解：⑴若B =∅，则m+1>2m-1，即2m <此时A B A ⋃=⑵若B ≠∅，则2m ≥∵B A ⊆，∴21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩，得33m -≤≤，则23m ≤≤ 由⑴⑵可知：m 的取值范围是(,3]-∞针对练习1 已知集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，若B A Ü，求实数m 的值． 例2已知集合{2,,}M a b =，2{2,2,}N a b =且有,M N M N M N ⋃=⋃=求a 、b 的值. 误解：因为,M N M N M N ⋃=⋃=,所以M=N⑴由题意可知：a+2=1或2(1)1a +=或2331a a ++=，解得：a=-1或a=-2或a=0.⑵由题意得：21a a b =⎧⎨=⎩或22a b b a ⎧=⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩或00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 分析：集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性.上述解法中忽视了元素的互异性原则.正解：⑴据元素的互异性可排除-1和2，∴a=0⑵据元素的互异性得01a b =⎧⎨=⎩或00a b =⎧⎨=⎩针对练习2 若{}322427A a a a =--+，，， 223211122(38)372B a a a a a a a a ⎧⎫=+-+---+++⎨⎬⎩⎭，，，，，且{}25A B = ，，试求实数a ．例3已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N误解：由方程组211y x y x ⎧=+⎨=+⎩得抛物线和直线的交点为(0,0),(1,2).所以M ∩N={(0,0),(1,2)} 分析：在集合运算之前，首先要认清集合中元素的特征，集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}是数集，此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，属于图形范畴. 正解：M={y|y=x 2+1，x ∈R}={y|y ≥1}，N={y|y=x+1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M ∩N=M={y|y ≥1}针对练习3 已知{}243A y y x x x ==-+∈R ，，{}222B y y x x x ==--+∈R ，，求A B ． 二.函数概念与性质1.精要总结函数是中学数学中最重要的一个基础概念，定义域、值域、对应法则是它的三个要素．函数实质上是表达定义域到值域的元素之间的一种对应关系，这种对应关系可以是一个元素对应一个元素，也可以是多个元素对应一个元素．函数定义中所涉及的两个集合必须是非空的实数集．由函数定义知，由于函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，于是确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应关系．因此，只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，才是同一函数．符号)(x f y =是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为：x 是自变量，它是对应关系f 所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象或表格，还可以用文字描述；y 是自变量对应的函数值，当x 为允许的某一具体值时，相应的y 值为与该自变量对应的函数值．对函数奇偶性的学习注意以下几点:①要正确理解奇函数和偶函数的定义.定义是判断或讨论函数的奇偶性的依据，由定义知，若x 是定义域中的一个数值，则x -也必然在定义域中，因此，函数()y f x =是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称.换而言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性.②奇偶性是函数在定义域上的对称性质.单调性反映函数在某一区间函数值的变化趋势.函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质，在解答数学问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数的奇偶性和单调性，并注意奇偶性与单调性的相关关系.③奇函数在0x =有定义，则(0)0f =.事实上(0)(0)f f -=-，所以(0)0f =对函数单调性的学习注意以下几点:①函数的单调性是针对函数定义域内的某个子区间而言的．有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数.②函数单调性定义中的21,x x ，有三个特征：一是任意性，即“任意取21,x x ”，“任意”二字不能随便丢掉．证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是21,x x 之间有大小，通常规定21,x x ；三是同属一个单调区间．三者缺一不可．③若函数)(x f 在其定义域内的两个区间B A ,上都是增（减）函数，一般不能简单认为)(x f 在B A 上是增（减）函数．如xx f 1)(=在()0,∞-上是减函数，在()+∞,0上也是减函数，但不能说它在定义域()()+∞∞-,00, 上是减函数．函数单调性的判断及单调区间的确定的常用方法有：①定义法：它是判断函数的单调性及确定函数单调区间的常用方法，一般地函数的单调性证明都是利用定义来完成的．②复合函数法：对于复合函数[])(x g f y =，若)(x g u =,)(x f y =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[])(x g f y =为增函数；若)(x g u =,)(x f y =在所讨论的区间上一个增函数，另一个是减函数，则y=[])(x g f y =是减函数．③利用课本习题的结论：在公共定义域上两个增函数的和仍然是增函数，两个减函数的和仍然是减函数. 2. 错例辨析例4:已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域误解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤，112x ∴≤+≤∴(1)f x +的定义域是[1，2]分析：对函数定义域理解不透，不明白()f x 与(())f u x 定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：()f x 中x 取值的范围与(())f u x 中式子()u x 的取值范围一致就好了. 正解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤ 10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0]针对练习4设函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)0)(()()(>-++=m m x f m x f x g 的定义域.例5:已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f . 误解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(2)(2)53f x x x +=+-=-故5(6)()3(6)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，∴(3)f ＝3－3＝0. 分析：没有理解分段函数的意义，(3)f 的自变量是3，应代入(2)f x +中去，而不是代入x －5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩， 针对练习5函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-求))5((f . 例6：求函数2()46y f x x x ==-+，[1,5)x ∈的值域.误解：22(1)14163,(5)545611f f =-⨯+==-⨯+=又[1,5)x ∈，()f x ∴的值域是[)311，分析:对函数定义中，输入定义域中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应，错误地理解为x 的两端点时函数值就是y 的取值范围了.正解：配方，得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+∵[1,5)x ∈，对称轴是2x =∴当2x =时，函数取最小值为(2)f =2，()(5)11f x f <=()f x ∴的值域是[)211，针对练习6求函数242(14)y x x x =-+-≤≤的值域. 例7: 函数y=245x x --的单调增区间是_________.误解：因为函数2()54g x x x =--的对称轴是2x =-，图像是抛物线，开口向下，由图可知2()54g x x x =--在(,2]-∞-上是增函数，所以y=245x x --的增区间是(,2]-∞- 误解分析：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误. 正解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x=--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]-- 针对练习7 求函数62-+=x x y 的单调区间.例8: 判断函数()(1f x x =+的奇偶性.误解：∵()(1f x x =+=∴()()f x f x -===， ∴()(1f x x =+是偶函数 分析：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：()(1f x x =+10111x x x -≥⇒-<≤+ 即函数的定义域是｛｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数针对练习8判断函数()f x ＝（x 答案及解析本章诊疗针对练习:1. 由已知，易得 {}32A =-，，B A ∵Ü，{}3B =-∴或{}2或∅．若{}3B =-，由(3)10m -+=，得13m =； 若{}2B =，由210m +=，得12m =-； 若B =∅，由10mx +=无解，得0m =．13m =∴或12m =-或0m =． 2∵A ∩B=｛2，5｝，∴由32275a a a --+=，解得 2a =或1a =±．当a=1时，2221a a -+=与元素的互异性矛盾，故舍去1a =； 当1a =-时，{}10524B =，，，，，此时{}245A B = ，，，这与{}25A B = ，矛盾，故又舍去1a =-；当2a =时，{}245A =，，，{}132525B =，，，，，此时{}25A B = ，满足题意，故2a =为所求．3. 2243(2)11y x x x =-+=---∵≥，2222(1)33y x x x =--+=-++≤，{}1A y y =-∴≥，{}3B y y =≤， {}13A B y y =- ∴≤≤．4. 由题意，得⎩⎨⎧≤-≤≤+≤,10,10m x m x 即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-,1,1m x m m x m ，解此不等式组，需讨论1-m 与m 的大小. （1）当m m <-1，即21>m 时，不等式组无解，此时函数关系不存在； （2）当m m =-1，即21=m 时，21==m x ； （3）当01>>-m m ，即210<<m 时，m ≤x ≤m -1 综上，当0＜m ≤21时，函数)(x g 的定义域为{|x m ≤x ≤m -1}. 5．由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+， 所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+ 6．2(2)2y x =--+∵ 14x ≤≤，∴ 当2x =时，max 2y =，当4x =时，min 2y =-∴ 所给函数的值域为[2,2]-．7. )(x f 的定义域为),2[]3,(+∞--∞ ，而62-+=x x y .可由u y =和62-+=x x u 复合而成，而u y =单调递增，42521622-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=x x x u ∴u 在]21,(--∞上是减函数，在),21[+∞-上是增函数， ∴所求的单调递增区间为),2[+∞，单调递减区间为]3,(--∞.8.由⎩⎨⎧>-≥+0101x x 或⎩⎨⎧<-≤+0101x x 得[)1,1-∈x ,定义域不关于原点对称,故)(x f 不是奇函数也不是偶函数.。