新湘教版九上数学同步练习：利用两边及其夹角证相似练习

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湘教版九年级数学上3.3相似的图形同步测试题及答案

湘教版九年级数学上册第3章图形的相似 3．3 相似的图形同步测试题1．观察如图所示的四组图形，不相似的图形是( )2．已知△DEF∽△ABC，且∠A＝50°，∠B＝40°，则∠F的度数是( ) A．50°B．20°C．70°D．90°3．在△ABC中，BC＝13，AC＝11，AB＝15，另一个与它相似的三角形的最大边长为10，则它的最小边长为( )A.223B.203C.172D.1524．小张用手机拍摄得到图①，经放大后得到图②.图①中的线段AB在图②中的对应线段是( )A．FG B．FH C．EH D．EF5．如果△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为k1，△A′B′C′与△ABC的相似比为k2，则k1与k2的关系是( )A．k1＝k2B．k1＋k2＝0 C．k1·k2＝－1 D．k1·k2＝1 6．如图，△ABC∽△ADE，且∠ADE＝∠B，则下列比例式正确的是( )A.AEBE＝ADDCB.AEAB＝ADACC.ADAC＝DEBCD.AEAC＝DEBC7．如图，△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝58°，∠AOB ＝72°，求AB，OC的长和∠C的度数．8．下列图形中，是相似形的是( )A．所有平行四边形 B．所有矩形 C．所有菱形 D．所有正方形9．两个相似多边形的一组对应边分别为 3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为( )A.23B.32C.49D.9410．如图，下列两个四边形若相似，则下列结论不正确的是( )A．∠α＝100° B．x＝32 5C．y＝245D．x＝711．(易错题)在△ABC，点D，E分别在AB，AC上，且ADDB＝AEEC＝2，则△ADE与△ABC的相似比为( )A.12B．2 C.32D.2312．如图，Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A＝35°，则∠E的度数为( )A．35° B．45° C．55° D．65°13．如图，△ABC∽△ACD，若∠ACB＝80°，则∠ADC的度数为( )A．30° B．50° C．80° D．无法确定14．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )A．60° B．75° C．87° D．120°15．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，点F在AB上，且△BCF∽△DCE，则BF的长是( )A．8.2 B．3.6 C．5 D．1.816．已知△ABC与△A′B′C′相似，相似比为2∶3；△A′B′C′与△A″B″C″相似，相似比为5∶4，那么△ABC与△A″B″C″的相似比为( )A．5∶6 B．6∶5 C．15∶8 D．8∶1517．如图，有两个相似的星星图案，则x的值是( )A．15 B．12 C．10 D．818．如图，△ADE∽△ABC，若AD＝1，AB＝3，则△ADE与△ABC的相似比是_________．19．矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB＝40，BC＝20，A′B′＝20，B′C′＝10，则矩形ABCD与矩形A′B′C′D′_______相似．(填“一定”或“不一定”) 20．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5 cm，EC＝3 cm，BC＝7 cm，∠BAC＝45°，∠C＝40°.(1)求∠AED和∠ADE的大小；(2)求DE的长．21．如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求∠A的度数及x的值．22．在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等，如果花坛AB＝20米，AD＝30米，问小路的宽x与y的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似？请说明理由．答案：1---6 CDADDD7. 解：根据题意有：OD ＝AD －OA ＝7，OA OD ＝OB OC ＝AB CD ，∴OB OC ＝AB CD ＝27，∴5OC ＝AB 12＝27，∴OC ＝17.5，AB ＝247，∠C ＝∠B ＝180°－∠A －∠AOB ＝50°8----17 DADDC CCDAD 18. 1:319. 一定20. 解：(1)∠AED ＝40°，∠ADE ＝95°(2)∵△ABC∽△ADE ，∴AE AC ＝DE BC ，即55＋3＝DE7，∴DE ＝4.375 cm21. 解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠A ＝∠A ′，ABA′B′＝AD A′D′.又∵∠A′＝107°，AB ＝5，AD ＝4，A ′B ′＝2，∴∠A ＝107°，52＝4x，∴x ＝8522. 解：由题意知20∶(20＋2y )＝30∶(30＋2x )，∴3y ＝2x ，即y x ＝23，即x y ＝32时，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 相似。

九年级数学上册第3章图形的相似3.4相似三角形的判定与性质第3课时利用两边及其夹角证相似练习新版湘教

第3课时利用两边及其夹角证相似知|识|目|标通过动手操作、思考、归纳，理解相似三角形的判定定理2，并能运用其证明三角形相似．目标利用两边及其夹角证明三角形相似例1 教材补充例题如图3－4－9，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加下列一个条件，不正确的是( )图3－4－9A．∠ADB＝∠ABC B．∠ABD＝∠CC.ADAB＝ABACD.ABBD＝CBCD【归纳总结】特别注意两边对应成比例，其中一边的对角对应相等时，这两个三角形不一定相似(类似于“边边角”不能判定三角形全等)．例2 教材例6针对训练已知：如图3－4－10，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是AB，CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8.求证：△ABC∽△DBE.图3－4－10【归纳总结】1．利用两边及其夹角判断两个三角形是否相似的方法(1)找到两个三角形中相等的角；(2)分别找到两个三角形中夹这个等角的两条边，并将它们按大小顺序排列；(3)看这两组边是否对应成比例，若成比例，则两个三角形相似，否则不相似．2．利用两边及其夹角判定两个三角形相似的三点注意(1)当两个三角形有公共角或对顶角时，常采用这种方法来判定两个三角形相似；(2)角：相等的角必须是两组对应边的夹角；(3)边：注意夹角的两边要对应，即长边与长边对应、短边与短边对应．知识点相似三角形的判定定理2如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两边________且______相等的两个三角形相似．如图3－4－11，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD ＝6，当AP 的长度为多少时，△ADP 和△ABC 相似？图3－4－11解：当△ADP∽△ACB 时，AP AB ＝AD AC ，∴AP 12＝68，∴AP ＝9. 上述解题过程完整吗？若不完整，请补充完整．详解详析【目标突破】例1 [解析] D 由于△ADB 与△ABC 有一个公共角∠A ，因此另外添加任何一对角相等都可以判定这两个三角形相似，添加夹公共角的两边对应成比例也可以判定它们相似，但是添加公共角的对边与一组邻边成比例则不能判定这两个三角形相似．例2证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝BC2＋AC2＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5，∴AB∶DB＝2∶1.又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴BC∶EB＝2∶1，∴BC∶EB＝AB∶DB.又∵∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE.【总结反思】[小结] 知识点成比例夹角[反思] 解：不完整．上述的解答只是其中一种情形，还应补充的情形为：当△ADP∽△ABC时，AD AB ＝APAC，∴612＝AP8，解得AP＝4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．。

九年级数学上册 3.3相似三角形的性质和判定同步练习湘教版

九年级数学上册 3.3相似三角形的性质和判定同步练习湘教版九年级数学上册3.3相似三角形的性质和判定同步练习湘教版3.3关于相似三角形的性质和判断的同步实践一、仔仔细细，记录自信1.如图1所示，△ 牛津英语词典≓△ OCB，OE=6，EC=21，则△ OCB和△ 《牛津英语词典》是一本37b．52c。

85d．352．如图2，点e，f分别在矩形abcd的边dc，bc上，∠aef=90°，∠afb=2∠dae=72°，则图中甲、乙、丙三个三角形中相似的是（）a．只有甲与乙b、只有b和Cc．只有甲与丙d、 A、B和C3．如图3，d是ab的中点，e是ac的中点，则△ade与四边形bced的面积比是（）a．1c．13121d。

4b．4.在相同水压下，直径为4cm的水管出水量是直径为1cm的水管出水量的（）a.4倍b．8倍c、 12次d．16倍5.以下声明：（1）相似且有一边为公共边的两个三角形全等；（2）相似且面积相等的两个三角形全等；（3）相似且周长相等的两个三角形全等．其中说法正确的有（）a．0个b、一,c．2个d、三,6．我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1∶1000万的地图上的面积约是（）a．960平方千米b、 960平方米c．960平方分米d、 960平方厘米二、认认真真，书写快乐7.已知△ 基础知识≓△ A.BCab呢？4，a？B6，b？C8那么BC=。

8.两个相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为40°和30°，则另一个三角形的最大内角为用心爱心专心一9．如图4，∠abc=∠cdb=90°，ac=a，bc=b，当bd与a、b满足关系时，△abc∽△cdb．10.如图5所示，P是等腰梯形ABCD上下ad上的一个点。

如果∠ a=∠ BPC，有一个类似于△ ABP11．相似三角形对应、、的比都等于相似比．12．相似多边形的周长比等于，面积比等于．13.如果三角形的三条边同时扩大四倍，则周长扩大几倍，面积扩大几倍。

《3.3 相似图形》课时同步练习湘教版九年级数学上册

《3.3 相似图形》课时同步练习2020-2021年数学湘教版九（上）一．选择题（共11小题）1．观察下列图形中，是相似图形的一组是（）A．B．C．D．2．下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（）A．B．C．D．3．选项图形与如图所示图形相似的是（）A．B．C．D．4．下列各组图形中，一定相似的是（）A．任意两个正方形B．任意两个平行四边形C．任意两个菱形D．任意两个矩形5．下列说法正确的是（）A．所有的等腰三角形都相似B．所有的菱形都相似C．边数相同的正多边形相似D．所有的矩形都相似6．下列结论①两个全等三角形是相似三角形；②所有正方形都相似；③任意两个等腰三角形都相似；④所有菱形都相似；⑤两个等腰直角三角形相似．其中结论正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个7．如图，已知△ABC的六个元素，其中a、b、c表示三角形三边的长，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中与△ABC不一定相似的图形是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．分别画出下列四组图形，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．有一个角为110°的两个等腰三角形C．有一个角为55°的两个等腰三角形D．两条边对应成比例，其中一边的对角对应相等的两个三角形9．下列各组图形中，是相似图形的是（）A．B．C．D．10．下图是世界休闲博览会吉祥物“晶晶”．右边的“晶晶”可由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到的（）A．轴对称B．平移C．旋转D．相似11．在如图所示的各组图形中，相似的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④二．填空题（共5小题）12．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为．13．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是．14．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．15．如图，相似的正方形共有个，相似的三角形共有个．16．如图，与相似．三．解答题（共4小题）17．如图所示，若△ABE∽△DCE，分别写出相似图形中的对应角与对应边．18．设四边形ABCD与四边形EFGH是相似图形．且A与E，B与F，C与G，D与H是对应点．已知AB＝10．BC＝8，CD＝8，AD＝6，EF＝8，求四边形EFGH的周长．19．如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似的图形，点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知数据如图所示，求未知边x、y的长度和角α、β的大小．20．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值．参考答案一．选择题（共11小题）1．解：A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；故选：B．2．解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；故选：B．3．解：因为相似图形的形状相同，所以A、B、C中形状不同，故选：D．4．解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；B、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，不符合题意；C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；D、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意，故选：A．5．解：A、所有的等腰三角形都相似，说法错误；B、所有的菱形都相似，说法错误；C、边数相同的正多边形相似．说法正确；D、所有的矩形都相似，说法错误；故选：C．6．解：①两个全等三角形是相似三角形，正确，符合题意；②所有正方形都相似，正确，符合题意；③任意两个等腰三角形对应边不一定相等，所以不一定都相似，不正确，不符合题意；④所有菱形的对应角不一定都相等，所以不一定都相似，不符合题意；⑤两个等腰直角三角形相似，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．7．解：甲三角形的两边AC，BC的夹角不一定等于72度，故与△ABC不一定相似的图形，故选此选项正确；乙可以利用两边对应成比例且夹角相等得出相似；丙、丁可以利用两角对应相等得出相似；故选：A．8．解：两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；有有一个角为110°的两个等腰三角形一定相似；因为110°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴B一定相似；一个角为55°的两个等腰三角形不一定相似；因为55°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴D不一定相似；故选：B．9．解：A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；故选：D．10．解：A、轴对称变换是反射产生一个图形的映象的过程，不符合题意，故错误；B、平移变换是原图形中的点都沿着平行的途径运动一个恒等的距离，不符合题意，故错误；C、旋转变换原图形中的点都绕着一个固定的中心点转动一个恒等的角度，不符合题意，故错误；D、相似变换，图形的形状相同，但大小不一定相同的变换，符合题意，故正确．故选：D．11．解：①∵正六边形与一般六边形的对应边不成比例，∴两图形不相似；②∵正方形的各角相等，且对应边的比相等，∴两正方形相似；③∵菱形的角相等，对应边的比也相等，∴两个菱形相似．④两个矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，∴两个矩形不一定相似．故选：C．二．填空题（共5小题）12．解：∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°．故答案是：135°．13．解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴CD：C′D′＝BC：B′C′，∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，∴C′D′＝1.6，故答案为：1.6．14．解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．15．解：如图，相似的正方形共有5个，相似的三角形共有16个，故答案为：5，16．16．解：利用相似图形对应角相等，对应边成比例，只有（1），（4）图形全等，符合题意．故答案为：（1），（4）．三．解答题（共4小题）17．解：对应角是：∠A与∠D，∠B与∠C，∠DEC与∠AEB．对应边是：AB与DC，AE与DE，BE与CE．18．解：四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝10+8+8+6＝32，∵四边形ABCD与四边形EEGH是相似图形，∴四边形ABCD的周长：四边形EEGH的周长＝AB：EF，∴四边形EEGH的周长＝×32＝25.6．19．解：在四边形ABCD中，∠D＝∠D'＝β＝55°，∠A＝α＝360°﹣55°﹣90°﹣60°＝155°，∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴＝＝，∴x＝6，y＝15．20．解：如图1中，∵△ABC∽△A′B′C′，∴，α＝40°，∴x＝9；如图2中，∵∠D＝180°﹣65°﹣70°＝45°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴α＝∠D＝45°．。

【湘教版】九年级数学上册：第3章图形的相似同步训练(含答案)

第3章图形的相似检测题（木检测题满分：120分,时间：120分钟）1.下列四组图形中，不是相似图形的是（）2.己知四条线段"皿是成比例线段，即牛亏，下列说法错误的是3.在比例尺1 ： 6 000 000的地图上，量得两地的距离是15 cm,则这两地的实际距离是（）4.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3, 4及.那么x 的值（）A.只有1个B.可以有2个C.可以有3个D •有无数个 5.如图，在△ ABC 中，分别是边A5AC 的中点，则AAMV 的而积与四边形的而积比为（6.如图,AB//CD,AE//FD,AE. FD 分别交况于点乐乩则图中共有相似三一.选择（每小题3分，共30分）A. ad = beB.A. 0.9 kmB. 9kmC. 90kmD. 900 kmDCC.第5题图第6•题国46 角形（）A. 4对B. 5对C. 6对D. 7对7. 如图，D 是△ ABC 的边上任一点，己知AB = 4,AD = 2, Z DAC= ZB .若AABD 的面积为d,则/XACD 的面积为（）A. " B-如 c- D- ? 8. 下列说法中正确的是（）① 在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；② 如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似； ③ 有一个角对应相等的平行四边形都相似； ④ 有一个角对应相等的菱形都相似.A.①②B.②③C.③④D.②④9. 如图，点c 是线段肋的黄金分割点（AOBC ）,则下列结论中正确的是()pA. AB 2= AC 2+ BC 2B ・ 5C 2= AC^BA/小ECV 5 — 1 、AC'ClC.—— ---------D.—=—— / 、L AC 2BC2L_SF 1.b（第10题怡9A CB第9题因交况的延长线于点E,则CE的长为（）D. 2二.填空题（每小题3分，共24分）11.己知a：& = 3:2,且a+b 二10,则0 二______ 4 612•己知© b, C 是成比例线段，即"刁其中0 da = 3 cm,b = 2 cm,c 二 6 cm,贝赧= ___ cm.13.如图，在AABC 中，点D, E 分别是边ABAC 的中点，则ZMDE 与AABC的周长之比等于 ______ .15.如图丄是月日的黄金分割点,BG =A 召,以C4为边的正方形的面积为S 」,以亦而为边的矩形的面积为足，则S, ____________________ S2 （填心,将△朋£缩小，位似比为2 : 2,则线段M 的中点P 变换后对应点的坐标为 _________ .14•若d£ = £ = o ・5,则 b d j3a -2c +e3b — 2d第15题因弟17逊因三.解答题（共66分）19. （6分）如图，在平行四边形MCD中,E为边月D延长线上的一点，且D为4E的黄金分割点，即AD二竽恥,BE交M于点F,已知鮎=苗+ 1,求CF的长.第⑴题圈20. （8 分）如图，在△ ABC^9AB = AC9 BE平分ZABJDE//BC.求证: DE=EC.第20题创21. （8分）如图卫是££上一点，毗〃船BE = AD, AE分别交加、BC J：点F、G, Z1=Z2,探索线段BF、FG、EF之间的关系，并说明理由.22. （10分）如图，在梯形ABCD中，朋〃CD,点卩在EC上，连接DF并延长与丽的延长线交于点G.（1）求证：gDFs/\BGF;24. （12分）如图，在△舶£中,AB = 4C, DE//BC,点F 在边AC 上,DF 与相交于点6且ZEDF=ZABE.求证:⑴Z\DEFs/\BDE ； (2)DG ・DF=DB ・EF.25. （12分）如图,在正方形ABCD 中，E 、F 分（2）当点F 是*C 的中点时，过点F 作EF // CD 交4D 于点E,若AB = 6 cm, Ef = 4cm,・23.（ 10分）（2013 •江苏扬州中考）如图，在/MBC中，ZACB = 90° , AC = BC,点D 在边AB 上，连接CD,将线段CD 绕点C 顺时针旋90。

湘教版九年级数学上册第3章复习同步练习题

第3章图形的相似1．如图1，已知∠ABD=∠ACD，图中相似三角形是________．(1) (2) (3)2．如图2，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，则△ADE的周长：•△ABC•的周长=________，S△ADE：S梯形BCED=_________．3．如图2，在△ABC中，DE∥BC，若AB=4，5，D是AB•的黄金分割点，•则AD=________，DE=________．4．两个相似三角形的对应边上的中线之比为1：4，它们的面积比为（）A．1：4B．1：2C．1：16D．1：85．如果△ABC和△A′B′C′面积相等，且AB：A′B′=9：25，那么AB与A′B′边上的高的比为（）A．9：25B．25：9C．3：5D．5：36．如图3，自ABCD的AD边的延长线上取一点F，BF分别交AC、CD 于E、G，如果EF=32，GF=24，那么BE的长为（）A．8B．10C．12D．167．如图，E是矩形ABCD的AD上的一点，以CE为折痕将△CDE翻折，点D落在边AB上的D′处，分别判断两组三角形：△CBD′和△EAD′；△CBD′和△CED′是否一定相似？如果一定相似，请加以说明；如果不一定相似，求出当BCAB为何值时才能相似．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．.◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。

XJ湘教版初三九年级数学上册第一学期同步课堂补习练习题作业第三章图形的相似小结与复习2

第3章图形的相似一．相似的图形1、相同，不一定相同的图形叫相似图形。

2、下列各种图形相似的是（）A、（1）、（3）B、（3）、（4）C、（1）、（2）D、（1）、（4）3、下列说法正确的是（）A、所有的等腰梯形都相似B、所有的平行四边形都相似C、有一个角是300的等腰三角形相似D、所有的等边三角形都相似4、⑴用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；⑵用彩笔在黑板上写上三个大字1、2、3，它们是相似图形；⑶用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为哪些是正确的，哪些是错误的？9、把下列各题图中左边的图形，加以放大1倍后画出与它们相似的图形.(1)(2)(3)(4)（1）（2）二．相似图形的性质（1）成比例线段。

1．若ab=cd ，则有a ∶d= ；若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y= . 2．若a, x, b, y 是比例线段，则比例式为；若a=1，x=-2, b=-2.5, 则y= .3．判断下列线段是否成比例，若成，请写出比例式.①a=3m, b=5m, c=4.5cm, d=7.5cm ②a=7cm,b=4cm, c=d=27cm③a=1.1cm, b=2.2cm, c=3.3cm, d=5.5cm 4.若x ∶（x+1）=7∶9，则x= ；若bb a +=38，则b a = .；若5a=3b ，则b a= ，ba ba +-3= 。

5.已知A, B 两地实距5Km ，图距2cm ，则比例尺是；若在此地图册上量得 A,C 两地间距离是16cm ，则A,C 两地间实际距离是 .6．已知ba=43，cb =53，则a ∶b ∶c 等于（）A. 3∶4∶5B.4∶3∶5C.9∶12∶20D. 9∶15∶207．如图，两个五边形是相似形，则=a ，=c ，α= ，β= .╮23acβ155950 1150 1257αb ╭╮╯651150第7题8. 已知a b a -=32，求b a ba +-34的值.9. 已知a,b,c 为△ABC 的三边长，且△ABC 的周长是60cm,3a=4b =5c , 求a,b,c 的长.10．已知三条长分别为3cm ，6cm ，9cm 的线段，请你再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度.11.如图，在一块长和宽分别为a 和b 的长方形黑板的四周镶上宽为x 的木条，得到一个新的长方形.请你判断原来的长方形与新的长方形是否相似？（说明理由）x xxx三．相似三角形（1）相似三角形1．已知△ABC∽△DEF,AB=21cm,DE=28cm,则△ABC和△DEF 的相似比为2．若两个三角形的形似比为1，则这两个三角形3．△ABC的三边之比为3：5：6，与其相似的△DEF的最长边是24cm,那么它的最短边长是，周长是。

新湘教版九上数学同步练习：相似图形练习

3.3 相似图形知|识|目|标1 •通过观察图片，比较、思考、归纳，理解相似图形的概念.2•在学习相似图形的基础上，理解相似三角形的定义与性质并用于简单的计算.3•通过类比的思想与方法，理解相似多边形的定义与性质.、目标突破\______________________ 有的菠矢目标一会识别相似图形(1) (2) P)例1教材补充例题观察图3-3- 1中的各组图形，哪些是相似图形，哪些不是相似图形？【归纳总结】相似图形的判断方法(1) 直观法，抓住相似图形的特征：形状完全相同，一个图形可以由另一个图形放大或缩小得到；全等图形是特殊的相似图形.(2) 测量法，判断两个图形是否相似，可对对应位置的线段进行测量，如果它们的对应边成比例，且对应角相等，那么这两个图形相似，否则就不相似.目标二会对相似三角形的性质进行简单应用例2 教材例题变式如图3- 3 —2，已知△ ABS A ADE AE= 5 cm, EC= 3 cm, BC= 7 cm, / C= 40° .⑴求/ AED的大小;⑵求DE的长.【归纳总结】相似三角形的性质的简单应用(1) 相似三角形的对应边成比例，对应角相等.(2) 相似三角形中相等的角一般是对应角(如对顶角、公共角)；对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角.(3) 相似比的实质是将一个图形放大的倍数或缩小的百分比.(4) 若两个三角形都与第三个三角形相似，则这两个三角形也相似(相似三角形的传递性).目标三会识别相似多边形例3教材补充例题如图3 —3—3所示，有一块矩形草地，其外围有等宽的小路，其中草地长100 m,宽60 m,小路宽2 m,则内、外两个矩形相似吗？图3—3—3【归纳总结】相似多边形的判定二者判定两个多边形相似，必须具备两个条件：一是对应角相等；二是对应边成比例.缺一不可.注意：（1）对应角相等的两个多边形不一定相似，如任意两个矩形不一定相似；（2）对应边成比例的多边形不一定相似，如任意两个菱形不一定相似.\总结反思\ ____________________ 小结感梧知识点一相似图形直观上，把一个图形 _____________ 得到的图形与原图形是相似的.［注意］缩放变换（将一个图形放大或缩小）不是全等变换.知识点二相似三角形及其性质定义：三个角对应 ______ ，且三条边对应 ______ 的两个三角形叫作相似三角形.性质：相似三角形的对应角 _______ ，对应边_________ .知识点三相似多边形及其性质定义：对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角________ 、对应边 _________ ,那么这两个多边形叫作相似多边形•相似多边形的对应边的比也叫作相似比.性质：相似多边形的对应角 ________ ，对应边_________ •［点拨］相似多边形的定义与性质可以通过类比相似三角形的方法来学习.广反思' ----- ------ >对一个图形进行缩放时，下列说法中哪些是错误的？(1) 图形中线段的长度与角的大小都保持不变；(2) 图形中线段的长度与角的大小都会改变；(3) 图形中线段的长度保持不变，角的大小可以改变；(4) 图形中线段的长度可以改变，角的大小保持不变.详解详析【目标突破】例1 ［解析］理解相似图形可以从下面两个方面进行：(1)相似图形是指两个图形的形状一模一样，是从“形”的角度观察得到的.(2)相似图形不受位置与大小的约束，如前面学习的将图形平移或旋转后得到的新图形与原图形的形状和大小相同，但位置发生了变化，后面将要学习将图形放大或缩小后的新图形与原图形的形状相同，但位置和大小都发生了变化.解：⑴(3)(4)是相似图形，(2)不是相似图形.例 2 解：（1）•••△ ABBAADE•••/ AED=Z C = 40加 5 DE —35 即 5TT ~7 解得 DE T E cm例 3 解：T AB= CD= 60+ 2X 2= 64(m ), BC TAD= 100 + 2X 2= 104( n ), A B' 60 15 B' C 100 25…AB = 64 = 16， BC = 104= 26，A B'B ' C'工，故内、外两个矩形不相似. AB BC 【总结反思】［小结］知识点一放大(或缩小)知识点二相等成比例相等成比例知识点三相等成比例相等成比例［反思］解：⑴(2)(3) 错误，⑷ 正确. (2) •••△ ABC^ ADEAE DE AC T BC ,。

新湘教版九上数学同步练习：相似三角形的应用作业

3.5 相似三角形的应用、选择题1 •如图K — 27- 1所示，小东用长为3.2 m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面上的同一点.此时，竹竿与这一点相距8m与旗杆相距22 m ，则旗杆的高为（）A. 12 m B • 10 m C . 8 m D . 7 m2 .如图K - 27 - 2, A B 两点被池塘隔开，在 AB 外任取一点 C,连接AC BC 分别取其三等分点M NM N 两点均靠近点C ），量得MN= 27 m ，则A , B 之间的距离是（）图 K - 27 - 2A. 79 m B . 80 m C . 81 m D . 82 m3•如图K - 27- 3（示意图），铁路道口的栏杆短臂长 1 m ,长臂长16 m .当短臂端点下降0.5 m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A. 4 m B . 6 m C . 8 m D . 12 m4.相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定，如图K - 27 - 4，一根电线杆钢索系在离地面4米处，另一根电线杆钢索系在离地面 6米处，则中间两根钢索相交处点 P 离地面（）图 K - 27 - 3图K—27 - 4A. 2.4 米B . 2.8 米C. 3米D .高度不能确定二、填空题5•如图K—27 —5,零件的外径为16 cm，要求它的壁厚x，需要先求出内径AB现用一个交叉钳（AD与BC相等）去量.若测得OA： OD= OB： OC= 2 : 1, CD= 5 cm,则零件的壁厚*— 16—*x为 ________ .图K—27 —56•《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中第九章勾股中记载（译文）:今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里, 各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树.（注：1里=300步）你的计算结果是：出南门___________ 步能望见这棵树.图K—27 —67.如图K—27 —7是一名同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图. 点P处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD 的顶端C 处•已知AB 丄BD CDL BD 测得AB= 2米，BP= 3米，PD= 12米，那么该古城墙的高度 CD 是 ____________ 米.图 K — 27 - 7三、解答题&如图K — 27— 8, 一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆 A , B 恰好被南岸的两棵树 C D 遮住，并且在这两棵树之间还有 3棵树，求河的宽度.%-f ■r■#C \ *南岸i JFp图 K — 27 — 89. 如图K — 27 — 9，一条东西走向的笔直公路，点A ,B 表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点 C 表示电视塔所在的位置.小王在公路南侧直线PQ 上行走，当他到达点P 的位置时，观察到树 A 恰好挡住电视塔，即点 P, A , C 在一条直线上，当他继续走180米到达点Q 的位置时，以同样方法观察电视塔，观察到树B 也恰好挡住电视塔. 假设公路两侧AB// PQ 且公路的宽为 60米，求电视塔 C 到公路南侧PQ 的距离.B P D图K—27 —910. 如图K—27- 10，在阳光下一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻，小明竖起1米高的标杆MN量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米.你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？图K—27 —1011. 我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图K—27 —11是小然站在地面MNh欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD PM L MN 的示意图，设油画AD与墙壁的夹角/ PAD= a ,此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直.已知油画的高度AD为100 cm.(1) 直接写出视角/ ABD用含a的式子表示)的度数；(2) 当小然到墙壁PM的距离AB= 250 cm时，求油画顶部点D到墙壁PM勺距离.PM N图K—27 - 1112方案设计题已知直角三角形铁片ABC勺两条直角边BC, AC的长分别为6和8,如图K—27 —12所示，分别采用①②两种方法，剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪种剪法较为合理，并说明理由.②图K—27 —121. ［解析］A 利用平行得出三角形相似，运用相似三角形的性质即可解答.2. ［答案］C3. ［答案］C4. ［解析］A如图，过点P作PEL BC•••CD/ AB•••△APB^A CPD.CE_CD • CE_2•B E AB•世3.•CD/ PEPE BE PE 3•••△BP» BDC. CD= BC 即〒5，解得PE= 2.4.［解析］由题意，得AB= 15 里，AC= 4.5 里，CD= 3.5 里，• DEL CDDE DC •△ AC” DEC• AC== A B 即4DE 3.575，解得DE= 1.05(里)=315AC L CD • AC//步，•走出南门5. ［答案］3 cm［解析］•/ OA： OD= OB： OC=2 ：1, / AO B=Z COD.A BO*ACOD • AB： CD= OA： OD= 2 : 1.■/ CD= 5 cm , • AB= 10 cm ,• 2x + 10= 16，解得x = 3(cm).6. ［答案］315DE7. ［答案］8［解析］如图，由题意可得/ APE ^Z CPE•••/ APB=Z CPD又••• ABL BD CDL BD• Z ABP=Z CDP= 90°,AB BP • △ ABP^A CDP 「. CD = DP•/ AB= 2 米，BP= 3 米，PD= 12 米， 23•- CD=祛解得CD= 8(米).& 解：设河宽为X 米. •/ AB// CDPCD^ PABAB15+ x …CD T 15 .依题意知CD= 20米，AB= 50米， 50 15+ x • 20= ，解得 x = 22.5. 答：河的宽度为22.5米.9 •解：如图所示，作 CEL PQ 于点E,交AB 于点D,设CD= x 米，贝U CE = (60 + x ) CD AB x 150米•••• AB// PQABC^A PQC 「・T^=^ 即=盂，解得 x = 300,二 x + 60= 360.B PCE PQ 60 + x 180答：电视塔 C 到公路南侧PQ 的距离是360米.PQ E10.解：过点 C 作 CGLAB 于点 G ••• GC= BD= 3 米，GB= CD= 2 米.•••/ NM 三/ AGC= NMMFNM GC 1X3 , 90°, NF// AC •/ NFM=Z ACG •△ NM P △ AGC^TT ^疋• AG= 叶= 6（米）,AG GCMF 0.5• AB= A® GB= 6 + 2= 8（米）.答：电线杆AB 的高为8米.11•解：⑴ 连接 BD, •••/ CADF Z BAD= 90°,/ BAD-Z AB = 90•••/ CA =Z ABE•/ AE= DE BE X AD •/ ABE=Z DBE• Z ABD= 2 a .⑵ 如图，过点 D 作 DC X PM 于点 C, V/ CAD=Z ABE= a , / ACD=Z AEB= 90°, •△12 解：图①中，设 DE= CD= EF = CF = x , V DE// BC •-D = AC 即*=牛尹,解得 x =学.图②中，作CML AB 于点M 且交DE 于点N 设正方形DEFG 勺边长为y .在Rt △ ABC 中 , •/ AC—2 / AC- BCDEACD^ BEAC D =AD A E = A BCD 100 50 = 250 ，解得 CD= 20（cm ）.答：油画顶部点 D 到墙壁PM 的距离是20 cm.P=8, BC= 6 ,••• AB=p AC+ BC= 10, CM= AB = 4.8. T DE// AB :. △ CD" CAB /•屁=CN y 4.8 —y 120即y= •••• x>y，•图①中正方形面积较大，故图①的剪法较为合理・CM 10 4.8 37①®。

湘教版数学九年级上册_课时作业：第3课时_利用两边及其夹角证相似

3.4.1 第3课时利用两边及其夹角证相似一、选择题1．如图，要使△ACD ∽△ABC ，则它们必须具备的条件是 ( )A.AC CD ＝AB BCB.CD AD ＝BC ACC.CD AD ＝BD CDD.AC AD ＝AB AC2．如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图所示的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )3．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA ∶OC ＝OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( )A ．①②相似B ．①③相似C ．①④相似D ．②③相似4．如图，在等边三角形ABC 中，D 为AC 的中点，AE EB ＝13，则和△AED 相似的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．下列各组条件中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠E 且∠D ＝∠F B ．∠A ＝∠B 且∠D ＝∠FC ．∠A ＝∠E 且AB AC ＝EFEDD ．∠A ＝∠E 且AB BC ＝DFED二、填空题6．如图，在△ABC 中，AB ≠AC .D ，E 分别为边AB ，AC 上的点．AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，F 为BC 边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB 与△ADE 相似．(只需写出一个)7．如图，在△ABC 中，分别以AB ，AC 为斜边作Rt △ABD 和Rt △ACE ，∠ADB ＝∠AEC ＝90°，∠ABD ＝∠ACE ＝30°，连接DE .若DE ＝5，则BC 的长为________．8．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝________时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．三、解答题9．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且CF ＝3FD ，△ABE 与△DEF 相似吗？请说明理由.10．已知：如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AB ＝9，AD ＝4，AC ＝7.2，AE ＝5.求证：∠B ＝∠AED .11．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：∠ABC＝________°，BC＝________；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．12．如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB的延长线上，连接AC，DE，DE与BC，AC分别交于点F，G，且CD·AE＝AC·AG.求证：(1)△ABC∽△AGE；(2)AB2＝GD·DE.13．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，4AC＝3BC，点P从点B出发，沿BC方向以2 cm/s的速度向终点C移动，点Q从点C出发，沿CA方向以1 cm/s的速度向终点A移动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动．若点P，Q分别从点B，C同时出发，经过多长时间，△CPQ与△CBA相似？14．如图，点C，D都在线段AB上，△PCD是等边三角形．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△P AC∽△BPD?(2)当△P AC∽△BPD时，求∠APB的度数．方程思想如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD.(1)若AB＝9，CD＝4，BD＝10，则在BD上是否存在点P，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．(2)若AB＝9，CD＝4，BD＝12，则在BD上存在多少个点P，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长．详解详析[课堂达标] 1．[答案] D2．[解析] C A 项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似，故本选项不符合题意；B 项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似，故本选项不符合题意；C 项，不能证明两个三角形相似，故本选项符合题意；D 项，阴影部分的三角形与原三角形对应边成比例且夹角相等，故两个三角形相似，故本选项不符合题意．3．[解析] C ∵OA ∶OC ＝OB ∶OD ，∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ∽△COD ，C 选项正确．故选C .4．[解析] C ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC.又∵D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∠ABD ＝30°，AD ∶AC ＝1∶2.∵AE EB ＝13，∴AE ∶AB ＝1∶4，∴AE ∶AD ＝1∶2＝AD ∶AB.又∵∠A ＝∠A ，∴△AED ∽△ADB ，∴∠AED ＝∠ADB ＝90°.∵∠A ＝∠C ＝60°，CD ∶BC ＝AE ∶AD ＝1∶2，∴△AED ∽△CDB.∵∠AED ＝∠DEB ＝90°，∠ADE ＝∠DBE ＝30°，∴△AED ∽△DEB.故选C .5．[解析] C A 项，∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角，故本选项错误； B 项，∠A 和∠B ，∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角，故本选项错误；C 项，由∠A ＝∠E ，AB AC ＝EFED 可以根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判断出△ABC 与△DEF 相似．故本选项正确；D 项，由∠A ＝∠E 且AB BC ＝DFED 不能判定△ABC 与△DEF 相似，因为相等的两个角不是成比例的对应边的夹角，故本选项错误．6．[答案] 答案不唯一，如DF ∥AC 或∠BFD ＝∠A 等[解析] ∵∠A ＝∠A ，AD AC ＝AE AB ＝13，∴△ADE ∽△ACB ，∴∠B ＝∠AEB ，∴①当DF ∥AC 时，△BDF ∽△BAC ，∴△BDF ∽△EAD.②当∠BFD ＝∠A 时，∵∠B ＝∠AED ，∴△FBD ∽△AED. 7．[答案] 10[解析] 由题意可得AD ∶AB ＝AE ∶AC ＝1∶2，∠BAC ＝∠DAE ＝60°＋∠DAC ，∴△ABC ∽△ADE ，∴BC ∶DE ＝AB ∶AD ＝2∶1.∴DE ＝5，∴BC ＝10.8．[答案]125或53[解析] 如图①，若AE AB ＝ADAC，∵∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC ，此时AE ＝AB·ADAC ＝6×25＝125；如图②，若AD AB ＝AEAC 时， ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC ，此时AE ＝AC·AD AB ＝5×26＝53.故答案为125或53.9．解：△ABE 与△DEF 相似．理由：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ＝CD.设AB ＝AD ＝CD ＝4a.∵E 为边AD 的中点，CF ＝3FD ，∴AE ＝DE ＝2a ，DF ＝a ， ∴AB DE ＝4a 2a ＝2，AE DF ＝2a a ＝2.∴AB DE ＝AE DF. 又∵∠A ＝∠D ，∴△ABE ∽△DEF.10．证明：∵AB ＝9，AD ＝4，AC ＝7.2，AE ＝5， ∴AB AE ＝95＝1.8，AC AD ＝7.24＝1.8， ∴AB AE ＝ACAD.又∵∠A ＝∠A ， ∴△ABC ∽△AED ， ∴∠B ＝∠AED.11．解：(1)由图及勾股定理，得∠ABC ＝90°＋45°＝135°，BC ＝22＋22＝2 2.故答案为135，2 2.(2)△ABC ∽△DEF.证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC ＝135°，∠DEF ＝90°＋45°＝135°，∴∠ABC ＝∠DEF.∵AB ＝2，BC ＝2 2，FE ＝2，DE ＝2，∴AB DE ＝22＝2，BCFE ＝2 22＝2，∴△ABC ∽△DEF.12．证明：(1)∵CD·AE ＝AC·AG ，∴CD AG ＝ACAE.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ， ∴AB AG ＝AC AE. 又∵∠BAC ＝∠GAE ，∴△ABC ∽△AGE. (2)∵△ABC ∽△AGE ，∴∠ACB ＝∠E. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ，BC ∥AD ，∴∠ACB ＝∠CAD ＝∠E.又∵∠ADG ＝∠ADE ，∴△ADG ∽△EDA ，∴AD DE ＝GDAD，∴AD 2＝GD·DE ，∴AB 2＝GD·DE.13．解：∵BC ＝8 cm ，4AC ＝3BC ，∴AC ＝6 cm . 设经过t s ，△CPQ 与△CBA 相似，此时BP ＝2t cm ，CQ ＝t cm ，则CP ＝(8－2t)cm (0<t<4)．(1)若△CPQ ∽△CBA ，则CP CB ＝CQCA ，即8－2t 8＝t 6，解得t ＝2.4. (2)若△CPQ ∽△CAB ，则CP CA ＝CQ CB ，即8－2t 6＝t 8，解得t ＝3211. 故经过2.4 s 或3211 s ，△CPQ 与△CBA 相似．14．解：(1)∵△PCD 是等边三角形， ∴PC ＝CD ＝PD ，∠PCD ＝∠PDC ＝60°， ∴∠PCA ＝∠BDP ＝120°，∴只要满足AC PD ＝PCDB，△PAC ∽△BPD 即成立，∴当AC ，CD ，DB 满足AC CD ＝CDDB (或CD 2＝AC·DB)时，△PAC ∽△BPD.(2)∵△PAC ∽△BPD ，∴∠BPD ＝∠A. 又∵∠PDC ＝∠BPD ＋∠B ＝60°， ∴∠A ＋∠B ＝60°，∴∠APB ＝180°－∠A －∠B ＝120°.[素养提升] 解：(1)存在．设BP ＝x ，则PD ＝10－x.∵∠B ＝∠D ，∴若AB ∶PD ＝PB ∶CD ，则△ABP ∽△PDC ，即9∶(10－x)＝x ∶4，整理得x 2－10x ＋36＝0，此方程没有实数根；若AB ∶CD ＝PB ∶PD ，则△ABP ∽△CDP ，即9∶4＝x ∶(10－x)，解得x ＝9013，即BP 的长为9013.(2)存在两个点P.设BP ＝x ，则PD ＝12－x. ∵∠B ＝∠D ，∴若AB ∶PD ＝PB ∶DC ，则△ABP ∽△PDC ，即9∶(12－x)＝x ∶4，整理得x 2－12x ＋36＝0，解得x 1＝x 2＝6；若AB ∶CD ＝PB ∶PD ，△ABP ∽△CDP ，即9∶4＝x ∶(12－x)，解得x ＝10813，故BP 的长为6或10813.。

湘教版数学九年级上册同步训练《相似图形》

湘教版数学九年级上册同步训练《3.3 相似图形》一、单选题1..下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（）A. B. C. D.2..如图，从图甲到图乙的变换是（）A. 轴对称变换B. 平移变换C. 旋转变换D. 相似变换3.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（）A. 70°B. 80°C. 90°D. 120°4.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（）A. :1B. 4:1C. 3:1D. 2:15..下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（）A. B.C. D.6.如图，将- -张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么我们把这样的纸张叫做标准纸.则标准纸的宽和长的比值为（）A. B. C. D.7..下列说法中，正确的是（）A. 两个矩形必相似B. 两个含角的等腰三角形必相似C. 两个菱形必相似D. 两个含角的直角三角形必相似8..下面图形是相似形的为（）A. 所有矩形B. 所有正方形C. 所有菱形D. 所有平行四边形9.如图，在的小正方形网格中，勤奋学习小组的同学画出了五边形和五边形则下列说法中，错误的是（）A. 五边形五边形B.C. 五边形的周长是五边形周长的倍．D.10.一个五边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形的最长边长为24，则这个五边形的最短边长为（）A. 6B. 8C. 12D. 10二、填空题11.下列命题中，正确命题的个数为________.①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③边长相等的两个菱形都相似④对角线相等的两个矩形都相似12..下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 1 （填序号）13.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则的值为________ ．14..如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 1 时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？15..在矩形中，点分别在上（点E与点F不重合）矩形与矩形相似，那么的长为 1 .16.两个相似多边形一组对应边分别为3cm，5cm，那么它们的相似比为________．三、解答题17..如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左側补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长．18.如图，矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．19..如图，四边形四边形，求边、的长度和角的大小．20.若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，请问四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似吗？若相似，相似比是多少？21..观察下列图形，指出哪些是相似图形：22.某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似.观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似.请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由.（2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积.答案解析部分一、单选题1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】B二、填空题11.【答案】①12.【答案】②⑤13.【答案】614.【答案】1.515.【答案】16.【答案】3：5三、解答题17.【答案】解：设BE=x，则BC=1，CE=x+1，∵矩形CEFD与矩形ABEF相似，∴或，代入数据，∴或，解得：，(舍去)，或不存在，∴BE的长为，故答案为．18.【答案】解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，∴= = ，∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=4∴DE=8，AE=2，∴AD=AE+DE=2+8=1019.【答案】解：∵四边形四边形，∴，，．∴，，．20.【答案】解：相似．理由：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似；∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比是：21.【答案】解：观察、分析可得上述图形中：（1）和（8）是相似图形；（2）和（6）是相似图形；（3）和（7）是相似图形.22.【答案】（1）解：观点一正确；观点二不正确.理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB//DE，AC//DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∴，∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）解：∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°，由（1）知△ABC∽△DEF，∴∠DFE=90°，，∴，，∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面积为：9×12＝54.。

湘教版九年级数学上册同步练习3.5 相似三角形的应用

湘教版九年级数学上册同步练习3知识点 1 应用相似三角形测量宽度1．如图3－5－1，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为10 cm ，AC 被分为60等份．假设小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE ∥AB )，那么小玻璃管口径DE 的长是( )A.203 cmB.193cm C ．7 cm D ．6 cm 图3－5－1图3－5－22．如图3－5－2，为预算某条河的宽度，在河对岸边选定一个目的点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，假定测得BE ＝20 m ，EC ＝10 m ，CD ＝20 m ，那么河的宽度AB 为( )A ．60 mB ．40 mC ．30 mD ．20 m3．教材习题3.5第3题变式如图3－5－3，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在河的北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰恰被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，求河的宽度．图3－5－3知识点 2 应用相似三角形测量高度(深度)4．如图3－5－4，某先生用长为2.8 m 的竹竿AB 测量学校旗杆CD 的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰恰落在空中上的同一点O 处，此时竹竿与这一点的距离OB ＝8 m ，与旗杆的距离BD ＝22 m ，那么旗杆CD 的高为( )A ．105 mB ．77 mC ．10.5 mD ．7.7 m图3－5－4图3－5－55．2021·眉山〝今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？〞这是我国现代数学著作«九章算术»中的〝井深几何〞效果，它的题意可以由图3－5－5取得，那么井深为( )A ．1.25尺B ．57.5尺C ．6.25尺D ．56.5尺6．如图3－5－6是小孔成像实验，火焰AC 经过小孔O 照射到屏幕上，构成倒立的实像，像长BD ＝2 cm ，OA ＝60 cm ，OB ＝10 cm ，求火焰AC 的长．图3－5－67．如图3－5－7(表示图)，小明同窗用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 坚持水平，并且边DE 与点B 在同不时线上，纸板的两条直角边DE ＝40 cm ，EF ＝20 cm ，测得边DF 离空中的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝8 m ，求树高AB .图3－5－78．2021·绵阳为测量操场上旗杆的高度，小丽同窗想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的空中上，然后前进，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E ，标志好脚掌中心位置为B ，测得脚掌中心位置B 到镜面中心C 的距离是50 cm ，镜面中心C 距离旗杆底部D 的距离为4 m ，如图3－5－8所示．小丽同窗的身高是1.54 m ，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4 cm ，那么旗杆DE 的高度等于( )A ．10 mB ．12 mC ．12.4 mD ．12.32 m图3－5－8图3－5－99．如图3－5－9所示，某一时辰，一电线杆AB 的影子区分落在空中和墙壁上．此时，小明竖起1米高的标杆(PQ )，量得其影长(QR )为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在空中上的影子长为3米，墙壁上的影子CD 高为2米．小明应用这些数据很快算出了电线杆AB 的高为( )A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米10．如图3－5－10(表示图)，M ，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，依据国度的惠民政策，政府决议打不时线涵洞，工程人员为计算工程量，必需计算M ，N 两点之间的距离，选择测量点A ，B ，C ，点B ，C 区分在AM ，AN 上，现测得AM ＝1千米，AN ＝1.8千米，AB ＝54米，BC ＝45米，AC ＝30米，求M ，N 两点之间的距离．图3－5－1011．教材温习题第17题变式如图3－5－11(表示图)，某水平空中上修建物的高度为AB ，在点D 和点F 处区分竖立高是2 m 的标杆CD 和EF ，两标杆相隔52 m ，并且修建物AB 、标杆CD 和EF 在同一竖直平面内，从标杆CD 前进2 m 到点G 处，在G 处测得修建物顶端A 和标杆顶端C 在同一条直线上；从标杆FE 前进4 m 到点H 处，在H 处测得修建物顶端A 和标杆顶端E 在同一条直线上，求修建物的高．图3－5－1112．某校九年级(1)班的一节数学活动课布置了测量操场上旗杆AB 的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图3－5－12(表示图)所示，甲组测得图中BO ＝20米，OD ＝3.4米，CD ＝1.7米；乙组测得图中CD ＝1.5米，同一时辰影长FD ＝0.9米，EB ＝6米；丙组测得图中EF ∥AB ，FH ∥BD ，BD ＝30米，EF ＝0.2米，人的臂长(FH)为0.6米．请你任选一种方案，应用实验数据求出该校旗杆的高度．图3－5－121．A [解析] ∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE ∶AB ＝CD ∶AC ，∴DE ∶10＝40∶60，解得DE ＝203(cm)，∴小玻璃管口径DE 的长是203cm.应选A. 2．B [解析] ∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠ABE ＝∠DCE ＝90°.又∵∠AEB ＝∠DEC ，∴△BAE ∽△CDE ，∴AB CD ＝BE CE. ∵BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，∴AB 20＝2010，解得AB ＝40(m)．应选B.3．解：过点P 作PF ⊥AB 于点F ，交CD 于点E ，如下图．设河宽为x 米．∵AB ∥CD ，∴∠PDC ＝∠PBF ，∠PCD ＝∠P AB ，∴△PDC ∽△PBA ，∴PF PE ＝AB CD， ∴15＋x 15＝AB CD.依题意知CD ＝25米，AB ＝50米，∴15＋x 15＝5025，解得x ＝15. 答：河的宽度为15米． 4．C [解析] ∵AB ⊥OD ，CD ⊥OD ，∴AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD ，∴OB OD ＝AB CD . 假定设旗杆的高为x m ，那么88＋22＝2.8x，解得x ＝10.5.应选C. 5．B [解析] 依题意有△ABF ∽△ADE ，∴AB ∶AD ＝BF ∶DE ，即5∶AD ＝0.4∶5，解得AD ＝62.5，∴BD ＝AD －AB ＝62.5－5＝57.5(尺)．应选B.6．解：∵AC ∥BD ，∴△OBD ∽△OAC ，∴BD AC ＝OB OA ，即2AC ＝1060， ∴AC ＝12(cm)．答：火焰AC 的长为12 cm.7．解：∵∠D ＝∠D ，∠DEF ＝∠DCB ，∴△DEF ∽△DCB ，∴DE EF ＝CD BC ，即4020＝8BC，解得BC ＝4(m)．∵AC ＝1.5 m ，∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋4＝5.5(m)，答：树高AB 为5.5 m.8．B [解析] 由题意可得AB ＝1.5 m ，BC ＝0.5 m ，DC ＝4 m ，△ABC ∽△EDC ，那么AB ED＝BC DC ，即1.5DE ＝0.54，解得DE ＝12(m)．应选B. 9． D [解析] 延伸AC 交BD 的延伸线于点E ，易知△CDE ∽△PQR ，∴CD PQ ＝DE QR ，即21＝DE 0.5， ∴DE ＝1(米)，∴BE ＝3＋1＝4(米)．又易知△ABE ∽△PQR ，∴AB PQ ＝BE QR ，即AB 1＝40.5， ∴AB ＝8(米)．10．衔接MN ，∵AC AM ＝301000＝3100，AB AN ＝541800＝3100， ∴AC AM ＝AB AN. 又∵∠BAC ＝∠NAM ，∴△BAC ∽△NAM ，∴BC MN ＝3100，即45MN ＝3100，∴MN ＝1500(米)．答：M ，N 两点之间的距离为1500米．11．解：∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ，∴AB ∥CD ∥EF ，∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ，∴CD AB ＝DG DG ＋BD ，EF AB ＝FH FH ＋DF ＋BD. ∵CD ＝DG ＝EF ＝2 m ，DF ＝52 m ，FH ＝4 m ，∴2AB ＝22＋BD， 2AB ＝44＋52＋BD， ∴22＋BD ＝44＋52＋BD，解得BD ＝52(m)，∴2AB ＝22＋52，解得AB ＝54(m)．答：修建物的高为54 m.12．解：选择甲组方案计算：在△ABO 和△CDO 中，由于∠ABO ＝∠CDO ＝90°，∠AOB ＝∠COD ，所以△ABO ∽△CDO ，所以AB CD ＝BO OD ，所以AB ＝BO ·CD OD. 又BO ＝20米，OD ＝3.4米，CD ＝1.7米，所以AB ＝10米，即该校旗杆的高度为10米．选择乙组方案计算：在△ABE 和△CDF 中，由于∠ABE ＝∠CDF ＝90°，∠AEB ＝∠CFD ，所以△ABE ∽△CDF ，所以AB CD ＝EB FD. 又CD ＝1.5米，FD ＝0.9米，EB ＝6米，所以AB ＝10米，即该校旗杆的高度为10米．选择丙组方案计算：由FH ∥BD ，可得△CFH ∽△CBD ，所以CF CB ＝FH BD. 由EF ∥AB ，可得△CFE ∽△CBA ，所以CF CB ＝EF AB ，所以FH BD ＝EF AB. 又BD ＝30米，EF ＝0.2米，FH ＝0.6米，所以AB ＝10米，即该校旗杆的高度为10米．。

湘教版九年级数学上册相似的图形同步练习题

3.3 相似的图形1.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离为25cm,则甲,乙两地的实际距离是( )A.1250kmB.125kmC.12.5kmD.1.25km2.已知⊿ABC 的三边长分别为2,6,2,⊿A ′B ′C ′的两边长分别是1和3,如果⊿ABC 与⊿A ′B ′C ′相似,那么⊿A ′B ′C ′的第三边长应该是( ) A.2 B.22 C.26 D.333.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m,则梯子的长为( )A.3.85mB.4.00mC.4.40mD.4.50m5.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC ∽⊿CAD,只要CD 等于( ) A.c b 2 B.ab 2 C.cab D.c a 2(第4题图) (第5题图) (第10题图)4.一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )A.一种B.两种C.三种D.四种5.如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE.(2)⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由.(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．.◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。

九年级数学上册第3章图形的相似 3.4 相似三角形的判定与性质第2课时利用两角证相似练习 (新版)湘教版

第2课时利用两角证相似知|识|目|标通过动手操作、思考、归纳，理解相似三角形的判定定理1，并能运用其证明三角形相似．目标利用两角分别相等证明三角形相似例1 教材补充例题如图3－4－5，已知∠1＝∠2，请你补充一个条件：______________，使△ABC ∽△ADE .图3－4－5【归纳总结】如何寻找相等的一对对应角(1)寻找隐含的对顶角、公共角；(2)利用等角加(减)等角；(3)利用同等角的余(补)角相等；(4)寻找平行线中的内错角、同位角；(5)寻找平移、旋转前后的对应角；(6)角平分线分得的两角相等．例2 教材例3针对训练如图3－4－6所示，AD ，BE 是钝角三角形ABC 的边BC ，AC 上的高．求证：AD BE ＝AC BC .图3－4－6【归纳总结】利用相似三角形的判定定理1证明三角形相似(1)证明三角形相似，首选的判定方法是“两角分别相等的两个三角形相似”．(2)有一个锐角相等的两个直角三角形相似．知识点相似三角形的判定定理1两角__________的两个三角形相似．几何语言：在△ABC与△DEF中，∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.[点拨] 利用两角判定三角形相似的常见基本图形：图3－4－7如图3－4－8，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．图3－4－8解：在△ABD和△ACB中，∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴ADAC＝ABAB＝1，∴AD＝AC，∴CD＝AC－AD＝0.上述解题过程有错误吗？若有，请指出来，并写出正确的解题过程．详解详析【目标突破】例1[答案] ∠C＝∠E或∠B＝∠ADE(答案不唯一)[解析] ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC与△ADE 中已有一对角相等，要使△ABC∽△ADE，只需再有一对角对应相等就可以，因此，补充的条件可以是∠C＝∠E或∠B＝∠ADE.例2[解析] 从已知条件及图形可知△ACD与△BCE中都有一个角是直角，还有一组对顶角，根据判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”可得△DAC∽△EBC，再由相似三角形的性质得出结论．证明：∵AD，BE是钝角三角形ABC的高，∴∠BEC ＝∠ADC＝90°.又∵∠ACD＝∠BCE，∴△DAC ∽△EBC ，∴AD BE ＝AC BC. 【总结反思】[小结] 知识点分别相等[反思] 解：有错误，在△ABD 和△ACB 中，AD 和AC 不是对应边，AB 和AB 也不是对应边，故得不到AD AC ＝AB AB＝1.正确解法：在△ABD 和△ACB 中，∵∠ABD ＝∠C，∠A ＝∠A，∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝AD AB .∵AB ＝6，AD ＝4，∴AC ＝AB 2AD ＝364＝9，则CD ＝AC －AD ＝9－4＝5.。

湘教版数学九年级上册同步训练《相似三角形的应用》

湘教版数学九年级上册同步训练《3.5 相似三角形的应用》一、单选题1.图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（）A. B. C. D.2.小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A. B. C. D.3..大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（）A. B. C. D.4..某校兴趣小组为了测量教学大楼的高度，用1.5m的竹竿作为测量工具.在阳光明媚的某天，该兴趣小组移动竹竿，使得竹竿顶端的影子与楼顶的影子在地面处重合，如图，测得，，则教学楼的高是（）A. B. C. D.5..如图，阳光透过窗户洒落在地面上，已知窗户高，光亮区的顶端距离墙角，光亮区的底端距离墙角，则窗户的底端距离地面的高度（）为（）A. B. C. D.6..如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（）A. 5mB. 7mC. 7.5mD. 21m7..如图，在三角形纸片中，，，.将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④8.如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着的方向行走4.5米至点F，此时影子为1米，则路灯BM的高度为（）A. 3米B. 3.5米C. 4.5米D. 6米9.如图，锐角三角形，边，高，其内接的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则正方形的边长为（）A. 2.6B. 2.4C. 3D. 1.210..如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长1m的竹竿落在地面上的影长为0.9m，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（）A. 6.0mB. 5.0mC. 4.0mD. 3.0m二、填空题11.如图，已知李明的身高为1.8m，他在路灯下的影长为2m，李明距路灯杆底部为3m，则路灯灯泡距地面的高度为________m；12..《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线与边相交于点F，如果测得米，那么塔与树的距离为 1 米．13.如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为________．14..如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图.已知桌面的半径为0.8m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为 1 m2（结果保留.15.如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则________16..如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12m，BE=3m，那么这棵树CD的高为 1 m．三、解答题17.小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B 到地面上一点E的距离为38米，塔的顶端为点A，且，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D，，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得米.已知标杆米，求该塔的高度AB.18..身高1.6米的张军同学在某一时刻测得自己的影长为1.4米，此刻她想测量学校旗杆的高度，但当她马上测量旗杆的影长时，发现因旗杆靠近一幢建筑物，影子一部分落在地面上，一部分落在墙上（如图），他先测得留在墙上的影子米，又测地面部分的影长米，你能根据上述数据帮张军同学测出旗杆的高度吗？19..如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD=180米，DC=60米，EC=50米，你能知道小河的宽是多少吗？20..如图，花丛中一根灯杆上有一盏路灯，灯光下，小明在点处的影长米，沿方向走到点，米，这时小明的影长米，如果小明的身高为1.7米，求路灯离地面的高度.21..如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m，标杆FC=2.2m，且BC=1m，CD=5m，标杆FC、ED垂直于地面．求电视塔的高ED．22..如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片.AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm.从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH.使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上.AD与HG的交点为M.（1）.求证：；（2）.求这个矩形EFGH的周长.答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】C二、填空题11.【答案】4.512.【答案】2513.【答案】14.【答案】1.44π15.【答案】10816.【答案】5.1．三、解答题17.【答案】解：∵，，∴，又∵，∴，∴，即，解得：（米）.答：该塔的高度为44米.18.【答案】解：过点作交于点.∵，，∴四边形是平行四边形，∴米，又在平行投影中，同一时刻物长与影长成比例，∴，即，∴米答：旗杆的高度为5.2米.19.【答案】解：∵∠ABD=∠DCE=90°，∠ADB=∠CDE ∴△ABD∽△ECD∴∵EC=50，BD=180，DC=60∴解得AB=150答：小河的宽是150米.20.【答案】解：∵CD∥AB，∴△EAB∽△ECD，∴，即①，∵FG∥AB，∴△HFG∽△HAB，∴，即②，由①②得，解得BD=15，∴，解得AB=10.2.答：路灯A离地面的高度为10.2m.21.【答案】【解答】解：作AH⊥ED交FC于点G；如图所示：∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，∴FG∥EH，∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，∴AH=BD，AG=BC，∵AB=1.6，FC=2.2，BC=1，CD=5，∴FG=2.2﹣1.6=0.6，BD=6，∵FG∥EH，∴，解得：EH=3.6，∴ED=3.6+1.6=5.2（m）答：电视塔的高ED是5.2米．22.【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴∠AHG=∠ABC，又∵∠HAG=∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴；（2）解：由（1）得：设HE=xcm，则MD=HE=xcm.∵AD=30cm，∴AM=（30﹣x）cm.∵HG=2HE，∴HG=（2x）cm，可得：，解得：x=12，故HG=2x=24，所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）. 答：矩形EFGH的周长为72cm.。

XJ湘教版初三九年级数学上册第一学期同步课堂补习练习题作业第三章图形的相似小结与复习1

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第3课时利用两边及其夹角证相似一、选择题1．如图K －23－1，要使△ACD ∽△ABC ，则它们必须具备的条件是( )图K －23－1A.AC CD ＝AB BC B.CD AD ＝BC AC C.CD AD ＝BD CD D.AC AD ＝AB AC2．2017·枣庄如图K －23－2，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )图K －23－2 图K －23－33．如图K －23－4，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA ∶OC ＝OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( )图K －23－4A ．①②相似B ．①③相似C ．①④相似D ．②③相似4．如图K －23－5，在等边三角形ABC 中，D 为AC 的中点，AE EB ＝13，则和△AED 相似的三角形有( )图K －23－5A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列各组条件中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠E 且∠D ＝∠F B ．∠A ＝∠B 且∠D ＝∠F C ．∠A ＝∠E 且AB AC ＝EF EDD ．∠A ＝∠E 且AB BC ＝DF ED二、填空题6．2017·潍坊如图K －23－6，在△ABC 中，AB ≠AC .D ，E 分别为边AB ，AC 上的点．AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，F 为BC 边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB 与△ADE 相似．(只需写出一个)图K －23－67.如图K －23－7，在△ABC 中，分别以AB ，AC 为斜边作Rt △ABD 和Rt △ACE ，∠ADB ＝∠AEC ＝90°，∠ABD ＝∠ACE ＝30°，连接DE .若DE ＝5，则BC 的长为________．图K －23－78．2017·随州在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝________时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．三、解答题9．如图K－23－8，已知AC和BD交于点E，CE·AE＝BE·DE.求证：△ABE∽△DCE.图K－23－810．已知：如图K－23－9，D，E是△ABC的边AB，AC上的点，AB＝9，AD＝4，AC＝7.2，AE＝5.求证：∠B＝∠AED.图K－23－911．已知：如图K－23－10，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA，AB＝DC＝ab，CE＝a，AC＝b.求证：(1)△DEC∽△ADC；(2)AE·AB＝BC·DE.图K－23－1012．如图K－23－11，四边形ABCD是菱形，点E在AB的延长线上，连接AC，DE，DE 与BC，AC分别交于点F，G，且CD·AE＝AC·AG.求证：(1)△ABC∽△AGE；(2)AB2＝GD·DE.图K－23－1113．如图K－23－12所示，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，4AC＝3BC，点P从点B 出发，沿BC方向以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，沿CA方向以1 cm/s的速度向点A移动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动．若P，Q分别从B，C同时出发，经过多长时间，△CPQ与△CBA相似？图K－23－1214．如图K－23－13，点C，D都在线段AB上，△PCD是等边三角形．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△PAC∽△BPD?(2)当△PAC∽△BPD时，求∠APB的度数．图K－23－1315方程思想如图K－23－14，已知AB⊥BD，CD⊥BD.(1)若AB＝9，CD＝4，BD＝10，则在BD上是否存在点P，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．(2)若AB＝9，CD＝4，BD＝12，则在BD上存在多少个点P，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长．图K－23－141．[答案] D2．[解析] C A项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似，故本选项不符合题意；B项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似，故本选项不符合题意；C项，不能证明两个三角形相似，故本选项符合题意；D项，两个三角形对应边成比例且夹角相等，故两个三角形相似，故本选项不符合题意．3．[解析] C∵OA∶OC＝OB∶OD，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，C正确，故选C.4．[解析] C∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC.又∵D是AC的中点，∴BD⊥AC，∠ABD ＝30°，AD ∶AC ＝1∶2.∵AE EB ＝13，∴AE ∶AB ＝1∶4，∴AE ∶AD ＝1∶2＝AD∶AB.又∵∠A＝∠A，∴△AED ∽△ADB ，∴∠AED ＝∠ADB＝90°.∵∠A ＝∠C＝60°，CD ∶BC ＝AE∶AD＝1∶2，∴△AED ∽△CDB.∵∠AED ＝∠DEB＝90°，∠ADE ＝∠DBE＝30°，∴△AED ∽△DEB ，故选C .5．解析] C A 项，∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角，故本选项错误；B 项，∠A 和∠B，∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角，故本选项错误；C 项，由∠A＝∠E，AB AC＝EF ED可以根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判断出△ABC 与△DEF 相似，故本选项正确；D 项，由∠A＝∠E 且AB BC ＝DF ED不能判定△ABC 与△DEF 相似，因为相等的两个角不是夹角，故本选项错误．6．[答案] 答案不唯一，如DF∥AC 或∠BFD＝∠A 等[解析] ∵∠A＝∠A，AD AC ＝AE AB ＝13，∴△ADE ∽△ACB ，∴①当DF∥AC 时，△BDF ∽△BAC ，∴△BDF ∽△EAD.②当∠BFD＝∠A 时，∵∠B ＝∠AED，∴△FBD ∽△AED.7．答案] 10[解析] 由题意可得AD∶AB＝AE∶AC＝1∶2，∠BAC ＝∠DAE ＝60°＋∠DAC，∴△ABC ∽△ADE ，∴BC ∶DE ＝A B∶AD＝2∶1，∴BC ＝10.8．[答案] 125或53[解析] 如图①，当AE AD ＝AB AC 时，∵∠A ＝∠A，∴△AED ∽△ABC ，此时AE ＝AB·AD AC ＝6×25＝125；如图②，当AD AE ＝AB AC 时，∵∠A ＝∠A，∴△ADE ∽△ABC ，此时AE ＝AC·AD AB ＝5×26＝53.故答案为125或53.9．证明：因为CE·AE＝BE·DE，所以AE DE ＝BECE.又∠AEB＝∠DEC，所以△ABE∽△DCE.10．证明：∵AB＝9，AD ＝4，AC ＝7.2，AE ＝5， ∴AB AE ＝95＝1.8，AC AD ＝7.24＝1.8， ∴AB AE ＝AC AD. 又∵∠A＝∠A，∴△ABC ∽△AED ， ∴∠B ＝∠AED.11．证明：(1)∵DC＝ab ，CE ＝a ，AC ＝b ，∴DC 2＝CE·AC，即CE DC ＝DCAC.又∵∠ECD＝∠DCA，∴△DEC ∽△ADC.(2)∵△DEC∽△ADC，∴∠DAE ＝∠CDE.又∵∠BAD＝∠CDA，∴∠BAC ＝∠EDA.∵△DEC ∽△ADC ，∴DE AD ＝DC AC .∵DC＝AB ，∴DE AD ＝AB AC ，即DE AB ＝AD AC ，∴△ADE ∽△CAB ，∴AE CB ＝DE AB ，即AE·AB＝BC·DE.12．证明：(1)∵CD·AE＝AC·AG，∴CD AG ＝ACAE .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，∴AB AG ＝AC AE. 又∵∠BAC＝∠GAE， ∴△ABC ∽△AGE.(2)∵△ABC∽△AGE，∴∠ACB ＝∠E.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，BC ∥AD ，∴∠ACB ＝∠CAD＝∠E.又∵∠ADG＝∠ADE，∴△ADG ∽△EDA ，∴AD DE ＝GD AD ，∴AD 2＝GD·DE，∴AB2＝GD·DE.13．解：∵BC＝8 cm ，4AC ＝3BC ， ∴AC ＝6 cm .设经过t s ，△CPQ 与△CBA 相似，此时BP ＝2t cm ，CQ ＝t cm ，则CP ＝(8－2t)cm (0<t<4)．(1)当PQ∥AB 时，△CPQ ∽△CBA ，则CP CB ＝CQ CA ，即8－2t 8＝t 6，解得t ＝2.4. (2)当CP CA ＝CQCB 时，△CPQ ∽△CAB ，则8－2t 6＝t 8，解得t ＝3211. 故经过2.4 s 或3211 s ，△CPQ 与△CBA 相似．14．解：(1)∵△PCD 是等边三角形， ∴PC ＝CD ＝PD ，∠PCD ＝∠PDC＝60°， ∴∠PCA ＝∠BDP＝120°，∴只要满足AC PD ＝PCDB，△PAC ∽△BPD 即成立，∴当AC ，CD ，DB 满足AC CD ＝CD DB (或CD 2＝AC ·DB)时，△PAC ∽△BPD.(2)∵△PAC∽△BPD， ∴∠BPD ＝∠A.又∵∠PDC＝∠BPD＋∠B＝60°， ∴∠A ＋∠B＝60°，∴∠APB ＝180°－∠A－∠B＝120°. 15解：(1)存在．设BP ＝x ，则PD ＝10－x.∵∠B ＝∠D，∴当AB∶PD＝PB∶CD 时， △ABP ∽△PDC ，即9∶(10－x)＝x∶4，整理得x 2－10x ＋36＝0，此方程没有实数根；当AB∶CD＝PB∶PD 时，△ABP ∽△CDP ，即9∶4＝x∶(10－x)，解得x ＝9013，即BP 的长为9013.(2)存在两个点P.设BP ＝x ，则PD ＝12－x. ∵∠B ＝∠D，∴当AB∶PD＝PB∶CD 时，△ABP ∽△PDC ，即9∶(12－x)＝x∶4，整理得x 2－12x ＋36＝0，解得x 1＝x 2＝6；当AB∶CD＝PB∶PD 时，△ABP ∽△CDP ，即9∶4＝x∶(12－x)，解得x ＝10813，故BP 的长为6或10813.。